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AutorÁngel Luna
Caja Pitagórica3° de Primaria
Base de datos03-2009-121509502400-01
Dibujo03-2009-121510044700-14
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
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LOS NATURALES Y OPERACIONES BÁSICAS,
PITÁGORAS DE LO ABSTRACTO A LO CONCRETO
Ángel LunaPRIMARIA 3
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Índice
Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducción • Antecedentes • Justificación • Objetivos generales Actividades con números naturalesActividad 1 • Sucesión numéricaActividad 2 • Unidades, decenas y centenasActividad 3 • Posición de las cifrasActividad 4 • Suma y resta hasta centenasActividad 5 • DivisiónActividad 6 • ÁreaActividad 7 • Transformaciones de figuras con cuadriláterosActividad 8 • Símetria
El cuadrado mágicoAntecedentesNivelCuadrado mágico, el juego clásicoAplicacionesActividad 9 • EjerciciosEl cuadrado mágico de 4×4Actividad 10 • Ejercicios libresEl cuadrado perfectoEl cuadrado del caballo
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Pitágoras sin palabrasActividad 11 • Asociar facilita responderActividad 12 • MediciónActividad 13 • Se parece a PitágorasActividad 14 • Del tangram a PitágorasActividad 15 • Demostrando a PitágorasActividad 16 • Pitágoras duplica áreasActividad 17 • Áreas y PitágorasActividad 18 • El recíproco de PitágorasActividad 19 • Corta y construye a PitágorasActividad 20 • No debemos cortar siempre para construir a PitágorasActividad 21 • Construyendo teselas a partir de PitágorasActividad 22 • SimetríasActividad 23 • Ejercicios libres
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Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas
1 Tablero de 10×10 casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1
1 Tablero de 6×6 casillas
3 Acetatos de 18×18(compás)
3 Acetatos de 18×18 (ruleta)
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4 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
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75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)
12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
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Las matemáticas son una herramienta esencial en diversas áreas del conocimiento. Por esa razón es importante incidir en la formación inicial de los alumnos en esta disciplina, la construcción de sus conocimientos constituye uno de los eslabones más importantes en su proceso educativo.
El alumno de tercer grado de primaria sigue inmerso en una etapa evolutiva, carac-terizada por su desarrollo intelectual y la capacidad de entender las operaciones lógico-concretas. La experiencia muestra que parte del éxito en el aprendizaje de las matemáticas en este nivel, está íntimamente relacionado con el diseño de actividades que faciliten y fortalezcan los conocimientos previamente adquiridos, además de la construcción de otros conceptos, algunos de los cuales pueden generarse a partir de experiencias concre-tas. En estas actividades, las matemáticas deben ser funcionales y flexibles, de forma tal que le permitan resolver los problemas que se les planteen.
El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las mate-máticas le permiten resolver problemas diversos de naturaleza científica, técnica, artística y de la vida cotidiana.
El contar con las habilidades, los conocimientos y las formas de expresión que la es-cuela proporciona, permite la comunicación y comprensión de la información matemá-tica presentada a través de medios de distinta índole.
En este escenario, el material didáctico de la Caja Pitagórica es muy útil, debido a que su aplicación es muy vasta y estimula diversos aprendizajes, propiciando la reflexión, el análisis, los cuestionamientos, etc. Esto permite al alumno asumir un papel activo en su aprendizaje.
Además, la Caja Pitagórica permite abordar el Teorema de Pitágoras, cuyo estudio comien-za a nivel secundaria; la importancia del mismo radica en el sinfín de aplicaciones que de él se desprenden como, por ejemplo, el estudio de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, funciones trigonométricas, razón de cambio, etc. De ahí que su estudio se extienda a los niveles medio superior y superior.
Introducción
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AntecedentesEn las matemáticas, como en diversas áreas del saber humano, el alumno puede construir algunos conocimientos. Desde su infancia, ha desarrollado actividades o juegos donde realiza comparaciones entre objetos, reflexiona ante los hechos que observa, busca solu-ciones a los problemas que surgen y se enfrenta a situaciones que se le presentan en su vida cotidiana. Todo ello le permite ir construyendo relaciones de semejanza, diferen-cia y orden entre objetos.
Una actividad recreativa y aplicable, durante el proceso de aprendizaje de los alumnos del tercer grado de primaria, corresponde al llamado cuadrado mágico, un pasatiempo matemático que involucra operaciones básicas. Estudiar el cuadrado mágico permite al alumno reforzar los métodos de conteo, además de involucrar aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos, de tal forma que se obtenga lo deseado.
Una de las motivaciones para incluir el estudio del Teorema de Pitágoras en el tercer grado de primaria descansa en las aplicaciones indirectas de dicho teorema en actividades coti-dianas. Para entenderlo, describamos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a situaciones como esta): coloquemos a un niño que ya camina sin dificultad en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado diametralmente opuesto un regalo (sobre la diagonal del rectángulo). Pidamos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos observar que en general la trayectoria que seguirá (sal-vo casos excepcionales) será la diagonal. Inconscientemente, el niño hace uso de manera implícita de una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras: “la distancia más corta entre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos reproducir la situación en otros niños y, más aún, en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento, según sea el caso, obtendremos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarán. Nos preguntamos entonces, de manera natural: ¿conocen estos animales el Teorema de Pitágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario, nuestra respuesta es: no. Podríamos inferir que la decisión de moverse, a lo largo de esa trayectoria, está ligada con la experiencia adquirida de manera empírica: el tiempo que requerimos para desplazarnos de un punto a otro1. Por lo tanto, tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimización. Sin embargo, si utilizamos a una rata en el experimento anterior, observaremos que la mayoría de las veces se desplaza por las paredes. ¿Por qué sucede esto?
Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con al menos una situación de carácter real, que en este caso involucra distancia2 (aplicaciones en geo-metría, física, etc.), y la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.
1 Aplicación del concepto distancia-tiempo.2 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.
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JustificaciónEl material didáctico permite al alumno, a través de actividades y juegos, comprender y entender que una cantidad no varía, a menos que se le agreguen o quiten elementos; con-cluir cuándo una cantidad es mayor, menor o igual que otra, etc. Esto estimula al alumno a investigar, aplicar los métodos de ensayo y error e intentar diversas soluciones a un mismo problema.
El alumno posiblemente tenga dudas al adquirir un nuevo conocimiento. Sin embargo, durante el proceso de aprendizaje, esto mismo puede ser aprovechado por el maestro, para propiciar la reflexión y con ello facilitar el aprendizaje del alumno.
Con respecto al Teorema de Pitágoras, su aplicación no se limita a lo mencionado en la sección anterior. Sus alcances y aplicaciones son tales que introducirlo de manera infor-mal3 facilitará al alumno el uso de conceptos y aspectos matemáticos relacionados con el mismo en cursos posteriores.
Parte del propósito del material es estimular las áreas cognoscitivas y lúdicas de los alumnos de este nivel. Esto se realiza, utilizando los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto, que permite al alumno relacionar aspectos aritméticos y geométri-cos, bajo ciertos procedimientos de aprendizaje, cuyo objetivo general es estimular los campos formativos de espacio, forma y medida.
En relación con el aspecto concreto-abstracto, este material estimula áreas de crea-tividad, destreza, razonamiento deductivo, etc. Además, aborda el aspecto abstracto-concreto, con el objetivo de que el alumno pueda aplicar la teoría a situaciones concretas, estimulando nuevamente su razonamiento deductivo.
La versatilidad del material permite considerar los siguientes tres ejes fundamentales a lo largo de la educación primaria:
La naturaleza del número. Se trata de comprender que los números pueden repre-sentar tanto cantidades que se obtienen de procesos de conteo o de medición, como relaciones entre cantidades. Esto permite a los alumnos entender para qué sirven los números y qué representan.
El desarrollo de la intuición geométrica y de la imaginación espacial, a través del estudio de la geometría, en particular de los contenidos que se relacionan con las formas (las figuras geométricas), sus propiedades y algunas transformaciones de sus características.
Por último la resolución de problemas. Se intenta que el alumno desarrolle habilida-des al respecto.
Además estudiamos el Teorema de Pitágoras. Aunque esto se realiza de manera implícita, permitirá al alumno facilitar su trabajo con él en sus siguientes cursos.
3 Nos referimos a que podemos trabajar con él, sin referirnos a él por su nombre.
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Objetivos generalesEn la escuela primaria, los alumnos deberán adquirir conocimientos básicos de las mate-máticas y desarrollar:
• La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plan-tear y resolver problemas.
• La capacidad de anticipar y verificar resultados.• La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.• La imaginación espacial.• La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones.• La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.• El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre
otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.• Las estrategias para resolución de problemas en las que se utilizan diversos recursos
como conteo, cálculo mental, estimación y analogías, entre otros.• La comprensión de que un problema puede resolverse de distintas formas.• La habilidad para desarrollar procesos que le permitan ubicar objetos en el plano y en
el espacio, imaginar los efectos que se producen en las formas geométricas al someterlas a transformaciones, estimar longitudes y áreas.
• Los mecanismos del cálculo operatorio elemental.• La comprensión del uso de distintas unidades de medida.• El descubrimiento y análisis de los elementos angulares.• La creatividad.
Las actividades diseñadas por el maestro deberán estar enfocadas en la com-prensión y asimilación de los conceptos de la matemática. Deberán partir de la manipulación que el alumno haga de los materiales o recursos didácticos. En este sentido, el juego dirigido es una fuente de actividades interesantes para los alumnos. A través de él, pueden crearse situaciones que le permitan descubrir relaciones o que favorezcan la construcción de conocimientos.
Observación:
El aprendizaje se genera a partir de la interacción entre el alumno y los objetos concretos, facilitándole la construcción de conocimiento.
Observación:
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Es conveniente fomentar el trabajo en equipo de manera que permita el intercambio de puntos de vista y la confrontación de ideas. Esto propiciará actitudes de análisis e investigación que, gradualmente, se irán reforzando a medida que se formalicen los con-ceptos y los métodos.
Para aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”, es decir, enfrentar nume-rosas situaciones que les presenten un problema o un reto, y generar sus propios recursos para resolverlas, utilizando los conocimientos que ya poseen. Al principio, sus recursos serán informales pero, poco a poco, con la experiencia, la interacción con sus compañe-ros y la ayuda del maestro, evolucionarán hacia la formalización del conocimiento.
En consecuencia, los conocimientos matemáticos y los problemas no pueden sepa-rarse. No se trata de aprender matemáticas para después aplicarlas en la resolución de problemas, sino de aprender matemáticas al resolver problemas.
El maestro debe promover, hasta donde le sea posible, las habilidades siguientes:
• Flexibilidad del pensamiento• Reversibilidad del pensamiento• Memoria generalizada• Clasificación completa• Estimación• Imaginación espacial Con esto se pretende que el alumno, al interactuar con su realidad, sea capaz de cons-
truir las nociones de la matemática y adquirir el lenguaje propio de ésta. Ello le permitirá desarrollar los procesos cuantitativos, cualitativos y relacionales, y aplicarlos a la solución de sus problemas cotidianos.Obr
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Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipulación, com-paración, conteo, estimulación de los procesos de razonamiento, etc., ya que el alumno realiza comparación entre objetos, agrega o quita objetos, etcétera.
La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, según lo considere conveniente.
Sucesión numérica
Utilizamos la sucesión numérica de los números naturales o enteros positivos, para estable-cer la correspondencia entre la cantidad de objetos y el número asociado a los mismos.
1.- Ordene las siguientes colecciones de cubos en forma ascendente y asocie el número que le corresponde a cada una. Veamos el siguiente ejemplo:
Actividades con
números naturales
Ejercicios:
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Unidades, decenas y centenas
En esta actividad de aprendizaje se preten-de que el alumno comprenda la caracterís-tica de los sistemas de numeración de base de notación posicional. La base de nuestro sistema de numeración es diez, porque ne-cesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena; 10 decenas para formar una unidad del tercer orden o centena, y así sucesivamente, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.
La secuencia numérica es:
2.- Realice esta actividad utilizando varios términos de una serie numérica.
3.- Utilizando los cubos arme los términos correspondientes de una serie numérica de naturales. ¿La disposición es ascendente o descendente?
a) 6, 5, 4 b) 9, 8, 7 c) 12, 11, 10
una unidad
una decena o diez unidades
una centena o diez decenas o 100 unidades
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2.- Con diez tabletas de 10×10×1, construya un cubo o hexaedro como la figura si-gueiente. Pedir a los alumnos que observen:
3.- Represente con las tabletas 10×10×1, las siguientes cantidades:
a) 1 000 b) 1 200 c) 1 400
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos hay en cada renglón?• ¿Cuántos cubos hay en cada columna?• ¿Cuántos cubos hay en total?
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos hay en cada hilera?• ¿Cuántos cubos hay en cada columna?• ¿Cuántos cubos hay en 10 hileras?• ¿Cuántos cubos hay en 10 columnas?• ¿Cuántos cubos hay en total?
• ¿Cuántos cubos hay en dos tabletas o cuadros?• ¿Cuántos cubos hay en tres tabletas o cuadros?• ¿Cuántos cubos hay en las cuatro tabletas o cuadros?
1.- Con los cubos de 1×1×1, las regletas de 10×1×1 y las tabletas de 10×10×1, que contiene el material didáctico, realice los ejercicios. Utilice además el tablero pitagórico Pida a los alumnos que observen la tableta:
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Posición de las cifras
En esta actividad los alumnos amplían sus conocimientos sobre los principios de base y posición que caracterizan al sistema de numeración decimal.
El uso de los tableros para representar la cardinalidad de colecciones constituye un importante paso intermedio para llegar a la representación convencional de cantidades.
El registrar cantidades en los tableros del Triángulo Pitagórico favorece que los alum-nos comprendan que cada cifra representa un agrupamiento distinto, según la posición que ocupa, es decir, cada cifra tiene un valor relativo.
El material didáctico del Triángulo Pitagórico incluye fichas de colores con las que el alumno, pueda interactuar y aprender sobre uno de los conceptos fundamentales de la matemática: el sistema de numeración decimal.
En esta actividad, el alumno se familiariza con el uso de la notación posicional del sistema de numeración decimal, es decir, debe recordar que la base de nuestro sistema de numeración es diez, porque necesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena; 10 decenas para formar una unidad del tercer orden o centena, y así sucesivamente, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.
1.- Explique a los alumnos cómo está formado el número:
1 3 8
centenas 1 decenas 3 unidades 8
No olvide colocar las fichas en el tablero y que cada lugar en el sistema posicional tiene un valor diferente.
Ejercicios:
En los números, cada cifra tiene un valor de acuerdo con el lugar que ocupa. Siempre debe considerarse que un número se escribe y se lee de izquierda a de-recha.
Observación:
Actividad 3
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De esta manera pueden realizarse varios ejercicios, quedando a la creatividad del maes-tro otras variantes.
2.- Una sugerencia para jugar con el sistema numérico del Triángulo Pitagórico es utilizar cuatro dados (proporcionados por el maestro): uno representa la unidad, otro la decena, uno más la centena y otro más millares de unidad. Empezar a tirar con dos dados, des-pués con tres dados y por último con cuatro.Explique a los alumnos que la actividad consistirá en que cuando se tiren los dados, se escribirán los números que salgan en el pizarrón. Cada equipo o alumno, según se deci-da, representará con las fichas dicho número en el Triángulo Pitagórico. Gana el equipo
o el alumno que logre representar la mayor cantidad de números en forma correcta. Con las fichas de colores se pueden asig-
nar valores de acuerdo con el criterio del maestro. Por ejemplo:
3.- Otro juego consiste en formar tres equipos de cuatro
alumnos. Cada equipo escoge un tablero para jugar. Cada alumno de
un equipo lanza dos dados; suma o resta los puntos y coloca en la casilla el número que resulte de la operación, el cual repre-sentará las unidades; después, el siguiente alumno tira los dos dados, suma o resta los puntos, coloca en la casilla el número que resulte, el cual representará las decenas, y así sucesivamente hasta las unidades de millar.Queda a criterio del maestro el método de evaluación en esta actividad.
4.- Representen el valor posicional en el sistema de numeración de las siguientes cantidades (se leen de izquierda a derecha):
a) 2 6 7 4b) 4 9 0 1c) 5 2 3 0d) 7 5 4 3e) 2 9 8 5
Amarillo = 1000Verde = 100Rojo = 10Azul = 1
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Suma y resta hasta centenas
Los procedimientos usuales para sumar y restar pueden ser construidos poco a poco por los alumnos, a partir de sus conocimientos sobre los principios de base y posición del sistema decimal de numeración. En esta actividad se plantea una secuencia con algunas situaciones que llevan a la construcción de estos procedimientos de operaciones de suma y resta, con reagrupación de unidades, decenas y centenas.
Con los cubos 1×1×1, las regletas 10×1×1 y las tabletas 10×10×1, que contiene el material didáctico, los siguientes ejercicios pueden realizarse en el tablero pitagórico:
Ejercicio:
e) 330 + 45
a) 437 + 250
b) 724 + 175
c) 451 + 138
d) 228 + 41
Resuelvan las siguientes sumas:Ejemplo de suma:
Actividad 4
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Ejemplo de resta:
a) 343 – 257
b) 435 – 246
c) 368 – 156
División
Cuando los alumnos enfrentan problemas de división, normalmente ya tienen conoci-mientos sobre la suma, la resta y la multiplicación. Esto les permite desarrollar una gran variedad de procedimientos para dividir antes de abordar el procedimiento usual.
Para introducirnos en la división, en esta actividad trabajaremos con los cubos 1×1×1, que contiene la Caja Pitagórica.
Resuelvan las siguientes restas:
En caso de considerar conveniente incluir aquí la multiplicación, consulte la actividad 10 de la Guía Didáctica, Primaria 2 de la Caja Pitagórica.
Observación:
Actividad 5
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1.- Pida a los alumnos que realicen los siguientes repartos de cubos 1×1×1 entre 10 de sus compañeros.
2.- Pida a los alumnos que realicen las siguientes divisiones y repartos:
a) Cuando repartes 12 cubos entre 6 alumnos ¿le tocan 2 cubos a cada uno? Este reparto también lo puedes anotar así: 12 ÷ 6 = 2La multiplicación que corresponde a este reparto es: 6×2 = 12
b) Cuando repartes 18 cubos entre 6 alumnos ¿cuántos cubos le tocan a cada uno?Este reparto también lo puedes anotar así: 18 ÷ 6 =La multiplicación que corresponde a este reparto es 6×3 =
3.- Pida a los alumnos que realicen las siguientes divisiones y repartos:
a) 15 cubos entre 5 alumnos.b) 30 cubos entre 3 alumnos.c) 21 cubos entre 3 alumnos.d) 3 cubos entre 3 alumnos.e) 12 cubos entre 2 alumnos.
Ejercicios:
a)
b)
c)
Preguntas:
• Si se reparten 20 cubos entre 10 alumnos ¿cuántos cubos le tocan a cada uno?• Si se reparten 30 cubos entre 10 alumnos ¿cuántos cubos le tocan a cada uno?• Si se reparten 10 cubos entre 10 alumnos ¿cuántos cubos le tocan a cada uno?
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Área
Existen varios recursos para calcular el área de una figura; uno de ellos consiste en utilizar unidades de medida convencionales.
Área: Superficie o espacio localizado en el interior de una figura y que puede medirse en unidades cuadradas, como el centímetro cuadrado.
Centímetro cuadrado: Es una superficie limitada por un cuadrado que mide un cen-tímetro por lado.
Formen rectángulos y cuadrados con los cubos 1×1×1 y las regletas. Calculen la superficie que cubren con la regla, tal como se muestra en el ejemplo siguiente:
Ejercicio:
a) b) c)
d) e)
Actividad 6
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Transformaciones de figuras con cuadriláteros
El propósito de esta actividad es ayudar a la comprensión del concepto de área y el trazo de cuerpos geométricos, a partir de sus propiedades.
1.- Construya un cuadrado con las regletas 5×1×1 sobre la mesa. Tome el cuadrado con sus manos, sosténgalo por un lado y mueva con un dedo los otros lados. Tenga cuidado de que los lados no se despeguen.
2.- Construya un rectángulo con las regletas 10×1×1. Tome el rectángulo con sus manos, sosténgalo por un lado y mueva con un dedo los otros lados del ancho del rectángulo. Tenga cuidado de que los lados no se despeguen.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cambió la forma de la figura?• ¿La figura que obtuvieron ya no es un cuadrado?• ¿Cómo se llama?• ¿Cambió el tamaño de los lados cuando el cuadrado se transformó?• ¿Qué cambió?
• ¿Cambia el tamaño de los lados cuando el rectángulo se transforma?
Actividad 7
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Simetría
Es una propiedad geométrica. La intención es ini-ciar el desarrollo de esta noción trabajando con figu-ras sencillas, con las que los alumnos descubren esta propiedad. Conforme adquieran habilidad tanto para identificar los ejes de simetría de las figuras como para construir figuras simétricas, podrán incorporarse figu-ras más complejas.
Realice con los cubos 1×1×1 de la Caja Pitagórica la siguiente figura con eje de simetría.
Compruébenlo colocando un espejo sobre la línea que representa el eje de simetría y observen si la figura se ve completa.
En la misma figura, identifiquen los dos ejes de simetría y comprueben.
Recorten varias figuras en revistas y periódicos. Busquen el eje de simetría de cada figura y trácenlo. Tomen en cuenta que no todas las figuras son simétricas.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Cuál es la figura que tiene más ejes de simetría?• ¿Cuántos ejes tiene esa figura?• ¿Qué hacer para que las figuras sin ejes de simetría tenganun eje de simetría?
Actividad 8
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El cuadrado
mágicoAntecedentes
Hemos mencionado que una de las actividades más recreativas y de gran importancia en el proceso de aprendizaje para los alumnos de tercer grado de primaria, corresponde al llamado cuadrado mágico. En este punto, el alumno podría considerar a este pasatiempo como ya muy visto. Sin embargo, él mismo observara su flexibilidad, al involucrar en su solución no sólo números naturales, sino también números racionales, además de opera-ciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece el dibujo de un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que, al ser sumados en ren-glones, columnas o diagonales, dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mágico plasmado por el artista alemán.
Melancolía del pintor alemánAlbrecht Dürer.
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Este cuadrado satisface además que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34. Dürer logró asimismo introducir en las columnas centrales
del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año en que se realizó la obra). Grandes matemáticos, como Euler y Cayley, descubrieron que los cuadrados mágicos
eran entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno, conocido como el cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra). Por su parte, Euler construyó un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado más adelante).
Estudiar el cuadrado mágico permite al alumno reforzar los métodos de conteo. Invo-lucra además aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos, de tal forma que se obtenga lo deseado.
Este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma, pero podemos concluir que en su solu-ción también pueden utilizarse las operaciones de resta, multiplicación y división. En la literatura, puede encontrarse un sinfín de información de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos ti-pos de cuadrados mágicos. Estamos interesados en inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance a la utilidad del cuadrado mágico. Usaremos algunos procedimientos elementales para observar que la aplicación de éste tiene tal al-cance.
Nivel
Las actividades implementadas para el tercer grado permiten a los alumnos reforzar sig-nificativamente las operaciones de suma y resta con números naturales de hasta cuatro cifras, es decir, utilizaremos unidades, decenas, centenas y unidades de millar. Además se involucran las operaciones de multiplicación con números terminados en ceros, la cons-trucción de series numéricas y la operación de división. Pondrán en práctica métodos de razonamiento que implican combinaciones de operaciones (que permiten obtener una solución), utilizando números naturales y números racionales.
Usaremos el cuadrado mágico para obtener la suma de cierto tipo de series de núme-ros. Abordaremos la generalización del cuadrado mágico de 3×3, el cual nos permitirá discutir un procedimiento aplicable (pero muy laborioso) para el caso del cuadrado má-gico de 4×4. En el caso del cuadrado de 3×3, el método permite hallar la generalización de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo. A su vez, aplicando este método podemos concluir por qué no existe un cuadrado mágico de 2×2, cuya solución no sea la trivial. Podremos dar respuestas a preguntas como, por ejemplo, si utilizamos los primeros nueve números naturales ¿por qué en el cuadrado mágico de 3×3 la suma debe ser 15? Justificaremos además ¿por qué en el de cuadrado mágico de 4×4, la suma debe ser debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 números naturales en su solución?, o ¿por qué en el cuadrado mágico de 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, la suma debe ser 260? Podremos garantizar finalmente que cualquier cuadrado mágico admite siempre una solución (conclusión obtenida a partir de un método algebraico elemental; aquí hace-mos referencia a esa conclusión y no al procedimiento, el cual es realmente laborioso).
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La implementación del cuadrado mágico en está forma tiene la intención de servir al maestro como una herramienta auxiliar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de algu-nos temas durante el tercer grado.
Cuadrado mágico, el juego clásico
Describamos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la si-guiente situación:
• Considere los números del 1 al 9 y utilice la matriz cuadrada de tamaño 3×3, como se muestra en la figura, La intención es colocar lo números de tal forma que al realizar la suma en las direcciones horizontal (renglones), perpendicular (columnas) y en ambas diagonales el resultado sea 15. Puede verificarse que una solución es:
La pregunta natural que surge es: ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En caso de considerar que los valores que pueden utilizar son números reales, la respuesta es: una infinidad. El siguiente método permite hallar tales cuadrados mágicos.
A continuación discutimos un método de solución general para el cuadrado mágico de tamaño 3×3, pero hacemos hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maestro, con la intención de que él pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño.
El método que utilizaremos aplica sistemas de ecuaciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una
Más adelante, podemos garantizar que además esta solución es úni-ca, salvo rotaciones y reflexiones.
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ecuación en una incógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, además de abordar algunos métodos de solución) y del método
de eliminación que se aplica en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos in-cógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas
de n ecuaciones lineales en m incógnitas. Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Se trata sin duda del más poderosos método para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además su implementación computacional es la más eficiente.
Consideremos el cuadrado mágico de 3×3, pero supongamos que se desea encontrar una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que se cumpla la condición estipulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siem-pre es 1) y se satisfaga además que su suma sea n. Tenemos la siguiente situación:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecuacio-nes lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal):
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría se refiere a este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De esto concluimos entonces que hay una in-finidad de cuadrados mágicos. Aplicando el método de eliminación gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solución a la forma escalonada reducida, obtenemos que la solución del mismo queda descrito por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
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Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i. Si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico que se muestra al inicio de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obte-nemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras soluciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución de éste, los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿por qué la suma debe ser 15? Al sumar las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones, obtene-mos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3n
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmutativa) de los primeros nueve números naturales. Un simple cál- culo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedi-miento (que aplicaremos en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma as-cendente, es decir
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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• Subdivida los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada blo-que debe ser 15. Obtenemos así lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sistema 2 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presen-tada al inicio de esta sección.
Podemos concluir además que si nosotros consideramos a n=15 en el sistema de ecua-ciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos dife-rentes soluciones para cada pareja de números que se den. Por ejemplo si h=8 e i=6, podemos verificar que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cuadrado mágico, no se restringe al conjunto de los números naturales. Este último cuadrado nos muestra el nú-mero 0 (cero), que más adelante conoceremos como la identidad aditiva.
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Aplicaciones
Analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con números naturales o en-teros positivos. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de ejemplos es infinito.
Un sencillo planteamiento basado en el análisis anterior nos permite concluir por qué no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 que no sea trivial (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial. Concluimos que, en el caso del cuadrado 2×2, la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estudiarlo). Para el caso del cuadrado mágico de 3×3, la solución trivial para n=15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5.
Ejercicio 1
Puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales y los ordene en forma ascendente o descendente. En este punto, aprenderá a diferenciar los números entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura:
Los ejercicios enlistados a continuación se exponen en forma gradual, con la in-tención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
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Solicite que obtenga, de ser posible, la suma de estos números, si no, basta con solicitarle que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque
de estos su suma sea 15 (aplicación de cálculo metal). Después indíquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, en la forma en que se le ordene (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Luego pídale que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indicarle un numero en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le indica). Debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considerado previamente. Finalmente, considere todas las combinaciones de sumas que determina el cuadrado mágico. En este punto aplique cálculo mental. La siguiente figura ilustra una solución que es equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
El alumno de tercer grado observa así el uso de orden en una serie numérica, los con-ceptos de antecesor y sucesor, el valor posicional y la construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Además se utiliza de forma natural la multiplicación de cantidades con números ter-
Puede considerarse la siguiente modificación: los dígitos asociados describen de-cenas, centenas o unidades de millar, lo cual permite obtener un cuadrado mági-co para decenas, centenas o unidades de millar. En el primer caso, obtendríamos un cuadrado mágico cuya suma debe ser igual a 15 decenas, equivalente a 150 unidades. En el segundo caso, obtendríamos 15 centenas, equivalente a 1500 unidades. Y en el tercer caso, obtendríamos 15 unidades de millar, equivalente a 15000 unidades.
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minados en ceros.
Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, de ser posible, dividan al mismo por 3 para obtener n (o indique el numero a considerar) o solicite que extraigan del grupo de las 25 fichas, los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de él, el antecesor del antecesor de él, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor del número, el sucesor de su sucesor, y así sucesivamente).
Ahora separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio seguimos trabajando con enteros positivos y seguimos aplicando el concepto de serie numérica; más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
Puede plantear como ejercicio adicional el siguiente: considere las fichas de la 1 a la 17 y pregunte a los estudiantes por qué bajo la condición de ser el número solicitado múl-tiplo de tres y tomando en consideración las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permiten obtener 9 cuadrados mágicos diferentes y que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Veamos un ejemplo: Para n=21, obtenemos el valor de 7. Las fichas requeridas son:
Puede aplicarse la implementación discutida en el ejercicio 1 de esta actividad, es decir, utilizar decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los núme-ros naturales obtenidos. En este caso, estaremos utilizando el concepto de serie aritmética (se incrementa en términos de decenas, centenas o unidades de millar, según sea el caso). Se involucra además el concepto de múltiplo de 10, 100 y 1000, equivalentemente a la multiplicación por cantidades terminadas en ceros.
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El cuadrado mágico correspondiente es:
Ejercicio 3
• Obtengan el cuadrado mágico cuya suma es 27 unidades (decenas, centenas o uni-dades de millar) y que está conformado por 9 números naturales consecutivos. Ahora, obtengan un cuadrado mágico con la misma condición, pero sin la restricción de que los números sean 9 enteros consecutivos. Por ejemplo, proporcione los números considera-dos en el cuadrado mágico. Solicite que construyan el cuadrado mágico correspondiente. Puede verificar que si en el sistema de ecuaciones anterior reemplazamos h e i, para 5 y 7, respectivamente, obtendríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
3
9
13
15 5 7
11
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Para los casos siguientes, analice los valores asignados a h e i. Obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
Si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sis-tema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente. Además estas soluciones describen series aritméticas.
• Realicemos finalmente sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico a considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyendo posteriormente por la ficha correspondiente el resultado de esta operación y respete la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
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Claramente, observamos que este es de nuevo un cuadrado mágico. Ello a su vez nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
En esta actividad, el maestro debe tener en consideración que las soluciones a los cuadrados mágicos deben involucrar únicamente números naturales. Por esa razón se le recomienda que realice los cálculos correspondientes, para que esto ocurra y además facilite los números que han de utilizarse en cada una de estas actividades.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir, sumas, restas y multiplicaciones son aplicables a un ente matemático llamado matriz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
Observación:
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan números fraccionarios en la construcción del cuadrado mágico. Para esta actividad se utilizan las fichas con denominadores 2, 3 y 4 del material didáctico. Sin embargo, para presentar algún tema en particular, el maestro puede anexar fichas con distintos denominadores, según convenga. Recordemos que in-trodujimos una restricción en la construcción de los cuadrados: entre los elementos de la sucesión numérica la diferencia (o distancia) entre dos números consecutivos es 1 (serie aritmética). No obstante, en los ejercicios que se proponen más adelante ya no hay restric-ciones. En esta aplicación consideraremos cantidades fraccionarias (propias e impropias) con el mismo denominador común para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mínimo común múltiplo. Por tal razón, esta actividad puede aplicarse a los alumnos desde tercer grado, considerando obviamente las respectivas restricciones en la aplicación para este grado.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones. Pida a los alumnos que ex-traigan todas las fichas con denominador 2 y que son mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y ordénelas en forma ascendente o descendente. Así por ejemplo, la disposición ascendente es:
Ejercicio 4
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Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primero y último tér-mino, consecutivamente. Después solicite que realicen la suma de todos estos términos. Al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que, para hallar tal suma, el problema se reduce a sumar los numeradores, obteniendo así:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en la expresión anterior estamos obteniendo la suma de los primeros nueve números impares (obtenemos así un ejemplo de serie aritmética, en donde la dife-rencia entre dos términos consecutivos es 2). Solicite que escriban el término general de la serie numérica y obtengan un cuadrado mágico cuya suma sea 27/2. Pida que justifi-quen esto.
Compare este cuadrado mágico con el cuadrado mágico para n=27. Para ello considere la tabla del dos.
Pregunta:
• ¿Existe alguna similitud entre ambos cuadrados mágicos?Justifique su respuesta.
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Podemos aplicar ahora el procedimiento anterior para las fichas con denominador 3. Solicite las fichas
Una de las cuestiones que deben considerarse es la multifuncionalidad de las fichas para los alumnos del tercer grado, ya que una de las actividades para implementar consiste en que agrupen todas las fichas y separen cantidades enteras (denominador 1) y fracciona-rias. Estas últimas deben separarlas en bloques con denominador común y ordenarlas en forma ascendente y descendente. Luego deben tomar dos grupos de fichas y colocarlas en orden. Lo anterior pueden aplicarlo a tres y finalmente a los cuatro grupos, o también, por ejemplo, separar en fracciones propias o impropias, o bien combinar algunas fichas, para que ya sea en suma o resta obtengan otra del grupo de ellas. Y en este punto, debe solicitarles una operación entre fichas que incluya suma o resta (multiplicaciones, divisiones) de tal forma que el resultado no se encuentre en ninguna de las fichas del juego.
Regresando al ejercicio, solicite que obtengan el correspondiente cuadrado mágico, el cual debe ser:
Podemos relacionar la serie numérica 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, con el cuadrado mágico anterior. Justifique su respuesta.
Ejercicio 5
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Indique las actividades desarrolladas para obtener el siguiente cuadrado mágico:
Consideremos las siguientes observaciones para los tres últimos ejemplos (y que po-demos aplicar en general a todos los ejemplos presentados). Con respecto al ejercicio 4, un pequeño análisis nos permite concluir que para resolver el mismo era suficiente con estudiar el numerador, y con esto obtener un cuadrado mágico cuya suma es 27. Así, obtenemos un cuadrado mágico que es distinto al que podemos obtener utilizando las técnicas de nueve números consecutivos. Sin embargo, si sustituimos en h e i los valores 5 y 7, respectivamente, en el sistema de ecuaciones 2 estudiado al principio, obtendríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
Para el caso de la fracción con denominador 3 y 4, obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
Ejercicio 6
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Si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sis-tema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
• Realicemos sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motiva-das por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico a considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyendo posteriormente el resultado de esta operación por la ficha correspondiente y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
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Ahora, en vez de sumar, pida que resten el número 12 al cuadrado mágico anterior. Solicite que indiquen cuál sería la dificultad de realizar esta operación. El alumno debe concluir que el conjunto de números naturales utilizado es insuficiente para resolver este sencillo problema. Cuestione, entonces, si resulta insuficiente el conjunto de números naturales para obtener todas las soluciones que involucran cálculos numéricos.
Muestre que la solución a lo anterior la describe el siguiente cuadrado mágico, y que para su construcción se requiere el uso del cero (la identidad aditiva de la suma) y los nú-meros negativos, equivalentemente los inversos aditivos de los números naturales.
• Claramente observamos que estos son cuadrados mágicos. Esto a su vez nos sugiere la siguiente implementación con respecto a multiplicaciones y divisiones, como a conti-nuación se muestra:
Aplique lo siguiente: divida cada ficha entre 3, reemplace la ficha por la correspon-diente solución de esta operación, respetando como siempre la disposición de la misma en el cuadrado. Obtenemos así, con las correspondientes simplificaciones, un cuadrado mágico, como el siguiente:
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El cuadrado mágico de 4 x 4
Al inicio de la sección, mencionamos un cuadrado mágico plasmado por el pintor alemán Dürer. Trabajaremos sobre él, para obtener algunos ejemplos de cuadrados mágicos, apli-cando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Sin embargo, ilustraremos parte de la dificultad (lo laborioso) de intentar obtener una solución general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mágico de 4×4, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incógnitas. Tal situación se ilustra a continuación:
Hemos observado algunas operaciones básicas sobre cuadrados mágicos que se aplican a cualquiera de éstos. Hasta este punto, hemos abordado algunos casos par-
ticulares. Los ejercicios que incluye esta guía incorporan combinaciones de números enteros positivos (naturales) y fracciones positivas.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir sumas, res-tas, multiplicaciones y divisiones, son aplicables a un ente matemático llamado matriz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
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Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadra-do mágico. Obtenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones 4
Consideremos asimismo que, por ejemplo, el cuadrado mágico mostrado al inicio de esta discusión satisface además las siguientes ecuaciones (el cuadrado mágico de Dürer adiciona al menos las siguientes condiciones: los cuatro términos del interior, los cuatro términos de las esquinas, los términos 3, 2, 15, y 14, así como los términos 5, 9, 8 y 12 suman, respectivamente, 34; esto adiciona cuatro ecuaciones más al sistema inicial y aun con éstas el sistema tiene una infinidad de soluciones):
Lo anterior implica que el sistema sería ahora un sistema de 14 ecuaciones en 16 in-cógnitas (aun así el sistema admite soluciones no triviales). Es posible observar que al in-tentar aplicar el método de eliminación gaussiana, aun aplicando la notación matricial, se necesita un número considerable de operaciones elementales para poder llevar a la matriz del sistema a su forma escalonada reducida (la matriz de coeficientes aumentada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incógnitas, cuyo tamaño es de 10×17). Requerimos para ello la utilización de un programa numérico, aunque el maestro puede consultar algún texto de álgebra lineal, estudiar el método con mayor detalle y tener mucha paciencia y tiempo para resolver el sistema.
En este punto, reiteramos lo dificultoso que es resolver un cuadrado mágico de tama-ño m × m, con m como un número natural mayor a tres. Puede ser que el alumno cuestione la importancia de una generalización de esta natu-raleza. Debemos explicarle que el interés reside en la implementación de diversos métodos de solución utilizados para resolver un problema de esta índole, y que los mismos tienen una aplicación en diversos campos de estudio.
También debemos dar respuesta a otro tipo de preguntas acerca de este cuadrado mágico. Por ejemplo ¿por qué al utilizar los 16 primeros
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
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números naturales, el cuadrado mágico debe satisfacer la condición de que la suma sea 34? Para ello, basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16
números naturales, obtenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones, nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mis-mo coinciden con la suma de los primeros 16 números naturales. Luego, debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir así que para un cuadra-do de 5×5, si consideramos los 25 primeros números naturales, la suma en el cuadrado mágico es 65; para un cuadrado de 6×6 la suma es 111, si se consideran los 36 primeros números naturales, y así sucesivamente).
Ejercicio libre 1
Obtengan los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n=18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su construcción nueve enteros consecutivos. ¿Puede construir el cuadrado mágico correspondiente para n=12 que cum-pla con las restricciones?
Divida los cuadrados mágicos entre 2, 3 y 4, y obtenga las soluciones correspondientes utilizando números fraccionarios. Distinga las fracciones propias e impropias. Considere otros ejemplos con diferente denominador y utilizando los sistemas de ecuaciones.
Ejercicio libre 2
Obtengan los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n=21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construcción valores de h e i que el maestro proponga y el sistema de solución descrito por el sistema de ecuaciones 2. Debemos de considerar que las soluciones involucren únicamente números naturales.
Los ejercicios de la siguiente sección tienen como objetivo aplicar las operacio-nes de suma, resta, división o multiplicación al cuadrado mágico de Dürer. Se sugiere además realizar ejercicios para el cuadrado mágico de 3×3.
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Ejercicio libre 3
Obtenga tres cuadrados mágicos distintos para n=21.
Ejercicio libre 4
Obtenga, a partir del cuadrado mágico de tamaño 4×4, cuadrados mágicos para los va-lores de t siguientes:
{102, 210, 340, 480}
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 3×3, es decir, puede sumar, restar, multiplicar, según sea el caso, y más aún, aplicar com-binaciones de operaciones al cuadrado mágico, aunque se recomienda que se haga una a la vez.
Ejercicio libre 5
En el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, ¿cuál es el valor de n?.
Ejercicio libre 6
Hallen la suma de los primeros100 números naturales.
Ejercicio libre 7
Construyan dos cuadrados mágicos distintos, colocando uno seguido del otro, uno sobre otro, de tal forma que las fichas sumen o resten (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas). El alumno obtiene así como resultado un cua-drado mágico.
Ejercicio libre 8
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mágicos (todos obvia-mente del mismo tamaño).
Ejercicio libre 9
El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos. La dificultad de los mismos debe estar en función del nivel de enseñanza de los alumnos.
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Ejercicio libre 10
Proporcione un ejemplo de un cuadrado mágico de tamaño 2×2, tal que su suma sea 16.
Ejercicio libre 11
Proporcione un ejemplo de un cuadrado mágico donde un valor se repita al menos 2 veces en el mismo.
Ejercicio libre 12
Utilizando el cuadrado mágico clásico, considere 9 números que satisfagan la condición para determinar un cuadrado mágico. Colóquelos en forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas, forme dos líneas respetando el orden indicado en los números (ascendente). Reemplace la posición del número 1 en el cuadrado clásico, por el número que se localiza por debajo (o arriba) de él en la otra línea. Realice lo mismo con la posición de la ficha 2, y así sucesivamente, hasta completar la operación con los nueve números. ¿El cuadrado obtenido, después de realizar este pro-ceso, es mágico?
Ejercicio libre 13
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mágico de 4×4, y obtendrá que el cuadra-do correspondiente es mágico.
Ejercicio 14
Complete los siguientes arreglos de números, obteniendo las sumas en las direcciones horizontales, verticales y diagonales.
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Ejercicio 15
Obtenga las sumas de los siguientes arreglos (puede considerar unidades, decenas o cen-tenas), ya sea horizontal, vertical o diagonalmente. Extraiga los números localizados en diversas posiciones y ordene.
Ejercicio 16
Construya cuadrados mágicos, utilizando decenas y centenas.
Benjamin Franklin4 no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mismo se muestra). Utilizó en su construcción los primeros 64 números naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila sume 260; deteniéndose a la mitad de cada una da 130. Trazan-do una línea diagonal de puntos se obtienen 260. Las cuatro esquinas más los cuatro números de en me-dio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.
4 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de Estados Unidos de América, junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
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El cuadrado del caballo
Leonhard Euler es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. Él construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra al lado y que utiliza los primeros 64 números na-turales. Con base en lo previamente discutido no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es de 260.
Este cuadrado mágico tiene ade-más la siguiente característica: al detenerse a la mitad de una fila ho-rizontal, el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empie-za sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en or-den numérico.
Podemos utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!
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Pitágoras
sin palabrasLas siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipulación, com-paración, conteo y estimulación de los procesos de razonamiento, ya que el alumno rea-liza comparación entre objetos, agrega o quita objetos, etc. Además se abordan temas relacionados con geometría. Con estos conocimientos básicos obtendremos construc-ciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importe recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desarrollar estas actividades.
La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, según lo considere conveniente.
Asociar facilita responder
El conteo nos permitir abordar temas matemáticos más complejos. El alumno de tercer grado ha desarrollado, de manera más formal, la habilidad de contar. Podrá entonces con-cluir que puede utilizar la habilidad de contar, para determinar cuándo dos colecciones de objetos contienen la misma o diferente cantidad de elementos, sin requerir de compara-ciones directas entre estas colecciones. Lo siguiente permite al alumno determinar entre dos colecciones, cuál tiene más, menos o la misma (igual) cantidad de objetos. Esto sin la necesidad de saber contar o enumerar. Para ello, sólo basta asociar los elementos de un grupo con los del otro. Sin embargo, al asociar a estos elementos términos de series numéricas, facilita conclusiones. Debemos aclarar que, en este caso, la serie numérica utilizada corresponde a los números naturales y satisface la condición de que entre dos números consecutivos la diferencia es siempre 1.
Integre equipos de cuatro alumnos, subdivídalos en dos y asigne un nombre para cada uno. Entregue a los mismos diferentes cantidades de cuadriláteros iguales (puede utilizar otras piezas del material didác-tico como, por ejemplo, los cubos de tamaño 1×1×1 o las regletas, según requiera la actividad). Pida que los depositen sobre la mesa y formen dos grupos de cua-driláteros o cubos, sin contar, como se muestran en la siguiente figura:
Ejercicio:
Actividad 11
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En el primer grupo de las figu-ras anteriores distinga entre los dos
grupos; por ejemplo, llame a uno el grupo A y al otro el grupo B. Tome un
elemento de grupo A y apílelo sobre un elemento del grupo B, de forma tal que uno cubra al otro completamente (puede realizarlo con orden o sin orden). Repro-duzca el paso anterior hasta utilizar todos los elementos del grupo A. En este caso, como lo muestra la figura, el grupo A tiene menos elementos que el grupo B, pues los elementos del grupo A se terminaron y no cubrimos a todos los elementos del grupo B.
En el segundo caso, ambos grupos tienen el mismo número de elementos. La figura muestra que los elementos del grupo A permiten cubrir a los elemen-tos del grupo B, y no hay piezas sobran-tes en ninguno de los grupos.
En el último caso, hay más elementos en el grupo A, pues cubrimos a todos los elementos del grupo B y nos sobran ele-mentos del grupo A (tal como lo muestra la figura).
Es así como hemos analizado los tres casos posibles. Esto facilitara más adelante abor-dar los conceptos de mayor que, menor que o igual, además de visualizar que sólo puede ocurrir una y sólo una de las situaciones anteriores.
Podemos modificar la actividad anterior. Por ejemplo, considere piezas de diferentes tamaños, arme dos grupos y pregunte ¿cuál grupo tiene más? ¿El tamaño de las piezas modifica la respuesta? Recuerde al alumno que se está considerando solamente el número de piezas en cada grupo y no la característica de las piezas.
Pídales, además, que proporcionen numéricamente el total de piezas en cada caso. ¿Se modifican las conclusiones obtenidas previamente? Al utilizar el valor numérico ¿qué criterio se usa para obtener la conclusión?
Asociar el valor numérico que corresponde al número de piezas que contiene cada conjunto permite, sin necesidad de relacionar conjuntos y determinar cuál tiene más objetos o si tienen la misma cantidad.
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Medición
Tome los tres cuadriláteros de diferentes tamaños o los tres triángulos distintos (isós-celes) del tangram, coloque uno sobre otro en forma descendente (es decir de mayor a menor) tal como se muestra en la figura:
Ahora ordene las piezas, considerando la longitud o tamaño longitudinal del lado co-mún de las piezas. Para esto, asocie al mismo el valor numérico del entero más próximo a dicha longitud. Puede utilizar una regla graduada en centímetros o utilizar los cubos de tamaño 1×1×1, los cuales tienen un centímetro en cada lado del cuadrado (o tabletas, según requiera). Ordene en forma ascendente y luego descendente.
Considere la siguiente variante para esta actividad: solicite a los alum-nos que utilicen un cordón para cada pieza, de forma tal que su longitud coincida con el perímetro de ésta. Extienda la misma y compare las lon-gitudes, ya sea de manera visual, o mídala utilizando para ello el entero más próximo a dicha longitud. Obtenga conclusiones.
El alumno debe concluir que, independientemente de utilizar cual-quiera de estos dos métodos, la respuesta es la misma. ¿Qué ocurre si comparamos áreas? ¿La conclusión es la misma?
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿El orden ascendente en función del valor numérico correspondería al orden se-gún el tamaño visual de la pieza?• Si realizamos lo mismo para los demás lados comunes de las piezas ¿la disposición es la misma?• Si no consideramos la relación de los lados comunes, sino que realizamos todas las diversas combinaciones posibles ¿obtenemos algunas otras disposiciones? • En caso afirmativo, muestre dichas disposiciones.
Actividad 12
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Se parece a Pitágoras
1.- Solicite a los alumnos que tomen cuatro cuadriláteros del mismo tamaño, o propor-cione los mismos a equipos de dos integrantes. Indique que armen dos cuadrados, uno hueco y el otro no. Tal como se muestra en la figura siguiente:
Recuerde a los alumnos que la pieza armada recibe el nombre de cuadrado. Pida que cada miembro del equipo arme uno de ellos. Por ejemplo, puede solicitar que armen el cuadrado sin hueco y que coloquen todos en orden ascendente o descendente.
• Haga lo mismo con los cuadrados huecos. Solicite que unos armen un cuadrado con hueco y otros el cuadrado sin hueco, y que los coloquen según usted lo indique.
Solicite al alumno que arme otro tipo de figuras y las muestre a sus compañeros.
Ejercicios:
Actividad 13
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• Solicite al alumno arme otro tipo de figuras, y muestre estas a sus compañeros.
2.- Con 4 cuadriláteros iguales construya el cuadrado sin hueco correspondiente. A partir de estas piezas construya otras figuras. ¿Qué características tienen dichas figuras? ¿Las áreas que cubren son las mismas? Justifique su respuesta.
3.- Solicite que armen el cuadrado con hueco y respondan lo siguiente: ¿qué forma tiene el hueco?
4.- Considere todos los cuadriláteros y forme los 3 grupos distintos en función de su tamaño. ¿Qué grupo tiene más? Justifique su respuesta.
5.- A partir del ejercicio 3, dé diversos ejemplos donde los grupos tengan distinta canti-dad de elementos, ¿Hallaron 3 combinaciones diferentes? Compare los elementos de las mismas e indique cuál grupo tiene mayor o menor cantidad.
• Una actividad adicional es la siguiente: el área que posee el cuadrado formado por los cuadriláteros es cuatro veces el área de cada uno de éstos que lo conforman. Justifique su respuesta. Equivalentemente, el cuadrilátero tiene un área que es la cuarta parte del área del cuadrado que construye. Por ejemplo, si construimos un rectángulo a partir de dos cuadrados iguales, concluimos que el área del rectángulo es el doble del área del cua-drado o, equivalentemente, el área del cuadrado es la mitad del área del rectángulo. Más aún, el rectángulo tiene ocho veces el área del cuadrilátero que forma al cuadrado que, a su vez, forma a este último o, equivalentemente, el cuadrilátero tiene un área que es la octava parte del área del rectángulo, y así sucesivamente. Podemos implementar esto con el tangram, y obtendremos muchas variantes, ya que podemos construir medios, tercios, cuartos, etcétera.
Preguntas:
• ¿Qué forma tienen las figuras que armó? • ¿Qué otras disposiciones propone? • ¿Qué sucede si agrega más piezas al grupo de piezas originales? • Con 5 piezas iguales ¿pueden construir un cuadrado? • Con 6 piezas iguales ¿pueden construir un rectángulo?
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Del tangram a Pitágoras
Utilizaremos los dos tangrams. Permita a los alumnos manipular las piezas de un tan-gram. Indique que mencionen el nombre de cada una de las piezas. Con el primer tan-gram construya un cuadrado y con el otro construya dos cuadrados del mismo tamaño (mencione que para armar uno de los dos cuadrados se utilizan dos piezas iguales, las restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cua-drados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor. ¿Por qué?
Ahora, solicite a cada equipo que arme los cuadrados construidos. En caso de dificul-tad, el maestro debe de apoyar al alumno.
Considere al cuadrado más grande como una unidad.
Ejercicio:
a)
b)
Preguntas:
• ¿Qué cuadrado es más fácil de armar?• ¿Cuál es el más difícil? • ¿Qué te parece la actividad? • ¿Qué figuras planas constituyen al tangram?• ¿Puedes armar un rectángulo con todas las piezas del tangram?• ¿Qué te parece esta actividad?
Actividad 14
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Ahora invierta la pregunta: si el área del triángulo isósceles pequeño es una unidad cuadrada ¿cuántas unidades cuadradas tendrá el área de cada uno de los cuadrados construidos?
Solicite que construyan sus propias figuras, a partir de las piezas de un tangram o utilizando las tarjetas que armen las figuras que se sugieren. ¿El área de cualquier figura armada, utilizando el tangram, es la misma? Justifique su respuesta. Construya o dibuje figuras donde el área sea mayor o menor al área que cubren las siete piezas del tangram.
Tome los cuadriláteros y las piezas del tangram, ordénelos primero en función de la longitud y después del área, de menor a mayor.
El problema de comparar la superficie de dos figuras por superposición y recubri-miento permite al alumno de primaria estudiar de manera indirecta al Teorema de Pitágoras. Cuántas veces hemos oído mencionar la siguiente frase: “Pitágoras no se equivocó”, sin referirnos de manera explícita al resultado como tal. El teorema lleva su nombre porque la tradición es unánime en atribuir a Pitágoras el descubrimiento independiente del teo-rema del triángulo rectángulo que ahora lleva universalmente su nombre, y que enuncia lo siguiente: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Como se mencionó en un párrafo anterior, el problema de com-paración entre superficies nos permite hallar algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras. Las mismas descansan en esa idea geométrica. Reiteramos que no es necesario mencionar el teorema, pues el alumno, a partir de tales actividades, podrá obtener sus propias conclusiones, equivalentes a lo que enuncia el teorema.
Preguntas:
• El área de cada uno de los otros dos cuadrados construidos con 2 y 5 piezas, respectivamente, ¿qué área representan del cuadrado grande? • Responda lo correspondiente para cada una de las piezas.
Preguntas:
• ¿Cuántas piezas tienen la misma longitud? • ¿Cuántas la misma área?Obr
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Demostrando a Pitágoras
Para efectuar esta actividad utilizaremos los 36 cuadriláteros. Solicite a los alumnos que los separen en grupos del mismo tamaño (o color). Independientemente del criterio de selec-ción solicitado (color o tamaño), cada grupo contiene 12 piezas iguales. El alumno debe concluir así que, en ocasiones, existen objetos que pueden elegirse con diversos criterios y obtener aún así los mismos resultados (poseen más de una característica común).
Tome 8 piezas iguales y arme los cuadrados de la actividad 13, utilizando 4 piezas para cada armado.
Comente al alumno que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño y las áreas que abarcan son distintas, así como su perímetro, no lo es el área que cubre esta última, es la misma. Solicite a los alumnos que justifiquen lo anteriormente expuesto.
El proceso permite obtener 3 cuadrados huecos y 3 no huecos. Una vez cumplido el objetivo, subdividan en 2 grupos a los cuadrados obtenidos: uno formado por los cuadra-dos huecos y el otro no. Pida que los ordenen en forma ascendente o descendente.
En ambos grupos existen piezas que son del mismo tamaño (una debe ser hueca y la otra no).
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Las colecciones tienen la misma cantidad de objetos? • Justifique su respuesta, la cual puede ser numérica o no. • ¿Cuál es la justificación de esta respuesta?
Actividad 15
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Finalmente, pida al alumno que separe la figura formada por los dos cuadrados, forme los dos cuadrados sin hueco y los ordene por tamaño, adjuntado el otro cuadrado en cues-tión. Podemos concluir que al agregar o sumar los dos primeros cuadrados obtenemos el otro cuadrado y que esta es la única combinación posible que satisface tal situación.
Una variante de esta actividad es solicitar a los alumnos que tomen cuatro piezas del mismo tamaño de cada grupo de doce, y construyan tres cuadrados de cada color sin hueco. Esto debe indicarles a los alumnos que es posible construir otro cuadrado pero hueco. Una vez obtenido esto, que los ordenen por tamaño de menor a mayor. Pida que tomen los dos cua-drados de menor tamaño y, a partir de éstas, que construyan un cuadrado. Aquí se desarrollan ha-bilidades como las que se refieren a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diversas combinaciones entre las piezas. En este punto el color de las piezas ya no implica una restricción en la construcción, lo cual puede ser un obstáculo para el objetivo del alum-no (sin embargo, aquí es importante puntualizar que se estimula el razonamiento ya que, a partir de ciertas condiciones, debemos determinar la viabilidad o imposibilidad de lograr el objetivo). Una vez logrado el propósito, se solicita al alumno que coloque una de las piezas sobre la otra.
Si el maestro desea facilitar el procedimiento, puede efectuar toda esta actividad, solicitando al alumno que mire con atención todo el armado y desarmado, para que él mismo lo realice posteriormente.
Solicite a los alumnos que comenten la actividad desarrollada (estamos estimulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá como resultado la obtención de una conclusión).
Preguntas:
• Equivalentemente, ¿abarcan las mismas áreas (no que cubran)? En caso afirmativo sepárelas del resto del grupo• ¿Del grupo de las figuras no huecas, una de éstas puede introducirse en la pieza hueca y cubrir el hueco? En caso afirmativo sepárela y complete la pieza.
Hemos aquí probado el Teorema de Pitágoras, y nunca se menciono.
Observación:
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Pitágoras duplica áreas
En esta actividad, utilizaremos dos tangrams.
1.- Solicite a los alumnos que con el primer tangram construyan un cuadrado y con el otro, dos cuadrados del mismo tamaño (puede indicarles que para armar uno de los dos cuadrados se requieren los dos triángulo grandes, las restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor. ¿Por qué?
Utilicemos ahora uno de los lados de cada cuadrado y construyamos un triángulo, el cual tiene la particularidad de tener dos lados del mismo tamaño. Mencione que un trián-gulo con tales características se llama isósceles.
Construyan las siguientes variantes del Teorema de Pitágoras. Utilicen las piezas del tangram.Solicite a los alumnos que tomen los 2 cuadrados o los 4 triángulos isósceles pequeños o un
cuadrado y 2 triángulos isósceles pequeños. Agregue a cualquiera de las colecciones anteriores un par de triángulos rectángulos isósceles medianos. Construya, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse, tal como se muestra en la siguiente figura:
Ejercicios:
Actividad 16
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2.- Solicite que verifiquen que el área total cubierta por los 2 cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los 4 triángulos isósceles pequeños facilita lo solicitado). Finalmente, como en la actividad anterior, solicite que construyan el triángulo isósceles correspondiente, a partir de las piezas que satisfacen lo previamente solicitado.
3.- Ahora, reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores, utilizando para ello 4 triángulos medianos y 2 triángulos grandes. Nuevamente verificamos Pitágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza si consideramos piezas del tangram gigante.
En particular, esta construcción nos permite conocer un procedimiento para duplicar áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras.
Compare las áreas utilizando fracciones.
Preguntas:
• Considere el cuadrado más pequeño. ¿Cuál es el cuadrado más grande que se puede construir utilizando un solo tangram? • Si utilizamos el tangram gigante ¿cuál el cuadrado más grande que podemos construir?• Si iniciamos con el cuadrado más pequeño ¿cuál es el número de veces que cabe el mismo en el cuadrado más grande que se indica en el inciso anterior? ¿Y en cada paso intermedio?• ¿Es posible construir siempre un cuadrado utilizando dos cua-drados?
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Áreas y Pitágoras
Solicite a los alumnos que con las piezas adecuadas construyan las figuras que se muestran a continuación:
Pregunte al grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento de me-dición (comparación) directa, donde puede usar las regletas o un cordón. Tome ahora el triángulo rectángulo utilizado para efectuar este ejercicio. Muéstreselo a los alumnos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales.
Pida que coloquen dichos triángulos para cubrir la parte del otro cuadrado, poniendo los mismos sobre las figuras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos concluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) a la figura inicial. Acto seguido, solicite al alumno que retire los triángulos del cuadrado y que los coloque en el otro cuadrado, siguiendo las mismas indicaciones que para el primero. Finalmente, solicite que le expresen sus comentarios sobre el procedimiento que se trabajo.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Qué figuras no se cubren con los triángulos?• ¿Cuántos cuadrados hay en el primer dibujo?• ¿Cuántos en el segundo?• ¿Por qué son cuadrados? • Puede utilizar otros 4 triángulos rectángulos, para cubrir el área respectiva del otro cuadrado. ¿Las áreas no cubiertas son iguales?
Actividad 17
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El recíproco de Pitágoras
La parte interesante de esta actividad es que probaremos el recíproco del Teorema de Pitágoras5. Para nuestro propósito, uti-lizaremos los cuadrados que se usaron en la actividad 14. Solicite que utilicen uno de los lados de cada uno de los tres cuadrados y, a partir de ellos, construyan un triángulo. Usaremos ahora una escuadra y mencionaremos que ésta forma la figura plana del menor número de lados rec-tos: el triángulo. Pero con la particularidad de que este triángulo puede colocarse de tal forma que dos de sus lados pueden estar en contacto, a la vez, uno con el piso y el otro con la pared. Es esta característica la que permite llamarlo triángulo rectángulo, es decir posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo construido, uno concluye que el triángulo formado por los cuadrados utilizados en la actividad 13 constituye un triángulo rectángulo.
En función de esto, podemos entonces decir que los triángulos utilizados en la activi-dad 13 son todos triángulos rectángulos.
La conclusión es que todo triángulo rectángulo satisface la condición del Teorema de Pitá-goras y que todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágoras es un triángulo rectángulo.
En la actividad 15 hemos obtenido una demostración formal del Teore-ma de Pitágoras, que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numé-rico, sino que es suficiente con realizar un corte o disección de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El problema se reduce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permite obtener dicho corte.
Ejercicio:
5 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.
Preguntas:
• ¿Los triángulos del tangram son rectángulos? • ¿Los ángulos del cuadrado son rectos?
Actividad 18
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No debemos cortar siempre para construir a Pitágoras
Efectuaremos la actividad anterior, pero utilizando las piezas del tangram, es decir, ha-remos uso del triángulo isósceles. Observaremos que para este ejemplo, a diferencia del anterior, no se requiere hacer de ningún tipo de corte, es decir, no se construye ningún cuadrilátero, sino que los mismos triángulos isósceles funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:
Corta y contruye a Pitágoras
Indique al alumno que tome cuatro triángulos rec-tángulos isósceles. A partir de ellos, debe construir una figura, de tal forma que sea posible obtener el cuadrado de los cuadriláteros de tamaño me-diano. La figura obtenida debe ser como la que se muestra a continuación. El alumno observará que el corte resulta relativamente simple a partir de dicha construcción.
Solicite al alumno que, utilizando regla gradua-da, lápiz y transportador, indique las características particulares del cuadrilátero construido a partir de esta técnica.
Ejercicio:
Ejercicio:
Actividad 19
Actividad 20
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Construyendo teselas a patir de Pitágoras
Aquí se trabajan figuras planas de cuatro lados. Si observamos a nuestro alrededor, vere-mos la importancia de estas figuras. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, los libros, los cuadernos y muchos otros objetos creados por el hombre tienen la forma de cuadrilátero. Esto se debe a que estas figuras se hacen y unen fácilmente sin dejar huecos (ocurre algo similar con los triángulos).
Utilizaremos el tangram. A partir del mismo, solicite a los alumnos que construyan o identifiquen entre las piezas los siguientes cuadriláteros: el cuadrado, el rectángulo, el pa-ralelogramo, un rombo, el trapecio, etc., tal como se muestran en las siguientes figuras:
Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Por ejemplo, los azulejos es las casas son ejemplos de teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre embo-nan sin importar su forma. Construya las teselas que se muestran a continuación:
Solicite que construyan las siguientes figuras:
Ejercicio:
a) b) d) e)c)
a) b)
Preguntas:
• ¿Qué relación hay entre las figuras?• ¿Se parecen?• ¿Hay huecos?
Actividad 21
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Simetrías
Solicite a los alumnos que tomen dos triángulos rectángulos. Pueden utilizar los trián-gulos de 30º y 60º o los triángulos isósceles, como se muestra en la figura. Indique que la línea de unión en ambas figuras determina un eje de simetría de la figura total.
Construya las siguientes figuras e indique cuáles son los ejes de simetría de las mismas.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Qué puede decir de los ejes de simetría? • ¿Cómo divide el eje de simetría a la figura?
Actividad 22
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Muestre las siguientes figuras:
Consideremos ahora los siguientes cuadrados construidos utilizando el tangram. Los cortes determinan ejes de simetría del cuadrado. Este eje recibe el nombre de diagonal del cuadrado.
Preguntas:
• ¿Las figuras anteriores tienen un solo eje de simetría? • ¿El cuadrado tiene un solo eje de simetría? • ¿Todas las figuras tienen eje de simetría?
Preguntas:
• ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado? • ¿Cuántas tiene un rectángulo? • ¿Los triángulos tienen diagonal?
El maestro tiene la decisión de aplicar cada una de estas activida-des en el orden que el considere pertinente, omitir alguna o reali-zar la implementación simultánea de ellas. Además cada ejercicio puede aplicarse a grupos de hasta 4 alumnos.
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Ejercicio libre 1
Considere los siguientes tres cuadrados:
Coloque de mayor a menor (o de menor a mayor) utilizando los criterios de tamaño (área) o color. Puede aplicarse lo mismo a los 36 cuadriláteros.
Para aplicar a los cuadrados, solicite que le proporcionen otro criterio de comparación, a fin de obtener la misma colocación de piezas, según se haya indicado.
Tome dos colecciones de tres piezas de diferente tamaño y coloque primero una de las colecciones de cuadriláteros de menor a mayor, y enseguida de ésta la otra colección, utilizando el criterio de mayor a menor. Solicite que dibujen el eje de simetría de la figura resultante.
Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, considerando las adecuaciones co-rrespondientes en el ejercicio y en las preguntas.
Los siguientes ejercicios pueden modificarse a criterio del maestro.
Observación:
Utilice tres cordones de diferentes tamaños, tales que el contorno de cada pieza se cubra totalmente. Aplique lo mismo para cada cuadrilátero.
Observación:
a)
b)c)
• Considerando los 36 cuadriláteros ¿cuántas colecciones de tres piezas de diferente tamaño se forman?
Actividad 23
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Ejercicio libre 2
Considere cada uno de los tres cuadrados y construya para cada uno un cuadrado de área doble. Puede sugerir al alumno que construya un triángulo rectángulo isósceles. Más aún es posible, bajo este procedimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble de la anterior.
Ejercicio libre 3
Construya los tres cuadrados de interior hueco. Complete cada uno de ellos y complete el correspondiente triángulo rectángulo en cada caso.
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Ejercicio libre 4
Para probar que las figuras de cuatro lados siempre embonan, solicite que dibujen el cuadrilátero que deseen y apilen 12 hojas, de tal manera que la hoja superior contenga la figura y puedan recortarla para obtener 12 piezas iguales. Usen los recortes para hacer el patrón y obtener las teselas correspondientes.
Construyan teselas utilizando triángulos, rombos, paralelogramos, etcétera
Ejercicio libre 5
Construyan las figuras propuestas para el tangram. De ser posible, obtengan las simetrías de cada figura.
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Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular
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