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XXVI.—Las ecuaciones fundamentales y el amorti-guamiento de los sismógrafos.

POR E D U A R D O M I E R Y M I U R A .

INTRODUCCIÓN

La Sismología, durante mucho tiempo, ha sido una cienciaempírica; pero en nuestros días ha progresado enorme-mente, merced á la inteligencia y al entusiasmo de muchossabios, cuyos nombres se omiten por no hacer poco menosque interminable su enumeración..

Estos progresos se refieren principalmente, los unos, á lainvención y perfeccionamiento de los instrumentos de obser-vación, y los más, á la manera de utilizar los datos propor-cionados por estos últimos, desarrollando largos y difícilescálculos, en que intervienen conocimientos de orden supe-rior de Física, Mecánica racional y Cálculo diferencial éintegral.

Según estos estudios, la Sismología instrumental ha lle-gado á tal grado de perfeccionamiento con el empleo deamortiguadores en los péndulos sismográficos, que ya puedeconsiderarse dominado por completo el abstruse y complejoproblema de deducir de los sismogramas todas las caracte-rísticas de los movimientos sísmicos.

Tan así es, que en el próximo Congreso que había de ce-lebrar en San Petersburgo la Asociación Internacional deSismología en agosto y septiembre de 1914 figuraba, entrelas proposiciones inscriptas en el orden del día, que: «L'As-sociation internationale de Sismologie, désirant .iméliorer lesobservations sisrnologiques, émet le voeu que tous les ins-truments destinés á l'étude du mouvement vrai du sol,soient pourvus d'amortisseurs et que l'heure indiquée par

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eux soit régulièrement contrôlée par la réception de signauxradiotéiégraphiques.»

La segunda parte de esta proposición es por completoindependiente de la primera, y con ella está tan conformeel autor de este trabajo, que, por iniciativa suya, todos losobservatorios sismológicos que del Instituto Geográficoy Estadístico dependen se hallan provistos de estacionesreceptoras radiotelegráficas; alguno de ellos, el de Toledo,desde Junio de 1913.

Descartada esta segunda parte, bien claro aparece en laprimera la transcendental importancia que se otorga al em-pleo de amortiguadores en los péndulos sismológicos, comoinmediata consecuencia de la fe que se otorga á las disqui-siciones matemáticas, que parecen establecer sus ventajas.

Todos cuantos en estudios científicos nos ocupamos debe-mos ser entusiastas partidarios de la verdad, cuyo culto, áveces penoso y desagradable, hemos de practicar austera-mente, y, por tal motivo, el autor de este breve trabajo seha creído en la obligación de publicarle, venciendo su natu-ral temor de ser arrollado por la corriente predominante enlos estudios sismológicos; temor tanto mas fundado cuantoque ni desconoce su inferioridad científica ni en su ánimodeja de pesar, con enorme fuerza, la consideración de quepudiera no ser la verdad la que él juzga como tal, ya quepor tanto tiempo estuvo velada para hombres tan eminentesque al lado de ella pasaron sin conocerla.

Pero, haya ó no en ello equivocación, lo cierto es que losactuales estudios sismológicos parecen estar fundados sobrebases falsas y encaminados por derroteros que pudierantraer graves consecuencias para su porvenir, y no seria nihonrado ni digno, en el que así lo creyere, guardarse susideas por miedo de que perjudicara á su nombre el expre-sarlas. Al menos, al publicarlas, tendrá en descargo suyoel haber cumplido con un penoso y arriesgado deber, queexige la indulgencia de los demás.

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Seguramente, al leer el presente trabajo, se maravillaránmuchos que se haya tardado tantos años en caer en lacuentas de ciertos errores que se señalan y que parecenevidentes; pero más se maravillarían si supieran el ímprobotrabajo que al autor le costó formarse idea de ellos y, sobretodo, exponerlos de modo claro y sencillo, despojándolosde la obscura complejidad con que á su espíritu se ofrecían.Decir lo contrario, ó cuando menos callarlo, sería alardearde superiores dotes intelectuales que, desgraciadamente, noexisten.

Si estos errores fueran reales, nadie podrá negar cuántoimportaba ponerlos al descubierto, y si las equivocacionesfueran del autor de este trabajo, muy poco se perdería,porque de una parte iría en buena compañía, ya que laobscuridad de los problemas sismológicos ha hecho querepetidamente yerren, al tratar de él, verdaderas eminen-cias, y, por otra parte, poco supone cuanto pueda sufrir elamor propio de nadie al lado de lo que significa el deseo deser util à los demás.

1. Establecimiento de las ecuaciones fundamentales.—Recordemos que en Sismología se establece la ecuacióndiferencial del péndulo sometido á los efectos de una acele-ración de su eje:

0" + n2 seno -f -^-eos <> = O, [I j

en la quen

n = —- y T el período completo del péndulo;

ô el ángulo formado por el péndulo en movi-,_, , miento con su posición normal;

* / la longitud real del péndulo;x'f la aceleración del eje en el sentido N S

ó E W que registra el sismógrafo, tomada consigno contrario.

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Para facilitar los cálculos se admite que:

sen O = 6

y se obtiene la:

Í3]eos 6 = 1 ' " J

6" _|_ nag + _5_ = o, [4]

que corresponde al péndulo sin amortiguamiento.La ecuación en que entra el amortiguamiento se halla

introduciendo un nuevo término 2 e9', en el que

,_, ( s es el coeficiente de amortiguamiento, y( 6' la velocidad angular,

para establecer que:

Ü"-f 2 s - f l ' - f / z * Q + —= 0. [6]

Por medio de laboriosos y complicados cálculos, cuyaslíneas generales son las de los empleados en el estudio delas vibraciones al establecer la ecuación de la fuerza sin-cronizante de los movimientos amortiguados, se llega a la

f7] • 8 = e-sí [A/cosyf+ /^senyí] +

, xm 11 (i + u * ) \ / l —s*'/(")

sen [p(í_i:) + í],

en la queM y N son constantes de integración indeterminadas y

T + V7«5

y de la cual se suprime el primer término, fundándose en loPEV. ACAD, PE Ci EKCTAS.—XIIT.—Marze, 1915. 41

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rápidamente que decrece el factor e~lt, para llegar endefinitiva a la

fl =1

s e n | / > ( f - 7 ) + 8| [8](1 +«0 V 1 -n*/(«)

en la que representan, aparte de las notaciones ya expli-cadas

I xm el valor máximo de la sinusoide

¡ xmsen (P/ +í) ,

que expresa el movimiento del eje por efecto delterremoto;

Tp

[9]

u =T

en la que Tp es el período de la anterior sinusoide;

p.2 = 1 — ¿2 — 1 —

/z 2

/ / ^ f 2« I2/("> - Ir̂ J !

2 u7 = -̂ - arc. tg. í /z

27T / u« — l

La anterior expresión [8], para el caso en que el pénduloes aperiódico, por el amortiguamiento (e = /z; ¡j.2 = 0), seconvierte en:

lsen [ / > ( / — T ) + 8 ] , [10]

que se incluye en la teoría en que nos ocupamos.Con objeto sin duda de hacer resaltar las ventajas de

esta última, se aplica su sistema de cálculo al caso de noexistir amortiguamiento [4] y se llega á la

Xm 1 [senpf — a sen nf ] , [11]/ « 2 — l

de Ia que se deriva el valor máximo de 6, para sen pi — -(- ly sen «/= — l

Om = £r a 1 » (" + 1)=~ ^-T- [!2]/ u2 — l / w — l

para hacer ver la gran amplitud pendular que correspondea valores de xm muy pequeños cuando u se aproxima a launidad.

Como en el caso de llegarse a la resonancia («= l ysen pt = sen nt) la fórmula [11] aparece bajo la forma inde-

terminada -p:- se establece esta otra en sustitución de ella:

•=-L^!L(sen/7f + pfcos jDf ) , [13]j¿ i

aplicable al caso en que p = n y u =• I.Si se representa por y el valor de la ordenada que regis-

tra el péndulo amortiguado en el sismograma, a un lado uotro de la línea central, correspondiente al ángulo 6, seadmite que, siendo L una constante^

y = ¿e, [14]

y se deduce que

y = xm-^- ~ s en{ / ? ( f — 7) + S j. [15]1 (i + « 2 ) V i -y-2/(")

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Se hace resaltar que [15] es la ecuación de una sencillasinusoide, de igual período Tp, que la del terreno, y aparecela ventaja de que, teóricamente, sean cuales fueren la lon-gitud del péndulo y el periodo del movimiento sísmico,resultan los sismogramas obtenidos sinusoides todas delperíodo Tp, y de distintas amplitudes, según sean los valo-res de las diversas magnitudes, u, y.2, etc., que figuranen [15].

De la [15] se deduce inmediatamente la relación entre lasmáximas ordenadas de las sinusoides del terremoto y delsismograma

y m = xm —. [16]1 (\+u*) \l\-v-* f (a)

que es la utilizada para calcular el valor de la otra incóg-nita del movimiento sísmico, supuesto sinusoidal:

= -j-(\ +u*)\/\-v.*f(ü) ym. [17]

2. Comparación entre las ecuaciones de los sismógrafosprovistos o no de amortiguadores.—Según la teoría aca-bada de resumir, si hay dos péndulos sismográficos com-pletamente iguales, colocados el uno al lado del otro, perouno de ellos tan sólo provisto de amortiguamiento, cuandoocurriera un terremoto, el péndulo sin amortiguar daríaun sismograma cuyas ordenadas cumplirían con la ecua-ción [11], así como la [8] daría las que corresponden en losmismos instantes al sismograma del péndulo sin amorti-guar.

La relación de esas" ordenadas (/9, multiplicada por laescala de ampliación que hubiere en ambos péndulos), se-

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ría en cada instante, por lo tanto, designando por 6 losángulos correspondientes al péndulo sin amortiguar,

ë (l -f u - ) y Í — t*2/(^) sen/7 f — u sen nt ,.,.,7 ~ " a s _ l • sen jp(f_-)qrrj"' l J

que en el caso de ser máximos ambos ángulos, suceso quedesde luego no ocurrirá para el mismo valor de /, se con-vertiría en

6ra • (1 +« s) V'l -*2/(») nqi, |_ iyj6m « 2 ~ 1

de la que resultaría, si ambas ecuaciones fueran compara-bles, como se pretende, que 6m podrá adquirir enormes va-lores en las proximidades de la resonancia, o sea cuando uvale cerca de 1.

Al alcanzarla (u = 1) adquiere em el valor co , cuya in-terpretación es realmente dificil hacer en el caso actual, por-que el describir el péndulo sin amortiguar un ángulo infinitosupone en rigor su indefinida rotación en torno de su eje,y es'to no ocurre, ni puede ser.

Para dar idea de la relación que establece la ecuación (18)entre los ángulos cuando hay o no amortiguamiento, con-viene aplicarla a algún ejemplo numérico.

Suponiendo que en el péndulo amortiguado se ha llegadoa la aperiodicidad (^2 = 0) y que u = 1,001, se obtiene

6 _ 1 + 1,001a senpf— 1,001 sen nt _ô ~ 1,001a—1 sen (p(t — T) -f 5) ~

,-.._ sen p t— 1,001 sen n t= luuu

s&n[p(t— T)-f g j

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cuyo coeficiente todavía habría de multiplicarse por la rela-ción de los senos, que puede dar otro número aún muchomás crecido.

La resonancia perfecta no se alcanzará del modo mate-mático que exige la anterior expresión, sino rarísimas veces,y para comparar los valores de ê y 0 en las proximidadesde ella no es lícito, como se hace en la citada teoría, apo-yarse en la expresión [11].

Y esto no puede hacerse, porque las expresiones de 6 y 5[11] y [10J obedecen a hipótesis distintas, toda vez que enla primera, para su integración, se ha supuesto siempreque 8 = O, y además que para t = O era 6 = 0, mientrasque en [10] S se anulará solo excepcionalmente, y para / = Oel ángulo O no se anulará.

Además, en la práctica, el suponer que las ondas terres-tres hallan en cada caso al péndulo en reposo no puedeaceptarse, porque al iniciarse el sismograma ya está en mo-vimiento, y las diversas ondas que sucesivamente vayan aagitarle le encuentran seguramente fuera de su posiciónnormal ó bien en ella; pero animado de no despreciable ve-locidad.

A esto ha de agregarse que para hacer esa comparacióny deducir ê se ha supuesto que p.2 = 1 ; (s — 0) en la [8], yesto de suponer que un péndulo sin amortiguador está poreste solo hecho sin amortiguar del todo no es lícito admi-tirlo, porque se opone á la realidad.

En los péndulos sismográficos sin amortiguador obranvarias fuerzas retardatrices. Una de ellas es el rozamiautode sus ejes, considerable en los de gran peso; otra es el ro-zamiento de las plumas inscriptoras en los de registro mecá-nico, y otra, que es la que importa para nuestro objeto,se halla en la resistencia que el aire opone á los movimien-tos de los péndulos.

Esta última resistencia, función de la velocidad, no esdespreciable en péndulos de grandes masas, cuya forma,

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muchas veces cilíndrica y cúbica, no es precisamente lamás adecuada para disminuir aquella resistencia.

Verdad es que la cuantía de las masas pendulares influi-rá poderosamente para disminuir el decremento logarítmicodel amortiguamiento; pero de que este último sea pequeñí-simo en los péndulos que no tengan amortiguador, a pasaral límite y admitir que para ellos es nulo, hay el abismo quetodos conocemos, en el que muchas veces se cae para de-ducir consecuencias completamente erróneas.

En realidad, al discutirse si los péndulos han de estar ono amortiguados, ¡o que se hace es discurrir sólo acerca delgrado de amortiguamiento más conveniente.

Por estos motivos, de establecer comparaciones habríande hacerse entre los valores completos de õ y 6, cuya rela-ción sería:

^e-r^«^^*-"(McosTf + fl8en?f) + .gj!L — _ t / | ;-- ^ sen \p(t - T) + 8 ¡Xm 1_

' ( l+a f )Vl - : ¿ 2 / ( a )

(20)

en la que cabría discutir, haciendo hipótesis, acerca de losvalores de ï y E', y, en su consecuencia, de y.2 y u^2 y

de y = y n'¿ — s y y' = y n'2 — e' , dando á e' valores tan

pequeños como se quiera; pero sin llegar nunca al e' = O,que no existe en la práctica.

Podrá entonces aceptarse o no, cuando s sea muy grandey el valor del paréntesis al que multiplica sea conocido, queaquella relación quede reducida a otra de más sencilla ex-presión, cuya estructura diferirá de la establecida en la teo-ría, y á la cual aún le faltaría, para ser aceptable, respon-der al hecho de hallar las ondas de período Tp al pénduloya en movimiento. De todos modos se obtendría una ecua-ción de carácter más general que la [11], queda, cuando

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en ella se introduce la hipótesis de haber desaparecido elmovimiento debido a la acción de la gravedad (n = 0) la

r ? = = J ^ L . P'2 senp/ = — -gg-senpf, ' [21]/ O — p* y I . L J

que es la ecuación de los espacios correspondiente a la ace-leración del eje, y en cambio presenta la que concierne alcaso de desaparecer el movimiento de este eje y subsistirsólo el debido a la aceleración de la gravedad bajo la formaindeterminada:

'i =• O x oo senni. [22]

3. Hipótesis de la ley Sinusoidal del movimiento deleje. - Como se ha visto en el rápido resumen precedente, lateoría de los péndulos sismográficos con amortiguamientoutiliza la hipótesis de que el movimiento del eje del pénduloobedezca a una ley sinusoidal [8] y [9].

En las ciencias de la observación, como es la Sismología,de proceder con toda severidad científica, no debe admitirsehipótesis previa alguna acerca de las magnitudes que setrata de medir. La cuantía y la calidad de las incógnitasbuscadas experimentalmente deben deducirse no más quede los datos de la observación del fenómeno que se estudie.

Las causas de los terremotos pueden ser varias, y en rea-lidad muchas veces más bien son supuestas que verdaderamente conocidas. Las hipótesis de que obedezcan a un solochoque, de duración instantánea o a varios sucesivos, deigual o diversa intensidad, que se sucedan uniformemente,o con desigualdad estén espaciados, y originando cada unoondas diversas, que a veces podrárí cruzarse, o bien la deque el terremoto se debe a esfuerzos tectónicos que origi-nen grandes fallas, producidas, no de una vez, sino en tiem-pos cuya duración puede ser de muchos segundos, hacen

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ver, desde luego, que no debe aceptarse como general nirigurosamente exacta la ley sinusoidal para el movimientosísmico.

A lo expuesto ha de agregarse la heterogeneidad delmedio en qué las ondas terrestres se propagan y el desco-nocimiento en que realmente nos hallamos acerca de la cons-titución interna de la Tierra, para aumentar las dudas acercade esa ley sinusoidal y para aconsejar que al emplearla sólosea haciendo de antemano fundadas reservas acerca de sugeneralidad.

Mejor seria no presuponer que la había y deducirla cuan-do la hubiere, porque si desde luego se da como indudablesu constante existencia y en ella se fundan todos los cálcu-los y razonamientos, de temer es que no conozcamos nuncalas anomalías que en la realiBad han de existir, y cuyo es-tudio sería tan provechoso para el esclarecimiento completodel modo de engendrarse y propagarse los terremotos.

No cabe desconocer, la ventaja que para la teoría antesexpuesta de los sismógrafos tiene la aceptación de esa hi-pótesis; pero ha' de estarse en guardia contra ella y consi-derar también que, aplicada a las observaciones hechas conpéndulo sin amortiguar, podría probablemente proporcionarel período, la amplitud y el retraso o adelanto de fase delsupuesto movimiento sinusoidal del eje de los péndulos.

Por otra parte, basta echar la vista sobre sismogramas depéndulos amortiguados o no, porque en esto que va a decirsepoco se diferencian, para darse cuenta de que sólo rarasveces persiste la igualdad de los semiperíodos y más senota aún la diversidad de ordenadas máximas a un lado yotro de la línea central de las bandas, en gran parte a causade su mayor tamaño relativo, comparado con el que seadopta para las escalas de los tiempos.

Para que no se tilde este juicio de apasionado, se insertaen la figura 1 el trozo cuyo trazado parece ajustarse más alas leyes sinusoidales del magnífico sismograma publicado

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por el eminente sismòlogo príncipe Galitzine en su obraLieber ein neues aperiodisches horizontalpendel mit galvano-metrischer Femregistrierung, y obtenido con el sismógrafo

a

Mz

A

BM

Fiflura <a

amortiguado de registro electro-óptico, inventado por eseilustre sabio.

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Aunque se considere que no perdure la misma ley sinu-soidal en todo el trazado, y juiciosamente, como hace elcitado príncipe, que sólo la parte AM^B corresponde a unasinusoide y a otras distintas sólo también las CM2D, EM.Jy GM4H, la verdad es que se necesita toda la buena volun-tad que a veces tenemos los que con ciertas cuestionescientificas nos entusiasmamos para ver trozos de verdade-ras sinusoides en esos que se han citado, porque ni lostiempos que corresponden a las diversas ordenadas de lospuntos A, Mít B, C, Mìt D, etc., ni la evidente desigual-dad de ellas dentro de cada grupo, consienten admitir aque-la hipótesis.

Si se compara ese trazado con los obtenidos, tanto parapéndulos destinados a registrar la componente horizontalcomo la vertical, colocando esos péndulos amortiguadossobre plataformas, a las que se mueve con arreglo a la leysinusoidal, el contraste es notorio, y por sí sólo demuestraque ni aun para partes reducidas de los sismogramas amor-tiguados cabe aceptar esa ley, puesto que si fuere sinusoi-dal el movimiento terrestre y cierta ia teoría de los péndu-los también serían sinusoidales, a1 menos parcialmente, lossismogramas, como sucede en los obtenidos en el laborato-rio cuando esa ley se cumple.

4. Hipótesis sen 9 = 0, eos O = 1.—Dos de las otras hi-pótesis que se hacen, la de la igualdad del ángulo 6 con suseno y. del coseno con la unidad, analíticamente entrañanun error, cuya medida se halla en los conocidos desarrollos:

f] f i « I J 5 fi 7senesi - j . + [23]

l 1 - 2 - 3 1 -2 .3 .4 .5 1-2 ... 7 L

fií fii fiS

cosfi = l —-l h [24]1 - 2 1 - 2 - 3 . 4 1 - 2 . . . 6

La hipótesis sen 6 = 6, dada Ia pequenez de Ô, sin gran

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escrúpulo puede aceptarse, tanto desde el punto de vista

e 3analítico como desde el mecánico, toda vez que ya

1 ,2 ,3

ha de tener rnuy escaso valor y que se sustituye por elarco /*), realmente recorrido por el péndulo de longitudefectiva /,' el / sen 6 de valor ligeramente más pequeño.

Para aceptar la hipótesis eos O = 1 ya debe haber ma-yores reparos, no sólo por el valor de los términos des-preciados en [24], sino por las consecuencias que puedetraer, contra las cuales ha de estarse siempre muy precavi-dos para no incurrir en grandes errores al desarrollar cálcu-los y establecer consecuencias.

Desde luego estas dos hipótesis están entre sí en contra-

dicción, porque si eos 6 = y 1 — sena<J = 1 , necesaria-

'mente 9 = O, y no podría tener valores diversos el ángulo Oni su seno; pero, además, el entrañar esta hipótesis, eos 6=1,el reposo del péndulo, puesto que O habría de ser siempre O,trae consigo la evidente incongruencia de introducir en unode los términos de las [4] y [6] la hipótesis de que no existeel movimiento a que se refieren.

Podrán aceptarse estas hipótesis para facilitar los cálcu-los, por ser soportables ambas desde el punto de vista ana-lítico, y por absurda que la última aparezca desde el mecá-nico, como, después de todo, se hace en otros estudios; peroserá necesario que contra ellas se esté prevenido y que losresultados finales a que se llegue sean contrastados'con esashipótesis.

Al valor hallado para 6, en el caso de existir amortigua-miento [8], puede dársele esta expresión, poniendo en él elcorrespondiente á/(«):

1 sen!p( í — T ) + 8| =4ßsenC, [25]VV — (4 j*2 — 2)«H- 1

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que, introducido en los desarrollos [23] y [24], dará, paralos errores Es y Ec cometidos al reemplazar el seno por suángulo y el coseno por la unidad, las series

„ AsB"'SQn&C . A*'B>sen°C A"' B1 sen7 C . r„c l¿.Ä = r- ¿O I

1 - 2 - 3 1 . 2 - 3 . 4 - 5 1 . 2 - 3 . , . 7

„ 4 2 .B 2 sen 3 C . y l 4 ß 4 sen*C ^^«sen^ ,£c = 1 \¿l\

1 - 2 1 . 2 - 3 - 4 1 - 2 - 3 . . . 6

(Continuará.)