pontificia universidad católica de valparaíso facultad de...

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Facultad de Ciencias

Instituto de Matemáticas

Propuesta de innovación para abordar el aprendizaje de la proporcionalidad con estudiantes de secundaria, desde la Teoría de Registros de Representaciones Semióticas.

TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE

MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

De: Angélica Andrea Díaz Fuentes

Profesores Guía: Romina Marcela Menares Espinoza

Elisabeth Magdalena Ramos Rodríguez Miguel Alejandro Rodríguez Jara

Patricia Inés Vásquez Saldías Andrea Stephanie Vergara Gómez

2017

Propuesta de innovación para abordar el aprendizaje de la proporcionalidad con estudiantes de secundaria, desde la Teoría de Registros de Representación Semiótica. 2017

Agradecimientos a:

PROGRAMA DE FORMACIÓN DE CAPITAL HUMANO AVANZADO – CONICYT

Por financiar los estudios de posgrados con la finalidad de obtener el grado académico de Magíster en Didáctica de la Matemática.

Año Académico 2017

CONICYT - PFCHA/Magíster Nacional/2017 - 2217225


Agradecimientos a:

La Dirección de Inclusión de la Pontificia Universidad Católica de Chile

Por permitir realizar esta investigación con estudiantes del Programa de Acompañamiento y Acceso Efectivo a la Educación Superior, con la

finalidad de obtener el grado académico de Magíster en Didáctica de la Matemática.

Año Académico 2017

RESUMEN

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1: CONTEXTUALIZACIÓN Y PROBLEMÁTICA

CAPÍTULO 2: ANTECEDENTES

CAPÍTULO 3: OBJETO MATEMÁTICO

3.1 LA PROPORCIONALIDAD DESDE EL SABER ERUDITO

3.2 LA PROPORCIONALIDAD DESDE EL SABER ESCOLAR

3.3 LA PROPORCIONALIDAD EN EL CURRÍCULO

3.4 MAPA CONCEPTUAL DE RELACIÓN ENTRE LOS CONTENIDOS DEL CURRÍCULO

3.5 LA PROPORCIONALIDAD EN LOS TEXTOS ESCOLARES

3.6 ANÁLISIS HISTÓRICO EPISTEMOLÓGICO

CAPÍTULO 4: MARCO TEÓRICO

4.1 ASPECTOS GENERALES

4.2 NOESIS Y SEMIOSIS

4.3 TRATAMIENTO Y CONVERSIÓN DE REGISTROS

4.4 CRITERIOS DE CONGRUENCIA

4.5 JUSTIFICACIÓN Y ELECCIÓN DEL MARCO TEÓRICO

CAPÍTULO 5: MARCO METODOLÓGICO

5.1 TIPO DE ESTUDIO

5.2 DISEÑO

5.3 CONTEXTO Y SUJETOS

5.4 INSTRUMENTO DE RECOGIDA DE DATOS

5.5 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS

CAPÍTULO 6: SECUENCIA DIDÁCTICA

6.1 CLASE 16.1.1 PLAN DE CLASES 16.1.2 ANÁLISIS A PRIORI

6.2 CLASE 26.2.1 PLAN DE CLASES

6.2.2 ANÁLISIS A PRIORI

6.3 CLASE 3


6.3.1 PLAN DE CLASES

6.3.2 ANÁLISIS A PRIORI

CAPÍTULO 7: ANÁLISIS Y RESULTADOS

7.1 ANÁLISIS DE RESULTADOS

7.2 SÍNTESIS GLOBAL DE RESULTADOS

7.3 RESULTADOS PRINCIPALES

CAPÍTULO 8: CONCLUSIONES

REFERENCIAS

ANEXOS

1.1. INSTRUMENTO DE RECOGIDA DE DATOS

1.2. EVIDENCIAS (PRODUCCIONES DE LOS ESTUDIANTES)


RESUMEN

En la presente investigación se busca mostrar la implementación del Estudio

de Clases Japonés, que es útil para abordar proporcionalidad con

estudiantes de secundaria pertenecientes al Programa de Acompañamiento

y Acceso Efectivo a la Educación Superior de la Universidad Católica (PACE

UC). Para lograr el estudio, se utiliza el diseño de una secuencia didáctica

elaborada bajo el enfoque teórico de la Teoría de Registros de

Representación Semiótica, se implementa una de las clases y luego se

realiza un análisis posterior de ésta, identificando los elementos propios de

la teoría, como el tratamiento y conversión de registros.

Los resultados obtenidos muestran que el grupo estudiado es capaz de

lograr abordar la proporcionalidad a partir de diferentes registros de

representación, ya sea realizando una conversión o tratamiento de éstos.

Este hallazgo es relevante, porque al utilizar una metodología innovadora

es visible que los estudiantes pueden comprender el contenido con

diferentes estrategias, y lograr una mayor aprehensión que la obtenida con

una metodología tradicional.


INTRODUCCIÓN

La presente investigación se refiere al Estudio de Clases Japonés (Isoda y

Olfos, 2009), que se realizó sobre la Proporcionalidad con estudiantes de

secundaria pertenecientes al programa PACE UC. El Estudio de Clases

Japonés, corresponde a un proceso en el que los docentes trabajan en forma

colaborativa en sus prácticas pedagógicas (Mena, 2007).

Este Estudio consiste en abordar la dificultad que tienen los estudiantes para

trabajar la proporcionalidad en sus distintos registros de representación (en

el sentido de Duval), tal como lo señalan Ramírez y Block (2009), como

también aquellas dificultades asociadas a suponer linealidad en diversas

situaciones, en donde no la hay (Fernández, 2001). Por otro lado, Bosch

(1994), señala que las dificultades relacionadas con la proporcionalidad, se

deben a que hay una delgada línea entre la aritmética y el álgebra, llamada

algebra de proporciones, donde hay diversas técnicas discursivas entre

ellas.

Esta investigación se realizó con estudiantes del Programa de

Acompañamiento y Acceso Efectivo a la Educación Superior (PACE) de la

Pontificia Universidad Católica de Chile, quienes cursan paralelamente

Cuarto Medio en la escuela formal.

El plan de clases diseñado en este estudio, contempló diversos elementos

necesarios para su implementación, tales como: errores y dificultades que


podrían tener los estudiantes, preguntas de monitoreo de la clase,

elementos conceptuales claros, declaración de contenidos basales y

materiales para su realización.

La recolección de datos se hizo mediante la grabación de clases y las

producciones escritas de los estudiantes en guías de trabajo.

El escrito está compuesto por la presentación de la problemática de

investigación y sus antecedentes, la definición de la proporcionalidad desde

el saber erudito y escolar, el análisis curricular y el tratamiento del objeto

matemático en los textos escolares, el marco metodológico, el análisis de

datos, y finalmente, la discusión y conclusión de los resultados.


CAPÍTULO 1: CONTEXTUALIZACIÓN

Y PROBLEMÁTICA

1.1. Contextualización

Las Bases Curriculares del año 2012, señalan que la finalidad de la asignatura de Matemática es "enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes" (Mineduc, 2012, p. 86), independiente de las trayectorias postsecundarias que escojan.

El currículo vigente para primero a sexto básico ha sido estructurado en diversos ejes, tales como, Números y Operaciones, Patrones y Álgebra, Geometría, Medición, Datos y Probabilidad (Mineduc, 2012). Las Bases Curriculares vigentes para séptimo básico a segundo medio han sido estructuradas en torno a cuatro ejes, Números, Álgebra y Funciones, Geometría y Probabilidad y Estadística (Mineduc, 2015).

Las primeras nociones de proporcionalidad son trabajadas en sexto básico, donde los estudiantes deben demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica, ya sea haciendo cálculos manuales o apoyándose de software educativos (Mineduc, 2012), bajo el eje de Números y Operaciones.

En séptimo básico, la proporcionalidad es trabajada en el eje de Álgebra y funciones, donde los estudiantes deben ser capaces de comprender la proporcionalidad directa e inversa, realizando tablas de valores, graficando valores de la tabla y explicando las características de las gráficas (Mineduc, 2015).


La proporcionalidad es una de las temáticas principales para la formación de los ciudadanos, porque “pone en juego los aprendizajes aritméticos escolares (medida, fracciones, operaciones elementales), y porque resuelve muchos de los problemas de los adultos (beneficios del capital, cambios de moneda, mezclas, descuentos comerciales, trabajos conjuntos, llenado y vaciado de recipientes, etc.)” (Gairín y Escolano, 2009, p. 35).

1.2. Formulación del problema de investigación

Durante abril del año 2017 los estudiantes de cuarto medio, pertenecientes al programa PACE UC, rinden la evaluación diagnóstica, la que tiene como finalidad identificar cuáles son los contenidos y habilidades que tienen mayor porcentaje de logro en este grupo de alumnos.

La prueba de diagnóstico dio como resultado que sólo un 8% de los estudiantes son capaces de responder los ítems relacionados con Proporcionalidad.

Pero las dificultades que tienen estos estudiantes en relación a la Proporcionalidad, ¿son exclusivos de este grupo de alumnos?

Desde la interpretación que provee la Didáctica de la Matemática, el tema de la Proporcionalidad, no presenta una clara línea de trabajo y progresión en el currículo, ya que pretende articular las ideas de razón y proporción, con la noción de relación proporcional y función, generando una confusión entre los distintos registros de fracción, en correspondencia al de proporción, trabajándola como un operador, como coeficientes proporcionales o razones escalares (Ramírez y Block, 2009).

Bosch (1994) señala que una de las dificultades relacionadas con la Proporcionalidad, tienen que ver con esa delgada línea que hay entre la aritmética y el álgebra, la que llama álgebra de proporciones, que es un intermedio entre las técnicas discursivas de la aritmética y el cálculo algebraico elemental. Por otro lado, Fernández (2001), señala que las dificultades relacionadas con la proporcionalidad, están relacionadas con suponer linealidad, en situaciones que no se comportan de esa forma, es decir, no saber identificar las características que posee cada una de las proporcionalidades en relación a sus variables.

Abrate, Pochulu y Vargas (2006), señalan que las dificultades con el trabajo de la proporcionalidad tienen relación con los distintos registros de


representación que ésta posee, ya que por ejemplo, consideran la tabla de datos como una herramienta intermedia entre el registro geométrico y el registro algebraico, y no como una representación en sí misma, no pudiendo identificar las diferentes características que ésta posee.

1.3. Preguntas de Investigación

A la luz del contexto y la problemática nos planteamos las siguientes preguntas que guían nuestra investigación:

1. ¿Cómo aporta el trabajo en diferentes registros de representación en el aprendizaje de la proporcionalidad en estudiantes de secundaria?

2. ¿Qué características deben tener las situaciones de aula para promover el aprendizaje de la proporcionalidad?

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo General

Diseñar una secuencia didáctica para abordar la proporcionalidad desde distintos registros de representación con estudiantes de secundaria.

1.4.2. Objetivos Específicos

OE1: Identificar los potenciales registros de representación relacionados con la proporcionalidad en la implementación de una clase, donde se trabaje el objeto matemático.

OE2: Diseñar una secuencia de clases que involucre los registros de representación relacionados con la proporcionalidad.

OE3: Analizar los resultados de la implementación de la clase en relación al aprendizaje de la proporcionalidad.


CAPÍTULO 2: ANTECEDENTES

Las razones, proporciones y proporcionalidad corresponden a un área que

ha sido constantemente investigada durante el último medio siglo. Diversas

evaluaciones (TIMSS y PISA), evidencian que estos objetos matemáticos, a

pesar de las investigaciones y acciones, siguen teniendo una gran dificultad

en su aprendizaje por parte de los estudiantes, lo que constituye un

indicador de la necesidad que existe en continuar profundizando en su

problemática (Obando, Vasco y Arboleda, 2014).

A lo largo de los años, las investigaciones relacionadas con la

proporcionalidad se han centrado en tres grandes tópicos: procesos

cognitivos, la estructura matemática y el aspecto antropológico y semiótico

de este objeto matemático, de acuerdo a las necesidades que se han

evidenciado con el paso del tiempo (Obando et al., 2014).

Las primeras investigaciones que se centraron en la proporcionalidad, tienen

que ver con el desarrollo del razonamiento proporcional en la formación de

las operaciones formales del pensamiento. El razonamiento proporcional

marca la transición desde las operaciones concretas a las operaciones

formales, ya que supone en los sujetos una coordinación de cambios entre

variables, de tal forma que las variaciones generen cambios en otras

(Piaget, 1958; en Obando et al., 2014).


Siguiendo la idea de que la proporcionalidad, esta está influida por las

etapas de desarrollo. Karplus (1983, en Mochón, 2012) elabora un listado

de éstas, importantes de considerar al momento de construir una secuencia

didáctica para trabajar el tema:

• Incompleta. el individuo ignora parte de los datos o da una respuesta

ilógica.

• Cualitativa. El individuo toma en consideración todos los datos, pero

solo desde el aspecto cualitativo (“esto tiene más”, “esto tiene

menos”).

• Incompleta. el individuo ignora parte de los datos o da una respuesta

ilógica.

• Aditiva. El individuo establece estrategias de diferencias de variables

en su razonamiento, en vez de usar una relación multiplicativa.

• Pre-proporcional. El individuo usa factores multiplicativos para

relacionar cantidades.

• Proporcional. El individuo usa directamente razones y sus clases de

equivalencia y no equivalencia

Según Obando et al. (2014), todas las investigaciones que se hicieron en el

ámbito de los procesos cognitivos, lograron identificar importantes

elementos necesarios para la comprensión de los procesos de enseñanza y

aprendizaje en el aula, pero no se hizo un cuestionamiento y reflexión sobre

cómo los profesores enseñan o enseñaban proporcionalidad en el aula.

Durante los noventa, las investigaciones en relación al razonamiento

proporcional dan un giro, centrándose en variables epistemológicas relativas

a la estructura, organización y naturaleza del objeto matemático. Este

cambio está motivado por los avances que se lograron en didáctica de la

matemática, que buscaban mostrar el intento de problematización didáctica

en la escuela como una variable importante (Obando et al., 2014).


A continuación, se mencionan las investigaciones en didáctica relacionadas

con la estructura matemática de la proporcionalidad, éstas se centran en la

comprensión de los números naturales.

Comprender los racionales permite desarrollar ciertas habilidades

relacionadas con el razonamiento proporcional, tales como el pensamiento

relativo y la coordinación de conteos iterados crecientes y decrecientes

(Pantziarra y Pitta-Pantazi, 2005; en Obando et al. 2014). Permite además

lograr una precisión respecto a su significado, es decir, “se pasa de

comprender el razonamiento proporcional como la habilidad para utilizar

significativamente conceptos propios de las razones y las proporciones en la

solución de situaciones típicas de proporcionalidad directa, a definir aspecto

cognitivos y metacognitivos implicados en este tipo de razonamiento”

(Modestou y Gagatsi, 2010; en Obando, 2014, p.68).

Hay una abundante literatura “sobre-generalización de la linealidad”, la que

señala que los estudiantes tienden a aplicar modelos lineales en todas las

situaciones posibles, llegando a proponer que incluso podríamos estar ante

la presencia de un obstáculo epistemológico, ya que, a pesar de los años de

enseñanza, los estudiantes se hacen resistentes a éstos (Obando et al.,

2014).

Sin embargo, hay autores que señalan que la sobre-generalización de la

linealidad se debe a cómo se enseña y no al objeto matemático. Fernández

y Llinares (2012), indican que los estudiantes no tienen conocimientos en

relación a la linealidad, y esto les hace cometer errores al aplicarla en

contextos no válidos.

En la misma dirección en relación a la sobre-generalización de la linealidad,

Abrate et al. (2006), señalan que en la proporcionalidad los estudiantes no

son capaces de distinguir el registro tabular como registros de


representación, y tan solo lo ven como una herramienta intermedia entre

los registros geométricos y registros algebraicos, teniendo dificultades para

identificar las características que ésta posee, por lo que no se logra

comprender el objeto matemático.


CAPÍTULO 3: OBJETO MATEMÁTICO

3.1 La proporcionalidad desde el saber erudito

A continuación, se toma la definición de proporcionalidad trabajada por Fernández (2001) y Fiol y Fortuny (1990) dentro de su trabajo relacionado con el tema.

Definición de proporcionalidad

Dos magnitudes M y N son proporcionales si se puede establecer un

isomorfismo entre sus cantidades:

Entonces:

I. Si implica que , por lo que se puede decir que

es una relación de orden monótona.

II. Si se cumple que , entonces es una

relación que conserva el orden y la adición.

III. Si la magnitud es continua, dada una cantidad y su medida,

de acuerdo a una unidad , , la proporcionalidad

queda unívocamente determinada dando la cantidad homologa

de una cantidad cualquiera.

En este caso la proporcionalidad queda determinada conociendo la

cantidad correspondiente a la unidad, . Entonces:


Si , entonces

Por lo que la medida de la cantidad , se conserva.

Definición de razón

Dadas dos cantidades homogéneas de una magnitud, y , y sus

medidas correspondientes en la misma unidad de medida, ,

, se define la razón de como el cociente:

Además, la razón se puede definir como una aplicación, , a todo par

de cantidades asigna un número mayor o igual que 1, es decir:

La razón cumple con las siguientes propiedades:

I. Simetría:

II. Semejanza

III. Aditividad

IV. Continuidad


3.2 La proporcionalidad desde el saber escolar

Para establecer la proporcionalidad desde el saber escolar, utilizaremos el

texto realizado por Baeza, Barriga, Barrios, Miranda, Norambuena, Venegas

y Villena (2008).

Definición de Razón

Se llama razón de dos cantidades cualesquiera y , a la comparación por

cociente de ellas. La razón de y se puede escribir como o , donde

y , y se lee “ es a ”.

Toda razón tiene asociado un cociente llamado valor de la razón. Así, ,

donde es el valor de la razón y .

Definición de Proporción

Se define proporción a la igualdad de dos razones. Dada una

proporción o bien, , donde y se

lee es a como es a .

Al establecer una comparación entre la definición del saber escolar y el saber

erudito, se puede observar que hay ciertas similitudes en las definiciones,

como por ejemplo en la de razón (en ambas se habla de un cociente entre

las medidas de sus magnitudes), pero también en la definición escolar se

dejan de lado ciertas propiedades que posee la proporcionalidad, como, por

ejemplo, las características que posee la constante de proporcionalidad, las

características que posee el gráfico, o como evidenciar la proporcionalidad

en una tabla de valores, que son importantes de abordar para poder

establecer la condición de linealidad que ésta posee.


3.3 La proporcionalidad en el currículo

A continuación, se presenta el análisis curricular entorno a la

proporcionalidad, en el que se puede apreciar la evolución de dicho objeto

matemático a lo largo del currículo escolar en Chile (Mineduc, 2012, 2015).

Para este análisis curricular se tomó en consideración los Objetivos de

Aprendizaje (en adelante, OA) de las Bases Curriculares del año 2012, que

abarcan los niveles de primero a sexto básico, y las Bases Curriculares del

2015, que abarcan los niveles de séptimo básico a segundo medio.

Para realizar la evolución de la proporcionalidad en el currículo se hace

necesario establecer en qué niveles se aborda este objeto, para luego

identificar los contenidos previos necesarios para poder trabajarlo. La

proporcionalidad es abordada por primera vez en séptimo básico, pero el

concepto de razón y porcentaje es abordada en sexto, donde es trabajada

desde las fracciones (aún no se define el sistema de los números racionales),

por lo que debería ser considerado como un contenido previo.

Los estudiantes de educación primaria tienen su primera aproximación con

las fracciones, cuando llegan a tercero básico, cuando se percatan de que,

al realizar particiones de objetos, no se pueden realizar con las herramientas

que conocen. Por lo que se introducen todas aquellas fracciones de uso

común: y , entendiéndolas y explicándolas como su representación

parte-todo. Además, comparando fracciones de un mismo todo (OA11).

En ese mismo nivel, los alumnos aprenden a leer y a registrar el tiempo en

horas y fracciones de horas, ya sea en relojes digitales y análogos, como

también, aprenden a comparar dos o más objetos, de acuerdo a la medida


de su masa, haciendo una relación entre kilogramos y gramos (OA20 y

OA22).

Los OA20 y OA22, son trabajados antes que OA11, de acuerdo a la

propuesta de secuencia anual de contenidos, por lo que, aunque al

estudiante se le mencione “cuarto de hora” o “media hora”, aún no son

capaces de relacionarlo con fracciones desde la representación parte-todo.

Cuando los estudiantes están en cuarto básico, los estudiantes trabajan

cuatro objetivos de aprendizajes relacionados con las fracciones (OA8, OA9,

OA10 y OA11), en los que se busca abordar la fracción parte-todo o de un

grupo, con distintos denominadores, describiendo que las fracciones pueden

ser utilizadas en distintos contextos y que tienen diferentes

representaciones. Además, se busca que los estudiantes sean capaces de

realizar adiciones y sustracciones de fracciones de manera concreta,

pictórica y simbólica.

Al llegar a quinto básico, los estudiantes deben logra profundizar en el

trabajo con los números racionales (fracciones y decimales), realizado en

años anteriores. Se trabaja con el concepto de fracción en sus distintas

representaciones, la adición y sustracción de éstas. Además, el concepto de

fracción evoluciona de un año a otro, por lo que la fracción ya no solo es

trabajada como parte-todo, sino que además se trabajan con fracciones

propias y números mixtos. Los Objetivos de aprendizajes relacionados con

las fracciones son: OA7, OA8, OA9, OA10, OA11, OA12 y OA13.

Los estudiantes en sexto básico comienzan a trabajar con los conceptos de

razón y porcentaje, que les permitirá comprender a las fracciones y

decimales, desde otras representaciones, proveyéndolos de herramientas

necesarias para resolver problemas en diversos contextos cotidianos.

Además, serán capaces de registrar a las fracciones ya sea en cuadriculas,


círculos, en la recta numérica y también, de forma simbólica. Se considera

que cada uno de los tópicos (razón, porcentaje, fracciones propias y mixtas)

sean trabajados desde las distintas representaciones: concreto, pictórico y

simbólico.

Durante séptimo básico los estudiantes continúan con el trabajo con la

operatoria de los números racionales, aprendiendo a multiplicar y dividir

fracciones, como la continuación a la adición y sustracción de racionales.

Para que los estudiantes logren comprender la multiplicación y división de

fracciones, se trabaja con las nociones de fracción como operador y fracción

como división, las que se pueden relacionar con el cálculo de porcentaje y

la resolución de problemas en contextos rutinarios.

El trabajo con los números racionales, permite abordar la proporcionalidad

directa e inversa, en sus diferentes representaciones, lo que permite

establecer si es que hay relación entre las variables de un problema

cotidiano, y saber cuándo se cumplen las condiciones necesarias para que

exista proporcionalidad.

En octavo básico los estudiantes completan el trabajo con los números

racionales, representándolos en la recta numérica e involucrando diferentes

sistemas numéricos en el contexto de la resolución de problemas. También,

se vuelve a retomar el trabajo con porcentaje, para lograr una

profundización en el tema, centrándose en las variaciones porcentuales en

la resolución de problemas en diversos contextos.

En este mismo nivel, se define el concepto de función, que se aborda desde

el cambio lineal, es decir, se busca introducir la noción de función desde la

proporcionalidad directa, tomando en consideración las diferentes

representaciones que tiene ésta, para dar un fuerte énfasis en la habilidad

de modelar situaciones en la vida cotidiana.


Al llegar primero medio, los estudiantes deber ser capaces de resolver

problemas que involucren la utilización de los números racionales. Además,

en este nivel los estudiantes comienzan a estudiar en el eje de geometría,

la razón de homotecia, trabajando con representaciones concretas, como,

por ejemplo, ampliación de fotografías, el funcionamiento del ojo humano e

instrumentos creados por el hombre, como lo son el telescopio y el

microscopio, las cuales pueden reducir o ampliar imágenes u objetos que se

encuentran a una determinada distancia, mediante un factor determinado.

También comienzan a trabajar el teorema de Tales, utilizando la noción de

razón y proporción, para lograr una noción intuitiva de semejanza.

Los alumnos en segundo medio, estudian situaciones que tienen relación

con cambios porcentuales en diferentes contextos, identificando la razón de

cambio que puede estar involucrados en éstos, como, por ejemplo, el interés

simple y compuesto.

En el eje temático de Geometría los estudiantes comienzan a estudiar las

razones trigonométricas utilizando la noción de semejanza en los triángulos,

la cual les permitirá establecer la medida de los lados de un triángulo

rectángulo y de ángulos involucrados en la resolución de problemas.

Tomando en consideración los antecedentes de esta investigación, cabe

preguntar ¿el currículo le da el suficiente énfasis para poder pasar de

razonamiento pre-proporcional a un razonamiento proporcional?

De acuerdo a este análisis, se puede evidenciar que el currículo da un fuerte

énfasis a la evolución de los objetos matemáticos, para que a medida que

van avanzado en los años de escolaridad, puedan ir construyendo las

diferentes nociones que están involucradas con la proporcionalidad. Es

importante, además, como el currículo intenciona que la proporcionalidad

directa, se relacione posteriormente con la función lineal, para que


establezcan conexiones entre, por ejemplo, constante de proporcionalidad

y pendiente de la función lineal, y el comportamiento que va teniendo la

función en situaciones de contexto cotidiano y no cotidiano.

3.4 Mapa conceptual de relación entre los contenidos del currículo

3.5 La proporcionalidad en los textos escolares

A continuación, se presenta el análisis de dos textos escolares en donde se

aborda la proporcionalidad. Uno de ellos corresponde a la licitación pública

del Ministerio de Educación, siendo sus destinatarios los estudiantes de

establecimientos municipales y con subvención compartida. El otro

corresponde a un texto del área privada, el que está dirigido a estudiantes

de colegios particulares subvencionados y particulares.


Merino, R., Muñoz, V., Pérez, B. y Rupin, P. (2016). Texto del

Estudiante Matemática 7.º. (pp. 137-159). Santiago, Chile:

Ediciones SM Chile.

Este texto comienza con la sección “Relaciones proporcionales”, de la unidad

“Álgebra y relaciones proporcionales”; activando las ideas previas entorno a

la razón y proporción, con un breve texto que trata de como Tales de Mileto

pudo estimar y medir la altura de la pirámide de Keops mediante la

utilización de trazos proporcionales. Luego se muestra un fragmento de la

construcción de un plano, acompañado de ciertas preguntas que permiten

establecer e identificar cuáles son los conocimientos previos necesarios para

abordar la sección.

En las páginas 140 y 141 se busca que los estudiantes establezcan

relaciones entre variables. Para ello, se les presenta un problema en

contexto cotidiano que busca modelar el sueldo que deben tener los

entrenadores de un gimnasio (ver Imagen 1).

Imagen 1: problema para establecer la relación entre variables

A continuación del problema, se muestra una serie de pasos, con los que el

estudiante podrá modelar el sueldo que deben tener los entrenadores:

En el paso 1, se trata de forma pictórica la relación entre el valor-hora del

gimnasio y la cantidad que trabaja cada uno de ellos, mediante la

representación de una máquina de funciones, en la que hay un valor que


entra y otro que sale, trabajando en forma implícita la noción de función

(ver Imagen 2).

Imagen 2: Máquina que es utilizada para representar una función en forma

implícita

En el paso 2, se le indica al lector que el sueldo de cada entrenador está

dado por la multiplicación de la cantidad de horas trabajadas, con el valor-

hora del gimnasio. Se calcula el sueldo para cada uno de los entrenadores

que se mencionan en el problema, para luego explicitar la expresión general

para calcular el sueldo de cada entrenador (Imagen 3).

Imagen 3: Expresión general para calcular el sueldo de los entrenadores

Se puede apreciar que, para modelar la situación, se utilizan dos

representaciones distintas de la relación entre horas de contrato y el valor

hora de trabajo, pero no queda clara cómo se establece que las variables

están relacionadas, ya que la finalidad de la actividad es modelar la

situación, pero no se da énfasis entre la relación de variables.

Se presenta una segunda situación, en la que se solicita a los estudiantes

establecer la relación entre variables, que permita calcular el gasto de kWh

(Imagen 4).


Imagen 4: problema para establecer la relación entre variables

Al igual que en la primera situación que se presenta en el texto, se guía al

estudiante en la modelación de la situación mediante una serie de pasos.

En el primer paso, se le solicita al alumno que establezca cuál es la variable

dependiente e independiente de la situación 2, y como se diferencian entre

ellas (Imagen 5); esto no se pide en la situación 1.

Imagen 5: Pasos de cómo identificar las variables en el problema

En el paso 2 se pide modelar la situación mediante una expresión algebraica,

para luego determinar el costo eléctrico en kWh, mediante la evaluación de

la función costo.

Ahora, las dos actividades buscan relacionar variables, pero los pasos

mostrados buscan modelar situaciones mediante problemas con contextos.

No queda claro el tratamiento y la conversión de los distintos registros, en

el establecimiento de relación entre variables.

Para poder terminar la lección: “¿Cómo se relacionan las variables?”, se

hace una breve descripción de variable dependiente e independiente, y que

la relación entre ambas permite modelar fenómenos y plantear

generalidades.


Una vez que se ha trabajado con la relación entre variables, se inicia el

trabajo con la modelación de la proporcionalidad directa. Para ello se

presenta una situación con contexto en que las variables se relacionan

directamente proporcional (figura 6).

Imagen 6: Situación que se modela como proporcionalidad directa

Al igual que con las situaciones anteriores, el texto indica una serie de pasos

que deben seguir los estudiantes para modelar la situación, para ello se

construye una tabla de datos en el primer paso (figura 7):

Imagen 7: tabla de datos

Esta representación de la situación, permite establecer ciertas

características que tiene la tabla, como que ambas variables que aumentan

o disminuyen proporcionalmente. El texto del estudiante lo menciona,

indicando que ambas variables aumentan en cierto factor. Luego hacen una

comparación de las variables mediante un cociente, y señalan que el valor

obtenido al ser siempre el mismo, llamándolo constante de

proporcionalidad, y que esto, siempre ocurre cuando las variables son

directamente proporcionales.

Continuando con la misma situación, se les solicita a los estudiantes que

identifiquen cada una de las variables y que establezcan la relación entre


ellas. Para eso, se vuelve a utilizar la metáfora de la máquina como función

(Imagen 8):

Imagen 8: Utilización de la metáfora de la máquina para mostrar la relación entre

las variables.

Se evidencia que la imagen tiene un error, ya que indica que al ingresar un

valor a la máquina se tiene que multiplicar por 16000 y no por 15000.

En el cuarto paso, se les indica a los estudiantes que se modele la situación

mediante una expresión algebraica, para ello se indica que basta con

multiplicar le valor de la entrada por la cantidad de estudiantes que asisten

al partido (Imagen 9):

Imagen 9: Relación de la constante de proporcionalidad, con el registro algebraico

Se indica en el texto, que los 15000 corresponde a la constante de

proporcionalidad y que en ese caso corresponde al valor de la entrada para

un amigo, pero no se da el suficiente énfasis para señalar que corresponde

a la cantidad de amigos que comprarán la entrada.

Para finalizar, se define en que consiste la proporcionalidad directa y las

características que esta posee.

El libro del estudiante posee un listado de ejercicios (dos páginas) con

ejercicios tipo.


En continuidad con el trabajo de la proporcionalidad directa con tablas de

datos, se da inicio con la lección: “¿Cómo representar la proporcionalidad

directa?, en la cual se busca dar un fuerte énfasis a la representación gráfica

de la proporcionalidad directa.

Al igual que con las lecciones anteriores, se presenta un problema rutinario

en el cual se pretende modelar mediante proporcionalidad directa. Para ello,

se les muestra a los estudiantes una serie de pasos que le permitirán

construir la tabla de valores, que luego podrán graficar. Entre esos pasos

está: identificar la tabla de valores, comparar las variables mediante un

cociente y calcular la constante de proporcionalidad, modelar la expresión

algebraica y construir una tabla de valores en la que se relaciona con un par

ordenado (Imagen 10):

Imagen 10: Construcción de tabla de valores, que relaciona distintos registros de

representación

A pesar de que graficar en el plano cartesiano, debiera ser un contenido

manejado por los estudiantes (se trabaja en quinto básico), en el texto de

estudio no aparece ninguna cápsula que recuerde este contenido.

Una vez que se construye esta tabla de valores se procede a construir la

representación gráfica de la proporcionalidad directa (figura 11), ubicando

cada uno de los pares ordenados que se calcularon en la tabla de valores:


Imagen 11: Gráfico de la situación problemática

Se presenta una segunda situación en la que los estudiantes a través del

gráfico sean capaces de determinar la representación algebraica de la

situación que se propone. Se señala que con solo un punto del gráfico se

puede determinar la constante de proporcionalidad, pero no indica que

características debe tener la gráfica para que se piense que es

proporcionalidad directa. Esto solo se hace hasta el final de la página, luego

de que se han resuelto los ejercicios.

Para finalizar, se proponen dos páginas de ejercicios relacionados con la

gráfica de la proporcionalidad directa.

Marambio, V. y Castro, C. (2016). Texto del estudiante 7º básico.

(pp. 96-128). Santiago, Chile: Santillana del Pacífico S.A.

El texto parte el tema de la proporcionalidad directa trabajando con

“Razones y proporciones”, para ello se propone una receta y se hacen una

serie de preguntas para establecer como se relacionan los ingredientes de

ésta. La finalidad es que los estudiantes activen las ideas previas en relación

a razón y proporción. Luego se les pide a los estudiantes que modifiquen la

receta tomando en consideración que uno de los ingredientes aumenta, pero

siempre manteniendo la razón entre los ingredientes. Hay una ausencia de

preguntas que sirvan para orientar el trabajo de los estudiantes, para

establecer cómo se relacionan los ingredientes.


Posterior a la actividad propuesta, se presenta una cápsula de repaso en

que se define lo qué es una razón y proporción. Además, se indica la

propiedad fundamental de las proporciones estableciendo que “en toda

proporción se cumple que , si y solo si .

En la página 98, se procede a trabajar propiamente tal con la

proporcionalidad directa con un problema de contexto, y luego se hace una

serie de afirmaciones relacionadas con el problema.

Luego de que se plantea la actividad, se presenta una cápsula en la que se

explica en qué consiste la proporcionalidad directa, y quú se cumple cuando

el cociente entre los valores de sus variables, es constante.

El texto propone una actividad en la que se trabaja la proporcionalidad

directa, pero sin dar énfasis en sus preguntas en ciertas características que

este posee, como, por ejemplo, trabajar con la constante de

proporcionalidad. Ahora bien, se destaca que, en una cápsula (Imagen 12)

a un costado de la página, se explica que, aunque dos magnitudes estén

relacionadas, no necesariamente están relacionadas.

Imagen 12: Cápsula que indica que no todas las magnitudes se relacionan

proporcionalmente.

Luego de eso, se presentan tres páginas de ejercicios relacionados con la

proporcionalidad directa, dando un fuerte énfasis a establecer cuando las


variables están relacionadas mediante proporcionalidad directa, en el

trabajo con tablas de datos y en los problemas tipos que se trabajan al

abordar esta temática.

Una vez que se ha trabajado con la proporcionalidad directa, se trabaja la

representación gráfica de la proporcionalidad directa. Para ello, se presenta

una situación en la que se establece la relación entre los gramos de miel y

los gramos de carbohidratos. Se les solicita a los estudiantes que completen

una tabla de datos, y que a partir de la tabla construyan el gráfico. Se puede

evidenciar que se trabajan con dos registros distintos (del registro tabular

al registro geométrico).

A continuación, se presenta una cápsula en la que se explica la

representación gráfica de la proporcionalidad y algunas características que

posee esta.

El trabajo con la situación es deficiente, ya que no explica con claridad cómo

se realiza la gráfica y las características que éstas posee, faltando preguntas

que orienten al estudiante a establecer éstas.

Luego, se presenta una página en la que se proponen ejercicios en la que

los estudiantes en la que deben completar tablas de valores y a partir de

ellas, construir el gráfico. Hubiese sido interesante que se propusiera como

actividad, que a partir de la información que entrega el gráfico, se pudiera

construir la tabla de valores, para que hubiera un tránsito bidireccional entre

ambos registros.

Si se comparan ambos textos escolares, se pueden evidenciar que a pesar

de que ambos trabajan la misma temática, el trabajo con el objeto

matemático es completamente distinto. Se puede notar que el trabajo

entorno a la proporcionalidad en el libro ministerial, es mucho más


minuciosa y profundiza en el tema, tomando en consideración los diferentes

registros que ésta posee y dando un énfasis importante a la relación entre

variables, y como ésta se puede evidenciar tanto en una tabla de valores,

en un gráfico o en su representación algebraica. Es importante destacar que

se trabaja en forma tácita e intuitiva en la noción de función lineal, lo que

permitirá en cursos posteriores introducir este objeto y relacionarlo con la

proporcionalidad directa.

El texto de la editorial Santillana, aborda de buena manera el objeto

matemático, pero no es minucioso en los detalles relacionados con las

características que posee la gráfica y tabla de proporcionalidad directa, y

tampoco plantea preguntas necesarias para que los estudiantes vayan

evidenciando que lo que están calculando y haciendo, tienen relación con el

objeto matemático.

3.6 Análisis histórico epistemológico

En este capítulo abordaremos los elementos más importantes, que dan

origen al concepto de proporcionalidad a lo largo de la historia matemática.

Oller y Gairín (2013), señalan que al momento de estudiar el tratamiento

conceptual relacionados con algún objeto matemático, surgen ciertas

dificultades que son propias de toda investigación. En el caso de la

proporcionalidad, ellos identifican las siguientes dos principales:

Todo objeto matemático tiene su origen en la necesidad de resolver

problemas prácticos concretos, por lo que la forma de manipulación de éste,

está influido por los diversos usos prácticos que tengan asociados.

Al buscar un objeto matemático en la historia, no hay que esperar

encontrarlo tal como es nuestra concepción actual, ya que esta es diferente

a la que imperaba en el momento que se desarrolló.


El razonamiento proporcional es un recurso se ha usado para resolver

problemas desde tiempos inmemorables. Un ejemplo de ello, es el Papiro

de Rhind (s. XVII), en donde se encuentran incontables problemas

relacionados con intercambio de mercancía y o repartos proporcionales

(Oller, 2012).

Los elementos de Euclides

Los Elementos correspondiente a la obra de Euclides (300 a.n.e), está

conformada por trece libros, siendo un tratado matemático y geométrico

que recopila el saber matemático, basándose en el sistema axiomático.

De los trece libros que conforman la obra de Euclides, se pude señalar que

los libros V y VI corresponden a un desarrollo de la proporción para

magnitudes, desde un punto de visto geométrico. A diferencia de los libros

VII y X que abordan la teoría de la proporción para números. Dando a

entender que existe (o existió) más de una teoría de la proporción

(Guacaneme, 2012).

Euclides, define el concepto de razón como: “una razón es determinada

relación respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas” (V,

definición 3), y también “se dice que las magnitudes guardan relación entre

sí cuando, cuando al multiplicarse, pueden exceder la una de la otra” (V,

definición 4). Cada una de estas definiciones dan cuenta de que algo tiene

que ver (no se sabe qué) con su tamaño y que la razón no es un número

propiamente tal (Oller y Gairín, 2013).

El carácter no numérico de las razones en los Elementos se refuerza por el

hecho de que no se da un tratamiento sistemático a las operaciones entre

razones y que nunca se habla de igualdad entre éstas (Oller, 2012).


Euclides en el libro VII de los Elementos, establece que la razón entre dos

números o magnitudes homogéneas viene dada por algoritmo llamado

antifairesis, el que consiste en restar el número menor al mayor tantas veces

como sea posible, hasta que quede un resto menor que el número menor

de partida. Luego, se repite el proceso tomando como partida el menor de

los números iniciales y el resto obtenido. Lo que importa, no es el algoritmo,

ni los números que van apareciendo, sino que llevar la cuenta de las

longitudes de las series de restas. Lo que refuerza el carácter no numérico

de la razón y si, su relación con el proceso de la medida (Oller, 2013).

La forma en que se aborda la proporcionalidad en los Elementos, es que

pareciera que se aborda la proporcionalidad desde dos perspectivas

diferentes, una para el tratamiento de magnitudes y otra para el tratamiento

de números, surgiendo la necesidad de probar resultados similares un par

de veces (Boyer, 1999).

Proporcionalidad en el Jiu zhang suan shu

Los textos antiguos orientales y los chinos en particular, tratan de

colecciones de problemas acompañados de una solución numérica o de la

descripción de un algoritmo que se aplica a los datos relacionados con el

problema.

El Jiu zhang suan shu no es libro de repertorio de problemas, debido a los

comentarios realizados por matemático chino en el s.III llamado Liu Hui,

quien además fue el editor de su libro. Liu Hui no solo hace comentarios en

relación a la metodología de resolución, sino que además, se atisba una

cierta fundamentación teórica.


Liu Hui centra el tratamiento de la proporcionalidad mediante el lü, que se

define como un conjunto de números correlacionados, enumerando

propiedades y operaciones entre ellas (Kangshen, 1999; en Oller, 2012).

Para interpretar este concepto, se disponen de varias magnitudes

directamente proporcionales, y una lü no es más que un conjunto de valores

dichas magnitudes, interpretando a la razón entre dos magnitudes como su

lü cuando una de ellas toma el valor 1. Este tipo de razonamiento, es la

génesis de la Regla de Tres (Kangshen, 1999; en Oller, 2012).

Comparación de ambos enfoques

Consideremos el ejercicio tipo que se presenta a los estudiantes y lo

analizaremos desde el enfoque griego y chino:

“Para realizar 12 queques individuales, se necesitan 2 tazas de harina,

¿cuántos queques se realizarán con 3 tazas de harina?”

Desde un punto de vista griego, debe tenerse en cuenta que la cantidad de

queques guardan la misma razón que la cantidad de harina necesaria para

realizarlos. O sea, se busca un número de tal manera que ese número

guarde con 12 la misma razón que 3 con 2.

Desde un punto de vista chino, consideraríamos el par (2,12) y nos interesa

hallar el par que corresponde a la misma situación, bajo la restricción de

que el primer elemento ha de ser 3.


Si miramos estas expresiones algebraicas sin contextualizarlas, se podría

establecer que ambas expresiones son equivalentes. No obstante, el punto

de vista griego carece de sentido para un resolutor chino, ya que muestra

en forma separada la relación entre cantidad queques y cantidad de harina

necesaria. Para un griego, en cambio, el segundo enfoque carece de sentido

ya que no es capaz de concebir repartir queques por cantidad de harina.

Considerando lo señalado con anterioridad, se puede notar que la

proporcionalidad surge de forma intuitiva con la finalidad de dar respuestas

a los problemas relacionados con la geometría, o para resolver problemas

relacionados con repartos, herencias, etc., hace un par de siglo atrás.

A la problemática planteada en un inicio, como también los elementos de la

construcción histórico-epistemológica y cómo se aborda la proporcionalidad

en la sala de clases, se hace muy necesario mencionar que ésta debe ser

abordada tomando en consideración los distintos elementos que la fueron

constituyendo y que fueron necesarios para la construcción del objeto

matemático.

Lo anterior con la finalidad de otorgarle significación y contexto, para lograr

una mejor comprensión y aprehensión por parte de los estudiantes, para

que no se vea la proporcionalidad como la aplicación de la regla de tres.


CAPÍTULO 4: MARCO TEÓRICO

4.1 Aspectos Generales

La Teoría de Registros de Representación Semiótica (en adelante, TRRS),

desarrollada por R. Duval (1995), establece que los niveles de comprensión

se pueden explicar con base en los distintos registros de representación

semiótica, mediante el tratamiento y conversión de estos de acuerdo a un

objeto matemático, y que el aprendizaje de las matemáticas requiere de un

uso de sistemas de representación distinto al lenguaje natural y/o imágenes.

Duval (2004) para clasificar las representaciones, se refiere a la realizada

por diversos autores (Le Ny, 1985; Paivo, 1986, Larkin y Simon, 1987, p.66;

en Duval, 2004) quienes utilizan dos oposiciones clásicas: la oposición

interno/externo y la oposición consciente/no-consciente.

La oposición consciente/no-consciente, corresponde a aquello que se

presenta ante un sujeto, observa e inmediatamente toma el estatus de

objeto, y aquello que se le escapa y no es capaz de observar. Pasar de un

estado no-consciente a consciente, corresponde a un proceso de

objetivación para el sujeto. La objetivación corresponde al hallazgo por el

mismo sujeto de algo que no sabía, aunque otros se lo hubiesen explicado.

La oposición interno/externo corresponde a lo que para un sujeto es

directamente visible y observable, y lo que no lo es. Las representaciones


internas corresponden a todas aquellas imágenes mentales que posee un

individuo de los objetos y relaciones que forman parte de su conocimiento,

y que no pueden ser comunicadas a otros por medio de una representación

externa. Las representaciones externas son todas aquellas que pueden ser

percibidas por los sentidos, y que pueden ser producidas por un sujeto o

sistema. Las representaciones externas, son por su naturaleza,

representaciones semióticas (Duval, 2004), que, a su vez, son

representaciones conscientes.

Tabla 1: tipos y funciones de representación (Duval, 2014)

INTERNA EXTERNA

CONSCIENTE Mental

Función de objetivación

Semiótica Función de

Objetivación Función de expresión Función de tratamiento intencional

NO-CONSCIENTE

Computacional Función de tratamiento

automático y cuasi instantánea.

4.2 Noesis y Semiosis

Dentro de la Teoría de Registros de Representación Semiótica, Duval habla

de dos términos que es importante tener a la vista: la noesis y la semiosis.

La noesis corresponde a todos aquellos actos cognitivos que permiten la

comprensión del objeto matemático. La semiosis corresponde “a la

aprehensión o producción de una representación semiótica” (Duval, 2004,

p.14).


Para que un sistema semiótico logre ser un registro de representación

semiótica debe permitir la formación de una representación de un objeto en

un sistema determinado, el tratamiento y conversión de éste de lo contrario

solo es un sistema semiótico, como, por ejemplo, el código Morse.

4.3 Tratamiento y Conversión de Registros

Tomando en consideración el objetivo de investigación, nos centraremos en

dos de los tres aspectos mencionados en el punto anterior, para que un

sistema semiótico se convierta un registro de representación semiótica,

como lo son el tratamiento y conversión de registros.

El tratamiento es una “transformación que se efectúa en el interior de un

mismo registro, por lo tanto, no moviliza más de un registro de

representación” (Duval, 2004, p.32). El cálculo numérico, por ejemplo,

moviliza la formación de representaciones semióticas al producir una

respuesta, pero dentro del mismo registro.

La conversión corresponde a “la transformación de la representación de un

objeto, de una situación o de una información dada en un registro, en una

representación de este mismo objeto, situación o de una información, en

otro registro […], es una transformación externa relativa al registro de

representación de partida” (Duval, 2004, p. 46).

4.4 Criterios de Congruencia

En diversas ocasiones, se recurre a la conversión entre los diferentes

registros de representación de un objeto matemático, como si fuera algo

trivial o que el estudiando lo ha sabido desde siempre, pero la mayoría de

las veces las tareas de conversión no son inmediatas y son más complejas

de lo que se estima (Duval, 2004).


Cuando los estudiantes pasan de un registro de representación a otro, de

forma cuasi-instantánea, se dirá que existe una congruencia entre los

registros (Duval, 2004). En caso de que no haya congruencia, no solo es el

tiempo de tratamiento que está en juego, sino que además puede ser que

la conversión sea casi imposible de realizar (Duval, 2004, p.51), si es que

no ha habido un aprendizaje previo de formación de una representación

semiótica y tratamiento del mismo,

Para saber si dos representaciones son congruentes, es necesario dividirlas

en sus unidades significantes, para establecer si hay correspondencia entre

ellas. Los criterios de congruencia son tres:

• Correspondencia. A cada unidad significante de una

representación se puede asociar a una unidad significante del

otro registro.

• Univocidad. A cada unidad significante de la representación de

partida le corresponde una única unidad significantes en el

registro de llegada.

• Orden. La correspondencia en las organizaciones de las

unidades significantes de dos representaciones comparadas, es

en el mismo orden en ambos casos.

Considerando los criterios anteriores, diremos que dos representaciones son

congruentes si se cumplen los tres criterios. La dificultad en la conversión

de un registro a otro, dependerá del grado de no-congruencia entre las

representaciones.

4.5 Justificación y elección del Marco Teórico

La Teoría de Registros de Representación Semiótica, desarrollada por

Raymond Duval (1995), establece que los niveles de comprensión se pueden


explicar con base en los distintos registros de representación semiótica,

mediante el tratamiento y conversión de éstos en relación a un objeto

matemático, y que el aprendizaje de las matemáticas requiere de un uso de

sistemas de representación distinto al lenguaje natural y/o imágenes.

La razón de porqué se eligió este Marco Teórico, se debe principalmente a

la necesidad de proponer tareas a los estudiantes que propicien el

tratamiento y conversión de registros, relacionados con la proporcionalidad,

para permitirles una comprensión de ésta.

Lo anterior se debe principalmente a que, de acuerdo como se declara en la

problemática, los estudiantes no lograrían una comprensión acabada de la

proporcionalidad debido a que no manejan la correspondencia entre los

diferentes registros relacionados con la proporción, una relación

proporcional y función (Ramírez y Block, 2009), como también distinguir las

características que posee la proporcionalidad en relación a sus variables,

para establecer si se está en la presencia de ésta (Fernández, 2011). Por lo

que proponer actividades a los estudiantes que les permitan trabajar con

gráficos, tablas, lenguaje algebraico, etc., ayudaría a la construcción del

objeto matemático y lograr una mejor comprensión de éste.


CAPÍTULO 6: SECUENCIA DIDÁCTICA 6.1 CLASE 1

6.1.1 PLAN DE CLASES 1 Tema: Razones y proporciones Objetivo: Representar rezones equivalentes y proporciones en contexto, mediante la resolución

de problemas Contenidos Previos:

Fracción como parte-todo, Operatoria con racionales, resolución de ecuaciones

Materiales Lápiz grafito, goma, lápices de colores, copia de las actividades, cartulina, plumones, tiras de cartulina azul y roja

Actividad de Aprendizaje Intervención docente Evaluación de la marcha de clase

Inic

io (

20 m

in)

0. Indicaciones de la clase 1. Identificación de los

contenidos previos.

1. Explicitar el contrato didáctico y pedagógico. Es decir, se les solicitará a los estudiantes que formen grupos de tres a cuatro integrantes en forma aleatoria, y que, durante la clase, bajo dos circunstancias podrán solicitar al docente ayuda, cuando tengan una duda como grupo, o que hayan terminado el problema.

2. Una vez que los grupos están formados, se les hace a los estudiantes la pregunta: ¿Qué es una razón? ¿Qué es una proporción? Y se anotan en una cartulina todas las ideas que tengan los estudiantes en relación al tema.

¿Los estudiantes están atentos a la actividad para identificar los contenidos previos? ¿Son capaces de comprender la tarea? ¿Se cumple con el tiempo planificado? 15 m

in


2. Presentación del problema Raúl tiene dos cintas, una roja y otra azul cuyo largo de entre están en la razón 2:7 respectivamente, con ellas quiere hacer un adorno decorativo. Necesita hacer un corte en la cinta roja de tal manera que le quedan dos trozos que están en la razón 1:2, los cuales nombra como trozo A y trozo B. A la cinta azul, igual le hace un corte de tal manera que los trozos quedan en la razón 1:2, llamándolos C y D. ¿Cuál es la razón que existe entre los trozos A y D? ¿Qué significa ese valor?

2. Se le entrega a cada uno de los estudiantes una copia del problema, se le pide a un estudiante que lea el problema, se hace la pregunta abierta: ¿qué necesitan para resolver el problema?, y se dejan a los estudiantes trabajando en la situación.

¿Los estudiantes están atentos a la presentación del p planificado?

5 min


Des

arro

llo (

55 m

in)

3. Solucionado el problema Los estudiantes trabajan en el problema, buscando las estrategias necesarias para poder resolverlo. Los estudiantes valida sus ideas, estrategias y producciones con sus compañeros.

3. Se reparte el material a cada grupo de estudiantes, indicando a los estudiantes que en una primera instancia intenten resolver el problema en forma individual y luego discutirán su procedimiento con el resto de los integrantes del grupo. Se hace un monitoreo por los puestos de trabajo, para observar como los estudiantes desarrollan el problema, haciendo devoluciones en caso de ser necesario. En caso de que un estudiante, no pueda representar mentalmente la situación, para poder realizar un registro de representación, se dispone de material concreto (cintas de papel azul y roja), que le servirá para poder desarrollar el ejercicio.

¿Los estudiantes son capaces de identificar la tarea? ¿Comprenden el problema? ¿Qué información nos entrega el enunciado? ¿Cómo lo puedo representar? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

20 min


4. Trabajo en pizarra Se les pide a los estudiantes que pasen a la pizarra a explicar la estrategia que realizaron para resolver el problema

4. Se les solicita a los grupos que vayan saliendo a la pizarra a explicar su ejercicio, tomando en consideración todas aquellas representaciones que sean figurales, y luego las que utilizan un lenguaje algebraico. Se les solicita a los estudiantes que explique la estrategia usada, haciendo preguntas que dejen en evidencia el trabajo realizado, tales como: ¿cómo encontraste ese valor? ¿Puedes verificarlo? Tomando en consideración las producciones de los estudiantes se procederán a realizar preguntas, relacionada con las características que tiene cada registro de representación. La idea es trabajar en plenario las preguntas. Partiendo con la representación con material concreto: ¿En que te fijaste para poder dividir el papel? ¿Cómo hiciste la comparación de las cintas cortadas? Con la representación figural: ¿Qué consideraron para realizar el dibujo? ¿Cómo hicieron la división de los trazos? ¿Qué hicieron para comparar? Con la representación algebraica: ¿Qué consideraste para plantear las ecuaciones? ¿Qué significa 2Ac=1AD? ¿Qué consideraste para comparar los trozos de cintas?

¿Los estudiantes se atreven a salir a la pizarra? ¿Son capaces de explicar sus cálculos y procedimientos? ¿Se interesan en compartir sus ideas? ¿Hay alumnos que abandonan la actividad? ¿Qué devolución dar en caso de que ocurra esto? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

35 min


Cie

rre

(15

min

) 5. Síntesis de ideas e

institucionalización 5. Para finalizar la clase, se retoma en la pregunta inicial: ¿Qué es una razón? ¿Qué es una proporción?, se anotan en una cartulina las respuestas de los estudiantes, y se pegan a un costado de las respuestas dadas en un inicio, para que los estudiantes hagan una comparación entre lo que dijeron inicialmente y al final. Luego se realiza una formalización de la razón y proporción, tomando en consideración las producciones de los estudiantes, más las respuestas dadas al final de la clase.

¿Los estudiantes se atreven a participar del plenario? ¿Los estudiantes son capaces de argumentar su idea? ¿Se interesan en comentar sus ideas? ¿Hay estudiantes que no quieran participar? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

15 min


6.1.2 ANÁLISIS A PRIORI Descripción

La tarea que se presenta en la primera clase de la secuencia

didáctica, está diseñada para ser abordada por estudiantes de

secundaria, cuya finalidad es representar razones y

proporciones en un contexto, mediante la resolución de

problemas.

A pesar de que razones y proporciones es un contenido que,

de acuerdo al currículo nacional, se aborda en sexto básico,

esta tarea pretende retomar el contenido teniendo en

consideración los errores y dificultades que esto trae, como lo

es la baja comprensión de fracciones y decimales (Mineduc,

2013).

La tarea, además, pretende desarrollar habilidades tales

como representar información para para una mejor

comprensión de una situación, resolución de problemas y

argumentación matemática.

La actividad está pensada de tal manera, que el estudiante

pueda usar distintos registros de representación semiótica

para su resolución, como lo son el registro figural y el registro

algebraico, y en caso de que el estudiante no logre abordar el

problema, también se dispone de material concreto para su

resolución, como lo son cintas de colores.

La tarea a pesar de que puede ser abordada en forma

individual, está pensada para ser trabajada en forma grupal

(máximo tres estudiantes), para que cada integrante del

grupo sea capaz de exponer sus ideas y argumentar sus


estrategias de resolución que van surgiendo en el trabajo

colaborativo.

El rol del docente durante la implementación de la actividad,

es un mediador del aprendizaje, haciendo preguntas y

devoluciones, haciendo énfasis en la indagación, la reflexión

y el análisis. El docente no deberá entregar las estrategias de

resolución o soluciones al problema, sino que motivará y

guiará al estudiante para que ellos las encuentren.


Respuesta experta

A continuación, se presenta la respuesta experta del

problema. Esta resolución del problema está relacionada con

el registro de representación algebraico de la tarea.

Tomemos en consideración lo siguiente:

Cinta Roja: R

Cinta Azul: A

La cinta roja y azul están en la razón:

A cada cinta se le realiza un corte en la razón ,

Si

En relación a la pregunta que se plantea, significa que, por

cada 1 unidad de cinta roja cortada, se deberá cortar un trozo

7 veces más grande de cinta azul, pero solo en el caso de

comparar el trozo pequeño rojo, con el trozo grande azul.


Matemática en Juego

Para resolver la tarea relacionada con razones y proporciones,

es importante tener a la vista los Objetivos de Aprendizaje

(de ahora en adelante, OA) que están relacionados con este

objeto matemático, como también los contenidos previos que

se deben manejar.

Razones y proporciones es abordado por primera vez en el

currículo en sexto básico, siendo el OA3 el relacionado con el

objeto matemático, indicando que los estudiantes deben:

“demostrar que comprenden el concepto de razón de manera

concreta, pictórica y simbólica, en forma manual y/o usando

software educativo” (Mineduc, 2013, p.42). Para ello, el

estudiante debe manejar los siguientes contenidos: fracción

parte-todo y operatoria de racionales.

Ya que la actividad propuesta, está pensada para ser

abordada por estudiantes de secundaria, el nivel de dificultad

que esta posee es alto, por lo que también se hace muy

necesario manejar la resolución de ecuaciones,

considerándose como un contenido que emerge a partir de la

tarea.


Posibles estrategias de resolución

A continuación, se presentan dos posibles estrategias que

podrían desarrollar los estudiantes para resolver el problema.

Una de las estrategias está relacionada con la respuesta

experta, y también se aborda desde el registro de

representación algebraica. La segunda estrategia está

relacionada con el uso de registro de representación figural,

en este caso, se apoya en el uso de esquemas y gráficos para

su representación.

Estrategia 1

Cinta Roja: R Cinta Azul: A La cinta roja y azul están en la razón:

A cada cinta se le realiza un corte en la razón ,

Si

En relación a la pregunta que se plantea, significa que, por

cada 1 unidad de cinta roja cortada, se deberá cortar un trozo


7 veces más grande de cinta azul, pero solo en el caso de

comparar el trozo pequeño rojo, con el trozo grande azul.

Estrategia 2

El estudiante usa un registro figural para poder resolver el

problema, utilizando esquemas para poder representar las

dos cintas que están en juego en el problema y asignando

valores proporcionales, para poder establecer la razón entre

los trozos de cinta.


Dificultades y errores

Los estudiantes al momento de enfrentarse a las razones, con

las primeras dificultades que se puede encontrar, tienen que

ver con que si este objeto matemático es o no una fracción.

Jaramillo (2012) señala que la razón no siempre es sinónimo

de una fracción, ya que la fracción compara el mismo tipo de

objetos (relación parte todo), en cambio la razón compara

objetos heterogéneos. Por su lado Godino (2002), que la idea

clave es comprender que las fracciones corresponde a

“cualquier par ordenado de números enteros, cuya

componente es distinta de cero” (p. 420), a diferencia de la

razón que es “un par ordenado de cantidad de magnitudes”

(p.420).

Tomando en consideración lo anterior, es que se considera

tres dificultades que podrían llegar a tener los estudiantes, al

momento de resolver la tarea propuesta, y que podría estar

relacionada con un error. La tabla que se muestra a

continuación, muestra una dificultad, que podría con llevar un

error, y la posible devolución que se podría realizar a los

estudiantes:


Razón y proporción

Dificultad Error Devolución

El estudiante relaciona una razón con una fracción (Godino, 2002)

El estudiante plantea incorrectamente una razón

¿Qué es una razón? ¿Qué se está comprando?

El estudiante plantea incorrectamente una proporción

¿Qué elementos se están -comparando? ¿Cómo se están comparando estos objetos? ¿Qué significa que estén en proporción?

El estudiante compara razones entre sí objetos heterogéneos (Godino, 2012).

El estudiante solo compara objetos homogéneos..

¿Cuántas veces cabe el trozo A en el trozo C? ¿Es posible hacer eso? ¿Cómo podría escribir eso?

Algunas razones no se representan con notación fraccional (Godino, 2012)

El estudiante divide la razón que indica el enunciado, ya que está expresado de la forma a:b

¿Cómo se lee ¿se indica la razón)? ¿Me está indicando que lo divida?


6.2 CLASE 2

6.2.1 PLAN DE CLASES Tema: Proporcionalidad directa Objetivo: Reconocer la proporcionalidad directa en gráficos y tablas, mediante la resolución de

problemas. Contenidos Previos:

Razón, Proporción, Construcción de gráficos y tablas, Operatoria con racionales

Materiales Lápiz grafito, goma, lápices de colores, copia de las actividades, cartulina, plumones


Inic

io (

20 m

in)

1. Indicaciones de la clase 2. Identificación de los contenidos previos.

1. Explicitar el contrato didáctico y pedagógico. Se les explica que la forma de trabajo será en forma grupal, para que puedan discutir y llegar a un consenso en relación a la estrategia de resolución. 2. Se realiza un recuento de la clase anterior, recordando los conceptos de razón y proporción, dando énfasis en las características que estos conceptos tienen. Es importante que se tomen las ideas de los comentarios de los estudiantes, en relación a la clase anterior.

¿Los estudiantes están atentos a la actividad para identificar los contenidos previos? ¿Son capaces de comprender la tarea? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

15 min


3. Presentación del problema La piscina de un camping tiene una capacidad de 2500 m3. Esta piscina cuando se le hace el recambio de agua, se llena en 12,5 horas a un ritmo constante. Mauricio es el supervisor a cargo de que la piscina se llene en correcto orden, cuando ésta está completamente vacía. El que va anotando sus observaciones en el siguiente gráfico.

Ese día Mauricio sólo registra una observación en el gráfico, y otra lo hace en libro de novedades, dejando la inscripción: “a la quinta hora de llenado la piscina registra 800 m3”. Su jefe al ver la indicación, le hace notar a Mauricio que ese valor es incorrecto. ¿Estará en lo correcto el jefe de Mauricio? Fundamenta tu respuesta.


¿Los estudiantes están atentos a la presentación del problema? ¿Comprenden el problema? ¿Con capaces de comprender la tarea? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

5 min


Des

arro

llo (

50 m

in)


4. Se reparte el material a cada grupo de estudiantes, indicando a los estudiantes, indicando que en una primera instancia intenten resolver el problema en forma individual y luego discutirán su procedimiento con el resto de los integrantes del grupo. Se hace un monitoreo por los puestos de trabajo, para observar como los estudiantes desarrollan el problema, haciendo devoluciones en caso de ser necesario.

¿Los estudiantes son capaces de identificar la tarea? ¿Comprenden el problema? ¿Qué es la constante de proporcionalidad? ¿Qué información me entrega la tabla? ¿Cuánto será el nivel del agua al mismo instante que se abre la llave? ¿Qué significa que la piscina se llene en forma constante?

20 min


4. Se les solicita a los grupos que vayan saliendo de acuerdo a la complejidad de su trabajo, de lo menos complejo a lo más complejo. Se les solicita a los estudiantes que explique la estrategia usada, haciendo preguntas que dejen en evidencia el trabajo realizado, tales como: ¿cómo encontraste ese valor? ¿Puedes verificarlo?

¿Los estudiantes se atreven a salir a la pizarra? ¿Son capaces de explicar sus cálculos y procedimientos? ¿Se interesan en compartir sus ideas? ¿Hay alumnos que abandonan la actividad? ¿qué devolución fue dada? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

30 min


Cie

rre

5. Síntesis de ideas e institucionalización

5. Tomando en consideración las producciones de los estudiantes se procederán a realizar preguntas, relacionada con las características que tiene cada registro de representación. La idea es trabajar en plenario las preguntas para formalizar el contenido. Partiendo con la tabla de valores: ¿Qué características tiene la tabla? ¿En qué hay que fijarse para saber que me encuentro ante una proporción? ¿Qué tipo de proporción es? Constante de proporcionalidad: ¿en qué se fijar para saber que en cada hora se llenan 200 m3? ¿Cómo sé si es que en una hora entra más o menos agua? Gráfico: ¿qué características tiene el gráfico? ¿Dónde corta la recta al eje de las coordenadas y ordenadas? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál es la variable independiente? ¿Es factible que a la quinta hora hayan 800 m3 de agua? Entonces, ¿qué es la proporcionalidad directa? ¿de cuántas formas se puede representar?


20 min


6.2.2 Análisis a priori

Descripción

La tarea que se presenta en la segunda clase de la secuencia


secundaria, cuya finalidad es reconocer la proporcionalidad

directa en gráficos y tablas, mediante la resolución de

problemas. Esta clase fue implementada y mejorada con base a

los comentarios de pares y profesoras del magíster, tomando en

consideración lo observado en la clase, en el contexto de un

Estudio de Clases.

La proporcionalidad, de acuerdo al currículo nacional, se aborda

en séptimo básico y esta tarea pretende retomar el contenido

teniendo en consideración los errores y dificultades que esto

trae, como lo es la baja comprensión de fracciones y decimales

(Mineduc, 2013), y que los estudiantes suponen linealidad en

todas las situaciones, por no saber identificar las características

que posee cada una de las proporcionalidades en relación a sus

variables (Fernández, 2001).

La tarea además, pretende desarrollar habilidades tales como

representar información para para una mejor comprensión de

una situación, resolución de problemas y argumentación

matemática.


pueda usar distintos registros de representación semiótica para

su resolución, como lo son el registro geométrico, tabular y el

registro algebraico.


La tarea a pesar de que puede ser abordada en forma individual,

está pensada para ser trabajada en forma grupal (máximo tres

estudiantes), para que cada integrante del grupo sea capaz de

exponer sus ideas y argumentar sus estrategias de resolución

que van surgiendo en el trabajo colaborativo.

El rol del docente durante la implementación de la actividad, es

un mediador del aprendizaje, haciendo preguntas y

devoluciones, haciendo énfasis en la indagación, la reflexión y

el análisis. El docente no deberá entregar las estrategias de

resolución o soluciones al problema, sino que motivará y guiará

al estudiante para que ellos las encuentren.


Respuesta experta

A continuación, se presenta la respuesta experta, que está

relacionada con el registro de representación algebraico, en el

que se busca modelar la situación propuesta y ver si los valores

dados por Mauricio, están o no en sintonía con el modelo.

Se determina que las variables están directamente relacionadas

entre ellas, ya que al dividir los metros cúbicos de llenado por

el tiempo transcurrido se obtiene:

para cuando la piscina está completamente

llena.

, para cuando han transcurrido 8 horas

En ambos casos se obtiene , por lo que establece que ese

valor corresponde a la constante de proporcionalidad.

Luego se obtiene la expresión algebraica que modela la

situación:

donde corresponde a las horas transcurridas.

La expresión algebraica se evalúa en :

obteniendo , contrastando los valores, determina que el

jefe de Mauricio está en lo correcto.



Para abordar la tarea de la segunda clase, se hace necesario

llamar a colación el OA que está relacionado con el objeto

matemático. Los estudiantes durante séptimo básico abordan

los contenidos relacionados con la proporcionalidad directa,

mediante el siguiente OA “Demostrar que comprenden las

proporciones directas e inversas: realizando tablas de valores

para relaciones proporcionales, graficando los valores de la

tabla, explicando las características de la gráfica y resolviendo

problemas de la vida diaria y de otras asignaturas” (Mineduc,

2016, p.55).

Este OA tiene como finalidad que la proporcionalidad sea

trabajada desde distintos registros de representación, por lo que

se hace necesario, además, que los estudiantes manejen ciertos

contenidos previos para lograr una sólida base de aprendizaje.

Los contenidos previos necesarios son: razón, proporción,

construcción de tablas y gráficos, operatoria con números

racionales.

Los contenidos que emergen de la tarea están relacionados con

establecer las primeras aproximaciones a la noción de función

lineal.



A continuación, se presentan tres posibles estrategias de

resolución que podrían desarrollar los estudiantes al resolver el

problema. Una de las estrategias está relacionada con la

respuesta experta, que aborda el problema desde el registro de

representación algebraico. Otra estrategia aborda la tarea desde

un registro de representación tabular, es decir, utiliza la tabla

de valores para poder tomar la decisión en relación la pregunta

que se plantea, y una tercera estrategia se relaciona con el

registro de representación geométrico, es decir, a través del

tratamiento en este registro, el estudiante obtiene la solución al

problema.

Estrategia 1

El estudiante elabora una tabla de valores tomando en

consideración la información del problema y la información del

gráfico, como, por ejemplo, que la piscina se llena en forma

constante y que la piscina estaba completamente vacía.

Una vez que completa la tabla, el estudiante compara el valor

anotado en el libro de novedades, con la tabla. Así determina

que el jefe de Mauricio está en lo correcto.


Estrategia 2:

El estudiante determina que las variables están directamente

relacionadas entre ellas, ya que al dividir los metros cúbicos de

llenado por el tiempo transcurrido se obtiene:

para cuando la piscina está completamente

llena.

, para cuando han transcurrido 8 horas

En ambos casos se obtiene , por lo que establece que ese

valor corresponde a la constante de proporcionalidad.

Luego se obtiene la expresión algebraica que modela la

situación:

donde corresponde a las horas transcurridas.

La expresión algebraica se evalúa en :

obteniendo , contrastando los valores, determina que el

jefe de Mauricio está en lo correcto.


Estrategia 3

El estudiante traza una recta que une el punto (0,0),

considerando que en y que en ese instante la piscina está

vacía, con el punto anotado por Mauricio en el gráfico. Luego

ubica el punto indicado por Mauricio en el libro de novedades,

para determinar si este punto pertenece o no a la recta.

Estrategia 4

El estudiante utiliza la regla de 3, para ello toma los valores que

el gráfico le proporciona para poder establecer, si a la quinta

hora hay 800 m3



Al momento de abordar la proporcionalidad con los estudiantes,

nos podemos encontrar con ciertas dificultades relacionas con la

“sobre-generalización de la linealidad”, la que señala que los

estudiantes pueden aplicar modelos lineales en todas las

situaciones posibles, no logrando identificar las características

que esta posee, como por ejemplo las relacionadas con su

gráfica o su constante de proporcionalidad, limitándose a

declarar que una relación es proporcional “si una sube y la otra

baja” (Obando, Vasco y Arboledo, 2014).

Tomando en consideración lo anterior, más las estrategias de

resolución propuestas para esta tarea, es que se consideran las

siguientes dificultades que podrían conllevar a un posible error,

con la respectiva devolución para el estudiante:


Proporcionalidad

Dificultad Error Devolución

El estudiante no reconoce las características de la proporcionalidad directa

El estudiante interpreta en forma incorrecta la constante de proporcionalidad o no sabe cómo obtenerla.

¿Qué es una constante? ¿qué representa ese valor? ¿qué está indicando?

El estudiante supone linealidad en contextos en que no los hay (Fernández, 2002).

El estudiante utiliza en forma incorrecta regla de tres para resolver el problema

¿cómo ordenaste la información? ¿qué representa cada uno de esos valores?

El estudiante no sabe cómo llenar una tabla (Abrate, Pochulu y Vargas, 2006)

El estudiante la rellena con valores al azar la tabla, con valores incorrecto o la deja en blanco.

¿qué me indica la primera columna? ¿cuánto será el nivel del agua al mismo instante en que se abre la llave?


6.3 CLASE 3

6.3.1 Plan de Clases

Tema: Función lineal Objetivo: Relacionar la proporcionalidad directa con la función lineal, mediante la resolución de

problemas Contenidos Previos:

Razón, Proporción, Construcción de gráficos y tablas, Operatoria con racionales, proporcionalidad directa

Materiales Lápiz grafito, goma, lápices de colores, copia de las actividades, cartulina, plumones


Inic

io (

20 m

in)

1. Indicaciones de la clase 2. Identificación de los contenidos previos.

1. Explicitar el contrato didáctico y pedagógico. Se les explica que la forma de trabajo será en forma grupal, para que puedan discutir y llegar a un consenso en relación a la estrategia de resolución. 2. Se realiza un recuento de la clase anterior, recordando los conceptos de razón y proporción, proporcionalidad directa, haciendo un fuerte énfasis en los diferentes registros de representación, y las características que éstos poseen.

¿Los estudiantes están atentos a la actividad para identificar los contenidos previos? ¿Son capaces de comprender la tarea? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

15 min


3. Presentación del problema


¿Los estudiantes están atentos a la presentación del problema? ¿Comprenden el problema? ¿Con capaces de comprender la tarea? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

5 min D

esar

rollo

(50

min

)


4. Se reparte el material a cada grupo de estudiantes, indicando a los estudiantes, indicando que en una primera instancia intenten resolver el problema en forma individual y luego discutirán su procedimiento con el resto de los integrantes del grupo. Se hace un monitoreo por los puestos de trabajo, para observar como los estudiantes desarrollan el problema, haciendo devoluciones en caso de ser necesario.

¿Los estudiantes son capaces de identificar la tarea? ¿Comprenden el problema? ¿Qué es la constante de proporcionalidad? ¿Con qué se puede relacionar? ¿Qué información me entrega la tabla? ¿Cómo puedo obtener el término general? Si me dan la cantidad de palitos, ¿Cómo puedo obtener el número de figura que representa?

20 min



5. Se les solicita a los grupos que vayan saliendo de acuerdo a la complejidad de su trabajo, de lo menos complejo a lo más complejo. Se les solicita a los estudiantes que explique la estrategia usada, haciendo preguntas que dejen en evidencia el trabajo realizado, tales como: ¿cómo encontraste ese valor? ¿Puedes verificarlo?

Preguntar a cada uno de los grupos, ¿qué concepto está relacionado con la expresión general que acaba de encontrar?

¿Los estudiantes se atreven a salir a la pizarra? ¿Son capaces de explicar sus cálculos y procedimientos? ¿Se interesan en compartir sus ideas? ¿Hay alumnos que abandonan la actividad? ¿qué devolución fue dada? ¿Se cumple con el tiempo planificado?

30 min


Cie

rre

(20

min

) 6. Síntesis de ideas e institucionalización 6. Tomando en consideración las

producciones de los estudiantes se procederán a realizar preguntas, relacionada con las características que tiene cada registro de representación, para realizar la formalización de los contenidos. La idea es que, con base en las respuestas de los estudiantes, se realice la institucionalización del objeto matemático trabajado en la clase. Partiendo con la tabla de valores: ¿Qué características tiene la tabla? ¿En qué hay que fijarse para saber que me encuentro ante una proporción? ¿Qué tipo de proporción es? Constante de proporcionalidad: ¿en qué se deben fijar para determinar la constante de proporcionalidad? ¿qué es lo que se mantiene? ¿qué es lo que va cambiando? ¿Qué forma tiene la expresión algebraica de la proporcionalidad?


20 min


6.3.2 Análisis a priori

Descripción

La tarea que se presenta es la tercera clase de la secuencia


secundaria, cuya finalidad es hallar una expresión algebraica

para la proporcionalidad directa.

La encontrar la expresión algebraica de la proporcionalidad, de

acuerdo al currículo nacional, se aborda en octavo básico y esta

tarea pretende retomar el contenido teniendo en consideración

los errores y dificultades que esto trae, como encontrar la

expresión general de una secuencia o patrón, que esté presente

en representaciones figúrales o tabular (Ospina, 2012).

Esta tarea, además, pretende desarrollar habilidades tales como

representar información para para una mejor comprensión de

una situación, resolución de problemas y argumentación

matemática.


pueda usar distintos registros de representación para su

resolución, como lo son el registro figural, tabular y el registro

algebraico.

La tarea a pesar de que puede ser abordada en forma individual,

está pensada para ser trabajada en forma grupal (máximo tres

estudiantes), para que cada integrante del grupo sea capaz de

exponer sus ideas y argumentar sus estrategias de resolución

que van surgiendo en el trabajo colaborativo.


El rol del docente durante la implementación de la actividad, es

un mediador del aprendizaje, haciendo preguntas y

devoluciones, haciendo énfasis en la indagación, la reflexión y

el análisis. El docente no deberá entregar las estrategias de

resolución o soluciones al problema, sino que motivará y guiará

al estudiante para que ellos las encuentren.


Respuesta experta

A continuación, se presenta la respuesta experta, que está

relacionada tanto con el registro tabular y el registro algebraico

con el que se busca obtener la expresión algebraica que modela

situación propuesta.

Se establece la relación entre el número de la figura y la

cantidad de palitos de fósforos:

A) ¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforo se

necesitarán para construir la figura nº 30, 100, 200 y

500?

Figura nº30:

Figura nº 100:

Figura nº 200:

Figura nº500:

B) ¿Cuál es la expresión matemática que me permite

calcular la expresión de la figura enésima?

Número de figura Número de palitos

1 4 = 4·1

2 8 = 4·2

3 12 = 4·3

4 16 = 4·4

6 24 = 4·6

10 40 = 4·10

11 44 = 4· 11

15 60 = 4·15

21 84 = 4· 21


Independiente de la estrategia que tome el estudiante, toma en

consideración lo realizado en el punto A, estableciendo que

cuatro es un valor constante que se va repitiendo independiente

del número de la figura, y lo que varía es esto último. Luego,

donde P es la cantidad de palitos de fósforo y n es el número de

la figura.

Ya que la cantidad de palitos depende del número de la figura,

la expresión algebraica quedaría como,

C) Si se tiene 208 palitos de fósforo, ¿Cuál número de

figura se podrá armar, sin que sobre ningún palito?

Si

Luego se puede establecer que el nº de figura asociado al

número de palitos de fósforos es 52.



Para poder abordar la tarea de la tercera clase, se hace

necesario tener un manejo adecuado de los contenidos de las

dos clases anteriores, es decir, tener un aprendizaje sólido de

razones y proporciones, y de la noción de proporcionalidad

directa.

En esta clase, se hará una primera aproximación a la función

lineal. No se trabajará propiamente mal, ya que la tarea

propuesta tiene un dominio y recorrido en el sistema de los

naturales, pero si se abordará la noción de constante de

proporcionalidad y como ésta se relaciona con la expresión

algebraica que modela de la situación.

Los contenidos que emergen de la tarea son: noción de función,

dominio y recorrido de una función, y los distintos registros de

representación de una función lineal.



En relación a completar la tabla:

Estrategia 1

El estudiante establece la relación entre el número de la figura y la cantidad de palitos de fósforos:

Estrategia 2

El estudiante determina que es una proporcionalidad directa, ya que la cantidad de palitos va aumentando o disminuyendo, respecto a un determinado factor. Este factor lo determina mediante la constante de proporcionalidad.

Número de figura

Número de palitos

1 4

2 8 3 12

4 16

6 24 10 40 11 44 15 60 21 84

Número de figura

Número de palitos

1 4 = 4·1 2 8 = 4·2 3 12 = 4·3 4 16 = 4·4 6 24 = 4·6 10 40 = 4·10 11 44 = 4· 11 15 60 = 4·15 21 84 = 4· 21


Luego con el uso de la constante de proporcionalidad, determina el resto de los valores que faltan en la tabla.

Estrategia 3

El estudiante establece una relación entre el número de la figura, y la cantidad de cuadrados que se forman.

Luego por cada cuadrado hay cuatro palitos de fósforos, entonces para hallar la cantidad de palitos de fósforos que se necesitan, multiplica la cantidad de cuadrados por cuatro.

Número de figura

Cantidad de cuadrados

Cantidad de palitos

1 1 3 3 4 4

A) ¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforo se necesitarán para construir la figura nº 30, 100, 200 y 500?

El estudiante utiliza la estrategia 1 para poder determinar la cantidad de palitos de fósforos que se utilizan.

Figura nº30:

Figura nº 100:

Figura nº 200:

Figura nº500:

Número de figura

Cantidad de cuadrados

1 1 3 3 4 4


El estudiante utiliza la estrategia 2 para determinar la cantidad de palitos de fósforo que se utilizan:

Figura nº30:

Figura nº 100:

Figura nº 200:

Figura nº500:

El estudiante utiliza la estrategia 3 para determinar la cantidad de palitos de fósforos que se utilizan:

1 cuadradito = 4 palitos de fósforos

Figura nº30: 30 cuadraditos · 4 palitos de fósforos = 120

Figura nº 100: 100 cuadraditos · 4 palitos de fósforo = 400

Figura nº 200: 200 cuadraditos · 4 palitos de fósforo = 800

Figura nº500: 500 cuadraditos · 4 palitos de fósforo = 2000

B) ¿Cuál es la expresión matemática que me permite calcular la expresión de la figura enésima?

Independiente de la estrategia que tome el estudiante, toma en consideración lo realizado en el punto A, estableciendo que cuatro es un valor constante que se va repitiendo independiente del número de la figura, y lo que varía es esto último. Luego,

donde P es la cantidad de palitos de fósforo y n es el número de la figura.

Ya que la cantidad de palitos depende del número de la figura, la expresión algebraica quedaría como,

C) Si se tiene 208 palitos de fósforo, ¿Cuál número de figura se podrá armar, sin que sobre ningún palito?


Estrategia 1: El estudiante mediante tanteo establece el número de la figura que está relacionado con el número de palitos de fósforos relacionados. “Si tengo 208 palitos, entonces mi figura está entre la nº30 y la nº100, supongamos que está en la figura nº50, entonces

palitos de fósforos, pero aun así no se llega el valor, entonces establece que en la figura nº 52 corresponde a lo solicitado”.

Estrategia 2: Si

Luego se puede establecer que el nº de figura asociado al número de palitos de fósforos es 52.



Una vez que los estudiantes han comprendido la

proporcionalidad, se hace necesario que comiencen a establecer

las primeras relaciones entre la proporcionalidad directa y la

función lineal.

Las dificultades con hallar la expresión algebraica de la

proporcionalidad, tienen relación con que los estudiantes les

cuesta encontrar la expresión algebraica relacionada con un

patrón presente en una tabla o en una secuencia, y además el

dominio y recorrido que tienen las funciones lineales.

A continuación, se presenta una tabla con las posibles

dificultades que se podrían enfrentar los estudiantes, con los

respectivos errores y su devolución:

Proporcionalidad directa

Dificultad Error Devolución El estudiante maneja inadecuadamente de las reglas de formación de expresiones algebraicas propias de un sistema algebraico (Ospina, 2012)

Generaliza en forma incorrecta el patrón de palitos de fósforos dados.

¿Cuántos palitos se necesitan para forma la imagen 1? ¿Y la imagen 3? ¿Ese resultado lo puedo expresar en factores? ¿Qué tienen en común? ¿Qué es lo que va cambiando?

El estudiante no sabe cómo llenar una tabla

El estudiante la rellena con valores al azar la tabla, con

¿qué me indica la primera fila? ¿Cuántos


(Abrate, Pochulu y Vargas, 2006)

valores incorrecto o la deja en blanco.

palitos de fósforo aumenta de una figura a otra?

El estudiante no reconoce las características de la proporcionalidad directa

El estudiante no sabe cómo interpretar la constante de proporcionalidad o no sabe cómo obtenerla.

¿Qué es una constante? ¿qué representa ese valor? ¿qué está indicando?


CAPÍTULO 6: MARCO

METODOLÓGICO

En este capítulo se abordará la metodología que enmarca esta investigación,

es decir, se describe el tipo de estudio que abordará, el diseño de la

investigación, los sujetos de estudio y su contexto, las técnicas e

instrumentos de recolección de datos y las categorías de análisis.

6.1 Tipo de estudio

Tomando en consideración las características de este Estudio de Clases, esta

investigación que se reporta, es de corte cualitativo con un diseño

descriptivo e interpretativo (Sandín,2003), mediante la resolución de un

problema; lo que implica describir las producciones de los estudiantes en

relación a la actividad propuesta e interpretar estas producciones a la luz de

la Teoría de Registros de Representación Semiótica.

6.2 Diseño

El Estudio de Clases es un proceso en el que los profesores trabajan en

forma colaborativa para mejorar en forma paulatina y progresiva sus

metodologías pedagógicas, haciendo una retrospección y criticando las

técnicas de enseñanza (Mena-Lorca, 2007). Este proceso ayuda al aumento

de las capacidades para enseñar de los profesores que participan de este


Estudio de Clases, mejorando la efectividad de la práctica profesional, e

impactando positivamente a los estudiantes, ya que mejora su calidad de

aprendizaje (Isoda y Olfos, 2009).

El estudio de clases es un proceso que consta de tres momentos bien

definidos, que se realizan todas las veces necesarias, de tal forma de

mejorar el diseño y la ejecución de la clase. “Es un proceso cíclico basado

en la reflexión y la acción” (Isoda y Olfos, 2009, p. 37).

El ciclo del Estudio de Clase comienza con la Preparación de la Clase. Este

es un trabajo colaborativo, los profesores que participan del estudio,

comparten y se distribuyen las tareas, complementándose y asumiendo

distintos roles. Es un proceso en el que se transforma un proyecto de

currículo, en un plan que puede implementarse en el aula (Baba, 2007).

Luego viene el hito del Estudio de Clases, que corresponde a la

Implementación de la Clase. Uno de los docentes asume la misión de realizar

la clase planeada con su curso, mientras que el resto de los profesores

asumen el rol de observador no participante de ésta (Isoda y Olfos, 2009).

Finalmente, viene la sesión de Revisión de la Clase con los profesores

observadores. Se da inicio a la sesión con una breve explicación por parte

del profesor que realizó la implementación de la clase, explicando cuál fue

su propósito. Posteriormente cada uno de los participantes da sus opiniones

y pregunta acerca de los problemas que fueron utilizados en la clase y el rol

formativo del docente (Mena-Lorca, 2007).


Imagen 13: ciclo del Estudio de Clases (Isoda y Olfos, 2009).

6.3 Contexto y Sujetos

La investigación se realiza en una sección del programa PACE UC, en la que

participan aproximadamente 20 estudiantes de IVº Medio para trabajar en

torno a una problemática relacionada con la proporcionalidad mediante la

utilización de distintos registros de representación, en una clase de 80

minutos.

El Taller de Matemáticas se presenta en el marco del programa de

Acompañamiento y Acceso Efectivo a la Educación Superior de la

Universidad Católica, PACE UC. Está dirigido a estudiantes de IIIº y IVº año

de educación media, provenientes de liceos de alta índice de vulnerabilidad

escolar.

La implementación de la clase se realizó en una sección de Cuarto año Medio

de los Talleres PACE UC, en el Campus San Joaquín, comuna de Macul,

Región Metropolitana.


La clase se realizó el día 8 de septiembre en la sección de los días viernes,

teniendo 18 estudiantes presentes.

Es importante recalcar que cada uno de los estudiantes participantes, asiste

de forma voluntaria a los talleres PACE UC, independiente de su calidad

académica.

6.4 Instrumento de Recogida de datos

Para poder realizar la recolección de datos, se le entregó a cada estudiante

una guía de trabajo, se procedió a grabar la clase realizada y luego se realizó

una transcripción de las explicaciones orales que realizaron los estudiantes

para explicar la estrategia a sus compañeros. Además, se realizará un

análisis del contenido a las producciones de los estudiantes, como también

las transcripciones de partes de la sesión.

La clase grabada, correspondió a la implementación de la primera clase de

un diseño de planificación, inmersa en un ciclo del Estudio de Clases, que

consideraba las actividades de aprendizaje, la intervención docente, como

también la evaluación de la marcha de la clase.

Esta planificación fue presentada a un comité de experto para ser validada,

quienes son profesores de educación básica y media, y además cursan el

Magíster en Didáctica de la Matemática en la PUCV. Cabe mencionar, que se

recibieron comentarios, sugerencias y modificaciones de las tres profesoras

que llevan a cargo el curso Seminario de Graduación, del mismo programa

de posgrado.

6.5 Categorías de Análisis

Tomando en consideración la TRRS, se levantan las categorías de análisis

las que se centrarán en el tratamiento y conversión de los registros de


representación presentes en la actividad relacionada con la

proporcionalidad.

Tabla 2:Categorías de Análisis

Para poder saber cuándo se está ante la presencia de un tratamiento

o conversión de registros, se utiliza una adaptación de lo establecido

por Gúmera (2011), según se aprecia en la tabla 3.

Tabla 3: Tratamiento y conversión de registros de la proporcionalidad. Adaptación (Gúmera, 2011)


Para poder leer esta tabla, tenemos que considerar desde qué registro se

parte (primera columna) y en cuál se termina (primera fila), siendo el cruce

entre éstas la que nos indicará si estamos en presencia de un tratamiento o

una conversión. Por ejemplo: Se entrega un registro geométrico (gráfico de

una situación) relacionado con la proporcionalidad y el estudiante manipula

el gráfico (traza una recta uniendo puntos o agregar más puntos a éste),

pudiendo resolver el problema, se dirá que se está en presencia de un

tratamiento. Pero si el estudiante hace todo lo anterior, y además es capaz

de construir una tabla o plantear una ecuación para su resolución, se estará

en presencia de una conversión


CAPÍTULO 7: ANÁLISIS Y

RESULTADOS

Este capítulo tiene como finalidad levantar información que permita

constatar lo declarado en los objetivos de investigación, en relación con

los análisis de resultados de la implementación de una de las clases

pertenecientes a la secuencia didáctica referente a la “Proporcionalidad”.

Para el análisis de la clase, se diseñaron categorías de análisis, que surgen

de la Teoría de Registros de Representación Semiótica (Duval, 2004),

como se declaró en la sección anterior, en relación al tránsito entre los

distintos registros de representación y cómo se articulan estos tránsitos

(Gúmera, 2011).

7.1 Análisis de resultados

Este estudio contempla la implementación de una de las tres clases

pertenecientes a una secuencia didáctica, que aborda la proporcionalidad.

La implementación se realizó a dieciocho estudiantes de cuarto medio

(entre 17 a 19 años) pertenecientes al programa PACE UC, en el campus

San Joaquín de la Universidad Católica. De esta clase se recuperan los

registros escritos de las producciones y el audio de las explicaciones de

los estudiantes.


Los estudiantes se organizaron en grupos de tres estudiantes de forma

aleatoria, para desarrollar la tarea de la clase implementada.

El Análisis de los resultados se estructurará en tres partes: la primera

muestra el anclaje entre las categorías de análisis y el análisis a priori, la

segunda parte mostrará la producción de los estudiantes y una tercera

mostrará una síntesis global relacionada con las categorías de análisis y

las producciones de los estudiantes.

La primera parte de este análisis, tiene como finalidad mostrar la relación

entre las estrategias de resolución del problema con su respectivo registro

de representación y la naturaleza del tránsito involucrado, tal como se

muestra en la tabla 1. La idea es poder visualizar adecuadamente cómo

los estudiantes resolvieron el problema y vincular estas resoluciones con

las categorías de análisis declaradas con anterioridad.

Tabla 3: Relación entre las categorías de análisis y las estrategias del análisis a priori


Antes de realizar el análisis, se definió la nomenclatura G seguido de 1 a

6, para referirse a un determinado grupo de estudiantes.

Se debe mencionar que las estrategias declaradas, están relacionadas con

el análisis a priori que se realizó para la tarea y además con los diferentes

registros de representación con los que se podía abordar la situación. Es

por ello que, con “otra estrategia” hace referencia a todos aquellos

registros de representación que escapan de las estrategias propuestas

para la tarea.

En el instante en que a los estudiantes se les presentó la actividad, cada

grupo de trabajo intentó abordar la situación problemática, utilizando

algún registro de representación, el que, a su vez, está asociado con

alguna estrategia del análisis a priori. La tabla 5, que se muestra a

continuación, nos da un panorama general de cómo trabajaron los

estudiantes:

Tabla 4: Resumen de las estrategias utilizadas por los estudiantes

Como se puede observar en la tabla 5, los estudiantes utilizaron al menos

un registro de representación para resolver el problema, a excepción de

un grupo de estudiantes, que se escapa de las estrategias identificadas

en el análisis a priori.

Se puede observar, además, que algunos grupos de trabajo utilizaron más

de un registro de representación para resolver el problema,


A continuación, en la tabla 6, se presentan algunas producciones escritas

de los grupos de estudiantes (sujetos informantes), las que se clasifican

de acuerdo a la estrategia seleccionada y la categoría de análisis.

Tabla 5: Evidencia de las categorías de análisis

Grupo Producción del grupo Descripción

G3

La producción escrita del G3

evidencia que realizaron una

conversión de registro, hubo un

tránsito desde un registro

geométrico a un registro tabular.

Además, se puede identificar que

hubo un tratamiento dentro del

registro geométrico, que les

permitió a los estudiantes

determinar la cantidad de agua que

aumentaba a medida que iba

transcurriendo el tiempo. Por

ejemplo, tomaron la cantidad de

agua que había a la octava hora y

la dividieron por la cantidad de

horas transcurridas, obteniendo

200 m3, esto les entregó mayor

información del gráfico.

G5

En la producción escrita de G5, se

puede evidenciar que se está en

presencia de una conversión de

registro, porque pasó de un

registro geométrico a un registro


algebraico, el grupo obtiene la

información del gráfico y lo traduce

en un lenguaje algebraico.

Una vez que se está trabajando en

un registro algebraico, los

estudiantes hacen un tratamiento

dentro de este registro, para poder

obtener el valor de la incógnita.

G2

En la producción de G2 se puede

evidenciar que realizaron un

tratamiento dentro del registro

geométrico, ya que obtuvieron

mayor información del gráfico,

determinando la cantidad de

metros cúbicos que aumentaba el

agua en la piscina (200 m3) y con

ello ubicar más puntos en el

gráfico. Luego ubican el tercer

punto que Mauricio no registró en

el gráfico y determinaron que éste

estaba equivocado, ya que el punto

no pertenecía a la línea de

tendencia del registro.

A nivel general se puede evidenciar que, en la mayoría de los casos, los

grupos realizaron un tratamiento del registro de representación inicial,

para luego realizar la conversión del registro de representación final

7.2 Síntesis global de resultados


La siguiente tabla muestra una síntesis global de los resultados obtenidos

de la implementación de clases, los grupos de estudiantes fueron

clasificados de acuerdo a las categorías de análisis declaradas para esta

investigación:

Tabla 6: Síntesis global de los resultados del estudio

7.3 Resultados principales

Tomando en consideración los análisis realizados en este documento y en

la síntesis global, se pueden evidenciar los siguientes resultados:

1. La totalidad de los estudiantes fueron capaces de resolver la tarea

propuesta, realizando una conversión o tratamiento del registro

geométrico, que era el que se presentaba en la actividad.

2. Todos los grupos que hicieron una conversión de registro, para

poder realizar este tránsito, con anterioridad tuvieron que realizar

un tratamiento del registro geométrico, de tal manera de obtener

mayor información del problema y del objeto matemático. Un

ejemplo de ello, es determinar la cantidad de agua que variaba por

cada hora transcurrida, que correspondía a la constante de

proporcionalidad.


3. El hecho que los grupos pudieran trabajar en al menos dos registros

de representación distintos, nos evidencia que los estudiantes

logran una adecuada aproximación el objeto matemático en estudio

(Proporcionalidad), ya que son capaces de visualizarlo en distintas

representaciones, lo que les permite resolver el problema

planteado.

4. Ninguno de los grupos presentó una de las problemáticas

consideradas en un inicio de esta investigación, en la que se

consideraba a la tabla como un registro de transición, y no un

registro de representación. Esto podría ser resultado de la influencia

que ejerce la forma en que se plantea la tarea, si la tarea fuera

construir un gráfico, los estudiantes utilizarían la tabla de valores

como un registro intermedio, sin aprovechar la información que esta

es capaz de brindar.

5. Determinados grupos de trabajo utilizaron más de un registro de

representación para resolver el problema, lo que nos podría llegar

a indicar que los estudiantes son capaces de abordar la situación

desde distintas miradas, para así poder elaborar una solución y

corroborar sus estrategias de resolución.


CAPÍTULO 8: CONCLUSIONES 8.1 Desde la investigación

El objetivo general de esta investigación correspondió al diseño de una

secuencia didáctica para abordar la proporcionalidad desde distintos

registros de representación con estudiantes de secundaria, éste se logró

a cabalidad si se hace una revisión de los objetivos específicos

relacionados con identificar los potenciales registros de representación

relacionados con la proporcionalidad en la implementación de una de las

clases de la secuencia didáctica, diseñar una secuencia didáctica que

aborde la proporcionalidad y analizar los resultados de esta clase

implementada.

Al momento de diseñar la clase, se pudieron determinar distintas

estrategias de resolución relacionadas con diferentes registros de

representación, como lo son el registro tabular, registro geométrico y el

registro geométrico. Cada uno de estos registros de representación fueron

abordados por los estudiantes al momento de resolver el problema

propuesto, ya sea realizando un tratamiento o una conversión de

registros.

En relación a las preguntas de investigación que orientaron este trabajo,

podemos decir que las características que deben tener las situaciones de

aula para promover el aprendizaje de la proporcionalidad. Cabe señalar

que éstas deben ir orientadas a propiciar que los estudiantes trabajen en

más de un registro de representación el objeto matemático, que les

permita abordar tanto la conversión, como el tratamiento del registro, ya

que de acuerdo a lo que señala Duval (2004), el trabajar en dos o más

registros de representación permite una comprensión del objeto

matemático.


Lo anterior, se puede observar en los resultados obtenidos en la

implementación de la clase. Todos los estudiantes fueron capaces de

abordar la situación problemática propuesta, realizando ya sea un

tratamiento o conversión del registro geométrico, logrando resolver la

situación y explicando el porqué de los resultados dados, evidenciando

una comprensión del objeto matemático.

El trabajo con los distintos registros de representación, aporta en el

aprendizaje de la proporcionalidad, ya que cada registro de

representación permite obtener mayor información del objeto

matemático, y con ello obtener una mejor comprensión de la

proporcionalidad.

En relación al Estudio de Clases, es importante señalar la importancia que

cumplen cada una de las partes de este ciclo, ya que permiten la reflexión

docente y con ello la mejora de la práctica docente, que en un mediano

plazo implica un impacto positivo en el aprendizaje de los estudiantes

(Isoda y Olfos, 2009).

Se espera que este trabajo de investigación pueda ir más allá, estudiando

la Congruencia entre la conversión de registros, y las características que

deben tener las tareas que se proponen a los estudiantes, para lograr una

comprensión del objeto matemático en cuestión.

La proporcionalidad es, y seguirá siendo un objeto matemático que querrá

ser estudiado y abordado por los profesores-investigadores, ya que

permite relacionarse con el entorno inmediato de los estudiantes, y con

el desarrollo de habilidades para desenvolverse en la vida diaria, tal como

lo señalan Gairín y Escolano (2009).


8.2 Desde la innovación

La secuencia didáctica tiene como objetivo construir o re-construir la

proporcionalidad, desde sus registros de representación semiótica, para

ello se pensó y diseñó cada actividad de tal manera de poner en relevancia

las dificultades y errores que ésta conlleva, para poder lograr una mejor

comprensión del objeto matemático,

Respecto a las tareas propuestas, se puede señalar que son un ejemplo

de actividades que permiten a los estudiantes desarrollar habilidades

matemáticas, como lo son la resolución de problemas y la argumentación

matemática. Además, como son pensadas para ser abordadas en forma

grupal, se destaca la importancia de construir la matemática en forma

colectiva y social.

Al momento de diseñar la secuencia didáctica, se previeron una serie de

estrategias para la resolución del problema planteado, las que fueron

totalmente coherentes con las producciones de los estudiantes al

momento de abordar la situación problemática. Cada una de las

estrategias fue abordada por los estudiantes, a excepción de la respuesta

experta del problema.

Las actividades propuestas en la secuencia didáctica, están diseñadas

para ser abordadas en forma grupal, permitiendo el desarrollo de los

objetivos de aprendizajes, de las actitudes y las habilidades relacionadas

con la asignatura.

Las tareas propuestas están diseñadas para estudiantes de educación

secundaria, no obstante, no impide que el docente de matemática pueda

adaptar las tareas para ser abordadas por estudiantes que tienen

habilidades y aptitudes sobresalientes en la asignatura, de educación

primaria.


Una limitante que hay que tener en consideración al momento de la

implementación de la secuencia didáctica, es que se hace fundamental

que los estudiantes tengan un dominio adecuado de los contenidos

previos involucrados, ya que de lo contrario será muy difícil alcanzar los

objetivos propuestos para cada clase.

Considerando que la proporcionalidad es un objeto matemático que

permite relacionarse con el entorno inmediato de los estudiantes, es que

se hace primordial destacar la contribución que podría tener esta

propuesta de innovación a la comunidad educativa en la que se

implemente, ya que permiten no solo el desarrollo de contenidos, sino

que además el desarrollo habilidades matemáticas por parte del

estudiante, facilitándole su inserción dentro de la sociedad de la

información, para poder tomar decisiones dentro de ella.


REFERENCIAS

Abrate, R., Pochulu, M. y Vargas, J. (2006). Errores y dificultades en Matemática: análisis de causas y sugerencias de trabajo. Buenos Aires, Argentina: Universidad Nacional de Villa María.

Baba, T. (2007). la educación japonesa y el Estudio de Clases: una mirada de conjunto. En M. Isoda, A. Arcavi y A. Mena-Lorca (Ed.), El Estudio de Clases Japonés en Matemáticas: Su importancia para el mejoramiento de los aprendizajes en el escenario global (pp. 26-32). Valparaíso, Chile: Ediciones Universitarias de Valparaíso.

Bosch, M. (1994). La dimensión ostensiva en la actividad matemática.

El caso de la proporcionalidad (tesis doctoral). Department de Matemàtiques, Facultat de Ciències, Universitat Autònoma de Barcelona, Barcelona, España.

Boyer, C. (1999). Historia de la matemática. Madrid, España: Alianza Editorial

Duval, R. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Registros

Semióticos y Aprendizajes Intelectuales. Cali, Colombia: Universidad del Valle.

Duval R. (1995). Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques

et apprentissages intellectuels. Berne. Peter Lang Fernández, C. y Llinares, S. (2012). Características del desarrollo del

razonamiento proporcional en la educación primaria y secundaria. Enseñanza de las Ciencias, 30(1), 129-142.


Fernández, F. (2001). Proporcionalidad entre magnitudes. En E. Castro (Ed.), Didáctica de la matemática en la Educación Primaria (533-558). Madrid, España: Síntesis.

Fiol, M. y Fortuny, J. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el

número. Madrid, España: Síntesis. Gairín, J. y Escolano, R. (2009). Proporcionalidad aritmética:

buscando alternativas a la enseñanza tradicional. Suma, 62, 35-48.

Guacaneme, É. A. (2012). Significados de los conceptos de razón y

proporción en el Libro V de los Elementos. O.L. León (Ed.), Pensamiento, epistemología y lenguaje matemático.

Guacaneme, E. (2002). Una mirada al tratamiento de la

proporcionalidad en textos escolares de matemáticas. Revista EMA, 7(1), 3-42.

Gúmera, C. (2011). Registros de representación semiótica utilizados

para la proporcionalidad y la función lineal en los textos de matemáticas de 8º año básico y 1er año medio entregados por el MINEDUC en Chile 2010-11 (tesis de maestría). Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Valparaíso, Chile.

Isoda, M. y Olfos, R. (2009). El enfoque de resolución de problemas

en la enseñanza de la matemática a partir del estudio de clases. Valparaíso, Chile: Ediciones Universitarias de Valparaíso.

Marambio, V. y Castro, C. (2016). Texto del estudiante 7º básico. (pp.

96-128). Santiago, Chile: Santillana del Pacífico S.A. Mena-Lorca, A. (2007). El estudio de clases japonés en perspectiva.

Conferencia llevada a cabo en el XIII Jornadas de la Sociedad Chilena de Educación Matemática, Chile.

Merino, R., Muñoz, V., Pérez, B. y Rupin, P. (2016). Texto del

Estudiante Matemática 7.º. (pp. 137-159). Santiago, Chile: Ediciones SM Chile.

Mineduc (2015). Bases Curriculares - Matemática - 7º básico a 2º

medio. Recuperado de: http://www.curriculumenlineamineduc.cl/605/articles-37136_bases.pdf


Mineduc (2012). Bases Curriculares - Matemática - 1º básico a 6º

básico. Recuperado de: http://www.curriculumenlineamineduc.cl/605/articles-21321_programa.pdf

Mochón, S. (2012). Enseñanza del razonamiento proporcional y

alternativas para el manejo de la regla de tres. Educación Matemática, 24(1), 133-157.

Obando, G., Vasco, C. y Arboleda, L. (2014). Enseñanza y aprendizaje

de la razón, la proporción y la proporcionalidad: un estado del arte. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 17(1), 59-81.

Oller, A. y Gairín, J. (2013). La génesis histórica de los conceptos de

razón y proporción y su posterior aritmetización. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática, 16(3), 317 – 338.

Oller, A. (2012). Proporcionalidad Aritmética: Una propuesta didáctica

para alumnos de secundaria (Tesis doctoral). Universidad de Valladolid, Valladolid, México.

Ramírez, M. y Block, D. (2009). La fracción y la razón: un vínculo difícil

en las matemáticas escolares. Educación Matemática, 21(1), 63-90.

Sandín, M. (2003). Investigación cualitativa en educación:

Fundamentos y tradiciones. Madrid: McGraw Hill; Interamericana de España.

Torres, E. (2015). El conocimiento del profesor de Matemáticas en la práctica:

enseñanza de la proporcionalidad (tesis doctoral). Universitat Autònoma de

Barcelona, Barcelona, España.


ANEXOS

1.1. Instrumento de Recogida de datos

La piscina de un camping tiene una capacidad de 2500 m3. Esta piscina

cuando se le hace el recambio de agua, se llena en 12,5 horas a un ritmo

constante.

Mauricio es el supervisor a cargo de que la piscina se llene en correcto

orden, cuando ésta está completamente vacía. Él que va anotando sus

observaciones en el siguiente gráfico.


Ese día Mauricio sólo registra una observación en el gráfico, y otra lo hace

en libro de novedades, dejando la inscripción: “a la quinta hora de llenado

la piscina registra 800 m3”.

Su jefe al ver la indicación, le hace notar a Mauricio que ese valor es

incorrecto.

¿Estará en lo correcto el jefe de Mauricio? Fundamenta tu

respuesta.

1.2. Evidencias (Producciones de los Estudiantes)

pontificia universidad católica de valparaíso facultad de...

Documents