Polinomios

Maria José Morralla NicolauDarío Rozalén Badal

ALGEBRA(Iniciación)

ARITMÉTICA GEOMETRIA

FórmulasInterpretación geométrica

Funciones

Igualdades notables

Operaciones básicas

FactorizaciónRuffini

Valor numérico

Teorema del restoTeorema del factor

Raíces

Teorema fundamentaldel álgebra

Resolución deecuaciones

Gráficas

Expresiones racionales

POLINOMIOS

Situación de los polinomios en la enseñanza secundaria

¿Qué es un polinomio?-Pues una suma de monomios.

¿Y qué es un monomio?

¿Son monomios las siguientes expresiones?

A= πr2

πr24x5

P(x)=4x

5x

xy

f(x)=4x

3xy2

abcd

3x2 = 27

anxn

kzrf

Definición e interpretación geométricaDefinición:

Un polinomio es una suma de monomios. Un monomio es una expresión algebraica en la que solo aparece la multiplicación por un numero y la potenciación natural de números generalizados.Ejemplos:

monomios

polinomios

naxxyx ,4,3 32

012

23

323 ,634 axaxaxaxxx

Se llama grado del polinomio al mayor exponente de la xSe llama termino independiente al sumando sin x

4322 23 xxx

Interpretación geométrica:

11

1

x

1

1

x

x

1

x

x

x

Notas sobre la interpretación geométrica:

Solo podemos dibujar figuras geométricas de hasta 3 dimensiones, por tanto la interpretación geométrica se reduce a los polinomios de grado menor que 4.¿Representamos de la misma manera polinomios de distintos grados?

NOUn polinomio de grado 3 necesita 3 dimensiones pero uno de 2 no, aunque siempre podamos darle profundidad 1. Así, el siguiente polinomio lo podemos representar de varias maneras distintas según nos convenga:

P(x) = 2x2 + x + 2

x

x

x

1 11

Y el polinomio 2x + 1: O O x1

O

O O

Operaciones básicas con polinomios

Suma y resta:Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando

los monomios semejantes (del mismo grado). Para sumar P(x) = 2x3+2x2+3x+4 con Q(x) = x3 + 2x2 + x + 3 se procede así:

P(x) + Q(x) = (2x3+2x2+3x+4) + (x3 + 2x2 + x + 3) = (2+1)x3 + (2+2)x2 + (3+1)x + (4+3) P(x) + Q(x) = 3x3 + 4x2 + 4x + 7 

Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios.Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).

Interpretación geométrica de la suma:

P(x)

+

Q(x)

P(x) + Q(x)

Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

Producto:Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno

por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.

Por ejemplo: P(x)=2x + 3 , Q(x)=x2 + 3x + 2P(x)Q(x) = (2x + 3)(x2 + 3x + 2) = 2x3 + 6x2 + 4x +3x2 + 9x + 6 = 2x3 + 9x2 + 13x + 6

Interpretación geométrica:

P(x)

Q(x)

P(x)Q(x)

Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

División de polinomios:División entera: Sean dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) tales que el grado del

primero (N) es mayor que el del segundo (M) y P(x) múltiplo de Q(x), buscamosel polinomio C(x) (cociente) tal que P(x)=Q(x)C(x) , con grado N-M.

Interpretación geométrica:Si tenemos el siguiente polinomio

y lo queremos dividir por este otro,

notemos que estamos buscando la “altura”que hay que darle al segundo para obtener el primero,

así, obtendremos éste

División no entera:

Dados dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo queel grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) 0 siempre hallaremos dos polinomiosC(x) (cociente) y R(x) (resto) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que elgrado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q.

Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor seprocede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1:

5x3 + 7x2 - 3 | x2 + 2x - 1-5x3-10x2+5x 5x – 3 / -3x2 + 5x – 3 3x2 + 6x – 3 / 11x – 6

El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.

La descripción del proceso es la siguiente:El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numeradorpor el del denominador: 5x3: x2 = 5x. Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.

Valor numérico: Es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar,

luego, las operaciones indicadas.Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4  hallar  P(2) P(2) = 22 + 3.2 – 4 P(2) = 4 + 6 – 4 P(2) = 6

Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

Raíces:Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x=a

es cero.Ejemplo: a=1 es raiz de P(x)= x2 + 3x – 4, porque P(1)=1 + 3 - 4 = 0

Factorizar:Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios, no constantes,

de manera que su producto sea el polinomio dado.Nos interesa factorizar los polinomios en binomios del tipo x – a.

Para ello resulta muy útil la regla de Ruffini, que veremos a continuación.

Ejemplos: (x-1),(x+1) son factores del polinomio x2-1. Es decir podemos factorizar x2-1 en elproducto de los otros dos: x2-1 = (x-1)(x+1) O también: 2x3 +4x2-2x-4 = (x2-1)(2x+4)

Paolo RUFFINI  (1765 - 1822) :

Matemático y médico italiano, nacido en Roma, desarrollando toda su actividad en Módena, donde murió. Dedicó muchos años al estudio del problema de demostrar la imposibilidadde encontrar una expresión con radicales que resuelva una ecuaciónde quinto grado (problema que ocupó a generaciones de matemáticos),consiguiendo resolverlo, al igual que el matemático Niels H. Abel.Lo demostró, aunque deficientemente. El teorema sobre la imposibilidadde encontrar una fórmula para resolver las ecuaciones de quinto gradofue enunciado por primera vez por Ruffini en el libro Teoria generale delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798.La demostración de Ruffini fue, sin embargo, incompleta.Esta formulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue demostradadefinitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

Es muy conocida su regla para la división de un polinomio

en x por el binomio x - a. 

Se deben colocar todos los coeficientes deldividendo ordenados de mayor a menor grado y sifalta el de algún grado intermedio colocar un 0.

Regla de Ruffini VS Algoritmo de la división:Sea el polinomio generalizado P(x)=anxn + ... + a1x + a0 , vamos a dividirlo por el binomio

x – α , con α real.Regla de Ruffini:

Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.Se multiplica α por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente(el signo de α será positivo si el divisor es del tipo(x- α) y negativo si el divisor es del tipo (x+ α).

Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.Se continúa el proceso hasta terminarcon los coeficientes.

Algoritmo de la división:

Planteamos la división anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 | x – α El primer monomio del cociente se obtiene

dividiendo el monomio de mayor grado delnumerador por el del denominador: anxn : x = anxn-1

anxn-1Se multiplica anxn-1 por el divisor

-anxn + α anxn-1 El resultado se resta del dividendo

/ (an-1+α an)xn-1 + ... + a1x + a0 +(an-1+α an)xn-2 +... = C

R(x) = an α n

+ an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0

Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.

C = anxn-1 +(an-1+α an)xn-2 + ... + (an α n-1

+ an-1 α n-2 + ... + a2 α + a1)

C = bn-1xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b0

Teorema del resto:El resto de dividir un polinomio P(x) por x – α es igual al valor numérico del polinomio en x = α

Demostración de los algoritmos de la pagina anterior, tenemos:R(x) = an α

n + an-1 α

n-1 + ... + a1 α + a0

que es exactamente el polinomio evaluado en α.

Otra demostración como el cociente es x – α (grado 1), sabemos que el resto será de grado 0, es decir, un número. Sabemos también que P(x) = Q(x) . (x - α) + R.Entonces si en esa ecuación hacemos x = α, nos queda:P(α) = Q(α) . (α - α) + R P(α) = Q(α) . 0 + R P(α) = REl resto es igual al valor del polinomio en α.

Teorema del factor: Un polinomio P(x) tiene como factor x – α si el valor numérico del polinomio en x = α es cero.

Demostración P(α)= 0 Por el teorema del resto la división es exacta x – α es factor.

Propiedad:Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enterosson divisores del término independiente.

Demostración Si α es raiz de P(x) , el resto R(x) = an α n

+ an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0 = 0

a0= - (an α n

+ an-1 α n-1 + ... + a1 α) = - α (an α

n-1 + an-1 α

n-2 + ... + a1) - (an α

n-1 + an-1 α

n-2 + ... + a1) donde ai y α son enteros

α divide de forma entera a a0

0a

Ejemplo: Para factorizar x3 – 7x +6 utilizando la regla de Ruffini probaremos con todos los divisoresdel termino independiente.

6 es divisible por: 1,-1,2,-2,3,-3,6 y –6Veamos que no todos son raíces, pero que todas las raíces enteras son de ese grupo.

1 0 -7 6

-1 -1 1 61 -1 -6 12

1 0 -7 61 1 1 -6

1 1 -6 0

1 0 -7 6-2 -2 4 6

1 -2 -3 12

1 0 -7 62 2 4 -6

1 2 -3 0

1 0 -7 6-3 -3 9 -6

1 -3 2 0

1 0 -7 63 3 9 6

1 3 2 12

1 0 -7 6-6 -6 36 -174

1 -6 29 -168

1 0 -7 66 6 36 174

1 6 29 180

El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente: Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamentedistintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad. Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo) X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2) tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.

En otras palabras, todo P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0 se puede factorizar completamente, así :

an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0.

Teorema fundamental del álgebra:

Para los reales el teorema se queda en:

Todo polinomio de grado n, con coeficientes reales, se podrá factorizar en a lo sumo n factores.