POLINOMIOSLos polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física,química, economía y las ciencias sociales.

DEFINICIÓN ALGEBRAICALos polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.Polinomios de una variablePara a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como   o  , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) conan distinto de cero y  , entonces un polinomio,  , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

 

Un polinomio   no es más que una sucesión matemática finita   tal

que  .

Representado como:

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

        o       

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo.   Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.

monomio binomio trinomio

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

EXPONENCIACION EN UNA EXPRESION ALGEBRAICA

La exponenciación es una operación definible en un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de Banach (espacio vectorial normado completo que además es un anillo) que generaliza la función exponencial de los números reales.Cuando a y b son dos números enteros la operación   puede definirse en términos algebraicos elementales como equivalente a la potenciación. Sin embargo cierto número de problemas físicos concretos llevaron a tratar de generalizar la fórmula anterior a valores de b no enteros. Cuando b = 1/2 la operación equivale a una raíz cuadrada. Finalmente la exponenciación trata de generalizar la operación   a valores de b cualesquiera. Usualmente dicha operación puede reducirse al cálculo de la operación  . Este artículo generaliza esta operación a casos donde el exponente no es necesariamente un número real, sino un número complejo, un número cuaterniónico o más generalmente un elemento de un espacio de Banach.Dado un elemento de un álgebra de Banach tenemos definidas una operación conmutativa de suma y otra de multiplicación, lo cual permite definir el anillo de polinomios sobre dicha álgebra. Además por tener una norma puede definirse para algunas series formales de potencias una noción de convergencia y por tanto de límite. En esas condiciones puede definirse la siguiente operación:

MONOMIOS

Monomio se llaman así a las expresiones algebraicas en la que se combinan exponentes naturales y numerales. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a

la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término. pero solo si lo utilizamos así:

Ejemplos:

TERMINOS SEMEJANTESLos términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente. Ejemplo:

a^{2} y 5a^{2} son términos semejantes, además -4a^{2} y \frac{3}{5}a^{2} también son términos semejantes, pues su parte literal es decir a^{2} es la misma.

Algunos ejemplos más:3ab^{2} y -\frac{8}{3}ab^{2}, a^{3}b^{m+1} y -8a^{3}b^{m+1}, etc. En estos casos las parejas de términos tienen términos semejantes, la primer pareja tiene a ab^{2} como término semejante y en la segunda pareja lo es a^{3}b^{m+1}. El hecho de que tengamos términos semejantes en una expresión algebraica nos permite reducir dichos términos haciendo las operaciones que sean posibles entre ellos.

Imaginemos que tenemos la siguiente expresión algebraica:-8a^{3}b^{5}+3a^{3}b^{5}+a^{3}b^{5} Si queremos reducirla tendremos que realizar las operaciones que se nos piden. Es decir sumas y restas. Es mas fácil si la reacomodamos de la siguiente forma:

3a^{3}b^{5}+a^{3}b^{5}-8a^{3}b^{5}

Ahora para reducir términos semejantes tendremos que operar con los coeficientes de cada término. Los coeficientes en cada término son 3,1 y -8 respectivamente. Ahora vamos a sumar todos los coeficientes y al final agregar la parte literal.

3+1+(-8) = 4-8 = -4 y agregamos la parte literal "a^{3}b^{5}", el resultado final es:3a^{3}b^{5}+a^{3}b^{5}-8a^{3}b^{5} = -4a^{3}b^{5}

ADICION ALGEBRAICA

"La suma (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o mas sumandos (expresiones algebraicas), en una sola expresión llamada SUMA o ADICION." (Dr. A. Baldor)

CARACTERISTICA DE LA ADICION FINAL

En una suma algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los términos semejantes entre los sumandos, han sido simplificados totalmente.

Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.

PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA

1. PROPIEDAD DE CERRADURA: la suma de dos o mas polinomios dará como resultado otro polinomio.

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A+B=B+A

3. PROPIEDAD ASOCIATIVA: la suma es una operación binaria, que se realiza tomando dos sumandos, de una serie de ellos, obteniendo un resultado parcial, y éste sumándolo con el siguiente sumando, y así sucesivamente, hasta agregar todos los sumandos al resultado final. Esto puede hacerse comenzando desde la izquierda (lo usual) o desde la derecha (a causa de la propiedad conmutativa).

Sean A, B, C tres polinomios, entonces se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)

4. PROPIEDAD DE NEUTRO ADITIVO: existe un polinomio, llamado NEUTRO que al sumarse con cualquier otro polinomio no lo altera. Este NEUTRO es el 0.

Sean A y 0 dos polinomios entonces se cumple que: A+0=A

5. PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO: para cada polinomio queda definido otro que se llama su INVERSO ADITIVO, al sumarse ambos dan como resultado el NEUTRO ADITIVO de los polinomios.

Sean A y -A dos polinomios que son inversos aditivos entre si, entonces se cumple que: A+(-A)=0

CONCEPTOS DE RESTA ALGEBRAICA"La resta (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo hallar el sumando desconocido (DIFERENCIA, RESTA O SUSTRACCION), cuando se conocen la SUMA O ADICION (el MINUENDO) y uno de los sumandos (el SUSTRAENDO)." (Dr. A. Baldor)Otra definición dice que la resta es la operación inversa de la suma. y hay quienes van a afirmar que la resta es el resultado de sumar a un polinomio dado llamado minuendo, el inverso aditivo de otro polinomio que en tal caso se llamará sustraendo.Las tres explicaciones son válidas, y tendrán que coincidir en un hecho fundamental: la resta, adición o sustraccion es una operacion de comparacion, en la que se establece la diferencia entre dos polinomios, o bien lo que le falta a un polinomio para llegar a ser igual al otro.

PROPIEDADES DE LA RESTA ALGEBRAICA1. PROPIEDAD DE CERRADURA: la RESTA O DIFERENCIA de dos polinomios

dará como resultado otro polinomio.2. NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de MINUENDO Y

SUSTRAENDO si altera el resultado de la RESTA.Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-A

3. NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos POLINOMIOS.

CONSECUENCIAS DE LA PROPIEDAD DE CERRADURA EN LA RESTA ALGEBRAICASean tres polinomios M (MINUENDO), S (SUSTRAENDO) Y D (LA RESTA O DIFERENCIA), es posible verificar las siguientes situaciones:

M-S = D, la DIFERENCIA es el resultado de restar el SUSTRAENDO AL MINUENDO. M = D+S, el MINUENDO será el resultado de sumar la DIFERENCIA con el

SUSTRAENDO, o bien que EL SUSTRAENDO ES LO QUE LE FALTA A LA DIFERENCIA PARA SER IGUAL AL MINUENDO.

S = M - D, el SUSTRAENDO será el resultado de restar la DIFERENCIA al MINUENDO, o bien que LA DIFERENCIA ES LO QUE LE FALTA AL SUSTRAENDO PARA SER IGUAL AL MINUENDO.

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICALa multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicado, en valor absoluto y signo, lo que el mutiplicador es respecto de la unidad positiva.

El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.El orden de los factores no altera el producto

Observa la ley de los signos, exponentes, coeficientes para la Multipliación.La ley de los signos para la multiplicación es: Signos iguales dan + y signos doferentes dan -O sea:

+ por + da +- por - da ++ por - da -- por + da -

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

DIVISIÓN ALGEBRAICALa división es una operación que tiene por objeto, hallar el factor (cociente) del producto de dos factores (el dividendo entre el divisor)Observa la ley de los signos, exponentes, coeficientes para la division.La ley de los signos para la división es: Signos iguales dan + y signos doferentes dan -O sea:+ entre + da +- entre - da ++ entre - da -- entre + da -Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

La ley de los exponentes para la división es: Se deja la misma base y se restan los exponentes (el dividendo menos el divisor)Ejemplo:

PRODUCTOS NOTABLES

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dosbinomios conjugados, y recíprocamente.

Factor común

 por un término   se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es  , es decir, el producto de la base   por la altura  , y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas:   y 

Ejemplo: