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Funciones polinomiales

Instituto de Matematicas*

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Unviersidad de Anquioquia

Medellın, 25 de julio de 2011

1. Introduccion

Figura 1: F. Viete

Los polinomios forman una clase muy importante de funciones en ma-tematicas que estan definidos en terminos de sumas, restas y multiplica-ciones de monomios. Los polinomios aparecen en diversas areas de la ma-tematica y las ciencias naturales, usualmente en problemas de aplicacion queinvocuran ecuaciones polinomicas, y es por esto que es de gran importanciacontar con metodos para calcular y estimar (aproximar) sus raıces.

Encontrar las raıces de una ecuacion polinomica es uno de los problemasmas antiguos en matematicas. Sin embargo, los conceptos formales y lanotacion que actualmente utilizamos para resolver este tipo de problemas,solo fueron desarrollados a partir del siglo XV d. C. Antes de esto, lasecuaciones eran escritas en palabras y no con los sımbolos actuales.

El matematico frances Francois Viete (Fontenay-le-Comte, 1540 - Parıs,1603) es considerado uno de los precursores del algebra moderna. En su obra

principal Isagoge Artem Analycitem (“Introduccion al arte analıtico”), se presenta por primeravez una concepcion consistente y sistematica de la nocion moderna de ecuacion algebraica. Vieteintroduce el uso de sımbolos para representar los terminos que constituyen una ecuacion: vocalespara las incognitas y consonantes para los valores conocidos (coeficientes). Este enfoque, ademasde proporcionar metodos para resolver ecuaciones lineales y cuadraticas, permitio establecer larelacion que existe entre las formas de las soluciones de una ecuacion y sus coeficientes.

El trabajo de Viete al final del siglo XVI marca el inicio de lo que actualmente conocemos comoalgebra. Durante este perıodo se desarrollaron metodos para la busqueda sistematica de solucionesde ecuaciones de grado superior (y tecnicas para aproximar dichas soluciones) que finalmenteconducirıan al surgimiento del concepto de polinomio. Este perıodo fue testigo de la adopcion demuchas de las ideas del algebra en otras disciplinas matematicas como la geometrıa, el analisis y lalogica, y finalizo con el surgimiento de nuevos objetos matematicos que finalmente reemplazarıana los polinomios como tema principal de estudio del algebra.

2. Polinomios

Definicion 2.1. Se dice que f es una funcion polinomial de grado n, con coeficientes reales, si

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 con an 6= 0.

Ejemplo 2.2. .

1. f(x) = a0 con a0 6= 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el grado de f es 0.

2. f(x) = a1x+ a0 corresponde a la recta con pendiente a1 y el grado de f es 1.

*Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribucion - No comercial 2.5 Colombia.

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3. f(x) = a1x2 + a1x+ a0 es una parabola con eje vertical, el grado de f es 2.

Observacion 1. Todas las funciones polinomiales son funciones continuas (no tienen cortes niinterrupciones).

2.1. Casos especiales

El “comportamiento” de la grafica de una funcion polinomial dependera del grado de la funcion.Por ejemplo, para f(x) = axn tendremos las siguiente s dependiendo que el grado n sea par o impar.

Si n es un entero positivo impar (figura (2)), f es una funcion impar y la grafica de f es simetricacon respecto al origen. Notemos que conforme n aumenta, la grafica “crece” con mas “rapidez”para x > 1.

Si n es un entero positivo par (figura (3)), f es una funcion par y la grafica de f es simetricacon respecto al eje y. Observemos que a medida que el exponente aumenta, la grafica se “aplana”alrededor del origen.

1

-1

1-1

f3

f5f7

y

x

Figura 2: f3(x) = x3, f5(x) = x5, f7(x) = x7

1

-1

1-1

f2

f4

f6

y

x

Figura 3: f2(x) = x2, f4(x) = x4, f6(x) = x6

2.2. Teorema del valor intermedio para funciones polinomiales

Como la idea en esta seccion, es tratar de caracterizar las funciones polinomiales, el siguienteresultado nos dice otra propiedad importante de las mismas.

Teorema 2.1 (Teorema del valor intermedio). Si f es una funcion polinomial y f(a) 6= f(b) paraa < b, entonces f toma todo valor entre f(a) y f(b) en el intervalo [a, b]. Es decir, si k es cualquiernumero entre f(a) y f(b), por lo menos hay un numero c entre a y b tal que f(c) = k,

Graficamente tenemos lo siguiente:

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y

xa c b

f(a)

k

f(b)

y = k

Una consequencia del Teorema del valor intermedio es que si f(a) y f(b) tienen signos contrarios(uno positivo y otro negativo), al menos hay un numero c entre a y b tal que f(c) = 0, es decir, ftiene un cero (o raız) en c.

b

b

y

xa c b

(a, f(a))

(b, f(b))

y = f(x)

b

b

y1

x1a c b

(a, f(a))

(b, f(b))

y1 = f(x1)

Ejemplo 2.3. La funcion f(x) = −x4+3x3−2x+1 tiene un cero entre 2 y 3. Note que al sustituirx por 2 y 3, obtenemos que f(2) = 5 y f(3) = −5.

Ejemplo 2.4. Considera la funcion polinomial f(x) = x3 − x2 − 12x y encuentra los valores de xpara los cuales f(x) > 0 y f(x) < 0. Ademas trazar la grafica de f .

Solucion

Nota que podemos factorizar a f(x) como

f(x) = x3 − x2 − 12x

= x(x2 − x− 12)

= x(x + 3)(x− 4).

A partir de esta ecuacion vemos que los ceros, es decir los x tales que f(x) = 0, son los puntos−3, 0 y 4, ası que estos puntos nos dicen que podemos dividir el eje x en los intervalos (−∞,−3),(−3, 0), (0, 4) y (4,∞) y de la misma manera que en desigualdades podemos resumir la situacioncon la siguiente tabla:

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XXXXXXXXXX

f(x)intervalo

(−∞,−3) (−3, 0) (0, 4) (4,∞)

x − − + +(x+ 3) − + + +(x− 4) − − − +

Signo f(x) − + − +

Concluimos que f(x) > 0 en (−3, 0) y (4,∞) y f(x) < 0 en (−∞,−3) y (0, 4), lo cual representamosgraficamente como

y = x3 − x2 − 12x

y

x−3 0 4

3. Propiedades de la division

Sean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f(x), si f(x) es divisiblepor g(x).

Ejemplo 3.1. .

1. x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x+ 3 y entre x− 3. (Producto notable)

2. x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 − 3x2 + 9. (Producto notable)

3. 7x2 + 3x− 10 es divisible entre x2 − x+ 10. (Division sintetica)

Teorema 3.1 (Algoritmo de la division para polinomios). Si f(x) y p(x) son polinomios y sip(x) 6= 0, entonces existen polinomios unicos q(x) y r(x) tales que

f(x) = p(x)q(x) + r(x)

donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El polinomio q(x) se conoce comoel cociente y el polinomio r(x) se conoce como el residuo en la division de f(x) entre p(x).

A traves del siguiente ejemplo, recordemos el procedimiento de la division de polinomios.

Ejemplo 3.2. . Divide 3x4 + 2x3 − x2 − x− 6 entre x2 + 1.

Solucion

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3x4 +2x3 −x2 −x −6 x2 + 1−3x4 −3x2 3x2 + 2x− 4

0 2x3 −4x2 −x −6−2x3 −2x

0 −4x2 −3x −64x2 4

0 −3x −2

Por tanto, tenemos que

3x4 + 2x3 − x2 − x− 6 = (3x2 + 2x− 4)(x2 + 1)− 3x− 2.

Un caso especial del algoritmo de la division es el siguiente teorema:

Teorema 3.2 (Teorema del residuo). Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces elresiduo es f(c).

Ejemplo 3.3. Sin efectuar la division, calcula el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x− 7 entre x+ 3.

SolucionSegun el teorema, el residuo que se obtiene al dividir el polinomio dado f(x) entre x+ 3 es

f(−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3)− 7 = 81− 135 + 45 + 12− 7 = −4.

Puedes comprobar el resultado efectuando la division (ejercicio). A partir del teorema delresiduo, obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 3.3 (Teorema del factor). Un polinomio f(x) tiene un factor x− c si y solo si f(c) = 0.

Ejemplo 3.4. Por medio del teorema del factor, demuestra que x− 5 es un factor de

f(x) = x3 − 8x2 + 19x− 20.

SolucionNotemos que x− 5 sera factor de f(x) si f(5) = 0. En efecto,

f(5) = 53 − 8(5)2 + 19(5)− 20 = 125− 200 + 95− 20 = 0.

Al dividir un polinomio f(x) entre x − c, las operaciones resultantes pueden ser bastante lar-gas si se utiliza la division ordinaria. Existe un metodo para efectuar rapidamente esta divisiondenominado division sintetica.

El profesor te ilustrara en el tablero el procedimiento de division sintetica por medio del siguienteejemplo.

Ejemplo 3.5. Dividir el polinomio 3x3 − 4x2 − 2x− 7 entre x− 2

Solucion

3 − 4 − 2 − 7 | 2+6 + 4 + 4

3 + 2 + 2 |−3

El cociente esta dado por 3x2 + 2x+ 2 y el residuo es −3.

Observacion 2. No olvides que este metodo se aplica solo cuando el divisor es de la forma x− c

En terminos de notacion de esta seccion podemos concluir que las siguientes expresiones sonequivalentes:

1. f(a) = b (el valor de f en x = a es igual a b).

2. El numero a es solucion de la ecuacion f(x) = b.

3. El punto (a, b) esta en la grafica de f .

4. Si f(x) se divide entre x− a, el residuo es b.

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4. Teorema fundamental del algebra

el teorema fundamental del algebra que afirma que toda ecuacion polinomica de grado n, concoeficientes complejos, tiene n raıces complejas. Aunque desde la antiguedad era conocido quemuchas ecuaciones polinomicas particulares satisfacıan el teorema, fue solo hasta el siglo XVIIIque el matematico aleman Carl Friedrich Gauss lo demostro. Este teorema fue fundamental paraestablecer las bases conceptuales que permitieron consolidar al algebra como una disciplina deestudio de las matematicas.

Los ceros de un polinomio f(x) son las soluciones de la ecuacion f(x) = 0 y geometricamentecorresponden a las intersecciones con el eje x de la grafica de f . El polinomio de grado n = 1,f(x) = ax + b tiene un cero, −b/a. El polinomio de grado n = 2, f(x) = ax2 + bx + c posee al

menos un cero que esta dado por −b+√

b2−4ac2a o −b−

√

b2−4ac2a . En general, para polinomios de grado

n tenemos el siguiente resultado:

Teorema 4.1 (Teorema fundamental del algebra). Todo polinomio de grado n ≥ 1 posee al lomenos un cero, que puede ser real o complejo.

Los teoremas del factor y del residuo vistos en el taller anterior se pueden extender al sistemade los numeros complejos. Ası, el numero complejo z = a+ bi es un cero de un polinomio f(x) siy solo si x− z es un factor de f(x). Como consecuencia del teorema fundamental del algebra (4.1)tenemos el siguiente resultado:

Teorema 4.2 (Teorema de factorizacion completa para polinomios). Si f(x) es un polinomio degrado n ≥ 1, entonces existen n numeros complejos z1, z2, . . . , zn tales que f(x) = a(x− z1)(x−z2) · · · (x− zn), donde a es el coeficiente principal de f(x).

Observemos que cada numero zk en el teorema de factorizacion completa (4.2) es un cero def(x) y cada uno de estos ceros puede repetirse, por ejemplo f(x) = x2 − 2x + 1 tiene dos cerosiguales: z1 = z2 = 1, pues f(x) = (x− 1)2. Otros ejemplos son los siguientes:

Polinomio f(x) Forma factorizada Ceros de f(x)

5x3 − 30x2 + 65x 5x(x− (3 + 2i))(x+ (3 + 2i)) 0 , ±3 + 2i

x2 + 3x+ 4

(

x−(

−3

2+

√7

2i

))

·(

x−(

−3

2−

√7

2i

))

−3

2±

√7

2i

−6x3 − 2x2 − 6x− 2 −6

(

x+1

3

)

(x+ i)(x− i) −1

3, ±i

Si todos los ceros enunicados en el teorema de factorizacion completa (4.2) son distintos. . .

Teorema 4.3 (Numero maximo de ceros de un polinomio). Un polinomio de grado n tiene a losumo (como maximo) n ceros complejos diferentes.

Definicion 4.1. Si un factor, digamos x− c, se presenta m veces en la factorizacion del polinomiof(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la ecuacion f(x) = 0.

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Ejemplo 4.2. Para el polinomio f(x) = x(x−1)2(x−4)3 tenemos que 4 es un cero de multiplicidad3, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 0 es un cero de de multiplicidad 1.

Teorema 4.4 (Numero exacto de ceros de un polinomio). Si f(x) es un polinomio de gradon ≥ 1 y si cada cero de multiplicidad m se cuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente nceros.

Ejercicio 4.3. Exprese f(x) = x5 − x4 − 2x3 como producto de factores y encuentra sus ceros.

Solucion. Observemos que f(x) = x3(x2 − x − 2) = x3(x + 1)(x − 2) luego los ceros de f(x) son0, 0, 0,−1, 2.

5. Ceros racionales e irracionales

No todo polinomio tiene ceros racionales, pero en caso de tenerlos, los podemos hallar conayuda del siguiente teorema

Teorema 5.1 (Ceros racionales de un polinomio). Todo cero racional de un polinomio

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

es de la formac

d, donde c es un factor de a0 y d es un factor de an.

Ejercicio 5.1. Halla todos los ceros de f(x)=x6 + 3x5 − 13x4 − 25x3 + 50x2 + 24x.

Solucion. Primero observemos que f(x) = x · (x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x+ 24) y por tanto 0es una raız de f(x) = 0. Descartando esta raız obtenemos la ecuacion

x5 + 3x4 − 13x3 − 25x2 + 50x+ 24 = 0.

Como a5 = 1 y a0 = 24, las posible raıces racionales son:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 y ± 24.

Probamos con 1 (no hay un orden especıfico para hacer esto), utilizando division sintetica:

1 3 −13 −25 50 24 2

↓ 2 10 −6 −62 −24

1 5 −3 −31 −12 0

=⇒ f(x) = (x− 2)(x4 + 5x3−3x2−31x−12

)

︸ ︷︷ ︸

q1(x)

Repetimos el procedimiento con el polinomio q1(x) y probamos con −3:

1 5 −3 −31 −12 −3

↓ −3 −6 27 12

1 2 −9 −4 0

=⇒ f(x) = (x− 2)(x+ 3)(x3−2x2−9x−4

)

︸ ︷︷ ︸

q2(x)

Para el polinomio q2(x) probamos con −4:

1 −3 −31 −12 −4

↓ −4 28 12

1 −7 −3 0

=⇒ f(x) = (x − 2)(x+ 3)(x+ 4)(x2−7x−3

)

︸ ︷︷ ︸

q3(x)

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Para el polinomio q3(x) = x2 − 7x− 3 tenemos que sus raıces estan dadas por

−(−7)±√

(−7)2 − 4 · (−3)

2=

7±√61

2=

7

2±

√61

2

Por tanto, f es un polinomio de grado 5 que tiene 3 ceros racionales y 2 ceros irracionales:

f(x) = (x− 2)(x+ 3)(x+ 4)

(

x−(

7

2−

√61

2

))(

x−(

7

2+

√61

2

))

.

Observacion 3. El polinomio anterior tiene dos ceros irracionales que se presentan en “pares con-jugados”. En general, se presenta la siguiente situacion

Teorema 5.2 (Ceros irracionales conjugados). Si los coeficientes de

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · a1x+ a0

son enteros y si c1 = s+ t√u es un cero irracional de p(x) (u no es cuadrado perfecto), entonces

c2 = s− t√u tambien es un cero de p(x).

Finalizamos esta seccion con el siguiente resultado

Teorema 5.3 (Suma y producto de ceros). La suma y el producto de los ceros del polinomio

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · a1x+ a0 , an 6= 0

vienen dados en terminos de sus coeficientes por medio de

Suma de ceros = −an−1

any Producto de ceros = (−1)n

a0an

6. Ceros complejos

El teorema fundamental del algebra (4.1) nos garantiza que todo polinomio de grado n ≥ 1posee al menos un cero, que en algunos casos resulta ser real y en otros complejo. Cuando los cerosson complejos (parte imaganiria no nula) y los coeficientes del polinomio son reales, tenemos elsiguiente resultado

Teorema 6.1 (Ceros conjugados de un polinomio). Si un polinomio f(x) de grado n > 1 tienecoeficientes reales y si z = a+ bi con b 6= 0 es un cero complejo de f(x), entonces el conjugadoz = a− bi tambien es un cero de f(x).

Ejercicio 6.1. Encuentre un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga como ceros a−3 + 2i y 1− 4i.

Solucion. Por el teorema anterior −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i, son los ceros de f(x). Porel teorema del factor f(x) se puede expresar como el producto de x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i),x− (1− 4i) y x− (1 + 4i), ası

f(x) = [x− (−3 + 2i)][x− (−3− 2i)][x− (1− 4i)][x− (1 + 4i)]

= [x2 + 6x+ 13][x2 − 2x+ 16]

= x4 + 4x3 + 17x2 + 70x+ 208.

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Observacion 4. Aunque el teorema de factorizacion completa (4.2) nos garantiza que todo po-linomio p(x) de grado n ≥ 1 se puede expresar como producto de factores lineales p(x) =a(x− z1)(x− z2) · · · (x− zn), estos factores no siempre tendran coeficientes reales.

Teorema 6.2. Todo polinomio con coeficientes reales se puede expresar como el producto defactores lineales y/o cuadraticos con coeficientes reales.

Ejemplo 6.2. El polinomio p(x) = x3 − x2 +4x− 4 tiene coeficientes reales y se puede factorizarcomo producto de factores lineales y cuadraticos (con coficientes reales)

p(x) = x3 − x2 + 4x− 4 = (x3 − x2) + (4x− 4) = x2(x− 1) + 4(x− 1) = (x− 1)(x2 + 4)

o como producto solo de factores lineales (pero con coeficientes complejos)

p(x) = (x− 1)(

x−√2 i)(

x+√2 i)

.

Referencias

[1] I. Stewart, Historia de las matematicas. Crıtica, 2008.

[2] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Algebra y Trigonometrıa con Geometrıa Analıtica, undecimaedicion, editorial Thomson, 2006.