polinomios

ÁLGEBRA

3. POLINOMIOS ESPECIALES Polinomio Homogéneo: Todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, cuyo grado se llama grado de homogeneidad. Ejemplo :

P(x; y) = 6x5y

3 – 3x

4y

4 + 6x

6y

2

El polinomio P(x; y) es homogéneo de grado 8°.

Polinomio Ordenado: Los exponentes de una de sus variables están aumentando o disminuyendo (variable ordenatriz) Ejemplo : P(x; y) = x

4y

3 + 2x

2y

5 – 3xy

8

a) Es ordenado respecto a la variable “x”

en forma descendente. b) Es ordenado respecto a la variable “y”

en forma ascendente.

Polinomio Completo: Si figuran todos los exponentes de una de sus variables, desde un valor máximo (mayor exponente) hasta cero (término independiente).

# Términos = Grado + 1

Ejemplo : P(x; y) = x

3 + 4x

2y– 3xy

2 + 5

* El polinomio es completo respecto a la variable “x”.

Polinomio Idéntico: Los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

Ejemplo :

ax2 + bx + c mx

2 + nx + p

Identidad

Debe cumplirse que :

a = m ; b = n ; c = p

Polinomio idénticamente nulo Todos sus coeficientes son iguales a cero.

Ejemplo : ax

2 + bx + c = 0

Debe cumplirse que : a = 0 ; b = 0 ; c = 0

4. VALOR NUMÉRICO:

Es el resultado que se obtiene luego de reemplazar el valor asignado a las variables y realizar las operaciones indicadas. VALORES NUMERICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = término independiente P(1) = Suma de coeficientes Polinomio constante

P(x) = m (m0) Su grado es cero.

5. OPERACIONES: ADICIÓN: Se escriben las expresiones algebraicas unas a continuación de otras con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. SUSTRACCIÓN: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. MULTIPLICACIÓN: Se Multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de signos y se reducen los términos semejantes.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Determina el grado relativo a “x” en “P”, si el grado absoluto de Q es 6.

P(x) =xm-4

– mxm-3

– xm-2

+ 1

Q(x) = 4xm + mx

m+2 – 9x

m+1

Solución :

m + 2 = 6 m = 4 Ahora : m-2 = 4-2 = 2 2).-Se sabe que el polinomio : P(x) = 4x

3 + 3x

2 + mx+x - n+5; es tal

que : P(1) = 15y P(0) = 2. Halla P(-2) Solución :

P(1) = 4(1)3 + 3(1)

2 + m+1-n+5 = 15

4+3 + m+1-n+5=15 m-n = 2 P(0) =4(0)

3 + 3(0)

2 + m(0) + 0 – n+5 = 2

n = 3 m - 3 = 2 m= 5

P(x) = 4x3 + 3x

2 + 6x + 2

P(-2) = 4(-2)3 + 3(-2)

2 + 6(-2) + 2

P(-2) = -32 + 12 – 12 + 2

P(-2) = -30

3).- Sabiendo que : P(x) = x

2 + ax + bx + ab

Halla :

Solución :

P(a) = 2a(a+b) P(b) = 2b(a+b) 4a

2b

2(a+b)

2

P(0) = ab

4).- Dado el polinomio completo y

ordenado.

Cuyo número de términos es (n + 1)

Determina :

PR. Solución:

8m + 25 = 1

. Siendo E

m

pn

2xxP

2p

x.....1p 258m m

x4m3n

2

222 )ba(ab2)ba(ba4

)0(P).b(P).a(P

II. POLINOMIOS

1. DEFINICIÓN

Son expresiones algebraicas racionales enteras de dos o más términos. Es decir , la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.

Ejemplo :

x4 – 2x

2 + 3 ; x

5 – 3x

4 + 5 x

2 + ½ x

1.1. NOTACIÓN

P(x, y) = 3abx5y

6

3ab coeficiente (constantes)

x; y variables

Las variables se encierran entre paréntesis, así :

P(x) P(x, y) P(x, y, z)

2. GRADO

Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay de dos tipos: - Grado Relativo. -Grado Absoluto. 2.1. GRADO DE UN MONOMIO

Es siempre una cantidad entera positiva y son de dos clases : a) Grado Absoluto:

Se obtienen sumando los exponentes de sus variables. b) Grado Relativo:

Es el exponente de una variable.

2.2. GRADO DE UN POLINOMIO:

a) Grado Absoluto:

Está dado por el término de mayor grado absoluto.

b) Grado Relativo:

Es el mayor exponente de una variable.

1 9

ÁLGEBRA

5).- Sea el monomio:

Donde G.A.(M)=2 . Halla el coeficiente de dicho monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) –1/3 e) 5/4

23).- Dado el monomio:

Halla su grado absoluto: a) 48 b) 98 c) 78 d) 58 e) 68


Si: G.A. de M=600. Halla : “m+n+p” a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500


Si: GR(x)=3 GA=7 Halla el coeficiente del monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


Si: GR(x)=6 GR(y)=2 Halla el coeficiente del monomio. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4


Si: G.A.=18

Calcula: a) 210 b) 211 c) 212 d) 213 e) 214

11).- Si los términos : t1(x; y) = bx

3y

a+1

t2(x; y) = (a + b)xb+2

y4

t3(x; y) = axa

yb+3

Son semejantes , calcula su suma: a) 4x

3y

4 b) 6x

3y

4 c) 8x

3y

4

d) 5x3y

4 e) 9x

3y

4

12).- Dado el polinomio : P(x) = 2x

2(1 + x

4) – 3x

6 – 5

Calcula :

a)1,3 b)1,4 c)1,5 d)1,6 e)2 13).- Si el grado absoluto de :

es 19 y el grado relativo de “y” es 7, calcula “m” a) 9 b) 12 c) 10 d) 11 e) 1

14).- Si :

es de 4to grado. Halla “n” : a) 6 b) –4 c) 4 d) 3 e) 2

15).-Calcula: P(P(0))

Si: P(x)= x2 – x + 1

a) -2 b) 1 c) 0 d) -1 e) 2 16).- Si: P(x)= x

2 – 3x + 1

Calcula:

a) -2 b) 1 c) 4 d) -4 e) 2

17).- Si P(x) = 2x2 +

Calcular P(-1/2) a) 17/120 b) 91/120 c) 11/120 d) 97/12 e) 1/120

18).- Si : P(x) = Determina : P(P(x))

a) x b) 2x c)–x d)x/2 e)-x/2

19).- Dado el monomio:

para qué valor de “n”; M(x) es constante. a) 4 b) 0,5 c) 10 d) 1,3 e) 14 20).- En el monomio:

Se cumple que: G.A. = 83 y G.R.(y) = 20 Halla: a + b

a) 4 b) 9 c) 10 d) 8 e) 14 21).-Determina ( m- n), si el monomio:

Es de segundo grado respecto de “a” y de séptimo grado absoluto. a) 4 b) 9 c) 5 d) 13 e) 6 22).- Si el monomio:

es de tercer grado, entonces el valor de “m” es :

a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25

23).- Halla el valor de “n” en el monomio:

Sabiendo que es de primer grado. a) 1/9 b) 2/9 c) 9/2 d) 4/9 e) 9/5

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) d 3) e

4) e 5) c 6) c

7) a 8) c 9) c

10)a 11)c 12)d

13)d 14)d 15)b

16)c 17)b 18)a

19)b 20)d 21)a

22)c 23)c

)x(M

x

x.x 2n3 3n

1n6

x

xx 2m

2m3

)b,a(M

ba

ba 6nnm3

32

n1

)b2a5(4)b3a2(3 y.x)y,x(M

)x(m

x

x.x 1n23n2 3

45n2

2x1x2

3 3 x5

13

E 3P)4(P

)1(P)2(P

)x(

x)x(

n2

4n32n

yx

y;xM yx n32n21

m2m1

E

)0(P

)1(P)1(P

.xGRT zGR.yGR

z.y.x16z;y;xM 3a2a1a

bay;xM y.x

6a

baba

b

y;xM y.xa

4a

4a

a

ba

p3n2m2p2n3mpnm3 z.y.x2z;y;xM

323 xyyxyx)y;x(M 2

2

2

2

y;xM

14a yx .6a2

23a2a

5a4a

m = -3 (-3)

2 – 3n – 4 (-3) = 0

n = 7 P

2 + P + 1 = n = 7

P = -3 P = 2

Luego :

33

7 2

m

n pE

3

4

3

7 3E

5).- Que valor debe asignarse a “n” en la

expresión:

(xn+2

+xn+1

yn+y

n+1)n

de modo que su grado absoluto excede en 9 al grado relativo de “y”. Solución:

GA = GR(y) + 9 (2n + 1)n = (n+1) n+9 2n

2 + n = n

2 + n + 9

2n2 – n

2 = 9

n2 = 9

n = 3

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02

1).-Determina “m”, si el grado de la expresión: x

4y

m + x

5y

m+1 + xy

m + mx

my

5 es igual a 8.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2).- Determina el grado relativo a “y” si el grado respecto de “x” en :

xn-3

y4 + 2x

n – 1y

n+3 + xy

n es 9

a) 4 b) 9 c) 10 d) 13 e) 14 3).- Determina mn, si se sabe que el

polinomio: P(x) = x

m-3 + mx

n-4 + nx

m-5 , m es

completo y ordenado. a) 16 b) 20 c) 24 d) 36 e) 25

4).- Si el siguiente polinomio de 14

términos es completo y ordenado : P(x)=x

n+4 + . . .+ x

a-1 + x

a-2 + x

a-3

Calcula : “a + n” a) 3 b) 9 c) –4 d) 16 e) 12

2

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