Definicin de polinomio

Un polinomio es una expresin algebraica compuesta de dos o ms monomios. Un polinomio es una expresin algebraica de la forma:P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0Siendo an, an -1 ... a1 , ao nmeros, llamados coeficientes. ao es el trmino independiente.Grado de un polinomioEl grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.Polinomio de grado ceroP(x) = 2Polinomio de primer gradoP(x) = 3x + 2Polinomio de segundo gradoP(x) = 2x2+ 3x + 2

Races de un polinomioLa raz de un polinomio es un nmero tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las races del polinomio. Por ejemplo el polinomio f(x) = x2 + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos: x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.

(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.

x = - 4 Solucin 1

x = 3 Solucin 2

Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son races del polinomio f(x)= x2 + x - 12 Teorema fundamental del lgebraCarl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemticos ms grandes de todos los tiempos. Contribuy a muchas ramas de las matemticas. En 1798, a los 20 aos de edad !, Gauss demostr el teorema fundamental del lgebra que dice lo siguiente: Todo polinomio de grado n tiene n races.Es decir que la ecuacin an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + ... + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 tiene n soluciones. Recordemos que es esta pgina slo tendremos polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la funcin, las races y la grfica y verfica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n races.

Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las races y hay n races para todo polinomio de este grado, entonces: f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + ... + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)

donde r1, r2, ... , rn son las races de f(x).

La demostracin de este teorema queda lejos del objetivo de esta pgina sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n races.Regla de los signos de DescartesRen Descartes (el mismo del plano cartesiano) encontr un mtodo para indicar el nmero de races positivas en un polinomio. Esta regla dice lo siguiente: "El nmero de races reales positivas de un polinomio f(x) es igual al nmero de cambios de signo de trmino a trmino de f(x)" Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada trmino.Por ejemplo el polinomio f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer trmino, por lo tanto tiene una raz positiva. g(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos races positivas h(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos races positivas i(x)= x3 + 4 x2 + 3 x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene races reales positivas. j(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 Cuntas races positivas tiene? Conjunto de posibles racesExiste un mtodo para encontrar un conjunto de nmeros, los cuales pueden ser races de un polinomio. La regla que mencionaremos aqu es aplicable slo para polinomios con el coeficiente de la potencia mayor de x igual a 1. Es decir, si f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + ... + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 tomaremos a an = 1. Esto es que slo trabajarmos con polinomios de la siguiente forma:

f(x) = xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + ... + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

El conjunto de posibles races de f(x) se forma con los divisores de a0 (del trmino independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo. La forma en que podemos usar esta informacin del trmino independiente es la siguiente, puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raz de f(x) hay que evaluar a f(x) en algun valor de este conjunto y si el resultado de la evaluacin es cero, entonces ese valor escogido es raz de f(x). En la siguiente tabla mostramos varios polinomios, los divisores del trmino independiente y las races de los polinomios:Funcin Divisores del trmino independiente Races

f(x)= x2 + x - 12 1, 2, 3, 4, 6, 12,-1, -2, -3, -4, -6, -12 - 4 y 3

f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 1, 2, 3, 6,-1, -2, -3, -6 - 1, 2 y 3

f(x)= x4 - 5 x2 + 4 1, 2, 4,-1, -2, -4 - 2, - 1, 1 y 2

f(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 1, 2, 3, 6,-1, -2, -3, -6 1, - 2 y 3

Teorema del factorEl polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y slo si P(x = a) = 0.Al valor x = a se le llama raz o cero de P(x).Las races o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.Teorema del factorDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En lgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresin en la cual los trminos slo son sumados, sustrados o multiplicados, e.g. x2 + 6x + 6). Es un caso especial del teorema del resto.El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x k) si y slo si k es una raz de f(x), es decir que f(k) = 0.