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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN Y CULTURA

Transformación Educativa

Diplomado Prácticas Docentes en las Matemáticas de Secundaria

Material del Participante

Junio - Octubre, 2011

Número de Certificado: ATR0207

Vigencia de Certificación: 16-06-09 a 17-06-12

Conchita

Sello

Diplomado:

Prácticas Docentes en las Matemáticas de

Secundaria

Material del Participante

“Material del Participante” para el Diplomado “Prácticas docentes en las matemáticas de secundaria”,

fue elaborado en mayo de 2011 por la Universidad de Sonora, bajo convenio de colaboración con la

Secretaría de Educación y Cultura del Estado de Sonora.

Secretaría de Educación y Cultura del Estado de Sonora M.C. Jorge Luis Ibarra Mendívil Secretario de Educación y Cultura Mtra. Shirley Guadalupe Vázquez Romero Subsecretaría de Educación Básica

Coordinación General:

Dra. Silvia Elena Ibarra Olmos Dra. Norma Guadalupe Pesqueira Bustamante Mtra. Gabriela Mora Coordinación Académica:

Dra. Silvia Elena Ibarra Olmos

Autores: Dra. Silvia Elena Ibarra Olmos

M.C. Martha Cristina Villalba Gutiérrez

M.C. Maricela Armenta Castro

M.C. Ana Guadalupe Del Castillo Bojórquez

Dr. Agustín Grijalva Monteverde

Dr. José Luis Soto Munguía

M.C. Manuel Alfredo Urrea Bernal

Dr. Ramiro Ávila Godoy

Colaboración:

L.M. María Antonieta Rodríguez Ibarra

Edición:

Martha Cristina Villalba Gutiérrez

Maricela Armenta Castro

José Luis Soto Munguía

Manuel Alfredo Urrea Bernal

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra no podrá ser reproducido total ni parcialmente, ni almacenarse en sistemas de reproducción, ni transmitirse por medio alguno sin permiso de los titulares de los derechos correspondientes. Primera Actualización 2012 D.R. © Secretaría de Educación y Cultura, 2011 Blvd. Luis Donaldo Colosio final sin número, Col. Las Quintas. C.P. 83240, Hermosillo, Sonora, México. ISBN en trámite

i

ÍN D I C E

Presentación 1

MÓDULO I

Evaluaciones del aprendizaje de las matemáticas y su relación con la

práctica docente

Introducción 9

Actividad 1

Reactivos de evaluación del aprendizaje de las matemáticas

Trabajando con algunos reactivos 1

Actividad 2

Analizando tres reactivos del examen aplicado por el IEEES

Descripción General del Examen del IEEES 12

Un reactivo sobre un triángulo y la circunferencia 13

Una relación entre insectos y alimentos 18

Un problema sobre la mediana 23

Análisis integrador 26

Actividad 3

Los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (EXCALE)

Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo. Aspectos relevantes 27

Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (EXCALE 09) Análisis de

reactivos.

29

o Un reactivo de probabilidad 29

o Un reactivo de sistemas de ecuaciones lineales 31

o Un reactivo de proporcionalidad inversa 33

o Construyendo una valoración global

35

ii

Actividad 4

Analizando reactivos de la Prueba ENLACE

¿Qué es el ENLACE? 37

Analizando tres reactivos de la Prueba ENLACE 40

o “Pregunta No. 47” 40



Uso de los resultados de Evaluación 50

Actividad 5

Análisis de Reactivos PISA

¿Qué es PISA? 51

Análisis de algunos reactivos de PISA 54

o En “El Área Continental” 54

o En “Las Manzanas” 56

o En “Granjas” 58

Análisis de la estructura de los reactivos de PISA 60

La prueba de PISA y el Sistema Educativo Mexicano 63

Implicaciones de la Prueba PISA 64

Cierre 66

Anexos

Anexo “PISA” 67

Anexo ¿Qué es PISA? 72

iii

MÓDULO 2

Los planes de clase y otros materiales de apoyo para la actividad docente

Introducción 79

Actividad 1

Materiales de apoyo a la actividad docente

El uso de los planes de clase de matemáticas y los materiales

didácticos sugeridos en los mismos.

80

Compartiendo reflexiones 80

Actividad 2

Primer Grado: Bloque 1, Apartado 8

El subtema: Diagramas y Tablas en el Programa de Estudios de

secundaria

81

Resolviendo las consignas de los planes de clase 82

Analizando planes de clase 83

El libro de texto 96

Actividad 3

Segundo Grado: Bloque 3, Apartados 3 y 4

Resolviendo las consignas de los planes de clase 97

o Las Consignas del Apartado 4 97

o Las Consignas del Apartado 5 99

Planes de Clase y Programas de Estudio 2006 101

Analizando los planes de clase de los Apartados 4 y 5 102

o Los Planes de Clase del Apartado 4 102

o Los Planes de Clase del Apartado 5 112

Planteando algunas situaciones problemáticas

Otra versión de los planes de clase

118

122

iv

Actividad 4

Tercer Grado: Bloque 3, Apartado 1

Las Relaciones Funcionales en el Eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico, del Programa de Estudios de tercero de secundaria

123

Las situaciones propuestas en cada consigna de los planes de clase para el subtema Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1

125

Análisis de los elementos que conforman los planes de clase para el subtema Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1

130

El tratamiento del subtema Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1 en nuestro libro de texto

135

Cierre 135

Anexos 137

MÓDULO 3

Actividades didácticas e integración del conocimiento

Introducción 143

Actividad 1

Las tarifas de agua potable

Primera Etapa. El recibo de agua potable

144

o Analizando nuestro recibo 144

o Seleccionando información y generando datos 144

o Recuperando información de los datos.

145

v

Segunda Etapa. Las tarifas de agua potable en la ciudad de Hermosillo, Son.

146

o Conozcamos las tarifas de agua potable de la capital del Estado de Sonora

147

o La relación metros cúbicos-tarifa y sus representaciones 148

o La relación metros cúbicos-costo y sus representaciones 150

o ¿Qué otros datos aparecen en los recibos? 152

Tercera Etapa. Análisis didáctico de la Actividad 153

o Análisis didáctico de la actividad 153

o Introduciendo variantes a la presente actividad 155

Actividad 2

Crecimiento poblacional del Estado de Sonora

Crecimiento demográfico en Sonora 156

Interpretar información de textos 156

¿Cuál será la población en…? 159

Crecimiento demográfico en la geografía sonorense 162

Elementos puestos en práctica al resolver la actividad 164

Cierre 168

Actividad 3

Visualizando la media aritmética de dos números

Crecimiento de la población en México entre 1950 y 2010 169

Algunos datos que no están en la Figura 3.1 170

Recortando un trapecio 171

Deformando un trapecio 172

vi

Análisis didáctico 175

Introduciendo variantes a la presente actividad

176

Actividad 4

Índice de Masa Corporal

¿Qué es el índice de Masa Corporal? 177

IMC visto como una relación entre variables 179

La variación del IMC: Una aplicación 180

Estudiando los parámetros de las curvas graficadas 182


Introduciendo variantes a la presente actividad 184

Actividad 5

El ISR en venta de bienes inmuebles

Enajenación de bienes inmuebles 185

Compra-Venta de un terreno 187

Preparando la negociación 188

Otras formas de representación 189

Un enfoque algebraico 192

Nueva situación problema: Venta por partes 193

Análisis de las prácticas llevadas a cabo 195


Cierre de la actividad y del módulo

Anexo

199

201

1

Diplomado

Prácticas docentes en las matemáticas de secundaria

Presentación

Un hecho común en el mundo entero es el reconocimiento de que en educación

básica, los ejes centrales están constituidos por el estudio de la lengua materna y de

las matemáticas, lo cual se asume cabalmente en nuestro país y muchos de los

esfuerzos de mejoramiento de los niveles de aprendizaje de los niños y adolescentes

mexicanos se encaminan a incrementar tanto los niveles de conocimiento disciplinar

en estas áreas, como las habilidades y competencias para su uso adecuado fuera de la

escuela.

Se reconoce también que el aprendizaje de las matemáticas y de la lengua materna

presenta una serie de dificultades que obliga a poner mayor atención a las causas de

dicha problemática y a proponer medidas para superarla. En el caso de las

matemáticas, la toma de conciencia de dicha problemática ha dado lugar al

incremento de investigaciones científicas sobre el tópico y con ello a la creación de

comunidades enteras que toman como objeto de estudio precisamente a las

actividades de aprendizaje y de enseñanza de las matemáticas.

Sin embargo, los resultados de investigación de dichas comunidades no se reflejan aún

suficientemente en una adecuada intervención en el sistema educativo y,

particularmente en nuestro país, los resultados de evaluaciones tanto nacionales como

internacionales dan muestra de dificultades de aprendizaje que se recogen en el Plan

Nacional de Desarrollo 2007-2012, donde se especifica que: “Un indicador relevante

para entender el problema de la calidad educativa es el desempeño de estudiantes de

primaria y secundaria. Éste continúa siendo muy bajo en lo referente a la comprensión

de lectura, la expresión escrita y las matemáticas”.

Con el propósito de atender esta problemática, a principios de este año 2011, en el

Estado de Sonora se anunció la puesta en marcha del Programa de Transformación

Educativa, con énfasis inicial en la problemática del aprendizaje de las matemáticas de

la niñez que cursa sus estudios de educación básica.

El presente diplomado se enmarca dentro de este Programa y está destinado a atender

la problemática de formación de profesores de matemáticas de secundaria, con la

plena conciencia de que tener mejores profesores, aunque no es suficiente, es un paso

importante en las expectativas de elevar el desempeño escolar de los niños y jóvenes

estudiantes.

La estrecha relación entre ambos factores, formación de profesores y aprendizaje de

los alumnos se manifiesta en el propósito fundamental del Diplomado “Prácticas

docentes en las matemáticas de secundaria”, el cual se establece d la siguiente

manera:

2

OBJETIVO GENERAL: Apoyar al personal docente de la escuela

secundaria en la comprensión y desarrollo de las competencias

profesionales que lo hagan más eficaz para conducir el proceso de

aprendizaje de las matemáticas de sus alumnos.

Para el logro de este objetivo general se ha tomado en cuenta que es necesario que el

profesor viva procesos de estudio de situaciones problema similares a aquellas que

viven sus alumnos, analice las competencias generales y disciplinares que se pueden

promover en la resolución de los problemas asociados a tales situaciones, identifique

las potencialidades de diversas situaciones para integrar los conocimientos

disciplinares de los tres ejes básicos de la formación matemática en la educación

básica y reflexione sobre las actividades didácticas que el profesor debe, a su vez,

llevar a cabo para conducir eficiente y eficazmente los procesos de aprendizaje de sus

alumnos.

El objetivo general se alcanzará en la medida que los docentes participantes

logran alcanzar los siguientes objetivos específicos:

a. Desarrollen habilidades intelectuales para la formulación, análisis y resolución

de problemas en diversas situaciones en las que la matemática es útil.

b. Desarrollen habilidades para la expresión oral y escrita, particularmente de

ideas matemáticas.

c. Profundicen en la comprensión de los objetivos, las orientaciones didácticas y

los contenidos disciplinares de la matemática de la educación básica, en

especial los de la escuela secundaria.

d. Desarrollen competencias para diseñar situaciones problema o variantes de las

que se trabajan en los libros de texto, con el propósito de poner en práctica

estrategias y actividades didácticas de conformidad con los intereses y modos

de aprendizaje de sus alumnos, así como las características sociales,

económicas y culturales de su entorno.

e. Desarrollen competencias para emplear, consciente y convenientemente los

recursos tecnológicos de la información y la comunicación en el diseño de

actividades de aprendizaje de sus alumnos.

f. Desarrollen habilidades para conducir el proceso de aprendizaje de las

matemáticas de sus alumnos, generando ambientes de confianza, autoestima,

respeto hacia los demás y hacia el medio ambiente, disciplina, creatividad,

curiosidad y gusto por el estudio de las matemáticas.

g. Desarrollen conciencia no sólo de la importancia del trabajo en equipo de sus

alumnos, sino también de los profesores en su escuela y en su comunidad y

3

asuman una actitud responsable de colaboración y cooperación con sus

compañeros de trabajo.

Estructura

El diplomado tendrá una duración de 150 horas totales y constará de tres módulos, a

desarrollarse en 50 horas cada uno.

En el primer módulo, denominado “Evaluaciones del aprendizaje de las matemáticas y

su relación con la práctica docente”, la atención se centrará en el análisis de los

principales instrumentos de evaluación regionales, nacionales e internacionales que se

aplican a los estudiantes, con la finalidad de dar soporte para la reflexión y discusión

de diversos aspectos tanto de carácter disciplinario como didáctico. Los análisis de los

procesos de evaluación se harán por etapas, en las que se realizarán reflexiones

generales de los principales procesos de evaluación de los estudiantes y se

profundizará en las características de los señalados exámenes.

El segundo módulo, denominado “Desarrollo de la actividad docente: el programa de

matemáticas, los planes de clase, los libros de texto y otros materiales didácticos”,

también constará de 50 horas y tiene el propósito de discutir las estrategias de

enseñanza para el impulso de los objetivos de aprendizaje de nuestros alumnos. En

este módulo el participante tendrá la oportunidad de analizar y discutir sus prácticas

de enseñanza no sólo desde un punto de vista teórico sino a partir de elementos de

carácter eminentemente prácticos.

En el módulo se partirá de la revisión de algunos planes de clase del maestro,

abarcando ejemplos de cada uno de los tres grados de la escuela secundaria y se hará

un análisis que también se realizará en varias etapas. Un primer aspecto a considerar

estriba en ubicar el nivel de conocimiento que le damos a dichos planes de clase, a los

textos de matemáticas que han sido aprobados oficialmente, así como a los materiales

didácticos que se sugiere usar en los planes de clase, como materiales manipulables,

calculadoras y computadoras.

En el tercer módulo, denominado “Actividades e integración del conocimiento”, se

revisarán algunas propuestas de situaciones problema, con el fin de enriquecer las

reflexiones previas y contribuir a elevar el nivel de los participantes en el dominio de

algunos contenidos matemáticos de la escuela secundaria, así como de su

conocimiento y desarrollo de habilidades para la implementación de las estrategias

didácticas propuestas en los planes y programas de estudio.

Las situaciones propuestas deberán permitir a los participantes, entre otros aspectos,

reflexionar sobre las posibilidades de usar diversos procesos o elementos de nuestra

vida cotidiana en las clases de matemáticas, de plantear situaciones que involucren la

necesidad de integrar contenidos matemáticos de los tres ejes de las matemáticas de

la escuela secundaria y, adicionalmente, de temas que son también objeto de análisis

en otros cursos o asignaturas.

4

Metodología de trabajo

La estrategia metodológica general se aplicará en cada uno de los tres módulos de los que constituyen el diplomado, con variantes propias de la naturaleza de cada uno de ellos. En el primer módulo iniciaremos con la resolución de un instrumento de evaluación del

aprendizaje de nuestros alumnos, para tener un conocimiento profundo del mismo, y

estar en condiciones de reflexionar sobre él lo más adecuadamente posible. En el

segundo módulo daremos inicio con una actividad equivalente, compartiendo con

nuestros compañeros del diplomado el nivel de conocimiento y uso de los planes de

clase de matemáticas. El tercer módulo, por su carácter, iniciará con la resolución de

algunos problemas o el estudio de determinadas situaciones.

En cada caso, el trabajo se llevará a cabo en actividades de análisis por etapas o

momentos, en las que se propondrá la realización de alguna tarea o responder algunas

interrogantes con el propósito de propiciar la reflexión a través de la cual se

construyan los conocimientos y se desarrollen las habilidades y actitudes que se

pretenden alcanzar con la actividad en particular y con el módulo y el diplomado en

general.

En cada etapa se señalará si el trabajo debe realizarse individualmente, por equipos

que se integrarán por tres o cuatro participantes o si se llevará a cabo una discusión

grupal, con la conducción del instructor. Las indicaciones de la modalidad del trabajo

será indicada por el instructor y los participantes deberán apegarse a las mismas.

Por otra parte, es posible que en algunas actividades se requiera utilizar diferentes

materiales, ya sea los materiales impresos que se entregan a cada profesor, libros de

texto de secundaria, juegos geométricos, calculadoras o computadora con acceso a

INTERNET.

Para facilitar el trabajo y que cada participante tenga conocimiento del material

requerido, en la siguiente tabla se señala lo que se necesita en cada caso.

5

Material que se requiere por módulo y actividad

Material

Módulo I Material impreso del participante

Actividad 1

Cuestionario Maple T.A. en versión impresa

Hoja impresa con el mapa de la Antártida para todos los participantes

Acceso a internet

Actividad 2 Computadora con GeoGebra

Archivos de Geogebra

Actividad 3

Actividad 4

Plan de estudios 2006

Juego geométrico

Lecturas complementarias

Actividad 5 Programa de estudios de matemáticas 2006

Archivos de GeoGebra

Módulo II Material impreso del participante

Actividad 1 Planes de clase de matemáticas

Actividad 2

Acceso material o virtual a algunos libros de texto autorizados por la

SEP

Programa de estudios 2006

Planes de clase

Actividad 3

Planes de clase 3.4 y 3.5 de segundo grado de secundaria

Fichero de actividades didácticas: Matemáticas. Educación

Secundaria

Educación Básica. Secundaria. Matemáticas. Programa de estudio

2006

Libro del maestro de Matemáticas. Secundaria

Computadora con GeoGebra

Actividad 4

Acceso material o virtual a algunos libros de texto autorizados por la

SEP

Educación Básica. Secundaria. Matemáticas. Programa de estudio

2006. Planes de clase

Módulo III Material del participante

Actividad 1 Un recibo de agua por participante

Calculadora y/o computadora portátil

Actividad 2 Calculadora

Actividad 3

Una figura de cartulina para recortar por participante

15 tijeras por grupo

Computadora con GeoGebra

Archivo MP.ggb pre construido en GeoGebra

Una regla graduada en centímetros por participante

6

Actividad 4 Computadora con GeoGebra

Archivo índice.ggb pre construido en GeoGebra

Actividad 5

Archivos en GeoGebra:

polígono.ggb

terreno_nvo_2.ggb

gráfica_isr5.ggb

Archivo en Excel: tablasygráficoblanco.xlsx

Portafolio de Evidencias de Aprendizaje

Con el propósito de tener mayor claridad sobre las acciones específicas para acreditar

el diplomado, los productos que se vayan generando serán entregados al instructor y

se integrarán en un portafolio de evidencias que serán valoradas permanentemente en

el diplomado, tanto en su desarrollo como al final del mismo. El portafolio de

evidencias estará integrado por las tareas especificadas en cada una de las actividades

que integran el Material del Participante, las cuales se elaboran en forma individual o

por equipos, según se indica en el mismo.

Se sugiere que el Instructor haga una caracterización cualitativa de las tareas

desarrolladas por los participantes, clasificando los trabajos según la calidad de los

mismos en las categorías siguientes:

a) Insuficiente. El trabajo no cumple con los requisitos mínimos solicitados.

b) Regular. Cumple con los requisitos mínimos, pero presenta limitaciones.

c) Satisfactorio. Cumple a plenitud con todos los requisitos solicitados.

d) Excelente. Satisface todas las exigencias y además hace consideraciones y

planteamientos bien elaborados, más allá de los solicitados.

Cuando alguno de los productos entregados por un participante se clasifique como

insuficiente por parte del Instructor, podrá regresarse con las observaciones

pertinentes, para que en un nuevo plazo claramente determinado, se entregue una

versión mejorada al Instructor y se integre al Portafolio de Evidencias.

Para acreditar el diplomado se requiere que cada participante haya aprobado cada uno

de los tres módulos y un módulo no podrá aprobarse si el participante cuenta con más

del 20% de los productos integrados en el portafolio de evidencias clasificado como

insuficiente.

Para que cada participante tenga claro los trabajos que deberán entregarse para

integrar el portafolio de evidencias, describimos a continuación cada uno de los

mismos, poniendo en un primer rubro lo referente a las tareas enmarcadas en cada

actividad y, en segundo lugar, los trabajos finales de cada uno de los módulos, en la

actividad de cierre.

Los participantes deberán entregar:

7

I. Una copia en limpio de cada una de los trabajos derivados en las actividades.

Cuando se haga explícito que una tarea es en equipo, se entregará una copia

por equipo, especificando los integrantes.

II. Los trabajos individuales que se señalan en las actividades de cierre de cada

módulo.

a) En el primer módulo este trabajo es un ensayo de entre tres y cinco

cuartillas con las opiniones y valoraciones de los exámenes aplicados a los

alumnos que han sido discutidos en las actividades.

b) En el segundo, la modificación o adaptación de un plan de clase por cada

grado escolar de secundaria, con una consigna extraída de un libro de

texto del catálogo oficial, diferente a las analizadas en el módulo.

c) Para el último, seleccionar una actividad de las que fueron adaptadas en

el módulo y con ellas elaborar al menos dos consignas de trabajo

dirigidas a estudiantes de secundaria, como las que se presentan en los

planes de clase. Con una de esas consignas, al menos, hacer la propuesta

completa de un plan de clase y elaborar al menos tres reactivos diferentes

que pudieran servir para evaluar el aprendizaje del tema elegido.

Criterios para la evaluación del diplomado

Para aprobar el diplomado se requiere tener aprobado cada uno de los tres módulos

del mismo, lo cual significa que fueron evaluados en la categoría de regular,

satisfactorio o excelente.

Para la evaluación aprobatoria de cada módulo se tomarán en cuenta los aspectos

señalados en la siguiente tabla.

Evaluación Criterios

Regular

1. Asiste a más del 90% de las sesiones presenciales.

2. En las reuniones presenciales mantiene una actitud participativa y de

cooperación con su equipo.

3. Más del 80% de sus actividades en las sesiones presenciales son evaluadas

como regulares.

4. La actividad de cierre es evaluada como regular.

Satisfactorio




3. Más de la mitad de sus actividades en las sesiones presenciales son

evaluadas como satisfactorias y el resto como regulares.

4. La actividad de cierre es evaluada como satisfactoria.

8

Excelente




3. Más del 50% de sus actividades son evaluadas como excelentes y el resto

como satisfactorias.

4. La actividad de cierre es evaluada como excelente.

Para la aprobación del diplomado en su conjunto los criterios se establecen en

la tabla siguiente.

Evaluación Criterios

Regular A lo más uno de los módulos es calificado como excelente o satisfactorio y el

resto como regulares.

Satisfactorio Al menos dos módulos han sido evaluados como satisfactorios y el otro como

regular o excelente.

Excelente Al menos dos módulos han sido acreditados como excelentes y el otro como

satisfactorio.

MÓDULO I MATERIAL DEL PARTICIPANTE

9

Módulo 1. Evaluaciones del aprendizaje de las matemáticas y su relación con la práctica docente

Introducción

Los procesos de evaluación desempeñan un papel de primera importancia en cualquier

rubro de la actividad humana, pues permiten hacer valoraciones generales y particulares

para la toma de decisiones sobre las acciones que se desarrollarán con posterioridad. En el

terreno educativo encontramos que los procesos de evaluación son quizá de los más

complejos.

Hace algunos años que en el sistema educativo nacional inició la práctica sistemática de la

evaluación sobre algunos aspectos y actores que intervienen en el escenario escolar, en

diferentes áreas del conocimiento. En el área que nos ocupa, las matemáticas,

escuchamos de la aplicación de exámenes a profesores y a estudiantes, de análisis o

estudios que incorporan factores sociales a los procesos evaluativos, etc.

En este contexto, en este primer módulo, denominado “Evaluaciones del aprendizaje de

las matemáticas y su relación con la práctica docente”, la atención se centrará en el

análisis de los principales instrumentos de evaluación regionales, nacionales e

internacionales que se aplican a los estudiantes, con la finalidad de dar soporte para la

reflexión y discusión de los siguientes aspectos:

a) Tomar conciencia que los procesos de evaluación son mecanismos que permiten hacer una valoración integral de las actividades de aprendizaje y de enseñanza, detectando los aspectos que causan dificultades, los objetivos de las actividades que aún no se han alcanzado y la búsqueda de alternativas para superar los obstáculos detectados.

b) Valorar los conocimientos, habilidades y su integración en competencias que se espera desarrollen nuestros alumnos, haciendo un análisis de los reactivos de las evaluaciones diversas que se aplican.

c) Contrastar los conocimientos matemáticos contemplados en los planes y programas de estudio con los requeridos para la resolución de los problemas asociados a las situaciones de los instrumentos de evaluación.


10

d) Contrastar los enfoques didácticos sugeridos en los planes y programas de estudio, con los procedimientos que aplicamos los profesores para resolver los problemas matemáticos que se nos presentan.

e) Tomar conciencia de que las evaluaciones practicadas a los alumnos son mucho más que un mecanismo de asignación de una calificación y son un proceso mediante el cual podemos observar los tipos de avances y de dificultades de los alumnos, arrojando información sobre sus aprendizajes en aspectos como los del manejo algorítmico alcanzado, su desarrollo conceptual, sus habilidades y competencias para modelar situaciones y resolver problemas extra matemáticos, su desarrollo en el uso adecuado del lenguaje matemático, sus habilidades para el manejo numérico, las expresiones analíticas y los recursos gráficos y geométricos.

Este primer módulo está organizado en cinco actividades, cuya estructura se plantea

mediante el desarrollo de fases o etapas, denominadas “momentos”, en los cuales se

realiza el análisis de estos procesos, partiendo de reflexiones generales sobre las

características y objetivos que se propone cada instrumento de evaluación, su utilidad

para proporcionar un panorama general de los avances en el aprendizaje y las deficiencias

y dificultades de nuestros alumnos.

Haremos, asimismo, una valoración del tipo de reactivos que se aplican en cada caso y

analizaremos su correspondencia con los propósitos declarados y las expectativas de

aprendizaje a la que responde su aplicación, incluyendo aquí algunas reflexiones sobre la

estructura con la cual fueron elaborados.

En los procesos de reflexión y análisis de los instrumentos de evaluación,

independientemente de la etapa o fase que estemos discutiendo, el participante deberá

relacionar la correspondencia entre los procesos de evaluación y su actividad docente, y

reflejarla en las actividades que se espera obtener como productos del módulo y que

integrarán el Portafolio de evidencias.


11

Actividad 1 Reactivos de evaluación del aprendizaje de las matemáticas

1. Trabajando con algunos reactivos

El instructor hará entrega de una versión impresa del instrumento que acabas de resolver

en línea, para que sirva de base en el análisis que iniciaremos a continuación.

2. Un primer análisis a) Haz una valoración global de la dificultad del examen para tus estudiantes

pensando en los siguientes aspectos: ¿Podrían resolver correctamente la mayor

parte de los reactivos? ¿Cuáles sí? ¿Cuáles no? ¿Por qué? ¿Hay alguno que te

parezca particularmente complicado?

b) ¿Los reactivos permiten valorar el desarrollo de alguna(s) competencia(s)

matemáticas? En caso de responder afirmativamente, ejemplificar con alguno de

ellos y, en caso contrario, argumentar las razones.


12

Actividad 2 Analizando tres reactivos del examen aplicado por el IEEES

1. Descripción general del examen del IEEES

a) Lee el texto siguiente:

La Evaluación Estatal del Desempeño Escolar en Primaria y Secundaria se ha venido aplicando sistemáticamente en el Estado de Sonora, desde el año 2005. Tanto la aplicación como el diseño de esta evaluación, están bajo la responsabilidad de Instituto de Evaluación Educativa del Estado de Sonora (IEEES). Aunque, tal como se especifica en el nombre, la evaluación se aplica a estudiantes de primaria y secundaria, nuestro interés aquí es analizar los instrumentos usados en el nivel escolar de secundaria. El IEEES declara, para este nivel, que el “propósito fundamental como instituto de evaluación de los rendimientos académicos, ha sido proporcionar información confiable para la toma de decisiones en los planteles y aulas de educación secundaria”. El término evaluación tiene una connotación muy general en educación, pero aquí está reducido esencialmente a la medición académica de los logros obtenidos por los estudiantes en el grado en el que son evaluados, mediante la aplicación de un examen de opción múltiple. En la aplicación más reciente, llevada a cabo en el año 2010, se evaluaron 123 102 alumnos en un total de 660 planteles, aunque aquellas escuelas que tienen dos turnos se contabilizaron como si fueran dos planteles. El examen aplicado contenía 60 reactivos, 20 de los cuales, es decir la tercera parte, eran de matemáticas y el resto se referían a otras disciplinas. El examen cubre, en términos de contenidos, los tres ejes sobre los cuales están organizados los programas de estudio de matemáticas del nivel secundaria. No se cuenta con una clasificación a priori del nivel de dificultad de los reactivos utilizados, y solamente se habla de “reactivos difíciles” como aquellos en los que más del 70% de los estudiantes dieron respuestas incorrectas. Los resultados obtenidos por los estudiantes en estas pruebas son bastante desalentadores, como quedará ilustrado con los reactivos seleccionados en la presente actividad y que corresponden a la aplicación del examen realizado el año pasado.

b) Después de discutir en tu equipo el contenido del escrito anterior, escribe una

opinión breve, sobre la utilidad que tiene en tu escuela la aplicación del

instrumento de evaluación al que se refiere el texto.


13

2. Un reactivo sobre el triángulo y la circunferencia.

Este es el primero de tres reactivos seleccionados de la Evaluación Estatal del Desempeño Escolar en Primaria y Secundaria que serán analizados en esta actividad. Los tres fueron extraídos del examen aplicado en el ciclo escolar 2009-2010. Los datos sobre los porcentajes de respuestas, no corresponden a los resultados obtenidos por el total de estudiantes del estado, pero son representativos de estos resultados. En la figura siguiente puedes ver el reactivo número 30, que se ubica en el eje temático de Forma, espacio y medida y corresponde al segundo grado, así como otros datos del reactivo y de las respuestas dadas por los estudiantes.


14

a) Distribuyan en su equipo el trabajo de trazar, a mano, las rectas del triángulo que se indican en cada una de las gráficas siguientes:

Bisectrices

Alturas

Bisectores

Mediatrices

b) Responde las preguntas siguientes, después de haberlas discutido con tu equipo:

i) Entre las respuestas incorrectas, la opción A) fue la más seleccionada. ¿Qué

razonamientos harían los estudiantes para inclinarse por esta opción?


15

ii) ¿Cómo llegarían los estudiantes, que respondieron correctamente, a la conclusión de que la opción D) es la correcta?

iii) Aproximadamente el 10% de los estudiantes seleccionó la opción C, ¿cuál sería su razonamiento para seleccionarla?

iv) ¿Qué diferencias encuentras entre las opciones A y B?

v) Si te propusieras sustituir uno de los distractores del reactivo, ¿cuál sustituirías? Justifica tu respuesta.


16

c) En la ejecución esperada del reactivo se señala que, al resolver el problema, el estudiante “Reconozca propiedades de la bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera”. Responde al respecto las preguntas siguientes, después de haberlas discutido en tu equipo.

i) Analiza la redacción del reactivo y escribe aquí tus observaciones.

ii) ¿A qué propiedades se referirá la ejecución esperada?

iii) ¿Es consistente la ejecución esperada con la resolución del reactivo? Justifique su respuesta.

d) Si tuvieras que mejorar el reactivo, escribe aquí la propuesta que harías en cada uno de los siguientes aspectos:

i) Enunciado del reactivo.


17

ii) Figura mostrada en el reactivo

iii) Los distractores.

e) En el documento Programas de estudio 2006 (pp.18-19) se menciona que el planteamiento y la resolución de problemas, la argumentación, la comunicación y el manejo de técnicas, son las principales competencias que la enseñanza de la matemática debe promover en la escuela secundaria. ¿Cuál de estas competencias habrá desarrollado más un estudiante que responde correctamente este reactivo, comparado con otro que lo contestó incorrectamente? Justifica tu respuesta.


18

3. Una relación entre insectos y alimentos El reactivo número 23, que se muestra en la figura siguiente, corresponde al tercer grado y ha sido ubicado por el IEEES en el eje temático llamado Sentido numérico y pensamiento algebraico. La figura muestra también algunos datos del reactivo y de los resultados de su aplicación.

a) Abre el software GeoGebra y grafica la expresión: x

y50

(el software no

reconoce como válidas las variables A y P).

i) De acuerdo con la gráfica que obtuviste en GeoGebra, ¿consideras que la opción B es la respuesta correcta a este reactivo? Justifica tu respuesta.

ii) Si la expresión P

A50

establece la manera como están relacionadas las

variables A y P en el reactivo:


19

¿Qué pasará con la cantidad de alimentos de reserva, cuando la población de insectos crece?

¿Y qué pasará con la cantidad de alimentos de reserva si la población de insectos disminuye?

¿Es P

A50

un buen modelo para la situación descrita? Justifica tu

respuesta.

b) En equipo analicen los datos que se muestran bajo el título de “porcentaje de respuesta” y responde las preguntas siguientes, después de haberlas discutido con tu equipo:

i) Entre las respuestas incorrectas, la opción A) fue la más seleccionada. ¿Qué razonamientos harían los estudiantes que se inclinaron por esta opción?

ii) ¿Cómo llegarían los estudiantes, que respondieron correctamente, a la conclusión de que la opción B) es la correcta?


20

iii) Casi el 8% de los estudiantes seleccionó la opción D, ¿cuál sería su razonamiento

para seleccionarla?

iv) Si te propusieras sustituir uno de los distractores del reactivo, ¿cuál sustituirías? Justifica tu respuesta.

c) Como ejecución esperada en este reactivo, se establece que : “[El estudiante] reconoce en diferentes fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representa la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica”. Responde al respecto las preguntas siguientes, después de haberlas discutido en tu equipo.

i) ¿A qué “fenómenos de la física, la biología, la economía u otras disciplinas” se refiere el problema matemático de este reactivo?


21

ii) ¿En qué momento de la resolución del reactivo, el estudiante “representa la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica”?

iii) ¿Es consistente la ejecución esperada con la resolución del reactivo? Justifica tu respuesta.

iv) Respondan el reactivo siguiente:

Si A es una cantidad que depende de P, según lo

establecido por la expresión P

A50

. ¿Cuál de

las gráficas siguientes se obtendrá al graficar A contra P?

¿Cuál será la diferencia entre las ejecuciones esperadas al resolver este reactivo y al resolver el original?


22

d) Si tuvieras que mejorar el reactivo, escribe aquí la propuesta que harías en cada uno de los siguientes aspectos:

i) Enunciado del reactivo:

ii) Figura mostrada en el reactivo:

iii) Los distractores:

e) En el documento Programas de estudio 2006 (pp.18-19) se menciona que el planteamiento y la resolución de problemas, la argumentación, la comunicación y el manejo de técnicas, son las principales competencias que la enseñanza de la matemática debe promover en la escuela secundaria. ¿Cuál de estas competencias habrá desarrollado más un estudiante que responde correctamente este reactivo, comparado con otro que lo contestó incorrectamente? Justifica tu respuesta.


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4. Un problema sobre la mediana El tercer reactivo analizado aquí, corresponde al primer grado y está ubicado en el eje temático denominado Manejo de la información. En la figura puedes ver, además del reactivo, algunos datos para ubicarlo y los porcentajes de respuesta obtenidos por los estudiantes.

a) Discute en tu equipo la solución del reactivo y luego responde las preguntas siguientes:

i) En colaboración con tu equipo, calcula la media aritmética de los datos

proporcionados en el reactivo.


24

ii) Los estudiantes que respondieron correctamente, posiblemente hayan ordenado los datos y luego calculado la media aritmética entre 1.75 m y 1.77 m. Conjetura una línea de razonamiento distinta, no necesariamente correcta.

iii) ¿Cómo llegarían, los estudiantes que seleccionaron la opción A), a concluir que la mediana de estos datos es 1.71?

iv) Una vez que sabemos que la mediana de estos datos es 1.76 m, ¿en qué podría aplicarse este resultado?

b) Como ejecución esperada en este reactivo, se establece que: “[El estudiante] compara el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central”. Responde al respecto las preguntas siguientes, después de haberlas discutido en tu equipo.

i) Analiza la redacción del reactivo y escribe aquí tus observaciones.

ii) ¿Cuáles son los “dos o más conjuntos de datos” a los que se refiere la ejecución esperada?


25

iii) ¿A qué medidas de tendencia central se refiere la ejecución esperada?

iv) ¿Es consistente la ejecución esperada con la resolución del reactivo? Justifica tu respuesta.

c) Si tuvieras que mejorar el reactivo, escribe aquí la propuesta que harías en cada uno de los siguientes aspectos:

i) Enunciado del reactivo:

ii) Distractores:

d) En el documento Programas de estudio 2006 (pp.18-19) se menciona que el planteamiento y la resolución de problemas, la argumentación, la comunicación y el manejo de técnicas, son las principales competencias que la enseñanza de la matemática debe promover en la escuela secundaria. ¿Cuál de estas competencias habrá desarrollado más un estudiante que responde correctamente este reactivo, comparado con otro que lo contestó incorrectamente? Justifica tu respuesta.


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5. Análisis integrador

Concluido el análisis de los reactivos anteriores, se pretende ahora analizar globalmente el instrumento de evaluación referido, tanto al respecto de su diseño, como en la utilidad que representan para tu práctica docente los resultados obtenidos por los estudiantes.

a) Después de haber analizado aquí los tres reactivos del examen del IEEES, escribe dos conclusiones sobre el diseño de este instrumento de evaluación.

b) Supongamos que tus alumnos están entre los que fueron evaluados con estos reactivos y te dan a conocer los resultados que hemos revisado aquí.

i) Selecciona uno de los tres reactivos y especifica cuál de los propósitos del plan

de estudios estaría directamente relacionado con él. Justifica tu respuesta.

ii) Para cada reactivo escribe una acción específica, que pudieras emprender en tu clase, para mejorar el desempeño de tus estudiantes en ese reactivo


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Actividad 3

Los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (Excale)

1. Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (Excale). Aspectos relevantes

Iniciaremos nuestro acercamiento a los Exámenes Excale al igual que lo hicimos en el caso anterior, esto es, con una lectura donde encontraremos datos interesantes sobre esta evaluación. Para ello te pedimos que participes en la lectura asignada de acuerdo con las indicaciones que el instructor proporcionará.

a) Lee con atención la siguiente información, que es un extracto de un documento más amplio que puedes recuperar en la dirección electrónica del Instituto Nacional de Evaluación Educativa, con referencia a los exámenes Excale:

http://www.inee.edu.mx/archivosbuscador/2008/01/INEE-20080162- excale09completoa.pdf

Autores : Andrés Sánchez Moguel y Edgar Andrade Muñoz 1. Sentido y propósito Los Excale tienen como propósito conocer lo que los estudiantes mexicanos en su conjunto aprenden del currículo nacional a lo largo de su educación básica. … no están diseñados para hacer una evaluación individual de los estudiantes ni de las escuelas; su sentido es aportar la posibilidad de ver los resultados educativos a nivel de sistema, es decir, con respecto a grandes grupos de estudiantes: por modalidad, entidad, sexo, edad. Además, estas pruebas permiten obtener elementos para reconocer los contenidos educativos que los estudiantes, como conjunto, dominan y no dominan. Los resultados de las pruebas Excale permiten, entre otras cosas: • Identificar la proporción relativa de alumnos que logran dominar los objetivos de aprendizaje en las áreas de contenido en donde el currículo nacional pone mayor énfasis. • Conocer las fortalezas y debilidades del Sistema Educativo Nacional (SEN) en relación con los aprendizajes que logran los estudiantes. • Comparar, con prudencia, los logros educativos de las 32 entidades federativas del país y de las distintas modalidades. • Analizar el impacto de variables explicativas asociadas al logro académico, como son los niveles socioeconómicos y culturales de las familias, las modalidades educativas, las oportunidades de aprendizaje, etcétera… • Dar cuenta a la sociedad sobre el logro académico de los estudiantes de su estado y de la Nación. 2. Características generales de los Excale Los Excale son pruebas criteriales, apegadas al currículo nacional y que basan su aplicación en un arreglo matricial. Son criteriales porque tienen un referente fijo, que se establece de antemano, antes de aplicar las pruebas; en este sentido, son opuestos a las llamadas pruebas normativas (en

http://www.inee.edu.mx/archivosbuscador/2008/01/INEE-20080162-%20%20excale09completoa.pdf


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las que el resultado obtenido por un individuo se compara con un referente móvil: la ejecución de los demás individuos). El referente fijo que tienen las pruebas Excale es, precisamente, el currículo nacional. Dado que los Excale no tienen el propósito de dar resultados por alumno ni por escuela, existe una segunda manera de desprenderse de la necesidad de exponer a los educandos a largas sesiones de evaluación: utilizar un arreglo matricial. El arreglo matricial de los reactivos de las pruebas Excale consiste en repartir las preguntas de una misma escala en diferentes cuadernillos, de modo que cada estudiante es expuesto a una cantidad limitada de ítems, adecuada a su edad y grado escolar. 3. Plan general de evaluación Los Excale evalúan, actualmente, cuatro grandes áreas curriculares: Español, Matemáticas, Ciencias naturales y Ciencias sociales, (es decir), las áreas instrumentales, (que son las) que otorgan a los alumnos los lenguajes que les permitirán seguir aprendiendo, y las que concentran gran cantidad de contenidos curriculares. Los Excale evalúan los grados terminales de cada nivel (tercero de preescolar, sexto de primaria, tercero de secundaria) y también tercero de primaria, para balancear el seguimiento de los aprendizajes en periodos de tres años de educación. Es importante comentar que, aunque la evaluación se hace al finalizar los grados señalados, los contenidos curriculares considerados para el diseño de las pruebas incluyen a los dos grados previos, y en ocasiones, incluso más. Por ejemplo, el Excale 09, de tercero de secundaria, incluye contenidos de primero y segundo grados de secundaria. Además, las pruebas Excale de los diferentes grados y asignaturas no se aplican cada año. Dado que el propósito principal de los Excale es evaluar al sistema educativo en su conjunto, se considera que esta evaluación puede hacerse en ciclos de cuatro años... Con la intención de focalizar esfuerzos a diseñar o rediseñar escalas muy cuidadosamente, estos ciclos de cuatro años se escalonan de tal modo que cada año se evalúa un grado diferente. 4. Diseño, construcción, aplicación y análisis de los Excale Como se ha comentado antes, los Exámenes para la Calidad y el Logro Educativos están alineados

al currículo. Así, los Excale 09 aplicados a jóvenes de tercer grado de secundaria, al incluir contenidos previos, permite llevar a cabo análisis que muestren lo que los estudiantes saben y no saben del currículo. Al igual que otros estudios que realiza el INEE, los resultados presentados en este informe se infirieron a partir de las respuestas de una muestra de alumnos.

b) Escribe, en media cuartilla como máximo, los aspectos que te parezcan más relevantes este tipo de evaluación. Comenta tu escrito con tus compañeros de equipo y grupo, respetando los lapsos que asigne el instructor para cada una esas acciones.


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2. Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (Excale09). Análisis de reactivos Ahora analizaremos los tres reactivos seleccionados de los Exámenes Excale que aparecieron en el cuestionario que ya resolviste. Volveremos a resolver los reactivos para tener la posibilidad de analizarlos por separado, discutir este análisis a nivel equipo y posteriormente a nivel grupal. El instructor dará las indicaciones pertinentes.

I. Un reactivo de probabilidad A continuación se presenta un reactivo de Excale09, que aparece en la aplicación 2008 de esta evaluación.

Se tienen dos dados, al lanzarlos al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras superiores sean múltiplos de tres? a. 1/3 b. 2/3 c. 1/9 d. 4/12

a) ¿Cuál es la opción correcta? Escribe el procedimiento que seguiste para seleccionarla.

b) De acuerdo con información generada por el Explorador Excale, consultado en http://www.inee.edu.mx/index.php/proyectos-y-servicios/proyecto-excale/explorador-excale, el porcentaje de aciertos en la aplicación 2008 en el Estado de Sonora es del 17%. ¿Cómo creen que llegaron los estudiantes que respondieron acertadamente, a la conclusión de que la opción dada es la correcta?

c) ¿En qué se basan los distractores que se usaron? ¿Les parece que los distractores empleados son apropiados? Argumenten sus respuestas.

http://www.inee.edu.mx/index.php/proyectos-y-servicios/proyecto-excale/explorador-excale



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d) Si se propusieran sustituir uno de los distractores del reactivo, ¿cuál sustituirían? Justifiquen su respuesta.

e) En la Interpretación del sentido del contenido que se deberá evaluar, se señala

para este reactivo:

Resolución de problemas donde se debe aplicar la regla de la suma de probabilidades, lo cual implica que el estudiante, identifique de una situación aleatoria, el espacio muestra y los casos favorables de los eventos sobre las cuales se le cuestiona, a fin de realizar la adición de sus probabilidades de ocurrencia. La condición para poder sumar probabilidades es que los eventos sean mutuamente excluyentes (SEP, 2001, p. 367), es decir, que no puedan ocurrir al mismo tiempo. Discutan en su equipo si existe consistencia entre lo que se pretende evaluar y lo que evalúa el reactivo, argumentando su respuesta.

f) Si se solicitara mejorar el reactivo, escribe aquí la propuesta que harías, señalando los aspectos que se modificarían y el por qué de esa modificación.


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II. Un reactivo de sistemas de ecuaciones lineales A continuación se presenta un reactivo de Excale09, que aparece en la aplicación 2008 de esta evaluación. Por 20 Kg de manzana y 10 Kg de uva Ángel pagó $800 y por 30 Kg de manzana y 5 Kg de uva pagó $900. ¿Cuánto pagará Ángel por 1 Kg de manzana y 1 Kg de uva, respectivamente? A) Kg. de manzana = $30; Kg. de uva = $25 B) Kg. de manzana = $25; Kg. de uva = $30 C) Kg. de manzana = $20; Kg. de uva = $40 D) Kg. de manzana = $20; Kg. de uva = $60

a) ¿Cuál es la opción correcta? ¿Cómo procediste para seleccionarla?

b) De acuerdo con información generada por el Explorador Excale, en

http://www.inee.edu.mx/index.php/proyectos-y-servicios/proyecto-

excale/explorador-excale, el porcentaje de aciertos en la aplicación 2008 en el Estado de Sonora es del 35%. ¿Cómo creen que llegaron los estudiantes que respondieron acertadamente, a la conclusión de que la opción dada es la correcta?

c) ¿En qué se basan los distractores que se usaron? ¿Les parece que los distractores empleados son apropiados? Argumenten sus respuestas.




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d) Si se propusieran sustituir uno de los distractores del reactivo, ¿cuál sustituirían? Justifiquen su respuesta.

e) En la Interpretación del sentido del contenido que se deberá evaluar, se señala para este reactivo:

El alumno identificará las constantes y asignará las variables involucradas en la información presentada por el problema y hará la traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico para así modelar la situación problemática mediante el uso de un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, después resolverá el sistema utilizando el método de solución que más se le facilite. Discutan en su equipo si existe consistencia entre lo que se pretende evaluar y lo que evalúa el reactivo, argumentando su respuesta.

f) Si se solicitara mejorar el reactivo, escriban aquí la propuesta que harían, señalando los aspectos que modificarían y el por qué de esa modificación.


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III. Un reactivo de proporcionalidad inversa.

A continuación se presenta un reactivo de Excale09, que aparece en la aplicación 2008 de esta evaluación.

¿En cuál de las siguientes tablas los conjuntos de datos mantienen una relación inversamente proporcional? I.

X 42 14 7 2 1

Y 1 3 6 21 42

II.

X 42 35 21 7 1

Y 1 8 22 36 42

III.

X 42 36 21 12 9

Y 14 12 7 4 3

IV.

X 42 39 35 32 30

Y 14 11 7 4 2

a) ¿Cuál es la opción correcta? ¿Cómo procediste para seleccionarla?

b) Haz un análisis de los datos de cada uno de los incisos mostrados en el reactivo. ¿Qué características tienen los datos de cada tabla?


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c) ¿Qué características fundamentales resaltarías de la variación proporcional

inversa?

d) Con los elementos discutidos anteriormente y conociendo que sólo 7% del total a quien se le aplicó el examen respondió correctamente, responde después de discutir en tu equipo: ¿Qué razonamientos suponen que condujeron a dar respuestas incorrectas?

e) En la Interpretación del sentido del contenido que se deberá evaluar, se señala para este reactivo:

Un error que se presenta comúnmente es que el alumno efectivamente identifica que en una situación de proporcionalidad inversa, mientras una cantidad aumenta, la otra disminuye, pero no identifica que es necesario que ocurra que si una cantidad aumenta el doble, la otra disminuye a la mitad, si aumenta el triple, la otra disminuye a la tercera parte, etc. También es frecuente que los alumnos, al resolver situaciones de proporcionalidad inversa, empleen estrategias que corresponden a la solución de problemas de proporcionalidad directa, esto posiblemente se deba a que la experiencia del alumno con la proporcionalidad inversa es mucho menor que la que han adquirido con la directa. Un tercer tipo de error supone la combinación de dos dificultades: identificar erróneamente una relación inversamente proporcional confundiéndola con una directamente proporcional y emplear una estrategia aditiva para resolver situaciones cuando las cantidades varían de manera directamente proporcional.


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¿Se corresponden este tipo de errores con los distractores presentes en el reactivo? Argumenten su respuesta.

f) En el Explorador Excale, refiriéndose a las observaciones sobre qué evalúa este reactivo, se señala la importancia de que:

“los alumnos se acostumbren a utilizar tablas, gráficas y fórmulas para explorar y presentar la relación entre dos variables, y comprendan el uso y significado de expresiones donde interviene el término función” (Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. SEP, 2001, p. 53). Discutan en su equipo si existe consistencia entre lo que se pretende evaluar y lo que evalúa el reactivo, argumentando su respuesta.

g) Discute al interior de tu equipo dos propuestas de situaciones que pudieran servir como base para el diseño de un reactivo con los propósitos señalados en el inciso f).

3. Construyendo una valoración global Después de haber conocido algunas características de Excale y de haber realizado análisis de algunos reactivos de esta evaluación, trabajen en su equipo para construir una


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valoración global de lo hecho hasta el momento, mediante su respuesta a las preguntas que se muestran:

a) Los aprendizajes mostrados en los reactivos, por parte de quien los contesta correctamente, ¿se corresponden con los planteamientos del Programa de Estudio 2006 respecto a lo que se espera que los alumnos aprendan en el aula?

b) ¿Qué competencias matemáticas se ponen en juego en cada reactivo?


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Actividad 4

Analizando Reactivos de la Prueba ENLACE

1. ¿Qué es ENLACE? Enseguida se presenta una breve descripción de la Evaluación Nacional de Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE), basada en información que se localiza en los sitios: http://enlace.sep.gob.mx/gr/?p=quees y http://enlace.sep.gob.mx/gr/docs/ENLACE2010-TallerInformativo-100830.pdf.

La prueba ENLACE se aplica en todas las escuelas de Educación Básica del país, tanto públicas como privadas, para obtener información diagnóstica del nivel de logro académico que los alumnos han adquirido en temas y contenidos vinculados con los planes y programas de estudio vigentes. En Educación Básica, ENLACE evalúa los conocimientos y las habilidades de los estudiantes en las asignaturas de Matemáticas y Español. Además, para lograr una evaluación integral, a partir de 2008 en cada aplicación también se incluye una tercera asignatura que se va rotando cada año, de acuerdo a la siguiente programación: Ciencias (2008), Formación cívica y ética (2009), Historia (2010) y Geografía (2011). El propósito es generar una sola escala de carácter nacional que proporcione información comparable de los conocimientos y habilidades que tienen los estudiantes en los temas evaluados, que permita:

Estimular la participación de los padres de familia así como de los jóvenes, en la tarea educativa.

Proporcionar elementos para facilitar la planeación de la enseñanza en el aula.

Atender requerimientos específicos de capacitación a docentes y directivos.

Sustentar procesos efectivos y pertinentes de planeación educativa y políticas públicas.

Atender criterios de transparencia y rendición de cuentas. Los resultados de ENLACE 2010 incorporan el grado de marginación por localidad conforme a los índices que elabora el Consejo Nacional de Población (CONAPO) de manera que una escuela pueda compararse de manera más equitativa y justa, con aquellas ubicadas en comunidades con niveles socioeconómicos similares. Características de la prueba

Es una prueba objetiva y estandarizada, de aplicación masiva y controlada.

Emplea una metodología de calificación precisa, que proporciona referencias de comparación nacional.

Ofrece un diagnóstico de los estudiantes a nivel individual.

http://enlace.sep.gob.mx/gr/?p=quees

http://enlace.sep.gob.mx/gr/docs/ENLACE2010-TallerInformativo-100830.pdf


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Es una prueba centrada en el conocimiento; evalúa el resultado del trabajo escolar contenido en los planes y programas oficiales.

La prueba consta de un cuadernillo de preguntas y de una hoja de respuestas.

Está conformada por reactivos de opción múltiple, -en Matemáticas, en 2010, 58 reactivos en primer grado, 55 en segundo y 60 para tercer grado. Su aplicación se realiza en 8 sesiones de 45 minutos cada día, durante dos días.

Cada reactivo sólo puede tener una respuesta correcta.

Identifica debilidades y fortalezas.

Explora una amplia variedad de aprendizajes indicados en los programas de estudio.

ENLACE 2010 incluye las asignaturas de Español, Matemáticas e Historia para los tres grados de secundaria.

Los resultados de la prueba ENLACE 2010 de secundaria son comparables con los resultados de la aplicación en 2009 (excepto la asignatura de Historia). Estos resultados no son comparables con 2006, 2007 y 2008 porque el examen cambió de perfil.

La habilidad matemática se evalúa con relación a: a) Cuatro contenidos matemáticos

Cantidad

Espacio y forma

Cambios y relaciones

Matemáticas Básicas b) Tres grupos de procesos cognitivos

Reproducción

Conexión

Reflexión En Matemáticas ENLACE no evalúa:

Creación de unidades arbitrarias de medida

Uso de instrumentos de geometría

Creación y exploración de objetos tridimensionales Los resultados pueden ser consultados en el Sistema Nacional de Consulta de Resultados ENLACE 2010, http://201.175.42.249/Enlace/Resultados2010/Basica2010/R10CCT.aspx, que permite obtener información por escuela, alumno, grado, grupo, zona, entidad y asignaturas; una presentación de tablas, matrices y porcentajes de niveles de logro por reactivo e información comparativa según el puntaje, nivel de logro y otros indicadores comparados con resultados obtenidos en otros años.

http://201.175.42.249/Enlace/Resultados2010/Basica2010/R10CCT.aspx


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a) Escribe tu opinión acerca del planteamiento de ENLACE para la evaluación en Matemáticas.

b) Comenta con tus compañeros sobre los contenidos y procesos que utiliza la prueba ENLACE para la evaluación en Matemáticas. Comparen con la estructura que acostumbran utilizar en la elaboración de sus exámenes y anoten sus observaciones.

c) Por equipo, comenten y expresen enseguida su versión acerca de cómo se considera en ENLACE el enfoque por competencias


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2. Analizando tres reactivos de la prueba ENLACE

En la actividad de inicio del módulo, se resolvieron tres reactivos de la prueba ENLACE 2010: “Pregunta No. 47” y “Pregunta No. 99” de primer grado” y “Pregunta No. 32” de segundo grado. Para cada uno de ellos, después de resolverlo, discute con tus compañeros de equipo atendiendo los siguientes cuestionamientos. Toma nota para la discusión grupal.

I. “Pregunta No. 47”, a) Responde y argumenta sobre la opción seleccionada.

b) El Sistema Nacional de Consulta de Resultados ENLACE 2010, muestra el reporte siguiente para un grupo de primer grado, ¿A qué atribuyes el índice de respuestas incorrectas obtenidas en esta pregunta?


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c) ¿Qué razonamientos harían los estudiantes que seleccionaron las opciones A), B) y D)?

d) Según el apartado anterior, una característica de la prueba ENLACE es que “Explora

una amplia variedad de aprendizajes indicados en los programas de estudio. ¿Qué aprendizajes se pretenderán evaluar con este reactivo?

e) ¿Cuál es tu interpretación de la debilidad expuesta en el Sistema Nacional de Consulta de Resultados ENLACE 2010 para este reactivo?

f) En la debilidad expuesta, ¿a qué se referirá con “el algoritmo de la adición de números con signo”? ¿Es posible identificarlo en la opción de respuesta señalada como correcta? Argumente.

g) ¿Por qué se dirá que el reactivo está planteado en “situaciones cotidianas”? ¿Qué opinión tienes de la situación que plantea el reactivo?


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h) ¿Qué aspectos modificarías si tuvieras que mejorar el reactivo? Escribe aquí tu propuesta de diseño.

i) ¿Cuál de las competencias que se mencionan en el documento Programas de estudio 2006, habrá desarrollado más un estudiante que responde correctamente este reactivo, comparado con otro que lo contestó incorrectamente? Justifica tu respuesta.

II. “Pregunta No. 99”: a) Responde y argumenta sobre la opción seleccionada.


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b) Enseguida se muestran tres triángulos, ¿cumplen las condiciones dadas en el reactivo? Trázalos, escribiendo enseguida la construcción paso a paso. Distribuyan el trabajo en el equipo. En caso de existir alguna dificultad, explica por qué crees que se presenta.


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c) El Sistema Nacional de Consulta de Resultados ENLACE 2010, muestra el reporte siguiente para un grupo de primer grado, ¿A qué atribuyes este índice de respuestas incorrectas a la pregunta?

d) ¿Qué razonamientos harían los estudiantes que seleccionaron las opciones A), B) y C)?

e) Según el apartado anterior, una característica de la prueba ENLACE es que “Explora

una amplia variedad de aprendizajes indicados en los programas de estudio”. ¿Qué aprendizajes se pretenderá evaluar con este reactivo?

f) ¿Cuál es tu interpretación de la debilidad planteada en el Sistema Nacional de Consulta de Resultados ENLACE 2010 para este reactivo?


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g) En la debilidad expuesta, ¿a qué se referirá con “considerando condiciones de posibilidad o unicidad?”. Indica dónde aparece en el reactivo esta condición.

h) Si tuvieras que mejorar el reactivo, ¿qué aspectos modificarías? Escribe enseguida tu propuesta de diseño.

i) ¿Cuál de las competencias que se mencionan en el documento Programas de estudio 2006, habrá desarrollado más un estudiante que responde correctamente este reactivo, comparado con otro que lo contestó incorrectamente? Justifica tu respuesta.


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III. “Pregunta No. 32”:

a) Responde y argumenta sobre la opción seleccionada.

b) El Sistema Nacional de Consulta de Resultados ENLACE 2010, muestra el reporte siguiente para un grupo de primer grado, ¿a qué atribuyes este índice de respuestas incorrectas a la pregunta?


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c) ¿Qué conceptos matemáticos están involucrados en la resolución del reactivo?

d) ¿Qué estrategia realizarían los estudiantes que seleccionaron la opción señalada como correcta? ¿Esta estrategia es única?

e) ¿Qué aspectos de la distribución de los datos pueden visualizarse en una representación gráfica? Argumenta.

a. Datos no numéricos b. Datos numéricos

f) ¿Qué razonamientos harían los estudiantes que seleccionaron las opciones A), C) y

D)?

g) Según el apartado anterior, una característica de la prueba ENLACE es que “Explora una amplia variedad de aprendizajes indicados en los programas de estudio”. ¿Qué aprendizajes se pretenderá evaluar con este reactivo?


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h) ¿Cuál es tu interpretación de la debilidad planteada en el Sistema Nacional de Consulta de Resultados ENLACE 2010 para este reactivo?

i) Suponga que alguno de sus alumnos seleccionó una respuesta incorrecta, ¿en qué se basaría para afirmar que “el alumno no logra calcular las medidas de tendencia central a partir de los datos agrupados expresados en una gráfica”?

j) ¿Por qué se dirá que es la media “la medida más representativa de la distribución de los datos”?

k) ¿Qué opinión tienes del contexto en el que está planteado el problema? ¿Qué interpretación tiene el resultado obtenido?


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l) Si tuvieras que mejorar el reactivo, ¿qué aspectos modificarías? Escribe enseguida tu propuesta de diseño.

m) ¿Cuál de las competencias que se mencionan en el documento Programas de estudio 2006, habrá desarrollado más un estudiante que responde correctamente este reactivo, comparado con otro que lo contestó incorrectamente? Justifica tu respuesta.


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3. Uso de los resultados de evaluación

a) Después de haber analizado los tres reactivos seleccionados de la Prueba ENLACE 2010, escribe dos conclusiones sobre el diseño de este instrumento de evaluación.

b) Supongamos que tus alumnos están entre los que fueron evaluados con estos reactivos y te dan a conocer los resultados que hemos revisado aquí. Selecciona uno de los tres reactivos y especifica cuál de los propósitos del plan de estudios estaría directamente relacionado con él. Justifica tu respuesta.

c) Para cada reactivo escribe una acción específica, que pudieras emprender en tu clase, para mejorar el desempeño de tus estudiantes en ese reactivo.


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Actividad 5

Análisis de Reactivos PISA

En esta actividad se harán los análisis correspondientes a los reactivos PISA tratando de

ubicar sus propósitos, su relación con los planteados en el Programa de Matemáticas, las

diferencias principales entre su estructura y las de los reactivos revisados anteriormente,

así como las implicaciones que esta prueba ha tenido en los procesos de enseñanza y

aprendizaje en nuestro país y particularmente en nuestra aula.

1. ¿Qué es PISA?

Enseguida se presenta una breve descripción del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes (PISA por sus siglas en inglés), basada en información que se localiza en los sitios: http://www.inee.edu.mx/index.php/proyectos-y-servicios/pisa/que-es-pisa y http://www.oecd.org/dataoecd/47/23/41943106.pdf .

Este programa realiza un estudio comparativo de evaluación de los resultados de los sistemas educativos, y es coordinado por la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos).

El objetivo de PISA se concentra en proporcionar una base nueva para el diálogo sobre políticas y sobre la colaboración respecto a la definición y operatividad de las metas educativas.

Particularmente, el propósito de la prueba aplicada por PISA a los estudiantes es conocer el nivel de habilidades necesarias que han adquirido para participar plenamente en la sociedad, centrándose en dominios claves como Lectura, Ciencias y Matemáticas. Mide si los estudiantes tienen la capacidad de reproducir lo que han aprendido, de transferir sus conocimientos y aplicarlos en nuevos contextos académicos y no académicos, de identificar si son capaces de analizar, razonar y comunicar sus ideas efectivamente, y si tienen la capacidad de seguir aprendiendo durante toda la vida. Para PISA, esos dominios están definidos como competencia (literacy) científica, lectora o matemática.

Su aplicación se lleva a cabo cada tres años. En cada ciclo se enfatiza uno de los tres dominios de evaluación y los otros son evaluados con menor profundidad. En 2003 el principal dominio fue Matemáticas. Se dirige a una muestra de estudiantes que permita asegurar la representatividad de cada país en su conjunto. La población objetivo son los estudiantes de 15 años tres meses a 16 años dos meses.

En el dominio de evaluación de Matemáticas se han considerado desde el 2003 las siguientes dimensiones y categorías:

http://www.inee.edu.mx/index.php/proyectos-y-servicios/pisa/que-es-pisa

http://www.oecd.org/dataoecd/47/23/41943106.pdf


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Categorías

Dimensiones

Contenidos

Cantidad

Espacio y forma

Cambio y relaciones

Incertidumbre

Procesos o Grupos de Competencias Matemáticas

Reproducción

Conexiones

Reflexión

Situaciones

Personal

Educativa/Profesional

Pública

Científica

El primer grupo de competencias matemáticas —reproducción— se compone de cálculos sencillos o definiciones del tipo más familiar en las evaluaciones convencionales de matemáticas; el segundo —conexiones— requiere de la reunión de ideas y procedimientos matemáticos para resolver problemas directos y razonablemente familiares; y el tercer conjunto —reflexión— se basa en razonamiento, generalización y discernimiento matemático y requiere que los estudiantes practiquen análisis, que identifiquen elementos matemáticos en una situación y que planteen sus propios problemas. Estas competencias son aplicadas como parte del proceso fundamental de matematización que los estudiantes utilizan para resolver problemas de la vida real.

a) Escribe tu opinión sobre las diferencias que encuentres entre el planteamiento de PISA y los planteamientos de las evaluaciones IEEES, ENLACE Y Excale, que revisaste anteriormente.


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b) Comenta con tus compañeros las dimensiones y categorías utilizadas por PISA para la evaluación en Matemáticas. Comparen con la estructura que acostumbran a utilizar en la elaboración de sus exámenes y anoten sus observaciones.

c) ¿Cómo se considera en PISA el enfoque por competencias?


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2. Análisis de algunos reactivos de PISA

En el examen ejemplo que resolvieron en la primera actividad de este módulo, se incluyeron tres reactivos del examen de PISA: “Área Continental”, “Las Manzanas” y “Granjas”. Para cada uno de ellos, analiza las acciones llevadas a cabo para su solución. Usa como guía las siguientes preguntas.

I. En “Área Continental” 1:

a) ¿Qué tipo de situación se presenta?

b) ¿Qué procedimientos resultaron exitosos? ¿Hubo alguno que no lo fuera? c) ¿Qué conceptos matemáticos son involucrados en la resolución del problema?

d) ¿Qué tipo de representaciones se utilizaron?

e) ¿Cómo se utilizaron las argumentaciones?

1 Ver el reactivo en el ANEXO “PISA” al final de la Actividad


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f) ¿Qué grupo de competencias se pretende evaluar?

g) Estas acciones llevadas a cabo para la solución de los problemas ¿forman parte de las prácticas matemáticas realizadas por los jóvenes estudiantes de nuestras escuelas?

h) Si tu respuesta al cuestionamiento anterior es afirmativa, describe las características didácticas que consideras más favorable para promover dichas prácticas. En caso contrario, ¿qué acciones didácticas se pueden implementar?


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II. En “Las Manzanas” 2:







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III. En “Granjas” 3:






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3. Análisis de la estructura de los reactivos de PISA

Como se comentó en la sección 1) los reactivos PISA se elaboran de acuerdo a tres dimensiones, y cada una de estas dimensiones incluye un determinado número de categorías.

a) Determina la categoría que se ha considerado para cada una de las dimensiones en los tres reactivos estudiados. Comenta con tus compañeros y escribe tus conclusiones en la siguiente tabla.

Reactivo “Área Continental” “Las Manzanas” “Granjas”.

Contenido

Proceso

Situación

b) Según el informe de PISA se ha determinado un cierto grado de dificultad para cada reactivo. Los puntajes correspondientes a estos reactivos están registrados en la siguiente tabla. Éstos se utilizan para asignar valor a las respuestas de los estudiantes, los cuales pueden recibir crédito total o parcial según su respuesta. En PISA, el puntaje medio es de 500 y los puntajes mínimos registrados, están alrededor de los 350 puntos, mientras que los máximos son cercanos a los 750.

Reactivo “El Área Continental” “Las Manzanas” “Granjas”.

Puntaje asignado por grado de dificultad

Pregunta Puntos Pregunta Puntos Pregunta Puntos

5.1 712-629 3.1 548 1.1 492

- - 3.2 656 1.2 524

- - 3.3 723-672 - -

c) ¿Qué opinas sobre los puntajes otorgados a cada reactivo? Comenta con tus compañeros lo que consideras que se tomó en cuenta para ello y escucha lo que opinan ellos, luego escribe lo más relevante de los comentarios hechos por todos en cada uno de los reactivos:

o Sobre el 5.1


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o Sobre el 3.1

o Sobre el 3.2

o Sobre el 3.3

o Sobre el 1.1

o Sobre el 1.2


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d) El resultado obtenido por los estudiantes mexicanos y el promedio de los países de la OCDE se muestran en la siguiente tabla.

Reactivo “El Área Continental” “Las Manzanas” “Granjas”.

Porcentaje correcto obtenido por México

Pregunta % Pregunta % Pregunta %

5.1 3 3.1 27 1.1 32

- - 3.2 8 1.2 37

- - 3.3 3 - -

Porcentaje correcto promedio obtenido por los países de la OCDE

Pregunta % Pregunta % Pregunta %

5.1 19 3.1 49 1.1 61

- - 3.2 25 1.2 55

- - 3.3 13 - -

¿Qué relaciones encuentran entre esta información presentada y las categorías determinadas en el inciso a)? Comenta en equipo y escribe brevemente tus conclusiones


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4. La prueba PISA y el Sistema Educativo Mexicano.

Analiza y comenta con tus compañeros la relación de las dimensiones y categorías de los reactivos PISA, vistos globalmente, con los contenidos y propósitos establecidos en el Programa de Matemáticas de la escuela secundaria mexicana. Escribe tus observaciones; para ello puedes guiarte en las siguientes cuestiones. Al finalizar se comunicarán las ideas principales que en común hayan registrado los miembros de cada equipo.

a) Establece las relaciones sobre los contenidos que evalúa PISA y los que corresponden al Plan de Estudios de Matemáticas de la escuela secundaria mexicana ¿Qué opinas sobre la clasificación hecha en uno y otro?

b) Establece ahora lo correspondiente a los procesos o grupos de competencia:

c) Finalmente escribe, después de comentar con tus compañeros, lo que se refiere a las situaciones. Cuando hayas concluido, pónganse de acuerdo en el equipo para que uno de ustedes comente ante el grupo lo que concluyeron en cada uno de estos análisis.


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5. Implicaciones de la prueba PISA

En esta sección, se identificarán y comentarán algunas implicaciones que esta prueba PISA ha tenido en el sistema de enseñanza nacional. Como información adicional se presenta una descripción de los niveles de desempeño de los estudiantes considerados por PISA, así como el desempeño de los estudiantes mexicanos.

El desempeño de los estudiantes mexicanos en matemáticas, según el INEE(2010): En la aplicación del año 2000: “México tiene un 30% de su población en el nivel 2, un 19% en el nivel 3 y otro 6% en el nivel 4. Sin embargo, debe considerarse que México tiene en el nivel 1 o inferior al 44% de los estudiantes de su muestra”… “En el otro extremo se encuentran Brasil y México con 330 y 380 puntos respectivamente”… “En Matemáticas obtiene 387 puntos, Argentina 388, Brasil 334, Chile 384 también y Perú 292. De otras


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informaciones se destaca que, matemáticas es la única asignatura en donde hay un constante crecimiento desde 2000 hasta el 2009, y en este periodo de exámenes el desempeño de los jóvenes de 15 años subió 32 puntos.

a) ¿Cómo han influido en tus prácticas personales de enseñanza la aplicación de la prueba y la difusión de los resultados de México?

b) ¿Cómo han influido en las prácticas de enseñanza de tu institución?

c) ¿Cómo han influido en la política educativa nacional?


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6. Cierre

Para cerrar la actividad y el presente módulo, elabora un pequeño ensayo con una extensión mínima de tres cuartillas y una máxima de cinco cuartillas, como tarea final. Deberá contener tu opinión sobre los diferentes tipos de evaluación que se han analizado en el módulo. Puedes orientar la forma de escribir con base en los análisis de reactivos que hiciste para cada una de las evaluaciones externas revisadas en este módulo. Se sugiere enfatizar los siguientes aspectos según se aplique:

La consistencia interna, es decir, la correspondencia entre lo que se pregunta y las intenciones del reactivo.

La redacción de la pregunta y las respuestas propuestas como opciones de selección.

Relación con contenidos y propósitos establecidos en el Programa de matemáticas de la escuela secundaria mexicana.

Implicaciones que estas pruebas han tenido en el sistema de enseñanza nacional, diferenciando los ámbitos personal, escolar y de política educativa nacional.

El cuerpo del texto debe contener:

o Introducción o Desarrollo o Conclusiones o Referencias

Este ensayo deberá enviarse en archivo electrónico al instructor de acuerdo a las especificaciones siguientes:

El trabajo deberá presentar una portada sobria: solamente contendrá el Título del ensayo centrado en la parte media superior de la página, y en un recuadro en la parte inferior derecha, los siguientes datos:

o Nombre del Diplomado- Módulo o Nombre del Participante o Nombre del Instructor o Nombre de la Escuela de adscripción laboral- Tipo o Grado(s) de secundaria en la que imparte o supervisa cursos de

matemáticas o Localidad – Municipio o Fecha


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ANEXO “PISA” ÁREA CONTINENTAL Mapa de la Antártida.

Utiliza la escala del mapa y calcula el área de la Antártida. Escribe tu respuesta y explica cómo hiciste el cálculo. (Puedes dibujar sobre el mapa si esto te ayuda a hacer el cálculo).


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MANZANAS

Un granjero plantó árboles de manzana siguiendo un patrón cuadrado. Para protegerlos del viento, plantó pinos alrededor del huerto. A continuación se presentan diagramas de esta situación, donde podrás apreciar el patrón usado para plantar los árboles de manzana y de pinos, para cualquier número de filas (n) de árboles de manzana:

Árbol de manzana Pregunta 1: MANZANAS

Completa la tabla:

n Número de árboles de manzana Número de pinos

1 1 8

2 4

3

4

5

Pino

n=2 n=3

n=4

n=1


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Pregunta 2: MANZANAS

Hay dos fórmulas que puedes usar para calcular la cantidad de árboles de manzana y de pino en un patrón como el anteriormente descrito:

Número de árboles de manzana = n2

Número de pinos = 8n

donde n es el número de filas de árboles de manzana.

Existe un valor para n en el cual el número de árboles de manzana es igual al de pinos. Encuentra el valor para n y describe tu método para calcularlo.

Pregunta 3:

MANZANAS

Imagina que el granjero quiere hacer más grande su huerto con más filas de árboles. Conforme el granjero amplíe su huerto, ¿qué se incrementará más rápidamente: la cantidad de árboles de manzana o la de pinos? Explica cómo encontraste tu respuesta.


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GRANJAS

Aquí ves la fotografía de la casa de una granja con techo en forma de pirámide.

A continuación tienes un modelo matemático que hizo un estudiante del techo de la casa, al cual agregó las medidas correspondientes.

El piso del ático, ABCD en el modelo, es un cuadrado. Las vigas que sostienen el techo son los límites de un bloque (prisma rectangular) EFGHKLMN. E está a la mitad de AT, F está a la mitad de BT, G está a la mitad de CT y H está a la mitad de DT. Cada arista de la pirámide del modelo mide 12 m.


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Pregunta 1:

GRANJAS Calcula el área del piso del ático ABCD.

El área del piso del ático ABCD =_________ m²

Pregunta 2:

GRANJAS

Calcula la longitud EF, uno de los límites horizontales del bloque.

La longitud EF = ________m


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ANEXO: ¿Qué es PISA?

Lunes, 30 de Agosto de 2010 12:37 Última actualización el Lunes, 13 de Septiembre de 2010 13:26


PISA en México ya tiene una historia que se remonta al año 2000, cuando se realizó su primera aplicación. Desde su puesta en marcha, y particularmente después de conocer esos primeros resultados y el potencial que guardan los datos para su aprovechamiento, el proyecto ha inducido a investigaciones, reportes, debates, reflexiones y, sobre todo, ha incitado preguntas que, por su frecuencia, dan pie al documento que ahora se entrega. En estas páginas se ofrece información general sobre PISA, sin referirla a un ciclo particular de aplicación, y se contestan las preguntas surgidas a partir del contacto con docentes. La intención de este material es doble. Por una parte, que sea leído por todas las personas involucradas y, por otra, que su contenido sea divulgado, asimilado y dominado por docentes, familias, estudiantes, directores, entre otros.

¿Qué quiere decir PISA?

PISA, por sus siglas en inglés, significa Programme for International Student Assessment. En el INEE se le ha traducido como Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes. Es un estudio comparativo de evaluación de los resultados de los sistemas educativos, coordinado por la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos).

¿Cuál es el propósito central de PISA?

Conocer el nivel de habilidades necesarias que han adquirido los estudiantes para participar plenamente en la sociedad, centrándose en dominios claves como Lectura, Ciencias y Matemáticas. Mide si los estudiantes tienen la capacidad de reproducir lo que han aprendido, de transferir sus conocimientos y aplicarlos en nuevos contextos académicos y no académicos, de identificar si son capaces de analizar, razonar y comunicar sus ideas efectivamente, y si tienen la capacidad de seguir aprendiendo durante toda la vida. Para PISA, esos dominios están definidos como competencia (literacy) científica, lectora o matemática.

Entonces, ¿PISA mide algo más de lo que se enseña en un currículo escolar?

En efecto, PISA se centra en medir la capacidad de los jóvenes para usar su conocimiento y sus destrezas para afrontar los retos de la vida real en las sociedades modernas; más que determinar lo que se domina de un currículo escolar. Bajo esta perspectiva de competencias, PISA se interesa en el repertorio de conocimientos y habilidades adquirido



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tanto en las escuelas como fuera de ellas y en el potencial para reflexionar y usar este repertorio en situaciones o escenarios diversos.

El concepto de literacy ¿a qué se refiere y cómo se traduce?

No hay una convención establecida para su traducción al español. Lo que se tiene es una gama amplia de traducciones, tales como: alfabetización, competencia, habilidad, cultura, y hasta se ha llegado a manejar la palabra literacidad. Independientemente de su traducción, para PISA es un concepto fundamental que se refiere, por un lado, a la capacidad para aplicar conocimientos y destrezas en situaciones diversas y, por otro, a la consecución de procesos cognitivos complejos, tales como analizar, razonar, comunicarse de manera efectiva; así como plantear, resolver e interpretar diferentes problemas. Como se ve, el concepto de alfabetización o literacy usado en PISA va más allá de la idea tradicional de la capacidad de leer y escribir: es considerada como una habilidad que se aprende a lo largo de la vida y no como un rasgo que un individuo tiene o no tiene.

¿Cada cuándo se aplica PISA?

Cada tres años. En cada ciclo se enfatiza uno de los tres dominios de evaluación y los otros son evaluados con menor profundidad. En 2000 el principal dominio fue Lectura, en 2003 Matemáticas, en 2006 Ciencias y en 2009 se regresa a Lectura, y así sucesivamente.

¿Qué países participan?

Los miembros de la OCDE, pero no es obligatorio. Los países no miembros también lo pueden hacer. En ambos casos, deben solicitar a este organismo su inclusión.

¿A quién se dirige la prueba?

A muestras de estudiantes que van de 4 mil 500 a diez mil, de una muestra mínima de ciento cincuenta escuelas, para asegurar la representatividad del país en su conjunto. Los países pueden solicitar ampliar la de sus centros educativos para tener mayor representatividad. La población objetivo son los estudiantes de 15 años tres meses a 16 años dos meses, (de manera abreviada se dice población de 15 años).

¿Quién coordina a nivel internacional el estudio de PISA?

Para cada aplicación de PISA, la OCDE contrata por concurso a un organismo especializado en evaluación para que coordine el diseño y la implementación del proyecto. Del 2000 al 2006 estuvo a cargo de un consorcio internacional encabezado por un organismo de Australia llamado Australian Council for Educational Research (ACER). En 2009 la OCDE reorganizó los trabajos del proyecto y mantuvo a ACER como el responsable de su manejo, control y coordinación. Para mayor información sobre la estructura organizativa de PISA visite la página: www.pisa.oecd.org

http://www.pisa.oecd.org/


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¿Y en México quién está a cargo de PISA?

Coordinados por el consorcio internacional, el responsable en México es el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), organismo descentralizado creado en 2002 para encargarse de evaluaciones nacionales, independientes de las realizadas por la SEP, e internacionales. Dentro del INEE, es la Dirección de Proyectos Internacionales y Especiales (DPIE) quien se encarga de coordinar la implementación del proyecto en todas sus fases, y se compromete a asegurar que se cumplan los procedimientos y estándares técnicos definidos por el consorcio para que la implementación sea de alta calidad. También participa en el desarrollo y validación de los instrumentos de medición, contribuye en la verificación y revisión de los resultados, así como en el análisis e integración de reportes, entre ellos el nacional.

¿En qué consiste el estudio de PISA?

En una medición basada en instrumentos de lápiz y papel. Se aplican dos tipos de instrumentos: uno, al que de manera habitual se le conoce como prueba que, de hecho, consiste en diferentes versiones de cuadernillos (13 versiones), y el otro se refiere a los cuestionarios de contexto dirigidos al estudiante y al director del centro escolar. La duración total para responder el cuadernillo y el cuestionario del estudiante es de dos horas y media (dos horas para la prueba y de veinte a treinta minutos para contestar el cuestionario), incluyendo descansos. Los directores escolares contestan en aproximadamente veinte minutos el cuestionario diseñado para ellos.

¿Cómo se estructura la prueba?

La prueba está compuesta por diferentes tipos de reactivos. Uno comprende los muy conocidos, en los cuales se selecciona una sola opción de respuesta, hay otros en los cuales las opciones de respuesta se presentan en dos partes, en otro tipo de reactivo se pide como respuesta una frase corta o una cantidad; y los predominantes son aquéllos en donde se pide que el estudiante construya la respuesta. En todos los casos, los reactivos no se presentan en aislado, se acompañan de un estímulo introductorio que bien puede ser un texto, una gráfica, un diagrama, un mapa, etcétera. Es así que para responderlos, el estudiante debe leer y comprender el estímulo introductorio para poder resolver cada tarea solicitada en el reactivo.

Para medir las competencias en Ciencias, Matemáticas y Lectura, la prueba abarca muchos más reactivos de los que contesta un estudiante. La medición completa incluye, en promedio, ciento ochenta reactivos, esta cantidad varía dependiendo del ciclo. Es claro que un estudiante no puede, además de leer el estímulo introductorio, dar respuesta a todos los reactivos de la prueba en un tiempo de dos horas. Por lo tanto, el total de reactivos se organiza en grupos, y éstos se distribuyen en las diferentes versiones de cuadernillos; y cada uno de ellos tiene cuatro grupos distintos de reactivos. Un estudiante


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responde una versión del cuadernillo que le fue repartido de forma aleatoria y que cuenta con alrededor de sesenta reactivos de las tres áreas.

¿Por qué se diseñan más reactivos de los que un estudiante puede responder?

Porque del total de las respuestas de la muestra de alumnos a quienes se les aplicó la prueba PISA se obtiene mucha más información, sin que esto implique una jornada extenuante la cual impacte en los estudiantes ni en el operativo de la aplicación. De esta manera, se logra tener más reactivos contestados y así los resultados no se limitan a uno solo, sino a medir una amplia gama de procesos cognitivos y contenidos de cada área de evaluación.

¿Cuándo y cómo se difunden los resultados de PISA?

Los resultados de los países son procesados por el Consorcio de PISA, a fin de publicar el reporte internacional, que es dado a conocer un año después de la aplicación definitiva. Puede accederse a él en la página www.pisa.oecd.org. Cada país es responsable de integrar su propio reporte, una vez que dicho consorcio entregue los datos a cada país. Los reportes nacionales se deben dar a conocer cuando el consorcio publica el internacional.

¿Desde cuándo participa México en PISA?

Desde el primer ciclo de aplicación en 2000. En éste México evaluó a una muestra de 5 mil 276 estudiantes. En 2003, se amplió y se evaluaron a 29 mil 983 estudiantes de 15 años de secundaria y educación media superior. La ventaja de haber tenido esa muestra en 2003 fue disponer de resultados con representatividad nacional y por entidad; a diferencia del 2000, cuando los resultados sólo fueron a nivel nacional. A partir de ese ciclo se ha mantenido la decisión de tener una muestra ampliada.

¿Qué niveles y modalidades educativas de México participan en PISA?

La población objetivo de PISA corresponde a estudiantes de 15 años. En el caso de México, esta población está inscrita principalmente en educación media superior, tanto en bachillerato como en profesional técnico (Conalep), pero también hay estudiantes en secundarias generales, técnicas o telesecundarias.

¿Cómo se selecciona la muestra de escuelas y estudiantes?

La selección de la muestra de escuelas es responsabilidad del Consorcio de PISA, no es atribución de los países participantes. Por lo que se refiere a México, el INEE envía el


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listado de todas las escuelas del nivel secundaria y de educación media superior del país, y el consorcio selecciona la muestra de escuelas. Cuando ésta es recibida en México, se solicita a las áreas de evaluación de cada entidad federativa que integren la lista de todos los estudiantes de 15 años de cada escuela de la muestra. Con base en esta lista, se selecciona aleatoriamente a los estudiantes que participarán en la evaluación.

¿Por qué hay escuelas que participan en PISA y otras no?

A partir del listado nacional de escuelas secundarias y de educación media superior, la muestra elegida por el consorcio contiene más escuelas que las que se necesitan, en previsión de los casos en donde no sea posible realizar la aplicación.

¿El director o directora de una escuela puede solicitar que su escuela participe en PISA?

Las escuelas no participan a partir de la solicitud de su director o directora, porque hay que recordar que el Consorcio selecciona la muestra de escuelas. Es un proyecto de evaluación comparativa a gran escala de sistemas educativos a nivel internacional, cuyos resultados sirven para identificar fortalezas y debilidades del conjunto del sistema educativo, y promover mediante los planes de largo alcance la mejora progresiva de la calidad educativa, y no constituye un servicio certificador.

¿Por qué hay estudiantes que participan en la evaluación de PISA y otros que no?

Del total de estudiantes de 15 años de las listas que envían las escuelas de la muestra, sólo se seleccionan al azar a 35 alumnos de cada escuela, por lo cual algunos presentan la prueba, y otros no.

¿Los resultados de las pruebas afectarán las calificaciones escolares de los estudiantes?

No. Los resultados no afectan las calificaciones de los estudiantes, puesto que éstos se usan sólo para propósitos de investigación comparativa entre los diferentes países participantes. El propósito final de PISA es usar los resultados para retroalimentar los sistemas educativos.

¿Por qué a los estudiantes no les dan resultados si presentan la prueba de PISA?

Por tratarse de pruebas que tienen el objetivo de evaluar sistemas educativos nacionales, las de PISA tienen un diseño que no permite dar resultados por escuela o persona, pues los estudiantes responden sólo a una parte de las preguntas. Esto se hace así porque para poder evaluar las competencias que mide la prueba se requiere una gran cantidad de reactivos, y responder a todos ellos le tomaría a una persona mucho tiempo. Así, para facilitar la aplicación, cada estudiante responde una parte de la prueba. Por esta razón es imposible obtener resultados en forma individual. Además, por tener una muestra de


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escuelas, tampoco se pueden ofrecer resultados por cada una de ellas; en cambio, se obtienen datos confiables sobre el conjunto del sistema educativo.

Entonces ¿no hay manera de tener resultados por alumno o por escuela?

No con las pruebas de PISA. Éstas, al igual que las desarrolladas por el INEE, llamadas Exámenes de la Calidad y el Logro Educativos (Excale), cuentan con un diseño que sirve para dar resultados globales del Sistema Educativo Nacional (SEN) y de los sistemas estatales, pero no por alumno ni por escuela. La SEP ha desarrollado las pruebas llamadas Exámenes Nacionales de Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE), diseñadas para dar resultados por alumno.

¿En qué se distinguen ENLACE, Excale y PISA?

En sus propósitos y características. Los tres son instrumentos de evaluación que los responden personas, aunque sólo uno de ellos está destinado a evaluar los desempeños educativos de las personas. ENLACE se aplica a todos los estudiantes de cierto grado escolar y su propósito es proporcionar información sobre su rendimiento. Los otros dos instrumentos se aplican a muestras de estudiantes en función de su grado escolar (en el caso de Excale) o de su edad (en el caso de PISA) para conocer el comportamiento del sistema educativo nacional. Además, ENLACE y Excale están apegados a currículum, característica que no se repite con PISA, que evalúa competencias.

¿Qué papel tiene la evaluación que realizan los profesores en las aulas?

La evaluación en el aula practicada por los profesores es sumamente importante e insustituible. Lo que los profesores miden día a día, mensual o anualmente les permite, por un lado, monitorear el desempeño de los estudiantes y ajustar su proceso de enseñanza; por otro, les ayuda a certificar a cada alumno. En ese sentido, esta evaluación se conoce como de alto impacto por el tipo de decisiones a las cuales llega, pues en función de los resultados de las pruebas de aula, acompañadas de los trabajos escolares, las tareas, las participaciones, etcétera, se asignan calificaciones a los estudiantes. Lo cual no sucede con los resultados de las pruebas a gran escala, como es el caso de PISA.

¿Cuándo están disponibles los resultados de cada ciclo de PISA?

Al año siguiente de la aplicación en turno. Se debe considerar que después de la aplicación comienza el proceso de codificación de las preguntas de respuesta abierta construida, la captura de todos los materiales de la aplicación (entre ellos las pruebas, los cuestionarios, etcétera) y luego se integra la base de datos para ser enviada al Consorcio de PISA, quien se encargará de conjuntar las bases de todos los países. Una vez que el consorcio procesa los datos, entonces entrega a cada país su base de datos depurada para que si lo desea elabore su reporte nacional. Por la complejidad de estos procesos y la participación y coordinación de un gran número de países, el informe internacional se difunde un año


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después de la aplicación, generalmente ha sido a principios de diciembre. En ese mismo mes el INEE ha difundido el informe con los resultados de México.

¿A quién se ofrecen los resultados?

El INEE los difunde ampliamente, a través de su página electrónica (www.inee.edu.mx) y de forma impresa, y los hace llegar a secundarias, bachilleratos y planteles Conalep del país, hayan o no formado parte de la muestra de escuelas en donde se aplicó PISA.

¿Para qué sirven los resultados de PISA?

Para que todos los maestros de secundaria y de educación media superior de México sepan cómo está el país en comparación con otros, y cómo está su entidad federativa. El INEE también se ha esforzado por elaborar material derivado de las pruebas a gran escala que le permita a los docentes hacer uso educativo de ellas. Un ejemplo es el libro titulado PISA para docentes, elaborado por el INEE, en el cual los profesores pueden ver ejemplos reales de preguntas de los ciclos 2000 y 2003, en la versión del español usado en México, y que pueden aplicar a sus estudiantes para observar su nivel, en comparación con el de jóvenes de 15 años de México u otros países. También pueden consultar y usar, como un recurso complementario en la enseñanza, la serie PISA en el Aula integrada por tres libros, uno por área de evaluación (Lectura, Ciencias y Matemáticas), y cuyo foco de atención son propuestas didácticas para la educación secundaria, tomando como base los referentes de PISA y los planes y programas de ese nivel educativo. Las cuatro obras están disponibles en la página electrónica del INEE: www.inee.edu.mx

http://www.inee.edu.mx/index.php

http://www.inee.edu.mx/index.php

MÓDULO 2 MATERIAL DEL PARTICIPANTE

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MÓDULO 2

Los planes de clase y otros materiales de apoyo para la actividad docente

Introducción

Una de las principales dificultades que se presentan cuando se establece una propuesta

curricular nueva, es que los profesores nos enfrentamos a la necesidad de introducir

modificaciones en nuestras técnicas y métodos de enseñanza, que pueden ser muy

diferentes a aquellas con las cuáles nosotros fuimos formados y de aquellas que hemos

usado para enseñar.

Consecuentemente, es posible que no entendamos o no compartamos la filosofía que

descansa detrás de las propuestas y las dinámicas que traen aparejadas. Por esa razón,

aún cuando tuviéramos la posibilidad de emplear materiales didácticos de apoyo, como

los planes de clase, los nuevos textos, los recursos tecnológicos modernos y otros más, su

uso adecuado y permanente en el aula y, en general en nuestra actividad cotidiana,

requiere de un proceso que se desarrolla con relativa lentitud.

En este segundo módulo del diplomado tendremos oportunidad de revisar algunos de

esos materiales, partiendo de los denominados planes de clase, para realizar un estudio

que nos proporcione mejores condiciones de emplearlos para potenciar la actividad

docente que cotidianamente realiza cada profesor.

Un propósito fundamental en este sentido es que cada profesor exprese sus ideas sobre

los planes de clase y el resto de materiales didácticos que en ellos se sugieren, para dar

pie a una profunda reflexión sobre las posibilidades de uso, sus ventajas y sus desventajas.

El énfasis de las actividades del módulo está puesto en obtener conclusiones que no se

queden en el mero análisis, sino que proporcionen pautas de carácter práctico para

mejorar el desempeño docente de los profesores.

El presente módulo contiene cuatro actividades. En la Actividad 1 se pretende que los

profesores participantes compartan con sus compañeros de grupo el uso que hacen de los

planes de clase y del resto de los materiales recomendados como apoyo a la labor

docente. Esta actividad pretende ser el punto de referencia para las tres actividades

restantes. La Actividad 2 está dedicada a analizar algunos planes de clase y otros

materiales de apoyo de un tema elegido del eje denominado Manejo de la Información. En

la Actividad 3 se analizan y valoran planes de clase del eje Forma, Espacio y Medida y en la

Actividad 4, los planes de clase que se analizan corresponden al eje Sentido Numérico y

Pensamiento Algebraico.


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Actividad 1

Materiales de apoyo a la actividad docente

1. El uso de los planes de clase de matemáticas y los materiales didácticos sugeridos en los mismos.

Esta actividad tiene el propósito de que los profesores conozcan el uso que se da a los

planes de clase y los materiales didácticos de apoyo a su labor docente, como un

antecedente de los análisis que se llevarán a cabo en el resto del presente Módulo.

a) Haz un escrito, de no más de una cuartilla, en el que describas:

Tu nivel de conocimiento de los planes de clase de matemáticas.

La frecuencia con la cual apoyas tu trabajo en el aula con los planes de clase.

Si utilizas un libro de texto, el título del mismo, así como el uso que le das para

apoyar tu actividad docente.

El uso de calculadoras, computadoras y otros materiales didácticos propuestos

en los planes de clase para la labor didáctica en el aula.

2. Compartiendo reflexiones

a) El instructor solicitará a algunos participantes la lectura del escrito hecho en el

punto anterior. Lee y/o escucha con atención, según el caso.

b) Cada participante se incorporará a una discusión grupal dirigida por el instructor,

agregando elementos de análisis o contrastando sus puntos de vista con los

expuestos en las lecturas. Al final el instructor precisará los puntos de

concordancia a los que haya llegado el grupo en su conjunto.


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Actividad 2

Primer Grado: Bloque 1, Apartado 8

1. El subtema: Diagramas y Tablas en el Programa de Estudios de secundaria

En el Programa de Estudios de Matemáticas (p. 9) para la educación secundaria se destaca que: “En cuanto al eje Manejo de la información se resuelven problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpretación de datos provenientes de diversas fuentes. Este trabajo se apoya fuertemente en nociones matemáticas tales como porcentaje, probabilidad, función y en general en el significado de los números enteros, fraccionarios y decimales”.

a) Organizados en equipos discutan la problemática planteada en cada inciso y luego expresen su opinión en cada caso:

i) La importancia que, consideran tiene la lectura, construcción e interpretación de diagramas y tablas como tema de estudio en la educación secundaria.

ii) Revisa la página 32 del Programa de Estudios 2006 (ver anexo) y menciona la ubicación del tópico Diagramas y Tablas dentro de la estructura propuesta, los conocimientos y habilidades, así como las orientaciones didácticas.

iii) Analiza los dos “ejemplos sencillos”, planteados en la página 32 (ver anexo) y comenta sobre los aspectos que te parezcan más relevantes en cuanto al tipo de situación planteada, contenido matemático, estrategias de resolución y otras que consideres importante destacar.


82

2. Resolviendo las consignas de los planes de clase

Individualmente resuelve cada una de las consignas planteadas en los planes de clase del Bloque 1 Apartado 8 (B1A8)

a) Plan de Clase (1/3) Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Considerando las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de dos cifras es posible

formar?

Consigna 2: Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si en cada número que se forme ambas cifras deben ser distintas?

b) Plan de Clase (2/3) Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Considerando nuevamente las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres, cuatro y cinco cifras distintas es posible formar?

c) Plan de Clase (3/3) Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5:

i) ¿Cuántos números diferentes de tres cifras sin repetir se pueden formar?


83

ii) De los anteriores, ¿cuántos son pares?

iii) Si se ordenan de mayor a menor, ¿qué lugar ocupa el 234?

3. Analizando planes de clase

Organizados en equipos comenten sobre cada apartado del plan de clase y respondan a los cuestionamientos que aparecen enseguida.

a) Plan de clase (1/3)

Curso: Matemáticas I Bloque: 1.8 Eje temático: MI

Conocimientos y habilidades: Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

¿Las tablas y los diagramas de árbol son “procedimientos personales”? ¿A qué “otros procedimiento personales” se refiere este apartado? Especifica qué conocimientos se espera que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase. Especifica qué habilidades se espera que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.


84

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren algún procedimiento sistemático para resolver problemas de conteo.

¿Qué se entiende por “problema de conteo”? ¿Qué tipo de problemas de conteo? ¿Algún procedimiento sistemático en particular? ¿Se trata de generar o establecer alguna regla?


85

Si se llegara a establecer la regla, el alumno deberá: ¿expresarla verbalmente?, ¿expresarla algebraicamente? Comenta.

Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Considerando las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar?

¿Consideras que en la consigna se está planteando un problema, un ejercicio o una situación problema? ¿Qué conocimientos previos se requieren para resolver esta situación? ¿Qué contenidos se integran a través de esta actividad?


86

Consideraciones previas: Es muy probable que al empezar a resolver el problema los alumnos pregunten si es válido formar números con una cifra repetida, por ejemplo, 11, 33, etcétera. Hay que decir que sí se vale, puesto que en este primer problema se trata de encontrar todas las variaciones posibles. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Quizá algunos empiecen a probar con menos cifras planteándose la pregunta: ¿Qué pasaría si sólo fuera una cifra? Sólo se podría formar un número, el 11. ¿Y si fueran dos cifras? ¡Entonces serían cuatro números! ¿Y si fueran tres cifras? De esta manera encontrarán que hay una regularidad y les dará mucho gusto saber que con una simple operación pueden resolver el problema para cualquier cantidad de cifras. Pero atención: no hay que quitarles ese gusto, hay que dejar que ellos resuelvan el problema. Una vez que los alumnos hayan resuelto el problema y que se discutan con profundidad los procedimientos utilizados, se plantea la segunda consigna: Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si en cada número que se forme ambas cifras deben ser distintas?

¿Por qué se hará la consideración acerca de que los alumnos pregunten “si es válido formar números con una cifra repetida”? ¿Qué opinión tienes de la respuesta que se propone dar a los alumnos cuando preguntan si es válido formar números con cifras repetidas? En caso de estar de acuerdo con la respuesta sugerida para los alumnos, ¿qué argumentos darías en términos de lo planteado en la consigna?


87

De acuerdo a tu experiencia docente, ¿qué tan frecuente es que los alumnos “más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros”? De acuerdo a tu experiencia docente, ¿qué tan frecuente es que los alumnos utilicen la estrategia de simplificación del problema, es decir, “¿Qué pasaría si sólo fuera una cifra? ¿A qué números se refieren las siguientes expresiones?

“¡Entonces serían cuatro números!

¿Y si fueran tres cifras?

¿Consideras que determinar la cantidad de números que se pueden formar para cada caso particular, es suficiente para asegurar que “De esta manera encontrarán que hay una regularidad…”? Argumenta. ¿Cómo utilizarías los elementos planteados en las consideraciones previas de la primera consigna, para orientar el trabajo de la segunda consigna? En caso de que los estudiantes no formularan la pregunta inicial “es válido formar números con una cifra repetida”, ¿cómo orientarías el desarrollo de la segunda consigna?


88

¿Qué modificaciones propondrías hacer al diseño de este apartado del plan de

clase, tomando en cuenta los siguientes aspectos?

o Redacción

o Estructura

o Contenido

o Orientaciones

o Otros, especifica.

b) Plan de clase (2/3)



¿Sobre qué aspectos de las tablas y los diagramas de árbol está centrado este apartado del plan de clase? ¿Cuáles serían los “procedimientos personales” que esperarías utilizaran los alumnos en este apartado del plan de clase? Especifica los conocimientos que esperas que “construyan los alumnos” al trabajar este apartado del plan de clase. Especifica qué habilidades se espera que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.


89

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diagramas de árbol o algún procedimiento sistemático para resolver problemas de conteo.

¿Se espera que los estudiantes recurran de manera espontánea al diagrama de árbol, como recurso para resolver la situación? Argumenta. ¿Qué “procedimiento sistemático” podrían utilizar los alumnos?

Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Considerando nuevamente las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres, cuatro y cinco cifras distintas es posible formar?

¿Consideras que en la consigna se está planteando un problema, un ejercicio o una situación problema? Argumenta


90

Consideraciones previas: Posiblemente los alumnos nuevamente pregunten si es válido formar números con cifras repetidas, por ejemplo, 111, 333, etcétera, hay que decir que no, puesto que el problema no lo considera. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Es posible que algunos alumnos propongan el diagrama de árbol o una tabla; en caso de que los alumnos no utilicen el diagrama de árbol u otro recurso para mostrar las variaciones, el profesor puede proponer un diagrama en blanco para que vayan formando las cantidades, por ejemplo:

Además, es conveniente que el profesor plantee algunas cuestiones que les permitan los alumnos visualizar el orden que tienen los números y la cantidad de ellos que se forman, tales como: ¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el primer nivel (centenas)? ¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el segundo nivel (decenas)? ¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el tercer nivel (unidades)? Para encontrar los números de cuatro cifras el profesor puede sugerir el uso del diagrama de árbol, para el caso de cinco cifras será conveniente que pida a los alumnos que no lo utilicen, obligándolos a que usen multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta que pueden obtenerlas sin usar el diagrama, o sea que utilicen el principio fundamental de conteo: Para el caso de números de tres cifras es deseable que los alumnos multipliquen 5 x 4 x 3 = 60 Para el caso de números de cuatro cifras multipliquen 5 x 4 x 3 x 2 = 120 y para cinco cifras 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 No olvidar hacer una puesta en común donde se discutan a profundidad los procesos que siguieron los alumnos para resolver el problema.

En las consideraciones previas de plan de clase (1/3), se menciona que “se trata de encontrar todas las variaciones posibles” mientras que en el plan de clase (2/3) de este plan de clase se dice “mostrar las variaciones”, en ambos casos: ¿a qué se refiere con “variación”?


91

¿Cómo esperas que tus alumnos completen el diagrama propuesto? ¿Por qué? ¿Las cuestiones planteadas permitirán a los alumnos “visualizar el orden que tienen los números” y también “la cantidad de ellos que se forman”? Argumenta ¿Por qué se recomendará tratar de que los alumnos abandonen el diagrama de árbol y a cambio se les “obligue” a que “usen multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta que pueden obtenerlas sin usar el diagrama”? ¿En qué consiste el “principio fundamental del conteo”?


92

¿Qué papel juega el diagrama de árbol o la construcción de tablas en el establecimiento del principio fundamental del conteo?


clase?

o Redacción

o Estructura

o Contenido

o Orientaciones


c) Plan de clase (3/3)



¿Sobre qué aspectos de las tablas y los diagramas de árbol está centrado este apartado del plan de clase? ¿Cuáles serían los “procedimientos personales” que esperarías utilizaran los alumnos en este apartado del plan de clase?


93

Especifica qué conocimientos esperas que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase. Especifica qué habilidades esperas que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diagramas de árbol o algún procedimiento sistemático para resolver problemas de conteo.

¿Qué aspectos del diagrama de árbol se espera que utilicen los alumnos en este apartado? Argumenta. ¿Qué “procedimiento sistemático” podrían utilizar los alumnos?


94

Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5:

a) ¿Cuántos números diferentes de tres cifras sin repetir se pueden formar? b) De los anteriores, ¿cuántos son pares? c) Si se ordenan de mayor a menor, ¿qué lugar ocupa el 234?

¿Consideras que en la consigna se está planteando un problema, un ejercicio o una situación problema? Argumenta ¿Qué conocimientos previos se requieren para resolver esta situación? ¿Qué contenidos se integran a través de esta actividad? ¿Qué “procedimientos personales” podrían utilizar los estudiantes? ¿Qué “procedimientos sistemáticos” podrían utilizar los alumnos?


95

¿Cuáles serían las habilidades que se espera desarrollen los alumnos”?

Consideraciones previas: Posiblemente en la primera pregunta algunos alumnos cometan el error de considerar números que comiencen con cero, en tal caso será necesario que el profesor ponga a consideración del grupo dichos errores para su aclaración, pues se trata de encontrar todos los números de tres cifras sin repetir, menos los que empiezan con cero, por ejemplo 045 no es un número de tres cifras. Sería recomendable que los alumnos utilizaran lo aprendido en la clase anterior, esto es, considerar la cantidad de cifras que pueden ocupar las centenas, las decenas y las unidades.

5 de las cifras, pues no se considera al cero

5 de las cifras, pues el cero sí se incluye

4 de las cifras, puesto que de las 6 originales ya se utilizaron dos

Centenas Decenas unidades

Donde el total de números diferentes es 5 x 5 x 4 = 100 En la segunda cuestión los alumnos deberán considerar los terminados en cero, esto es 5 x 4 x 1 = 20 Más los terminados en dos, pero que no inician en cero, 4 x 4 x 1 = 16 Y los terminados en cuatro, pero que no inician en cero, 4 x 4 x 1 = 16 La suma de los tres resultados 20 + 16 + 16 = 52, es la cantidad de número pares. En la última cuestión habrá alumnos que escriban todos los números hasta encontrar la posición que ocupa el 234, es conveniente que el profesor pida a los alumnos que utilicen otros procedimientos o atajos para resolverla.

Menciona cómo detectarías la presencia del error descrito y comenta a qué lo atribuyes. Si en la clase anterior entre lo “aprendido” está el uso del diagrama de árbol, ¿por qué no sería recomendable que lo siguieran utilizando? Menciona otras alternativas para dar respuesta al inciso b) de la consigna.


96

Escribe los procedimientos alternativos que esperarías usen tus alumnos.


clase?

o Redacción

o Estructura

o Contenido

o Orientaciones


Considerando el análisis y las alternativas de modificación a cada plan de clase,

¿qué propuesta de organización harías a esta serie de planes de clase?

Argumenta.

4. El libro de texto

a) Resuelve y analiza la Lección 21, Libro 1º. Matemáticas de Filloy E., et al (2009), pág. 81 (ver anexo) y comenta las características que te parezcan más relevantes en términos de los propósitos del Programa de Estudio de Matemáticas para secundaria. Entrega la lección resuelta y tus comentarios al instructor para que incorpore estas tareas al portafolio de evidencias.

b) Hacer lo mismo que en el inciso anterior, pero tomando como referencia alguna lección, relacionada con el tema de interés, del libro de texto que utilizas en clase.


97

Actividad 3

Segundo Grado: Bloque 3, Apartados 3 y 4

1. Resolviendo las consignas de los planes de clase

Realicen en equipo las tareas indicadas en las consignas de los Planes de Clase

correspondientes a los Apartados 4 y 5 del Bloque 3 del Programa de Secundaria para

Matemáticas II.

Consignas del Apartado 4

a) Consigna (1/3): Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades.

1. Dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente cada

integrante del equipo) y tracen las diagonales del polígono desde un mismo vértice. ¿Qué

figuras se forman al interior del polígono?___________________

2. Completen la siguiente tabla.

Polígono Número de lados Cuántos triángulos hay

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

Polígono de n lados

b) Consigna (2/3): La siguiente tabla es similar a la de la sesión anterior pero se le

agregó una columna. Organizados en equipos, anoten los datos que faltan.


98

Polígono Número de lados Cuántos triángulos hay Suma de los ángulos

internos del polígono

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono


¿Cuál es la expresión que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier

polígono?

c) Consigna (3/3): Organizados en equipos, respondan las siguientes preguntas y

justifiquen sus respuestas.

1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________

¿Por qué?_______________________________________________________

2. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados

tienen el polígono?______ ¿Cómo se llama?______________

3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se

trata?_______________ ¿Por qué?_________________________

4. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se

presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para


99

que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos

del piso del kiosco, que tiene forma de octágono.

¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del

kiosco?__________________________

Consignas del Apartado 5

d) Consigna (1/3): Organizados en equipos, determinen si las figuras que tienen les

permiten cubrir el plano sin dejar huecos, para cada caso se deben utilizar

exclusivamente figuras de una sola forma. Busquen una superficie plana (el piso o

una mesa) para que puedan probar. Después contesten las siguientes preguntas:

¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano?

¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano?

¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a qué creen

que se deba?

Las figuras que tienen los alumnos son los siguientes polígonos regulares:


100

e) Consigna (2/3): Organizados en equipos, diseñen y recorten un modelo de

polígono irregular en cartulina o cartoncillo, que les permita cubrir el plano. El

polígono irregular que diseñen puede ser de tres, cuatro o cinco lados. Una vez

que diseñen el modelo, tracen y recorten varias figuras iguales para que puedan

mostrar que se puede cubrir el plano. Enseguida contesten la siguiente pregunta:

¿Qué características tiene el polígono que diseñaron para cubrir el plano?

f) Consigna 1 (3/3): En binas, utilizando polígonos regulares e irregulares cubran un

plano, y contesten las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo son los polígonos que utilizaron?

2. ¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano?

3. ¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras?

4. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice?

g) Consigna 2 (3/3): Haz, individualmente, un mosaico con las figuras que desees y

coloréalo a tu gusto.


101

2. Planes de Clase y Programas de Estudio 2006

Revisen las páginas de la 17 a la 20 del documento titulado Programas de estudio 2006 y

respondan en equipo las preguntas siguientes:

¿En qué partes de las consignas analizadas aquí, se promueve la competencia denominada,

a) planteamiento y resolución de problemas?

b) argumentación?

c) comunicación?

d) manejo de técnicas?

Revisen la página 9 del documento titulado Programas de estudio 2006 y realicen en

equipo la tarea indicada en el inciso e y respondan la pregunta formulada en el inciso f.

e) Consensen y escriban en su equipo una valoración sobre los propósitos asignados al eje forma, espacio y medida, en el documento revisado.


102

f) ¿Qué parte de las consignas discutidas aquí, contribuyen a lograr los propósitos establecidos para el eje forma, espacio y medida?

3. Analizando los planes de clase de los Apartados 4 y 5

Los planes de clase del Apartado 4

a) Plan de clase (1/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.4 Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Justificación de fórmulas

Conocimientos y habilidades: Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

¿De cualquier polígono?

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren la expresión general que relaciona el número de lados de un polígono convexo con el número de triángulos que contiene, al trazar las diagonales desde un mismo vértice.

Consigna 1: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades.

1. Dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente cada


103

integrante del equipo) y tracen las diagonales del polígono desde un mismo vértice.

¿Qué figuras se forman al interior del polígono?___________________

¿Es clara la consigna 1? ¿Qué es un polígono convexo? ¿No deberíamos partir de una situación problemática? (véase, por ejemplo, el Fichero de Actividades Didácticas, pp. 76-77, reproducida parcialmente en la página 104) ¿Y si el polígono no es convexo? (Véase, por ejemplo, un fragmento de lección propuesta por Filloy, E., et. al, citado en la página 142) ¿La tarea se realizará con lápiz y papel o con software? Si se propone el uso de software, ¿qué software usarías?


104

Tomado del Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, (1999), SEP, pp. 76

| Tomado de: Filloy, E., et al. (2009). Matemáticas 2°, Lección 48, Mc Graw Hill


105

2. Completen la siguiente tabla.

Polígono Número de

lados Cuántos

triángulos hay

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono


¿Deberá incluirse el triángulo en la tabla? ¿Qué respuesta se espera en el último renglón de la tabla? (Véase, por ejemplo, un fragmento de lección propuesta por Filloy, E., et al, citado más abajo)


106

Tomado de: Filloy, E., et al. (2009). Matemáticas 2°, Lección 48, Mc Graw Hill, pp. 168

Consideraciones previas: Es probable que algunos alumnos tracen triángulos al realizar la primera actividad, así que se procurará que reflexionen acerca del concepto de diagonal, para darse cuenta que en el triángulo no se pueden trazar diagonales. También es importante señalar que los polígonos no sean forzosamente regulares, pues la regla de los triángulos que se forman al interior de la figura se cumple para los polígonos regulares e irregulares. Se espera que con el llenado de la tabla los alumnos descubran la regularidad de que el número de triángulos que se forman dentro del polígono es igual al número de lados menos dos y que la puedan expresar algebraicamente. Es probable que haya necesidad de aclarar conceptos tales como polígono convexo, diagonal, ángulo.

¿Y si los alumnos no descubren el patrón?


107

¿Y si descubren el patrón y no lo pueden escribir?

b) Plan de clase (2/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.4, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Justificación de fórmulas

Conocimientos y habilidades: Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan y justifiquen la fórmula para obtener la suma de los ángulos internos de cualquier polígono.

¿Y qué justificación sería aceptable?

Consigna 1: La siguiente tabla es similar a la de la sesión anterior pero se le agregó una columna.

Organizados en equipos, anoten los datos que faltan.

Polígono Número de lados Cuántos triángulos hay Suma de los ángulos

internos del polígono

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono


108

decágono


¿Cuál es la expresión que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono? _______________________

¿Y cómo están relacionados los ángulos internos del polígono con los ángulos internos de los triángulos? ¿Se espera que la respuesta del estudiante sea algebraica? Justifica tu respuesta.

Consideraciones previas: Es probable que haya necesidad de aclarar cuáles son los ángulos internos de los polígonos para completar la tabla. Se espera que los alumnos puedan descubrir que la suma de los ángulos internos del polígono equivale a la suma de los ángulos internos de los triángulos que se forman, de manera que, en un polígono de n lados, se forman n-2 triángulos y la suma de los ángulos internos es n-2 por 180 grados, es decir, 180 (n-2). Si es necesario, hay que apoyar a los alumnos a través de preguntas para que lleguen a esta expresión, por ejemplo, ¿cuál es la relación entre el número de lados del polígono y el número de triángulos que se forman? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier triángulo? Se sugiere plantear como actividad complementaria “La suma de los ángulos interiores de un triangulo”, en EMAT, México, Sep, 2000, pp. 46, 47.

¿Y por qué no se establece por parte del profesor, como parte final de la actividad, que la suma es 180(n-2)? (Véase, por ejemplo, un fragmento de lección propuesta por Filloy, E., et al, pp. 168, reproducido en la página 109)


109

En caso de que decidieras proponer a tus estudiantes la actividad complementaria sugerida: ¿en qué momento, de qué sesión, la introducirías?, ¿con qué software se haría esta actividad? (véase el fragmento de lección propuesta por Zubieta, G., et al pp. 46-47, en la página 110)



110

Tomado de. Zubieta, G., et al, (2000) Geometría Dinámica, SEP, pp. 46-47

c) Plan de clase (3/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.4, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Justificación de fórmulas

Conocimientos y habilidades: Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos

interiores de cualquier polígono.

Intenciones didácticas: Apliquen la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono.

Consigna 1: Organizados en equipos, respondan las siguientes preguntas y justifiquen sus respuestas. 1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________ ¿Por qué?_____________________________________________________ 2.Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen el polígono?______ ¿Cómo se llama?______________


111

3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se

trata?_______________ ¿Por qué?__

. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos del piso del kiosco, que tiene forma de octágono. ¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del kiosco?__________________________

Consideraciones previas: Es necesario que se dé tiempo suficiente para que los alumnos resuelvan cada problema y para la puesta en común de cada uno de ellos, con el fin de que los estudiantes comuniquen los diferentes procedimientos y resultados obtenidos, así como los argumentos que respalden sus procedimientos. Se puede cambiar de forma de kiosco; pentágono, hexágono, heptágono.

Si las tareas consisten principalmente en aplicar una fórmula, ¿qué procedimientos podrá describir un estudiante?, ¿qué argumentos podrá aportar?


112

Los Planes de Clase del Apartado 5

d) Plan de clase (1/3) Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.5, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Figuras planas

Conocimientos y habilidades: Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

¿Qué razones pueden dar para promover que los alumnos conozcan las características de los polígonos que permiten cubrir el plano? ¿Para qué proponer a los alumnos que realicen recubrimientos del plano?

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano.

Consigna 1: Organizados en equipos, determinen si las figuras que tienen les permiten cubrir el plano sin dejar huecos, para cada caso se deben utilizar exclusivamente figuras de una sola forma. Busquen una superficie plana (el piso o una mesa) para que puedan probar. Después contesten las siguientes preguntas: ¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano? ¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano? ¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a qué creen que se deba? ¿Qué opinan de la redacción de esta consigna?


113

¿Qué conocimientos previos se requieren para resolver esta situación? ¿Qué contenidos se integran a través de esta actividad?

Consideraciones previas: Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que tracen y recorten los polígonos que van a utilizar (cuadrados, triángulos equiláteros, pentágonos, hexágonos y octágonos regulares). Pedir dos formas diferentes por equipo, 20 figuras congruentes de cada forma. También se les puede pedir que busquen, en revistas o libros, imágenes de mosaicos con diversas figuras geométricas para mostrar a sus compañeros al inicio de la sesión. Además se harán comentarios acerca de lugares donde hayan observado recubrimientos de diversas superficies, como en plazas, iglesias, tiendas, zócalos, etc. Se pueden utilizar además polígonos regulares de siete, ocho, nueve lados, etc. Es importante que después de la primera consigna todos los alumnos lleguen a la conclusión de que solamente se puede cubrir el plano con los cuadrados, hexágonos regulares y triángulos equiláteros, debido a que la medida de sus ángulos interiores es divisor de 360. Para complementar, se puede plantear la actividad 1 de la pág. 76 del Fichero de Actividades Didácticas.

Comenten y describan una o más formas en que desarrollarían esta actividad con sus alumnos. ¿En qué momento y en qué términos pedirían a sus alumnos que trazaran y recortaran los polígonos?


114

¿Cuál sería la intención de que mostraran a sus compañeros las imágenes de mosaicos que hubieran encontrado en revistas o libros? Se plantea que es importante que todos los alumnos lleguen a la conclusión que se enuncia: ¿Qué harían para tratar de que eso sucediera y qué harían si no sucediera? Si decidieran realizar la actividad complementaria recomendada, ¿con qué intención lo harían? (esta actividad está reproducida parcialmente en la página 108)

e) Plan de clase (2/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.5, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Figuras planas

Conocimientos y habilidades: Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

Especifiquen los conocimientos que esperan que “construyan los alumnos” al trabajar este apartado del plan de clase. Determinen qué habilidades esperan que “desarrollen los alumnos” con este apartado del plan de clase.


115

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano.

Consigna 1: Organizados en equipos, diseñen y recorten un modelo de polígono irregular en cartulina o cartoncillo, que les permita cubrir el plano. El polígono irregular que diseñen puede ser de tres, cuatro o cinco lados. Una vez que diseñen el modelo, tracen y recorten varias figuras iguales para que puedan mostrar que se puede cubrir el plano. Enseguida contesten la siguiente pregunta: ¿Qué características tiene el polígono que diseñaron para cubrir el plano?

Lean y analicen esta consigna y comenten cómo está relacionada con la intención didáctica declarada en este plan de clase. ¿Qué conocimientos previos se requieren para resolver esta situación? ¿Qué contenidos se integran a través de esta actividad? ¿Cuáles serían las habilidades que se espera desarrollen los alumnos?

Consideraciones previas: Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que cuente con los materiales requeridos en el momento de la clase (cartoncillo o cartulina, tijeras, etc.). Mientras que los alumnos hacen sus trazos conviene insistir en que se trata de polígonos irregulares (no tienen todos sus lados y ángulos iguales) y durante la confrontación es importante plantear las siguientes


116

preguntas: ¿Cómo se pasa de una pieza a una pieza contigua a través de uno de los lados? ¿Por qué un cuadrilátero cualquiera (convexo) siempre permite cubrir el plano? Se espera que los alumnos se den cuenta de la propiedad de la rotación y de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero.

Lean, analicen y comenten las recomendaciones y sugerencias que se hacen en este apartado. En particular contesten las siguientes preguntas: ¿En qué momento y con qué intención se debieran formular las preguntas recomendadas?

¿Creen que sea de esperarse que los alumnos se den cuenta de la propiedad de la rotación y de la

suma de los ángulos internos de un cuadrilátero? ¿Qué harían en caso de que no se den cuenta?

f) Plan de clase (3/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.5, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Figuras planas

Conocimientos y habilidades: Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y

realizar recubrimientos del plano.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares

con los que se puede cubrir un plano.


117

Consigna 1: En binas, utilizando polígonos regulares e irregulares cubran un plano, y contesten las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo son los polígonos que utilizaron? 2. ¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano? 3. ¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras? 4. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice?

Lean y analicen esta consigna y comenten cómo está relacionada con la intención didáctica declarada en el apartado anterior ¿Qué conocimientos previos se requieren para resolver esta situación? ¿Qué contenidos se integran a través de esta actividad? ¿Cuáles serían las habilidades que se espera desarrollen los alumnos?

Consideraciones previas: Se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por Escher, o bien, que el profesor presente algunos de sus trabajos (al final de este plan de clase se presentan imágenes de algunos teselados elaborados por Escher, se pueden agrandar para que las imágenes sean más claras para los alumnos). Es conveniente auxiliarse de la ficha “Geometría y azulejos” que se encuentra en las páginas 76 y 77 del Fichero de Actividades Didácticas y del tema “Recubrimiento del plano por polígonos regulares” del Libro del Maestro, páginas 284 y 285.

De aceptar la sugerencia, ¿qué pedirían a los alumnos que investigaran acerca de los teselados de Escher? O si decidieran presentar algunos de sus trabajos, ¿con qué propósito lo harían?


118

¿Qué uso le darían a las actividades recomendadas del Fichero de Actividades Didácticas y del Libro del Maestro?

4. Planteando algunas situaciones problemáticas

Estos planes de clase podrían requerir de otras situaciones problemáticas. Como ya se

planteó antes, una de ellas podría tomarse del Fichero de Actividades Didácticas (pp. 76).

Algunas otras se plantearán aquí para que las resuelvan en equipo y analicen la

pertinencia de incluirlas en estos planes de clase.

a) En un pentágono regular se traza una de las diagonales, como se ve en la figura, luego se usa esta diagonal para cortar el pentágono en dos partes.

i) ¿Cuánto miden los ángulos internos de cada uno de los dos polígonos que resultaron del corte? Justifica tu respuesta.


119

ii) ¿Qué conceptos matemáticos, contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

iii) ¿Qué conceptos matemáticos, no contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

b) En un hexágono regular, se trazan dos de sus diagonales, como se ilustra en la figura. Si se recorta sobre las diagonales trazadas; con los dos triángulos recortados se pueden formar los cuadriláteros 1 y 2, como se muestra en la figura.

i) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del cuadrilátero 1? Justifica tu respuesta.

ii) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del cuadrilátero 2? Justifica tu

respuesta.


120

iii) ¿Qué conceptos matemáticos, contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

iv) ¿Qué conceptos matemáticos, no contemplados en el plan de clase, involucra la

situación problemática planteada?

c) En un cuadrado, que tiene 10 cm por lado, se han trazado dos puntos sobre cada lado para dividirles en tres partes iguales. Luego se han aprovechado estos puntos para trazar las líneas punteadas que muestra la figura. Al recortar sobre las líneas punteadas y desechar los triángulos, nos quedaremos con un polígono.

i) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de este polígono? Justifica tu respuesta.

ii) ¿Se trata de un polígono regular? Justifica tu respuesta.


121

iii) ¿Qué conceptos matemáticos, contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

iv) ¿Qué conceptos matemáticos, no contemplados en el plan de clase, involucra la


d) En un heptágono regular se han trazado las diagonales mostradas en la figura. Al recortar el heptágono sobre estas diagonales y unir los cuadriláteros recortados, se ha formado el Polígono 1.

i) ¿Es regular el Polígono 1? Justifica tu respuesta.

ii) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del Polígono 1? Justifica tu respuesta.


122

iii) ¿Qué conceptos matemáticos, contemplados en el plan de clase, involucra la


iv) ¿Qué conceptos matemáticos, no contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

5. Otra versión de los planes de clase

Para finalizar esta actividad se tratará de reescribir un grupo de planes de clase,

incorporando las experiencias obtenidas durante el desarrollo de la misma.

a) Selecciona uno de los apartados del Bloque 3, ya sea el apartado 4 o el 5, del segundo grado de matemáticas de secundaria.

b) Con base en los análisis y las discusiones desarrolladas a lo largo de la presente actividad, reelabora los planes de clase para el apartado seleccionado, tratando de incorporar la mayor cantidad de elementos abordados aquí.


123

Actividad 4

Tercer Grado: Bloque 3, Apartado 1

1. Las Relaciones Funcionales en el Eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico, del

Programa de Estudios de tercero de secundaria.

Esta Actividad se centrará en el análisis de materiales didácticos que corresponden al

Bloque 3 de tercero de secundaria, particularmente aquellos que tratan el subtema de

Relación Funcional que corresponde al tema Significado y Uso de las Literales del eje

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico.

En el Programa de Estudios de Matemáticas (p.9) para la educación secundaria se destaca:

“En esta fase de su educación, por medio del eje Sentido numérico y pensamiento

algebraico, los alumnos profundizan en el estudio del álgebra con los tres usos de las

literales, conceptualmente distintos: como número general, como incógnita y en relación

funcional. Este énfasis en el uso del lenguaje algebraico supone cambios importantes para

ellos en cuanto a la forma de generalizar propiedades aritméticas y geométricas. La

insistencia en ver lo general en lo particular se concreta, por ejemplo, en la obtención de la

expresión algebraica para calcular un término de una sucesión regida por un patrón; en la

modelación y resolución de problemas por medio de ecuaciones con una o dos incógnitas;

en el empleo de expresiones algebraicas que representan la relación entre dos variables, la

cual, para este nivel, puede ser lineal (en la que la proporcionalidad es un caso particular),

cuadrática o exponencial”.

a) ¿Cuál es la diferencia conceptual en el uso de las literales −como número general, como incógnita y en relación funcional (como variable)− al que se refiere este párrafo introductorio? Comenta con tus compañeros de equipo. Describe brevemente y ejemplifica.

b) Analiza las siguientes expresiones e identifica el uso que se le ha dado a las literales en cada una de ellas.

(Fórmula)

(Ecuación)

(Identidad)

(Función)

(Propiedad)

(Función)


124

c) ¿Qué importancia tiene el estudio de las relaciones funcionales en la educación secundaria para darle significado al uso de las literales?

d) Revisa el Programa de Estudios y comenta con tus compañeros la ubicación del tópico Relación Funcional dentro de la estructura propuesta para el Eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico.

¿Cuál es el tema al que está asociado? ¿Por qué?

¿Cuáles son los conocimientos y habilidades esperados en los alumnos de tercer año de secundaria con relación a este subtema?

¿Cuáles son las orientaciones didácticas que se proponen? Describe brevemente los aspectos más relevantes en cada una de ellas.


125

¿Existe correspondencia entre estos dos elementos del programa? Argumenta tu respuesta.

El tópico relación funcional vincula el Eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico con el Eje Manejo de la Información ¿Qué diferencia notas al abordar este tópico en cada uno de ellos? Ejemplifica.

2. Las situaciones propuestas en cada consigna de los planes de clase para el subtema

Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1.

a) Enseguida se presentan las consignas incluidas en los planes de clase oficiales publicados en la página de la SEP, que corresponden al subtema Relación Funcional para tercer año, Apartado 3.1. Con la finalidad de realizar un análisis detallado de las mismas, se iniciará con la resolución de las actividades propuestas siguiendo las indicaciones dadas en cada una de ellas.

Plan de clase (1/5)

Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PA Tema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional. Consigna. Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación: Se tiene un recipiente con agua a 20°C (temperatura ambiente). El agua se calienta, de tal manera que su temperatura aumenta 4°C por minuto. De acuerdo con esta


126

información. a) completen la siguiente tabla:

Tiempo (min) Temperatura (°C)

0 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

b) Si el calentamiento del agua continúa en la misma forma, ¿cuál será su

temperatura a los 20 minutos? ______ ¿Después de cuántos minutos empezará a hervir el agua? ________ (Recuerden que el agua hierve a los 100°C)

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? _________


127

Plan de clase (2/5)

Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PA Tema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 400 litros. Al navegar, cada día consume 150 litros de combustible. Con base en la información que hay en la siguiente tabla, anoten los datos que faltan.

DIAS

TRANSCURRIDOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LITROS DE

COMBUSTIBLE EN

EL TANQUE

2400 2100 1200

a) ¿Cuánto combustible quedará después de 5 días?_________________ ¿Y

después de 10 días?___________, ¿y después de 15 días?_____________

b) ¿Cuántos días deben transcurrir para que se agote el combustible? ____________________________________________________.

c) Escriban la expresión algebraica que relaciona la cantidad de combustible en el

tanque, en función de los días transcurridos. __________________________.

Plan de clase (3/5)

Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PA Tema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional. Consigna. Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: Una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80°C se pone en un congelador que está a 0°C. En el proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 5% por cada minuto que transcurre.

a) Representen la relación de los datos en una tabla. b) ¿En cuánto tiempo llega tener el agua una temperatura de 47.9°C) c) Escriban una expresión algebraica que modele el fenómeno.


128

Plan de clase (4/5)

Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PA Tema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional. Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema: Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se registraron son los siguientes:

a) De acuerdo con la información, completen la siguiente tabla:

Tiempo Distancia de caída Altura a la que se

encuentra el automóvil

0 0 245

1 5 240

2 20

3 45

4 80

5

6

7

b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en

función del tiempo transcurrido (t)? ________ Justifiquen su respuesta.

25td td 5 td 25 25 td

Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4

Distancia de caída (m) 0 5 20 45 80


129

Plan de clase (5/5) Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PA Tema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación a) .Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las

áreas. ________________________ b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre

el proyector y la

pantalla (m)

1.5

2.5

3.5

4.5

Área de la

imagen (m2)

c) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el

proyector de manera que el área de la imagen sea de 24.01 m2.

d = ______________

b) Comenten grupalmente si hubo dificultades o conflictos en los procesos de solución de las situaciones planteadas.

Distancia entre

el proyector y la

pantalla (m)

1

2

3

Área de la

imagen en m2

4

16

36

1 m 2 m

3 m


130

3. Análisis de los elementos que conforman los planes de clase para el subtema

Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1.

a) En la siguiente tabla se concentran algunos elementos de los planes de clase que se están analizando en esta actividad y que no aparecieron en los recuadros del punto anterior.

ELEMENTOS P C DESCRIPCIÓN

Conocimientos y habilidades

1/5

Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

2/5

3/5

4/5

5/5

Intenciones didácticas

1/5 Que los alumnos formulen una regla de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades que varían linealmente.

2/5 Que los alumnos relacionen dos conjuntos de cantidades que varían linealmente y expresen algebraicamente dicha relación.

3/5 Que los alumnos usen la recursividad al relacionar dos conjuntos de cantidades y expresen algebraicamente dicha relación.

4/5 Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación no lineal y encuentren la expresión que modela dicha relación.

5/5 Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación no lineal y encuentren la expresión que modela dicha relación.


131

Considera-ciones previas

1/5

La intención de esta actividad es que los alumnos entren en el tema que se va a estudiar. Se espera que la mayoría de los alumnos resuelva el problema sin muchas complicaciones, si así sucede, sólo habrá que centrar la atención en que la expresión algebraica esté bien formulada y en analizar expresiones equivalentes en caso de que surjan. Es importante dejar claro que, de acuerdo con la fórmula obtenida, la temperatura del agua, en un tiempo dado, es igual a cuatro veces el tiempo más 20. También vale la pena bosquejar la gráfica correspondiente.

2/5

Este problema no es muy distinto del que los alumnos resolvieron en la sesión anterior, puesto que también se trata de una relación lineal. Se espera que sin mucha dificultad puedan establecer que la expresión algebraica que modela esta situación es: ct = 2400 – 150t o una expresión equivalente. Dicha en palabras, esta expresión es: combustible en el tanque igual a 2400 menos 150 multiplicado por la cantidad de minutos transcurridos.

3/5

Este problema presenta una dificultad mayor que el de la sesión anterior, en primer lugar porque ya no se trata de una relación lineal sino exponencial. Al contestar las preguntas que se plantean los alumnos deben echar mano del cálculo de porcentajes y de lo que suele llamarse cálculo recursivo, que no es más que calcular un resultado a partir de un resultado anterior. En este caso, lo más probable es que calculen el 5% de 80 que es 4, por tanto la temperatura después de transcurrir un minuto será 80-4=76 grados, posteriormente hay que repetir el proceso a partir de los 76 grados para calcular la temperatura después de dos minutos y así sucesivamente.

El proceso anterior se simplifica al multiplicar la temperatura inicial (80°) por 0.95 a la x potencia, en el entendido de que 0.95 es el complemento a 100 de 0.05 (5%) y el exponente x representa los minutos transcurridos. De manera que la expresión algebraica podría escribirse así: T=80(0.95)x.

Es poco probable que los alumnos encuentren la fórmula por sí solos, pero sí pueden resolver los dos primeros incisos con ayuda de una calculadora.

Si ningún equipo encuentra la fórmula el maestro la propone y sugiere que la usen para verificar que se obtienen los mismos resultados que se obtuvieron sin ella. Después de esto se pueden calcular las temperaturas que corresponden a diferentes cantidades de minutos.

4/5

La finalidad de la pregunta del inciso b es que los alumnos, por sí solos, encuentren la relación que hay entre las dos primeras columnas de la tabla, siendo conscientes de que no es fácil encontrar dicha relación. En todo caso, el inciso c permitirá a los alumnos probar las fórmulas que se proponen y encontrar la que permite relacionar el tiempo con la


132

distancia de caída. Una vez encontrada la fórmula, 25td , es necesario

que los alumnos prueben que funciona en todos los casos y después explicarles que en dicha fórmula hay una constante (5) que tiene que ver con la fuerza de gravedad.

5/5

Es probable que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar la relación entre las variables que intervienen en este problema, puesto que es muy similar a la que se encontró en la sesión anterior. Para gestionar la actividad adecuadamente, es necesario que primero se encuentre la expresión algebraica, con base en la información de la primera tabla, y después se use para encontrar los datos que faltan en la segunda tabla.

En el inciso d se trata de ver cómo los alumnos manejan la fórmula encontrada para encontrar la distancia cuando se conoce el área. El despeje que deben hacer no es simple pero ya se ha estudiado anteriormente.

b) ¿Cómo se relacionan las intenciones didácticas planteadas en cada uno de los planes de clase con los conocimientos y habilidades expresados tanto en los planes de clase como en el Programa? Comenta con los miembros de tu equipo, selecciona una de ellas y escribe tus conclusiones sobre ésta.

c) ¿Cómo se relacionan las consignas establecidas en cada uno de los planes de clase con las orientaciones didácticas expresadas en el Programa? Comenta con los miembros de tu equipo, selecciona una de ellas y escribe tus conclusiones sobre ésta.


133

d) Particularmente, ¿cómo se relacionan las situaciones planteadas en las consignas de cada uno de los planes de clase con las situaciones correspondientes planteadas en las orientaciones didácticas del programa? Comenta con los miembros de tu equipo, selecciona una de ellas y escribe tus conclusiones sobre ésta.

e) Analiza las consideraciones previas expresadas en la tabla anterior, para un plan de clase de tu elección, y su relación con los demás elementos del mismo. Escribe tus observaciones así como las recomendaciones que consideres pertinentes.

f) En el texto de 3° Matemáticas, de Filloy, E., et.al.(2009), se presentan las siguientes situaciones para abordar el Apartado 3.1.

En el laboratorio de Física y con ayuda de un plano inclinado, los alumnos realizan

observaciones de algunos cuerpos en movimiento. Para uno de ellos encontraron que

podían calcular la velocidad de los cuerpos con “el triple del cuadrado del tiempo

transcurrido”. Llegaron a esta conclusión después que elaboraron una tabla de

variación de tiempo y de velocidad.

Después de esta redacción, los autores solicitan que se llene una tabla similar a la

siguiente:


134

Tiempo (seg)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Velocidad (cm/seg)

Posteriormente, se hace una pregunta sobre los valores presentados en la tabla y otra

donde se solicita un valor que no se encuentra en la tabla. Finalmente, se les pide que

escriban la fórmula algebraica que representa la velocidad de este móvil en función del

tiempo.

En una segunda situación, plantea algo similar, proponiendo una fórmula empírica

expresada algebraicamente, para estimar la velocidad del sonido cuando no hay

humedad: donde es la temperatura en grados Celsius o

centígrados. Se hacen preguntas sobre valores de c para valores específicos de la

temperatura y se hace una pregunta para interpretar la velocidad. Finalmente, se le

pide al alumno que construya una tabla a partir de la expresión dada.

i) ¿Cómo se relacionan las situaciones referidas del texto de Filloy, con las orientaciones didácticas expresadas en el Programa? Comenta con los miembros de tu equipo y escribe tus conclusiones.

ii) Comenta con tus compañeros de equipo qué diferencias significativas pueden identificar entre las situaciones referidas de este texto con respecto a las situaciones planteadas en los planes de clase. Escribe las conclusiones del equipo.


135

4. El tratamiento del subtema Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1 en

nuestro libro de texto.

a) Como se menciona en el subtítulo, ahora se trata de que los análisis hechos en las actividades de este módulo te sirvan como un referente para analizar este subtema de la Relación Funcional de tercer año, apartado 3.1 en el libro de texto que utilizas. Inicialmente responde a cuestiones como las siguientes:

i) ¿Cómo se relacionan las situaciones establecidas en el texto con las intenciones didácticas declaradas en los planes de clase?

ii) ¿Cómo se relacionan las situaciones establecidas en el texto con las orientaciones didácticas expresadas en el Programa, así como con los conocimientos y habilidades que se proponen desarrollar?

iii) Particularmente, ¿cómo se relacionan las situaciones planteadas en el texto

con las situaciones correspondientes planteadas en las orientaciones didácticas del Programa, así como con las que se encuentran en los planes de clase?

iv) Expresa tus observaciones en términos de los contextos utilizados, de la redacción, de la precisión en los conceptos, de la claridad en las indicaciones, de los conocimientos previos necesarios, la secuencia de los cuestionamientos, lo apropiado de las ilustraciones, entre otros.

v) ¿Existe algún tipo de actividad en el texto que sugiera el uso de tecnología? ¿de una consulta bibliográfica? ¿de llevar a cabo algún experimento?

b) Organiza tu análisis en el formato que consideres adecuado para su entrega en archivo Word a la dirección electrónica que te indique el instructor.

5. Cierre Para cerrar el presente módulo, deberá elaborar de forma individual un plan de clase por

cada grado escolar de secundaria, con una consigna que puede extraer o adaptar de

alguna lección de un libro de texto del catálogo oficial, con la recomendación de que sea

diferente a las discutidas en el módulo, de preferencia del libro de texto que utilizas en tu

curso.


136

Los planes de clase que elabores deberán contener los elementos que incluye la

estructura que se propone en los planes de clase oficiales:

Identificación


Intenciones didácticas

Consignas

Consideraciones previas

Este plan de clase deberá enviarse en archivo electrónico al instructor del módulo de

acuerdo a las especificaciones siguientes:

Presentar una portada sobria: solamente contendrá el Título del plan de clase centrado en la parte media superior de la página, y en un recuadro en la parte inferior derecha, los siguientes datos:

Nombre del Diplomado

Nombre del Módulo

Nombre del Participante

Nombre del Instructor

Nombre de la Escuela de adscripción laboral- Tipo

Grado(s) de secundaria en la que imparte o supervisa cursos de matemáticas

Localidad – Municipio


137

ANEXO: Programa de Matemáticas Secundaria (pág. 9)

En esta fase de su educación, por medio del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, los alumnos profundizan en el estudio del álgebra con los tres usos de las literales, conceptualmente distintos: como número general, como

incógnita y en relación funcional. Este énfasis en el uso del lenguaje algebraico supone cambios importantes para ellos en cuanto a la forma de generalizar propiedades aritméticas y geométricas.

La insistencia en ver lo general en lo particular se concreta, por ejemplo, en la obtención de la expresión algebraica para

calcular un término de una sucesión regida por un patrón; en la modelación y resolución de problemas por medio de ecuaciones con una o dos incógnitas; en el empleo de expresiones algebraicas que representan la relación entre dos variables, la cual, para este nivel, puede ser lineal (en la que la proporcionalidad es un caso particular), cuadrática o

exponencial.

En cuanto al eje Manejo de la información se resuelven problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpretación de datos provenientes de diversas fuentes. Este trabajo se apoya fuertemente en

nociones matemáticas tales como porcentaje, probabilidad, función y en general en el significado de los números enteros, fraccionarios y decimales.

El eje Forma, espacio y medida favorece de modo especial el desarrollo de la competencia de argumentación. Por

ejemplo, para construir, reproducir o copiar una figura, hay que argumentar las razones por las que un trazo en particular es válido o no, tomando como base las propiedades de dicha figura. Lo mismo ocurre si se trata de determinar si dos triángulos son congruentes o semejantes.

Finalmente, la comprensión de los diversos conceptos matemáticos deberá sustentarse en actividades que pongan en juego la intuición, pero a la vez favorezcan el uso de herramientas matemáticas para ampliar, reformular o rechazar las ideas previas. Así, por ejemplo, en el caso de la probabilidad los alumnos anticipan resultados, realizan actividades de

simulación y exploración de fenómenos aleatorios y expresan propiedades, como la independencia, la equiprobabilidad, la complementariedad, etc. De este modo se intenta propiciar el desarrollo del pensamiento probabilístico.


138

ANEXO: Bloque 1 (Pág. 25)

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos:

1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales.

2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos.

3. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa.

4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan.

5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.


139

ANEXO: Página 32

Eje

Manejo de la información

Tema

Representación de la información

Subtema

DIAGRAMAS Y TABLAS


1.8. Resolver problemas de conteo

utilizando diversos recursos, tales

como tablas, diagramas de árbol y

otros procedimientos personales.

Orientaciones didácticas

Los alumnos han utilizado tablas y diagramas de árbol en la

primaria para resolver problemas de conteo. En este grado se

trata de sistematizar estos recursos y encontrar regularidades

que permitan acortar caminos para encontrar soluciones. La

dificultad de estos problemas tiene que ver, entre otras

variables, con la cantidad y el tipo de elementos que se van a

combinar. Algunos ejemplos sencillos son::

• Andrea, Bety, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las cuatro amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.

Conviene plantear variantes de este problema para que los alumnos identifiquen regularidades en os

procedimientos de solución y logren hacer generalizaciones. Una variante podría ser: Si Caro es la

amiga que llegó primero, determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado

las otras tres.

• En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja

y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extracción.

¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar? Una variante de este ejemplo es:

¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si la primera ficha que se extrae no se

regresa a la caja?


140

ANEXO: Material para el análisis: Filloy, E., et al. (2009). Matemáticas 1°, Lección 20, Mc Graw Hill, pp. 168


141


142



143

MÓDULO 3

Actividades didácticas e integración del conocimiento

Introducción

En este módulo se revisarán algunas propuestas de situaciones problema con el fin de

enriquecer las reflexiones previas y contribuir a enriquecer tu nivel en el dominio de

algunos contenidos matemáticos de la escuela secundaria, así como de tu conocimiento y

desarrollo de habilidades para la implementación de las estrategias didácticas propuestas

en los planes y programas de estudio.

Las situaciones propuestas buscan, entre otros aspectos, promover la reflexión sobre las

posibilidades de usar diversos procesos o elementos de nuestra vida cotidiana en las

clases de matemáticas, de plantear situaciones que involucren la necesidad de integrar

contenidos de los tres ejes de las matemáticas de la escuela secundaria y, adicionalmente,

de temas que son también objeto de análisis en otros cursos o asignaturas.

Tomando en cuenta estos elementos y las reflexiones hechas en los dos módulos

anteriores, nos planteamos sintéticamente, para este módulo, los siguientes propósitos:

a. Poner en juego nuestros conocimientos matemáticos para analizar situaciones,

proponer soluciones, evaluar resultados y construir nuevo conocimiento matemático.

b. Vivir experiencias de aprendizaje similares a las que esperamos tengan nuestros

alumnos, tanto en el trabajo individual, como en las discusiones por equipo y en las

grupales.

c. Analizar las competencias generales y disciplinares que se pueden promover en

nuestros alumnos con situaciones como las planteadas, identificando los procesos

matemáticos que se ponen en juego para su solución, tanto las que se requieren como

antecedentes como las que pueden emerger en el proceso de solución.

d. Reflexionar y discutir sobre las posibilidades que ofrecen las situaciones cotidianas que

enfrentan los estudiantes, así como las actividades matemáticas que surgen de la

propia escuela, para integrar el conocimiento desde diversas perspectivas, unas en la

articulación con los tres ejes de los contenidos matemáticos de la educación básica y

otras con el resto de las asignaturas del currículo, incluyendo las de la lengua materna

y las de carácter social y humanístico.

e. Tener referentes específicos para analizar las formas en las que podemos desarrollar

nuestras propias competencias profesionales, planteando situaciones de conducción

de actividades de aprendizaje ya formuladas y seleccionadas por nosotros, así como la

reformulación de las mismas y el diseño de nuevas actividades didácticas.


144

Actividad 1 Las tarifas de agua potable

Primera Etapa. El recibo de agua potable

1. Analizando nuestro recibo

Nuestra vida en sociedad requiere del uso de diferentes servicios: telefonía celular, la energía

eléctrica, el transporte, el agua potable, entre otros. En esta actividad, tomamos el caso del

servicio de agua potable, y con base en la información proporcionada por los recibos de consumo

de algunos habitantes de la ciudad, estudiaremos algunos aspectos matemáticos que pueden ser

desprendidos de este contexto. Para empezar, con la intención de familiarizarnos con la situación

a estudiar, te pedimos que respondas de manera individual la pregunta siguiente:

a) ¿Cuál es la información proporcionada en el recibo de agua potable? Anota a

continuación tus respuestas. 2. Seleccionando información y generando datos Como te acabas de dar cuenta, la información que presenta nuestro recibo es abundante y variada. Para uniformizar el estudio que haremos a continuación, seleccionaremos como información relevante el número de metros cúbicos de agua consumido en el mes de referencia. Proporciona verbalmente, cuando el instructor te lo pida, este dato; él los irá proyectando en pantalla o anotando en el pizarrón.

Para uniformizar el estudio que haremos a continuación, seleccionaremos como información relevante el número de metros cúbicos de agua consumido en el mes de referencia. Anota a continuación el conjunto de datos que aparecen en los recibos disponibles.


145

3. Recuperando información de los datos.

El instructor les organizará en equipos de tres o cuatro integrantes. Una vez organizados procedan a trabajar con las indicaciones que siguen.

a) Comparen sus registros individuales y digan si su propuesta de registro les resulta

de utilidad para responder los siguientes cuestionamientos:

o ¿Cuál es el dato mayor y cuál el menor?

o ¿Cuál es el rango de variación obtenido?

o ¿Qué dato o datos se repiten más veces?

o ¿Cuáles se repiten menos veces?


146

b) Discutan un criterio de organización de la información que les permita responder más ágilmente las preguntas anteriores. A continuación se proporciona una tabla para que reorganicen los datos. ¿Cuál fue el criterio de reorganización que decidieron utilizar en el equipo?

c) Con mucha frecuencia se utilizan gráficas para representar conjuntos de datos debido a la ventaja que representa la posibilidad de concentrar un gran número ellos en un gráfico. Construyan una representación de este tipo, para los datos de la tabla del inciso b).

d) ¿Resulta útil dicha representación? ¿Por qué? ¿Les permite establecer algún tipo de observación o comentario sobre el consumo de agua potable del grupo? Si la respuesta es afirmativa, escriban su observación a continuación.


147

e) ¿Qué otras preguntas formularían, de tal manera que las respuestas a esas interrogantes provinieran del análisis de los datos? ¿Esas respuestas requerirían de otra organización de los datos? Si su respuesta a esta última pregunta es afirmativa, propongan esa nueva organización.

Segunda Etapa. Las tarifas de agua potable en la ciudad de Hermosillo, Son. 4. Conozcamos las tarifas de agua potable de la capital del Estado de Sonora En los párrafos que siguen, se proporciona nueva información sobre el contexto tratado, misma que será leída según indique el instructor.

En la página http://www.congresoson.gob.mx/InfoPublica/Juridico/2011/Hermosillo.pdf encontramos la información correspondiente a las tarifas que se cobran para el uso doméstico de este vital líquido. Estos cobros están contemplados en el Artículo 36 de la Ley de Ingresos y Presupuesto de Ingresos del Ayuntamiento del Municipio de Hermosillo para el ejercicio fiscal 2011, mismo que reproducimos a continuación:

Artículo 36.- Los usuarios pagarán mensualmente por el consumo de agua potable en predios e inmuebles, conforme a las tarifas que se presentan a continuación: a) Tarifa para uso doméstico: Este tipo de tarifa se aplicará a los usuarios cuya toma se encuentre instalada en inmuebles o predios no utilizados para fines productivos, de negocios, comerciales o de servicios y que el agua vertida de dicha toma se destine estrictamente a usos domésticos (no incluye el servicio de drenaje) , conforme a la siguiente tabla:

http://www.congresoson.gob.mx/InfoPublica/Juridico/2011/Hermosillo.pdf


148

Tabla 1.1. Rango de consumo de agua y tarifa correspondiente

Rango de consumo (en metros cúbicos) Tarifa

0 a 10 $43.96 (consumo mínimo obligatorio)

11 a 15 $3.70 por metro cúbico













76 en adelante $33.80 por metro cúbico

5. La relación metros cúbicos-tarifa y sus representaciones Vamos ahora a tratar de adentrarnos en la información que se nos ha proporcionado, pero desde el punto de vista de la matemática. Para ello discute con los integrantes de tu equipo las respuestas solicitadas en los incisos que siguen; cuando hayan llegado a algún acuerdo, escribe la respuesta de tu equipo en el espacio indicado para tal fin y ténganla preparada para cuando el instructor las solicite. A partir de ese momento, la discusión será grupal.

a) De acuerdo con la información de la Tabla 1.1, ¿podemos hablar de la existencia de

una relación funcional entre las cantidades ahí involucradas? ¿Por qué?


149

b) Encuentren, trabajando en su equipo, una expresión analítica para la relación existente entre el número de metros cúbicos y la tarifa correspondiente, tomando como base la información contenida en la Tabla 1.1.

c) Intenten encontrar una representación gráfica para la relación existente entre las cantidades que aparecen en la Tabla 1.1. Para ello pueden utilizar el plano que se proporciona a continuación.

d) ¿Cuál de las representaciones anteriores resulta, desde su punto de vista más útil para esta situación específica y por qué?


150

6. La relación metros cúbicos-costo y sus representaciones Nos centraremos ahora en la relación existente entre los metros cúbicos de consumo y lo que nos cuesta dicho consumo. Siguiendo la dinámica del punto 5, discute con los integrantes de tu equipo las respuestas solicitadas en los incisos que siguen; cuando hayan llegado a algún acuerdo, escribe la respuesta de tu equipo en el espacio indicado para tal fin y ténganla preparada para cuando el instructor las solicite. A partir de ese momento, la discusión será grupal. Tomemos en cuenta la siguiente información, que al igual que la Tabla 1.1, está contenida en el Artículo 36 de la Ley de Ingresos y Presupuesto de Ingresos del Ayuntamiento del Municipio de Hermosillo para el ejercicio fiscal 2011. Para determinar el importe mensual por consumo de agua al usuario doméstico, se continuará con el mismo procedimiento que se ha aplicado en años anteriores, y que consiste en considerar un cobro mínimo de $43.96 para los primeros 10 metros cúbicos. Para los consumos mayores de 10 metros cúbicos se le sumará a este cobro mínimo, el producto de los siguientes 5 metros cúbicos de consumo por la tarifa correspondiente, así se repetirá esta operación con los siguientes rangos, hasta llegar al rango donde se ubica el consumo mensual del usuario en metros cúbicos, sumando a los importes calculados anteriormente, el producto de los metros cúbicos pendientes de cobro por la tarifa correspondiente a este último rango de consumo que aplica para un usuario en particular.

a) De acuerdo con la información anterior, calcula lo que se pagaría si el número de metros cúbicos de agua consumidos fuesen los que se marcan en la tabla que sigue. Escribe tu cálculo de manera desarrollada.

Metros cúbicos consumidos

Costo en pesos

0

1

9

13

16

21

26


151

b) ¿Podemos hablar de la existencia de una relación funcional entre las cantidades ahí involucradas? ¿Por qué?

c) Como acaban de darse cuenta, no resultaría muy operativo para la empresa que tiene a su cargo este servicio, usar solamente tablas como las mostradas para determinar el costo del consumo de cualquiera de los usuarios, sin utilizar recursos de programación. Utilizando algún recurso tecnológico de apoyo, como Excel, GeoGebra o una calculadora, o simplemente lápiz y papel, intenten en su equipo encontrar una expresión analítica para calcular el costo del consumo en dependencia del número de metros cúbicos de agua utilizados por el usuario.

d) Intenten ahora encontrar la representación gráfica para la relación anterior. Para ello pueden utilizar el plano que se proporciona a continuación.


152

e) ¿Cuál de las representaciones anteriores resulta, desde su punto de vista más útil para esta situación específica y por qué?

7. ¿Qué otros datos aparecen en los recibos?


153

a) Como acabas de comprobar, el cobro correspondiente a los 24 metros cúbicos de consumo no se corresponde con los $147.02. Esto se debe a que hay una cantidad que se está cobrando, que no está explícita, y que es el pago por el servicio de drenaje y alcantarillado. ¿Qué porcentaje representa esta cantidad de la que obtuviste en el inciso a)?

Este porcentaje está contemplado en el apartado “Derechos por servicio de drenaje y alcantarillado”, que es una sección de la ya mencionada Ley de Ingresos y Presupuesto de Ingresos del Ayuntamiento del Municipio de Hermosillo en el Artículo 51, el cual señala: Artículo 51.- Por el servicio de drenaje y alcantarillado sanitario en cualquier parte del municipio de Hermosillo, se cobrarán derechos calculables en base a una tarifa equivalente al 35% del importe del consumo mensual de agua potable aplicable en cada caso y región. A este servicio se le aplicará el impuesto al valor agregado.

Tercera Etapa. Análisis didáctico de la Actividad

8. Análisis didáctico de la actividad Hemos concluido con las dos primeras etapas marcadas para la actividad “Las tarifas de agua”. Ahora realizaremos un análisis didáctico de dichas etapas, para lo cual trabajaremos por equipo y grupalmente, según los tiempos designados por el instructor.

a) ¿Cuáles son los contenidos matemáticos que aparecieron en la situación que

acaban de trabajar? Escríbelos a continuación, pero ubicándolos en cada uno de los ejes temáticos que estable la Reforma en Secundaria: o Sentido numérico y pensamiento algebraico.-


154

o Forma, espacio y medida.-

o Manejo de la información.-

b) Para cada una de las competencias que se deben promover en el estudio de matemáticas, de acuerdo al programa vigente, menciona qué acciones particulares llevadas a cabo durante esta actividad te parece que contribuyen a dicha promoción. o Planteamiento y resolución de problemas.

o Argumentación.-

o Comunicación.-


155

o Manejo de técnicas y algoritmos.-

9. Introduciendo variantes a la presente actividad Para concluir con esta actividad te proponemos que de manera individual cumplas con lo especificado en el inciso siguiente.

a) Toma esta actividad como referencia y haz las modificaciones que consideres procedentes, de tal manera que la pudieras utilizar con tus estudiantes. Estas modificaciones pueden incluir la omisión o agregado de alguna de las partes de la actividad, así como la introducción de variantes que conecten la actividad con otros conceptos, no necesariamente matemáticos. El instructor te indicará la fecha límite para la entrega de esta asignación.


156

Actividad 2

Crecimiento poblacional del Estado de Sonora

1. Crecimiento demográfico en Sonora

Lee los siguientes dos párrafos y responde a los cuestionamientos que haga el instructor. A lo largo de los años el comportamiento demográfico en Sonora ha ido cambiando. En la primera parte del siglo pasado la tasa de crecimiento prácticamente se mantuvo en 2% anual, mientras que de 1950 a 1970 dicha tasa se duplicó propiciando un incremento considerable en la población. Lo anterior provocó que las instancias de gobierno correspondientes tomaran acciones enfocadas a atender el impacto de tal crecimiento. Actualmente la distribución demográfica del estado es muy heterogénea, por una parte se tienen centros urbanos con una alta concentración de población, mientras que existen localidades o municipios donde es escasa, incluso hay lugares donde la tasa de crecimiento es negativa. 2. Interpretar información de textos El documento Diagnóstico Sociodemográfico del Estado de Sonora1, menciona que: “A lo largo del siglo XX, Sonora, al igual que el resto del país sufre una importante transformación demográfica. En esos cien años, el crecimiento, estructura y composición de la población de esta entidad transitó por varias etapas: - A principios de este siglo y hasta 1940-1950 el crecimiento anual de la población era menor al 2 por ciento, con este ritmo tan bajo de crecimiento se necesitaban cuatro décadas para que la población se duplicara; - Después de 1950 el ritmo de crecimiento demográfico se acelera a tal grado que en sólo dos décadas se duplica la cantidad de habitantes. Esto es, de 1950 a 1970 el crecimiento demográfico anual es de 4 por ciento;…” Tomando en cuenta esta información, responde individualmente lo siguiente:

a) ¿Consideras correcta la afirmación de que con un crecimiento anual del dos por ciento, en cuatro décadas se duplica la población? Argumenta tu respuesta.

1 http://www.sidesson.gob.mx/Descargas/coespo/Sonora-Demografico.pdf


157

b) ¿Cuál es el crecimiento poblacional anual en el que se basa la siguiente

afirmación?: “con este ritmo tan bajo de crecimiento se necesitaban cuatro décadas para que la población se duplicara”. Argumenta tu respuesta.

c) Si al finalizar el año 1950 había en Sonora 160, 000 habitantes y en las siguientes dos décadas se tuvo un crecimiento promedio anual de cuatro por ciento. ¿Cuántos habitantes había en Sonora en los años que se muestran en la siguiente tabla?

Año Población

1950

1951

1952

1953

1954

1955

d) Formula una expresión analítica para calcular el tamaño de la población con respecto al tiempo transcurrido desde el año 1950.

e) ¿En qué año la población en Sonora era el doble de la que se tenía en 1950?


158

f) Comenta con sus compañeros de equipo los resultados obtenidos y las estrategias utilizadas.

g) En la Tabla A, se muestra el crecimiento poblacional anual promedio de la población en el estado de Sonora, de 1970 al 2010.

Entidad federativa

1970-1990 1990-1995 1995-2000 2000-2005 2005-2010

Sonora 2.52 2.37 1.39 1.4 2.1 Tabla A

Con base en la tabla anterior y considerando que en 1995 la población en Sonora era de 2’085,536 habitantes, ¿cuántos habitantes había en Sonora en los años que se presentan en la siguiente tabla?

Año Población

1980

1993

1999

2002

2008

h) Formula una expresión analítica para estimar el tamaño de la población con respecto al tiempo transcurrido desde el año 1970. Utilízala para determinar la población estimada para el año 2000, 2005 y 2010. Contrasta tus resultados con las estimaciones publicadas por INEGI y comenta.


159

3. ¿Cuál será la población en…?

Integrarse en equipo para responder lo siguiente:

a) ¿Cuántos años se necesitan para duplicar la población de una localidad si el ritmo de crecimiento se mantiene en promedio en cuatro por ciento?

b) De acuerdo al II Conteo de Población y Vivienda 2005, el municipio Etchojoa cuenta con 55,697 habitantes. ¿Cuál será la población de Etchojoa en un año si el crecimiento poblacional anual es del …

o uno por ciento?

o dos por ciento?

o tres por ciento?

o cinco por ciento?

o diez por ciento?

o cero por ciento?

o menos dos por ciento?

c) Propón una expresión analítica que permita determinar el tamaño de la población de Etchojoa, en un año, si el crecimiento poblacional anual cambia.


160

d) Presentar el modelo propuesto al resto del grupo para comparar con lo que proponen los integrantes de otros equipos.

e) Considera la población inicial de Etchojoa en el año 2005 y completa la siguiente tabla si la tasa anual de crecimiento es:

Crecimiento poblacional

anual (%) Población de Etchojoa

después de un año

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


161

f) Representa gráficamente la información de la tabla del inciso e)

g) Si el tratamiento que se hace en los incisos b), c), d), e) y f) se aplica a los siguientes municipios

o Puerto Peñasco, 44,875 habitantes

o Huatabampo, 74,533 habitantes

o Guaymas, 134,153 habitantes

¿Qué diferencia hay en la gráfica de esos municipios con respecto al de Etchojoa?


162

4. Crecimiento demográfico en la geografía sonorense

En la siguiente tabla aparece información relacionada al crecimiento poblacional por municipios de 1990 a 20002.

Crecimiento poblacional Número de municipios de -8.27 a -1 21

de -0.99 a -0.01 19 de 0 a 0.99 12 de 1 a 1.99 13 De 2 a 2.99 2 De 3 a 4.99 4 De 5 a 14 1

Por equipo, analiza y responde los cuestionamientos que se hacen en los siguientes incisos.

2 http://www2.ine.gob.mx

http://www2.ine.gob.mx/


163

a) El histograma siguiente se construyó a partir de la información del crecimiento demográfico en Sonora de 1990-2000, mostrada en la tabla anterior. o ¿El histograma corresponde con la información proporcionada en la tabla?

b) De acuerdo a la información que se tiene:

o ¿Qué porcentaje de municipios presentaron decrecimiento poblacional en esa década?

o ¿Qué porcentaje de municipios presentaron mayor crecimiento poblacional

en esa década? o ¿Qué porcentaje de municipios presentaron un crecimiento poblacional

entre 2 y 3 % en esa década?


164

o ¿Qué porcentaje de municipios presentaron crecimiento poblacional en esa década?

o ¿Qué porcentaje de municipios presentaron un crecimiento poblacional de al

menos 3% en esa década? o ¿Qué porcentaje de municipios presentaron un crecimiento poblacional de a

lo más 3.99% en esa década? o ¿Cuál fue el crecimiento promedio en esa década?

5. Elementos puestos en práctica al resolver la actividad Cuando resolvemos una actividad ponemos en práctica una serie de estrategias y conocimientos, que hemos desarrollado a lo largo del currículo escolar, esto es, cuando enfrentamos una situación ponemos en juego lo que sabemos para desarrollar una estrategia que me permita resolver dicha situación. En esta parte de la actividad se pretende reflexionar respecto a los elementos que intervienen al tratar de resolver un problema: que conocimientos utilicé, cómo los utilicé, qué aprendí, qué relación tiene lo que aprendí con el propósito de la actividad. Trataremos de identificar los elementos relacionados con el contenido que se pretende desarrollar y su correspondencia con el señalado en el programa de estudio de secundaria.

Organizados en equipo realizar lo que se indica

a) Para cada una de las situaciones plateadas en la actividad identifica y menciona al menos dos contenidos matemáticos que ubiques en cada uno de los ejes curriculares.


165

Situación de los momentos 1, 2 y 3:

o Sentido numérico y pensamiento algebraico

o Forma, espacio y medida

o Manejo de la información

Situación del momento 4:

o Sentido numérico y pensamiento algebraico

o Forma, espacio y medida

o Manejo de la información


166

b) Al tratar de resolver las situaciones planteadas en los diferentes momentos de la actividad, ¿qué acciones realizaste para entender dichas situaciones?

c) ¿De qué forma está dada la información en las situaciones que se plantean en el primer y segundo momento?

d) ¿Qué contenido matemático se utilizó para resolver las situaciones planteadas?

e) De acuerdo al programa de matemáticas de secundaria 2006, ¿qué acciones identificas en las que se promueva alguna o algunas de las competencias matemáticas que se deben desarrollar en secundaria?

Competencia Acciones Planteamiento y resolución de problemas

Argumentación

Comunicación

Manejo de técnicas


167

h) De acuerdo a la estrategia metodológica que implementó el instructor al desarrollar la actividad, describe individualmente las principales acciones metodológicas que se implementaron.

i) Comenta con tus compañeros de equipo los elementos que consideraste en la descripción, identifiquen aquellos en los que coincidieron y en los que no.

j) ¿Qué elementos metodológicos le agregarías a esta propuesta didáctica para enriquecer su puesta en escena en otro momento?

k) Presentar al resto del grupo las conclusiones a las que llegó el equipo en los

siguientes aspectos: contenido matemático, competencias y estrategia metodológica.


168

6. Cierre

De manera individual realiza lo siguiente:

a) Con el propósito de enriquecer y adaptar la actividad para trabajarla con estudiantes de secundaria, realiza las modificaciones que consideres pertinentes, incluyendo la introducción de variantes que conecten la actividad con conceptos de diferentes ejes curriculares, no necesariamente matemáticos.

b) Hacer el mismo tratamiento que se hace para el municipio de Etchojoa, en los incisos del b) al e) del tercer momento, pero ahora para dos años, suponiendo que la tasa de crecimiento anual se mantiene sin cambios de un año a otro.


169

Actividad 3

Visualizando la media aritmética de dos números

1. Crecimiento de la población en México entre 1950 y 2010

En una de las páginas web del INEGI (http://cuentame.inegi.org.mx/), bajo el título: ¿Cuánto aumentó la población?, aparece la información que se muestra en la Figura 3.1.

Durante los últimos 60 años, la población en México ha crecido cinco veces. En 1950 había 25.8 millones de personas, en 2010 hay 112.3 millones.

Población total 1950 – 2010

FUENTE: INEGI. Estadísticas Sociodemográficas. Población total según

sexo 1950 a 2005.

INEGI. Censo de Población y Vivienda 2010.

De 2005 a 2010, la población se incrementó en 9 millones de habitantes, lo que representa un crecimiento por año de 1 por ciento.

Figura 3.1

Discute en tu equipo las dos preguntas siguientes y redacta de manera individual tus respuestas.

a) La primera información dada en la Figura 3.1, dice: “Durante los últimos 60 años, la población en México ha crecido cinco veces. En 1950 había 25.8 millones de personas, en 2010 hay 112.3 millones.” ¿Qué tan precisa te parece esta información? Justifica tu respuesta.

http://cuentame.inegi.org.mx/


170

b) En la Figura 3.1, también dice: “De 2005 a 2010, la población se incrementó en 9 millones de habitantes, lo que representa un crecimiento por año de 1 por ciento.” ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? Justifica tu respuesta.

2. Algunos datos que no están en la Figura 3.1

Supongamos ahora que nos interesa saber cuántos habitantes tenía nuestro país en 1995, éste es un dato que no se muestra en la Figura 3.1. Para obtener una estimación de esta cantidad podríamos recurrir a la Figura 3.2, en la que se presenta una versión ampliada de la gráfica de la Figura 3.1, en esta versión se ha supuesto que la población ha crecido linealmente entre los años 1990 y 2000.

Figura 3.2

a) ¿Cómo está representada en la Figura 3.2 la cantidad que pretendemos estimar?

b) Usa la Figura 3.2 para calcular la cantidad que a tu juicio es una estimación de la población que tenía nuestro país en 1995.


171

c) Investiga la cantidad que arrojó el conteo de población realizado por el INEGI en 1995 y compáralo con la estimación obtenida. ¿A qué consideras que se debe la diferencia?

d) Si quieres estimar cuántos habitantes tenía México en 1997, ¿cómo representarías esta cantidad en la Figura 3.2? Explica tu respuesta.

e) ¿Puedes hacer una estimación de la cantidad de habitantes que tenía nuestro país en 1997? Justifica tu respuesta.

3. Recortando un trapecio

El instructor te entregará una cartulina como la mostrada en la Figura 3.3, en la que M es el punto medio de AB.

Figura 3.3

a) Mide los segmentos AD y BC y anota las medidas sobre la cartulina. Recorta la cartulina por la línea punteada y reacomoda las dos piezas para formar un rectángulo. Justifica por qué la figura obtenida es un rectángulo.


172

b) ¿Cuánto mide el segmento MP?

c) En equipo, comparen las medidas de MP obtenidas y acuerden una justificación de los resultados

4. Deformando el trapecio

Abra el archivo MP.fig, en pantalla verán un trapecio como el mostrado en la Figura 3.4, en la que el punto B puede “arrastrarse” hacia la derecha y hacia la izquierda, mientras que los puntos B y D pueden “arrastrarse hacia arriba y hacia abajo”

Figura 3.4

a) ¿Por qué la medida de MP no cambia cuando “arrastramos” B?


173

b) “Arrastren” los puntos B y D hasta que AD y BC midan lo que indica la tabla. Analicen cada caso y escriban los datos que faltan en la tabla.

AD BC MP

Caso 1 6 2

Caso 2 7 4

Caso 3 2.5 4.5

Caso 4

c) ¿Qué relación existe entre las medidas AD y BC con la medida del segmento MP?

d) Propongan un procedimiento aplicable a figuras como las que se han visto y que permita calcular la medida de MP, si se conocen las medidas de AD y BC

e) Usa la figura siguiente para expresar la medida de MP en términos de a y b


174

f) Argumenta por qué, al multiplicar por 2 la expresión encontrada para MP, se obtiene a+b

g) Dados dos números a y b, investiga el nombre que recibe el número 2

bay

describe dos de sus posibles aplicaciones (distintas a la discutida en la presente actividad)

h) Si a y b son números distintos y a es más grande que b, ordena los números a, b, y

2

ba del mayor al menor. Para responder puedes apoyarte en la Figura 3.5.

Figura 3.5


175

5. Análisis didáctico

Teniendo a la mano el documento Programas de Estudio 2006, que contienen las competencias disciplinares y los rasgos de la formación del estudiante de secundaria, realiza en equipo las tareas siguientes:

a) Hagan una lista por equipo de los conceptos matemáticos que resultaron necesarios durante el desarrollo de la actividad.

b) Supón que la presente actividad se instrumenta en un grupo de estudiantes de secundaria.

o Establezcan cuáles de las cuatro competencias disciplinares (ver Programas de

Estudio, pp. 9-12) se estarían promoviendo con ella. Justifiquen su respuesta señalando qué parte de la actividad está relacionada con qué competencia.

o Establezcan cuáles de los nueve rasgos de la formación del estudiante de secundaria (ver Anexo) estaríamos fortaleciendo con ella. Justifiquen su respuesta señalando qué parte de la actividad está relacionada con qué rasgo.

c) Después de la exposición del equipo propuesto por el instructor y de la discusión que genere en el grupo la exposición, escribe aquí los elementos no considerados por tu equipo al realizar las tareas de los incisos a y b.


176

6. Introduciendo variantes a la presente actividad

Toma esta actividad como referencia y haz las modificaciones que consideres para utilizarla con tus estudiantes. Estas modificaciones pueden incluir la omisión o agregado de alguna de las partes de la actividad, así como la introducción de variantes que conecten la actividad con otros conceptos, no necesariamente matemáticos.


177

Actividad 4

El Índice de Masa Corporal

1. ¿Qué es el Índice de Masa Corporal?

En septiembre de 2010 la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) publicó el estudio titulado “La Obesidad y la Economía de la Prevención”. Algunas cifras reportadas en este estudio revelan que la obesidad se ha convertido en un grave problema, tanto de salud como económico, para los países miembros de la OCDE, entre los cuales se cuenta el nuestro. Para darnos una idea de cómo ha evolucionado este problema, la OCDE señala que hasta 1980 la obesidad todavía no representaba un problema serio, porque de cada 10 personas en el mundo, menos de una era obesa; pero de entonces a la fecha las tasas se han duplicado o triplicado en muchos países y en casi la mitad de los países de la OCDE una de cada dos personas es ahora considerada con sobrepeso u obesa. Si las tendencias recientes continúan, las proyecciones sugieren que de cada tres personas, más de dos tendrán sobrepeso u obesidad en algunos países de la OCDE en los próximos 10 años. Los problemas de salud derivados de la obesidad están a la vista, baste decir que las personas severamente obesas mueren entre 8 y 10 años antes que las de peso normal y que por cada 15 kilogramos de peso extras el riesgo de muerte temprana aumenta aproximadamente el 30%. La mejor manera de atacar este problema según la OCDE, es poner en práctica estrategias de prevención integral, que según estima, en nuestro país tendrían un costo de 12 USD per cápita. Este costo pudiera parecer muy alto pero a cambio, México podría evitar 55 000 muertes al año provocadas por enfermedades crónicas derivadas de la obesidad. A medida que el problema de la obesidad se ha venido agravando, se han buscado indicadores que permitan detectar en qué momento una persona ya no tiene un peso normal. Uno de los indicadores más utilizados es el que se conoce como Índice de Masa Corporal (IMC), cuyo cálculo se basa en una comparación entre el peso (P) de un individuo, medido en kilogramos y el cuadrado de su estatura (E), medida en metros. Este cálculo se resume en la expresión:

Dependiendo de cómo resulte nuestro IMC será nuestra clasificación como personas con bajo peso, normales, con sobrepeso u obesas. El criterio para hacer esa clasificación se prescribe en la Tabla 4.1:


178

IMC (índice de masa corporal) La persona se clasifica como:

<18.5 Peso insuficiente

18.5 - 24.9 Normal

25-29.9 Con sobrepeso

>30 Obesa Tabla 4.1

Con base en la expresión que define el IMC y observando la Tabla 4.1, responde en equipo las preguntas siguientes:

a) ¿Cuál es el IMC y cómo se clasifica a una persona que pesa 65 Kg y mide 1.70 m?

b) Si una persona tiene un IMC de 28 y mide 1.70 ¿Cuánto pesa?

c) Si una persona pesa 86 Kg y su IMC es de 25 ¿Cuánto mide?

d) ¿Cuál sería una descripción de la complexión de una persona cuyo IMC es 17?

e) ¿Cuál sería una descripción de la complexión de una persona cuyo IMC es 27?


179

2. El IMC visto como una relación entre variables

El IMC de un individuo puede calcularse si se conoce su peso y su estatura, en este caso la

expresión 2E

pIMC se está usando como una herramienta de cálculo. Pero si

estuviéramos interesados en estudiar el IMC como una relación entre las variables P y E, entonces podemos tener una perspectiva completamente distinta de esta relación y sus aplicaciones podrían resultar más interesantes y complejas. Responde individualmente las preguntas siguientes y luego compara tus respuestas con los integrantes de tu equipo:

a) Completa la siguiente tabla para una persona cuyo IMC es de 18

Peso Estatura IMC

18

18

18

18

18

b) Escribe algebraicamente el peso de una persona en función de su estatura, si se sabe que su IMC es 18.

c) Grafica en un plano cartesiano la relación encontrada antes, del peso contra la estatura.


180

3. La variación del IMC: una aplicación

Para ayudarle a un médico a registrar el IMC de sus pacientes, construiremos un dispositivo que le permita, a partir del peso y estatura del paciente, ubicarlo directamente en alguna de las categorías contempladas en la Tabla 4.1.

a) Abre el archivo de GeoGebra llamado índice.ggb. En pantalla verás una figura como la siguiente:

Figura 4.1


181

b) Grafica en este archivo la relación 2518 x.y , que corresponde a la relación 2518 E.P que no puede graficarse en GeoGebra directamente porque este

software no reconoce las variables P y E como variables válidas. Para graficar la

relación 2518 x.y , escríbela en la ventana denominada “Entrada” que se muestra

en la parte inferior del archivo y luego presiona la tecla “Enter”.

c) Si el punto A de la gráfica, cuyas coordenadas son la estatura y el peso de una persona, representa su índice de masa corporal, “arrástrelo” arriba y debajo de la curva y luego conteste las preguntas siguientes:

o ¿Qué significa que el punto A pertenezca a la curva?

o ¿Qué significa que el punto A esté por debajo de la curva?

o ¿Qué significa que el punto A esté por arriba de la curva?

d) En el mismo archivo índice.ggb, grafica ahora las relaciones 225xy y 230xy .

Responde las preguntas siguientes, si lo consideras necesario “arrastra” el punto A para orientarte.

o ¿Qué significa que el punto A esté entre las gráficas de 2518 x.y y de 225xy ?

o ¿Qué significa que el punto A esté entre las gráficas de 225xy y de 230xy ?

o ¿Qué significa que el punto A esté por encima de la curva 230xy ?


182

e) Un médico registra en la gráfica de la Figura 4.2, el Índice de Masa Corporal de un adolescente, en cuatro consultas consecutivas. En esta gráfica A1 corresponde a la primera consulta y A4 a la última.

Figura 4.2

f) ¿Qué tipo de recomendaciones consideras que debe hacer el médico a partir de la

gráfica?

4. Estudiando los parámetros de las curvas graficadas

En virtud de que las relaciones graficadas hasta ahora son funcionales, en el resto de la actividad las llamaremos funciones. En la Figura 4.2, se muestran las gráficas de las

funciones 2518 x.y , 225xy y 230xy , la única diferencia entre estas tres funciones

es el coeficiente de la 2x , llamaremos a este coeficiente el parámetro de la función.

a) Al comparar dos de las funciones, por ejemplo 2518 x.y con 230xy , podemos

tomar la función 2518 x.y como referencia para explicar el cambio que ha

sufrido su gráfica cuando el parámetro 18.5 se hace crecer hasta 30. Observa la Figura 4.2 para explicar este cambio.

b) Si tenemos la función 2

2

1xy , podemos generar otra función haciendo crecer el

parámetro desde 2

1 hasta 5. Grafica en GeoGebra ambas funciones y explica el

cambio que ha sufrido la gráfica de 2

2

1xy al cambiar su parámetro.


183

c) Utiliza ahora la herramienta “deslizador”3 para representar el parámetro a y

graficar la función 2axy , configura el “deslizador” para que la a tome solamente

valores positivos. “Arrastra” el punto del “deslizador” para hacer variar el parámetro a y luego contesta la pregunta: ¿qué efecto geométrico se observa en la

gráfica de 2axy cuando a crece o decrece?

5. Análisis didáctico

Teniendo a la mano el anexo, que contienen las competencias disciplinares y los rasgos de la formación del estudiante de secundaria, realiza en equipo las tareas siguientes:

a) Hagan una lista por equipo de los conceptos matemáticos que resultaron necesarios durante el desarrollo de la actividad.

b) Supón que la presente actividad se instrumenta en un grupo de estudiantes de secundaria.

o Establezcan cuáles de las cuatro competencias disciplinares (ver anexo) se estarían promoviendo con ella. Justifiquen su respuesta señalando qué parte de la actividad está relacionada con qué competencia.

3 Para construir un “deslizador” en pantalla, activa la herramienta “deslizador” y luego fija el puntero del mouse en el

lugar del plano cartesiano donde quieras colocar el deslizador, y luego haz un “clic” con el botón derecho del mouse. Automáticamente GeoGebra fijará el deslizador, asignara la letra a como número a “deslizar”, luego abrirá un cuadro de diálogo donde podrás especificar el rango de variación de a. Este rango, podría ser seleccionado, por ejemplo, entre 0 y 20. Luego captura la expresión y=ax

2 en el cuadro denominado “Entrada” y que puede verse en la parte inferior de la

pantalla, capturada la expresión oprime la tecla “Enter” y GeoGebra graficará la función solicitada.


184

o Establezcan cuáles de los nueve rasgos de la formación del estudiante de secundaria (ver anexo) estaríamos fortaleciendo con ella. Justifiquen su respuesta señalando qué parte de la actividad está relacionada con qué rasgo.

o Después de la exposición del equipo propuesto por el instructor y de la discusión que genere en el grupo la exposición, escribe aquí los elementos no considerados por tu equipo al realizar las tareas de los incisos a y b.

6. Introduciendo variantes a la presente actividad Toma esta actividad como referencia y haz las modificaciones que consideres para utilizarla con tus estudiantes. Estas modificaciones pueden incluir la omisión o agregado de alguna de las partes de la actividad, así como la introducción de variantes que conecten la actividad con otros conceptos, no necesariamente matemáticos.


185

Actividad 5

El ISR en venta de bienes inmuebles

1. Enajenación4 de bienes inmuebles Cuando compramos o vendemos un bien inmueble, además del precio de compra/venta, se deben considerar ciertos aspectos que intervienen en este tipo de transacciones, como el costo de escrituración, y el pago del impuesto sobre la renta (ISR) correspondiente. Generalmente, la parte compradora se encarga del costo de escrituración, y la parte vendedora, del impuesto sobre la renta. El costo de escrituración es variable y depende, en gran medida, de la notaría en que se efectúe el trámite. Para el pago del ISR, el fundamento se encuentra en la LISR (Ley del Impuesto sobre la Renta) en el Título IV para las personas físicas, en el Capítulo de Enajenación de Bienes; las tarifas están bien definidas y se publican en el Diario Oficial de la Federación, anualmente. A continuación presentamos un extracto de los artículos 148 y 154 de la LISR y una tabla para el cálculo del pago provisional del impuesto correspondiente para el 2011.

ARTICULO 148. LAS PERSONAS FISICAS QUE OBTENGAN INGRESOS POR LA ENAJENACION DE BIENES PODRAN EFECTUAR LAS SIGUIENTES DEDUCCIONES:

I. EL COSTO COMPROBADO DE ADQUISICION QUE SE ACTUALIZARA EN LOS TERMINOS DEL ARTICULO 151 DE ESTA LEY. EN EL CASO DE BIENES INMUEBLES, EL COSTO ACTUALIZADO SERA CUANDO MENOS 10% DEL MONTO DE LA ENAJENACION DE QUE SE TRATE.

…..

LA DIFERENCIA ENTRE EL INGRESO POR ENAJENACION Y LAS DEDUCCIONES A QUE SE REFIERE ESTE ARTICULO, SERA LA GANANCIA SOBRE LA CUAL, SIGUIENDO EL PROCEDIMIENTO SEÑALADO EN EL ARTICULO 147 DE ESTA LEY, SE CALCULARA EL IMPUESTO.

ARTICULO 154. LOS CONTRIBUYENTES QUE OBTENGAN INGRESOS POR LA ENAJENACION DE BIENES INMUEBLES, EFECTUARAN PAGO PROVISIONAL POR CADA OPERACION, APLICANDO LA TARIFA QUE SE DETERMINE CONFORME AL SIGUIENTE PARRAFO A LA CANTIDAD QUE SE OBTENGA DE DIVIDIR LA GANANCIA ENTRE EL NUMERO DE AÑOS TRANSCURRIDOS ENTRE LA FECHA DE ADQUISICION Y LA DE ENAJENACION, SIN EXCEDER DE 20 AÑOS. EL RESULTADO QUE SE OBTENGA CONFORME A ESTE PARRAFO SE MULTIPLICARA POR EL MISMO NUMERO DE AÑOS EN QUE SE DIVIDIO LA GANANCIA, SIENDO EL RESULTADO EL IMPUESTO QUE CORRESPONDA AL PAGO PROVISIONAL.

4 Enajenar: Pasar a otro la propiedad o derecho sobre algo.


186

A. Tarifa aplicable a pagos provisionales

Tarifa para el cálculo de los pagos provisionales que se deban efectuar durante 2011, tratándose de enajenación de inmuebles a que se refiere la regla I.3.14.4. de la Resolución Miscelánea Fiscal para 2010.

Límite inferior Límite superior Cuota fija Por ciento para aplicarse sobre el excedente del límite inferior

$ $ $ %

0.01 5,952.84 0.00 1.92

5,952.85 50,524.92 114.24 6.40

50,524.93 88,793.04 2,966.76 10.88

88,793.05 103,218.00 7,130.88 16.00

103,218.01 123,580.20 9,438.60 17.92

123,580.21 249,243.48 13,087.44 21.36

249,243.49 392,841.96 39,929.04 23.52

392,841.97 En adelante 73,703.40 30.00

a) ¿Sabías que existe este tabulador para el pago del impuesto sobre la renta (ISR) en la compra –venta de bienes inmuebles?

b) ¿Cuál es la cantidad sobre la que se calcula el ISR?

o ¿Por qué se toma en cuenta el costo actualizado del bien a enajenar?

o ¿Por qué consideras que debe deducirse el costo de compra anterior actualizado?

c) ¿Qué indica en la tabla la cuota fija?


187

d) ¿Cómo se calcula el ISR en una venta en la que se obtiene una ganancia de $10,000? ¿Cuál es?

e) ¿Y en una de $90,000? ¿Cuál es?

2. Compra-Venta de un Terreno

Se desea vender un terreno que fue adquirido en el 2010. El costo comprobado de adquisición actualizado al 2011 es de $175.40 por metro cuadrado. El valor comercial por metro cuadrado en la zona es de aproximadamente $260.00, pero los compradores potenciales querrán negociar ese valor. Para estar bien informados en el momento de la negociación puede elaborarse una tabla con los posibles precios de venta, considerando el ISR que deberá cubrir la parte vendedora. En la siguiente figura se muestra un croquis con las medidas del terreno a enajenar.


188

a) ¿Cuál es el costo comprobado de adquisición actualizado al 2011 del terreno completo? Cuando hayan dado respuesta a esta pregunta, organicen dentro del equipo la secuencia del procedimiento que siguieron para obtenerla, traten de validar cada uno de los pasos para que uno de los integrantes, cuando lo indique el coordinador, comunique al grupo este procedimiento con sus respectivas argumentaciones de validez.

3. Preparando la negociación

a) Completa la siguiente tabla en donde se consideran distintos valores para el precio

de venta, el ingreso bruto (por la enajenación del bien inmueble, antes de aplicar descuentos), el cálculo del ISR, y el ingreso neto (la ganancia final una vez aplicado el ISR) que sirve como referente para la negociación. Para agilizar los cálculos utiliza particularmente el archivo “Tabla C1” que se te proporciona. Sigue las indicaciones del instructor.

Precio por m2

Ingreso bruto por la enajenación del

terreno

Ganancia por la venta

ISR Ingreso neto

175.40

176

180

190

200

210

220

230

240

250

255

260

270


189

4. Otras formas de representación

En la tabla del punto anterior, se muestra el ingreso bruto, la ganancia, el ISR y el ingreso neto, en función del precio por m2. Para analizar las tendencias de estas cantidades, resulta valioso utilizar otro tipo de representaciones, como por ejemplo, representaciones gráficas o algebraicas.

a) Selecciona y etiqueta el gráfico que representa la variación del ingreso bruto por la enajenación del bien inmueble con respecto al precio por m2 y el que representa el ISR con respecto al precio por m2. Justifica tu respuesta.

0 50 100 150 200 250 300


190

b) ¿Qué te dicen estos gráficos con respecto a la forma como varían el ingreso bruto y el ISR? (La escala en el eje Y se omitió intencionalmente).

c) Elabora un gráfico cualitativo para representar la variación del ingreso neto con respecto al valor por m2.

0 50 100 150 200 250 300

Justificación:


191

d) ¿Qué tendencias generales se observan en cada una de las gráficas?

e) ¿En qué se parecen y en qué se diferencian?

0 50 100 150 200 250 300

Ingreso neto


192

5. Un enfoque algebraico

a) Se ha hecho hasta el momento un análisis cualitativo de las tendencias del ingreso bruto, el ISR y el ingreso neto en función del precio por m2. ¿Qué expresiones algebraicas puedes asociar a las funciones mencionadas? Utiliza la siguiente tabla para organizar la información.

Límite inferior

$ Límite superior

$ Expresión Algebraica para el cálculo del ISR

$

0.01 5,952.84

5,952.85 50,524.92

50,524.93 88,793.04

88,793.05 103,218.00

103,218.01 123,580.20

123,580.21 249,243.48

249,243.49 392,841.96

392,841.97 En adelante

b) ¿Por qué resulta útil plantearlas? ¿Qué información adicional proporcionan? Comenta con tu equipo y escribe tus consideraciones. Luego sigue las indicaciones del instructor para socializarlas en el grupo.


193

6. Nueva situación problema: Venta por partes Se plantea la posibilidad de vender solamente una sección del terreno para obtener un ingreso neto determinado. Para tal efecto se ha decidido dividirlo con una línea paralela al lado de medida 78 m, como se muestra en la siguiente figura, vendiendo la sección que lo contiene.

a) Utiliza los archivos GeoGebra proporcionados para explorar y estimar el ancho de la parte del terreno que deberá venderse (medido sobre el lado de medida 93.6 m) para obtener un ingreso neto determinado, considerando que el precio de venta se fija en $230.00. Completa la tabla siguiente como resultado de tal exploración.

Ingreso Neto ISR Ingreso bruto Área a vender Ancho del Terreno

$100,000.00

$120,000.00

$140,000.00

$160,000.00

$200,000.00

$250,000.00


194

b) ¿Qué tan buenas son las estimaciones? ¿Qué bondades y limitaciones tiene el

método utilizado?

c) Encuentra una expresión algebraica que relacione el ancho del terreno a enajenar, medido sobre el lado de medida 93.6, y su área. Activa la casilla que muestra el lugar geométrico del área en función del ancho del terreno y relaciona la gráfica mostrada con las expresiones algebraicas establecidas. ¿Qué tipo de curva(s) muestra(n) esta relación?

d) Asimismo, encuentra una expresión algebraica que relacione el área a vender y la ganancia sobre la venta. (Considere que el precio de venta se fija en $230.00). ¿Qué ventajas tiene el hecho de conocer las expresiones algebraicas asociadas? ¿Cómo se relacionan con las expresiones algebraicas obtenidas en el punto 3?

e) ¿Qué papel han jugado cada una de las representaciones utilizadas para la resolución de este problema?

f) ¿Qué otras interrogantes puedes plantear en torno a esta situación de venta por partes? ¿Por qué sería importante considerarlas?


195

7. Análisis de las prácticas llevadas a cabo

Una acción que merece especial atención en todo proceso de estudio consiste en hacer una reflexión sobre las prácticas llevadas a cabo durante la resolución de un problema. Esto permite valorar lo que se sabía; lo que se aprendió; cómo se aprendió o se usó; lo que se puede considerar importante en la manera personal de proceder matemáticamente; igualmente, tener en cuenta la relación que guardan con las indicaciones temáticas y propósitos expresados en el programa de estudios, los procedimientos, conceptos, argumentos, las representaciones y el lenguaje en general, que se utilizaron para abordar las situaciones planteadas.

a) Menciona, para cada uno de los ejes temáticos, uno o dos contenidos matemáticos que consideres significativos y que identifiques en esta actividad:

o Sentido numérico y pensamiento algebraico.-

o Forma, espacio y medida.-

o Manejo de la información.-

b) ¿Qué acciones específicas te permitieron entender las dos situaciones-problema planteadas?


196

c) ¿Qué conocimientos matemáticos y qué tipo de acciones tuviste que llevar a cabo para conocer el área del terreno a enajenar?

d) ¿Qué papel jugó el uso de la hoja electrónica durante el proceso de solución en el inciso b) del punto 2?

e) ¿Qué requeriste conocer y hacer para “etiquetar” adecuadamente los gráficos propuestos en los incisos c), d) y e) del mismo punto?

f) Y para el inciso f), ¿qué tuviste que poner en juego para lograr expresar analíticamente las funciones requeridas?


197

g) Cuando se planteó el problema inverso y se dispuso de los archivos de GeoGebra para llegar a la solución, ¿consideras que se anuló la posibilidad de “usar conocimiento matemático” o que sí se requirieron habilidades matemáticas en el proceso de solución? Si piensas que esto último es cierto, ¿cuáles habilidades fueron puestas en juego?

h) Qué procesos llevados a cabo durante la solución de los diferentes cuestionamientos te parecieron más significativos para promover el uso, la profundización y/o la integración de conocimiento matemático? Comenta en tu equipo y describe a manera de resumen, en el recuadro siguiente, tu valoración. Posteriormente, bajo la guía del instructor, intercambia ideas en el grupo sobre esta descripción y tus respuestas a los incisos anteriores.

i) Para cada una de las competencias que se deben promover en el estudio de matemáticas, de acuerdo al programa vigente, menciona qué acciones particulares llevadas a cabo durante esta actividad te parece que contribuyen a dicha promoción.

o Planteamiento y resolución de problemas.

o Argumentación.-


198

o Comunicación.-

o Manejo de Técnicas.-

8. Análisis didáctico En esta parte se intenta también llevar a cabo una reflexión, pero ahora centrada en la propuesta metodológica que le fue indicada al instructor para conducir los procesos de aprendizaje de acuerdo a los propósitos establecidos en cada una de las acciones propuestas.

Con este fin, se te solicita que pongas atención a la proyección del folleto “Guía del Instructor”. Particularmente se exhiben las indicaciones metodológicas que acompañan a esta Actividad con el fin de que al leerlas y recordar la manera en que fue organizado el grupo para dar solución a los problemas planteados, puedas opinar o comentar ante tus compañeros sobre la secuencia de acciones que se propone y qué crees que la justifica.

En el recuadro siguiente puedes anotar las principales acciones metodológicas que se rescatan de la “Guía del Instructor” y aquéllas que bajo tu punto de vista complementarían satisfactoriamente este diseño didáctico.


199

9. Cierre de la actividad y del módulo

En este apartado se consideran dos acciones diferentes: La primera tiene que ver con lo realizado en esta última Actividad del tercer módulo, y la segunda con el trabajo que deberás realizar de forma independiente para dar por terminadas tus tareas en este diplomado. Primera acción: Con el propósito de “cerrar” esta Actividad, planteamos una interrogante

que se ha considerado importante para su discusión o reflexión individual:

a) ¿Crees que los contenidos matemáticos que intervinieron en esta actividad deben

abordarse de manera similar en la escuela secundaria? Comenta con el resto del

grupo y anota tus conclusiones.


200

Segunda acción: Trabajo final independiente.

b) Finalmente, para contar con una última evaluación del diplomado, se te solicita

que selecciones una Actividad −que bien puede ser formulada a partir de las que

ya transformaste para adaptarlas a tu trabajo en el aula− y con ella elabores al

menos dos consignas de trabajo dirigidas a estudiantes de secundaria, como las

que se presentan en los planes de clase. Con una de esas consignas, al menos,

deberás hacer la propuesta completa de un plan de clase y elaborar al menos tres

reactivos diferentes que pudieran servir para evaluar el aprendizaje del tema

elegido.

Esta Actividad deberás enviarla a tu instructor en un archivo de Word a su

dirección electrónica. Las indicaciones dadas para la portada son parecidas a las

que se te solicitaron para el ensayo del módulo anterior. El formato será parecido

al que se presentan en los planes de clase oficiales.

Se evaluará la pertinencia de la consigna y la consistencia del plan de clase con los

reactivos que se propongan para su evaluación.


201

Anexo


202


203

pmme.mat.uson.mxpmme.mat.uson.mx/baem/2012/material del participante.pdfpmme.mat.uson.mx

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