plantilla entrega de trabajos colaborativos

8/18/2019 Plantilla Entrega de Trabajos Colaborativos

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAECUACIONES DIFERENCIALES

Cod. 100412

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE UNO

Presentado a:

Tutor

Entregado por:

Grupo: 10041 A ! ""

UNI#ERSIDAD NACIONAL A$IERTA % A DISTANCIA & UNADESCUELA DE CIENCIAS AGR'COLAS( PECUARIAS % DEL )EDIO A)$IENTE

PROGRA)A DE INGENIERIA A)$IENTALCEAD *OS+ ACE#EDO % G,)E-

FE$RERO 1. de/ 01$OGOT D2C2

INTRODUCCION


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DESARROLLO DE LA ACTI#IDAD INDI#IDUAL

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

E3ua3 5n O6ser7a3 ones: Ordende e3ua3 5n( L nea/ o no/ nea/ 8 9ust 3a3 5n2

Estud ante ;ue rea/


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Es importante resaltar que al anali%ar el e&erciciose puede sacar raí%cuadrada a cada ladodando como resultado'cero , y se obtiene raí%cuadrada de unaderivada cuadrada menosuna derivada lineal, iguala cero.

En conclusión la ecuaciónno es lineal, #acereferencia a una ecuaciónde orden

E. ( y2− 1 )d x+6 xdy= 0

( y2− 1 ) dxdy

=− 6 x

( y2− 1 ) dxdy

+6 x= 0

dxdy

+( 6 y2 − 1) x= 0

En esa ecuacióndiferencial lineal, la

variable de pendiente esX y es lineal en Xporque * y sus derivadatiene e!ponente 1 y todoscoeficientes sonfunciones de YEs variable independientey es de primer orden

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

Se menciona el ejercicio y se anexa la plantilla con procedimiento y comentarios

C. Resol er la si!uiente ecuación diferencial "allando el factor inte!rante:

# $ (% $& ' )

RespuestaNo=6re estud ante ;ue rea/ PRESI,N )ATE) TICA

RA-ON O E>PLICACION

+. e− y+e−2 x− y= e x y dy

dxeali%amos separación de t-rminos de *

y de , a cada lado del e&ercicio para


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lograr integrar, por lo que tomamos a un

lado los t-rminos de dx y al otro lado los

elementos que van con dy.

e− y+e−2 x− y= e x y dydx

e−2 x− y

e x ¿− e− y y dy

dx

e−2 x− y dx

e x ¿− e

− y y dy

/ntegramos los elementos.

∫ e− 2 x dx∗∫ e− y dx∗∫ 1e x

dx=− ∫ e− y dy∗∫ y

− 12

e− 2 x∗e− y∗ln e x= e− y∗ y2

2 +C

− 12

e− 2 x∗e− y∗ x= y2∗e− y

2 +C

− 12

e− 2 x∗e− y∗ x= y2∗e− y

2 +C

− 12

x e−2 x− y= y2

∗e− y

2+C

Resultado final

RespuestaNo=6re estud ante ;ue rea/


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PROPOSICION ENUNCIADO OE>PRESI,N )ATE) TICA

RA-ON O E>PLICACION

0. (1− lnx)dy=(1 +lnx+ y x )dx

(1 +lnx+ y x )dx− (1− lnx )dy= 0 →M = 1 +lnx+ My= 1

x Nx= 1

x

"a ecuación es e!acta porque

My= Nx= 1 x

fx= 1 + lnx + y x

fy= lnx − 1 F ( x , y)= C

N ( x , y)− aay [∫ M ( x , y)dx](¿)dx∫ ¿

M ( x , y)dx+(¿¿ ]∫ ¿

f ( x , y )= ¿

∫ 1 +lnx+ y x dx= x+ xlnx+ ylnx

aay [∫ M ( x , y )dx]= lnx

lnx(¿− 1− lnx )dx

f ( x , y)= x+ xlnx+ ylnx+∫ ¿

¿ x+ xlnx+ ylnx+∫ − 1 dx= x+ xlnx+ ylnx− x

f ( x , y)= x+lnx ( x+ y)− x

f ( x , y)= lnx ( x+ y)

Resultado final


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C. Resol er la si!uiente ecuación diferencial "allando el factor inte!rante:# $ (% $& ' )


RA-ON O E>PLICACION

C. 6 xydx+(4 y+9 x2 )dy= 0

1ea M = 6 xy y N = 4 y+9 x2

"uego M y= 6 x

y N x= 18 x

2allamos el factor integrante:

μ y= e∫ N x− M y M dy →μ y= e

∫ 18 x− 6 x6 xy dy →μ y= e∫ 2 y dy → μ

Ahora multiplicamos el factorintegrante a la Ecuación diferencialdada:

( y2 ) [6 xydx+ (4 y+ 9 x2)dy= 0]→ 6 x y3 dx +(4 y3 + Por tanto la ecuación diferencial6 x y3 dx+(4 y 3+9 x2 y2 )dy= 0 es

Exacta. Porque:

1ea M = 6 x y3

y N = 4 y3 +9 x2 y2

,entonces:

∂ M ∂ y = 18 x y

2

=∂ N ∂ x Como sus

derivadas parciales son iguales, seasegura que la ecuación diferencialobtenida es exacta

"uego:∂ f ∂ x

= 6 x y3 y∂ f ∂ y

= 4 y3 +9 x2 y2

Entonces:f ( x , y)=∫ 6 x y3 dx+g ( y)→ f ( x , y)= 3 x2 y3 +g(

+sí:∂ f ∂ y = 9 x

2

y2

+g ´ ( y)= 4 y3

+9 x2

y2

Por consiguiente:g ´ ( y)= 4 y3 →∫ g ´ ( y)= ∫ 4 y3 dy → g ( y)= y4

e esta forma la solución de laEcuación en forma implícita es

3 x2 y3 + y4 = c


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RA-ON O E>PLICACION

D. y2+ yx¿ dx − x2 dy= 0

( y2+ yx¿ dx − x2 dy= 0

m (x, ! " y2+ yx , m(tx, t ! "

t 2 y2 +tytx " y2

t 2 ¿ # x!

n (x, ! " − x2

, n (tx, t ! " t 2 (− x)2

"− x2

t 2 ¿ !

∝ = 2 β "$

%denti&camos cual es el termino m eltermino n, como podemos observarhaciendo la comprobación m n son degrado $ por lo tanto es una ecuacióndiferencial homog'nea

(ux)(¿¿2 + xux)dx− x2 (udx + xdu)

¿

Aplicamos la sustitución para resolvereste tipo de ecuaciones:

y= ux→dy = udx+ xdu

u2 x2 +u x2 dx− u x2 +dx + x3 du perando los t'rminos

x2(u 2 dx +udx − udx + xdu) )acando el factor com*n

udx (¿¿2 )

¿

perando nuevamente se observa que

pasando x2

Al otro lado se simpli&ca

operando agrupando diferencialesel resto de la expresión nos que de estaforma.

− 1 x

dx = 1u 2

)eparando los diferenciales dx du nos

queda esta expresión. +a aplicando la sustitución diferencialhomog'nea nos ha llevado a quetenemos una ecuación diferencialseparable.

nm


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− 1 x

dx= ¿∫ 1u2

du

∫ ¿

Procedo a integrar a ambos lados.

lnx"

1

u #c

-espu's de reali ar la integración nos

que esta expresión

lnx" x y #c → "

xc1 − ln ( X )

)e sustitu e la u para hallar la solución&nal.


RA-ON O E>PLICACION

E. ( x2+ 2 y2 ) dx

dy− xy= 0 Podemos

y= ux →dy = udx + xdu 1e tiene

( x2+2 y2 x2 )dx− μ2 x2 (u dx + x du)= 0

x2 dx +2 μ2 x2 dx− u2 x2 dx− u x3 du= 0

x2 (1− u 2 )dx− u x3 du = 0dx x

− u du1 +u2

= 0

/ntegramos

∫ dx x −∫ u du1 +u2

= 0

ln | x|−∫ u du1 +u2 = 0

Pero

∫ u du1+ u2

2acemos que

x= r +u2 Por lo tanto


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dx= 2 udu

dx2

=u du

¿∫

dx

2 x

¿ 12 ∫

dx x

= 2 ln | x| →∫ u du1+u2

¿ 12

ln |1 +u2|+C

ln | x|− 12

(1 +u 2)= 0 +C

ln | x|− 12 (1 +u2)= C

Por propiedades de logaritmos y como 4es constante tenemos que

x2

(1+u 2 )= C 1

como

y= ux →u = x y

empla%ando

x2

(1+u 2 )= C 1

x2= C 1 (1 +u2 )

x2= C 1(1 + y2 x2 ) x4= C 1 ( x2 + y2 )

Dando el resultado final

DESARROLLO DE LA ACTI#IDAD COLA$ORATI#A

Pr =era A3t 7 dad


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Considere un !ran tanque que contiene 1 * de a!ua, dentro del cual una solución salada desal+uera e+pieza a fluir a una elocidad constante de # * +in. *a solución dentro del tanque se+antiene bien a!itada - flu-e "acia el e terior del tanque a una elocidad de #* +in. /0 laconcentración de sal en la sal+uera que entra en el tanque es de 1 ! *, deter+ine cuando ser2 de1 '3! * la concentración de sal en el tanque.

PROPOSICION ENUNCIADO OE>PRESION )ATE)ATICA

RA-ON O E>PLICACION


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Segunda A3t 7 dad

E*ERCICIO % SOLUCI,N PLANTEADA O$SER#ACIONES( ANE>OS()ODIFICACIONES A LA SOLUCI,N

PLANTEADAEnunciado:

5n paracaidista de masa 677 8g (incluyendo suequipo) se de&a caer de un avión que vuela a unaaltura de 777 m, y cae ba&o la influencia de lagravedad y de la resistencia del aire.1upongamos que la resistencia del aire es

proporcional a la velocidad del paracaidista encada instante, con constante de proporcionalidad37 9.s m con el paracaídas cerrado, y ;7 9.s mcon el paracaídas abierto. 1i el paracaídas seabre a los die% segundos del lan%amiento, #allar el instante apro!imado en el que el paracaidistallega al piso.


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Aue equivale addt (em! t )= g e m! t

/ntegrando respecto a t, tenemos

e! m

t = m

! g e

! m

t +C

= mg!

+C e− ! m

t

+plicando las condiciones iniciales, #aciendo

(0 )= 0 ,

0 =mg!

+C C = 0−mg!

Entonces la ecuación de la velocidad en cualquier

t

(t )= mg!

+(0 − mg! )e− ! m

t

Beniendo en cuenta que (t )=dxdt , y

#aciendo x(0 )= x0 , se llega a que

dxdt

= mg!

+( 0− mg! )e−! m

t

/ntegrando respecto a t

x= mg!

− m!

e− ! m

t +m

2 g! 2

e−! m

t +C

Entonces, x0=−m

! 0 e

− ! m

t +m

2 g! 2

e−! m

t +C

C = x0+m!

0 e− ! m

t − m

2 g! 2

e− ! m

t

e donde,

x(t )= mg!

t − m!

0 e− ! m

t + m

2 g! 2

e− ! m

t + x0 +

m!

0 e−

x(t )= mg!

t − m! (0− mg! )e

− ! m

t + x0 +

m! (

eagrupando,


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x(t )= mg!

t + m! (0 − mg! )(1 − e

− ! m

t )+ x04onsiderando la gravedad como

g= 10 m

seg2

y la tapa inicial en la que el

paracaídas est cerrado, donde x0= 0 , 0 = 0 y ! = 30 Ns/m ,

(t )= 1003

− 1003

e− 310

t y

x(t )= 1003

t +1000

9 e

− 310

t

"uego a los die% segundos, t = 10

(10 )" 31.6737 ms

la distancia recorrida por el paracaidistadurante los primeros die% segundos serapro!imadamente

x(t )= 227,7541 mPara la segunda etapa, es decir, cuando elparacaídas est abierto, se toma como instante

t = 0 aquel en el que el paracaídas se abre y

! = 90 N . sm , con lo que se tiene

x(0 )= 227,7541 m y (0 )= 31.6737 ms

Entonces, (t )=100

9 +20,5626 e

− 910

t y

x(t )= 1009

t − 22,8473 e− 910

t +250,6014

Entonces, como x(t )= 2000 tenemos,100

9 t − 22,8473 e

− 910

t + 250,6014 = 2000

Es decir, que t = 2,0563 e−910

t +157,4459

En la anterior ecuación el t-rmino


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2,0563 e−910

t se desprecia para valores de

tiempo relativamente grandes (mayores que 67),es decir, este valor tiende a cero, entonces,

t = 157,4459 seg . e aquí se deduce que elparacaidista tarda apro!imadamente,

10 seg +157,4459 seg = 167,4459 seg enllegar al suelo desde que se arro&ó del avión."a velocidad de -ste al llegar al suelo es de

apro!imadamente100

9 #mseg

= 11,11 #mseg


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CONCLUSIONES


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REFERENCIAS $I$LIOGR FICAS

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