planteo de ecuaciones

Facultad de Ciencias E Ingeniería

E.A.P. de Ingeniería: Electrónica y Telecomunicaciones

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH

Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: [email protected]

www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938

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TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES SEMESTRE: 2017 - I

TURNO: Mañana PABELLÓN: B AULA: 502 B SEMANA: 2 FECHA: 22/03/17

PLANTEO DE ECUACIONES

Representar en el lenguaje matemático, el

enunciado de un problema es lo que llamaremos en

adelante plantear una ecuación.

Entenderemos también que no todo enunciado o

frase u oración del lenguaje común puede ser

traducido al lenguaje matemático.

Si una determinada oración o frase de nuestro

lenguaje común es medible, entonces podemos

afirmar que tal enunciado puede ser expresado

en el lenguaje matemático.

¿Cómo podremos representar en el lenguaje

matemático situaciones de lenguaje común?

① Leemos varias veces con mucho cuidado la

situación o problema propuesto, con el fin de

establecer los datos que se nos proporciona y

aquello que se nos pide calcular.

② Esto último lo representamos por

una incógnita para lo cual usaremos por lo

general, las últimas letras del alfabeto: 𝑥 , 𝑦 ó 𝑧.

③ Escribimos la ecuación que exprese las

condiciones del problema.

④ Resolvemos dicha ecuación.

⑤ Interpretamos el resultado en el lenguaje

común.

Forma verbal forma simbólica

Un número desconocido

El triple de un número

Una cantidad aumentada

en 20

Un número disminuido en

60

60 disminuido en un

número

Seis veces el número de

lápices

El exceso de un número

sobre 50 es 10

“x” excede a “y” en 8

El doble de un número

aumentado en 3

El doble de la suma de un

número con 3

“a” es cuadro veces “b”

La relación que hay entre

2 números es 2 a 5

La suma de tres números

consecutivos es 18

La suma de tres números

impares consecutivos es

33

Tres números son

proporcionales a 3, 4 y 5

respectivamente

El doble del cuadrado de

un número

El cuadrado del doble de

un número

La cuarta parte de un

número

La tercer parte de un

número sumada con su

quinta parte






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EJEMPLOS DE APLICACIÓN:

1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en

18 equivale al triple de su valor.

Resolución:

Sea el número: x

Según el enunciado del problema:

x + 18 = 3x

Resolviendo:

18 = 2x

9 = x

. El número es 9

2. El exceso del doble de un número sobre 18 es

igual al triple del número disminuido en 10.

¿Cuál es el número?

Resolución:

Sea” x” el número

El exceso del doble del número sobre 18

es: 2x – 18

El triple del número disminuido en 10 es:

3(x – 10)

Luego, según el enunciado

2x – 18 = 3(x – 10)

Resolviendo:

2x – 18 = 3x – 30

12 = x El número es 12

3. Se tienen dos números, el mayor excede al

menor en 15 unidades. Si al menor se le

aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la

mitad del mayor

Resolución:

Recuerda que:

Si A excede a B en 15, entonces:

A + B = 15

Sean los números:

# menor = x

# mayor = x + 15

Según el enunciado

Resolviendo

4x + 3x = 2(x + 15)

7x = 2x + 30

5x = 30

x = 6

Luego los números son:

. 21156

6

# mayor

# menor

.

4. Hallar dos números sabiendo que uno excede

al otro en 8 unidades y que el menor es 35

unidades menos que el doble del mayor

Resolución:

Como nos dicen que uno de los números

excede al otro en 8, entonces

# menor = x

# mayor = x + 8

Del enunciado

Resolviendo:

x = 2x + 16 – 35

19 = x

Finalmente, los números son

27

19

# ma yor

# menor

5. La suma de tres números enteros

consecutivos es 47 unidades más que el

número menor. Hallar el mayor de los tres

números.

Resolución:

Sean los tres números enteros

consecutivos:

3 #

#4 2

3 15

4 2

mayormenor sus

xx x

35

2 8 35

# menor menos que el doble del # mayor

x x






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mayorermediomenor

xxx

#int##

2;1;

Del acuerdo a los datos del problema

x + (x + 1) + (x + 2)) x + 47

Resolviendo:

3x + 3 = x + 47

2x = 44

x = 22

Entonces # mayor = 22 + 2 = 24

6. Si se multiplica el menor y el mayor de los

tres números pares consecutivos, se obtiene

un número que es 96 unidades menos que el

producto del mayor y el segundo de los tres

mencionados. Halla dichos números.

Resolución:

Como los números pares consecutivos se

van generando de 2 en 2, entonces serán:

#erma yor##do#ermenor#

x;x;x

321

42

Del acuerdo a los datos:

x (x + 4) = (x + 4) (x + 2) – 96

Resolviendo:

x2 + 4x = x2 + 6x + 8 – 96

88 = 2x

44 = x

Luego dichos números son 44; 46 y 48

7. Si al triple de la edad que tenía Manuel hace

10 años, se le resta su edad actual, se obtiene

la edad que tendrá dentro de 5 años ¿Cuál es

su edad?

Resolución:

Sea “x” la edad actual de Manuel

Entonces:

Su edad hace 10 años era: (x – 10)

Su edad dentro de 5 años será: (x + 5)

Según datos:

3(x – 10) – x = x + 5

Resolviendo:

3x – 30 – x = x + 5

x = 35

Por lo tanto, la edad actual de Manuel es 35 años

8. Valeria dice: “Gasté los 2/7 de lo que tenía y

S/. 20 más, quedándome con la quinta parte

de lo que tenía y S/. 16 más.” ¿Cuánto tenía

Valeria?

Resolución:

Sea “x” el dinero que tenía Valeria

Si gasta los 7

2 de lo que tenía y S/. 20

más, le quedan:

207

520

7

220

7

2

xxxxx ... (I)

La quinta parte de lo que tenía y S/. 16

más es:

165

1x ... (II)

De acuerdo al enunciado del problema, las

expresiones (I) y (II) son equivalentes, o

sea:

165

120

7

5 xx

Resolviendo:

25x – 700 = 7x + 560

18x = 1260

x = 70

Luego Valeria tenía 70 soles

9. 9. Un estudiante lee 64 página de la novela

“Cien años de soledad”, y al día siguiente lee

1/3 de lo que le falta; si todavía le quedan por

leer los 4/7 del total de páginas, ¿Cuántas

páginas tiene dicha novela?

Resolución:

Sea “x” el total de páginas.

Según datos:

El 1er día lee 64 páginas, entonces le falta leer

(x - 64) páginas

El 2do día lee 3

64x páginas






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Y todavía le quedan por leer x7

4 páginas.

Se deduce que:

Lo que lee el primer día, más lo que lee el segundo

y más lo que le quedan por leer, será igual al total

de páginas. Entonces:

xxx

7

4

3

6464

Resolviendo:

MCM (3; 7) = 21

1 344 + 7(x – 64) + 12x = 21x

1 344 + 7x – 448 + 12x = 21x

896 = 2x 448 = x

Por lo tanto la novela tiene 448 página

PROBLEMAS 1. La edad de Johan aumentada en 8 es 27 ¿Cuál

es la edad de Johan?

2. El doble de un número disminuido en 70 es 48.


3. El triple de la suma de un número con 6 es 48


4. El número de hombres es 5 veces el número

de mujeres, si en total hay 42 personas, entre

hombres y mujeres ¿Cuántas mujeres hay?

5. El número de hombres es 5 veces más que el

número de mujeres, si en total hay 42

personas entre hombres y mujeres, ¿Cuántos

hombres hay?

6. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de

“A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?

7. El dinero que tengo aumentado en su mitad es

45 ¿Cuánto tengo?

8. Hallar un número, tal que al agregarle 432

obtengamos su triple disminuido en 8.

9. Al retirarse 14 personas de una reunión se

observa que ésta queda disminuida en sus 9

2

partes. ¿Cuántas quedaron? 10. A Sebastián le preguntan la hora y responde:

“Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas”. ¿Qué hora es?

11. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17

equivale a la diferencia entre los 5

3 del

número y sexta parte del mismo? 12. Noventa soles se reparten entre tres

hermanos proporcionalmente a sus edades que son como 5, 3 y 1; si se repartiera equitativamente, ¿Cuánto más recibiría el menor?

13. Doce es excedido por 18 en la misma medida

que el número es excedido por su triple. Hallar

el exceso de 20 sobre el número.

14. Tenía S/. 85, gasté cierta suma y lo que me

queda es el cuádruplo de lo que gasté ¿Cuánto

gasté?

15. El martes gané el doble de lo que gané el

lunes, el miércoles el doble de lo que gané el

martes, el jueves el doble de lo que gané el

miércoles; el viernes S/. 30 menos que el

jueves y el sábado S/. 10 más que el viernes.

Si en los 6 días he ganado S/. 911 ¿Cuánto gané

el miércoles?

16. Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da

6 pasos más que subiendo de cinco en cinco.

¿Cuántos peldaños tiene la escalera?

17. Compré el cuádruple del número de caballos

que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos

más y 5 vacas más tendría el triple de número






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de caballos que el de vacas. ¿Cuántos caballos

y cuántas vacas compré?

18. Calcular cuatro números consecutivos tales

que la tercera parte de la suma de los

mayores sea 10 unidades menos que la suma

de los dos primeros.

19. Al preguntar un padre a su hijo cuanto había

gastado de los 350 soles que le dio, éste

respondió: “He gastado las 4

3 partes de lo

que no gasté”. ¿Cuánto gastó?

20. AL comprar 20 naranjas, me sobra S/. 480,

pero al adquirir 24 naranjas, me faltarían

S/. 120 ¿Cuánto cuesta cada naranja?

Problemas

1. 5 Veces la suma de un número con 3 es igual a 40. hallar el número. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. El óctuplo de un número, más 5 es igual al quíntuplo de la suma del número con 10. Hallar el número. a) 12 b) 11 c) 10 d) 15 e) 16

3. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número?

a) 12 b) 22 c) 82 d) 46 e) 30

4. Hallar la medida de un ángulo, tal que el exceso del triple de su suplemento sobre el doble de su complemento es igual a 320º a) 20° b) 40° c) 10° d) 15° e) 60°

5. Hallar el mayor de cinco números enteros

consecutivos; sabiendo que el exceso de la

suma de los tres menores sobre la suma de

los dos mayores es 28.

a) 36 b) 34 c) 32 d) 30 e) 28

6. Hallar el menor de tres números

consecutivos; si sabemos que los 5

4 del

mayor exceden a los 4

3 del intermedio, en

una cantidad igual a la sexta parte del

menor disminuida en5

1

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

7. Hallar dos números cuya suma es 1060 y su

diferencia es 320.

a) 340 b) 350 c) 360 d) 370 e) 380

8. ¿A qué hora las horas transcurridas es igual

al décuplo de la midan de las que faltan

transcurrir?

a) 8am b) 6am c) 8pm d) 5pm e) 7am

9. Dos hermanos pesan juntos 152 kg y los 8

7

del peso del menor exceden en 3 kg a los 4

3

del peso del otro ¿Cuánto pesa cada uno?

a) 78 y 80 b) 72 y 80 c) 80 y 82 d) 76 y 81 e) 45 y 50

10. Se ha gastado $148, utilizando 72 billetes

de $1 y $5 ¿Cuántos de $1 se utilizó?

a) 53 b) 54 c) 55 d) 56 e) 57

Problemas y más problemas

1. Hallar un número que, aumentado en 14

equivale al triple del mismo número Rpta. 7

2. La suma de dos números consecutivos enteros

es 35 ¿Cuáles son esos números? Rpta.17 y

18

3. Hallar dos números sabiendo que uno excede

en 8 unidades al otro y que el menor

aumentado en su 3/5 es 5 unidades menos que

el mayor. Rpta. 13 y 5






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4. El triple de un número aumentado en 16

equivale al exceso de 60 sobre el mismo

número. Hallar dicho número. Rpta. 3

5. Un número más su mitad igual al exceso del

doble del mismo sobre 9. Hallar el doble de

dicho número. Rpta. 36

6. A un alambre se le da dos cortes de manera

que la longitud del primer trozo es los 2/9 del

total, y la del segundo 6 metros más que el

primero y la del tercero los 4/9 del total.

¿Cuál es la longitud total del alambre? Rpta.

54 m

7. La edad de Ernesto dentro de 8 años será el

doble de la edad que tuvo hace 5 años. ¿Cuál

es su edad actual? Rpta. 18 años

8. Hallar un número cuyos 7/8 excedan a sus

3/4 en 5. Rpta. 40

9. Si un número aumentado en 8 se multiplica por

el mismo número disminuido en 3, resulta el

cuadrado del número, más 76. ¿Cuál es el

número? Rpta. 20

10. La suma de tres números enteros

consecutivos, es lo mismo que el exceso de 39

sobre el menor de los números. ¿Cuál es el

número mayor? Rpta. 11

11. Si a un número se le suma 5, se multiplica por

la suma por 3, se le resta 6 del producto y se

divide la diferencia por 7, se obtiene un número

que tiene 5 unidades menos que el número

inicial. Hallar el número aumentado en 3. Rpta.

14

12. Ángel tiene 18 años más que Frank. hace 18

años la edad de Ángel equivalía a los 5/2 de la

edad de Frank. Hallar la edad que tiene Ángel.

Rpta. 48 años

13. Si al cuádruple de la edad que tenía hace 3

años, le resto el doble de la edad que tendré

dentro de 4 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es

mi edad? Rpta. 20 años

14. Las edades de Ángel, Beto y Carlos suman 53

años. la edad de Beto es 1/3 de la edad de

Carlos y la edad de Ángel es 4 años más que

la edad de Carlos ¿Cuál es la edad de Beto?

Rpta. 7 años

15. Andrea tiene cierta suma de dinero. Gastó

S/. 30 en libros y los 3/4 de lo que le quedaba

después del gasto anterior, en ropa, si todavía

le quedan S/. 30 ¿Cuánto tenía al principio?

Rpta. S/. 150

16. En 3 días Fiorella ganó 185 soles. Si cada día

ganó 3/4 de lo que ganó el día anterior

¿Cuánto ganó el primer día? Rpta. S/. 80

BIBIOGRAFIA:

ACADEMIA ADUNI, Asociación Aduni (2003)

Compendio académico de matemática Editor:

Lumbreras Lima

INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

(2008) Aritmética Análisis del número y sus

aplicaciones Edición: 3a ed. Editor: Instituto de

Ciencias y Humanidades Lima

REFERENCIA:

www.jacobiperu.com

http://www.jacobiperu.com/

planteo de ecuaciones

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