PLANTEO DE ECUACIONES

Ecuación es el idioma del Álgebra. Isaac Newton decía en su “Aritmética Universal” que para resolver un problema referido a cantidades o relaciones abstractas, había que traducir dicho problema del idioma inglés u otro, al Lenguaje del Álgebra.

¿Y cómo se hace la traducción?Para esto analicemos juntos las siguientes situaciones:

FO R M A V E R B A L FO R M A M ATE M Á T IC A

U n n ú m ero ...............

E l d o ble d e u n n úm ero ................. * S i el nú m ero es x ............ * S i el nú m ero es .......... ............

L a tercera parte d el d in ero q ue tengo ....* S i el d inero que tengo es x ............* S i el d inero que tengo es .......... ............

La edad que tendré dentro de 8 años * S i ho y tengo .................... .............

D os nú m ero s co nsecu tivos ...............* N úm ero M ayo r ............ ............

* N úm ero M eno r ............. ............

Tres nú m eros co n secu tivos ...............

* N úm ero M eno r

............. ............* N úm ero M ed io ............. ............* N úm ero M ayo r ............. ............

L a ed ad d e K o ry exced e a la deE lisa en 3 añ os ............

* *

P iu ra tien e el q uíntu ple d e h abitan tesd e C hiclayo

* *

E n u n au la el nú m ero d e varo n es esla cu arta parte d el d e m u jeres.........

* *

F O R M A V E R B A L F O R M A M A T E M Á T IC A

A exced e a B en 5 u nidades ........... * *

Tengo 6 anim ales en tre p erro s ygatos ............

* *

E n u n exam en d e 8 p regu ntasresp on d í tod as, a lgu nas m al pero elresto b ien ................

* *

J o sé nació 4 año s an tes q ue M aría ..... * *

D os nú m ero s se d iferen cian en 7 ............ * *

D os nú m ero s cu ya sum a es 1 5 ........... * *

DIOFANTO(Grecia, siglo III a.C.)• Considerado como el inaugarador del álgebra sincopada (empleo de asignaturas y signos, además de

símblolos).• Con Diofanto se inicia aunque no muy nítidamente un nuevo concepto del número, necesario para el

desarrollo del álgebra.• Antes de él los enunciados de los problemas y su solución eran largos procesos a bases de lenguaje

corriente, procedimiento que además servía sólo para ese problema resuelto; no existía pues el concepto generalización.

• En cambio los problemas de Diofanto se refieren a los números abstractos. Además, además es quien inicia en el álgebra el empleo algunas abreviaturas para simplificar el razonamiento

• Diofanto tuvo predilecciones por las ecuaciones indeterminadas. Inicia el verdadero simbolismo, el método analítico en la resolución de los problemas

• Por todo eso se considera a Diofanto como el padre del álgebra.

AL – KUWARIZMI(Arabia)Antiguamente el Álgebra de los árabes representado por el célebre Abuaddalá Mohamed, conocido

como Al – Kuwarizmi, era de carácter retórico (resolución de problemas con el lenguaje corriente).

Designaron a la incógnita con el nombre de la “cosa”, que en árabe es “xai” y cuya letra inicial “x” se tomó posteriormente para representar la incognita, y así es como llegó más tarde hasta nosotros.

Problema 1Un devoto rogó a Júpiter que le duplicara el número de monedas que tenía en el bolsillo y que por ello

le pagaría 8 monedas. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que hiciera igual milagro y pagó 8 monedas; finalmente rogó a Mercurio que le duplicará el número de monedas y le pago 8 monedas, así se encontró finalmente poseedor de nada. ¿Cuántas monedas tenía al inicio?Resolución Antigua

Llamemos “cosa” al capital inicial; lo duplicó y tuvo dos cosas; pagó 8 monedas y le quedaron 2 cosas menos ocho monedas. Duplicó la segunda vez y tuvo cuatro cosas menos dieciséis monedas, pero como pagó ocho monedas le quedaron cuatro cosas menos veinticuatro monedas. Lo duplicó la tercera vez y tuvo ocho cosas menos cuarenta y ocho monedas, pero como volvió a pagar 8 monedas, le quedaron ocho monedas menos cincuenta y seis monedas.Por consiguiente:

“8 cosas = 56 monedas”“de donde: cosa = 7 monedas”

Resolución Actual

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Problema 2.Una secretaria en una oficina contable recibe el día lunes una apreciable cantidad de informes, de los

cuales ordena en el archivador sólo una parte, el martes recibe tantos informes como había ordenado el día lunes, pero sólo pudo ordenar 25, el miércoles recibe 5 informes más que el lunes, y ordena tantos como lunes; el jueves recibe la mitad de los que ordenó el miércoles y ordena 23 informes; el miércoles recibe un informe menos que el jueves, y ordena 20, el sábado no recibe informes y ordena los 16 que quedan, el domingo descansó. ¿Cuántos informenes recibe el día lunes?Resolución:

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PRACTICA

1. Homero lavando autos es más rápido que Pericles en la proporción de 4 a 3. Cuando Pericles lava “n” autos en una hora. Homero lava “n + 2” autos en el mismo tiempo. ¿Cuántos autos lava Pericles en 4 horas?

Rpta.: ..................................................

2. Los ahorros de Jorge son: (x + 1); (3x – 5)y (x + 3) billetes de 50; 100 y soles respectivamente. ¿A cuánto ascienden los ahorros de Jorge si al cambiarlos en billetes de 10 soles, el número de billetes obtenidos es 44 veces más que el número de billetes de 50 soles?

Rpta.: ..................................................

3. Un salón está iluminado por 48 focos y otro salón está a oscuras. Si en el primer salón se apagan 4 focos y el segundo se encienden 2, y esta operación se repite hasta que ambos salones queden con igual número de focos encendidos, entonces el número total de focos encendidos es:

Rpta.: ..................................................

4. Un gavilán cruza en vuelo con lo que aparece un centenar de palomas pero una de ellas lo saca del error; no somos cien, le dice si sumamos las que somos, más tantos como las que somos, más la mitad de los que somos y la mitad de la mitad de los que somos, en ese caso, contigo; gavilán seríamos 100. ¿Cuántas palomas había en la bandada?

Rpta.: ..................................................

5. Se tienen dos cilindros conteniendo cerveza, del primero se echa al segundo tantos litros como litros habían en el segundo; luego del segundo se hecha al primero tantos litros como había en el primero después de la primera operación y finalmente del primero se hecha al se hecha al segundo tantos litros como había quedado en este después de la segunda operación. Si ambos terminan con 40 litros. Determinar, ¿Cuántos litros tenía cada uno en un comienzo?

Rpta.: ..................................................

6. En una isla desierta hay 11 personas que pueden consumir sus viveres en 20 días, luego del primer día del siguiente mes llega a la isla un naufrago, al segundo día dos, al tercer día tres, y así hasta que la cantidad de náufragos puedan consumir la cantidad de víveres que consumieron las once personas en 20 días. ¿Para cuántos días alcanzó los víveres a los náufragos’?

Rpta.: ..................................................

7. Una señorita muy enamorada quiere plantar en un terreno en forma cuadrada rosales a igual distancia unos de otros, tanto a lo largo coma a lo ancho. La primera vez que lo intenta le faltan 15 rosales, pero la segunda vez pone una menos en todo el sentido y entonces le sobran 32. Si de todas las rosas que obtuvo regaló todas menos las que regaló ¿Cuántas regaló si cada rosal tenía solamente 2 rosas?

Rpta.: ..................................................

8. Un hombre compró cierto número de libros, si hubiera comprado 5 libros más por el mismo dinero, cada libro le habría costado 2 soles menos, si hubiera comprado 5 libros menos por el mismo dinero cada libro le habría costado 4 soles más ¿Cuántos libros compró cuanto pago por cada uno?

Rpta.: ..................................................

9. Tres equipos de fútbol “A” “B” y “C” después de tres partidos, en los cuales cada uno jugó con los otros dos, tienen anotados los siguientes goles a favor (G.F) y goles en contra (G.C.) ¿Cuál fue el resultado del partido del equipo “A” con “B”, si “A” ganó por máxima cantidad de goles a “C”?

Entonces:I. “A” gana 6 – 4 II. “A” gana 3 – 1III. “A” gana 5 – 1 IV. “A” gana 7 – 3V. “A” gana 6 – 5

Rpta.: ..................................................

10. Un padre reparte entre sus hijos una suma de dinero de la siguiente manera, al primero le da 1000 soles y la décima parte del resto, al segundo 2000 soles y la décima parte del resto, al tercero 3000 soles y la décima parte del resto y así sucesivamente, al final se da cuenta que cada uno de ellos recibió la misma cantidad, que es igual a:

Rpta.: ..................................................

PROBLEMAS

1. Jaimito estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o por el mismo precio, 9 vacas y 9 conejos. Decide comprar el mismo número de animales con el mismo dinero. ¿Cuántos animales compró?A) 28 B) 30 C) 20 D) 24 E) 40

2. Un alumno ha de multiplicar un número un número con 50, pero al hacerlo se olvida del cero a la derecha, hallando así un producto que se diferencia del verdadero en 11610. ¿Cuánto se obtiene si divide dicho número con 50?A) 5,16 B) 7,74 C) 10,32D) 2.68 E) 6

3. En dos factores, donde uno de ellos posee dos cifras, si a este factor se le disminuye la suma de sus cifras, el producto se reduce a la mitad. Indicar la suma de las dos cifras

A) 9 B) 2 C) 21 D) 18 E) 15

4. Dos personas trabajan juntos, ganando diariamente uno 2 soles más que el otro. Después de igual número de días trabajados reciben 240 soles uno y 210 soles el otro. ¿Cuánto gana por día uno de ellos?A) 15 B) 18 C) 16 D) 11 E) 20

5. De un grupo de obreros se sabe que la cuarta parte de ellos cobra un jornal de S/. 50; la mitad cobra S/. 30 y el resto un jornal de S/. 20. Si por 15 días de trabajo cobraron un total de S/. 39000. Calcule el número de obreros de la fábrica.A) 80 B) 60 C) 85 D) 40 E) 100

6. Fiorella quiere plantar sus árboles igualmente espaciados en un terreno cuadrado de 288 m de lado. Si la separación entre árbol y árbol fuese do 3 m le faltaría 2400 árboles. Determinar la distancia que debe haber entre ellos de manera que lo sobren 1680 árboles?A) 1 m. B) 2 m. C) 3 m. D) 4 m.E) 5 m.

7. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean locetones de 5 0×50 cm. Si el patio tuviera un metro más por cada lado, se habría necesitado 140 locetones más, ¿Cuánto mide cada lado del patio?A) 14,5 m. B) 16 m. C) 12,50 m.D) 15,50 m. E) 17 m.

8. Un jugador “A” le da ventaja a otro “B” 40 carambolas para 100 y “B” le da ventaja a otro “C” 60 carambolas para 100, ¿Cuántas carambolas debe dar “A” y “C” en un partido de 100?A) 73 B) 74 C) 75 D) 76 E) 77

9. En un corral hay cierto número, de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 354. Si los gallinas se acomodan en grupos de 2; 3; 4 ó 5 siempre sobra 1, pero si se acomodan en grupos de 7, sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en el corral si se añaden 6 más?A) 361 B) 363 C) 356D) 367 E) 369

10. Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre, se posó sobre un jazmín habiendo dejado a 8/9 del enjambre, sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba entorno a un loto, atraída por el zumbido de sus amigas que cayo imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia. ¿Cuántas abejas forman el enjambre?

A) 69 B) 72 C) 71 D) 88 E) 83

Planteo de cuaciones I

1. ¿Recuerda el año en que Guttemberg inventó la imprenta? pues si no, encuéntrelo, sabiendo que la cifra de las unidades es el doble de la de las decenas; la de los millares es igual a la diferencia entre la de las centenas y la de las decenas y la suma de las cuatro cifras es igual a catorce. Además si al año se le suma 4905, resulta el mismo número pero invertido.

Rpta.: ..................................................

2. En una “combi pirata”, el pasaje de los adultos de S/. a y el de los niños es de S/. b, si en total subieron 5(a + b) pasajeros y la recaudación de S/. (3a2 + 2b2 + 5ab), ¿Cuántos adultos más que niños subieron al mencionado transporte?.

Rpta.: ..................................................

3. Hallar un número sabiendo que su raíz cuadrada da por resto tres y que sumando 1410 al número, la raíz cuadrada de la suma es el doble, más uno, de la raíz anterior, y el resto cinco.

Rpta.: ..................................................

4. Un niño nació en noviembre, y el 10 de diciembre, tiene una edad igual al número de días transcurridos del 11 de noviembre al día de su nacimiento. Calcule la fecha de nacimiento de dicho niño:

Rpta.: ..................................................

5. Un comerciante posee una máquina que pone la etiqueta a 500 envases en 8 minutos. Desea adquirir otra máquina de tal manera que cuando ambas funcionen simultáneamente, puedan hacer el mismo trabajo en solo 2 minutos ¿Cuánto tiempo emplea la segunda máquina para ponerle las etiquetas a 500 envases?

Rpta.: ..................................................

6. Si compró b artículos a b + 2 dólares cada uno, me sobran 3b – 1 dólares. Sin embargo, si cada artículo costara 2 dólares más, sólo me sobrarían 60 dólares, ¿Cuánto cuesta cada artículo en el primer caso?

Rpta.: ..................................................

7. Carlos tiene S/. 28.25 entre monedas de 1 sol, 50 centavos y 25 centavos.Si todas las monedas se colocan en contacto por sus bordes perfectamente alineados, forman una longitud de 1057 m. Determine cuántas monedas de cada clase hay, si se sabe que por cada moneda de 50 centavos hay tres de 1 sol. Considere que los diámetros de las monedas son de 28 mm, 22 mm y 21 mm en cada caso.

Rpta.: ..................................................

8. Se tiene dos toneladas de vino de precios diferentes, conteniendo el primer tonel a litros y el segundo b litros. Se saca de cada tonel la misma cantidad de vino y se echa en el primero lo que se ha sacado del segundo y lo del segundo al primero, ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un tonel al otro si el contenido de vino de los dos ha resultado de igual cantidad?

Rpta.: ..................................................

9. Calcule la cantidad de dinero que tienen tres personas sabiendo que si se  añade a la primera la mitad de lo que tienen las otras dos resultan 150 soles; si se añade a la segunda la mitad de lo de las demás, tiene 165 soles; y añadiendo a la tercera la mitad de lo de las otras, tiene 185 soles.

Rpta.: ..................................................

cantidad de vino y se echa en el primero lo que se ha sacado del segundo y lo del segundo al primero, ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un tonel al otro si el contenido de vino de los dos ha resultado de igual cantidad?

Rpta.: ..................................................

9. Calcule la cantidad de dinero que tienen tres personas sabiendo que si se  añade a la primera la mitad de lo que tienen las otras dos resultan 150 soles; si se añade a la segunda la mitad de lo de las demás, tiene 165 soles; y añadiendo a la tercera la mitad de lo de las otras, tiene 185 soles.

Rpta.: ..................................................

10. Calcule un número de tres cifras sabiendo que la cifra de las unidades es igual al producto de las otras dos; que la cifra de las decenas es media proporcional entre las otras dos y que la inversa de la cifra de las centenas es igual a la inversa de la cifra de las decenas, más el doble de la inversa de la cifra de las unidades

Rpta.: ..................................................

Problemas

Preguntado Filogonio por el número de ovejas de su rebaño, contesta: “Este número multiplicado por dos veces el mismo resulta ¿cuántas ovejas tiene Filogonio?A) 34 B) 29 C) 43 D) 38 E) 17

2. De cada vértice de un cartón rectangular de 54 cm2 de área, se cortó un cuadrado de 2 cm de lado para luego formar una caja de 44 cm3 de volumen, ¿Cuál era el perímetro, expresado en centímetros, del cartón original?A) 12 B) 32 C) 28 D) 16 E) 24

3. De dos velas de igual calidad diámetro, una tiene 24 cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la vela menor, ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor en centímetros, si duró 270 minutos?A) 60 B) 71 C) 56 D) 62 E) 72

4. Un inspector diariamente, de lunes a sábado, se dedica a visitar colegios. Por visitar colegios particulares gana S/. 20 más que por visitar colegios nacionales. En 5 semanas ha ganado S/. 350. ¿Cuántos colegios nacionales ha visitado sabiendo que por visitar 4 colegios particulares gana S/. 50 más que por visitar 10 colegios nacionales?A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 207

5. Hace 5 minutos, la cantidad de minutos que han pasado desde las 8.00 a.m. es 15 veces del número de meses que han pasado del año. Si la cantidad de minutos que han pasado desde las 8:00 a.m. hasta el momento excede en 117 a los meses transcurridos del año. ¿Qué hora es?A) 8:06 a.m. B) 8:10 a.m.C) 10:05 a.m. D) 10:10 a.m.E) 10:08 a.m.

6. Si sumas las edades que tuve, tengo y tendré, obtendrás el triple de la edad que tengo; si mi edad es ocho años mayor que la edad que tuve, ¿cuántos años más tendré, pasados diez años de la edad que cumpliré con respecto a la edad que tuve diez años antes de la edad que ya te dije que tuve?A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

7. En una fiesta a la cual concurrieron menos de 2000 personas se observó en un momento que el número de mujeres que bailaba era k3 y el número de las que no lo hacían era k; el número de varones que bailaba era n2 y el número de los que no lo hacían era n, ¿Cuál fue el número exacto y total de asistentes, si éste fue el mayor posible?A) 1500 B) 817 C) 811D) 929 E) 999

8. Un vendedor de frutas tiene cierto número de naranjas, las cuales quiere disponer de modo que formen un cuadrado. Si el cuadrado fuera compacto, sobrarían 88 naranjas; pero, si el centro estuviera vacío podría colocar 4 naranjas más en cada columna y fila exterior, sin que sobre ninguna. Si se sabe que para llenar el cuadrado vacío se necesitan 144 naranjas ¿Cuántas naranjas tiene el vendedor?A) 825 B) 817 C) 811D) 929 E) 949

9. Se tienen tres grupos de clavos, cuyas cantidades son números consecutivos crecientes; si del segundo y del tercero se pasan al primero igual número de clavos, resulta que lo que hay ahora en el primero y lo que queda en el tercero están en la relación de 14 es a 9 y lo que queda en el segundo con el tercero, en la relación de 17 es a 18. ¿Cuántos clavos hay ahora en el primero?A) 20 B) 21 C) 23 D) 22 E) 28

10. En un autobús el pasaje adulto, universitario y escolar cuestan S/. 4; S/. 2 y S/. 1 respectivamente. En su viaje de ida subieron un determinado número de adultos, universitarios y escolares, recaudando una cierta cantidad de dinero. Si en su viaje de regreso subieron un adulto menos, dos universitarios más y el doble de escolares con relación a su viaje anterior, racaudando 3 soles más que en el viaje anterior. ¿Cuántos escolares subieron en el primer viaje?.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

PLANTEO DE ECUACIONES II1. ¿Recuerda el año en que Guttemberg inventó la imprenta? pues si no, encuéntrelo, sabiendo que la

cifra de las unidades es el doble de la de las decenas; la de los millares es igual a la diferencia entre la de las centenas y la de las decenas y la suma de las cuatro cifras es igual a catorce. Además si al año se le suma 4905, resulta el mismo número pero invertido.

Rpta.: ..................................................

2. En una “combi pirata”, el pasaje de los adultos de S/. a y el de los niños es de S/. b, si en total subieron 5(a + b) pasajeros y la recaudación de S/. (3a2 + 2b2 + 5ab), ¿Cuántos adultos más que niños subieron al mencionado transporte?.

Rpta.: ..................................................

3. Hallar un número sabiendo que su raíz cuadrada da por resto tres y que sumando 1410 al número, la raíz cuadrada de la suma es el doble, más uno, de la raíz anterior, y el resto cinco.

Rpta.: ..................................................

4. Un niño nació en noviembre, y el 10 de diciembre, tiene una edad igual al número de días transcurridos del 11 de noviembre al día de su nacimiento. Calcule la fecha de nacimiento de dicho niño:

Rpta.: ..................................................

5. Un comerciante posee una máquina que pone la etiqueta a 500 envases en 8 minutos. Desea adquirir otra máquina de tal manera que cuando ambas funcionen simultáneamente, puedan hacer el mismo trabajo en solo 2 minutos ¿Cuánto tiempo emplea la segunda máquina para ponerle las etiquetas a 500 envases?

Rpta.: ..................................................

6. Si compró b artículos a b + 2 dólares cada uno, me sobran 3b – 1 dólares. Sin embargo, si cada artículo costara 2 dólares más, sólo me sobrarían 60 dólares, ¿Cuánto cuesta cada artículo en el primer caso?

Rpta.: ..................................................

7. Carlos tiene S/. 28.25 entre monedas de 1 sol, 50 centavos y 25 centavos.Si todas las monedas se colocan en contacto por sus bordes perfectamente alineados, forman una longitud de 1057 m. Determine cuántas monedas de cada clase hay, si se sabe que por cada moneda de 50 centavos hay tres de 1 sol. Considere que los diámetros de las monedas son de 28 mm, 22 mm y 21 mm en cada caso.

Rpta.: ..................................................

8. Se tiene dos toneladas de vino de precios diferentes, conteniendo el primer tonel a litros y el segundo b litros. Se saca de cada tonel la misma cantidad de vino y se echa en el primero lo que se ha sacado del segundo y lo del segundo al primero, ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un tonel al otro si el contenido de vino de los dos ha resultado de igual cantidad?

Rpta.: ..................................................

9. Calcule la cantidad de dinero que tienen tres personas sabiendo que si se  añade a la primera la mitad de lo que tienen las otras dos resultan 150 soles; si se añade a la segunda la mitad de lo de las demás, tiene 165 soles; y añadiendo a la tercera la mitad de lo de las otras, tiene 185 soles.

Rpta.: ..................................................10. Calcule un número de tres cifras sabiendo que la cifra de las unidades es igual al producto de las

otras dos; que la cifra de las decenas es media proporcional entre las otras dos y que la inversa de la cifra de las centenas es igual a la inversa de la cifra de las decenas, más el doble de la inversa de la cifra de las unidades

Rpta.: ..................................................

1. Preguntado Filogonio por el número de ovejas de su rebaño, contesta: “Este número multiplicado por

dos veces el mismo resulta ¿cuántas ovejas tiene Filogonio?A) 34 B) 29 C) 43 D) 38 E) 17

2. De cada vértice de un cartón rectangular de 54 cm2 de área, se cortó un cuadrado de 2 cm de lado para luego formar una caja de 44 cm3 de volumen, ¿Cuál era el perímetro, expresado en centímetros, del cartón original?A) 12 B) 32 C) 28 D) 16 E) 24

3. De dos velas de igual calidad diámetro, una tiene 24 cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la vela menor, ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor en centímetros, si duró 270 minutos?A) 60 B) 71 C) 56 D) 62 E) 72

4. Un inspector diariamente, de lunes a sábado, se dedica a visitar colegios. Por visitar colegios particulares gana S/. 20 más que por visitar colegios nacionales. En 5 semanas ha ganado S/. 350. ¿Cuántos colegios nacionales ha visitado sabiendo que por visitar 4 colegios particulares gana S/. 50 más que por visitar 10 colegios nacionales?A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 207

5. Hace 5 minutos, la cantidad de minutos que han pasado desde las 8.00 a.m. es 15 veces del número de meses que han pasado del año. Si la cantidad de minutos que han pasado desde las 8:00 a.m. hasta el momento excede en 117 a los meses transcurridos del año. ¿Qué hora es?A) 8:06 a.m. B) 8:10 a.m.C) 10:05 a.m. D) 10:10 a.m.E) 10:08 a.m.

6. Si sumas las edades que tuve, tengo y tendré, obtendrás el triple de la edad que tengo; si mi edad es ocho años mayor que la edad que tuve, ¿cuántos años más tendré, pasados diez años de la edad que cumpliré con respecto a la edad que tuve diez años antes de la edad que ya te dije que tuve?

A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

7. En una fiesta a la cual concurrieron menos de 2000 personas se observó en un momento que el número de mujeres que bailaba era k3 y el número de las que no lo hacían era k; el número de varones que bailaba era n2 y el número de los que no lo hacían era n, ¿Cuál fue el número exacto y total de asistentes, si éste fue el mayor posible?A) 1500 B) 817 C) 811D) 929 E) 999

8. Un vendedor de frutas tiene cierto número de naranjas, las cuales quiere disponer de modo que formen un cuadrado. Si el cuadrado fuera compacto, sobrarían 88 naranjas; pero, si el centro estuviera vacío podría colocar 4 naranjas más en cada columna y fila exterior, sin que sobre ninguna. Si se sabe que para llenar el cuadrado vacío se necesitan 144 naranjas ¿Cuántas naranjas tiene el vendedor?A) 825 B) 817 C) 811D) 929 E) 949

9. Se tienen tres grupos de clavos, cuyas cantidades son números consecutivos crecientes; si del segundo y del tercero se pasan al primero igual número de clavos, resulta que lo que hay ahora en el primero y lo que queda en el tercero están en la relación de 14 es a 9 y lo que queda en el segundo con el tercero, en la relación de 17 es a 18. ¿Cuántos clavos hay ahora en el primero?A) 20 B) 21 C) 23 D) 22 E) 28

10. En un autobús el pasaje adulto, universitario y escolar cuestan S/. 4; S/. 2 y S/. 1 respectivamente. En su viaje de ida subieron un determinado número de adultos, universitarios y escolares, recaudando una cierta cantidad de dinero. Si en su viaje de regreso subieron un adulto menos, dos universitarios más y el doble de escolares con relación a su viaje anterior, racaudando 3 soles más que en el viaje anterior. ¿Cuántos escolares subieron en el primer viaje?.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

TANTO POR CIENTO

REGLA DEL TANTO POR CUANTOEl “tanto por cuanto” o “tanto por n” es el número de partes que se toma de una unidad (todo o total) dividida en “n” partes iguales.Forma General:

.....“m ” p artes

“n” p artes

mn

Es decir que a una cantidad se le ha dividido en “n” partes iguales y de ella se toman “m” partes.Luego:

m : tantas partes que se toman del totaln: en cuantas partes se divide el total

Entonces tenemos:* “m” partes por cada “n” partes*

Ejemplo:* El 6 por 80 < > ....* El 7 por 14 < > ....* El 9 por 90 < > ....

¡Prueba tu habilidad!¿A cuánto equivale el 7 por 14 del 2 por 5 de 500?

Resolución:

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................REGLA DEL TANTO POR CIENTO

Es el número de unidades tomadas de una cantidad considerada como equivalente a 100.

.... .110 0

110 0

110 0

110 0

110 0

1

10 0 pa rtes igua les

1 1%100

Completar:

La región sombreada equivale al ..... del total del triángulo.

Equivalencias Importantes20 % < > < > 1/540% < > < > 2/550% < > < > 1/275% < > < > 3/4

100% < > < > 1

PERACIONES CON PORCENTAJES1. Adición: a % N + b% N = (a + b)% N2. Sustracción: m% N – n% N = (m – n)% N3. Toda cantidad es el 100% de sí misma

N = 100% N4. Disminución Porcentual

N - a% N = 100%N - a%N = (100-a%)N

“De; del; de los” indican multiplicación.a% del b% del c% de

¡PRUEBA TU HABILIDAD!a) Calcula: A%N + B%N - C%N - D%N

Resolución:

....................................................................

....................................................................

b) Determina:El 3 por 15 del 20 por ciento del 500 por 1000 de 6250.Resolución:

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....................................................................c) Reducir: 20% (6N) + 15% (4N) - 3%(5N)

Resolución

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El año pasado el 90% de los clientes de cierto abogado fueron hallados inocentes. De los culpables, el 20% fue encarcelado, ¿qué tanto por ciento de sus clientes no fue encarcelado?

Rpta.: ..................................................

2. El 95% de los alumnos de la UNI y el 30% de los de la UNFV son varones. Si las poblaciones estudiantiles de las respectivas universidades son entre sí como 3 es a 8, ¿qué porcentaje ocupan las mujeres de ambas universidades reunidas con respecto al total de alumnos?

Rpta.: ..................................................

3. En las últimas elecciones el 38% de los sufrangantes estaba formado por mujeres: se sabe que el 70% de las mujeres no ha votado por el partido “Sol” y el 35% de los varones si votó por dicho partido. ¿Qué tanto por ciento de la votación alcanzó el partido “Sol”?

Rpta.: ..................................................

4. Tres descuentos sucesivos del 20% cada uno equivale a un único descuento de:

Rpta.:

Un aumento de 30% seguido de un descuento de 30%, ¿a qué aumento o descuento único equivalen?

Rpta.: ..................................................

6. En la expresión: , ¿en cuánto varía el valor de K si x aumenta en 10% y disminuye en 20% y z aumenta en 125%?

Rpta.: ..................................................

7. Si el área de la superficie esférica aumentó en un 44%, ¿en qué tanto por ciento aumentó su volumen?

Rpta.: ..................................................

8. Jorge siempre ahorra el 80% de su sueldo mensual. Si este mes recibe un aumento igual a de su sueldo, ¿qué porcentaje de su sueldo original ahorrará ahora Jorge?

Rpta.: ..................................................9. Un arrendador dispuso que cada dos meses el alquiler de su inmueble debe aumentar en un 10% del

monto correspondiente al periodo inmediato anterior. Si finalizado el tercer periodo debe recibir S/. 6050, ¿cuánto fue el alquiler incial que pagó el inquilino?

Rpta.: ..................................................

10. Tú tienes S/. 10 más que yo. ¿En cuánto variará el promedio del dinero que tenemos si yo pierdo el 20% de lo que tengo y tú ganas el 20% de lo que tienes?

Rpta.: ..................................................

1. En cierta aula de un colegio mixto, el 33% del número de mujeres es el 17% del número de varones. ¿Qué porcentaje del 68% del total de estudiantes es el número de mujeres?

A) 62,5% B) 70% C) 77%D) 80% E) 50%

2. De “n” alumnos de un colegio cuya estatura promedio es 1,65m., el 30% son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,58m., ¿cuál es el promedio de estatura de los varones en dicho grupo?

A) 1,66m. B) 1,68m. C) 1,70m.D) 1,69m. E) 1,72m.

3. A Periquito su mamá le dice: “De todos los caramelos que hay en este frasco sólo comerás el 20% diariamente”. Después de 3 días, ¿qué porcentaje del total de caramelos comió?

A) 60% B) 50% C) 51,2%D) 48,8% E) 40%

4. De una mina A rica en plata al 70% y de otra mina B rica en plata al 85% se han extraído en total 54 toneladas con 80% de plata. ¿Cuántas toneladas de mineral se extrajeron de cada una de las minas?

A) 28 y 26 B) 18 y 36 C) 19 y 35D) 27 y 27 E) 20 y 34

5. A un triángulo se triplica su base y se duplica su altura. ¿En qué porcentaje aumentó su área original?A) 100% B) 200% C) 600%D) 400% E) 500%

6. Si el largo de un rectángulo aumenta en 30%, ¿en qué porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en 9%?

A) 25% B) 30% C) 42%

D) 56% E) 38%

7. Si en un aula de la academia hay 7500 estudiantes y el 87% de las mujeres y el 12% de los varones se retiran, el 12% de los que quedan serían mujeres. ¿Cuántos varones se retitaron?

A) 468 B) 375 C) 492D) 282 E) 105

8. Periquito compra una manzana, al otro día compra otra y le cobran el 20% más, al día siguiente otra y también paga el 20% más que el día anterior. Si por las 3 manzanas Periquito gastó S/. 29,12; ¿cuál fue el precio de la primera manzana?

A) S/. 7,50 B) S/. 11,50C) S/. 8 D) S/. 9,50E) S/. 6,40

9. Una persona tiene S/. 120000, colocada una parte al 3% y la otra al 5%, de este modo se logra un interés anual de S/. 5300. Calcule el menor de los capitales.

A) S/. 7,50 B) S/. 11,50C) S/. 8 D) S/. 9,50E) S/. 6,40

10. Cuchito tiene invertido parte de sus S/. 2000 al 4% y el resto al 6%, siendo las ganancias anuales de cada inversión iguales. Si Cuchito decide invertir los S/. 2000 para obtener la misma ganancia total, ¿cuál sería la tasa de interés?

A) 2,8% B) 3,8% C) 4,8%D) 5,8% E) 6,8%

La edad que tendrá Periquito dentro de 15 años y la edad que tenía hace x años están en relación de 17 a 11; mientras que la edad que tendrá dentro de x años y la edad que tenía hace 10 años están en la relación de 3 a 2. Calcule x.A) 1 B) 6 C) 2 D) 3 E) 5

2. Una persona nacida en el siglo XX, tiene en 1988, tantos años como la suma de cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tuvo en el año 2004?A) 34 B) 36 C) 38 D) 26 E) 30

3. Una ciudad fue fundada en el siglo XX. En el año en que se escribe con las mismas cifras del año de su fundación pero con las dos últimas cifras invertidas, celebraron tantos años como la suma de las dos últimas cifras del año de su fundación ¿Cuántos años celebraron en aquella fecha?A) 7 B) 9 C) 12 D) 15 E) 17

4. La diferencia de los cuadrados de las edades de Lucy y Mary es 49; si Mary le lleva por una año a Lucy, ¿Cuántos años deben pasar para que la edad de Lucy sea un cuadrado perfecto por setima vez en su vida?A) 1 B) 25 C) 10 D) 125 E) 15

5. La suma de las edades actuales de dos hermanos es de 60 años, dentro de cinco años el mayor tendrá el doble de la edad de que tenía el menor hace cinco años. ¿Determine la suma de cifras de la edad actual del mayor?A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

6. Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo si hace 2 años la edad del padre era el triple de la de su hijo?A) 20 años B) 15 añosC) 16 años D) 18 añosE) 14 años

7. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la tercera parte de la suma de la edades actuales si ahora el hijo tiene 35 años, ¿qué edad tenía cuando la edad de los tres sumaba 74 años?A) 13 B) 15 C) 12 D) 14 E) 10

8. Cuando a Manuel se le pregunta por la edad de su hermana Carla, responde “Cuando yo tenía 14 años mi hermana tenía la mitad de la edad de mi padre, actualmente sucede igual con mi edad y la edad actual de mi padre; en cambiohace 16 años mi edad era la mitad de la que tenía mi hermana”. ¿Cuántos años tiene Carla?A) 20 B) 13 D) 15 D) 16 E) 18

9. Cuando Alex le preguntó a Rocío por la edad que tenía, está respondió: tengo el triple de la edad que tù tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, tendré tanto como la edad que tendrás dentro de ocho años. La edad de Rocío es:A) 32 años B) 34 añosC) 36 años D) 40 años

E) 72 años

10. Las cifras de las edades de Roberto y su hijo Héctor son las mismas pero dispuestas en orden inverso. ¿Cuál es la edad actual de Roberto, si cuando éste tenía el doble de la que tenía su hijo, Héctor tenía la mitad de la edad que tendrá dentro 1 año? Indicar la suma de la cifra de la solución?A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10