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Investigación de Operaciones
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Planteamiento de problemas de programación lineal
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Ejemplo. Protac
Programación de máquinas
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Datos
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• Al menos un F-9 por cada 3 E-9• Deben producirse 5 equipos (cualquier
combinación)• El problema del administrador es decidir
cuantos E-9 y cuántos F-9 debe producir el próximo mes (plan óptimo de producción), para maximizar sus utilidades.
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Solución
Variables de decisión
X1=Número de E-9 producidos el próximo mesX2=Número de F-9 producidos el próximo mes
Función objetivoMaxMax Z=5000x1+4000x2
2211 xCxCz +=
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Restricciones
503
135103016010201501510
21
21
21
21
21
≥+≤−
≥+≤+≤+
xxxx
xxxxxx
0, 21 ≥xx
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Ejemplo. Bandas industriales tipo oruga
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• Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un tractor oruga de tamaño medio, el E-6.
• Los análisis han mostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos A, B y C.
• Cada tonelada del mineral debe contener los requerimientos que se muestran a continuación:
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Requerimientos de elementos básicos (libras por tonelada)
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• El objetivo del administrador es descubrir una combinación factible de costo mínimo.
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SoluciónVariables de decisión:
Xi = fracción de tonelada que se va a escoger del mineral de la mina i, donde i=1,2,3,4
X1 = fracción de tonelada que se va a escoger de la mina 1.X2 = fracción de tonelada que se va a escoger de la mina 2.X3 = fracción de tonelada que se va a escoger de la mina 3.X4 = fracción de tonelada que se va a escoger de la mina 4.
En un período de tiempo dado
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Función objetivo
∑=
=4
1iii xCzMin
Min_Z 800x1 400x2+ 600x3+ 500x4+
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Restricciones 10x1 3x2+ 8x3+ 2x4+ 5≥
90x1 150x2+ 75x3+ 175x4+ 100≥
45x1 25x2+ 20x3+ 37x4+ 30≥
x1 x2+ x3+ x4+ 1 (Condicio
xi 0≥
i 1 2, 3, 4,
(Condición de balance que asegura que se utiliza todo el mineral)
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Ejemplo. Comida para Perros
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Una lata de 16 oz. de alimento para perros debe contener al menos:– Proteínas 3 oz– Carbohidratos 5 oz– Grasas 4 oz
Se van a mezclar 4 cereales en diversas proporciones para producir la lata de 16 oz que satisfaga los requerimientos de costo mínimo.
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Datos (en onzas)
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Solución
Variables de decisiónxi = Proporción de la combinación i que
habrá en una lata de 16 oz de alimento para perro, i = 1,2,3,4. En un período de tiempo dado.
Función objetivo
Min_Z
1
4
i
ci xi∑=
4x1 6x2+ 3x3+ 2x4+
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Restricciones
3x1 5x2+ 2x3+ 3x4+ 3≥
1 2+ 3+ 4+ ≥
5x1 6x2+ 6x3+ 2x4+ 4≥
x1 x2+ x3+ x4+ 1
7x 4x 2x 8x 5
xi 0≥ i 1 2, 3, 4,
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Ejemplo. Problema de Transporte
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Una compañía tiene 2 plantas y tres almacenes. Según se muestra en la siguiente tabla.
¿Cuántas unidades debe transportar de cada planta a cada almacén para maximizar la utilidad?
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Solución
Variables de decisiónXi,j = Unidades de producto que se envían
de la planta i al almacén j en un período de tiempo dado.
i = 1, 2j = 1, 2, 3
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Función objetivoCoeficientes
c1 12 8− 4 c4 12 7− 5
c2 14 10− 4 c5 14 9− 5
c3 15 12− 3 c6 15 11− 4
Max Z= 4 x11+ 4 X12+ 3 x13+5 x21+5 x22+4 x23
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Restriccionesx11 x12+ x13+ 100≤
x21 x22+ x23+ 200≤
x11 x21+ 150≤
x12 x22+ 200≤
x13 x23+ 350≤
xij 0≥
i 1 2,
j 1 2, 3,
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Ejemplo. Programación de vigilancia
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Un gerente de personal debe elaborar un programa de vigilancia de modo que se satisfagan los siguientes requerimientos de personal:
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Los guardias trabajan turnos de 8 horas.Se requiere determinar cuántos guardias
deberán trabajar en cada turno con el objetivo de minimizar el número total de guardias que satisfagan los requerimientos de personal.
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Solución
Variables de decisiónxi = Número de guardias que entran a
trabajar en el turno i, donde i = 1,2,3,4,5,6
Función objetivo
Min_Z x1 x2+ x3+ x4+ x5+ x6+
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Restricciones
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Restricciones
x1 x6+ 5≥ x3 x4+ 7≥
x1 x2+ 7≥ x4 x5+ 12≥
x2 x3+ 15≥ x5 x6+ 9≥
xi 0≥
i 1 2, 3, 4, 5, 6,