plan de nivelacion - 2009

7/25/2019 Plan de Nivelacion - 2009

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2009Matemtica

PLAN DE NIVELACIN MDULO 1


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PLAN DE NIVELACIN

Matemtica

2009

Cpech Preuniversitario, Edicin 20092

Nmeros Enteros

Los nmeros enteros estn formados por los nmeros enteros positivos, el cero y los nmerosenteros negativos.

............ 5 4 3 2 1 0 +1 +2 +3 +4 +5.................

Ejemplos: el 4se lee menos cuatro o negativo cuatro, el +2se lee ms dos o bien dos.

Observacin:Los nmeros enteros positivos se pueden escribir sin el signo +. Ejemplo: +4se puede escribir 4.

Valor absoluto de un nmero entero

El valor absolutode un nmero entero, en la recta numrica, corresponde a la distancia entreese nmero y el cero. ste se representa por el siguiente smbolo | |. Matemticamente, el valorabsoluto de un nmero xes x,si xes un nmero positivo o cero y( x),si xes un nmeronegativo.

Ejemplos:

a) |3| = 3 b) | 3| = 3 c) |106| = 106d)|2| = 2 e)|254| = 254 f) |23| = 23

Observacin:La nocin de distancia se asocia al valor absoluto de un nmero.

Orden en los nmeros enteros

El conjunto de los nmeros enteros es ordenado, es decir, dados dos nmeros enteros distintos,siempre uno de ellos es mayor que el otro.


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Matemtica 2009PLANDE

NI

VELACIN


Mayor que y menor que:

1) Si un nmero xes mayor que un nmeroy,se escribe x>y.

2) Si un nmero xes menor que un nmeroy,se escribe x


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Asociatividad. Existe un elemento inverso u opuesto. (a + b) + c = a + (b + c) a +(a)= 0 7+ (7)= 0 (3+ 5) + 7= 3+ (5+ 7) (a) + a= 0 (8) + 8= 0

Sustraccin de nmeros enteros

Opuesto de un nmero entero:

Un signo negativo delante de un parntesis significa el opuesto del valor que est en el interiordel parntesis.

(a) = a (a) =a

La sustraccinde nmeros enteros corresponde a la suma del opuesto, es decir, cada vez quehaya una resta puedes resolverla como la suma del opuesto:

a b = a + b

Considerando que la resta equivale a la suma del opuesto, observa los siguientes ejemplos:

a) 12 (5) = 12+ 5= 17b) 4 (10) = 4+ 10= 14c) 6 (14) = 6+ (14) = 8

Multiplicacin de nmeros enteros

En una multiplicacin de nmeros enteros, se pueden identificar los siguientes trminos:

a b = c

Factores Producto

Si los signos de los factores de una multiplicacin de nmeros enteros son diferentes, el signodel producto es negativo.


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VELACIN


Si los signos de los factores de una multiplicacin de nmeros enteros son iguales, el signo delproducto es positivo.

Observacin: Una multiplicacin se puede escribir como una adicin iterada.

Ejemplo: 4 x = x + x + x + x.

Ejemplos: Observa los siguientes productos (multiplicaciones):

a) 5 20= 100 b) 4 15= 60 c) 7 12= 84 d) 8 90= 720

Propiedad distributiva

En los nmeros enteros se cumple: a (b + c)= a b + a c.Esta propiedad se llama propiedaddistributiva de la multiplicacin respecto de la adicin.

Observacin:Esta propiedad tambin se cumple por la derecha, es decir, tambin se cumpleque (a + b) c = a c + b c

Ejemplos: Verifica la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin

a) 2 (12+ 8) = 2 20= 40 c) 15 (2+ 5) = 15 3= 45

b) 2 12+ 2 8= 24+ 16=40 d) 15 2+ 15 5= 30+ 75= 30 75= 45

Divisin de nmeros enteros

En una divisin de nmeros enteros se pueden identificar los siguientes trminos: a : b = c

dividendo divisor cociente

La divisin es la operacin inversa de la multiplicacin, es decir, si a b = c, entonces sabemos quec : a = by que c :b = a. A partir de esta relacin se puede deducir que las reglas de los signosen la divisin de nmeros enteros es equivalente a la regla de los signos de la multiplicacin.


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Ejemplos: Observa las siguientes divisiones

a) 9: 3= 3b) 30: 5= 6

c) 100: 10= 10d) 1.000: 100= 10e) 0: 6= 0f ) 27: 9= 3g) 15: 1= 15h) 30: 30= 1

Prioridad de las operaciones

1 PARNTESIS

2 POTENCIAS

3 MULTIPLICACIN Y DIVISIN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

4 ADICIN Y SUSTRACCIN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

Ejemplos: Verifica los siguientes ejercicios combinados

a) 6+ 24 (3) = 6+ (72) = 6 72= 66b) 27+ 45: 32= 27+ 45: 9= 27+ 5= 22c) 15: (2+ 7) = 15: 5= 3d) (10) 10 8: (2) = 100 (4) = 100+ 4= 96e) 35 (3) (5) = 35 15= 50


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Ejercicios Propuestos

1. Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros enteros:

a) {5, 10, 1, 3} b) {199, 200, 188, 201} c) {1, 1, 0, 2} d) {|3|, 3, |2|, 2}

Completa con >, < o =, segn corresponda: a) 3 5

b) 10 10c) 2 1

d) 0 1

Determina el nmero entero que le corresponde a: a) |10| =

b) |10| =

c) |18| =

d) |20| =

e) |2| =

f) |3| + |3| =

g) |3+ 3| =

h) |200| + |100| =

2. Resuelve las siguientes adiciones: a) 8 + 2 =

b) 6 + 3 =c) 10 + 1 =d) 20 + 40 =e) 20 + 40 =f) 20 + 40 =g) 1 + 2 + 3 =h) 70 + 90 =


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3. Completa la siguiente tabla:

a b a + b a + b

2 3

5 6

10 20

32 18

4. Determina el producto de: a) 3 5 =

b) 2 10 =c) 4 3 =d) 10 3 =e) 20 4 =

f) 1 1 1 1 = g) 1 1 1= h) 3 3 3=

Resuelve los siguientes cuocientes: a) 100 : 10 =

b) 20 : 4 =

c) 81 : 27 =d) 105 : 5 =

e) (15+ 5) : 5 = f) (24 30) : 2 =

Calcula usando la prioridad de las operaciones: a) 21 6+ 2 5= b) (21 7) + 2 4=

c) (21 7+ 2) 5= d) 32+ 2 6: 3= e) (7 4 2 2) : 3= f) (4+ 5 4) : (2: 1) =


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Actividades Propuestas

Nmeros Enteros

1. Escribe el nmero entero que corresponde a las siguientes frases:

a) 10C bajo cero. b) Ahorro de $ 2.000. c) 3pisos bajo el nivel del suelo. d) Debo $ 15.000. e) En un curso faltaron 3alumnos.

2. Completa las siguientes oraciones:

a) El opuesto de 10es:b) El valor absoluto de 8es:c) El nmero entero que es 3unidades menor que 1es:d) El nmero entero que es 20unidades mayor que 2es:

3. Expresa el nmero entero que le corresponde a:

a) (4) =b) (5+ 3) =c) (5+ 2) =d) (14+ 10) =

e) (52+ 60) = f) (30+ 15) =

4. Completa la siguiente tabla:

a b (a + b) (a b)

4 16 5

2 73 8


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5. Resuelve los siguientes problemas:

a) La suma de tres nmeros enteros es igual a 2. Dos sumandos son nmeros opuestosentre s. Cul es el valor del otro sumando?

b) Cul es el nmero entero que est a la misma distancia en la recta numrica de 3y 5?

c) Cul es el nmero entero que est a la misma distancia en la recta numrica de 50y 10?

6. Si a = 2, b = 1 y c = 1, determina el valor numrico de las siguientes expresionesalgebraicas:

a) a+ b+ c=b) a b+ c=c) a b c=d) (a) + (b) =e) a (a+ b c) =

f) (a+ b) =

g) a b c= h) a b c=


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7. Resuelve:

a) El producto de dos nmeros enteros es 480. Si uno de sus factores es 48, cul es elotro factor?

b) El opuesto de la suma de 10y un nmero es 2. Cul es el nmero?

c) La temperatura baja 2C cada hora. Cuntos grados habr bajado en 6horas?

d) A las 4:00 a.m. la temperatura en cierta ciudad es 10 C. Si despus de cada horatranscurrida la temperatura sube 2C, cul es la temperatura a las 8:00a.m.?

8. Busca los grupos de nmeros que estn ubicados en forma vertical, horizontal o diagonal,cuyo producto sea 100y encirralos con una lnea.

5 6 2 4 10 9 2 2 10 10 1 2 5 4 5 5 5 3 2 5 2 5 2 20

9. Resuelve los siguientes ejercicios combinados: a) 9 6 7 5b) 56: (14: 2)c) (56: 14) : 2d) (12+ 8) : (6+ 5)

e) 25+ 12 4 f) 54: (9: 3) + 3


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Solucionario


Nmeros Enteros

1. a) {10, 5, 3, 1} b) {201, 200, 199, 188} c) {1, 0, 1, 2} d) { 3, 2|2|, |3|}

a) >

b) d) >

a) 10 b) 10 c) 18 d) 20 e) 2

f) 6 g) 0 h) 300

2. a) 6 b) 3 c) 11 d) 20

e) 60 f) 20 g) 2 h) 20

3. a b a + b a +b

2 3 1 55 6 1 11

10 20 10 30

32 18 14 50

4. a) 15 b) 20 c) 12 d) 30 e) 80

f) 1 g) 1 h) 27

a) 10 b) 5 c) 3 d) 21 e) 4

f) 3

a) 25 b) 22 c) 80 d) 28 e) 1 f) 8


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Matemtica 2009SOLUCIONA

RIOPLANDE

NIVELACIN


Actividades Propuestas

1. a) 10 b) 2.000

c) 3 d) 15.000 e) 3

2. a) 10 b) 8 c) 4 d) 18

3. a) 4 b) 8 c) 3 d) 4 e) 8 f) 15

4. a b (a + b) (ab)

4 1 5 3

6 5 1 11

2 7 5 9

3 8 5 11

5. a) 2 b) 1 c) 20

6. a) 2 b) 4 c) 2 d) 1

e) 0 f) 1 g) 2 h) 2

7. a) 10 b) 8 c) 12C d) 2C

8. Revisin de Profesor o Profesora

9. a) 38 b) 8 c) 2

d) 4 e) 73 f) 15


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Nmeros Racionales

stos estn formados por los nmeros enteros y todos los nmeros que se pueden escribircomo una fraccin cuyos numerador y denominador son nmeros enteros, pero el denominador

es diferente de cero.Ejemplo de nmeros racionales son:

0,31

8 51,2 -8

2

7 7 0,5555...

Observacin:Signo de una fraccin: ab

=a

b=

ab

Todo decimal tiene una parte entera y una parte decimal

51,17

0,35

Perodo de la parte decimal de nmero

parte

entera

parte

decimal

Nmeros decimales peridicosNmero decimal peridico Notacin fraccionaria

0,77

9

0,33

9=

1

3

3,5 3 5

9

0,3535

99


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NI

VELACIN


Transformacin de un nmero decimal peridico a notacin

fraccionaria

1. El numerador queda formado por la diferencia entre el nmero decimal completo sin lacoma y la parte entera.

2. El denominador queda formado por tantos 9como cifras tenga el perodo.

Ejemplos: 1) 0,3 =3 0

9=

3

9=

1

3 2) 1,3 =

13 1

9=

12

9 =4

3

Nmeros decimales semiperidicosNmero decimal

semiperidico

Notacin fraccionaria

0,07 790

0,25 2390

0,34 31

900,118 117

990

Transformacin de un nmero decimal semiperidico a notacin

fraccionaria

1. El numerador de la fraccin queda formado por la diferencia entre el nmero decimalcompleto sin la coma y la parte entera ms el anteperodo.

2. El denominador de la fraccin queda formado por tantos nueves (9) como cifras tenga elperodo y tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperodo.

Recuerde que se llama antperodo a los nmeros que hay entre la coma decimal y elperodo.


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Ejemplo:

anteperodo

0,225 =225 2

990=

223

990

Orden y densidad en los nmeros racionales

El conjunto de los nmeros racionales es denso, debido a que entre dos nmeros racionalescualesquiera siempre podemos intercalar otros.

Para comparar decimales, resulta conveniente expresar todos los nmeros con la mismacantidad de cifras decimales.

Ejemplo: Para ordenar de menor a mayor los siguientes nmeros racionales

0,38 ; 0,38 y 0,38

los expresamos mediante

0,3888... ; 0,3838... y 0,3800...

Ahora resulta muy fcil saber que el orden, de menor a mayor, segn la comparacin de suscifras decimales es:

0,38; 0,38 ; 0,38 .

Adicin y Sustraccin de Nmeros RacionalesSean a, b, c, ddiferentes de cero

ab

cd =

a d b cb d

conb d= m.c.m. (b, d)

Multiplicacin y Divisin de Nmeros Racionales

Para multiplicar fracciones debes multiplicar los numeradores entre s y los denominadoresentre s.

ab

cd

=a cb d

con by d 0


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Para dividir dos fracciones, el dividendo se multiplica por el inverso multiplicativo o recprocodel divisor:

ab

:cd

= ab

dc

con b, c yd 0

Observacin:Todo nmero racional tiene un elemento inverso multiplicativo o recproco.

ba

es el recproco deab

, porque:ab

ba

= 1, con ay b 0

Potencias de 10 aplicadas a notacin numrica

Ejemplo:

2.358= 2 1.000 + 3 100 + 5 10 + 8

UM

C

D

U

Luego, se escribe en cada caso el exponente que corresponda:

2.358= 2 103+ 3 102+ 5 101+ 8 100

Al escribir el nmero 2.358de esta forma decimos que lo hemos escrito como una suma deponderados de potencias de 10.

Notacin cientfica

Para expresar un nmero en notacin cientfica, ste se debe descomponer en dos factores:

El primero de ellos es un nmero mayor o igual a 1y menor que 10, y el segundo factor es unapotencia de 10.

Ejemplo:

70.000.000 = 7 107


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Nmeros Racionales

1. Escribe los siguientes decimales como fraccin:

a) 0,4

b) 0,41

c) 2,01

d) 6,38

e) 0,28

f) 0,421g) 0,302

h) 5,23

i) 2,171

2. Escribe >,


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3. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de nmeros racionales.

a)1

2 +

8

16=

b) 1,36+ 0,456 =

c) 41

8 + 1

1

2=

d) 3

5

3

7=

e) 6,23 8,5 =

f) 21

4 2

1

8=

g) 89,415,2 =

h) 0,0015+ 0,005 =

i) 41

4 + 22

3 + 0,5 =

j)1

3

2

9 + 0,5 =

k) 0,16+ 0,16 =

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de nmeros racionales:

a) 5 9,6 =

b) ( 56)2

=

c) 5 0,1 =


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d)2

3 2

5=

e) 34

41

3 3

2

5 =

f) 45

15

5 =

g) 0,3 1

6 9 =

h)1

2 : 5 =

i) 14

:3

8=

j) 4 :1

3 =

k) 9 : 1227

=

l)5

2

5

=

m)

5

6

10=

n) (1,01)3

5. Completa el siguiente cuadrado mgico, de modo que el producto de los nmeros de lashorizontales, verticales y diagonales sea 1.000.

5 8

10


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Nmeros Racionales

1. a) 4 9

b)41

99

c)

199

99

d)632

99

e)26

90

f)

379

900

g)299

990

h) 51899

i) 21599

2. a) > b) > c) > d)

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