•Personajes de calculo integral

•Problemas que resuelve el calculo integral

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Nos situamos a comienzos del siglo XVII , justamente después de la aparición del concepto de función, cuando comienza a tomar forma el cálculo, que junto con la geometría analítica es ”la mayor creación de todas las matemáticas”.

Personajes del cálculo integral

1). Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cada instante; y, al revés, dada la fórmula de la aceleración de un cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida. Este problema surge directamente del estudio del movimiento.

2). Obtener la tangente a una curva, como consecuencia de las aplicaciones de la óptica y el estudio del movimiento.

  3). Obtener el valor máximo o mínimo de una función para aplicarlo al

problema del tiro parabólico y el estudio del movimiento de los planetas.

  4). Obtener longitudes de curvas; las áreas acotadas por curvas; los

volúmenes acotados por superficies; los centros de gravedad y la atracción gravitatoria entre cuerpos extensos.

En aquella época había cuatro tipos de problemas principalmente

Tales de Mileto. Fue quien inicialmente introdujo los métodos deductivos – no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad- a través de procesos sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos.

Contribuciones en la antigüedad

Zenón de Elea (450 a. de C. aprox.), formuló un buen número de problemas (paradojas) basados en el infinito.

Fue con los trabajos de Arquímedes con los que se volvió a despertar en Europa el interés por obtener longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad. El Método exhaustivo se modificó primero gradualmente, y después radicalmente por la invención del cálculo.

Los trabajos del siglo XVII al respecto de este cuarto problema comienzan con Kepler, de quien se dice que se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos para obtener el volumen de los barriles.

BonaventuraCavalieri (1598-1647), discípulo de Galileo y profesor en un liceo de Bolonia fue influido por Kepler y Galileo, y fue estimulado por este último para interesarse por problemas del cálculo. Cavalieri desarrolló las ideas de Galileo y otros sobre los indivisibles mediante un método geométrico, y publicó un trabajo sobre el tema, Geometría IndivisibilibusContinuorum Nova quadamRationePromota (Geometría superior mediante un método bastante desconocido, los indivisibles de los continuos, 1635). Considera un área como constituida por un número indefinido de rectas paralelas y equidistantes y un volumen como compuesto por un número indefinido de áreas planas paralelas; a estos elementos los llama los indivisibles de área y volumen respectivamente.

Pierre de Fermat (1601-1665). Trata de encontrar pruebas más o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri, en su trabajo sobre curvas polinomiales.

En 1634, Roberval, utilizó esencialmente el método de los indivisibles para obtener el área encerrada bajo un arco de cicloide, un problema sobre el que Mersenne había llamado su atención en 1629. Denominó a su método el “método de las infinidades”, aunque utilizó como título de su trabajo el de Traité des Indivisibles

John Wallis (1616-1703) fue de los primeros en introducir métodos analíticos en el cálculo, así en sus esfuerzos por calcular el área del círculo analíticamente obtuvo una nueva expresión de .

Isaac Barrow (1630 - 1677) también dio un método para calcular tangentes. Barrow era un admirador de los geómetras antiguos y editó las obras de Euclides, Apolonio y de Arquímedes, la vez que publicaba sus propias obras LectionesOpticae (1669) y LectionesGeometricae (1670) en la edición de las cuales colaboró Newton.

Gregorio de San Vicent, en su Opus Geometricum (1647), proporcionó las bases para la importante conexión entre la hipérbola rectangular y la función logaritmo.

Isaac Newton (1643-1727). En 1687 fue publicada su obra magistral PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematicaen el cual se exponen, en diferentes pasajes, claras exposiciones

del concepto de límite, idea básica del cálculo.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Sus resultados en el cálculo integral fueron publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo el nombre de ”CalculusSummatorius". Introduce los elementos diferenciales dy ó dx para expresar la “diferencia entre dos valores sucesivos” de una variable continua y óx. Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene la variable misma, lo cual denota por

Problemas que integran al cálculo diferencial e

integral

El cálculo es una herramienta poderosa para analizar el mundo real. Los alumnos adquieren una comprensión del poder del cálculo cuando se enfocan hacia sus aplicaciones en un problema extenso.

El cálculo aborda temáticas subsiguientes donde la integración juega un papel muy importante: tales como costos, probabilidades, optimización de recursos, estudio de ofertas, etc.

Para conocer lo que integra al cálculo es necesario tener en cuenta una gran diversidad de temas para que en conjunto los podamos aplicar y poder llegar a la solución de lo que es más complicado de obtener o analizar, un claro ejemplo es una integración que es a lo que nos daremos la tarea de realizar. Teniendo como principio que los temas se relacionan entre si y se van agrupando.

Los problemas que el cálculo resuelve integran temas importantes como:

Números reales. Funciones Limites Derivadas Derivación Grafica de una función Primitiva Etc.

En Matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Cálculo diferencial

La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente. Las derivadas también pueden ser utilizadas para calcular la concavidad.

Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico.

Diferenciación y diferenciabilidad La Diferenciación puede ser usada para

determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos

  El Cálculo Integral (también conocido como Cálculo

Infinitesimal ) es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes , Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral el cual propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Cálculo integral

Ejemplos de problemas :