Calculo del Periodo de osciladores no armonicos,

por aproximacion de potencial armonico

Miguel Bustamante S.email: miguel.bustamante@uai.cl

May 9, 2011

Abstract

En este documento se presenta la forma de calculo del periodo de lososciladores no armonicos. En general, los osciladores no son armonicos yaque el potencial no corresponde al del tipo cuadratico; de hecho, la soluciones una aproximacion armonica a un potencial del tipo no armonico.

1 Introduccion

En la ensenanza de sistemas oscilantes, siempre se reduce a la solucion delsistema resorte masa, o un analogo a este. Esto debido a que la forma demodelar la fuerza del resorte (Ley de Hooke) corresponde a una relacion lineal

con el desplazamiento ~f(r) = −k∆~r. Con la aplicacion de la segunda ley de ladinamica, se obtiene una ecuacion diferencial correspondiente a la del osciladorarmonico

~r + w2~r = 0 (1)

donde w =√

km o un periodo T = 2π

√mk [1, 3]. La frecuencia w solo

depende de la constante elastica y de la masa, y de ningun otro pararametrocomo la posicion inicial o la velocidad inicial.

El potencial (Energıa potencial) asociado a este tipo de fuerza es

U(r) =1

2kr2

Perturbemos esta fuerza, de modo que el potencial que actua esta dado porla ralacion (ver figura 1)

U(x) =1

2kx2 + βx3 (2)

en la figura 1, el valor de k=10 y β es 0.05 y -0.05El periodo viene dado por la expresion [2]

T (x0) = 4

∫ x0

0

dx√2m (E0 − U(x))

(3)

El periodo en funcion de la perturbacion β en 3 , da cuenta de que tan grandees la perturbacion, como se observa en la figura 2

1

Figure 1: Potencial armonico con perturbacion

Figure 2: Periodo en funcion de la condicion inicial

2

Si expandismos la funcion de la integral ecuacion 3, el periodo da una funcionen x0 y β

T (x0) = 4√m/2

x0√kx2

0

2 + βx30

+kx30

3√

2 ((k + 2βx0) (x20))3/2

+ . . .

Si el potencial fuese de la forma U(r) = V0e

−αr2

tiene como punto de equilibrio r = 0 . Calculemos el periodo en torno delequilibrio r=0, mediante una expansion de Taylor.

U(r) = V0 + αV0r2 + . . . (4)

Si aplicamos la ecuacion 3 al potencial para U0 = −10 y α = 0.1 se tieneque el periodo depende de la condicion del desplazamiento; y la aproximacionparabolica, el periodo no cambia, ya que corresponde a un potencial armonico.

Figure 3: Periodo en funcion de la perturbacion y el periodo de la aproximacionarmonica

Es claro que dentro de la aproximacion, el potencial no armonico se puedeaproximar a un armonico en torno del punto de estabilidad. Como se sabe

que la frecuencia angular de la oscilacion armonica viene dado por w =√

km .

Entonces, si conocemos la masa m del cuerpo, debemos conocer el valor de laconstante elastica k asociado al potencial no armonico.

En una expansion de Taylor en torno el punto de equilibrio del potencial,hasta un segundo orden, se obtiene:

U(r) = U(r0) +∂U(r)

∂r|r=r0 +

1

2

∂2U(r)

∂r2|r=r0(r − r0)2 + . . .

3

Figure 4: Potencial, con serie de Taylor asociado

En el punto de estabilidad r = r0, la fuerza es nula, y por lo tanto ∂U(r)∂r |r=r0 = 0.

El potencial aproximado se resume a la expresion

U(r) = U(r0) +1

2

∂2U(r)

∂2r|r=r0(r − r0)2) (5)

Como se aprecia en la expresion 5, la aproximacion corresponde a un potencial

armonico donden la constante del resorte asociado es k = ∂2U(r)∂r2 |r=r0 En el

caso del potencial anterior, la expansion 4, la constante elastica es k = 2V0αApliquemos el desarrollo anterior al potencial radial del tipo

U(r) =a

r+ br

. El mınimo ocurre cuando r =√

ab , la expansion de Taylor es:

2 a√ab

+a(r −

√ab

)2√ab

3

cuya constante elastica es k = a(√

b/a)3

(figura 4)

2 Conclusion

Como se ha visto, podemos conocer las oscilaciones de sistemas no armonicosmediante una aproximacion armonica. Es necesario tener en cuenta que es solouna aproximacion, y que es cerca al punto de equilibrio. Alejado del punto, elperiodo depende de las condiciones iniciales.

4

References

[1] Ecuaciones dieferenciales con aplicaciones, Dennis G. Zill,Loyola Mary-mount University, ISBN 968-7529-21-0

[2] Mechanics, L.D. Laundau, E.M, Lifshitz, Volumen I,Paginas 7-8, Reprint2000, ISBN: 0750628960

[3] The Physics of Vibration and Waves, H.J. Pain, Jhon Wiley and Son, ISBN0 470 01295 1

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