pep 3 lugar geométrico de las raíces-1

Ingeniera de automatizacin

MCAI 51 01 V00 LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES

Actualizado al 30 de mayo de 2011

Oscar Pez Rivera Profesor Asociado

Departamento de Ingeniera Elctrica

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE Departamento de Ingeniera Elctrica

Lugar geomtrico de las races Pagina 2

Oscar Pez Rivera Profesor Asociado Departamento Ingeniera Elctrica Universidad de Santiago



1. Definicin Del Lugar Geomtrico De Las Races

Considere el sistema de la Figura 1 y sea H(s) la funcin

de transferencia en lazo abierto del conjunto {controlador sistema de actuacin - planta - sensor } y sea Kc la ganancia variable del controlador.

Sea F(s) la funcin de transferencia en Lazo cerrado del

conjunto, a partir de la expresin de H(s) y las ecuaciones

del lazo se deduce la ecuacin (e2

N(s)H(s) (e

D(s)= 1

c

c

C(s) k N(s)F(s) (e

r(s) D(s) k N(s)= =

+2

El comportamiento dinmico del sistema ya realimentado depende de los polos y ceros de (F(s)).

Los ceros de F(s) son los ceros de H(s). La realimentacin no cambia los ceros.

Los polos de F(s) son las races de la ecuacin (e3

cD(s) k N(s) (e+ = 0 3 Con Kc variable o ms general, los polos de F(s) son la solucin de la ecuacin (e4

ck H(s) (e+ =1 0 4

A partir de la ecuacin (e4 se aprecia que cualquier nmero complejo s* que valore a H(s*) como un

nmero real negativo puede ser un polo de F(s) (la suposicin de entrada es que Kc es el valor positivo de

amplificacin del controlador ) se puede demostrar que dichos puntos pertenecen a curvas del plano de

Laplace

Definicin: El lugar geomtrico de la races asociado a H(s) Lgr (H(s)) es el conjunto de todos los puntos s*

del plano de Laplace(es decir el plano complejo) que cumplen con evaluar a H(s*) como un real negativo.

{ }* *Lgr (H(s)) s /argH(s ) ( n )pipipipi= = +2 1

Es usual admitir a H(s) como un operador funcional, en ese enfoque H(s) permite obtener Y(s) en trminos

de primariamente H(s) es una funcin compleja de variable compleja. En su forma factorizada H(s) admite

una evaluacin geomtrica. Considrese la ecuacin (e5 que expresa a H(s) en forma factorizada y

evaluada en s=s* i n

iii n

jj

K (s * c )H(s*) (e

(s * p )

=

=

=

=

+=

+

0 1

1

5

Cada trmino (s+ci) corresponde a un vector que nace en el cero dado por -ci y finaliza en s* (punto de

evaluacin).



Expresin polar de H(s) (n ) i i (epi pi pi pi + = 2 1 6

m

n

i

j

k lH(s*) i j (e

L

=

0

1

1

7

Condicin de ngulo

Condicin de modulo

m

n

c i

j

k k l(e

L

=

1

1

0

1 8

Cada trmino (s*+pj) corresponde a un vector que nace en el polo dado por -pj y finaliza en s* (punto de

evaluacin).

Cada trmino (s*+ci) posee un mdulo li (distancia entre s* y -

ci) y un ngulo i ( figura N 2)

Cada trmino (s+pj) posee un mdulo Lj (distancia entre s y -pj)

y un ngulo j (figura N 2 )

li L j

-ci

s*

-pj

La condicin del Lugar Geomtrico De Las Races equivale a un balance de ngulos ( lo que se impone

es que H(s*) sea un nmero real negativo,

La otra condicin obvia es la de mdulo (lo que se busca es que si 1 - a=0 entonces a debe ser idntico a 1.

Las dos condiciones permiten construir el Lugar Geomtrico De Las Races como un conjunto de puntos

del plano de Laplace

2. Reglas Para Trazar El Lugar Geomtrico De Las Races

El Lugar Geomtrico De Las Races se estructura como una coleccin de curvas llamadas Ramas. Existen

tantas ramas como polos en la funcin de transferencia en Lazo cerrado. Las ramas tienen inicio y termino.

Lo interesante es el bosquejo del Lugar Geomtrico De Las Races es decir un trazado aproximado del

mismo. Lo que sigue es un conjunto de reglas para determinar donde se inicia una rama; cuando est en el

eje real; cuando est en el plano complejo etc.



*Existencia en el eje real:

El Lugar Geomtrico De Las Races tiene existencia en todos

los intervalos del eje real donde el nmero de ceros reales Nc y

nmero de polos reales Np que se encuentren a su derecha sumen un

nmero impar (es decir (Np+Nc) : impar). Los polos que estn fuera

del eje real no cuentan ya que 1 + 2=2 pi (ver figura 3).

*Puntos de Partida:

Las ramas se inician en los polos de H(s).

Cuando Kc es pequeo, los polos de F(s) se encuentran en las

cercanas de los polos de H(s): cada rama del lugar geomtrico de las

races nace de un polo de H(s):

Puntos de Llegada: existen dos situaciones, puntos de llegada finitos y puntos de llegada al infinito

Las ramas finalizan en los ceros de H(s).

Cuando Kc la ecuacin que define los polos de F(s) se transforma en N(s)=0 luego El Lugar Geomtrico De Las Races finaliza en los ceros H(s). Estos son los puntos de llegada finitos. Si existen

ms polos que ceros, entonces los otros puntos de llegada estn en el infinito en una circunferencia con

radio infinito. El vector que une este polo s* con el origen forma un ngulo i ; se cumple entonces: ( i )

i i , , , (n m) (en m

pipipipi += =

2 10 1 2 1 10

Hay algunos conceptos que subyacen en estos resultados y estos son:

Si hay (n-m) como diferencia entre polos y ceros en la funcin de transferencia en lazo

abierto entonces hay (n-m) puntos de llegada al infinito.

Cuando se aplica la condicin de ngulo (ecuacin (e6 debe considerarse que todos los

vectores que nacen en los ceros y apuntan al polo en el infinito son paralelos y tienen el

ngulo esto vale tambin para los vectores que nacen en los polos y se aplica para los (n-m) polos en el infinito plantendose la ecuacin

Cuando una rama se aleja del origen del plano complejo, lo hace acercndose a lneas

rectas llamadas asintotas la inclinacin de estas rectas es

2 -p2

-c1

-p3 -p4

-p1 1

Figura 3

cKc

lim D(s) k N(s) D(s) (e

+ = =0

0 0 9

m n ( l ) ( e pi pi pi pi = +2 1 1 1



Interseccin de las Asintotas con el eje real :

Las asintotas se cortan en un punto del eje real dado por la ecuacin (e12 i ic p

(en m

=

12

Puntos de partida y llegada al eje real :

Cuando existe Lugar Geomtrico De Las Races entre dos polos tiene que producirse un abandono de las

ramas del eje real hacia el plano complejo.

Cuando existe Lugar Geomtrico De Las Races entre dos ceros en el eje real tiene que producirse una

llegada de las ramas al eje real desde el plano complejo. Sea x una variable real que pertenece al Lugar Geomtrico De Las Races , entonces

La ganancia Kc que permite obtener dicho polo x es una funcin f(x) dada por la ecuacin (e13

Figura 4 ngulo de las asntotas

mn

)l(i

+=

pi 12

S*

f

D ( x )f ( x ) ( e

N ( x )= 1 3



:Ganancia

delpunto dedespegue

f(x) = Kc1 Figura 5

Punto dedespegueeje real

Polo de F(s)para Kc = Kc1

x

Punto dedespegueeje real

Imaginario

Realx

KcdKcd

Real

Real

El mnimo valor de Kc en el intervalo es cero y x coincide con los polos en lazo abierto, a

medida que Kc aumenta ambos polos se desplazan hacia el centro del intervalo en

direccin contraria hasta llegar al punto de despegue x donde Kc alcanza su valor mximo

En x se cumple para x = x

En los puntos de llegada se cumple algo similar excepto que Kc alcanza su valor mnimo en

el punto de llegada y tambin se cumple la ecuacin anterior *Angulo de partida:

0)x(N

)x(D

dx

d====



Es el de nacimiento de una rama en las cercanas de un polo s^ de H(s) ; para evaluarlo, se

calcula, luego : pipipipi++++==== )1n2( pipipipi++++++++==== )1n2( ver figura 6

* Simetra

El Lugar Geomtrico De Las Races es simtrico

respecto del eje real

3. APLICACIONES

1) Trazar Lgr de )3s)(1s(

1)s(H

++++++++====

i) Existencia en el eje real : (-1, -3) ii) Puntos de partida : -1 ; -3 iii) Puntos de llegada.

Estn al asntotas : pipipipi/2 , 3 pipipipi/2

iv) Punto interseccin

v) Puntos de despegue :

vi) de partida : en -1 ; =pipipipi en -3 ; =0

s*

S^

Figura 6

2x04x2

0)3x)(1x(dx

d

^^

^^

========++++

====++++++++

=

lii

ii

22

31=

=x



-1 -3

Kc

Kc0

Figura N 7



2 .- Trazar Lgr de )32s8s)(4s(s

1)s(H

2 ++++++++++++====

)4j4s)(4j4s)(4s(s

1

++++++++++++++++====

El Lgr existe en el eje real (0, _ 4 )

Puntos de partida A, B, C, D

Puntos de llegada :

asntotas : 45 ,135, 225, 315

Punto interseccin eje real

*Puntos de despegue :

032x32x9x)x(y23

====++++++++++++====

Al evaluar este polinomio se tiene x = -1.58

Angulo de partida: el interesante esta alrededor de del punto C ;

pipipipipipipipi++++

pipipipi++++

pipipipi====++++==== ++++

422)( 111

= -3pi/4 * Frecuencia critica

El Lgr corta al eje imaginario en la llamada frecuencia critica que se alcanza con un

Kc = Kcc y que hace oscilar el sistema en forma sostenida en

un perodo T c

w c=

2pi. Para determinar wc se aplica la

condicin de ngulo en este caso

180904

w4tan

4

wtan

4

4wtan

c1c1c1====

++++

++++

Resolviendo numricamente est ecuacin se llega a

Wc=3.25 ; por encima de la asintota ; el trazado del Lgr

es el de la figura 10.

l1

3

L1

-c1 -p3

s* -p1

-p2

L2

i

2

Figura N 9

A B

C

2

3

1

D

Figura N 8

34

444440=

+=

jjx



0)32x8x)(4x(x(dxd 2

=+++

Figura N 10

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