pensamiento matematico avanzado

7/24/2019 Pensamiento Matematico Avanzado

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REVISTAEMA1996, VOL. 2, N 1, 59-68

RESEASYRESMENES

PENSAMIENTOMATEMTICOAVANZADO1

1. ANTECEDENTES

El trmino educacin matemticaest, en las mentes de muchos,identificado con nios y matemti-cas escolares. Sin embargo, existenmuchos educadores matemticosque se han iniciado en la investiga-cin en matemticas y han ense-ado a nivel universitario. Adems,desarrollos en las matemticasescolares a nivel mundial se hanhecho evidentes por un reconoci-miento a nivel universitario de quetambin se necesitan cambios en laenseanza a este nivel. Hasta ahorahaba sido difcil localizar qu estu-dios sistemticos se haban reali-zado a nivel universitario, y ms

especficamente, localizar qunociones tericas haban sido iden-tificadas para ayudar a los catedrti-cos a reflexionar sobre su investiga-cin matemtica y el aprendizaje de

1. Traduccin hecha por Carolina Ospina,estudiante de Lenguas Modernas de la Uni-versidad de los Andes y Felipe Fernndez,investigador de una empresa docente.

sus estudiantes. Ahora, este vacose ha llenado.

Este no es un libro sobre mate-mticas avanzadas, en el sentidodel sustantivo plural que indica unavariedad de temas matemticos,sino sobre lo que constituye el pen-samiento matemtico avanzado.No pretende ensear ningn tipo de

matemticas, ni siquiera enseareducacin matemtica. Es unamezcla de las visiones y aproxima-ciones de diferentes personas, ba-sadas en sus propias experiencias einvestigaciones sobre las experien-cias de los estudiantes, enriqueci-das o estimuladas, por infinidad degrupos internacionales de discu-sin de las reuniones del PME (In-

ternational Group for the Psycho-logy of Mathematics Education).El libro es el producto de cincoaos de colaboracin de trece delas ms grandes figuras que se en-cuentran investigando la enseanzay el aprendizaje de la educacinmatemtica a un nivel avanzado.Mucho ms que una simple colec-

JOHNMASON

Resea del libro editado por David Tall, (1991).Advanced MathematicalThinking. Dordrecht: Kluwer. Biblioteca de Educacin Matemtica,

volumen 11, 306 pginas.


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cin de trabajos, es una muestra decmo se puede alcanzar la erudi-cin a travs de la discusin colec-tiva y del trabajo de un editor cuida-

doso y esmerado. Promete ser eltrabajo de referencia estndar du-rante muchos aos por venir, y unafuente tanto de informacin comode inspiracin para los estudiantesgraduados, y para aquellos que en-sean matemticas avanzadas y es-tn preocupados por cmo estnellos incidiendo en los estudiantes.

2. QUESAVANZADO?

Cmo abordar una nocin comopensamiento matemtico avan-zado? El trmino avanzado esrelativo, y por lo tanto cada mate-mtico de acuerdo con su experien-cia lo usa para modificar su con-

cepcin personal de lo que es nor-mal o elemental. Tanto as, quepuede suceder que algunos investi-gadores matemticos no se asom-bren, cuando vean que los principa-les temas de discusin son estnda-res para el primer y segundo ao deuniversidad: funciones, lmites,integrales, grupos, prueba, y msespecficamente, induccin. Sin

embargo, una inspeccin ms cui-dadosa revela que estos temas sonutilizados como simples ejemplos,y que las ideas expuestas y lasobservaciones hechas se aplican alaprendizaje y prctica de las mate-mticas en todos los niveles. Cual-quier matemtico encontrar eneste libro algo con que enriquecer

el ejercicio de su profesin. Aque-llos que defienden la posicin deque una exposicin clara es sufi-ciente, adquirirn conciencia de

cmo se puede obtener mucha msclaridad al ocuparse de lo que pien-san y experimentan los estudiantes;aquellos que opinan que ensear aestudiantes de pregrado o guiar aestudiantes en investigaciones, esms que explicarles matemticas,hallarn soportes para aguzar suspercepciones.

Algunos de los autores estn in-teresados en encontrar una distin-cin entre pensamiento matemticoavanzado y no avanzado. La mayo-ra coincide en que la manera deconvencerse uno mismo y a otros,cambia cuando se exigen pruebas, yque esto va de la mano con el reco-nocimiento de objetos matemticosa travs de la presentacin explcitade sus propiedades en vez de a tra-vs de la clasificacin intuitiva deejemplos. Aunque en las matemti-cas escolares pueden encontrarse al-gunos elementos de este cambio deenfoque, de clasificar objetos por si-militudes a abstraer axiomas o pro-piedades, es ste el que determinaun progreso significativo en cmo

se espera que los estudiantes pien-sen, y es este cambio lo que interesaa la mayora de los investigadorespresentados en el libro.

A diferencia de los trminos ma-temticos, que a menudo parecenadmitir definiciones precisas, lostrminos en la educacin matemti-ca requieren de un desarrollo y enri-


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quecimiento gradual del significa-do; este es particularmente el casode abstracciny generalizacin. Alhaber asistido a algunas de las se-

siones de conferencias del grupo, sque se presentaron exaltados deba-tes acerca de la existencia o no deuna distincin entre abstraccin ygeneralizacin, y aunque la exalta-cin no es siempre evidente en eltexto, lo que emerge son un nmerode distinciones tiles entre, y demaneras de referirse a, aspectos

bien esenciales del pensamientomatemtico avanzado.Una distincin como la que se

da entre abstraccin y generaliza-cin es til si ayuda a sensibilizarpara percatarse de aspectos de laenseanza y el aprendizaje que has-ta ahora haban pasado desapercibi-dos, o por lo menos a verlos de unamanera no tradicional. Muchas de

las nociones propuestas en este vo-lumen se prestan para cumplir conesta funcin.

3. REIFICACIN

Una de las notables caractersticasdel trabajo del matemtico es larpida, casi inmediata reificacin

de procesos. El lenguaje de losmatemticos est repleto de pro-nombres indefinidos como esto yeso que se refieren a procesoscomplejos con numerosos detallespresentes. Por ejemplo, es imposi-ble hacer referencia a una integral,una funcin, un functor, un espaciovectorial, o un espacio topolgico,

a menos que el oyente ya haya esta-blecido una rica imagen del con-cepto, es decir, una gran agrupacinde conexiones y asociaciones que

sean accesibles cuando se utilice laetiqueta.

Cmo se puede entonces ayu-dar a los estudiantes a interiorizar,coordinar y encapsular de tal mane-ra que ellos tambin experimentenla reificacin que los primeros ma-temticos han encontrado tan efecti-va? Claramente las definiciones ma-

temticas juegan un papel impor-tante. La vieja broma acerca delsocilogo que, despus de una vidade estudios y contemplacin de cul-turas, comenz el trabajo de su vidadefiniendo el trmino cultura en tresoraciones inescrutables (en cambiode reflejar su descubrimiento en laestructura de su escrito), se vive enmuchos salones de matemticas.Por supuesto, aqu existe una mayortensin, ya que la recapitulacin on-tognica de la filogenia no es por smisma un medio eficaz de informara las futuras generaciones. Las ideasexpuestas en este libro proporcio-nan un escaln hacia un lenguajeque permite, en matemticas avan-zadas, hablar sobre la manera de

combinar la sabidura de la expe-riencia con la necesidad de recons-truir por uno mismo.

Con respecto al tema de las defi-niciones, me desilusion no encon-trar referencia a la distincin entredefiniciones intensivasy extensivasen matemticas, porque tal distin-cin ha sido de gran ayuda para m


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en el pasado. Una definicin exten-sivaproporciona una base manipu-lable para verificar si algo se ajustaa la definicin. Por lo tanto, una de-

finicin formal de continuidad enun punto es extensiva, dado quepuede ser aplicada a funciones cuyaespecificacin es no intuitiva. Supropsito es permitirle a alguien,que comprende slo los trminosusados en la definicin, confirmar sila propiedad se aplica en un casoparticular. Normalmente, una defi-

nicinintensiva

no se puede usarirreflexivamente. Sintetiza una in-tuicin o conciencia, y requiere unaapreciacin del significado de la de-finicin y una percepcin del objetoa evaluar para poder aplicarla aejemplos particulares. Por ejemplo,un sentido de continuidad como enel lpiz no se levanta del papelconcuerda con un sentido intuitivo

en polinomios como en valoresque cambian continuamente. Lamayora de las nociones empiezanintensivamente, y a medida que lostemas se formalizan, desarrollandefiniciones extensivas. Pero lasdefiniciones extensivas por s mis-mas no son siempre tiles, como loilustran la definicin de continuidaden un punto y la historia del soci-logo. A menos que como estudiantese tenga una conciencia del signifi-cado de lo que la definicin est tra-tando de plasmar, una definicinextensiva es a menudo inconstrui-ble, inclusive si se puede seguir pormedio de un algoritmo. En anlisis,la intuicin se formaliza: las defini-

ciones intensivas se vuelven exten-sivas para lidiar con una clase msamplia de funciones que las dadaspor una simple frmula. Los estu-

diantes se quejan a menudo, de queno saben qu les est permitido sa-ber, y qu tienen que probar, preci-samente porque la transicin entreintensivo y extensivo todava no hasurgido (en contraste con sus cursosde lgebra).

La tendencia de los matemticosa reificar tambin se manifiesta en la

educacin matemtica, y es particu-larmente notoria en la escritura dealgunos de los captulos, donde losprocesos psicolgicos como la abs-traccin reflexiva de Piaget se con-vierten rpidamente en suyos. Estoes una lstima, ya que el valor de lareflexin sobre lo que hace en granparte que el pensamiento matemti-co avanzado sea avanzado y difcilpara muchos, depende, como algu-nos autores demuestran, de involu-crarse en el proceso, de vivir entreideas relacionadas y de hacer co-nexiones a las que se pueda accederen un futuro. Es precisamente la fal-ta de conciencia de los expertosacerca de los cambios espontneosde enfoque y estructura que se dan

en su atencin, lo que los convierteen ineficaces para la mayora de losestudiantes que tratan de aprendermatemticas a partir de sus explica-ciones.

Y ya que estoy comentando per-mtanme aadir que encontr que eltipo de letra hace la lectura particu-


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larmente difcil. Esto contribuy ami apreciacin de que el libro estescrito de manera demasiado densay que se requiere de un buen tiempo

para leerlo e interiorizarlo, lo cuales una lstima dado lo valioso de sucontenido.

4. BREVERESUMEN

Como es propio de un libro educa-tivo de nuestros tiempos, en ste seproporcionan varios niveles de abs-

traccin y observacin reflexiva. Laintroduccin es un ensayo sobre lanaturaleza del pensamiento mate-mtico avanzado, lo cual prepara elcampo y seala los orgenes de laindagacin realizada por los prime-ros investigadores. La primera sec-cin explora las implicaciones deltrmino avanzadoy llama la aten-cin sobre el papel de la prueba y lacreatividad, as como del debateacerca de la abstraccin y generali-zacin. La segunda seccin es msterica y desarrolla las nociones deconcepto imagen, entidades con-ceptuales, y abstraccin reflexivaen tres captulos separados.

La tercera seccin empieza conuna revisin de las formas de inves-

tigacin en pensamiento matemti-co avanzado que se presentan en ellibro; particularmente, la adquisi-cin por parte de los estudiantes deconceptos especficos, la organiza-cin del contenido matemtico enun curso, y las condiciones externasbajo las cuales la enseanza y elaprendizaje ocurren. El mismo len-

guaje en el que se expresan estasformas (adquisicin, condicionesexternas) sita el captulo por lomenos en un marco clnico que pue-

de desviar la atencin de una pers-pectiva fenomenolgica de lo queimplica aprender o crear matemti-cas avanzadas, lo cual se trata enotros captulos. La educacin mate-mtica, en general, todava no ha re-suelto el problema de cmo integrarlos comentarios de los estudiantessobre sentimientos e impresiones,

con el desempeo del estudiantepara enriquecer futuras investiga-ciones y prctica. En seguida, laseccin ahonda en considerablesdetalles histricos y de investiga-cin sobre la estructura de concep-tos notoriamente difciles comofunciones, infinito, y prueba.

Puesto que los programas decomputador que tienen muchos delos autores son pioneros para asistirla exploracin de diferentes concep-tos matemticos y tambin debido aque existen referencias ocasionalesa software, se incluye un captulosobre el papel del computador.Como ejemplo se puede mencionarel lenguaje ISETL para matemti-cas abstractas.

El eplogo nos recuerda: que elproceso de colaboracin era bastan-te parecido al mismo proceso deaprendizaje de las matemticas y re-quera, por tanto, discusin extensi-va adems de negociacin y modifi-cacin de conjeturas; que las mate-mticas avanzadas por su propianaturaleza incluyen conceptos que


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estn ligeramente en desacuerdocon la experiencia ingenua, y queel fomento del pensamiento mate-mtico avanzado en los estudiantes

podra beneficiarse de la atencinprestada a esta discrepancia. El edi-tor usa este eplogo para establecerla direccin de futuras discusionesdel grupo y, ojal, de muchos msmatemticos y educadores matem-ticos en el futuro.

A diferencia de una discusinentre treinta personas o ms en un

recinto en el que cada uno debe es-merarse en ser conciso para poderser escuchado, este libro proporcio-na a los autores espacio para una re-flexin extensa, modificada y ajus-

tada por esas discusiones. Algunasveces este espacio est ms bien sa-turado y podra haberse beneficiadode una mayor concisin, pero la bre-

vedad es a menudo difcil de alcan-zar cuando se tiene tanto que decir.El libro constituye una agradablecondensacin y recurso para futurosadelantos en nuestra concepcin delo que constituye el pensamientomatemtico avanzado, y de cmopodemos hacerlo accesible a mspersonas.

John Mason

Centre for Mathematics Education

Milton Keynes MK7 6AA

United Kingdom

E-mail: [email protected]

INVESTIGACINENLAENSEANZADELASMATEMTICAS:

UNAEXPLORACINCONSTRUCTIVISTA1

Se ha dado un giro considerable enlos mtodos empleados para lainvestigacin de la educacin. En

algn tiempo, la recoleccin dedatos cuantitativos fue vista comola nica manera de proceder, tantoque los investigadores que solantrabajar bajo este paradigma no

1. Traduccin hecha por Carolina Ospina,estudiante de Lenguas Modernas de la Uni-versidad de los Andes y Cecilia Agudelo,investigadora de una empresa docente.

discutan la seleccin de sus mto-dos, y ni siquiera los considerabanen algn sentido problemticos. Ya

no son raros los investigadores quese concentran intensamente en unpequeo grupo de estudios de casopara obtener un volumen de mate-rial significativo del cual se puedenextraer e interpretar patrones, ytampoco es raro encontrar profeso-res que desarrollen proyectos deinvestigacin-accin en el campo

LEONEBURTON

Resea del libro de Barbara Jaworski, (1994).Investigating MathematicsTeaching: a constructivist enquiry. Londres: Falmer Press.

pensamiento matematico avanzado

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