GUIA DE LABORATORIO PENDULO SIMPLE

GRUPO CAVENDISHPrograma Lic. Matematicas y Fısica

Facultad de Ciencias Humanas y de la Educacion

21 de noviembre de 2010

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Capıtulo 1

Pendulo simple

Antecedentes historicos

La primera descripcion del movimiento de unpendulo se debio a Galileo Galilei. Se dice quese produjo mientras observaba la regularidad delmovimiento de una lampara colgada del techo de lacatedral de Pisa, llegando a medir el tiempo quedemoraba en realizar una oscilacion con su pro-pio pulso, arribando a la conclusion de que to-das las lamparas tardaban el mismo tiempo enrealizar una oscilacion completa. Con esta idea,preparo una serie de experimentos para investigarel movimiento al que llamo pendular (movimien-to de cosas que cuelgan de un hilo) Galileo con-struyo dos pendulos del mismo volumen, pero unocon una esfera de metal y otro con una de madera.¡Increıble, los dos tardan el mismo tiempo en os-cilar¡

Resulta que Aristoteles estaba equivocado, efectivamente, con este ultimo experi-mento Galileo obtuvo la clave para dominar las mediciones del tiempo,cuando uti-lizaba un hilo largo, el pendulo tardaba mucho en ir y venir, y cuando lo acortaba,la oscilacion se hacıa mas rapida.Interesante le resultaba a Galileo que, cuando la longitud de un pendulo se haceel doble de largo que otro, no tarda el doble del tiempo en realizar una oscilacioncompleta, sino 1.5 veces mas lento, por lo que para hacerlo el doble de lento debecuadriplicarse la longitud. A estas conclusiones llego Galileo experimentalmente, sinapenas contar con la matematica necesaria para obtener estos resultados, lo cual sehace hoy en dıa a traves del calculo diferencial.

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4 CAPITULO 1. PENDULO SIMPLE

Fundamento teorico

El pendulo simple es un modelo que debe cumplir con las siguientes caracterısticas:

1- El hilo del que se cuelga la esfera es inextensible y sin masa.2- La masa de la esfera se considera un cuerpo puntual.3- No existen agentes que provoquen efectos disipativos. Se desprecian las fuerzasde friccion.

Teniendo en cuenta estas condiciones, se puede obtener el modelo matematico quepermite describir el movimiento del pendulo simple.Si la partcula se desplaza for-mando un angulo Θ con la vertical y luego se suelta, el pendulo queda solamentebajo la accion de la fuerza del campo gravitatorio a la que se denota por m~g. Lalongitud l, representa el radio del arco de circunferencia que describe la esfera bajola accion de esta fuerza. Utilizando la segunda ley de Newton y teniendo en cuentael diagrama de cuerpo libre, se puede plantear que:

n∑~F = m~g

El movimiento oscilatorio que se observa en un pendulo simple puede ser de trestipos:

1. Movimiento oscilatorio no amortiguado. Se produce cuando la friccion entre lamasa y el aire se puede considerar nula. A este movimiento se le llama tambienmovimiento armonico simple.

2. Movimiento oscilatorio amortiguado. Es todo tipo de movimiento oscilatorioreal, para el cual no se puede despreciar la fuerza de friccin.

3. Movimiento oscilatorio forzado. Se produce cuando a un movimiento oscilatoriosubamortiguado se le suministra sistematicamente cierta energıa por un agenteexterno para compensar la perdida por causas de la friccion. Un ejemplode este tipo de movimiento lo constituye un nio en un columpio, al quesistematicamente hay que empujarlo para que no cese su movimiento.

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Como se desprende de su definicion, el movimientoarmonico simple es un modelo, porque en la practi-ca nunca es posible eliminar totalmente la friccionentre el cuerpo que oscila y el aire, pero este mo-delo es muy util, porque permite estudiar las ca-racterısticas generales de este tipo de movimiento.Para obtener las ecuaciones del movimiento de uncuerpo que oscila libremente sin friccion, se uti-lizaran como recursos, el movimiento circunferen-cial uniforme de una partıcula y algunos elementosde trigonometrıa. En un movimiento circunferen-cial uniforme, cada vez que la partıcula completauna vuelta, la proyeccion (o la sombra del cuer-po que gira) sobre una direccion, digamos el ejeX, realiza un movimiento armonico simple. Dichaproyeccin se detiene en los extremos y retorna a suposicion inicial describiendo un movimiento rec-tilıneo oscilatorio. En el punto central (posicion deequilibrio) la partıcula posee maxima velocidad,pero la fuerza es nula.

El mismo tiempo T que transcurre mientras se produce una vuelta completa delcuerpo animado de movimiento circunferencial uniforme, demorara la proyeccion envolver a tener los mismos valores de todos sus parametros cinematicos (velocidad,posicion y aceleracion), por lo tanto, el movimiento armonico simple de la proyecciony el movimiento circunferencial uniforme tienen el mismo perıodo T.Cuando la partıcula que gira se encuentra en cualquier posicion, su proyeccion en eleje de las X queda definida como:

X = Acos(ωt+ ϕo)

Donde A es la maxima separacion desde el punto de equilibrio, que podra tener lapartıcula animada de movimiento armonico simple, ω es la frecuencia angular, yϕo el angulo que formaba el radio de la circunferencia con el eje de las X cuandocomenzo a observarse el movimiento. En el movimiento oscilatorio se le denominafase a todo el argumento del coseno y constante de fase a ϕo. De forma analoga, sepueden obtener las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracion para un movimientoarmnico simple. De modo que puede escribirse, para la velocidad:

V = −ωAsen(ωt+ ϕo)

Y para la aceleracion:X = −ω2Acos(ωt+ ϕo)

Si se hubiese encontrado la ecuacion de la posicion a partir de la funcion seno, losresultados habrıan sido semejantes, puesto que entre el seno y el coseno solamente

6 CAPITULO 1. PENDULO SIMPLE

existe una diferencia de fase de Π/2 radianes. Haciendo un analisis dinmico delmovimiento oscilatorio en el sistema masa resorte, se pueden obtener las ecuacionespara el perıodo de la masa oscilante. En efecto, un diagrama de cuerpo libre para lamasa que se esta moviendo permite escribir:

Σ~F = m~a

Pero si se observa la figura del pendulo, se puedededucir que, despreciando la friccion, las fuerzasque mueven al cuerpo se pueden describir ası:

~F = m~g sen θ

Ecuacin que, teniendo en cuenta la segunda ley deNewton, y eliminando la notacion vectorial, puedeescribirse como:

mg sen θ = ma

Como el modelo del pendulo simple presuponeque los angulos de oscilacion son pequenos, secumple la relacion sen θ ≈ θ y suponiendoque el movimiento se produce en el eje de lasX:

a =d2x

dt2

La segunda ley de Newton toma la forma:

gθ =d2x

dt2

Del triangulo que forma la el hilo del pendulo en una posicin cualquiera y la vertical,se obtiene la relacion sen θ = x

L; lo que combinado con que la oscilacion es pequena,

permite escribir la segunda ley de Newton en la forma:

g

Lx =

d2x

dt2

Si se hace el cambio de variable gL

= ω2, esta ecuacion queda definitivamente como:

d2x

dt2+ ω2x = 0

A lo que matematicamente se le conoce como una ecuacio diferencial de segundoorden, lineal y homogenea, y cuya solucion es precisamente la ecuacion delmovimiento armonico simple:

X = A cos (ωt+ ϕo)

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La verificacion de que esta funcion es solucion de la ecuacion diferencial a la quecondujo el problema fısico del pendulo simple, puede lograrse con facilidad, derivandodos veces dicha funcion y sustituyendo el resultado en la propia ecuacion diferencial.El valor de ω que aquı se ha tomado como un simple cambio de variable,esta relacionado con el perıodo de la oscilacion del pendulo y de cualquier movimientooscilatorio, a traves de la conocida expresion obtenida del movimiento circunferencialuniforme:

ω =2π

T

En donde, si se sustituye, a ω, por su valor, ω =√

gL

, se obtiene, para el perıodo del

pendulo la expresion:

T = 2π 2

√L

g

Que es la expresion del peroodo de las oscilaciones pequenas que se producen en unpendulo simple, cuando no se tienen en cuenta las fuerzas disipativas de la friccion,y sera la ecuacion que se utilizara para calcular la aceleracion de la gravedad en estapractica de laboratorio.

Objetivo general

Determinar experimentalmente el valor numerico de la aceleracion del campo grav-itatorio (gravedad) en la Universidad de los Llanos.

Objetivos especıficos

1- Desarrollar habilidades para realizar mediciones de tiempo y londitud.

2- Desarrollar habilidades en la observacion, y comparacion de un mismo fenomenofısico (la oscilacion de un pendulo) con diferentes caracterısticas.

3- Desarrollar habilidades para describir, sintetizar y generalizar regularidades conla ayuda de la teorıa de errores y del metodo grafico de analisis de los resultados.

Preguntas iniciales

1. ¿Que es un pendulo simple¿ A cualquier pendulo puede llamarsele simple¿

2. ¿Por quA c© al pendulo simple tambien se le llama pendulo matematico¿

3. ¿Que elementos conforman al pendulo simple¿

8 CAPITULO 1. PENDULO SIMPLE

4. ¿Por que el angulo de oscilacion de un pendulo simple debe ser pequeno¿ ¿que tanpequeno debe ser dicho angulo¿

5. ¿Que caracterısticas debe tener el hilo con el que se construye un pendulo simple¿

6. ¿Cuales son las variables a considerar para medir el perıodo de un pendulo simpley como deben medirse¿

7. ¿Que tipo de movimiento describe la masa de un pendulo simple¿

8. ¿Cual es la ecuacion que determina las caracterısticas de un movimiento armonicosimple¿ ¿Bajo quA c© condiciones se cumple esta ecuacion para el pendulo simple?‘9. El estudiante debe saber representar graficamente el desplazamiento contra eltiempo para el movimiento del pendulo ayudandose de una hoja de calculo de Excel.

10. ¿Que magnitud se debe medir en el desarrollo de esta practica para poder hallarla aceleracion de la gravedad¿

11. ¿Cuales deben ser las medidas de seguridad y precauciones que deben tenerseen cuenta para realizar este experimento¿

12. ¿Cuales son los elementos que deben tenerse en cuenta para garantizar que elexperimento se realice bajo el modelo previsto¿

13. ¿Cuales son los errores que se pueden cometer al realizar este experimento¿

Materiales

. Esfera de plomo.

. Hilo inextensible de diferentes longitudes.

. Soporte universal.

. Regla.

. Cronometro.

. Transportador.

Tecnica operatoria: Antes de pasar a realizar el trabajo experimental, los estudi-antes deben pasar por el computador, para que interactuen con el simulador de esta

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practica. Cuando el computador le indique que estan preparados para desarrollar laparte operatoria, podran pasar al laboratorio y realizar los siguientes pasos:1. Realizar el montaje del Pendulo Simple.

2. Poner a oscilar el pendulo con un angulo de aproximadamente 5 grados sexages-imales. Para ello pueden utilizarse varios metodos, el estudiante debe elegir uno yjustificar dicha eleccion.

3. Colocar la cuerda inextensible a una longitud determinada y contar 60 oscila-ciones. Repetir este proceso tres veces.

4. Ubicar la cuerda a una longitud diferente a la inicial, y contar 60 oscilaciones,repetir este proceso tres veces.

5. Repetir el proceso anterior tres veces.

6. Se deben realizar no menos de tres series de mediciones de tiempo para 60 oscila-ciones, a partir de las cuales se determinara el perıodo promedio del pendulo. Losvalores deben recogerse en una tabla.

7. Se utilizara la ecuacion ω = 2π√l para la determinacion indirecta de g.

8. Se representara en un papel cuadriculado los valores obtenidos experimentalmentede longitud vs periodo.

9. Se concluyen los resultados de observar la dependencia de la aceleracion de lagravedad con la longitud del hilo.

9. Se analizan todas las fuentes de errores en el experimento, calculando el valor delos errores relativos y absolutos para presentar el mejor valor de g que puede serreportado con este experimento y se confeccionara un informe con los resultados,teniendo en cuenta la teorıa de errores que aparece en la primera parte de este man-ual de laboratorios.

10. Terminada la parte experimental, los integrantes del grupo deben ingresar alcomputador los datos obtenidos en el experimento, al hacerlo, el software le infor-mara si los valores son aceptables o no.