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“UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA”

“FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA”

Curso: Física II

N° De Laboratorio: 1° Laboratorio

Título: Péndulo Físico y Teorema de Steiner

Datos:

Escate Terrones Guillermo David Cód.: 20102025G

Madueño Cárdenas, Alexander Cód.: 20102003C

-2010-

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PRÓLOGO

Siendo este un capitulo muy importante para nuestra formación como profesionales,

detallaremos en el siguiente informe nuestros datos obtenidos en laboratorio, nuestros

cálculos y resultados finales.

Compararemos los resultados obtenidos con las ecuaciones de la guía, con los resultados

obtenidos de forma gráfica y con la ayuda de nuestros conocimientos ya conocidos de

Física I.

ÍNDICE

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PRÓLOGO...………………………………………………………………………………………………………..

ÍNDICE...………………………………………………………………………………………………………….

OBJETIVOS...……………………………………………………………………………………………………

REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA...………………………………………………………………….

FUNDAMENTO TEÓRICO………………………………………………………………………………….

HOJA DE DATOS...…………………………………………………………………………………………..

CÁLCULOS Y RESULTADOS……………………………………………………………………………….

CONCLUSIONES...……………………………………………………………………………………………

BIBLIOGRAFÍA...…………………………………………………………………………………………………

OBJETIVOS

3

4

5

10

16

2

6

15

11

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1. Asemejar nuestro péndulo físico a un péndulo simple.

2. Comprobar los resultados que nos da por el método experimental con los que nos

resulta con la teoría estudiada.

3. Aprender a obtener, mediante derivadas, el valor de I (longitud al C.G.) para que el

periodo sea mínimo.

4. Aprender a calibrar la posición del C.G. de una barra.

5. Analizar los diferentes periodos de oscilación para una determinada distancia L del

C.G.

6. Determinar experimentalmente los momentos de inercia de la barra respecto a su

punto de giro, aplicando el Teorema de Steiner.

REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA

Mesa

Barra con huecosC.G

C.G

L

ϴ°

P.E.

O

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1. Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete el soporte de madera con las mordazas simples

2. Ubique el centro de masa de la barra, suspendiendo ésta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal será el centro de gravedad CG de la barra.

3. Suspenda la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y hágala oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio. Tome el tiempo que emplea en 20 oscilaciones y mida también la distancia L (distancia del C.G a O)

4. Repetir esta operación dos veces más. Nota: Para los tres agujeros más cercanos a G sólo considere 10 oscilaciones en vez de 20.

5. Mida las dimensiones de la barra y su masa

FUNDAMENTO TEÓRICO

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Para poder realizar satisfactoriamente un trabajo experimental tenemos que tener en cuenta ciertos conceptos básicos que nos facilitarán una mejor comprensión y realización del mismo. En esta ocasión abordaremos el tema del Péndulo Físico para lo cual nos basamos en conceptos básicos referidos al Movimiento Oscilatorio, Centro de Gravedad, etc.

MOVIMIENTO OSCILATORIO:

El movimiento oscilatorio es un movimiento en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, un desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (elongación) da lugar a la aparición de una fuerza restauradora que devolverá la partícula hacia el punto de equilibrio.

En otras palabras, un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones.

Elementos del Movimiento Oscilatorio:

Fase: Se denomina así a cualquier situación particular en la que se encuentra un cuerpo o partícula que está oscilando.

Ciclo: Es aquel conjunto de fases por la que atraviesa una partícula que está oscilando, a partir de una determinada fase hasta retomar a esta en la misma situación.

Periodo (T): Es el tiempo en el que transcurre un ciclo. Frecuencia: Es aquello que nos indica la cantidad de ciclos por unidad de tiempo

con el que se mueve un cuerpo que está oscilando.

CENTRO DE GRAVEDAD:

Es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

TEOREMA DE STEINER (EJES PARALELOS)

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Con frecuencia es posible simplificar el cálculo de los momentos de inercia de diversos cuerpos utilizando el llamado teorema de los ejes paralelos, que relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masas de un objeto, con el momento de inercia respecto a otro eje paralelo al primero. Sea Icm el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas de un objeto de masa total M, e I e correspondiente a un eje paralelo situado a una distancia h del primero. El teorema de los ejes paralelos establece que:

I=I cm+M h2

PÉNDULO:

El péndulo es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo.

PÉNDULO SIMPLE

También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo. Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Ecuación del movimiento

Para escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la Segunda Ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

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donde el signo negativo tiene en cuenta que la Ft tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

Periodo de Oscilación:

T=2π √ glPÉNDULO FÍSICO:

Un cuerpo rígido que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por el centro de masas oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio. Este sistema recibe el nombre de péndulo físico. Consideremos una figura plana con un eje de rotación situado a una distancia D del centro de masas y desplazada de su posición de equilibrio un ángulo ф. El momento respecto al eje tiene como módulo MgDsenф y tiende a disminuir ф. La segunda ley de Newton aplicada a la rotación es:

T=Iα

En donde α es la aceleración angular e I es el momento de inercia respecto al eje. Sustituyendo el momento neto T por –MgDsenф y α por d2ф/dt2 tenemos:

–MgDsenф = I d2ф/dt2

O sea,

d2ф/dt2 =–MgD/I senф

Igual que en el péndulo simple, el movimiento es aproximadamente armónico simple si los desplazamientos angulares son pequeños, de manera que la aproximación senф ≈ ф sea válida. En este caso tenemos

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d2ф/dt2 = –MgD/I senф = -ω2ф

de donde ω = √−MgD/ I es la frecuencia angular del movimiento. En consecuencia, el periodo vale:

T=2πω

=2 π √ IMgD

MÉTODO PARÁBOLA MÍNIMA CUADRÁTICA

En este caso el ajuste se hará en la forma de la ecuación de la parábola:

F(x)= a0 + a1x+a2x2

∑i=1

n

yi=a0n+a1∑i=1

n

x i+a2∑i=1

n

(x¿¿i)2¿

∑i=1

n

x i y i=a0∑i=1

n

x i+a1∑i=1

n

( x¿¿ i)2+a2∑i=1

n

(x¿¿ i)3 ¿¿

∑i=1

n

(x¿¿ i)2 y i=a0∑i=1

n

(x¿¿i)2+a1∑i=1

n

(x¿¿ i)3+a2∑i=1

n

(x¿¿ i)4 ¿¿¿¿

HOJA DE DATOS

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CÁLCULOS Y RESULTADOS

1.- Llene la tabla 1 con las siguientes características

N° de Hueco

L (cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) N° Oscilaciones

Periodo T (promedio)

1 5.9 26.80 26.94 27.50 10 2.708

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2 10.9 20.37 20.81 20.80 10 2.0663 15.8 17.75 18.04 17.68 10 1.7824 20.8 33.45 33.44 33.77 20 1.6775 25.8 32.50 32.67 32.34 20 1.6256 30.8 31.92 32.00 32.13 20 1.6007 35.9 32.15 32.32 31.90 20 1.6068 40.8 32.33 32.55 32.44 20 1.6229 45.8 32.89 33.30 33.10 20 1.654

10 50.9 33.93 33.89 33.89 20 1.695

2.-

a) Grafique T vs L

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

GRÁFICA: T vs L

Series2Polynomial (Series2)Polynomial (Series2)

L (cm)

T (

Peri

odo)

Ecuación de la Gráfica: T=0.0012 L2−0.0822 L+2.9518

b) Basándonos con la ecuación del periodo en el péndulo físico, m hallar la longitud L

para la cual el periodo se haga mínimo.

T=2π √ Imgl

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Derivándolo con respecto a l:

dTdl

=(12 g l2−gk ).2 π2 .√12.g2 . l12. g2l2 .2π .√kg+12 l2

Igualándolo a cero:

dTdl

=0

Lmin=31.886674cm

b) Encuentre el valor de L donde el periodo es mínimo

T=0.0012 L2−0.0822 L+2.9518

dTdL

=0.0024 L−0.0822

Igualando a cero la derivada de T:

0.0024L – 0.0822 = 0

L = 34.25 cm

c) ¿Cuál es el periodo para esta distancia?

De la Ecuación de la Gráfica: T (L=34.25)

Tmin = 1.544 s

d) De su gráfico ¿Puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo?

Se observa que la gráfica corresponde a una función polinómica de orden 2 (parábola), por lo cual dicha función no es inyectiva demostrando así la existencia de dos puntos de oscilación con el mismo periodo.

3.- Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre el valor de Il y llene la siguiente tabla con las siguientes características.

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N° de Hueco Eje de oscilación, L

(m)

(Periodo)2,T2 (s2)

Momento de Inercia IL

L2(m2)

1 0.059 7.333 0.2032 34.81 x 10-4

2 0.109 4.268 0.2186 118.81 x 10-4

3 0.158 3.175 0.2357 249.64 x 10-4

4 0.208 2.812 0.2750 432.64 x 10-4

5 0.258 2.640 0.3201 665.64 x 10-4

6 0.308 2.561 0.3707 948.64 x 10-4

7 0.359 2.579 0.4350 1288.81 x 10-4

8 0.408 2.631 0.5043 1664.64 x 10-4

9 0.458 2.735 0.5887 2097.64 x 10-4

10 0.509 2.873 0.6871 2590.81 x 10-4

4.- Haga el gráfico IL vs L2, y ajústelo por el método de los mínimos cuadráticos cuando los puntos obtenidos están muy dispersos

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.10.20.30.40.50.60.70.8

GRÁFICA: Il vs l2

Series2Linear (Series2)

l2(cm2)

Mom

ento

de I

nerc

ia I

L

ECUACIÓN DE LA GRÁFICA: I l=1.8902 L2+0.1931

5.- Del gráfico anterior y por comparación con el Teorema de Steiner, determine IG y M

Por comparación con la ecuación del TEOREMA DE STEINER: I=I cm+M h2

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Al ser la gravedad constante:

Icm = IG = 0.1931 Kg.m2

MASA = 1.8902 Kg

6. – Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula analítica para

una barra de longitud L y ancho b, IG=112M (L2+b2)

Según la forma analítica:

IG=1121.891(1.1042+0.0362)

IG=0.1923Kg .m2

%Error = 0.4 %

7.- Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor del aula que le asigne el número de hueco.

Analizando el hueco número 4 y de la ecuación del periodo en el péndulo simple:

T=2π √ gl1.677=2π √ 9.81ll=1.43mg

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CONCLUSIONES

Existe un margen de error entre los resultados de la forma gráfica y de la forma

teórica, debido a que en nuestros cálculos consideramos una barra sin orificios.

Ajustando a una la tabla T vs L mediante mínimos cuadráticos podemos obtener

una ecuación que derivándola podemos hallar un T mínimo para un determinado L

(longitud al C.G.).

Pueden haber más de dos distancias (L) con el mismo periodo (T) de oscilación.

Es posible asemejar nuestro péndulo físico a un péndulo simple para un

determinado l (distancia al C.G.)

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Concluimos que en los tres puntos más cercanos al C.G. tomamos solo 10

oscilaciones, pues a las 20 oscilaciones no se distinguiría.

BIBLIOGRAFIA

Física Universitaria, Volumen 1 Autores: Sears; Zemansky; Young; Freedman Edición:

Decimosegunda -Editorial: Pearson Addison Wesley Capítulo 13 / Página: 438.

Física para ciencias e ingeniería volumen 1 autores: Raymond Serway y John Jewet

Edición: Séptima - Editorial: CENGAGE Learning Capítulo 15 /Página 434

Mecánica para ingenieros –Dinámica Autores: J. L. Meriam; L. G. Kraige Edición: Tercera-

Editorial: REVERTÉ S.A. Apéndice B / Página: 573.