pemahaman relasionaleprints.umm.ac.id/63106/7/utomo huda - pemahaman... · 2020. 6. 30. · daftar...

PEMAHAMAN RELASIONAL

ANALISIS PROSES PEMBUKTIAN

MENGGUNAKAN INDUKSI MATEMATIKA

Copy right ©2020, Dr. Dwi Priyo Utomo, M. Pd., Muhamad Huda,M.Pd.All rights reserved

PEMAHAMAN RELASIONALANALISIS PROSES PEMBUKTIAN MENGGUNAKAN INDUKSIMATEMATIKADr. Dwi Priyo Utomo, M. PdMuhamad Huda, M.Pd.

Editor: Akhsanul In’amDesain Sampul: RuhtataLay out/tata letak Isi: Tim Redaksi Bildung

Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)Pemahaman Relasional Analisis Proses PembuktianMenggunakan Induksi Matematika/Dr. Dwi Priyo Utomo, M. Pd.,Muhamad Huda, M.Pd./Yogyakarta: CV. Bildung Nusantara, 2020

xii + 82 halaman; 15 x 23 cm ISBN: 978-623-7148-42-5

Cetakan Pertama: 2020

Penerbit:BILDUNGJl. Raya Pleret KM 2Banguntapan Bantul Yogyakarta 55791Telpn: +6281227475754 (HP/WA)Email: [email protected]: www.penerbitbildung.com

Anggota IKAPI

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Dilarang mengutipatau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku tanpa seizintertulis dari Penerbit.

PENGANTAR PENULIS

ALHAMDULILLAH, segala puji dan syukur penulispanjatkan kehadirat Alloh SWT karena monograf ini selesaidisusun. Monograf ini disusun untuk membantu mahasiswamempelajari pemahaman relasional dan pembuktiaanmenggunakan induksi matematika.

Memiliki pemahaman relasional yang baik pada suatutopik berarti memiliki modal yang cukup untuk memecahkanmasalah terkait topik tersebut. Oleh karena itu, pada setiapbidang kajian matematika, para mahasiswa haruslahberupaya untuk memperoleh pemahaman rasional tersebut.“Boleh jadi kamu membenci sesuatu padahal ia amat baik bagimu,boleh jadi pula kamu menyukai sesuatu padahal ia amat burukbagimu. Allah mengetahui, sedang kamu tidak mengetahui.” (QSAl-Baqarah 216)

Penulis menyadari bahwa monograf ini masih banyakkekurangan, tetapi penulis meyakini sepenuhnya bahwasekecil apa pun monograf ini tetap memberikan manfaat.

Akhir kata guna penyempurnaan monograf ini kritikdan saran dari pembaca sangat penulis nantikan.

Malang, Januari 2020

Penulis

Daftar Tabel

Tabel 2.1 Pemahaman Konsep Matematika Oleh Skemp ⇒ 10Tabel 6.1 Indikator Pemahaman Relasional ⇒ 32Tabel 8.1 Indikator Pemahaman Relasional pada Pembuktian

Induksi Matematika ⇒ 40Tabel 9.1 Kategori Pemahaman Relasional ⇒ 44Tabel 9.2 Kemampuan Melakukan Prosedur Secara

Keseluruhan ⇒ 44Tabel 9.3 Indikator Kelancaran Dalam Melakukan Prosedur

⇒ 44Tabel 9.4 Indikator Memperoleh Hasil Yang Tepat ⇒ 45Tabel 9.5 Kategori Pemahaman Konseptual ⇒ 45Tabel 11.1 Pemahaman Relasional Mahasiswa Pendidikan

Matematika ⇒ 58Tabel 12.1 Indikator Kemampuan Melaksanakan Prosedur

⇒ 58Tabel 12.2 Indikator Kelancaran Dalam Melakukan Prosedur

⇒ 60Tabel 12.3 Indikator Memperoleh Hasil Yang Tepat ⇒ 60Tabel 13.1 Indikator Menunjukkan Mampu Melakukan

Prosedur ⇒ 61

viii Pemahaman Relasional

Tabel 13.2 Indikator Mengetahui Kapan MenggunakanProsedur ⇒ 62

Tabel 13.3 Indikator Memiliki Pengetahuan Prasyarat YangDibutuhkan Dalam Melakukan Prosedur ⇒ 62

Tabel 13.4 Indikator Mengetahui Kesalahan Pada Prosedur⇒ 63

Tabel 13.5 Indikator Memberikan Argumen Yang LogisDalam Melakukan Prosedur ⇒ 63

Tabel 13.6 Indikator Mengenali Bentuk Soal Baru Yang DapatDiselesaikan Menggunakan Prosedur ⇒ 64

Daftar Gambar

Gambar 5.1 Pemahaman Relasional & PemahamanInstrumental ⇒ 26

Gambar 10.1 Subjek T1 Mampu Melakukan Prosedur Induksidengan Tepat ⇒ 47

Gambar 10.2 Menunjukkan Subjek T1 Memperoleh Hasilyang Tepat ⇒ 49

Gambar 10.3 Menunjukkan Bahwa Subjek T1 MengetahuiKapan menggunakan Prosedur Induksi denganTepat ⇒ 51

Gambar 10.4 Menunjukkan Bahwa Subjek T1 MemilikiPengetahuan Prasyarat yang Dibutuhkan SaatMelakukan prosedur Induksi dengan Tepat ⇒ 42

Gambar 10.5 Menunjukkan Bahwa Subjek T1 MengetahuiKesalahan yang Dilakukan pada Prosedur Induksidengan Tepat ⇒ 53

Gambar 10.6 Menunjukkan Subjek T1 Mampu MemberikanArgumen yang Logis dalam Melakukan ProsedurInduksi ⇒ 54

Daftar Isi

Pengantar Penulis ⇒ vDaftar Tabel ⇒ viiDaftar Gambar ⇒ ixDaftar Isi ⇒ xi

Bab 1 Pendahuluan ⇒ 1Bab 2 Teori Skemp dan Teori Polya ⇒ 7Bab 3 Teori Skemp Tentang Pemahaman Relasional ⇒ 17Bab 4 Pemahaman Relasional ⇒ 21Bab 5 Pemahaman Relasional dan Instrumental ⇒ 25Bab 6 Indikator Pemahaman Relasional ⇒ 31Bab 7 Induksi Matematika ⇒ 33Bab 8 Pembuktian dengan Induksi Matematika ⇒ 37Bab 9 Metode Penelitian ⇒ 41Bab 10 Analisis Pemahaman Relasional ⇒ 47Bab 11 Pemahaman Rasional dan Induksi Matematika ⇒ 57Bab 12 Pemahaman Relasional Kategori Prosedural ⇒ 59Bab 13 Pemahaman Relasional Kategori Konseptual ⇒ 61Bab 14 Penutup ⇒ 65

Daftar Pustaka ⇒ 67Glosarium ⇒ 73Indeks ⇒ 77Biodata Penulis ⇒ 79

Bab 1

Pendahuluan

MATEMATIKA SEBAGAI ilmu pengetahuan yangmenggunakan penalaran deduktif, mengandalkan logikadalam meyakinkan kebenaran suatu pernyataan, faktor intuisidan pola berpikir induktif banyak berperan pada proses awaldalam merumuskan suatu konjektur (conjecture) yaitu dugaanawal dalam matematika (Hernadi, 2008). Struktur dan sistemdalam matematika tersusun secara deduktif aksiomatikdimana struktur tersebut diawali dengan istilah yang tidakdidefinisikan, istilah yang didefinisikan, lalu disusunpernyataan pangkal yang biasa disebut aksioma atau postulat,selanjutnya disusun teorema-teorema disertai definisi-definisi,teorema yang disusun harus dibuktikan melalui prosesdeduktif sehingga kebenarannya berlaku secara umum dalamsistemnya (Lestari, 2015). Induksi matematika berdiri sebagaisebuah aksioma, artinya kita menerima kebenaran dari prinsiptersebut tanpa meminta buktinya, dan memang padakenyataannya, induksi matematika dianggap sebagai salahsatu dasar aksioma dalam beberapa teori matematika yangmelibatkan bilangan asli (Miksalmina, 2012; Putri, 2016).

2 Pemahaman Relasional

Induksi matematika merupakan suatu teknik yangdikembangkan dalam membuktikan suatu pernyataan yangberkaitan dengan objek matematika yang bersifat diskrit, misalteori bilangan, teori graf, kombinatorik (Itzkovitch &Ashkenazi, 2014; Putri, 2016). Induksi matematika, buktilangsung, bukti tidak langsung, bukti kontradiksi, buktiketunggalan merupakan metode pembuktian matematikayang digunakan oleh matematikawan untuk menjelaskanpernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya(Suandito, 2017).

Pembuktian matematika dapat meningkatkan dayakritis, kreatif dan reflektif (Putu & Harini, 2016). Terdapatalasan mengapa matematikawan melakukan pembuktianyaitu untuk membangun sebuah fakta dengan pasti,mendapatkan pemahaman, mengkomunikasikan gagasankepada orang lain, untuk tantangan, menciptakan sesuatuyang indah, dan membangun teori matematika yang besar(Suandito, 2017). Beberapa alasan mengapa mahasiswa perludiberikan pembelajaran pembuktian yaitu: 1) bukti adalahbagian integral dalam matematika, 2) untuk verifikasi danpenemuan fakta, 3) untuk pengembangan kemampuanberpikir logis dan kritis mahasiswa, dan 4) mempercepat danmeningkatkan pemahaman matematik mahasiswa (Syafri,2017).

Matematika di tingkat perguruan tinggi menuntutmahasiswa calon guru matematika agar mencapai tahap dimana mahasiswa tidak lagi hanya mendalami pemecahanmasalah yang telah diketahui metode dan algoritmanya,namun lebih kepada menulis pembuktian dan menghasilkancontoh penyangkal yang melibatkan objek dan konsep yangabstrak, serta melakukan aktivitas matematis dengan algoritmayang tidak didefinisikan (Perbowo & Pradipta, 2017).

3

Penelitian terdahulu mengungkapkan bahwamahasiswa masih mengalami kesulitan dalam melakukanpembuktian. Mahasiswa pendidikan matematika UNSmengalami kesulitan dalam melakukan pembuktian langsung,tidak langsung dan pembuktian induksi matematika (Putri,2016). Mahasiswa semester VI program studi pendidikanmatematika FKIP Unsika tahun ajaran 2013-2014, diperolehdata bahwa 79,54% mahasiswa belum mampu menyusunbukti kebenaran suatu pernyataan secara matematisberdasarkan definisi, prinsip dan teorema (Lestari, 2015).Mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas NegeriMalang mengalami kesulitan dalam melakukan bukti formaldari suatu pernyataan pada matakuliah kalkulus I(Hidayanto, 2015).

Kesulitan dalam pembuktian umumnya ditemukanpada masalah pembuktian konsep baik dalam hal memahamibukti dari teorema, lemma, corollary, ataupun dalam halmenyelesaikan soal-soal pembuktian, adapun penyebabkesulitan tersebut antara lain: (1) kurangnya pemahamanmahasiswa terhadap konsep yang akan dibuktikan, (2)kurangnya pemahaman tentang metode-metode pembuktianyang akan digunakan, (3) kurangnya kemampuan dalammemanipulasi fakta-fakta yang diketahui dan menkaitkannyadengan yang akan dibuktikan serta (4) kurangnyakemampuan dalam menyusun alur/sistematika bukti tersebut(Minggi, Paduppai, & Assagaf, 2016; Salsabila & Hadi, 2015).

Pemahaman relasional memegang peran penting dalampemahaman konsep. Dengan adanya pemahaman relasionalmaka seseorang tidak hanya sekedar dapat menggunakankonsep matematika namun juga memahami alasan di setiapprosedur yang dilakukan. Dalam pembuktian, pemahamanrelasional akan membantu memahami bagaimana meng-

Bab 1 Pendahuluan


gunakan konsep dalam pembuktian dan mengapa setiapproses dilakukan dalam pembuktian sehingga prosespembuktian dilakukan dengan benar (Skemp, 1978).

Skemp (1978) menggambarkan pemahaman relasionalyaitu mengetahui apa yang harus dilakukan dan mengapa.Hal ini dapat diartikan bahwa pemahaman relasional adalahpemahaman mahasiswa untuk mengetahui prosedur yangakan digunakan dan memiliki alasan setiap langkah mengapaprosedur tersebut dilakukan. Pemikiran relasional tidak hanyaberfokus pada prosedur untuk mendapatkan jawaban semata,namun pada pembelajaran pemahaman relasional ini akanmeningkatkan pemahaman mahasiswa (Napaphun, 2012).Ada empat manfaat pemahaman relasional padapembelajaran matematika antara lain: (1) memudahkandalam menyelesaikan masalah yang lebih rumit; (2)memudahkan untuk mengingat dan memahami konsepmatematika; (3) sebagai pemahaman yang memudahkanuntuk mencapai tujuan pembelajaran; (4) pemahamanrelasional merupakan sebuah pemahaman yang mampumenciptakan idea yang original (Skemp, 2006).

Mengingat manfaat pemahaman relasional makadiharapkan mahasiswa mampu mengembangkan pemahamantersebut namun belajar untuk menumbuhkan pemahamanrelasional sangatlah sulit. Mahasiswa harus membangunsebuah struktur konsep dari sebuah prinsip yang menghasilkanbanyak rencana yang tak terbatas untuk menghasilkan sebuahkonsep (Star & Stylianides, 2013). Menumbuhkan pemahamanrelasional bukan sesuatu yang mudah namun jugamembutuhkan waktu yang lama. Pemahaman relasionalmampu mengembangkan empat hal antara lain: (1)mengembangkan pemahaman yang benar tentang konsepmatematika; (2) melatih mahasiswa untuk biasa melihat

5

masalah secara keseluruhan; (3) mengembangkanketerampilan dalam menggunakan prinsip dan konsepmatematika; (4) mengembangkan kemampuan induktif(Napaphun, 2012).

Penelitian yang terkait dengan pemahaman relasionalantara lain yaitu penelitian yang dilakukan oleh Bahar,Rahman, & Minggi (2012). Penelitian tersebut mengungkapkanbahwa subjek tinggi dan subjek sedang memiliki pemahamanrelasional terhadap konsep limit, sedangkan subjek rendahmemiliki pemahaman instrumental terhadap konsep limit.Penelitian yag dilakukan oleh Rahma, Mubarokah, & Aunillah(2015) mengungkapkan bahwa siswa SMPN 2 BuduranSidoarjo dapat menyelesaikan masalah dengan konsep yangtepat akan tetapi siswa tidak mengetahui alasan atau dasarsetiap langkah-langkah yang ditempuh. Hal ini menunjukkanbahwa pemahaman relasional siswa yang berkemampuanmatematika tingkat tinggi, sedang maupun rendah masihsangat kurang. Penelitian yang dilakukan oleh Tatak,Kurniawan, & Rudhito (2016) mengungkapkan bahwa siswamengalami kesulitan untuk berpikir relasional dalammenghubungkan antara masalah kontekstual dalam PMRterhadap materi fungsi linear terlebih pada penyajian datamenggunakan grafik fungsi dimana siswa belum mampumenggunakan grafik untuk menentukan hasil fungsi padapermasalahan kontekstual.

Berdasarkan uraian di atas, rumusan masalah yangdikemukakan pada penelitian ini adalah bagaimanapemahaman relasional mahasiswa pada pembuktian induksimatematika. Beberapa alasan mengapa penelitian ini pentingdilakukan antara lain: (1) berdasarkan paparan penelitianterdahulu bahwa belum ditemukan adanya penelitian yangmengkaitkan pemahaman relasional dengan pembuktian

Bab 1 Pendahuluan


matematika, kebanyakan penelitian yang terdahulu tentangpembuktian yaitu menganalisis kesalahan dalam pembuktianatau menggunakan metode dan bahan ajar untukmeningkatkan kemampuan pembuktian; (2) mengingatpentingnya pemahaman relasional dalam pembelajaranmatematika menurut Skemp (2006) maka penelitian ini perludilakukan.

Bab 2

Teori Skemp dan Teori Polya

A. Teori Belajar Skemp

RICHARD SKEMP adalah seorang ahli dalam bidangmatematika dan psikologi, serta sebagai pelopor utama dalamPendidikan Matematika yang pertama kali mengintegrasikandisiplin matematika, pendidikan dan psikologi. Ia lahir diBristol 10 Maret 1919 dan meninggal di Coventry 22 Juni 1995,ia merupakan putra dari seorang Profesor AR Skemp dariUniversity of Bristol, Skemp menikah pada tahun 1961 denganseorang wanita bernama Valerie Watts. Skemp mendapatkangelarnya sebagai seorang sarjana di Wellington CollegediBerkshire, Inggris pada tahun 1932, dengan mendapatkanbeasiswa terbuka di Jurusan Matematika di Hertford College,Oxford, pada tahun 1937-1939 dan tahun 1945-1947. Saatterjadinya perang Skemp turut andil dan bertugas di SinyalKerajaan di India hingga ia berhasil mencapai pangkatKapten.

Skemp (1978) percaya bahwa anak-anak bisa belajarcerdas dari usia dini, menghasilkan kerangka kurikulum yanglengkap untuk usia 5-11 yang dikenal sebagai Kegiatan


Struktur di Belajar yang Cerdas. Pengembangan pendidikanmatematika sebagai disiplin akademis berutang banyakkepada Richard Skemp untuk 40 tahun merintis kerja. Ketikaia mencapai gelar PhD dari Universitas Manchester padatahun 1959, ia adalah salah satu dari segelintir dosen juniormeneliti di bidang tersebut. Buku yang ditulis oleh Skemp yangberjudul “The Psychology of Learning Mathematics” pada tahun1971 adalah salah satu buku terlaris di matematika di sekolah,yang telah diterjemahkan ke dalam lebih dari 10 bahasa. Misiseumur hidup Richard Skemp adalah untuk meningkatkanpengajaran matematika di kelas. Agar tercapainya dalammendidik guru tentang sifat pembelajaran dan denganmenyediakan bahan ajar yang berkualitas tinggi, dihasilkansecara kolaboratif dan berdasarkan teori-teorinya. Dalam halini tidak begitu banyak ide-ide yang baru, dia mengakuiberhutang kepada Jean Piaget dan lain-lain. Untuk Skemppemikiran matematis setiap anak adalah penting, rasional danmenarik. Dia tidak mementingkan diri sendiri, tetapi memberibanyak perhatian terhadap pandangan guru utama di luarnegeri atau kepada anak-anak yang berusia lima tahun yangmasih belajar dan mengalami perkembangan. Dengankemurahan hatinya, Richard Skemp memberi waktu kepadaindividu yang tak terhitung jumlahnya.

Skemp (1971) menyatakan bahwa pemahaman konsepmatematika ada dua jenis, yaitu pemahaman instrumentaldan pemahaman relasional. Pemahaman instrumental suatukonsep matematika berarti suatu pemahaman atasmembedakan sejumlah konsep sebagai pemahaman konsepsaling terpisah dan hanya hafal rumus dengan perhitungansederhana. Sedangkan pemahaman relasional adalah dapatmelakukan perhitungan secara bermakna pada permasalahan-permasalahan yang lebih luas.

9

Contoh: Dalam belajar 2x3 = 3x2 siswa dapatmenggunakan potongan-potongan karton persegi. Ataumelalui permainan. Pemahaman Skemp Richard Skempadalah seorang ahli matematika yang kemudian belajarpsikologi. Dia mengintegrasikan kedua disiplin, pendidikandan psikologi untuk menjelaskan cara belajar matematika.Yang mendasari argumennya adalah bahwa peserta didikmembangun schemata untuk menghubungkan apa yangmereka sudah tahu dengan pembelajaran dan pengetahuanyang baru. Menurut Skemp, matematika melibatkan hirarkiyang luas tentang konsepnya. Kita tidak bisa mengetahuisuatu materi konsep baru tanpa memahami materi konsepsebelumnya. Skemp juga mengemukakan bahwa emosimemainkan peran yang dominan dalam cara penyampaianmateri dan penerimaan materi oleh peserta didik.

Siswa yang memiliki pemahaman instrumental sajabelum dapat dikatakan memiliki pehamaman secarakeseluruhan, seperti yang dikatakan oleh Skemp (1978)“instrumental understanding, I would until recently not haveregarded as understanding at all”. Pemahaman instrumentaldikatakan juga sebagai “rules without reasons”. Sedangkansiswa yang telah memiliki pemahaman relasional memilikifondasi atau dasar yang lebih kokoh dalam pemahamannya.Jika siswa lupa dengan rumus, mereka masih memilikipeluang untuk menyelesaikan soal dengan cara lainnya.Menurut Skemp, pemahaman relasional dapat diartikansebagai pemahaman yang memahami dua hal secarabersama-sama yaitu “ Knowing both what to do and why”.

Bab 2 Teori Skemp dan Teori Polya


Tabel 2.1 Pemahaman Konsep Matematika Oleh Skemp

Sumber: Skemp (2006)

Berdasar pada pendapat Skemp di atas, kemampuansiswa dalam menyelesaikan sebuah soal matematika dapatdikategorikan sebagai pemahaman relasional dan dapat jugadikategorikan sebagai pemahaman instrumental denganalasan berikut.

Pemahaman Instrumental Pemahaman Relasional

1. Definisi Kemampuan seseorang

Menggunakan prosedur

matematik untuk

menyelesaikan suatu

masalah tanpa mengetahui

mengapa prosedur itu

digunakan (rules without reason).

Kemampuan menggunakan

suatu aturan dengan penuh

kesadaran mengapa ia

menggunakan aturan tersebut

(knowing what to do and why)

2. Cara

Menyampaikan

Konsep

a. Hapalan

b. Bergantung pada

petunjuk

c. Tidak menggunakan

alat dan hanya berfokus

pada perhitungan

a. Keterkaitan banyakide

b. Membangun stuktur

konseptual

c. Aktivitas semantik, seperti

mencari sebab, membuat

induksi mencari prosedur

alternatif dan sebagainya.

3. Kelebihan a. Pemahaman

instrumental lebih

mudahdipahami

b. Reward atau

penghargaan dapat

dengan cepat dan lebih

jelas diberikan

c. Siswa dapat memproleh

jawaban dengan cepat

a. Lebih mudah disesuaikan

untuk menyelesaikan tugas

baru

b. Lebih mudah untuk

mengingat kembali

c. Dapat menjadi tujuan yang

efektif dalam dirisendiri

d. Memiliki skema yang dapat

diperluas

4. Contoh (siswa

yang diberikan

konsep mengenai

luas segitiga dan

persegi panjang)

Hafal rumus luas segitiga

dan persegi panjang, tapi

belum atau tidak tahu

hubungan kedua rumus

tersebut.

Dapat merumuskan sendiri luas

segitiga dari luas persegi

panjang karena dapat

menghubungkan bahwa

segitiga terbentuk dari persegi

panjang yang dibagimenjadi

dua bangun yang kongruen.

11

Siswa dapat dikategorikan sebagai pemahamanrelasional jika siswa di samping ia sudah dapat menentukanhasil namun ia juga harus dapat menjelaskan mengapahasilnya adalah seperti itu. Contohnya, untuk soal integraltak tentu. Siswa harus dapat menjelaskan bahwa integral taktentu suatu fungsi adalah menentukan suatufungsi yang jika diturunkan hasilnya adalah . Iaharus dapat meyakinkan orang lain dan dirinya sendiri bahwahasil integral tersebut adalah benar.

Siswa dapat dikategorikan hanya memiliki pemahamaninstrumental, jika siswa hanya dapat menentukan hasilnamun ia tidak dapat menjelaskan mengapa hasilnya adalahseperti itu. Karenanya, kemampuan yang seperti ini olehSkemp belum dikategorikan sebagai pemahaman. Sedangkanpemahaman relasional oleh Skemp sudah dikategorikansebagai pemahaman.

Setiap teori pembelajaran yang dikemukakan oleh paraahli pasti mempunyai kekurangan serta kelebihannya masing-masing termasuk teori pembeljaran yang dikemukakan olehSkemp. Berikut ini adalah kekurangan dan kelebihan dari teoriyang dikemukakan oleh Skemp.

♦ Kekurangan teori Skemp adalah : (1) pemahamaninstrumental termasuk kedalam pemaham jangkapendek, (2) pemahaman rasional membutuhkanwaktu yang sedikit lebih lama dan pemahaman yanglebih mendalam dalam proses pemahamannya, dan(3) teorinya Skemp tidak begitu banyak ide-ide baru.

♦ Kelebihan teori Skemp adalah (1) pemahamanInstrumental benar-benar berguna ketika Anda harustahu bagaimana melakukan tugas tertentu dengancepat, dan tidak terlalu khawatir tentang bagaimana



tugas ini cocok dengan tugas-tugas lain yang sejenis,(2) pemahaman relasional berguna ketika Anda inginmengeksplorasi ide-ide lebih lanjut, yang tidak pedulitentang tujuan Anda, dan lebih peduli dengan proses,(3) pemahaman ini dalam jangka waktu yang panjangbukan hanya mengerti tapi juga paham apa yangterjadi dan kenapa hal tersebut terjadi, dan (4) TeoriSkemp ini cocok digunakan untuk proses belajar danmengajar Matematika.

Berdasarkan apa yang dijelaskan Skemp, inti belajarmatematika adalah agar siswa memiliki pemahamanrelasional di mana para siswa harus dapat melakukan sesuatu(apanya) namun ia juga harus dapat menjelaskan mengapaia harus melakukan sesuatu seperti itu (mengapanya).

B. Teori Belajar Polya

Polya layak disebut matematikawan paling berpengaruhpada abad 20. Riset mendasar yang dilakukan pada bidanganalisis kompleks, fisika matematikal, teori probabilitas,geometri dan kombinatorik banyak memberi sumbangsih bagiperkembangan matematika. Sebagai seorang guru yangpiawai, minat mengajar dan antusiasme tinggi tidak pernahhilang sampai akhir hayatnya. Semasa di Zurich, karya-karyadi bidang matematika sangat beragam dan produktif. Tahun1918, mengarang makalah tentang deret, teori bilangan, sistemvoting dan kombinatorik. Tahun berikutnya, menambahdengan topik-topik seperti astronomi dan probabilitas.Meskipun pikiran sepenuhnya ditumpahkan untuk topik-topik di atas, namun Polya mampu membuat hasilmengesankan pada fungsi-fungsi integral.

13

Tahun 1933, Polya kembali mendapatkan Rocke fellerFellow ship dan kali ini dia pergi ke Princeton. Saat di Amerika,Polya diundang oleh Blichfeldt untuk mengunjungi Stanfordyang menarik minatnya. Kembali ke Zurich pada tahun 1940,namun situasi di Eropa menjelang perang dunia II, memaksaPolya kembali ke Amerika. Bekerja di universitas Brown danSmith College selama 2 tahun, sebelum menerima undangandari Stanford yang diterimanya dengan senang hati. Sebelummeninggalkan Eropa, Polya sempat mengarang buku How toSolve It yang ditulis dalam bahasa Jerman. Setelah mencobamenawarkan ke berbagai penerbit akhirnya dialihbahasakanke dalam bahasa Inggris sebelum diterbitkan oleh Princeton.Buku ini ternyata menjadi buku best seller yang terjual lebihdari 1 juta copy dan kelak dialih bahasakan ke dalam 17bahasa. Buku ini berisikan metode-metode sistematis gunamenemukan solusi atas masalah yang dihadapi danmemungkinkan seseorang menemukan pemecahannyasendiri karena memang sudah ada dan dapat dicari.

Memecahkan suatu masalah merupakan suatu aktivitasdasar bagi manusia. Kenyataan menunjukkan, sebagian besarkehidupan kita adalah berhadapan dengan masalah-masalah.Kita perlu mencari penyelesaiannya. Bila kita gagal dengansuatu cara untuk menyelesaikan suatu masalah, kita harusmencoba menyelesaiakannya dengan cara lain. Kita harusberani menghadapi masalah untuk menyelesaiakannya. Polya(Hadi & Radiyatul, 2014) mengartikan pemecahan masalahsebagai satu usaha mencari jalan keluar dari satu kesulitanguna mencapai satu tujuan yang tidak begitu mudah segerauntuk dicapai. Pemecahan masalah dapat berupamenciptakan ide baru, menemukan teknik atau produk baru.Bahkan didalam pembelajaran matematika, selain pemecahanmasalah mempunyai arti khusus, istilah tersebut mempunyai



interpretasi yang berbeda, misalnya menyelesaikan soal ceritayang tidak rutin dan mengaplikasikan matematika dalamkehidupan sehari-hari.

Polya mengajukan empat langkah fase penyelesaianmasalah yaitu memahami masalah, merencanakanpenyelesaian, menyelesaikan masalah dan melakukanpengecekan kembali semua langkah yang telah dikerjakan(Siahaan, Dewi, & Said, 2018; Netriwati, 2016). Fasememahami masalah tanpa adanya pemahaman terhadapmasalah yang diberikan, siswa tidak mungkin menyelesaikanmasalah tersebut dengan benar, selanjutnya para siswa harusmampu menyusun rencana atau strategi. Penyelesaianmasalah, dalam fase ini sangat tergantung pada pengalamansiswa lebih kreatif dalam menyusun penyelesaian suatumasalah, jika rencana penyelesaian satu masalah telah dibuatbaik tertulis maupun tidak. Langkah selanjutnya adalah siswamampu menyelesaikan masalah, sesuai dengan rencana yangtelah disusun dan dianggap tepat. Langkah terakhir dariproses penyelesaian masalah menurut polya adalahmelakukan pengecekan atas apa yang dilakukan. Mulai darifase pertama hingga hingga fase ketiga. Dengan model sepertiini maka kesalahan yang tidak perlu terjadi dapat dikoreksikembali sehingga siswa dapat menemukan jawaban yangbenar-benar sesuai dengan masalah yang diberikan.

Tingkat kesulitan soal pemecahan masalah harus disesuaikan dengan tingkat kemampuan siswa. Disadari atautidak setiap hari kita diperhadapkan dengan berbagaimasalah yang dalam penyelesaiannya, sering kita dihadapkandengan masalah–masalah yang tidak bisa diselesaikan dengansegera. Dengan demikian, tugas guru adalah membantu siswadalam menyelesaikan masalah dengan spektrum yang luasyakni membantu siswa dalam memehami masalah, sehingga

15

kemampuan dalam memahami konteks masalah bisa terusberkembang menggunakan kemampuan inkuiri dalammenganalisa alasan mengapa masalah itu muncul. Dalammatematika hal seperti itu biasanya berupa pemecahanmasalah yang didalamnya termuat soal cerita untukmengembangkan kemampuan siswa dalam pemecahanmasalah hal yang perlu ditingkatkan adalah kemampuanmenyangkut berbagai hal teknik dan strategi pemecahmasalah, pengetahuan, keterampilan dan pemahamanmerupakan elemen–elemen penting dalam belajar matematikaterkadang guru menghadapi kesulitan dalam mengajarkancara menyelesaikan masalah dengan baik. Sementara dipihaklain siswa mengalami kesulitan bagaimana menyelesaikanmasalah yang diberikan guru, kesulitan ini muncul, karenamencari jawaban dipandang sebagai satu-satunya tujuanyang ingin dicapai, karena hanya terfokus pada jawaban.


Bab 3

Teori Skemp Tentang

Pemahaman Relasional

SKEMP PERCAYA bahwa anak bisa belajar secara cerdassejak usia dini, menghasilkan kerangka kurikulum lengkapuntuk usia 5-11 tahun yang dikenal sebagai kegiatanterstruktur di cerdas belajar. Skemp meyakini bahwa agarbelajar menjadi berguna bagi seseorang, sifat-sifat umum daripengalaman harus dipadukan untuk membentuk suatustruktur konseptual atau suatu skema. Bagi guru, ini berartibahwa struktur matematika harus disusun agar jelas bagisiswa sebelum mereka dapat menggunakan pengetahuanawal sebagai dasar untuk belajar pada tahap berikutnya, atausebelum mereka menggunakan secara efektif pengetahuanmereka untuk menyelesaikan masalah tentang pentingnyastruktur ini.

Skemp (1978), juga membedakan teori pemahamanrelasional dan pemahaman instrumental. Skemp menyatakanbahwa pemahaman instrumental sejatinya belum termasukpada kategori pemahaman, sedangkan pemahaman relasionalsudah termasuk pada kategori pemahaman. Dimisalkan adaseorang siswa yang mampu menyelesaikan sebuah persoalan


matematika, apakah siswa tersebut sudah memiliki pemahamanrelasional atau hanya memiliki pemahaman instrumental?.

Berdasarkan permasalahan di atas Skemp menyimpul-kan bahwa kemampuan siswa dalam menyelesaikan sebuahpersoalan matematika dapat dikategorikan sebagaipemahaman relasional dan dapat juga dikategorikan sebagaipemahaman instrumental dengan alasan sebagai berikut:

1) dapat dikategorikan sebagai pemahaman relasionaljika si siswa disamping ia sudah dapat menentukanhasil namun ia juga harus dapat menjelaskan mengapahasilnya seperti itu;

2) dapat dikategorikan hanya sebagai pemahamaninstrumental jika siswa hanya dapat menentukan hasilnamun ia tidak dapat menjelaskan mengapa hasilnyaseperti itu.

Siswa yang memiliki pemahaman relasional memilikifondasi atau dasar yang lebih kokoh dalam pemahamannyatersebut. Jika siswa lupa dengan rumus, maka ia dapatmenggunakan pemahamannya dengan cara coba-coba dandapat mengecek kebenaran hasil yang ia dapat denganmembalikkan rumus.

Selama proses pembelajaran di kelas, para pendidikmatematika diharapkan dapat memfasilitasi siswanyasedemikian rupa sehingga para siswa memiliki pemahamanrelasional. Ada dua prinsip untuk matematika sekolah, yaitu;

a. prinsip pengajaran menyatakan bahwa pengajaranmatematika yang efektif membutuhkan pemahamanterhadap pengetahuan siswa dan membutuhkanproses belajar, dan setelah itu menantang danmembantunya agar dapat belajar dengan baik.

19

b. prinsip pembelajaran menyatakan bahwa siswa harusbelajar matematika dengan pemahaman secara aktifmembangun pengetahuan baru berdasarkanpengalaman dan pengetahuan yang sudah dimilikinya.

Menurut Skemp (1978), belajar terpisah menjadi duatahap. Tahap pertama dengan memanipulasi benda-bendaakan memberikan dasar bagi siswa untuk belajar lebih lanjutuntuk menghayati ide-ide. Skemp mendukung interaksi siswadengan objek-objek fisik selama tahap-tahap awal mempelajarikonsep. Pengalaman awal ini akan membentuk dasar bagibelajar berikutnya pada tahap kedua, yaitu pada tingkat yangabstrak. Menurut Richard Skemp, belajar matematika perludua tahap, yaitu sebagai berikut:

1) perlu menggunakan benda-benda konkret untukmemberikan basis bagi peserta didik dalam menghayatiide-ide matematika yang abstrak;

2) tingkat abstrak, yaitu mulai meninggalkan bendakonkret untuk menuju ke pemahaman matematikayang memang memuat objek-objek abstrak.

Menurut Skemp (1971), inti belajar matematika adalahagar siswa memiliki pemahaman relasional dimana parasiswa harus dapat melakukan sesuatu namun ia juga harusdapat menjelaskan mengapa ia harus melakukan sesuatuseperti itu. Jika siswa memiliki pemahaman relasional, iamemiliki fondasi atau dasar yang lebih kokoh dalampemahamannya tersebut. Jikalau siswa lupa dengan rumus,maka ia masih punya peluang menyelesaikan soal dengancara coba-coba. Sebagai tambahan, siswa dapat mengecekkebenaran hasil yang ia dapatkan dengan membalikkanrumus. Contoh, untuk soal integral dapat dicek hasilnya benaratau salah dengan mendifferensialkan hasilnya. Namun jika

Bab 3 Teori Skemp tentang Pemahaman Relasional


siswa hanya memiliki pemahaman instrumental, ia hanya bisamenghafalkan rumus dan tidak faham dengan konsep.Contoh, integral adalah anti differensial. Ketika ia lupadengan rumus, maka ia tak punya peluang untuk mencoba-coba.

Bab 4


PEMAHAMAN MERUPAKAN keadaan kognisi yang terciptadari hubungan tata bahasa dan konsep matematika (Byers,1980). Mengetahui bahwa sebuah fakta, konsep dan prinsipdalam matematika sehingga memperoleh sebuah maknadapat dikatakan sebuah pemahaman (Yoong, 1987). Davis(2015) menjelaskan bahwa pemahaman merupakan prosespengorganisasian dan pengintegrasian pengetahuan sesuaidengan seperangkat kriteria.

Pemahaman itu tidak mengandung jawaban atauprosedur yang salah sebagai keadaan permanen, melainkansebagai tahap menuju pengetahuan independen (Walshaw,2017). Pemahaman merupakan proses asimilasi ke dalamskema yang tepat sehingga memunculkan sifat subjektif daripengetahuan, salah satu kriteria utama dari pemahamanadalah membentuk koneksi untuk menggunakan pengetahuanbaru dalam berbagai situasi yang berbeda (Skemp, 1971).Menentukan nilai dari sebuah struktur konsep denganpengalaman yang cukup, melakukan tindakan berdasarkanpengalaman, kemampuan sebagai sarana untuk menyelesaikanmasalah yang berkelanjutan dan konsisten disebut pemahaman(Glasersfeld, 1983).


Berdasarkan pandangan para ahli di atas makapemahaman adalah kemampuan untuk menyelesaikanmasalah yang sedang dihadapi sehingga menemukan sebuahsolusi. Skemp (1978) menggambarkan pemahaman relasionalyaitu mengetahui apa yang harus dilakukan dan mengapa,dapat diartikan bahwa pemahaman relasional adalahpemahaman mahasiswa untuk mengetahui prosedur yangdigunakan dan mengetahui alasan mengapa prosedur tersebutdilakukan. Sedangkan John, Jennifer, Louann, & Karen (2014)mendeskripsikan pemahaman relasional berarti memahamisetiap konsep atau prosedur baru tidak hanya dipelajari, tapijuga berhubungan dengan gagasan yang telah dimiliki agarbisa mendapatkan koneksi dengan ide yang banyak. MenurutMinarni, Napitupulu, & Husein (2016) pemahaman relasionaladalah kemampuan untuk menyimpulkan peraturan atauprosedur yang spesifik dari hubungan matematis yang lebihumum. Selain itu Weber (2002) berpandangan bahwapemahaman relasional merupakan pemahaman sebuahgagasan informal pada konsep serta memahami definisi terkaitkonsep dan mengetahui alasan mengapa konsep tersebutbenar. Woodruff (2005) mengartikan pemahaman relasionalialah pemahaman yang timbul dari fenomena interaksiperspektif relasional. Berdasarkan pandangan para ahli diatas maka pemahaman relasional ialah pemahamanmahasiswa menggunakan prosedur dan mengetahuimengapa menggunakannya.

Pemahaman relasional merupakan jaringan ide yangkaya. Pada saat proses penyelesaian masalah berdasarkanstruktur pemahaman relasional, akan terjadi prosespenguraian masalah kebagian-bagian yang lebih kompleksuntuk mempermudah memecahkan masalah yang diberikandan mengaitkan dengan konsep-konsep yang telah dipelajari.

23

Dengan demikian bagian tersebut dapat dipetakanmembentuk skema atau jaringan yang saling berelasi antarasatu dengan yang lainnya. Seperti yang dikatakan oleh Utomo(2010), pemahaman relasional adalah pemahaman terhadapketerkaitan antara pengetahuan konseptual dan pengetahuanprosedural yang dibentuk dan dikembangkan melaluipengaitan antara konsep yang satu dengan konsep lainnya,antara relasi konsep-konsep dengan konsep yang lain lagi,antara relasi konsep- konsep dengan relasi konsep-konseplainnya.

Jaringan ide pemahaman relasional dapat memberikanilustrasi kepada kita bagaimana pemahaman relasional yangdimiliki siswa, bagaimana jaringan ide-ide yang dimiliki siswauntuk menyelesaikan suatu masalah matematika. Olehkarena itu, untuk mengetahui ilustrasi atau diskripsibagaimana pemahaman relasional matematika yang dimilikisiswa dalam menyelesaikan masalah matematika adalahdengan menganalisis relasi-relasi antara konsep-konsep danprosedur siswa dalam mengerjakan permasalahan matematika.

Bab 4 Pemahaman Relasional

Bab 5

Pemahaman Relasional dan

Instrumental

SKEMP (1978) MENGATEGORIKAN pemahaman menjadidua jenis, yaitu pemahaman relasional dan pemahamaninstrumental. Pemahaman relasional menurut skemp adalah“Relational understanding is described as knowing both what todo ang why”, artinya kemampuan seseorang menggunakansuatu prosedur matematis yang berasal dari hasil meng-hubungkan berbagai konsep matematis yang relevan dalammenyelesaikan suatu masalah dan kemampuan menjelaskanmengapa prosedur tersebut dapat digunakan.

Pemahaman relasional merupakan jaringan ide yangkaya, terkait satu ide dengan ide yang lain secara benar sertamenyadari prosesnya. Sedangkan pemahaman instrumentalmerupakan jaringan ide yang terpisah-pisah tanpa makna(Subanji, 2011; Walle & John, 2008; Fauziah, 2010). MenurutUtomo (2010), pemahaman relasional adalah pemahamanterhadap keterkaitan antara pengetahuan konseptual danpengetahuan prosedural yang dibentuk dan dikembangkanmelalui pengaitan antara konsep yang satu dengan konseplainnya, antara relasi konsep-konsep dengan konsep yang


lain lagi, antara relasi konsep- konsep dengan relasi konsep-konsep lainnya. Oleh karena itu, pemahaman relasional danpemahaman instrumental keduanya perlu dimiliki olehsiswa.

Skemp mengolongkan pemahaman siswa berdasarkankemampuan yang dimiliki siswa, siswa dikatakan mampumemahami secara instrumental jika siswa mampu mengingatkembali hal-hal yang masuk dalam tingkat ini adalahpengetahuan tentang fakta dasar, istilah, dan menggunakanhal-hal yang bersifat rutin (Hasan, 2012). Tingkat selanjutnyaadalah pemahaman relasional. Pada tingkatan ini siswa sudahmampu menerapkan dengan tepat suatu ide matematikayang bersifat umum pada hal-hal yang khusus atau padasituasi baru.

Gambar 5.1 Pemahaman Relasional & Pemahaman Instrumental (Walle& John, 2008).

Pemahaman relasional harus dimiliki oleh siswa,karena dengan pemahaman relasional siswa dapatmengembangkan ide-ide yang dimilikinya untuk memecahkansoal matematika. Menurut (Walle & John, 2008), ide-idematematika tidak dapat dituangkan kepada siswa yangpasif. Siswa harus belajar aktif untuk dapat belajar. Dalamkelas, siswa harus didorong untuk bergulat dengan ide baru,

27

mencari koneksi antar ide, dan menganalisa idenya sendirimaupun ide temannya. Salah satu cara yang membuat siswaaktif belajar dengan mengkoneksikan beberapa ide yangtelah dimiliki maupun ide-ide baru adalah denganmemberikan soal-soal non rutin atau dalam penyelesaiannyadiperlukan kemampuan pemahaman yang tinggi, yangmengaitkan beberapa konsep dalam penyelesaian masalahnya.Selain itu, untuk menyelesaikan soal-soal matematika jugadiperlukan pemahaman procedural (Ramalisa & Syafmen,2014). Pengetahuan prosedural dibentuk dari dua bagianyang berbeda yang bersusun dari representasi simbol tentangmatematika dan algoritma algoritma atau aturan-aturanuntuk menyelesaikan tugas-tugas matematika. Hiebert danLevefre (Utomo, 2010) pengetahuan prosedural adalahpengetahuan tentang simbol untuk merepresentasikan idematematika serta aturan dan prosedur yang digunakanuntuk menyelesaikan tugas matematika.

Oleh karena itu, Salah satu modal utama dalammempelajari matematika adalah pemahaman relasional,karena siswa dapat mengaitkan beberapa konsep dengankonsep lainnya yang diimbangi dengan penguasaanpengetahuan prosedural dalam menyelesaikan soal-soalmatematika. Hal ini diperjelas oleh pernyataan Ramalisa &Syafmen, (2014), yaitu pemahaman konsep yang tidakdidukung oleh pengetahuan prosedural akan mengakibatkansiswa mempunyai intuisi yang baik tentang suatu konseptetapi tidak mampu menyelesaikan suatu masalah. Salahsatu ciri pengetahuan prosedural adalah adanya urutanlangkah yang akan ditempuh yaitu sesudah suatu langkahakan diikuti langkah berikutnya.

Pemahaman relasional merupakan jaringan ide yangkaya, terkait satu ide dengan ide yang lain secara benar serta

Bab 5 Pemahaman Relasional dan Instrumental


menyadari prosesnya. Sedangkan pemahaman instrumentalmerupakan jaringan ide yang terpisah-pisah tanpa makna(Subanji, 2011; Fauziah, 2010). Menurut (Utomo, 2010),pemahaman relasional adalah pemahaman terhadapketerkaitan antara pengetahuan konseptual dan pengetahuanprosedural yang dibentuk dan dikembangkan melaluipengaitan antara konsep yang satu dengan konsep lainnya,antara relasi konsep-konsep dengan konsep. Pemahamanrelasional harus dimiliki oleh siswa, karena denganpemahaman relasional siswa dapat mengembangkan ide-ideyang dimilikinya untuk memecahkan soal matematika.Menurut (Walle & John, 2008) ide-ide matematika tidak dapatdituangkan kepada pelajar yang pasif. Siswa harus belajaraktif untuk dapat belajar. Dalam kelas, siswa harus didoronguntuk bergulat dengan ide baru, mencari koneksi antar ide,dan menganalisa idenya sendiri maupun ide temannya.Salah satu cara yang membuat siswa aktif belajar denganmengkoneksikan beberapa ide yang telah dimiliki maupunide-ide baru adalah dengan memberikan soal-soal non rutinatau dalam penyelesaiannya diperlukan kemampuanpemahaman yang tinggi, yang mengaitkan beberapa konsepdalam penyelesaian masalahnya. Selain itu, untukmenyelesaikan soal-soal matematika juga diperlukanpemahaman procedural (Ramalisa & Syafmen, 2014).Pengetahuan prosedural dibentuk dari dua bagian yangberbeda yang bersusun dari representasi simbol tentangmatematika dan algoritma atau aturan-aturan untukmenyelesaikan tugas-tugas matematika. Hiebert dan Levefre(Utomo, 2010) pengetahuan prosedural adalah pengetahuantentang simbol untuk merepresentasikan ide matematikaserta aturan dan prosedur yang digunakan untukmenyelesaikan tugas matematika.

29

Oleh karena itu, salah satu modal utama dalammempelajari matematika adalah pemahaman relasional,karena siswa dapat mengaitkan beberapa konsep dengankonsep lainnya yang diimbangi dengan penguasaanpengetahuan prosedural dalam menyelesaikan soal-soalmatematika. Hal ini diperjelas oleh pernyataan Ramalisa &Syafmen, (2014), yaitu pemahaman konsep yang tidakdidukung oleh pengetahuan prosedural akan mengakibatkansiswa mempunyai intuisi yang baik tentang suatu konseptetapi tidak mampu menyelesaikan suatu masalah. Salahsatu ciri pengetahuan prosedural adalah adanya urutanlangkah yang akan ditempuh yaitu sesudah suatu langkahakan diikuti langkah berikutnya.

Pemahaman relasional merupakan jaringan ide yangkaya, terkait satu ide dengan ide yang lain secara benar sertamenyadari prosesnya. Sedangkan pemahaman instrumentalmerupakan jaringan ide yang terpisah-pisah tanpa makna(Subanji, 2011; Fauziah, 2010). Menurut Utomo, (2010),pemahaman relasional adalah pemahaman terhadapketerkaitan antara pengetahuan konseptual dan pengetahuanprosedural yang dibentuk dan dikembangkan melaluipengaitan antara konsep yang satu dengan konsep lainnya,antara relasi konsep-konsep dengan konsep yang lain lagi,antara relasi konsep-konsep dengan relasi konsep-konseplainnya, oleh karena itu, pemahaman relasional danpemahaman instrumental keduanya perlu dimiliki olehsiswa. Menurut Skemp (1978), kemampuan siswa dalammenjawab pertanyaan pertama adalah kemampuanpemahaman instrumental, sedangkan kemampuan siswadalam menjawab pertanyaan kedua adalah kemampuanpemahaman relasional.

Bab 5 Pemahaman Relasional dan Instrumental

Bab 6

Indikator Pemahaman

Relasional

MENURUT ANWAR (2016) dan Keene, Glass, & Kim (2011)indikator pemahaman relasional yaitu: (1) siswa dapatmengantisipasi hasil pelaksanaan prosedur tanpa harusmelakukannya dan mereka dapat mengantisipasi hubunganhasil yang diharapkan dengan hasil dari prosedur lain; (2)siswa dapat mengidentifikasi kapan sebaiknya menggunakanprosedur; (3) siswa dapat melaksanakan seluruh proseduratau langkah yang dipilih dalam prosedur; (4) siswamemahami alasan mengapa suatu prosedur bekerja secarakeseluruhan, siswa mengetahui motivasi atau alasan untuklangkah-langkah kunci dalam prosedur; (5) siswa dapatsecara simbolis atau grafis memverifikasi kebenaran ataukewajaran hasil yang diakui pada prosedur tanpa mengulangprosedur; (6) siswa dapat membuat koneksi di dalam dan diseluruh representasi: simbolis, grafis, dan numberik.

Menurut Davis (2015) terdapat 10 indikator pemahamanrelasional yaitu: (1) kemampuan melakukan prosedur; (2)melakukan prosedur tahap demi tahap; (3) Kelancaran dalammelakukan prosedur; (4) memperoleh hasil yang tepat; (5)


menunjukkan mampu melakukan prosedur; (6) mengetahuikapan menggunakan prosedur; (7) memiliki pengetahuanprasyarat yang dibutuhkan dalam melakukan prosedur; (8)mengetahui kesalahanpada prosedur; (9) memberikanargumen yang masuk akal dalam menggunakan prosedur;(10) mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikanmenggunakan prosedur. Berdasarkan paparan ahli diatasmaka indikator pemahaman relasional adalah berdasarkan(Davis, 2015).

Tabel 6.1 Indikator Pemahaman Relasional

(Davis, 2015)

Kategori Indikator Pemahaman Relasional

Prosedural

Kemampuan melakukan prosedur secara keseluruhan

Kelancaran dalam melakukan prosedur

Memperoleh hasil yang tepat

Konseptual

Menunjukkan mampu melakukan prosedur

Mengetahui kapan menggunakan prosedur

Memiliki pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam

melakukan prosedur

Mengetahui kesalahan pada prosedur

Memberikan argumen yang logis dalam melakukan

prosedur

Mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikan

menggunakan prosedur

Bab 7

Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA merupakan suatu teknik yangdikembangkan dalam membuktikan suatu pernyataan yangberkaitan dengan objek matematika yang bersifat diskrit, misalteori bilangan, teori graf, kombinatorik (Itzkovitch &Ashkenazi, 2014; Putri, 2016). Prinsip induksi matematis dapatdijelaskan secara umum dalam dua tahap: (1) jika S (1) benar;(2).asumsi bahwa S (k) benar maka untuk semua bilanganbulat k > 1, menyiratkan bahwa S (k + 1) benar, maka S (n)berlaku untuk semua bilangan bulat positif n. Dengan katalain, kita memulai metode pembuktian dengan verifikasilangkah satu (langkah awal), kemudian di asumsikan bahwaS (k) benar untuk bilangan bulat tertentu yang dipilih secarasembarang k > 1, yang dikenal sebagai asumsi induktif, padalangkah dua (langkah induksi dasar), kita menunjukkanbahwa anggapan bahwa S (k) benar menyiratkan bahwa S(k + 1) adalah benar (Michaelson, 2008; Spencer & Manuel,2017). Secara umum terdapat tida tipe masalah yang seringdiselesaikan dengan induksi.

Induksi matematika merupakan suatu teknik yangdikembangkan dalam membuktikan suatupernyataan yang


berkaitan dengan objek matematika yang bersifat diskrit, misalteori bilangan, teori graf, kombinatorik (Itzkovitch &Ashkenazi, 2014; Putri, 2016). Prinsip induksi matematis dapatdijelaskan secara umum dalam dua tahap: (1). jika S (1) benar;(2).asumsi bahwa S (k) benar maka untuk semua bilanganbulat k e” 1, menyiratkan bahwa S (k + 1) benar, maka S (n)berlaku untuk semua bilangan bulat positif n. Dengan katalain, kita memulai metode pembuktian dengan verifikasilangkah satu (langkah awal), kemudian di asumsikan bahwaS (k) benar untuk bilangan bulat tertentu yang dipilih secarasembarang k > 1, yang dikenal sebagai asumsi induktif, padalangkah dua (langkah induksi dasar), kita menunjukkanbahwa anggapan bahwa S (k) benar menyiratkan bahwa S(k + 1) adalah benar (Michaelson, 2008; Spencer & Manuel,2017). Secara umum terdapat tida tipe masalah yang seringdiselesaikan dengan induksi matematika yaitu seri umum,habis dibagi dan ketidaksetaraan (Spencer & Manuel, 2017).Contoh Kasus pembuktian dengan induksi matematika.Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semuabilangan bulat berlaku

Penyelesaian: 1). Step dasar: tunjukan bahwa benar. . Jadi

benar untuk . 2). Step induksi: Asumsikan S(k) benar

yaitu (k): 1 + 3 + 5 + ... + (2k) – 1) = k2 (k): 1 + 3 + 5 + ... + (2k– 1) = k2 (1) Maka untuk semua bilangan bulat k > 1 yaitu S(k + 1) benar juga. Untuk S (k + 1) akan diselidiki sebagaiberikut:

35

Terlihat pada persamaan (1) yaitu ada di persamaan(2) maka untuk dipersamaan (2) disubtitusikan menjadiseperti dibawah ini.

benar untuk S(k + 1) maka untuk semua bilangan bulatn > 1 berlaku S(n):1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2.

Bab 7 Induksi Matematika

Bab 8

Pembuktian Dengan Induksi

Matematika

PEMBUKTIAN MATEMATIKA adalah sebuah demonstrasiyang menunjukan bahwa sebuah pernyataan bernilai benarberdasarkan asumsi yang benar dimana asumsi tersebut bisaberupa aksioma, definisi maupun hukum logika (Alcock &Inglis, 2010; Stylianides & Stylianides, 2009). Sedangkanmenurut Feriyanto (2018) pembuktian matematikamerupakan serangkaian argumen logis yang menjelaskankebenaran sebuah pernyataan dan argumen ini bisaditurunkan dari premis pernyataan itu sendiri, definisi danteorema lainnya, dimana logis berarti setiap langkah dalamargumen dibenarkan oleh langkah-langkah sebelumnya.Menurut Hales (2008) pembuktian matematika ialah suatuproses untuk memeriksa nilai kebenaran dari suatupernyataan yang dimana setiap kalimatnya terdiri darikalimat logis yang telah diperiksa setiap langkah sampai padaaksioma fundamental matematika. Selain itu menurutStefanowicz (2014) pembuktian matematika merupakansebuah cara yang terdiri dari urutan pernyataan logis, yangsaling berkaitan antara pernyataan dan memberi penjelasan


mengapa pernyataan tersebut benar yang dimana pernyataantersebut bisa berupa teorema, aksioma maupun definisi yangakan digunakan untuk menunjukan nilai kebenaran daripernyataan tersebut. Menurut Varghese (2017) pembuktianmatematika ialah sebuah prosedur, deduksi aksiomatis, yangmengikuti serangkaian penalaran dari asumsi awal sampaipada kesimpulan akhir. –

Skemp (2006) mengungkapkan “Untuk memahamisesuatu berarti mengasimilasinya ke dalam skema yangtepat”. Dalam artikelnya yang terkenal, “Pemahamanrelasional dan pemahaman instrumental”, dijelaskanpengkategorian pemahaman atas dua jenis pemahaman yaitu:(1) pemahaman instrumental dan (2) pemahaman relasional.Pemahaman instrumental didefinisikan sebagai “Aturantanpa alasan” atau dengan kata lain kemampuan seseorangmenggunakan prosedur matematik untuk menyelesaikansuatu masalah tanpa mengetahui mengapa prosedur itudigunakan, dalam hal ini seseorang hanya memahami urutanpengerjaannya atau algorimanya. Pemahaman relasionaldidefinisikan sebagai “Mengetahui apa yang dilakukan danmengetahui alasannya” atau dengan kata lain kemampuanmenggunakan suatu aturan dengan penuh kesadaranmengapa ia menggunakan aturan tersebut, pada tahapantingkatan ini seseorang tidak hanya sekedar tahu dan hapaltentang sesuatu hal tetapi juga mengetahui bagaimana danmengapa hal itu dapat terjadi.

Salah satu faktor yang mempengaruhi kemampuanpembuktian induksi matematika adalah pemahaman konsep.Untuk dapat membuktikan induksi matematika sangatdiperlukan pemahaman konsep yang baik, semakin baguspemahaman konsep yang dimiliki akan membantu melakukanpembuktian induksi matematika dengan benar (Kurniati &

39

Murniati, 2016). Pemahaman relasional memegang peranpenting dalam pemahaman konsep. Dengan adanyapemahaman relasional maka seseorang tidak hanya sekedardapat menggunakan konsep matematika namun jugamemahami alasan di setiap prosedur yang dilakukan. Dalampembuktian induksi matematika, pemahaman relasional akanlebih membantu memahami bagaimana menggunakan konsepdalam pembuktian induksi matematika dan mengapa setiapproses dilakukan dalam pembuktian induksi sehingga prosespembuktian induksi dilakukan dengan benar (Skemp, 1978).Pemahaman relasional pada pembuktian induksi matematikaadalah pemahaman mahasiswa menggunakan prosedurinduksi dan mengetahui mengapa menggunakan prosedurtersebut.

Davis (2015) mengemukakan bahwa indikatorpemahaman relasional merupakan turunan dari indikatorpemahaman prosedural dan konseptual, adapun indikatorpemahaman prosedural dalam penelitian ini adalah (1)kemampuan melakukan prosedur secara keseluruhan; (2)kelancaran dalam melakukan prosedur; (3) memperoleh hasilyang tepat. Dimana pemahaman konseptual dalam penelitianini adalah (1) menunjukkan mampu melakukan prosedur; (2)mengetahui kapan menggunakan prosedur; (3) memilikipengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam melakukanprosedur; (4) mengetahui kesalahan pada prosedur; (5)memberikan argumen yang logis dalam melakukan prosedur;(6) mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikanmenggunakan prosedur. Maka dalam penelitian ini dapatdeskripsikan bahwa indikator pemahaman relasional padapembuktian induksi matematika sebagai berikut:

Bab 8 Pembuktian dengan Induksi Matematika


Tabel 8.1 Indikator Pemahaman Relasional pada Pembuktian InduksiMatematika

(Adaptasi dari Davis, 2015)

Kategori Indikator Pemahaman

Relasional Deskripsi

Prosedural


kemampuan melakukan step dasar membuktikan berlakunya danstep induksi mengasumsikan benar untuk serta membuktikanberlakunya .


kelancaran dalam melakukan step dasar membuktikan berlakunya dan step induksi mengasumsikan benar untuk serta membuktikanberlakunya .


Memperolah hasil yang tepat berdasarkan prosedur induksi yaitu step dasar membuktikan berlakunya

dan step induksimengasumsikan benar untuk serta membuktikan berlakunya

.

Konseptual


Mampu menjelaskan step dasar membuktikan berlakunya danstep induksi mengasumsikan benar untuk serta membuktikanberlakunya .

Mengetahui kapan menggunakan prosedur

Mengetahui kapan menggunakan prosedur induksi

Memiliki pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam melakukan prosedur

Memiliki pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam melakukan step dasar membuktikan berlakunya dan step induksi mengasumsikan benar untuk serta membuktikanberlakunya .

Mengetahui kesalahan pada prosedur

Mengetahui kesalahan pada step dasar membuktikan berlakunya danstep induksi mengasumsikan benar untuk serta membuktikanberlakunya .

Memberikan argumen yang logis dalam melakukan prosedur

Memberikan argumen yang logis dalam melakukan step dasar membuktikan berlakunya danstep induksi mengasumsikan benar untuk serta membuktikanberlakunya .

Mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikan menggunakan prosedur

Mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikan menggunakan prosedur induksi

Bab 9

Metode Penelitian

PENDEKATAN YANG digunakan dalam penelitian iniadalah pendekatan kualitatif dengan jenis penelitiandeskriptif. Penelitian ini mengaji pemahaman relasional siswapada pembuktian induksi matematika berdasarkan data yangdiperoleh pada saat penelitian, kemudian data tersebutdianalisis dan dideskripsikan dalam pembahasan.

Subjek dalam penelitian ini 3 mahasiswa pendidikanmatematika semester 5 Universitas Muhammadiyah Malangtahun 2018, yaitu satu subjek dengan indeks prestasi (IP)tinggi, satu subjek dengan indeks prestasi (IP) sedang dansatu subjek dengan indeks prestasi (IP) rendah untuk melihatvariasi dari masing-masing subjek, dimana subjek yang dipilihtelah menempuh mata kuliah analisis real pada topik induksimatematika. Objek dalam penelitian ini yaitu pemahamanrelasional pada pembuktian induksi matematika. Selain 3orang subjek penelitian tersebut, hasil pekerjaan mahasiswalain pada semester yang sama juga dihitung persentasenya.Persentase pencapaian untuk masing-masing indikatorpemahaman relasional pada tiga kelompok yang berbeda. Baikkelompok mahasiswa IP tinggi, IP sedang dan IP rendah.


Instrumen penelitian ini berupa tes uraian pembuktiandengan induksi matematika sedangkan wawancaradigunakan untuk mengetahui kemampuan argumentasimahasiswa pada pembuktian dengan induksi matematikaserta untuk memperkuat hasil tes. Tes terdiri dari 3 soalpembuktian dengan induksi matematika untuk mengukurpemahaman relasional. Soal dibuat berdasarkan indikatorpemahaman relasional. Pedoman wawancara dalampenelitian ini digunakan untuk melengkapi dan menguatkandata hasil tes. Pertanyaan-pertanyaan pada metodewawancara disusun secara garis besar dan tidak terstruktur.

Kreadibilitas data perlu dilakukkan untuk membuktikanapakah yang diamati oleh peneliti benar-benar sesuai denganapa yang sesungguhnya terjadi di lapangan. Penelitian inimenggunakan triangulasi metode yaitu tes dan wawancara.Data yang diperoleh dari tes harus dikonfirmasi dengan hasilwawancara.

Prosedur penelitian secara garis besar dibagi menjaditiga tahap, tahap pertama yaitu persiapan, tahap keduaadalah pelaksanaan dan tahap ketiga adalah tahappenyusunan laporan. Pada tahap ini kegiatan yang dilakukanadalah: 1) pemberian tes pembuktian induksi matematika; 2)melakukan wawancara dengan mahasiswa yang dipilihmengetahui kemampuan argumen siswa. Pada tahappenyusunan laporan, setelah data diperoleh langkahselanjutnya: 1) menganalisis data hasil tes dan wawancara;2) memaparkan data dan hasil.

Teknik analisa data dalam penelitian ini melalui tigaalur kegiatan yaitu reduksi data, penyajian data danpenarikan kesimpulan. Ketiga tahap tersebut saling berkaitandan berulang-ulang selama dan sesudah pengumpulan data

43

penelitian. Proses reduksi data dalam penelitian ini adalah:1) memilah-milah data yang penting dan kurang penting; dan2) mengaitkan data yang penting dari hasil wawancaradengan hasil tes yang diperoleh mahasiswa. Pada intinyawawancara ini digunakan untuk mendapatkan informasiyang mendalam tentang pemahaman relasional padapembuktian induksi matematika.

Penyajian data dalam penelitian ini berdasarkan hasildari reduksi data. Data yang sudah direduksi disajikan dalambentuk uraian atau teks naratif. Penyajian data tersebutmemberi kemudahan pembaca dalam memahami fenomenayang terjadi, karena data terorganisir serta tersusun dalampola hubungan. Peneliti mengemukakan kesimpulanpenelitian yang didukung oleh data yang valid dan analisaterhadap data yang diperoleh.

Selain data didiskripsikan secara teks naratif hasiljawaban mahasiswa terhadap tes dan hasil wawancarauntuk 3 subjek utama penelitian, data juga dipaparkan dalambentuk persentase pencapaian untuk setiap indikatorpemahaman rasional. Baik untuk mahasiswa kategorikemampuan tinggi, kemampuan sedang dan kemampuanrendah. Dari 41 mahasiswa, ada 10 mahasiswa berkemampuantinggi, 19 kemampuan sedang, dan 12 berkemampuanrendah. Berdasarkan hasil tes dan hasil wawancara,pemahaman relasional mahasiswa dikelompokkan padakategori sangat baik, baik, dan tidak baik sebagaimana tabelberikut ini.

Bab 9 Metode Penelitian


Tabel 9.1 Kategori Pemahaman Relasional

Diadaptasi dari (Azizah, Sulianto, & Cintang, 2018)

Berdasarkan indikator pemahaman relasional, sebagai-mana yang ada pada tabel 8.1, kategori tabel 9.1 dimodifikasimenurut indikator pemahaman relasional sebagai berikut.

Tabel 9.2 Kemampuan Melakukan Prosedur Secara Keseluruhan

Tabel 9.3 Indikator Kelancaran Dalam Melakukan Prosedur

Skala Persentase Kategori

Persentase Sangat Baik

Persentase Baik

Persentase Tidak Baik

Persentase Sangat Tidak Baik



Persentase Baik




Persentase Sangat Lancar

Persentase Lancar

Persentase Tidak Lancar

Persentase Sangat Tidak Lancar

45

Tabel 9.4 Indikator Memperoleh Hasil Yang Tepat

Untuk indikator menunjukkan mampu melakukanprosedur, mengetahui kapan menggunakan prosedur,memiliki pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalammelakukan prosedur, mengetahui kesalahan pada prosedur,memberikan argumen yang logis dalam melakukan prosedur,dan mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikanmenggunakan prosedur. Indikator diatas menggunakan tabeldi bawah ini.

Tabel 9.5 Kategori Pemahaman Konseptual


Persentase Sangat Tepat

Persentase Tepat

Persentase Tidak Tepat

Persentase Sangat Tidak Tepat



Persentase Baik



Bab 9 Metode Penelitian

Bab 10

Analisis Pemahaman

Relasional

BERIKUT INI adalah hasil pekerjaan mahasiswaberkemampuan tinggi dalam menyelesaikan tugasmenggunakan induksi matematika.

a. Kemampuan melakukan prosedur induksi

Gambar 10.1. Subjek T1 Mampu Melakukan Prosedur Induksi DenganTepat

T1 membuktikan

dengan tepat

berlakunya

T1 membuktikan

dengan tepat

berlakunya T1 membuktikan

dengan tepat

berlakunya


Gambar 10.1 menunjukkan bahwa subjek T1 mampumelakukan prosedur induksi dengan tepat pada soal satu yaitumampu membuktikan berlakunya dengan tepat padastep dasar, dan mampu melakukan step induksi dengan tepatyaitu mampu mengamsumsikan benar untuk dengantepat dan mampu membuktikan berlakunya dengan tepat. Hal ini diperkuat pula dengan data wawancarayang menunjukkan bahwa T1 mampu melakukan prosedurinduksi dengan tepat pada soal satu sebagai berikut:

b. Kelancaran dalam melakukan prosedur

Subjek T1 lancar dalam melakukan prosedur induksipada soal satu yaitu lancar dalam melakukan step dasarmembuktikan berlakunya tanpa menghadapi masalahyang berarti, dan lancar dalam step induksi yaitu lancar dalammelakukan pengamsumsian benar untuk danmembuktikan berlakunya . Subjek T1 mampumelakukan prosedur induksi dengan lancar pada soal satuyaitu penyelesaian soal relatif cepat, tidak ada hambatan saat

Peneliti : Jelaskan bagaimana anda menyelesaikan soal satu ?

T1 : Pertama saya mengsubtitusikan nilai pada

pernyataan soal satu sehingga memperoleh nilai

pada kedua persamaan artinya berlaku . Selanjutnya

saya mengsubtitusikan nilai dianggap benar pada

kedua persamaan, memperoleh

kemudian saya mengsubtitusikan nilai

memperoleh hasil

selanjutnya dari persamaan ruas

kanan, saya membuktikan

dan

terbukti benar berlakunya .

49

mengerjakan soal, cekatan dalam menyelesaikan soal. Hasilwawancara menunjukkan subjek lancar dalam melakukanprosedur pada soal satu, sebagai berikut.Peneliti : Apakah anda menemukan kesulitan dalam menyelesaikan

soal satu ?

T1 : Tidak pak, saya sering menyelesaikan soal induksi sebelumnya dan saya juga pahaman dengan identitas operasi kosinus trigonometri .

c. Memperoleh hasil yang tepat

T1 memperoleh

hasil yang tepat

pada step

T1 memperoleh

hasil yang tepat

pada step

T1 memperoleh

hasil yang tepat

pada step

Gambar 10.2. Menunukkan Subjek T1 memperoleh hasil yang tepat

Gambar 10.2 menunjukkan Subjek T1 memperoleh hasilyang tepat pada soal satu yaitu mampu membuktikanpernyataan soal satu benar dimana pada step dasarmemperoleh hasil yang tepat setelah subtitusi ,memperoleh hasil yang tepat pada step induksi dalammengasumsikan benar untuk , dan tepat dalammembuktikan berlakunya . Seperti. Hasilwawancara menunjukkan bahwa subjek T1 memperoleh hasilyang tepat pada soal satu sebagai berikut.

Bab 10 Analisis Pemahaman Relasional


Peneliti : Jelaskan hasil yang anda peroleh pada soal satu?

T1 : Hasil yang saya peroleh soal satu adalah terbukti benar

untuk

karena terbukti benar untuk

, benar untuk mengasumsikan untuk dan terbukti

benar untuk

d. Menunjukkan mampu melakukan prosedur induksi

Subjek T1 menunjukkan mampu melakukan prosedurdengan tepat pada soal satu yaitu mampu menjelaskandengan tepat step dasar membuktikan berlakunya ,menjelaskan dengan tepat step induksi yaitu mengasumsikanbenar untuk dan membuktikan berlakunya .Hasil wawancara menunjukkan bahwa subjek T1menunjukkan mampu melakukan prosedur induksi dengantepat pada soal satu sebagai berikut.

Peneliti : Tunjukkan kepada saya bagamana anda menyelesaikan soal satu ?

T1 : Pertama kita mengsubtitusikan pada pernyataan soalsatu sehingga kedua persamaan pada pernyataan tersebut menghasilkan selanjutnya mengsubtitusikan pada

pernyataan satu diperoleh

kemudian saya mengsubtitusikan nilai

memperoleh hasil

selanjutnya dari persamaan ruas kanan saya membuktikan

dan terbukti benar berlakunya .

51

e. Mengetahui kapan harus menggunakan prosedur induksi

Gambar 10.3 Menunjukkan Bahwa Subjek T1 MengetahuiKapanmenggunakan Prosedur Induksi Dengan Tepat

Gambar 10.3 menunjukkan subjek T1 mengetahui kapanharus menggunakan prosedur induksi dengan tepat bahwapenggunaan induksi dapat digunakan ketika inginmenggeneralisasikan rumus/teori/persamaan dan pernyataanyang panjang menjadi lebih sederhana serta membuktikansuatu kebenaran umum menjadi khusus. Hasil wawancarajuga menunjukkan bahwa subjek T1 mengetahui kapanmenggunakan prosedur induksi dengan tepat sebagai berikut.Peneliti : Jelaskan kapananda harus menggunakan prosedur induksi ?

T1 : Induksi merupakan metode pembuktian yang digunakanketika kita ingin mengeneralisasikan suatu pernyataan/rumus/teorema/persamaan/kebenaran yang panjang menjadi lebih serderhana atau dari pernyataan umum menjadi khusus.



f. Memiliki pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan saatmelakukan prosedur induksi

Mengetahui

operasi sudut

Mengetahui

pola bilangan

Mengetahui Prosedur induksi Mengetahui Identitas

pengurangan kosinus

Gambar 10.4 Menunjukkan Bahwa Subjek T1 Memiliki PengetahuanPrasyarat Yang Dibutuhkan Saat Melakukan prosedur Induksi

Gambar 10.4 menunjukkan subjek T1 memilikipengetahuan prasyarat yang dibutuhkan saat melakukanprosedur induksi pada soal satu dengan tepat karena daripenyelesaian yang telah dilakukan terlihat subjek memilikipengetahuan prasyarat seperti operasi bilangan bulat,prosedur induksi, pola bilangan, identitas pengurangankosius, operasi sudut. Hasil wawancara juga menunjukkanbahwa subjek T1 memahami pengetahun prasyarat untukmenyelesaikan soal satu dengan tepat.

P : Jelaskan pengetahuan prasyarat apa yang perlu diketahui untuk dapat menyelesaikan soal satu dan soal dua?

T1 : Pengetahuan prasyarat yang diperlukan untuk menyelesaikan soal satu adalah operasi bilangan bulat, operasi sudut, prosedur induksi, pola bilangan, identitas pengurangan cosinus.

53

g. Mengetahui kesalahan pada prosedur induksi

Salah menuliskna sudut

Salah menuliskna kosinus

Salah menguraikan pembagian identitas kosinus

Gambar 10.5 Menunjukkan Bahwa Subjek T1 Mengetahui KesalahanYang Dilakukan Pada Prosedur Induksi Dengan Tepat

Gambar 10.5 menunjukkan subjek T1 mengetahuikesalahan dalam melakukan prosedur induksi pada soal satudengan tepat karena menyadari kesalahan yang dilakukanseperti salah menuliskan sudut, salah menuliskan kosinus,salah menguraikan pembagian identitas kosinus danmengetahui tidak terdapat kesalahan dalam melakukanprosedur karena melakukan pengecekan kembali. Hasilwawancara menunjukkan bahwa subjek T1 mampu menge-tahui kesalahan pada prosedur induksi soal satudengan tepatsebagai berikut:

Peneliti : Apakah anda mengetahui bahwa terdapat kesalahan pada prosedur induksi yang anda lakukan dan sebutkan kesalahan-kesalahn tersebut ?

T1 : Iya pak saya mengetahuinya, saya salah menuliskan sudut

makanya saya coret, saya salah menuliskan sinus kemudian

saya ganti, salah dalam menguraikan pembagian identitas

kosinus kemudian saya coret setelah menyelesaikannya saya

menecek kembali pekerjaan saya agar tidak terdapat

kesalahan lagi .



h. Memberikan argumen yang logis dalam melakukanprosedur induksi

Pada step

Pada step

Pada step

Gambar 10.6 Menunjukkan Subjek T1 Mampu Memberikan ArgumenYang Logis Dalam Melakukan Prosedur Induksi

Gambar 10.6 menunjukkan subjek T1 memberikanargumen yang logis dalam melakukan prosedur induksi padasoal satu yaitu memberikanpenjelasan yang logis padapembuktian step dasar berlakunya , memberikanpenjelasan yang logis pada pembuktian step induksimengasumsikan benar untuk dan membuktikanberlakunya . Hasil wawancara menunjukkanbahwa subjek T1 memberikan argumen yang logis dalammelakukan prosedur induksi sebagai berikut:

Peneliti : Jelaskan secara logis bagaimana anda menyelesaikan soal satu ?

T1 : Pertama saya mengsubtitusi pada ruas kanan,

melakukan pengurangan, dan pembagian sudut

sinusselanjutnya pada ruas kiri melakukan subtitusi,

mengetahui pola bilangan, melakukan pengurangan dan

penjumlahan. Kedua saya mengsubtitusikan pada ruas

kanan dan kiri pernyataan satu. Ketiga saya mengsubtitusikan

kemudian dari persamaan ruas kiri saya uraikan

menjadi penjumlahan nilai dari

55

, kemudian melakukan perkalian sinus, penjumlahan

pecahan sinus, mengubah ke identitas pengurangan kosinus,

mengoperasik sudut kosinus, melakuka manipulasi sudut

kosinus, mengubah ke identitas perkalian sinus, dan operasi

sudut sinus sehingga diperoleh bahwa terbukti berlaku

.

i. Mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikanmenggunakan prosedur induksi

Subjek T1 mengenali bentuk soal baru yang dapatdiselesaikan menggunakan prosedur induksi dengan tepat,menurutnya soal satu merupakan soal baru yang belumpernah ditemuin atau diselesaikan karena soal induksimenurutnya soal yang identik dengan suku banyak denganangka-angka yang rumit namun tidak berkaitan dengantrigonometri, subjek T1 mengenali bahwa soal satu dapatdiselesaikan dengan induksi karena soal satu mengeneralkanpersamaan yang panjang menjadi persamaan yangsederhana. Hasil wawancara juga menunjukkan bahwasubjek T1 mampu mengenali bentuk soal baru yang dapatdiselesaikan menggunakan prosedur induksi dengan tepat,sebagai berikut:

Peneliti : Mengapa soal satu dapat diselesaikan menggunakan induksi ?

T1 : Karena soal satu memiliki pola bilangan dan juga disuruh

membuktikan sebuah pernyataan yang didalamya terdapat

sebuh penyederhanaa persamaan yang panjang menjadi

persamaan yang sederhana.


Bab 11

Pemahaman Rasional dan

Induksi Matematika

BERIKUT INI adalah hasil analisis dan deskripsi pemahamanrelasional mahasiswa pada pembuktian induksi matematika.Adapun indikator pemahaman relasional yaitu (1)kemampuan melakukan prosedur secara keseluruhan; (2)kelancaran dalam melakukan prosedur; (3) memperoleh hasilyang tepat; (4) menunjukkan mampu melakukan prosedur;(5) mengetahui kapan menggunakan prosedur; (6) memilikipengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam melakukanprosedur; (7) mengetahui kesalahan pada prosedur; (8)memberikan argumen yang masuk akal dalam menggunakanprosedur; (9) mengenali bentuk soal baru yang dapatdiselesaikan menggunakan prosedur.

Berikut ini adalah deskripsi pemahaman realasionalmasing-masing subjek dengan indeks prestasi tinggi, sedangdan rendah.


Tabel 11.1 Pemahaman Relasional Mahasiswa Pendidikan Matematika

Mahasiswa dengan kemampuan matematika yangtinggi memiliki pemahaman relasional yang sangat baik,mahasiswa yang memiliki kemampuan matematika yangsedang memiliki pemahaman relasional yang baik sedangkanmahasiswa dengan kemampuan matematika rendah memilikipemahaman relasional yang tidak baik. Hal ini tidak sejalandengan penelitian Rahma, Mubarokah, & Aunillah (2015)yang mengungkapkan bahwa siswa dengan kemampuanmatematika tinggi, sedang dan rendah memiliki pemahamanrelasional yang tidak baik. Mahasiswa dengan indeks prestasiyang tinggi dan sedang mampu menuliskan sebuah konsepsecara prosedural serta mampu menjelaskan sebuah konsepsecara konseptual, hal ini sejalan pula dengan penelitianBahar et al., (2012) yang mengatakan bahwa mahasiswadengan indeks prestasi yang tinggi dan sedang mampumenuliskan dan menjelaskan konsep limit fungsi di satu titikdengan tepat.

Menurut Skemp (2006) salah satu kelebihanpemahaman relasional adalah sebagai alat yangmemudahkan untuk mencapai tujuan pembelajaranmatematika, dengan kata lain mahasiswa yang memilikipemahaman relasional yang rendah akan mengalamikesulitan dalam mencapai tujuan pembelajaran matematika.


Indek Prestasi

(IP)

Tes Rata-

rata Kategori

1 2 3

Tinggi 100% 100% 97% 99% Sangat Baik

Sedang 75% 75% 72% 74% Baik

Rendah 31% 31% 31% 31% Tidak Baik

Bab 12


Kategori Prosedural

SEBAGAIMANA DITERANGKAN oleh Davis (2015) bahwapemahaman relasional terdiri dari dua kategori, yaitu kategoriProsedural dan Konseptual. Pada bagian ini penelitimencermati berbagai indikator pemahaman relasional, yaitukemampuan mahasiswa menggunakan prosedur dankelancaran mahasiswa menggunakan prosedur dalammenyelesaikan masalah. Selanjutnya mencermati indikatorkemampuan mahasiswa mendapatkan jawaban yang tepat.Berikut ini adalah data persentase pemahaman relasionalmahasiswa pada kategori Prosedural pada masing-masingindikator.

Tabel 12.1 Indikator Kemampuan Melaksanakan Prosedur


Indeks

Prestasi

Tes Rata -rata Kategori

1 2 3


Sedang 75% 70% 75% 73% Baik



Tabel 12.2 Indikator Kelancaran Dalam Melakukan Prosedur

Sebagaimana tertera pada tabel di atas, mahasiswaberkemampuan tinggi sangat lancar dalam melaksanakanprosedur penyelesaian. Mahasiswa berkemampuan sedanglancar dalam melaksanakan prosedur penyelesaian, danmahasiswa berkemampuan rendah tidak lancar dalammelaksanakan prosedur penyelesaian.

Tabel 12.3 Indikator Memperoleh Hasil Yang Tepat

Berdasarkan isi pada tabel di atas, mahasiswaberkemampuan tinggi mampu mendapatkan hasil dengansangat tepat. Mahasiswa berkemampuan sedang mendapatkanhasil yang tepat, dan mahasiswa berkemampuan rendahmendapatkan hasil yang tidak tepat.


Indeks

Prestasi

Tes Rata -

rata Kategori

1 2 3

Tinggi 98% 95% 95% 96% Sangat Lancar

Sedang 75% 78% 70% 74% Lancar

Rendah 55% 45% 47% 49% Tidak Lancar


Indeks

Prestasi

Tes Rata -

rata Kategori

1 2 3

Tinggi 95% 95% 93% 94% Sangat Tepat

Sedang 75% 75% 73% 74% Tepat

Rendah 50% 40% 50% 47% Tidak tepat

Bab 13


Kategori Konseptual

PADA BAGIAN ini peneliti mencermati berbagai indikatorpemahaman relasional, yaitu kemampuan mahasiswamemahami prosedur dan bilamana menggunakan prosedurdalam menyelesaikan masalah. Selanjutnya mencermatiindikator pemahaman mahasiswa tentang prasyaratmenggunakan prosedur dan kesalahan yang terjadi dalammenggunakan prosedur. Terakhir mencermati indikatorkemampuan mahasiswa dalam memberikan argumentasi logispenggunaan prosedur dan kemampuan mahasiswamenunjukkan soal baru yang bisa menggunakan proseduritu. Berikut ini adalah data persentase pemahaman relasionalmahasiswa pada kategori Konseptual pada berbagai indikator.

Tabel 13.1 Indikator Menunjukkan Mampu Melakukan Prosedur


Indeks Prestasi Tes

Rata -rata Kategori 1 2 3


Sedang 80% 77% 80% 79% Baik



Sebagaimana tertera pada tabel di atas, mahasiswaberkemampuan tinggi mampu melaksanakan prosedurpenyelesaian dengan sangat baik. Mahasiswa berkemampuansedang baik dalam melaksanakan prosedur penyelesaian, danmahasiswa berkemampuan rendah tidak baik dalammelaksanakan prosedur penyelesaian.

Tabel 13.2 Indikator Mengetahui Kapan Menggunakan Prosedur

Berdasarkan tabel di atas, mahasiswa berkemampuantinggi mengetahui dengan sangat baik kapan menggunakanprosedur. Mahasiswa berkemampuan sedang mengetahuidengan baik kapan menggunakan prosedur, dan mahasiswaberkemampuan rendah tidak baik dalam mengetahui kapanmenggunakan prosedur.

Tabel 13.3 Indikator Memiliki Pengetahuan Prasyarat Yang DibutuhkanDalam Melakukan Prosedur

Mengetahui Kapan Menggunakan Prosedur

Indeks

Prestasi

Tes Rata -

rata Kategori

1 2 3


Sedang 75% 80% 82% 79% Baik


Memiliki Pengetahuan Prasyarat Yang Dibutuhkan Dalam

Melakukan Prosedur

Indeks

Prestasi

Tes Rata -

rata Kategori

1 2 3


Sedang 80% 75% 82% 79% Baik


63

Sebagaimana tertera pada tabel di atas, mahasiswaberkemampuan tinggi mengetahui dengan sangat baikprasyarat menggunakan prosedur. Mahasiswa berkemampuansedang mengetahui dengan baik prasyarat untukmenggunakan prosedur penyelesaian dan mahasiswaberkemampuan rendah tidak mengetahui dengan baikprasyarat menggunakan prosedur penyelesaian.

Tabel 13.4 Indikator Mengetahui Kesalahan Pada Prosedur

Sebagaimana tertera pada tabel di atas, mahasiswaberkemampuan tinggi mampu dengan sangat baik mengetahuiada tidaknya kesalahan dalam melaksanakan prosedurpenyelesaian. Sedangkan mahasiswa berkemampuan sedangmengetahui dengan sangat baik ada tidaknya kesalahandalam melaksanakan prosedur penyelesaian dan mahasiswaberkemampuan rendah tidak mengetahui dengan baik adatidaknya kesalahan dalam melaksanakan prosedurpenyelesaian.

Tabel 13.5 Indikator Memberikan Argumen Yang Logis DalamMelakukan Prosedur

Mengetahui Kesalahan Pada Prosedur

Indeks Prestasi Tes

Rata -rata Kategori 1 2 3


Sedang 85% 85% 80% 83% Sangat Baik


Memberikan Argumen Yang Logis Dalam Melakukan Prosedur

Indeks

Prestasi

Tes Rata -

rata Kategori

1 2 3


Sedang 78% 75% 70% 74% Baik


Bab 13 Pemahaman Relasional Kategori Konseptual


Berdasarkan tabel di atas, mahasiswa berkemampuantinggi mampu dengan sangat baik memberikan argumen yanglogis dalam melaksanakan prosedur penyelesaian. Mahasiswaberkemampuan sedang mampu dengan baik memberikanargumen yang logis dalam melaksanakan prosedurpenyelesaian dan mahasiswa berkemampuan rendah tidakmampu memberikan argumen yang logis dalam melaksanakanprosedur penyelesaian.

Tabel 13.6 Indikator Mengenali Bentuk Soal Baru Yang DapatDiselesaikan Menggunakan Prosedur

Sebagaimana tertera pada tabel di atas, mahasiswaberkemampuan tinggi mampu dengan sangat baik mengenalisoal baru yang dapat diselesaikan dengan prosedurpenyelesaian. Mahasiswa berkemampuan sedang mampudengan baik mengenali soal baru yang dapat diselesaikandengan prosedur, dan mahasiswa berkemampuan rendahtidak mampu mengenali soal baru yang dapat diselesaikandengan prosedur penyelesaian.

Mengenali Bentuk Soal Baru Yang Dapat Diselesaikan

Menggunakan Prosedur

Indeks

Prestasi

Tes Rata -

rata Kategori

1 2 3


Sedang 78% 70% 75% 74% Baik


Bab 14

Penutup

MAHASISWA DENGAN kemampuan matematika tinggimemiliki pemahaman relasional yang sangat baik karenamampu melakukan prosedur induksi dengan sangat lancardan memperoleh hasil yang sangat tepat. Mahasiswaberkemampuan tinggi mampu melakukan prosedur dengansangat baik dan mampu mengetahui dengan sangat baikkapan menggunakan prosedur induksi. Mahasiswaberkemampuan tinggi mengetahui dengan sangat baikpengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam melakukanprosedur induksi, mengetahui dengan sangat baik kesalahandalam prosedur induksi, mampu dengan sangat baik dalammemberikan argumen yang logis dalam melakukan prosedurinduksi. Mahasiswa berkemampuan tinggi mampu mengenalidengan sangat baik bentuk soal baru yang dapat diselesaikanmenggunakan prosedur induksi.

Mahasiswa dengan kemampuan matematika sedangmemiliki pemahaman relasional yang baik karena lancardalam melakukan prosedur induksi, dan memperoleh hasilyang tepat. Mahasiswa berkemampuan sedang mampumelakukan prosedur dengan baik, dan mengetahui kapan


menggunakan prosedur induksi dengan baik. Mahasiswaberkemampuan sedang juga mengetahui pengetahuanprasyarat yang dibutuhkan dalam melakukan prosedurinduksi dengan baik, dan mengetahui kesalahan padaprosedur induksi dengan sangat baik. Mahasiswaberkemampuan sedang dapat memberikan argumen yanglogis dalam melakukan prosedur induksi dengan baik, dandapat mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikanmenggunakan prosedur induksi dengan baik.

Mahasiswa dengan kemampuan matematika rendahmemiliki pemahaman relasional tidak baik karena tidak lancardalam melakukan prosedur induksi, dan memperoleh hasilyang tidak tepat. Mahasiswa berkemampuan rendahmenunjukkan tidak mampu melakukan prosedur dan tidakmengetahui kapan menggunakan prosedur induksi.Mahasiswa berkemampuan rendah tidak mengetahuiprasyarat yang dibutuhkan dalam melakukan prosedurinduksi dan tidak mengetahui kesalahan pada prosedur.Mahasiswa berkemampuan rendah tidak mampu memberikanargumen yang logis dalam melakukan prosedur induksi dantidak mengenali bentuk soal baru yang dapat diselesaikanmenggunakan prosedur induksi.

Daftar Pustaka

Alcock, L., & Inglis, M. (2010). Visual Considerations In ThePresentation Of Mathematical Proofs. Seminar.Net-International Journal of Media, Technology and LifelongLearning, 6(1), 43–59.

Anwar, R. B. (2016). Mathematical Representation by Studensin Bulding Relational Understanding on Concept ofArea and Perimeter of Rectangle. Journal EducationalResearch and Reviews, 11(21), 202–208.

Azizah, M., Sulianto, J., & Cintang, N. (2018). AnalisisKeterampilan Berpikir Kritis Siswa Sekolah DasarPada Pembelajaran Matematika Kurikulum 2013.Jurnal Penelitian Pendidikan, 35(1), 61–70.

Bahar, E. E., Rahman, A., & Minggi, I. (2012). AnalisisPemahaman Mahasiswa Terhadap Konsep LimitFungsi di Satu Titik (Studi Kasus pada MahasiswaJurusan Matematika FMIPA UNM). Sainsmat, 1(2),181–190.

Byers, V. (1980). What does it mean to understandmathematics? International Journal of MathematicalEducation in Science and Technology, 11(1), 1–10.


Davis, E. J. (2015). A Model for Understanding Understandingin Mathematics. National Council of Teachers ofMathematics, 26(1), 13–17.

Feriyanto. (2018). The Ability of Students Mathematical Proofin Determining the Validity of Argument Reviewedfrom Gender Differences. In Journal of Physics (pp. 1–7). Institute Of Physics.

Glasersfeld, E. von. (1983). Learning as Constructive Activity.In Proceedings of the 5th Annual Meeting of the NorthAmerican Group of Psychology in Mathematics Education(Vol. 1, pp. 41–101).

Hadi, S., & Radiyatul. (2014). Metode Pemecahan MasalahMenurut Polya Untuk Mengembangkan Di SekolahMenengah Pertama. Jurnal Pendidikan Matematika,2(1), 53–61.

Hales, T. (2008). Formal proof. Notices of the AMS, 55(11),1370–1380.

Hasan, Q. A. (2012). Rekonstruksi Pemahaman KonsepPembagian Pada Siswa Berkemampuan Rendah.Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret, 609–708.

Hernadi, J. (2008). Metode Pembuktian dalam Matematika.Pendidikan Matematika, 2(1), 1–13.

Hidayanto, E. (2015). Kesulitan Mahasiswa dalam MelakukanPembuktian Teorema. In Seminar Nasional MatematikaUM (pp. 1–10). Malang: Universitas Negeri Malang.

Itzkovitch, E., & Ashkenazi, Y. (2014). Proof by MathematicalInduction. Internasional Journal Of Innovation andResearch In Educational Sciences, 1(3), 186–190.

John A, V. de W., Jennifer M, B.-W., Louann H, L., & KarenS, K. (2014). Teaching Student-Centered Mathematics-Developmentally Approprite Instruction for Grades 6-8(Volume III) Edition 2 (2nd Editio). Boston: Pearson.

69

Keene, K. A., Glass, M., & Kim, J. H. (2011). Identifying AndAssessing Relational Understanding In OrdinaryDifferential Equations. In Proceedings - Frontiers inEducation Conference, FIE (pp. 1–12). Rapid City:Researchgate.

Kurniati, A. H., & Murniati. (2016). Deskripsi KemampuanPenalaran Matematika Siswa ditinjau dariPemahaman Konsep Siswa. Jurnal Pedagogy, 1(2), 38–45.

Lestari, K. E. (2015). Analisis Kemampuan MatematikaMahasiswa Menggunakan Pendekatan Induktif-Deduktif pada Mata Kuliah Analisis Real. Jurnal KajianPendidikan Dan Pengajaran, 1(2), 128–135.

Michaelson, M. (2008). A Literature Review of PedagogicalResearch on Mathematical Induction. AustralianSenior Mathematics Journal, 22(2), 57–62.

Miksalmina. (2012). Penerapan Induksi Matematika DalamPembuktian Matematika. Jurnal Bina BangsaGetsempena Banda Acer, III(2), 69–75.

Minarni, A., Napitupulu, E. E., & Husein, R. (2016).Mathematical Understanding And RepresentationAbility Of Public Junior High School In North Sumatra.Journal on Mathematics Education, 7(1), 43–56.

Minggi, I., Paduppai, D., & Assagaf, S. F. (2016). PenyebabKesulitan Mahasiswa dalam Pembuktian Matematika.Jurnal Penelitian Pendidikan INSANI, 19(1), 18–2.

Napaphun, V. (2012). Relational Thinking/: LearningArithmetic in order to Promote Algebraic Thinking.Journal of Science and Mathematics, 35(2), 84–101.

Perbowo, K. S., & Pradipta, T. R. (2017). PemetaanKemampuan Pembuktian Matematis SebagaiPrasyarat Mata Kuliah Analisis Real Mahasiswa

Daftar Pustaka


Pendidikan Matematika. KALAMATIKA JurnalPendidikan Matematika, 2(1), 81–90.

Putri, R. A. (2016). Problematika dalam PembuktianPernyataan Menggunakan Prinsip InduksiMatematika serta Alternatif Penyelesaiannya.Seminar Nasional Matematika Dan PendidikanMatematika UNY 2015.

Putu, L., & Harini, I. (2016). Penggunaan Mind Map dalamPembuktian Matematika. Jurnal Matematika, 6(1), 56–67.

Rahma, U., Mubarokah, L., & Aunillah. (2015). ProfilPemahaman Relasional Siswa dalam MemecahkanMasalah Matematika di Tinjau dari KemampuanMatematika. Jurnal Pendidikan Matematika, 3(2), 133–150.

Ramalisa, Y., & Syafmen, W. (2014). Analisis PengetahuanProsedural Siswa Tipe Kepribadian Sensing Dalammenyelesaikan Soal Materi Sistem Persamaan LinearDua Variabel. Edumatica, 4(1), 30–36.

Salsabila, E., & Hadi, I. (2015). Pembekalan PemahamanMetode Pembuktian Matematika dan PenerapanStrategi Abduktif-Deduktif Untuk MengembangkanKemampuan Membuktikan Konsep Aljabar AbstrakPada Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNJ,11(1), 15–24.

Siahaan, E. M., Dewi, S., & Said, H. B. (2018). AnalisisKemampuan Pemecahan Masalah MatematisBerdasarkan Teori Polya Ditinjau Dari Gaya KognitifField Dependent Dan Field Independent Pada PokokBahasan Trigonometri Kelas X SMA N 1 Kota Jambi.Jurnal Pendidikan Matematika, 2(2), 100–110.

71

Skemp, R. (1971). The Psychology of Learning Mathematics.Harmondsworth/ : Penguin.

Skemp, R. R. (1978). Relational Understanding andInstrumental Understanding. The Arithmetic Teacher,26(3), 9–15.

Skemp, R. R. (2006). Relational Understanding andInstrumental Understanding. Journal Nayional Councilof Teachers of Mathematics (NCTM), 12(2), 88–95.

Spencer, T., & Manuel, K. (2017). Proof By MathematicalInduction/ : Professional Practice For SecondaryTeachers, 26th Biennial Conference of the AustralianAssociation of Mathematics Teacher (pp. 5–124).Australiam: The Australian Association ofMathematics Teacher.

Star, J. R., & Stylianides, G. J. (2013). Procedural andConceptual Knowledge: Exploring the Gap BetweenKnowledge Type and Knowledge Quality. CanadianJournal of Science, Mathematics and TechnologyEducation, 13(2), 169–181.

Stefanowicz, A. (2014). Proofs and Mathematical Reasoning.Book, London: University of Birmingham.

Stylianides, A. J., & Stylianides, G. J. (2009). ProofConstructions And Evaluations. Educ Stud Math,72(2), 237–253.

Suandito, B. (2017). Bukti Informal dalam PembelajaranMatematika. Jurnal Pendidikan Matematika Aljabar,8(1), 13–23.

Subanji. (2011). Matematika Sekolah dan Pembelajarannya.J-TEQIP, 2(1), 1–12.

Syafri, S. F. (2017). Kemampuan Representasi Matematis danKemampuan Pembuktian Matematika. JurnalEdunmath, 3(1), 49–55.

Daftar Pustaka


Tatak, A., Kurniawan, H., & Rudhito, M. A. (2016).Kemampuan Berpikir Relasional Siswa dalamMengerjakan Soal Kontekstual dengan PendekatanRealistik Pada Topik Fungsi Linear. Kreano, 7(2), 136–144.

Utomo, D. P. (2010). Pengetahuan Konseptual dan Proseduraldalam Pembelajaran Matematika. MakalahDisampaikan Pada Seminar Nasional Matematika danPendidikan Matematika Universitas MuhammadiyahMalang Tanggal 30 Januari 2010.

Varghese, T. (2017). Proof, Proving and MathematicsCurriculum. Journal Tansformations, 3(1), 1–30.

Walle, V. De, & John, A. (2008). Matematika PengembanganPengajaran, Jilid 1, Edisi Keenam. New York: Longman.

Walshaw, M. (2017). Understanding MathematicalDevelopment Through Vygotsky. Research inMathematics Education, 19(3), 293–309.

Weber, K. (2002). The Role Of Instrumental And RelationalUnderstanding In Proofs About Group Isomorphisms.Proceedings from the 2nd International Conference forthe Teaching of Mathematics (pp. 1–9). New Jersey: TheState University of New Jersey.

Woodruff, E. (2005). Manifold Relational Understanding:Moving Beyond the Mind as Container Metaphor inEducational Technology. In Forum American BarAssociation (pp. 1–9). Toronto, Canada.

Yoong, W. K. (1987). Aspects of Mathematical Understanding.Singapore Journal Of Education, 8(2), 45–55.

Glosarium

AAksioma

Pernyataan yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpapembuktian

AsimilasiProses kognitif di mana seseorang mengintegrasikanpersepsi, konsep ataupun pengalaman baru ke dalamskema atau pola yang sudah ada dalam pikirannya

CCorollary

Sebuah proposisi yang mana secara langsung diperolehdari suatu teorema yang sudah kita buktikan sebelumnya

DDeduktif

Bermula dengan penjabaran tentang hal-hal umumkemudian menjurus ke hal khusus


HHirarki

Urutan tingkatan atau jenjang jabatan (pangkatkedudukan)

IInduktif

Bermula dengan penjabaran tentang hal-hal khususkemudian menjurus ke hal umum

IndependenYang Berdiri Sendiri Atau Tidak Terikat.

InkuiriProses bertanya dan mencari tahu jawaban terhadappertanyaan ilmiah yang diajukannya

InterpretasiPemberian kesan, pendapat, atau pandangan teoretisterhadap sesuatu; tafsiran

IntuisiDaya atau kemampuan mengetahui atau memahamisesuatu tanpa dipikirkan atau dipelajari; bisikan hati; gerakhati

KKombinatorik

Cabang matematika yang mempelajari enumerasi,kombinasi, dan permutasi himpunan dari unsur-unsur danrelasi matematis yang mencirikan sifat-sifatnya

75

KonjekturSebuah pernyataan yang mana nilai kebenarannya tidakatau belum kita ketahui.

KontradiksiPertentangan antara dua hal yang sangat berlawanan ataubertentangan

KreadibilitasKeadaan atau kondisi yang dapat dipercaya dan bisadipertanggungjawabkan sebagaimana mestinya

LLemma

Suatu teorema sederhana yang mana dipergunakan sebagaihasil-antara dalam pembuktian teorema yang lain

MMenggeneralisasikan

Perihal membuat suatu gagasan lebih sederhana daripadayang sebenarnya

PProbabilitas

Peluang atau kemungkinan dari suatu kejadian, terjadiatau tidak dan seberapa besar kemungkinan kejadiantersebut berpeluang untuk terjadi.

RRepresentasi

Proses pemaknaan kembali sebuah objek/fenomena/realitas yang maknanya akan tergantung bagaimanaseseorang itu mengungkapkannya melalui bahasa

Glosarium


SSpektrum

Suatu kondisi yang tidak terbatas pada serangkaian nilaitertentu tetapi dapat bervariasi, tanpa langkah-langkah,di seluruh kontinum

TTriangulasi

Teknik pemeriksaan keabsahan data yang memanfaatkansesuatu yang lain di luar data itu untuk keperluanpengecekan atau sebagai pembanding terhadap dataitu

Indeks

AAAAAAksioma 73aksioma 1, 37, 38Asimilasi 73asimilasi 21, 38

CCCCC

Corollary 73corollary 3

DDDDD

Deduktif 69, 70deduktif 1

HHHHH

Hirarki 74hirarki 9

IIIII

Independen 70, 74independen 21Induktif 69, 74induktif 1, 5, 33, 34Inkuiri 74

inkuiri 15Interpretasi 74interpretasi 14Intuisi 74intuisi 1, 27, 29

KKKKK

Kombinatorik 74kombinatorik 2, 12, 33, 34Konjektur 75konjektur 1kontradiksi 2Kreadibilitas 42

LLLLL

lemma 3

MMMMM

Menggeneralisasikan 75menggeneralisasikan 51

PPPPP

Probabilitas 75probabilitas 12


RRRRR

Representasi 71, 75representasi 27, 28, 31

SSSSS

Spektrum 76spektrum 14

TTTTT

Triangulasi 76triangulasi 42

Biodata Penulis

DWI PRIYO UTOMO adalah dosen diProgram Studi Pendidikan MatematikaFakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Muhammadiyah Malang.DPU, demikian teman-teman sekolahnyabiasa memanggil, lahir di Desa Bendo,Kecamatan Ponggok, Kabupaten Blitar,Jawa Timur pada 26 Pebruari 1962.

Pendidikan tingkat SD, SMP, dan SMA diselesaikan di Blitar.Tamat dari SDN Bendo 2 pada tahun 1974, tamat dari SMPN2 Blitar pada tahun 1977 dan tamat dari SMAN 1 Blitar pada1981. Selanjutnya, pendidikan sarjana dan magisterpendidikan matematika diperoleh dari Universitas NegeriMalang (dahulu IKIP Malang) pada tahun 1986 dan 1990.

Gelar doktor pendidikan matematika diperoleh dariUniversitas Negeri Surabaya (UNESA) pada tahun 2007.Dalam lima tahun terakhir, sebagai dosen UMM, penulisterlibat dalam berbagai kegiatan pendidikan dan pelatihansebagai berikut. Sebagai koordinator penjaminan mutuPendidikan Profesi Guru (PPG) di UMM (tahun 2018-


sekarang). Sebagai Instruktur Penguatan Kepala Sekolah KotaMalang, Kota dan Kabupaten Blitar pada tahun 2019.

Melakukan berbagai pengabdian untuk guru-gurumatematika SD, SMP, dan SMA Muhammadiyah di Kota danKabupaten Malang. IbM Guru Dalam Pembuatan Media FxDraw Di SMP Muhammadiyah Malang (2019), IbM Gurudalam Pelatihan Dan Pendampingan Pembuatan ModulUKBM (Unit Kegiatan Belajar Mandiri) di SMAMuhammadiyah Binaan FKIP UMM Se-Malang Raya (2018),IbM Guru Dalam Pembuatan Media Geogebra Di SMPMuhammadiyah Malang (2017). IbM Guru dalam PelatihanDan Pendampingan Penyusunan Instrument PenilaianOtentik di SMP Binaan FKIP UMM (2016). Menulis ArtikelIlmiah di berbagai jurnal. Pengetahuan Konseptual danProsedural dalam Pembelajaran Matematika (2010).Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis Masalahpada Pembelajaran Matematika di SD (2011). PengembanganPerangkat Pembelajaran Mahasiswa Prodi Pend. MatematikaPeserta PPL 2009/2010 di SMP dan SMU di Malang (2011).Pengembangan Model Pembelajaran Kooperatif Matematikayang Berorientasi pada Kepribadian Siswa di SD (2012).Analisis Matematis dan Ekonomis Penggunaan Metanol danEtanol pada Kompor “HD” (2011). Model PembelajaranKooperatif, Teori yang Mendasari dan Prakteknya dalamPembelajaran di Sekolah Dasar & Sekolah Lanjutan (2011).Masalah-Masalah dalam Pembelajaran Matematika di SLTP(2012). Pengembangan Model Pembelajaran KooperatifMatematika yang Berorientasi pada Kepribadian Siswa (ModelPKBK) di Sekolah Dasar (2013). Instrumental and RelationalUnderstanding Analysis of 5th Grade Elementary SchoolStudents on Integers Addition (2019). An Analysis on CreativeThinking Skill on Algebra Materials of Students in Regular,

81

Acceleration, and Olympiad Classes (2018). Students’Understanding Of The Smart Solution Method And its UseIn Solving Straight Line Problems (2017). Pengembangan LKSBerbasis REACT pada Materi Pecahan di SD Kelas IV (2016).

Biodata Penulis

pemahaman relasionaleprints.umm.ac.id/63106/7/utomo huda - pemahaman... · 2020. 6. 30. · daftar...

Documents