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PRESENTACIÓN

Este tema se presenta antes de los contenidos propios de la asignatura de Física y Química como una referencia disponible durante todo el curso.

Este tema pretende recordar definiciones y enfoques propios del trabajo científico cubiertos en cursos anteriores y profundizando en algún aspecto nuevo para el alumnado.

En los contenidos determinados por el ministerio para esta materia existe un primer bloque titulado «Bloque 1. La actividad científica». Este bloque se puede trabajar con cualquiera de los contenidos de los temas del 1 al 12 del libro. No obstante en este tema 0 se pueden encontrar algunas propuestas metodológicas y fundamentos matemáticos para abordar este trabajo.

LA MEDIDA

PRESENTACIÓN

0

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Comunicación científica

– descripción del fenómeno

– muestra ordenada de datos

– exposición de hipótesis

Representaciones gráficas

– diagramas cartesianos

– estadística de regresión

– mínimos cuadrados

El método científico

1. Modelos y teorías

2. Observaciones y experimentos

3. Confrontación teoría y experimentación

4. Revisión de modelos y teorías

Magnitudes y unidades de medida

Magnitudes:

– Escalares o vectoriales

– Discretas o continuas

– Fundamentales, suplementarias o derivadas

Unidades de medida:

– unidades fundamentales: metro, kilogramo, segundo, amperio, kelvin, mol, candela

– unidades suplementarias

– unidades derivadas

En el aparato:

– sensibilidad

– funcionamiento

– calibrado

– respuesta

Fuentes:

– aleatorias, circunstanciales de la medida

– sistemáticas, inevitables con las operaciones

En los resultados:

– estadística

Incertidumbre y error

21DÍA A DÍA EN EL AULA FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bto. Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Hay magnitudes derivadas que para expresarlas como combinación de las unidades de las magnitudes fundamentales resultan muy complicadas. Para hacer más sencillo el trabajo, para referirnos a las unidades de tal magnitud se abrevia su nombre. Se usa el apellido de algún científico cuyo trabajo estuvo en relación con la magnitud que nombramos. Por ejempo, para cuantificar la magnitud fuerza usamos la unidad newton, abreviada N, en lugar de «metro kilo por segundo al cuadrado«, abreviado m kg s-2.

Para diferenciar al escribir, si queremos hacer referencia al nombre del científico o al nombre de la unidad se cambia la primera letra. La primera letra mayúscula para referirnos a la persona o la primera letra minúscula para referirnos a la unidad de medida.

En la abreviatura de la unidad de medida se conserva la mayúscula si el nombre de la unidad se toma del nombre de una persona, por ejemplo A es la abreviatura de amperio (recordando a André-Marie Ampère).

Magnitud Símbolo Unidad de medida Símbolo

Mag

nit

ud

es

fun

dam

enta

les

Longitud l, x, r, ... metro m

Masa m kilogramo kg

Tiempo t segundo s

Intensidad de corriente I, i amperio A

Temperatura termodinámica T kelvin K

Cantidad de sustancia n mol mol

Intensidad luminosa Iv candela cd

Magnitud Definición Unidad de medida Símbolo

Magnitudes suplementarias

Ángulo plano a (= l / l) radián rad

Ángulo sólido F (= l2 / l2 ) estereoradián sr

Mag

nit

ud

es d

eriv

adas

Área l2 metro cuadrado m2

Volumen l3 metro cúbico m3

Velocidad l t-1 metro por segundo m/s

Aceleración l t-2 metro por segundo al cuadrado m/s2

Densidad l-3 m kilogramo por metro cúbico kg/m3

Frecuencia t-1 hercio Hz

Fuerza l m t-2 newton N

Presión l-1 m t-2 pascal Pa

Energía, Trabajo, Cantidad de calor l2 m t-2 julio J

Potencia l2 m t-3 watio W

Carga eléctrica t i culombio C

Diferencia de potencial eléctrico l2 m t-3 i-1 voltio V

Resistencia eléctrica l2 m t-3 i-2 ohmio V

Capacidad l-2 m-1 t4 i2 faradio F

Flujo magnético l2 m t-2 i-1 weber Wb

Densidad del flujo magnético m t-2 i-1 tesla T

Inductancia l2 m t-2 i-2 henrio H

Flujo luminoso Iv F lumen lm

Iluminancia l-2 Iv F lux lx

Dosis absorbida l2 t-2 gray Gy

Momento de una fuerza l2 m t-2 newton por metro N ? m

22 DÍA A DÍA EN EL AULA FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bto. Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

MAGNITUDES Y SUS UNIDADES

BANCO DE DATOS

0

INCERTIDUMBRE EN LOS RESULTADOS

PROBLEMAS RESUELTOS

0

ACTIVIDADES

1 Determina de la siguiente colección de números la media y la desviación típica: 6, 5, 7, 6, 8, 5, 9 y 6.

Solución: 6,5; 1,32.

2 En cierta localidad la serie de las temperaturas máximas durante una semana fue: 17,8 ºC, 16,9 ºC, 13,4 ºC, 13,0 ºC, 19,6 ºC, 20,7 ºC y 20,0 ºC. La serie de las temperaturas mínimas en la misma semana fue: 8,6 ºC, 6,5 ºC, 4,2 ºC, -0,7 ºC, 8,8 ºC, 8,6 ºC y 8,5 ºC.

a) Calcula el valor, con su incertidumbre, de la temperatua máxima de la semana.

b) Calcula el valor, con su incertidumbre, de la temperatua mínima de la semana.

Solución: a) (17,3 ! 2,9) ºC; b) (6,0 ! 3,4) ºC.

3 Las puntuaciones en un examen han sido:

9,7 - 9,8 - x - 8,6 - 9,7

Si la media de estas calificaciones es de 9,2, ¿cuál es la puntuación x que falta?

Solución: 8,2.

4 Al preguntar en 50 familias por el número de miembros que forman el hogar familiar, hemos obtenido la información que se recoge en la siguiente tabla:

Número de miembros x

1 2 3 4 5 6 >7

Cantidad de familias

2 10 23 9 3 2 1

a) Calcula la media y la desviación típica.

b) ¿Qué porcentaje de familias hay entre x sx- y x sx+ (ambos valores incluidos)?

Solución: a) 3,24 y 1,26; b) 84 %.

5 Las puntuaciones en un examen han sido:

7,3 - x - 8,1 - y - 6,3

Si la media de estas calificaciones es de 6,92 y la desviación típica es 0,9558, ¿cuáles son las puntuaciones x e y que faltan?

Solución: 5,4 y 7, 5.

Las estaturas, en centímetros, de 12 estudiantes de un mismo grupo son: 173, 171, 169, 177, 159, 168, 169, 168, 173, 163, 168 y 170.

a) Halla la media aritmética de las estaturas del grupo de estudiantes.

b) Halla la desviación típica de la altura de este grupo de estuciantes.

c) Expresa el valor de la estatura del grupo con su incertidumbre.

d) ¿Cuántos estudiantes no están represantados dentro del valor calculado?

a) El valor promedio es el valor central:

h12

173 171 169 177 159 168 169 168 173 163 168 170169 cm=

+ + + + + + + + + + +=

b) La desviación típica nos mide la dispersión de los datos:

4,47 cm

sNh

h

12173 171 169 177 159 168 169 168 173 163 168 170

169

hi2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

= - =

+ + + + + + + + + + +- ==

/

c) El valor de la estatura con su incertidumbre:

( , ) ( )h h s 169 4 5 cm 164,5 , 173,5 cmh! != = =

d) Representamos los estudiantes con un aspa en la recta real, y el intervalo de incertidumbre con un segmento y paréntesis:

El número de estudiantes fuera del margen de incertidumbre es tres. Sus estaturas son 159, 163 y 177 cm.

FICHA 1

164,5 169

150 160 170 180

173,5


EJEMPLO

MAGNITUDES Y UNIDADES DE MEDIDA

MÁS PROBLEMAS

0Nombre:

Curso:

Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Convierte a unidades del sistema internacional.

a) 81 km/h b) 50 rpm c) 48 años 160 dias d) 956 MeV

Datos: 1 km = 1000 m; 1 año = 365,25 días; 1 día = 86 400 s; 1 h = 3600 s; 1 min = 60 s; 1 rev = 2r rad; 1 eV = 1,6 ? 10-19 J.

2 Convierte la constante de los gases R = 0,082 (atm ? L)/(mol ? K) a unidades del sistema internacional.

Datos: 1 atm = 1,013 ? 105 Pa; 1000 L = 1 m3.

FICHA 1

Convierte cualquiera de las medidas indicadas al sistema internacional:

a) Desde el aeropuerto de la isla de El Hierro al aeropuerto de Girona un avión recorre 1312 millas.

b) El día 10 de marzo el Sol estuvo iluminando desde las 7 h 33 min hasta las 19 h 15 min.

c) Hace alrededor de 132 millones de años se produjo la mayor emisión de material volcánico. Cuando África y Sudamérica formaban una única placa litosférica se emitieron a la superficie 1015 litros de materiales. Se pueden encontrar restos de este episodio en Brasil, Angola y Namibia.

Datos: 1 milla = 1852 m; 1 h = 3600 s; 1 min = 60 s; 1000 L = 1 m3; 1 año = 365,25 días; 1 día = 86 400 s.

a) La magnitud tratada es la longitud, en el sistema internacional la unidad de medida correspondiente es el metro:

?1312 millas 1312 milla1 milla

1852 m2 429 824 m= =

b) La magnitud tratada es el tiempo, en el sistema internacional la unidad de medida correspondiente es el segundo:

Primero hay que restar a la hora del atardecer la hora del amanecer de aquel día:

19 h 15 min - 7 h 33 min = 18 h 75 min - 7 h 33 min = 11 h 42 min

Ahora se puede convertir a unidades del sistema internacional:

? ?11h 42 min 11h1 h

3600 s42 min

1 min

60 s42 120 s= + =

c) En la frase hay dos magnitudes una de tiempo y otra de volumen, en el sistema internacional para el tiempo la unidad de medida es el segundo y para el volumen el metro cúbico. Para el tiempo:

? ? ? ?132 millones de años 132 10 año1 año

365,25 día

1 día

86 400 s4,13 10 s6 15= =

Para el volumen:

?10 L 10 L1000 L

1 m10 m15 15

312 3= =


EJEMPLO

INCERTIDUMBRE Y ERROR

MÁS PROBLEMAS

0Nombre:

Curso:

Fecha:


1 La siguiente tabla muestra el caudal promedio trimestral (en m3/s) del río Ebro a su paso por Zaragoza. Determina el caudal promedio anual teniendo en cuenta el número de días de cada trimestre.

2 Medimos la masa de una persona y la de una motocicleta consiguiendo los siguientes resultados.

– La masa de una persona: (67 ! 0,5) kg – La masa de una motocicleta: (149,5 ! 1,5) kg

¿Cuál de las dos medidas tiene mayor error relativo?

FICHA 2

Tenemos un termómetro con un rango de medida entre los 300,0 °C y los 350,0 °C con capaz de diferenciar cambios de temperatura de 0,2 °C. Con este termómetro tomamos 5 medidas de la temperatura de fusión del plomo consiguiendo los datos 326,4, 326,8, 326,6, 326,4 y 326,8.

a) Calcula el valor más probable y la incertidumbre en el valor de la temperatura de fusión del plomo.

b) Sabiendo que el valor veradero del punto de fusión del plomo es T0 = 327,5 °C, ¿qué error relativo estamos cometiendo al considerar que el valor calculado en el apartado anterior?

a) El valor más probable es el promedio T :

, , , , ,°T

5326 4 326 8 326 6 326 4 326 8

326,6 C=+ + + +

=

La amplitud de la incertidumbre es el mayor valor que resulta al comparar la desviación estándar y la sensibilidad:

, , , , ,,s

5326 4 326 8 326 6 326 4 326 8

326 6 0,18 ºCT

2 2 2 2 22=

+ + + +- =

,°s

20 2

0,1 C= =

A partir de la experiencia podemos atrevernos a decir que la temperatura de fusión del plomo es:

T T s °326,6 0,2 CT! != = _ i

b) El error absoluto es:

T T0- = |326,6 - 327,5| = 0,9 °C

Y el error relativo:

? ?,

,T

T T100

327 50 9

100 0,3%0

0-= =

Trimestre Qm (m3/s)

2011 4T (92 días) 86,109

2012 1T (91 días) 116,879

2012 2T (91 días) 129,473

2012 3T (92 días) 33,674


MAGNITUDES Y UNIDADES DE MEDIDA

Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 1MÁS PROBLEMAS (Soluciones)

0

EJEMPLO


1 Convierte a unidades del sistema internacional.

a) 81 km/h b) 50 rpm c) 48 años 160 dias d) 956 MeV

Datos: 1 km = 1000 m; 1 año = 365,25 días; 1 día = 86 400 s; 1 h = 3600 s; 1 min = 60 s; 1 rev = 2r rad; 1 eV = 1,6 ? 10-19 J.

a) ? ?81h

km81

h

km

1 km

1000 m3600 s

1 h22,5

sm

= =

b) ? ?50minrev

50min

rev

1 rev

2 rad60 s

1 min3

5s

radr r= =

c) ? ? ?48 años 160 días 48 año1 año

365,25 día160 día 17692 día

1 día

86 400 s1,53 10 s9+ = + = =

d) ??

?956 MeV 956 10 eV1 eV

1,6 10 J8,90 0 J6

1911= =

--

2 Convierte la constante de los gases R = 0,082 (atm ? L)/(mol ? K) a unidades del sistema internacional.

Datos: 1 atm = 1,013 ? 105 Pa; 1000 L = 1 m3.

?

?

?

??

??

?

?

?

?

R 0,082mol Katm L

0,082mol Katm L

1 atm

1,013 10 Pa

1000 L

1 m8,31

mol KPa m

8,31mol Km

Nm

8,31 J mol K5 3 3 2

3

1 1= = = = = - -

Convierte cualquiera de las medidas indicadas al sistema internacional:

a) Desde el aeropuerto de la isla de El Hierro al aeropuerto de Girona un avión recorre 1312 millas.

b) El día 10 de marzo el Sol estuvo iluminando desde las 7 h 33 min hasta las 19 h 15 min.

c) Hace alrededor de 132 millones de años se produjo la mayor emisión de material volcánico. Cuando África y Sudamérica formaban una única placa litosférica se emitieron a la superficie 1015 litros de materiales. Se pueden encontrar restos de este episodio en Brasil, Angola y Namibia.

Datos: 1 milla = 1852 m; 1 h = 3600 s; 1 min = 60 s; 1000 L = 1 m3; 1 año = 365,25 días; 1 día = 86 400 s.

a) La magnitud tratada es la longitud, en el sistema internacional la unidad de medida correspondiente es el metro:

?1312 millas 1312 milla1 milla

1852 m2 429 824 m= =

b) La magnitud tratada es el tiempo, en el sistema internacional la unidad de medida correspondiente es el segundo:

Primero hay que restar a la hora del atardecer la hora del amanecer de aquel día:

19 h 15 min - 7 h 33 min = 18 h 75 min - 7 h 33 min = 11 h 42 min

Ahora se puede convertir a unidades del sistema internacional:

? ?11h 42 min 11h1 h

3600 s42 min

1 min

60 s42 120 s= + =

c) En la frase hay dos magnitudes una de tiempo y otra de volumen, en el sistema internacional para el tiempo la unidad de medida es el segundo y para el volumen el metro cúbico. Para el tiempo:

? ? ? ?132 millones de años 132 10 año1 año

365,25 día

1 día

86 400 s4,13 10 s6 15= =

Para el volumen:

?10 L 10 L1000 L

1 m10 m15 15

312 3= =


INCERTIDUMBRE Y ERROR

MÁS PROBLEMAS (Soluciones)

Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 20

EJEMPLO


1 La siguiente tabla muestra el caudal promedio trimestral (en m3/s) del río Ebro a su paso por Zaragoza. Determina el caudal promedio anual teniendo en cuenta el número de días de cada trimestre.

Cada dato es el promedio de los días que forman el trimestre. Así que para completar el año hidrológico hemos de tener en cuenta que cada dato se repite tantas veces como días tenga el trimestre y dividiendo entre el número total de días (el años 2012 fue bisiesto):

? ? ? ?Q

36686,109 92 116,879 91 129,473 91 33,674 92

64,011s

mm

3

=+ + +

=

2 Medimos la masa de una persona y la de una motocicleta consiguiendo los siguientes resultados.

– La masa de una persona: (67 ! 0,5) kg – La masa de una motocicleta: (149,5 ! 1,5) kg

¿Cuál de las dos medidas tiene mayor error relativo?

El error relativo de la masa de la persona lo calculamos comparando la amplitud de la incertidumbre con el valor central:

? ?,

, %ms

100670 5

100 0 75m= =

Lo mismo hacemos para la masa de la motocicleta:

? ?,

,, %

ms

100149 51 5

100 1 00m= =

Tiene mayor error relativo la motocicleta.

Tenemos un termómetro con un rango de medida entre los 300,0 °C y los 350,0 °C con capaz de diferenciar cambios de temperatura de 0,2 °C. Con este termómetro tomamos 5 medidas de la temperatura de fusión del plomo consiguiendo los datos 326,4, 326,8, 326,6, 326,4 y 326,8.

a) Calcula el valor más probable y la incertidumbre en el valor de la temperatura de fusión del plomo.

b) Sabiendo que el valor veradero del punto de fusión del plomo es T0 = 327,5 °C, ¿qué error relativo estamos cometiendo al considerar que el valor calculado en el apartado anterior?

a) El valor más probable es el promedio T :

, , , , ,°T

5326 4 326 8 326 6 326 4 326 8

326,6 C=+ + + +

=

La amplitud de la incertidumbre es el mayor valor que resulta al comparar la desviación estándar y la sensibilidad:

, , , , ,,s

5326 4 326 8 326 6 326 4 326 8

326 6 0,18 ºCT

2 2 2 2 22=

+ + + +- =

,°s

20 2

0,1 C= =

A partir de la experiencia podemos atrevernos a decir que la temperatura de fusión del plomo es:

T T s °326,6 0,2 CT! != = _ i

b) El error absoluto es:

T T0- = |326,6 - 327,5| = 0,9 °C

Y el error relativo:

? ?,

,T

T T100

327 50 9

100 0,3%0

0-= =

Trimestre Qm (m3/s)

2011 4T (92 días) 86,109

2012 1T (91 días) 116,879

2012 2T (91 días) 129,473

2012 3T (92 días) 33,674


EVALUACIÓN

1 Cambia las unidades según se indica, usando factores de conversión.

a) 5472 mm a m

b) 1 h 35 min a s

c) 4,45 ? 10-5 T a nT

d) 120 km/h a m/s

e) 25 m/s a km/h

2 Indica en cada caso qué medida es mayor.

a) 1,4 ? 103 mm2 o 0,14 m2

b) 1,24 ? 109 mm o 0,124 km

c) 3 ? 10-5 t o 3 g

d) 400 cm3 o 4 L

e) 125 km/h o 35 m/s

3 Si ponemos de una cinta métrica con una precisión de medida de 1 cm. Medimos un terreno rectangular de 80,56 m de largo y 31,72 m de ancho. Determina su perímetro y su área con la incertidumbre correspondiente haciendo un uso adecuado de las cifras significativas.

4 Tres personas han cronometrado al mismo atleta corriendo los 100 m lisos. Las medidas de cada uno de ellos son:

10,92 s; 10,97 s; 10,94 s

a) Calcula el valor más probable del tiempo que tardó el atleta en recorrer los 100 m.

b) Calcula el intervalo de incertidumbre.

Nombre:

Curso:

Fecha:

0 PRUEBA B


ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES0

Criterio Estándares de aprendizajeActividades

Contro B

B1-1. Reconocer y utilizar las estrategias básicas de la actividad científica como: plantear problemas, formular hipótesis, proponer modelos, elaborar estrategias de resolución de problemas y diseños experimentales y análisis de los resultados.

B1-1.2. JResuelve ejercicios numéricos expresando el valor de las magnitudes empleando la notación científica, estima los errores absoluto y relativo asociados y contextualiza los resultados.

1, 2, 3 y 4

CONTROL B

1 En cada caso se ha de aplicar el factor de conversión que convenga.

a) ?5472 mm 5472 mm1000 mm

1m5,742 m= =

b) ? ?1h 53 min 1h1h

3600 s53 min

1min

60 s6780 s= + =

c) ? ? ?4,45 10 T 4,45 10 T10 T

1nT44500 nT5 5

9= =- -

-

d) ? ? 3120h

km120

h

km

1km

1000 m3600 s

1h33,

sm

= =!

e) ? ?25sm

25s

m

1000 m

1km1h

3600 s90

hkm

= =

2 Se convierten ambas medidas con notación científica al sistema internacional y después se compara.

a) ? ? ? ?1,4 10 mm 1,4 10 mm1000 mm

1m1,4 10 m3 2 3 2

2

3 2= = -f p

0,14 m2 = 1,4 ? 10-1 m2

Es mayor 0,14 m2.

b) ? m ? m ?m

?1,24 10 m 1,24 10 m1 m

10 m1,24 10 m9 9

63= =

-

? ?0,124 km 0,124 km1km

10 m1,24 10 m

32= =

Es mayor 1,24 ? 109 mm.

c) ? ? ? ?3 10 3 10t t1 t

10 kg3 10 kg5 5

32= =- - -

? ?3 g 3 g1000 g

1kg3 10 kg3= = -

Es mayor 3 ? 10-5 t.

d) ? ?400 cm 400 cm100 cm

1m4 10 m3 3

3

4 3= = -f p

? ?4 L 4 L1000 L

1m4 10 m

33 3= = -

Es mayor 4 L.

e) ? ? ?2125h

km125

h

km

1km

1000 m3600 s

1h3,47 10

sm1= = -

!

?35sm

3,5 10sm1= -

Es mayor 35 m/s.

3 Con el instrumento de medida que tenemos para medir la sensibilidad de la medida es 0,5 cm es decir 0,005 m. Así el largo es a = (80,56 ± 0,005) m. El valor está comprendido entre el largo máximo amáx = 80,565 m, y el largo mínimo amín = 80,555 m. También el ancho es b = (31,72 ± 0,005) m. El valor está comprendido entre el largo máximo bmáx = 31,725 m, y el ancho mínimo bmín = 31,715 m.

El perímetro se calcula sumando la longitud de todos los lados del rectángulo:

p = 2 ? (a + b)

Así el perímetro máximo:pmáx = 2 ? (amáx + bmáx) = 2 ? (80,565 m + 31,725 m)

pmáx = 224,58 m

Y el perímetro mínimo:

pmín = 2 ? (amín + bmín) = 2 ? (80,555 m + 31,715 m)

pmín = 224,54 m

Para expresar el valor del perímetro:

p = (224,56 ! 0,02) m

El área se calcula multiplicando ambos lados del rectángulo:A = a ? b

Así el área máxima:Amáx = amáx ? bmáx = 80,565 m ? 31,725 m

Amáx = 2555,9246 m2

Y el área mínima:

Amín = amín ? bmín = 80,555 m ? 31,715 m

Amín = 2554,8018 m2

Para expresar el valor del área:

A = (2555,3632 ! 0,5614) m2

Respetando el número cifras significativas (son 4):

A = (2555 ! 1) m2

4 a) t 33

10,92 10,97 10,9410,94 s 10,94 s.=

+ +=

!

b) La sensibilidad del aparato es s2

0,01s0,005 s= = .

La desviación estándar de la muestra:

s 33

10,92 10,97 10,9410,94 0,0205 st

2 2 22

=+ +

- =!

s 0,02 st .

El mayor entre ambos es la desviación estándar, por eso:

t t s 10,94 0,02 st! !.= ` _j i


la medida - fyqenlaconcepcion.files.wordpress.com – escalares o vectoriales – discretas o...

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