Por ejemplo, supongamos que queremos hallar el máximo de la función y = - x2, una parábola invertida con el máximo en x = 1. En este caso, el único parámetro del problema es la variable x. La optimización consiste en hallar un x tal que F(x) sea máximo. Crearemos, pues, una población de cromosomas, cada uno de los cuales contiene una codificación binaria del parámetro x. Lo haremos de la forma siguiente: cada byte, cuyo valor está comprendido entre 0 y 255, se transformará para ajustarse al intervalo [-1,1], donde queremos hallar el máximo de la función.

Valor binario Decodificación Evaluación f(x)

10010100 21 0,9559 10010001 19 0,9639

101001 -86 0,2604

1000101 -58 0,6636

El fitness determina siempre los cromosomas que se van a reproducir y aquellos que se van a eliminar, pero hay varias formas de considerarlo para seleccionar la población de la siguiente generación:

• Usar el orden, o rango y hacer depender la probabilidad de permanencia o evaluación de la posición en el orden.

• Aplicar una operación al fitness para escalarlo; como por ej emplo, el escalado sigma. En este esquema el fitness se escala.

• En algunos casos, el fitness no es una sola cantidad, sino diversos números, que tienen diferente consideración. Basta con que tal fitness forme un orden parcial, es decir, que se puedan comparar dos individuos y decir cuál de ellos es mejor. Esto suele suceder cuando se necesitan optimizar varios objetivos.

Una vez evaluado el fitness, se tiene que crear la nueva población teniendo en cuenta que los buenos rasgos de los mejores se transmitan a ésta. Para ello, hay que seleccionar una serie de individuos encargados de tan ardua tarea. Esta selección y la consiguiente reproducción, se pueden hacer de dos formas principales:

• Basado en el rango: En este esquema se mantiene un porcentaje de la población, generalmente la mayoría, para la siguiente generación. Se coloca toda la población por orden de fitness y los M menos dignos son eliminados y sustituidos por la descendencia de alguno de los M mejores con algún otro individuo de la población. A este esquema se le pueden aplicar otros criterios; por ejemplo, se crea la descendencia de uno de los paladines / amazonas, y ésta sustituye al más parecido entre los perdedores. Esto se denomina crowding y fue introducido por DeJong. En nuestro caso, se eliminaría el cromosoma número 3 y se sustituiría por un descendiente del cromosoma número 2 y otro aleatorio, escogido entre el 1 y el 4. En realidad, para este esquema se escoge un crowding factor, CF. Cuando nace una nueva criatura, se seleccionan CF individuos de la población, y se elimina al más parecido a la nueva criatura. Una variante

6! 1

de éste es el muestreado estocástico universal, que trata de evitar que los individuos con más fitness copen la población; en vez de dar la vuelta a una ruleta con una ranura, da la vuelta a la ruleta con N ranuras, tantas como la población; de esta forma, la distribución estadística de descendientes en la nueva población es más parecida a la real.

• Rueda de ruleta: Se crea un pool genético formado por cromosomas de la generación actual, en una cantidad proporcional a su fitness. Si la proporción hace que un individuo domine la población, se le aplica alguna operación de escalado. Dentro de este pool, se cogen parejas aleatorias de cromosomas y se emparejan, sin importar incluso que sean del mismo progenitor (para eso están otros operadores, como la mutación). Hay otras variantes: por ejemplo, en la nueva generación se puede incluir el mejor representante de la generación actual. En este caso, se denomina método elitista.

• Selección de torneo: Se escogen aleatoriamente un número T de individuos de la población, y el que tiene puntuación mayor se reproduce, sustituyendo su descendencia al que tiene menor puntuación.

Crossover

Consiste en el intercambio de material genético entre dos cromosomas (a veces más, como el operador orgía propuesto por Eiben et al.). El crossover es el principal operador genético, hasta el punto que se puede decir que no es un algoritmo genético si no tiene crossover y sin embargo, puede serlo perfectamente sin mutación, según descubrió Holland. El teorema de los esquemas confía en él para encontrar la mejor solución a un problema, combinando soluciones parciales.

Para aplicar el crossover, entrecruzamiento o recombinación, se escogen aleatoriamente dos miembros de la población. No pasa nada si se emparejan dos descendientes de los mismos padres; ello garantiza la perpetuación de un individuo con buena puntuación (además, algo parecido ocurre en la realidad; es una práctica utilizada, por ejemplo, en la cría de ganado, llamada inbreeding y destinada a potenciar ciertas características frente a otras). Sin embargo, si esto sucede demasiado a menudo, puede crear problemas: toda la población puede aparecer dominada por los descendientes de algún gen, que, además, puede tener caracteres no deseados. Esto se suele denominar en otros métodos de optimización atranque en un mínimo local y es uno de los principales problemas con los que se enfrentan los que aplican algoritmos genéticos.

En cuanto al teorema de los esquemas, se basa en la noción de bloques de construcción. Una buena solución a un problema está constituida por unos buenos bloques, igual que una buena máquina está hecha por buenas piezas. El crossover es el encargado de mezclar bloques buenos que se encuentren en los diversos progenitores, y que serán los que den a los mismos una buena puntuación. La presión selectiva se encarga de que sólo los buenos bloques se perpetúen, y poco a poco vayan formando una buena solución. El teorema de los esquemas viene a decir que la cantidad de buenos bloques se va incrementando con el tiempo de ejecución de un algoritmo genético y es el resultado teórico más importante en algoritmos genéticos.

612

El intercambio genético se puede llevar a cabo de muchas formas, pero hay dos grupos principales:

• Crossover n-puntos: Los dos cromosomas se cortan por n puntos y el material genético situado entre ellos se intercambia. Lo más habitual es un crossover de un punto o de dos puntos.

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

• Crossover uniforme: Se genera un patrón aleatorio de unos y ceros y se intercambian los bits de los dos cromosomas que coincidan donde hay un 1 en el patrón. O bien, se genera un número aleatorio para cada bit y si supera una determinada probabilidad se intercambia ese bit entre los dos cromosomas.

@ /——N/"—\ © ® @ ©@®@

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

1 0 C O 0 1 ( o ) 1 0 0 0 0 Co) 0

613

• Crossover especializado: En algunos problemas, se debe aplicar aleatoriamente el crossover, el cual da lugar a cromosomas que codifican soluciones inválidas; en este caso hay que aplicar el crossover de forma que genere siempre soluciones válidas. Un ejemplo de estos son los operadores de crossover usados en el problema del viajante.

Mutación

En la evolución, una mutación es un suceso bastante poco común (sucede aproximadamente una de cada mil replicaciones). En la mayoría de los casos las mutaciones son letales, pero en promedio, contribuyen a la diversidad genética de la especie. En un algoritmo genético tendrán el mismo papel y la misma frecuencia, es decir, muy baja.

Una vez establecida la frecuencia de mutación, por ejemplo, uno por mil, se examina cada bit de cada cadena cuando se vaya a crear la nueva criatura a partir de sus padres (normalmente se hace de forma simultánea al crossover). Si un número generado aleatoriamente está por debajo de esa probabilidad, se cambiará el bit (es decir, de 0 a 1 o de 1 a 0). Si no, se dejará como está. Dependiendo del número de individuos que haya y del número de bits por individuo, puede resultar que las mutaciones sean extremadamente raras en una sola generación.

No hace falta decir que no conviene abusar de la mutación. Es cierto que es un mecanismo generador de diversidad y por tanto, la solución cuando un algoritmo genético está estancado, pero también es cierto que reduce el algoritmo genético a una búsqueda aleatoria. Siempre es más conveniente usar otros mecanismos de generación de diversidad, como aumentar el tamaño de la población o garantizar la aleatoriedad de la población inicial.

Este operador, junto con la anterior y el método de selección de ruleta, constituyen un algoritmo genético simple (AGS) introducido por Goldberg.

Otros o p e r a d o r e s

No se usan en todos los problemas, sino sólo en algunos y en principio su variedad es infinita. Generalmente son operadores que exploran el espacio de soluciones de una forma más ordenada y que actúan más en las últimas fases de la búsqueda, en la cual se pasa de soluciones "casi buenas" a "buenas" soluciones. Entre los operadores más empleados se encuentran los cromosomas de longitud variable, los operadores de nicho (ecológico) y los operadores especializados.

C r o m o s o m a s de longi tud v a r i a b l e

Hasta ahora se han descrito cromosomas de longitud fija, donde se conoce de antemano el número de parámetros de un problema. Pero hay problemas en los que esto no sucede. Por ejemplo, en un problema de clasificación, donde dado un vector de entrada, queremos agruparlo en una serie de clases, podemos no saber siquiera cuántas clases hay. O en diseño de redes neuronales, puede que no

614

se sepa (de hecho, nunca se sabe) cuántas neuronas se van a necesitar. Por ejemplo, en un perceptrón hay reglas que dicen cuántas neuronas se deben utilizar en la capa oculta; pero en un problema determinado puede que no haya ninguna regla heurística aplicable; tendremos que utilizar los algoritmos genéticos para encontrar el número óptimo de neuronas. En este caso, si utilizamos una codificación fregona, necesitaremos un locus para cada neurona de la capa oculta y el número de locus variará dependiendo del número de neuronas de la capa oculta.

En estos casos, necesitamos dos operadores más: añadir y eliminar. Estos operadores se utilizan para añadir un gen o eliminar un gen del cromosoma. La forma más habitual de añadir un locus es duplicar uno ya existente, el cual sufre mutación y se añade al lado del anterior. En este caso, los operadores del algoritmo genético simple (selección, mutación, crossover) funcionarán de la forma habitual, salvo, claro está, que sólo se hará crossover en la zona del cromosoma de menor longitud.

Estos operadores permiten, además, crear un algoritmo genético de dos niveles: a nivel de cromosoma y a nivel de gen. Supongamos que, en un problema de clasificación, hay un gen por clase. Se puede asignar una puntuación a cada gen en función del número de muestras que haya clasificado correctamente. Al aplicar estos operadores, se duplicarán los alelos con mayor puntuación y se eliminarán aquellos que hayan obtenido menor puntuación o cuya puntuación sea nula.

Por ejemplo, en un problema de clasificación en el que hay que clasificar los puntos del cuadrado [0,10] x [0,10] en dos clases, 1 y 2, que no son linealmente separables. Inicialmente se desconoce cuántos vectores son necesarios para clasificar estas clases. El algoritmo genético es capaz de hallar un número óptimo de vectores, a cada uno de los cuales se asigna una etiqueta de clase, tales que el error se hace mínimo, en este caso 4 vectores para la primera clase y 5 para la segunda clase. Cada cromosoma estará compuesto por un diccionario o conjunto de vectores, cada uno de los cuales tiene asignada una etiqueta de clase.

O p e r a d o r e s d e N icho (Ecológico)

Otros operadores importantes son los operadores de nicho. Estos operadores están encaminados a mantener la diversidad genética de la población, de forma que cromosomas similares sustituyan sólo a cromosomas similares y son especialmente útiles en problemas con muchas soluciones; un algoritmo genético con estos operadores es capaz de encontrar todos los máximos, dedicándose cada especie a un máximo. Más que operadores genéticos, son formas de enfocar la selección y la evaluación de la población.

Una de las formas de llevar esto a cabo ya ha sido nombrada, la introducción del crowding (apiñamiento). Otra forma es introducir una función de compartición o sharing, que indica cuán similar es un cromosoma al resto de la población. La puntuación de cada individuo se dividirá por esta función de compartición, de forma que se facilita la diversidad genética y la aparición de individuos diferentes.

También se pueden restringir los emparejamientos, por ejemplo, a aquellos cromosomas que sean similares. Para evitar las malas consecuencias del inbreeding que suele aparecer en poblaciones pequeñas, estos periodos se intercalan con otros períodos en los cuales el emparejamiento es libre.

615

O p e r a d o r e s e s p e c i a l i z a d o s

En una serie de problemas hay que restringir las nuevas soluciones generadas por los operadores genéticos, pues no todas las soluciones generadas van a ser válidas, sobre todo en los problemas con restricciones. Por ello, se aplican operadores que mantengan la estructura del problema. Otros operadores son simplemente generadores de diversidad, pero la generan de una forma determinada:

• Zap: En vez de cambiar un solo bit de un cromosoma, cambia un gen completo de un cromosoma.

• Creep: Este operador aumenta o disminuye en 1 el valor de un gen; sirve para cambiar suavemente y de forma controlada los valores de los genes.

• Transposición: Similar al crossover y a la recombinación genética, pero dentro de un solo cromosoma; dos genes intercambian sus valores, sin afectar al resto del cromosoma. Similar a éste es el operador de eliminación-reinserción, en el que un gen cambia de posición con respecto a los demás.

A p l i c a n d o O p e r a d o r e s Genét icos

En toda ejecución de un algoritmo genético hay que decidir con qué frecuencia se va a aplicar cada uno de los algoritmos genéticos; en algunos casos, como en la mutación o el crossover uniforme, se debe de añadir algún parámetro adicional, que indique con qué frecuencia se va a aplicar dentro de cada gen del cromosoma. La frecuencia de aplicación de cada operador estará en función del problema; teniendo en cuenta los efectos de cada operador, tendrá que aplicarse con cierta frecuencia o no. Generalmente, la mutación y otros operadores que generen diversidad se suele aplicar con poca frecuencia; la recombinación se suele aplicar con frecuencia alta.

En general, la frecuencia de los operadores no varía durante la ejecución del algoritmo, pero hay que tener en cuenta que cada operador es más efectivo en un momento de la ejecución. Por ejemplo, al principio, en la fase denominada de exploración, los más eficaces son la mutación y la recombinación; posteriormente, cuando la población converge en parte, la recombinación no es útil, pues se está trabajando con individuos bastante similares y es poca la información que se intercambia. Sin embargo, si se produce un estancamiento, la mutación tampoco es útil, pues está reduciendo el algoritmo genético a una búsqueda aleatoria y hay que aplicar otros operadores. En todo caso, se pueden usar operadores especializados.

El Z e n y los A lgor i tmos Genét icos

Este es el título de un artículo que publicó Goldberg en la conferencia sobre algoritmos genéticos celebrada en el año 1989 (ICGA 89), en donde da una serie de consejos para que se apliquen los algoritmos genéticos debidamente y avisa a aquellos que se quieren apartar de la ortodoxia.

Deja que la naturaleza sea tu guía: Dado que la mayoría de los problemas a los que se van a aplicar los algoritmos genéticos son de naturaleza no lineal, es mejor actuar como lo hace la naturaleza, aunque intuitivamente pueda parecer la forma menos acertada. Si queremos desarrollar sistemas no lineales que busquen y aprendan, mejor que comencemos (como mínimo) imitando a sistemas que funcionan (Goldberg). Estos sistemas se encuentran en la naturaleza.

616

Cuidado con el asalto frontal: Aveces se plantea el problema de pérdida de diversidad genética en una población de cromosomas. Hay dos formas de resolver este problema: aumentar el ritmo de mutación, lo cual equivale a convertir un algoritmo genético en un algoritmo de búsqueda aleatoria, o bien introducir mecanismos como el sharing, por el cual el fítness de un individuo se divide por el número de individuos similares a él. Este segundo método, más parecido al fúncionamiento de la naturaleza, en el cual cada individuo, por bueno que sea, tiene que compartir recursos con aquellos que hayan resuelto el problema de la misma forma, funciona mucho mejor. Otro caso que surge a menudo en los grupos de discusión es el tratar de optimizar AGs mediante AGs; es mucho mejor tratar de entender el problema que acercarse a él de esta manera.

Respeta la criba de esquemas: Para ello, lo ideal es utilizar alfabetos con baja cardinalidad (es decir, con pocas letras) como el binario.

No te fíes de la autoridad central: La naturaleza actúa de forma distribuida, por tanto, se debe minimizar la necesidad de operadores que "vean" a la población. Ello permite, además, una fácil paralelización del algoritmo genético. Por ejemplo, en vez de comparar el fitness de un individuo con todos los demás, se puede comparar sólo con los vecinos, es decir, aquellos que estén, de alguna forma, situados cerca de él.

S o f t w a r e

El software que más se utiliza para trabajar con algoritmos genéticos actualmente es: Gwin2, Algoritmo Genético Interactivo en Java, TSP Solver, RISK Optimizer y Evolver, entre otros.

Gwin2: Aparece en casi todos los sitios como WinGA, es un programa que permite ejecutar algoritmos genéticos simples, cambiar sus parámetros y que incluso admite ampliaciones mediante la programación de nuevas funciones en Pascal. Fue realizado por I.R. Munro, de la Universidad de Hertfordshire. Está disponible en la página web Zooland, y en el sitio ftp del autor.

Algoritmo Genético Interactivo en Java: En esta página Web, situada en el sitio denominado Evolvica (universidad de Erlangen), al cual se puede acceder desde la página de aplicaciones evolutivas en Java, http://www.systemtechnik.tu-ilmenau.de/~pohlheim/EA_Java/ea_java.html, se ejecuta un algoritmo genético interactivo. Para ello, es necesario acceder a la dirección Web — mediante un browser que admita Java, como el Netscape Navigator 2 o el Internet Explorer 3.

TSP Solver: Este programa permite cambiar parámetros como el tamaño de la población, las tasas de inversión y de mutación y el número "élite" que obtendrá la convergencia del problema a una solución más o menos rápida.

RISK Optimizer: Utiliza la Simulación de Monte Cario para seleccionar datos y aplica después los algoritmos genéticos.

Evolver: Aplica directamente los algoritmos genéticos, sus mutaciones y variables, directamente sobre los datos propuestos.

617

ALGORITMOS MEMÉTICOS

Son procedimientos basados en la población y se han mostrado con técnicas más rápidas que los Algoritmos Genéticos para algunos tipos de problemas. Básicamente combinan procedimientos de Búsqueda Local con operadores de cruce o mutación, por lo que algunos investigadores los han visto como Algoritmos Genéticos Híbridos o Algoritmos Genéticos Paralelos o Métodos de Búsqueda Local genética. El método, descrito originalmente en el trabajo de Moscato (1989), está ganando amplia aceptación en particular en los conocidos problemas de Optimización combinatoria, donde grandes problemas se han solucionado en forma óptima y donde otros metaheurísticos han fallado. Un reciente tutorial sobre meméticos puede encontrarse en Moscato y Cotta (2001).

COLONIA DE HORMIGAS

Estableciendo una observación a la naturaleza con respecto al comportamiento de las hormigas, donde éstas se comunican por medio de una sustancia química llamada Feromona, para encontrar el mejor camino entre el nido y el alimento, en el último tiempo se ha empezado a estudiar el An Colony System (ACS), es decir, los sistemas de colonias de hormigas, basados en el comportamiento de las hormigas reales, de acuerdo a su conducta colectiva. Lo que se pretende es trabajar en el computador con métodos de simulación para encontrar el camino más corto entre sus nidos y las fuentes de alimentación, lo cual se guarda en la denominada matriz de feromonas Dorigo y Gambardella (1997).

PARTÍCULAS SWARM

Este método de optimización se basa en el comportamiento grupal de algunos animales, tales como una bandada de pájaros, un cardumen de peces o un enjambre de abejas. Este algoritmo de solución se genera a partir de dicha población y la manera como se comportan frente a determinadas situaciones, o sea, como enfrentan la dificultad. Este algoritmo conocido como Particles Swarm (PS), es decir, nube de partículas, trabaja de la siguiente manera: cada uno de estos grupos de animales busca comida y no sabe dónde está, ninguno de los individuos sabe dónde está la comida, pero conocen la distancia a la misma; la alternativa más eficiente es seguir al individuo que se encuentra más cerca de la comida. Kennedy y Eberhart (1995).

Algunas aplicaciones del algoritmo de la nube de partículas corresponden a diversos problemas multidimensionales, identificación de procesos, optimización de funciones numéricas, entrenamiento de redes neuronales, entre otros.

618

EJERCICIOS RESUELTOS

I • ¿Qué se ent iende por backpropagat ion y cuál es la impor tanc ia de la red backpropagat ion?

Las redes de re t ropropagac ión o redes de propagac ión hacia atrás hacen referencia a un a lgor i tmo de aprendizaje más que a una arqui tectura determinada. La ret ropopagación consiste en propagar el error hacia atrás, es decir, de la capa de salida hacia la capa de ent rada, pasando por las capas ocultas intermedias y a jusfando los pesos de las conexiones con el f in de reducir d icho error.

La i m p o r t a n c i a de la red b a c k p r o p a g a t i o n consiste en su capac idad de o rgan i za r una representación interna del conocimiento en las capas ocultas de neuronas, a f in de aprender la relación que existe entre un conjunto de entradas y salidas.

9 ¿Qué prob lemas de clasif icación se pueden resolver con una neurona ?

Una neurona sólo puede hacer una separación l ineal en el espacio de entradas. Cuando este espacio es de dos d imensiones, esta separación l ineal consiste en una recta que separa dos semiespacios; cuando es de tres dimensiones, consistirá en un plano que separa dos semiespacios, y, en genera l , cuando es de N dimensiones, consistirá en un espacio de N - l d imensiones que div ide el espacio de N dimensiones en dos.

3 * ¿Qué papel desempeña el umbra l de activación de una neurona?

Desempeña el papel de f i jar el nivel del potencial de acción eléctrico que se debe alcanzar para provocar un disparo o una activación en una neurona o en un nodo de una red art i f ic ial , como consecuencia de un pulso de potencial de acción excitatorio.

A ^ F » ¿Qué es un perceptrón mult icapa? ¿Qué estructura t iene? ¿Cómo se obt iene su salida ?

Un perceptrón es una red con a l imentac ión hacia adelante, compuesta de varias capas de neuronas entre la entada y la salida de la misma; esta red permi te establecer regiones de decis ión mucho más complejas que las de dos semiplanos, como lo hace el perceptrón de un solo nivel.

5 • ¿Cuál es la di ferencia entre modelos neuronales y a lgor i tmos neuronales?

Los modelos neuronales responden a la fo rma y los a lgor i tmos neuronales a cómo aprenden las redes neuronales.

619

EJERCICIOS PROPUESTOS

I • Si se tiene la siguiente red neuronal; calcular su salida al aplicarle como entradas los vectores (1 0 2 1 2) T y (1 o 0 1 0) T, considerando:

a. Función de activación lineal (identidad) en las dos capas.

b. Función de activación binaria {0,1} en las dos capas, suponiendo que el valor umbral es 3

2 • Si se tiene la siguiente red neuronal:

Considerando como función de activación para todas las neuronas la función lineal f (X)=2 X, calcular la salida de la red para el patrón de entrada X = (-3 1 4 2)T

620

3. Dados los siguientes padres:

621

A P É N D I C E

INTRODUCCIÓN

Presentamos a continuación algunos programas de computador que nos permiten resolver de una manera más práctica la mayoría de problemas que se presentan en Investigación de Operaciones.

CALCULADORAS

Inicialmente se muestra un pseudoprograma en calculadora científica (por ejemplo Casio, Hewlett Packard y Texas Instruments, entre otras) para solucionar los tableros del algoritmo Simplex:

? —>A: ? —>B: ?—> C: ? D:(A-((B*C) -D)) 0 donde A corresponde al dato antiguo, B y C son las proyecciones y D es el elemento pivote; un cálculo será el siguiente:

?1 ?2 ?3 ?4

En la pantalla aparecerá - 0,5

COMPUTADOR

P a q u e t e s

WINQSB: Comenzamos con el WINQSB (Quantitative Systems Business para Windows) Versión 1.0 de Yih - Long Chang, el cual resuelve Análisis de Muestreo de Aceptación, Planeación Agregada, Análisis de Decisión, Programación Dinámica, Problemas de Localización y Esquemas, Pronósticos, Programación Meta, Teoría de Sistemas de Inventarios, Planificación del Trabajo, Programación Lineal y Entera, Procesos de Markov, Planeación de Requerimiento de Materiales, Modelos de Redes, Programación No Lineal, PERT - CPM, Programación Cuadrática, Cartas de Control de Calidad, Análisis de Colas y Simulación en Sistemas de Colas.

623

Empezamos con la introducción de un modelo de Programación Lineal en la primera plantilla:

MIN W = 2,5 X¡ + 2 X2

Con sus restricciones:

1. 6 X, + 3 X2 > 200

2. 3 X| + 5 X2 > 180

X,, X2 > 0

* *

En la segunda plantilla podemos observar la solución gráfica: Xj = 21,9; X2 = 22,86 y * *

W* = 100,48 y en la tercera plantilla aparece la solución analítica X] = 22; X2 = 23 y W* = 101, estos resultados los aproxima el programa.

En la plantilla cuatro se plantea un problema de Programación Meta:

MIN W = 3 X2 + 2 X3

MAX Z = 10 X, + 9 X2 + 8 X3

Sujetas a:

1. x , -f X2 > 30

2. X2 + x 3 > 50

3. x , -f x 2 + x 3 < 80

4. 3 X, + 2X 3 < 120

X,, 1 X2, x 3 > 0

* * *

En la plantilla cinco se encuentra la solución X] = 16; X2 = 14; X3 = 36; W* = 114; Z* = 574.

En la plantilla seis se plantea un problema de PERT - CPM y en la plantilla siete se consigue el camino crítico, el cual corresponde a la ruta CFJL con una duración de 33,83 días.

En la plantilla ocho se plantea un problema de inventarios donde está la demanda, el costo inicial y las unidades; en la plantilla nueve encontramos el resultado: costo de arranque del tamaño de lote mes 1: 57, mes 2: 57, mes 4: 57 y mes 6: 14 unidades con un costo total de $1170.

En la plantilla diez se escribió el planteamiento de un problema de colas de un servidor, la rata de llegadas por hora, la rata de servicios por hora y los costos. En la plantilla once se encuentran los

624

resultados: cantidad de personas en el sistema, cantidad de personas en la cola, tiempo esperado en el sistema, tiempo esperado en la cola, probabilidad de estar ociosos los servidores, probabilidad de tener que esperar una persona cuando llega, entre otros.

En la plantilla doce hay un problema de simulación en sistemas de colas con cinco estaciones, seis buffers y los sitios iniciales de arranque; luego de la simulación se obtiene un tiempo actual de 100,22 horas con 4,3 observaciones en la plantilla trece.

En la plantilla catorce se presenta un problema de Programación No Lineal:

MIN W = X? + 2 X, X2 + 2Xf + X^ - X2 X3 + X] + 3 X2 - X 3

Con sus restricciones:

0 ^ X, < 100 0 ^ x 2

< 200 0 ^ x 3

< 300 Xj, x2 , ,X3 > 0

La solución la encontramos en la plantilla quince: X* =0; X 2 = 0 ; X3 =0,5341; W* = -0,2488.

En la plantilla dieciséis tenemos un problema de Programación Dinámica, con las siguientes unidades disponibles para los ítems A, B, C y D 5, 3,4 y 2 respectivamente y una capacidad de 20 unidades y con capacidad 10, 6, 3 y 5 unidades requeridas respectivamente. En la plantilla diecisiete encontramos la respuesta: 0, 2, 1 y 1 para los ítems A, B, C y D con un valor de 31 unidades.

625

PLANTILLA 25

626

PLANTILLA 25

I Linear and integer Programming fite fmmt Retins Utto WrAw Help

H P ? »»'a nil in ¿IUÏ 01 Ü Combined Repot I lor IIP Sample Prohlem

22:32:31 | ] Sunday ] December ! •» [ 2003

Decision j Variable ;

Solution Vakie

Unit Coti or Profit c(jj

Total Contribution

Reduced Cott

2.5000

Satis Status

1 X I 22,0000 2.5000 55.0000

Reduced Cott

2.5000 at bound « X2 23,0000 2.0000 46.0000 2,0000 at bound

Objective Function (Min ) - 101.0000

Constraint Lett Hand

Side Direction Right Hand

Side Slack

CM Surplus Shadow

Price

1 CI 201,0000 200,0000 1.0000 0 2_ C2 181,0000 180.0000 1.0000 0

¡Result* Combined Report lot IIP Sample Problem

PLANTILLA 4

¿fp linear and Integer Goal F File Ed* fgmai Solve and Anafore ; jfljfties Wridov* WrQSB Help

H Z Z Z M 1 H I H 6P Sample Problem

•e G1 : A Variable - > A I » I C J Direction j R. H. S. M inGI 3 2 Max:G2 10 3 8 C1 1 1 36 C2 1 1 >- 50 C3 1 1 1 80 C4 3 2 120 LowerBound 0 0 0 UpperBound M M M Variable Type Continuous Continuous Continuous

627

PLANTILLA 25

PLANTILLA 6

628

PLANTILLA 25

PLANTILLA 8

629

PLANTILLA 13

M Inventory Theory and £ file forma* gesults Ußte* (¿eip

ô.Oû JE m iJDtlsl E C & to i Sizing for Inventory Probtet«

12-09-2003 month Demand

Production (Lot S we J Setup!

Expected Inventory

£ xpected Back or der

Cumulative Cost

fruirà) L « 1 20,0000 57,0000 Yes 37.0000 0 $ 386,00 2 30.0000 0 No 7,0000 0 t 400,00 3 40.0000 57,0000 Ye« 24.0000 0 t 706.00 4 30.0000 57.0000 Yes SI ,0000 0 11.035.00 5 30.0000 0 No 21.0000 0 % T077.00 6 35.0ÛCMJ 14.0000 Ye* 0 0 $ 1 170.00

Solution Method: EQQ Total Cost .1 $ 1 170.00

l a iEi

jBlmuu»! ^ 23 > $ @ 3 gjAPgNDlCE • Miciosol | Graphic* Se;vet [ [^Inventory Theory ... 0116am.

PLANTILLA 10

PLANTILLA 25

PLANTILLA 12

631

PLANTILLA 13

I B .-.lai

U B B I I filli] dal *j|

JFLM cmJ ;: ^ 3S? > S Q 1]APÉNDÍCE

PLANTILLA 14

£te Ed* Formal Jk eandÁn ze : Wies Whdw V/rSB Help |¡i Nonlinear Programming E E S

.CE* X «fe! A |"I"| a 1 a |Df j a l L É R L E M B "" W Ì « < 1 o I F a i NLP Sample Probiere Mimt»« e ÜI "2*2X1 *X2-*2X2~2*X3"2-X2"X3*X1 •3X2-X3

OBJ / Conslrain* / Variable Bound Mimmi? e X I X2 X3

X1 "2+2X1 *X2+2X2"2+X3~2~X2"X3*X1 +3X2-X3 — — —

>«0, <-200 >«0. < -300

;|B Inicio I & & > £*- Q 3 Graphem Serv* | IjAPÉNDICE - Mkwsot | p V o p r a Q* ¿Sim

PLANTILLA 13

PLANTILLA 16

PLANTILLA 25

Dynamic Programming Fife Format Besufcs yfcfcies Window Help

0.00 A Oí B- Solution fot QSB P. 112: Knapsack Problem

1 2 0 3 - 2 0 0 3 Stage

Item Decision Return Total Hem Capacity Name Quantity (X) Function Return Value Celt

8a 10b 4c 7d

Tot of Return Value »

0 20 4 7

20 8 5 0

CPU « 0,01

mam

igS inicio) ; Jgj M f § Q : APÉNDICE Mbrosst] % Graphic* Server [ [ ^ D y n a m i c Program.. 08:48 pm

L I N D O

A continuación presentamos el programa LINDO (Linear INteractive Discrete Optimizer) de Lindo Systems Release 6.00. En la plantilla dieciocho escribimos un problema de Programación Lineal:

MAX Z = 200 X, + 240 X2

Sujeta a:

1. 6 X] + 12 X2 < 120

2. 8 X ! + 4 X 2 < 64

X , ,X 2 > 0

En la plantilla diecinueve encontramos la solución: X* =4; X2 = 8; Z* = 2720.

634

PLANTILLA 25

MAX 200 XI + 240 X2 ST 6X1+ 12X2 <=120 8X1 + 4 X2 <= 164

XI,X2 >= 0

j j j j mi™*>\ S : IjAPÉNDiCE -M*mSoHWc.d|[LlNÖO - l<unt*ted>j 2>>,f @ 05:48 am

a P U N D O [Repenti Window J

PLANTILLA 19

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE i

1) 2720.000

VARIABLE X1 X2

X1,X2

VALUE 4.000000 8.000000 0,000000

REDUCED COST 0.000000 0,000000 0,000000

ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000000 3) 0,000000 4) 0.000000

DUAL PRICES 15,555555 13.333333

I 0.000000

NO. ITERATIONS*

jJ „ -.f ' Inicio I # S 13 > # § 9 ij] APÉNDICE • Microwft WordHUNDO - fRep^ WL J>4 05.53 am

635

MATHEMATICA

Continuamos con el programa Mathematica de Wolfram Research Versión 3.0; inicialmente en la plantilla veinte copiamos y resolvemos el siguiente problema de Programación Lineal:

MAX Z = 400 Xj + 200 X2

Con sus restriccciones:

1. 18 X, + 3 X 2 < 800

2. 9 X, + 4 X2 < 600

3. X] ^ 80

4. X2 ^ 150

X b X2 > 0

La respuesta encontrada con la función ConstrainedMax es X, = 0; X2= 150; Z* = 30000y

la solución con LinearProgramming es X* = 0; X2 = 150; se debe notar que con esta última función sólo se encuentran los valores de las variables, no el de la función objetivo; además como esta función sólo resuelve problemas de minimización con restricciones de la forma > se multiplicaron por ( - 1) los vectores b y c y la matriz m.

PLANTILLA 20

i p j x j

«r>ni * A ss Consttainedftlax(400 X1 + 200 X2, {18 X1 + 3 X2 <*= 800, 9 X1 • 4 X2 «« 600, X1 < 80, X2 <* 150}, {X1, X2|l Omni« (30000, {XI 0. X2 150»

tn{t2]» B « LínearPrograrnrninglc, m, bj c^ {400, 200); m -{{18, 3), {9,4|, {1.0}, {0, b {800, 600,80,150}; UnearPraijramrning(<~1) * c, (~1)*m, <~1)*b}

10,150}

A S ¿á > # # Z2 Mathematica - {Unt*!... #Mathematica Kemé 1L26 p. ra

6 3 6

/sT '.oz UJ

BIBLIOTECA

Seguimos con el programa Mathematica; en este paso se va a introducir un problema de Programación No Lineal:

OPT V = (X - 2)2 + (Y - 1)2

Sujeta a:

1. - X2 + Y > 0

2. X - Y2 > 0

X, Y > 0

Inicialmente se construyen las curvas de nivel de la función objetivo con la función ContourPlot, luego se grafican cada una de las restricciones, posteriormente graficamos la función objetivo y las restricciones con la función ContourGraphics; la respuesta obtenida es: existe un máximo global en el punto (0,0) y un mínimo global en el punto (1,1). Todo este proceso lo conseguimos en las plantillas veintiuno, veintidós, veintitrés y veinticuatro.

PLANTILLA 21

HHHMHHMRHi ~lof xj

;r gráficamente el problema Optimizar Qt-2r2Wy*2 x-y*2 «* 0

Solución

Curvas de nivel de la función objetivo

FDuyj^cx-^+cr-i^i curyasNive! ConftoufPloKFtx, yl {K -2. 2), {y, -2, 2),

ContourSftading False, Frame -> False, Axes -*• True, AxesOrigín -*• (0, 0), AxesLabei f Eje X, "Eje y>, Contours (0.2,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)3

Ej* y

:j| Inicio [ ; S ^ rú > # © O Sil APÉNDICE • | ffiSQtVEB2-McK»oft. |[ Ma<he»attca -|2~. 0858 p.m.

637

PLANTILLA 13

• ContourGraphícs*

O Conjunto de oportunidades: restl crContoufPio -x2 +y. {*, ~2. 2i (y, -2, 2). ContourShading -• False. Frame false, Axes True, AxesOrigm <0, 0),

¿1— ~J «11 * <Ú > / APÉNDICE -MicrosaL.j §S0tV'EFi2 - Microsoft. jj Malhewatica - |2~... SOi ».53 Pi

PLANTILLA 23

• • « • • • • • • H H H a a i :.&;í P* ym-.fm.m^ m-

-ContourGraphics-rest2 st Co«itourPío(x - y2, {x. -2, 2>, {y, -2, 2}, ContourShading - Faise, frame -» False. AROS -» True, AxesOrigm {0, 0>, Mesl J

y

\ 1

.ContourOraphics-La función objetivo y las restricciones;

Sho*[curvasNiv8i, resíl, resí2] 31

jptBInicio j # & > k/ ® 113 «jAPÉNDICE MieroM | WjSQlMm •Mioo^ ..|| jfr Mathematic* - | 2 . . 09.00 pun

¡- Í

M f ^ J S ¿S¡ r A > # © O í j jAPÉNDiCE Micros [ f ] S 0 L V £ R 2 M í a o ^ . J l # M a t h e m a t i c a -12-

PLANTILLA 25

• Oraphícs»

£1 conjunto de oportunidades que es la figura que queda entre !as dos parábolas, es cerrado, acotado y convexo, La función objetivo es convexa Se verifican los teoremas de Weierstrass y Local-gioba!.

(0t0) es máximo global y (1,1) mínimo global ton:

{F[0( 0], F[1,1 ]}

SOLVER (EXCEL)

Finalmente presentaremos el Solver de Excel, implementado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc.; presentaremos un problema de Programación Lineal en la plantilla veinticinco:

MAX Z = 10000 XI + 10000 X2

Sujeta a:

1. X! + 3X 2 < 100

2. X! + 2 X 2 < 200

3. 2 X! + 4 X 2 < 800

X b X2 > 0

En las plantillas subsiguientes, es decir, veintiséis, veintisiete, veintiocho y veitinueve encontramos

la solución: X* = 100; X2 =0 ; Z* = 1000000, lo cual equivale a decir que se deben producir 100 muñecas Kira y no se deben fabricar muñecas Sakura, para obtener una utilidad de $1.000.000.

639

PLANTILLA 25

ÜlMíciosoft Excel -LíbtolO ArcNvo Edición ¿er Insertar Formio Herramientas Datos Ventana ?

Q iä? y a á 1 & V ; * Raí * Él U) i i i í4 100% - © i 1 Arfe •¿

i -16 - M jr s ^ ff $ s m $ € % seo Ä t i : Cp5 __ - 5» - A » C4 s MUÑECAS

A i 3 c i ; D e i r ! Ti 1 2 " 3 4 1 MUÑECAS 5 KIRA SAKURA TIEMPO EMPLEADO TIEhf 1PO DISPONIBLE 6 ü STORES 7 B

P P tensado intura

1 1

3 2[

0 0

100 200 I

9 10 11

' E stuche 2 4 0 80)

12 KIRA SAKURA 1 13 s OLUCION OPTIMA 0 0 1 14 u TILIDAD 10000 10000 15 ..Vi 16 ifi UNCION OBJETIVO 0 t i 17 lü 18 19 20 M1 21 2? W < Informe de respuestas i X Ho jal X HojaZ / Hoja3 / i< 1 i t i r ; Dibujo - fe ; Ayloforroas - \ * D O (il 41 t ^ - 4 . - S : • m -LiStD iNUM :

JÉ nie io ¡i m © m >i | O APÉNDICE - Microbi, | Í0lJbrol0 lifilMicr o »oft Excel - - 09.29 am

PLANTILLA 26 Microsoft Excel • LäwolÖ

Ä] Archivo Edición Ver Insertar Formato i 0 ^ y

> - RV • • '< - -I 1 Ar»! E18

-10 - K jr s ! & s 3 j * * ¿ t i 54 Él $ € % «» í^

; LABORES Prensado Pintura Estuche

K3RA SAKURA MUÑECAS

TfEMPO EMPLEADO TIEMPO DISPONIBLE

IDO 100 200

B 1 ; 2 I 3..... 4 5 Ì 6 '

9 10 ! 111 121 Í3 SOLUCION OPTIMA 14 UTILIDAD 15 I 18 FUNCION OBJETIVO ?000000 17 „

\mì I i 20 21 j !< N ; • M \ Informe de respuestas i / Informe de respuestas 2 XHoÍ*1 / / Hj< j Dfcujo - ^ 4 Aytoformas - \ \ O O ü 4) Il Ö » « Listo

Inicio

100 10CÖ0 SAKURA

0 10000

100 200 800

¡¡

T i l

I

w r

S¿¿$> i? 9 O 1QAF¿N0ÍCÍ • Mtrotoft WodfaübrolO NUM : JPCM OS 37 a.«,

640

PLANTILLA 13

I l Microsoft Excel tibio! 0 IT] Aí CHI YO £É«ÓR> ver Insertai formio Oafcos ventar» ? D ^ S d « & ? I- ^ & £ & II i

i Anal • IO - M JT S i I ì 1 $ € % « < ^ 3 Z * '

ts iW . - S-A - ;

o s a

;A, 8 i • -JSC 2 Hoja de cálculo: |Libro10.xls|Hoja1 3 Informe creado: 12'12/íO 09:35:59 a.m.

m 5

D

7 Celda Hombre Valor oriyinal Vaior final 8 1 $C$16 FUNCION OBJETfVO KIRA 0 1000000 9 10 11 Celdas cambiantes 12 Celda Nombre Valor original Vaior final 13 $C$13 SOLUC ION OPTIMA CIPA 0 100 14 $Ü$13 SOLUCION OPTIMA SAKURA Ô Ò 15: 18 17 ¡ Restricciones 18 Celda 1§" 20 21 22 23

Hombre Valor de la celda fórmula Estado $E$7 Prensado TIEMPO EMPLE ADO $E$8 Pintura TIEMPO EMPLEADO $E$9 Estuche TIEMPO EMPLEADO $C$13 SOLUCION OPTIMA K1RA

100 $E$7<~$F$7 Obligatorio 100 $E$6-'-$f $8 Opcional 200 $ES9<=$F$9 Opcional

_ 100 ic$13>=0 '" Opcional"" JP$13 SOLUCION OPTIMA SAI- URA ^ u , P $D$13>-0 Obl.qatono H < > >1 '> .Informe de respuesta* 2 / inío me de $«ns*#dad 1 / Hojat / HojaZ X H j«|

Dfcno - k Aytoformas - \ • O H JJ ' 'JL " ' = - S » É

O 13APENDICE - Nicto t Wpfd||g]LÍb>o1Q

Divergencia 0

100 eoo

"""" " Too o

Listo

jglf^oj ; ¿ ¡¿ > 0 i

PLANTILLA 28

m Microsoft Excel LibiolQ i£§j ftrcNvo Edición '¿et insertar formato tjerr ««entas Dafcos Ventara ? D & y rf m s. ? * * e <* « - % 2: ¿ li 11 ^

I Aria! » 10 , H X S « S g $ C % WG i* . Ài j j « Microsoft Excel 9 0 informa de sensibilidad __________

- j g l x j :

- m j * & l A

c ; p jMlcrosoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad

lija de cálculo: |Libro10.xlsjHoja1 r o rute creado: 12/12/03 09:49:15 a.m.

I Celdas cambiantes Nombre 8 Celda

9 ! $ C $ 13 S O LUC ION OPTIMA KIRÁ ' 10] tbi13 SOLUCION OPTIMA SAKÜRA 'ÏU

Valor Gradiente Coeficiente Aumento Aumento Igual reducido objetiyo permisible permisible

100 0 '0000 i r +30 6666.6666G7 0 -23000 10000 20000 1E+30

Celda Hombre "$E$7 PnsnsVdo TIEMPO EMPLEADO $E$8 Pintura TIEMPO EMPLEADO $E$9 Estuche TIEMPO EMPLEADO

Valor Sombra Restricción Aumento lt|ttaj[ predo., lado derecho perrnfarible

100 100 200

101300 ÇL 0

100 100 200 1E+30 900 ÍE+30

12 Restricciones 13' 14 : 15: 16 17 18 19! 20 ; 21 ! 22 \4 i > X informo d* respuestas 2 X Informe de sensibilidad i / Hoja! / Hotó' / H j < | ! Dfei* - k -1 Aytofomas • \ ' * • O ü OH ^ * 'JL * » = S 1 LlS<tD

Aumento permisible

100 _ _ 100

800

Inicio [ M ^ @ O jjAPeNDICE • Microsoft Wofd|]iT)übro1Q

J ™

i h r IMA

PLANTILLA 13

§|f Microsoft Excel - ÜfoiolÖ I Ü Archivo £dic«n Ver Inserta Formato y^ran^ertas Dafcos Ventana ?

n ^ i d i a r * % m % * r*•• a li ms ^ ; Arial » 10 - M X S IP S il ¡I S € % 000 W ÍW

AI « Microsoft E see i 9 0 informe de limites

E S S JSJiSÍ

- - A

Aj 8 : e [Microsoft Excel 9 J Informe de limites

JHl ja de cálculo: |Libro10.xlsfHoja1 l i t * orme creado: 12/12/03 0933:29 a.m.

Celda Celda objetivo

Nombre

D iE? F

Igual

H í

10$ 16 FUNCION OBJETIVO KíRA 10ÖOOQG

Celdas cambiantes

ÎsSÎËH ^om">r8 ^ „.„ Jguaj $C$Í3 SOLUCION OPTIMA k i R A 1 0 0 $D$13 SOLUCION OPTIMA SAKURA 0

Limite Celda inferior objetivo

o" 0 Límite Celda

superior objetive ïoo ioooooo

0 1LB3000 0 1ÛQ000Q

i j ¡ r D»buio » v., • Aytefcm.as - \ • O a 41 A «» - JL • A - = s m É . listo . 'V:'i:::?:.'::-;:." i" í""*"4 . . . i.": . MMl

Inicio; 1 « » a * * * t O ; ÇjAPÉNOICE MÍcto.ícrftWofd||pjLibío10 i m 03.53 am.

B I B L I O G R A F Í A

L ibros

ACCINELLI Elvio. Notas de Programación No Lineal. Universidad de la República. Uruguay. 2006.

ACKOFF Russell L. / Sasieni Maurice W. Fundamentos de Investigación de Operaciones. Limusa -Wiley. México. 1971.

ADAM Everet E. / Ebert Ronald J. Administración de la Producción y las Operaciones. Prentice Hall. México. 1994.

AGUIAR Fernando / Barragán Julia / Lara Nelson. Economía, Sociedad y Teoría de Juegos. Me Graw Hill. Madrid. 2008.

ALEGRE Escolano Pedro / Lambert Jorba Jorba / Francisco José Orti Celma / Rodríguez Pérez Gonzalo / Sáez Madrid José Bonifacio / Sancho Insa Trinidad / Terceño Gómez Antonio. Ejercicios Resueltos de Matemáticas Empresariales 2. Editorial AC. Madrid. 2002.

ÁLVAREZ Buylla Valle Mercedes. Modelos Económicos Matemáticos IL Ediciones ENSPES. La Habana. 1987.

ANDERSON David R. / Sweeney Dermis J. / William Thomas A. Introduction to Management Science Quantitative Aproaches to Decisión Making. Thomson. New York. 2003.

ANDERSON David R. / Sweeney Dennis J. / William Thomas A. Métodos Cuantitativos para los Negocios. Thomson. México. 2004.

ANDERSON James A. Redes Neurales. Alfaomega. México. 2007.

ÁNGEL Sanint Enrique. Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones Ambientales. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Facultad de Minas. Medellín. 2000.

ARACIL Santonja Javier. Introducción a la Dinámica de Sistemas. Alianza Universidad. Madrid. 1992.

ARBONES M. Eduardo. Optimización Industrial I. Marcombo. Barcelona. 1989.

ARBONES M. Eduardo. Optimización Industrial II. Marcombo. Barcelona. 1989.

ARMITANO Orlando. Programación No Lineal. Limusa. México. 1985.

ARRANZ Sombría María Rosa / Garcillán García Juan José / González Torres Alicia / Macarro Heredia María José / Pajares de Mena Mar / Pérez González María Pilar. Matemáticas para la Economía. Editorial AC. Madrid. 1998.

643

ARREOLA Risa Jesús S. / Areola Risa Antonio. Programación Lineal. Una Introducción a la Toma de Decisiones Cuantitativa. Thomson. México. 2003.

ARROW Kenneth J. / Raynaud Herve. Opciones Sociales y Toma de Decisiones Mediante Criterios Múltiples. Alianza Editorial. 1989.

AZARANG Mohammad R. / García Dunna Eduardo. Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos. Me Graw Hill. México. 1996.

BALBAS de la Corte Alejandro / Gil Fana José Antonio. Programación Matemática. Editorial AC. Madrid. 1987.

BALTAR Antonio. Control de la Ejecución de Proyectos por el Método del Camino Crítico. CEPAL / ILPES. Santiago de Chile. 1973.

BARBA - Romero Sergio / Pomerol Jean - Charles. Decisiones Multicriterio. Fundamentos Teóricos y Utilización Práctica. Universidad de Alcalá de Henares. Madrid. 1997.

BARBOLLA Rosa / Sanz Alvaro Paloma. La Concavidad en un Modelo Económico. Pirámide. Madrid. 1995.

BARBOLLA Rosa / Cerdá Emilio / Sanz Alvaro Paloma. Optimización. Prentice Hall. Madrid. 2000.

BARRIOS Martínez Juan M. Programación Lineal. Universidad de Chile. Santiago de Chile. 2005.

BARSOV A. S. ¿Qué es Programación Lineal?. Limusa. México. 1972.

BAZARAA S. Mokhtar/ Jarvis John J. Programación Lineal y Flujo en Redes. Limusa. México. 1998.

BAZARAA S. Mokhtar / Sherali Hanif D. / Shetty C. M. Nonlinear Programming Theory and Algorithms. JohnWiley & Sons, Inc. Singapore. 1993.

BEJARAÑO Barrera Hernán. Métodos Cuantitativos II. Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UÑAD). Bogotá. 1998.

BELEGUNDU Ashok D. / Chandrupatla Tirupathi R. Optimization Concepts and Applications in Engineering. Prentice Hall. U. S. A. 1999.

BELLO Pérez Carlos José. Manual de Producción. Ecoe Ediciones. Bogotá. 1997.

BELLO Pérez Carlos José. Pronóstico Empresarial. Ecoe Ediciones. Bogotá. 2000.

BERGREN Stephen. Algunas Técnicas de la Investigación de Operaciones. Mimeografiado Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira. 1976.

BERKOVITZ Leonard D. Convexity and Optimization in . John Wiley & Sons, Inc. NeW York. 2002.

BHATTI Asghar M. Practical Optimization Methods. Springer Verlag. New York. 2002.

BIERMAN Scott H. / Fernández Luis. Game Theory with Economic Applications. Addison - Wesley. U. S. A. 1998.

BIERMAN Harold Jr. / Bonini Charles P. / Hausman Warren. Análisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. Addison-Wesley Iberoamericana. U. S. A. 1999.

BINMORE Ken. Teoría de Juegos. Me Graw Hill. Madrid. 1994.

644

BLANCO R. L. E. / Fajardo R L D. Simulación con Promodel. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá. 2001.

BOIZAN Jústiz Meinardo Alberto. Optimización. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 1988.

BORWEIN Jonathan M. / Lewis Adrián S. Convex Analysis and Nonlinear Optimization Theory and Examples. Italy. 1999.

BOWKER Albert H. / Lieberman Gerald J. Estadística para Ingenieros. Prentice Hall. Colombia. 1981.

BOYD Stephen / Vandenberghe Lieven. Convex Optimization. Cambridge University Press. Cambridge. 2004.

BRAVO Bastidas Juan José. Investigación de Operaciones II. Universidad del Valle. Cali. 2004.

BRONSON Richard. Investigación de Operaciones. Me Graw-Hill. (Colección Schaum). México. 1982.

BRONSON Richard / Naadimuthu Govindasami. Operations Research. Me Graw-Hill. (Colección Schaum). U. S. A. 1997.

BUFFAElwood S. Dirección de Operaciones. Limusa. México. 1973.

BUFFA S. Elwood / Dyer S. James. Ciencias de la Administración e Investigación de Operaciones. Limusa. México. 1982.

BUFFA S. Elwood / Sarin Rakesh K. Administración de la Producción y de las Operaciones. Limusa. México. 1992.

BUSTOS Farías Eduardo. Investigación de Operaciones. Instituto Politécnico Nacional (I. P. N.). México. 2004.

CADENAS Figueredo José Manuel / Verdegay Galdeano José Luis. Modelos de Optimización con Datos Imprecisos. Universidad de Murcia. Murcia. 1999.

CALDERÓN Hernán / Roitman Benito. Notas sobre Formulación de Proyectos. Santiago de Chile. 1973.

CAMACHO Quiroz Arturo. Principios de Investigación de Operaciones. Ecafsa. México. 1997.

CAMERANO Fuentes Rafael. Teoría de Colas: Aplicación a las Telecomunicaciones. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá. 1997.

CANAS Valdivielso Luis. El Falso Dilema del Prisionero. Alianza Editorial. Madrid. 2008.

CARRASCO Rafael C. / Fernández de Córdoba Pedro / García Raffí Luis M. / Sanchis Llopis José M. Métodos de Simulación Monte Cario y sus Aplicaciones. Universidad Politécnica de Valencia. 2000.

CASTELLANOS Domínguez Germán / Semenovich Shinakov Yuri. Análisis de Aleatoriedad en Señales y Sistemas. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Manizales. 2007.

CASTILLO Enrique / Conej o Antonio J. / Pedregal Pablo / García Ricardo / Alguacil Natalia. Formulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia. Universidad Castilla -La Mancha. Ciudad Real. España. 2002.

645

CASTILLO Marrufo Juan Antonio. Investigación de Operaciones. Instituto Politécnico Nacional (I. P. N.). México. 2002.

CERDA Tena Emilio. Optimización Dinámica. Prentice Hall. Madrid. 2001.

COHEN Karen Daniel. Sistemas de Información para la Toma de Decisiones. Me Graw Hill. México. 1993.

COLLANTES D. A. Qué es y para qué sirve el PERT? Index. Barcelona. 1975.

COMPANYS Pascual Ramón / Vicens Salort Eduardo / Poler Escoto Raúl / Albarracín Guillem José Miguel / Palmer Gato Marta Elena. Problemas de Métodos Cuantitativos. Volumen II. Universidad Politécnica de Valencia. Valencia. 1999.

CONDORCET. Matemáticas y Sociedad. Fondo de Cultura Económica. México. 1990.

CORSI Otálora Luis. Investigación Operacional Aplicada al Transporte. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D.C. Facultad de Ingeniería. Bogotá. 1985.

COSS Bu Raúl. Simulación. Un Enfoque Práctico. Limusa. México. 2002.

CHARNES A. / Cooper W. Management Models and Industrial Applications of Linear Programming. New York. Wiley. 1961.

CHASE Richard B. / Aquilano Nicholas J.. Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. Me Graw-Hill. Irwin. México. 1997.

CHAVEZ Chamorro Diego. Introducción a la Teoría de Juegos. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Segundo Coloquio Caldense de Matemáticas. Manizales. 1989.

CHEDIAK Pinzón Francisco Alfonso. Investigación de Operaciones. Volumen I. Universidad de Ibagué. CORUNIVERSITARIA. Ibagué. 2002.

CHEDIAK Pinzón Francisco Alfonso / Vera Méndez Flaminio. Investigación de Operaciones. Volumen II. Universidad de Ibagué. CORUNIVERSITARIA. Ibagué. 2005.

CHIANG Alpha C. / Wainwright Kevin. Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Me Graw Hill. México. 2006.

CHURCHMAN West C. / Russel Ackoff L. / Arnoff Leonard. Introducción a la Investigación de Operaciones. Aguilar. Madrid. 1971.

CHVÁTAL Vasek. Linear Programming. W. H. Freeman and Company. New York. 1999.

DACCARETT Enrique. Investigación de Operaciones. Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga. 1994.

DAELLENBACH Hans G. / George John A. / McNickle Donald C. Introducción a las Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. México. 1987.

DANTZIG George Bernard. Linear Programming and Extensions. Princeton University Press. New York. 1998.

DAVIS M. Mark / Aquilano Nicholas J. / Chase Richard B. Fundamentos de Dirección de Operaciones. Me Graw Hill. Madrid. 2001.

646

DAVIS Morton D. Introducción a la Teoría de Juegos. Alianza Editorial. Madrid. 1998.

DAVIS Roscoe K. / Mckeown Patrick G. Modelos Cuantitativos para Administración. Grupo Editorial Iberoamérica. México. 1986.

DEBREU G. Theory of Valué. Wiley. New York. 1963.

DEITEL Harvey M. Introducción a los Sistemas Operativos. Addison - Wesley Iberoamericana. México. 1987.

DEVOTO Ratto Renzo / Ruiz Vidal Eduardo. Programación Lineal para Administración. Ediciones Universitarias de Valparaíso. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Chile. 2003.

DE LA FUENTE O'connor José Luis. Tecnologías Computacionales para Sistemas de Ecuaciones, Optimización Lineal Entera. Editorial Reverté S.A. Barcelona. 1993.

DIAZ Fernández Adenso. Optimización Heurística y Redes Neuronales. Editorial Paraninfo. Madrid. 1996.

DIAZ Serna Francisco Javier / Alvarez Bermúdez William. Planeación de Producción Aplicando Programación Lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Facultad de Minas. Medellín. 2006.

DIEZ De Castro Carlos Enrique. Producción Industrial. Modelos de Secuencias. Universidad de Sevilla. Sevilla. 1982.

DOMINGUEZ Machuca José Antonio / García González Santiago / Ruiz Jiménez Antonio / Domínguez Machuca Miguel Ángel / Álvarez Gil María José. Dirección de Operaciones. Aspectos Tácticos y Operativos en la Producción y los Servicios. Me Graw-Hill. Madrid. 1995.

DOMINGUEZ Machuca José Antonio / García González Santiago / Ruiz Jiménez Antonio / Domínguez Machuca Miguel Ángel / Álvarez Gil María José. Dirección de Operaciones. Aspectos Estratégicos y Metodológicos en la Producción y los Servicios. Me Graw-Hill. Madrid. 1995.

DONOSO Yesid / Fabregat Ramón. Multi - Objective Optimization in Computer Networks Using Metaheuristics. Auerbach Publications. E. U. A. 2007.

DORAN L. Jody / Hernández Eugenio. Las Matemáticas en la Vida Cotidiana. Addison Wesley / Universidad Autónoma de Madrid. Madrid. 1999.

DORFMAN Robert / Samuelson P. A. / Solow R. M. Programación Lineal y Análisis Económico. Aguilar. Madrid. 1972.

DRESHER Melvin. Games of Strategy and Applications. Prentice Hall. U. S. A. 1961.

DREYFUS Stuart E. / Law Averill M. The Art and Theory of Dinamic Programming. Academic Press. U. S. A. 1977.

DYNER Rezonzew Isaac. Dinámica de Sistemas y Simulación Continua en el Proceso de Planificación. Copilito. Medellín. 1993.

DYNER Rezonzew Isaac / Peña Zapata Gloria Elena / Arango Aramburo Santiago. Modelamiento para la Simulación de Sistemas Socio - Económicos y Naturales. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Medellín. 2008.

647

EDGAR F. Thomas / Himmelblau M. David / Lasdon Leon S. Optimization of Chemical Processes. Me Graw-Hill. U. S. A. 2001.

EILON S. Goals and Constraints in Decision - Making. Operational Research Quarterly, 23: 3 - 1 5 . 1972.

EPPEN G. D. / Gould F.J. / Schmidt C. P. / Moore J. H. / Weatherford L. R. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson. México. 1999.

ESCOBAR Uribe Diego. Economía Matemática. Universidad de Los Andes. Alfaomega. Bogotá. 2005.

ESCOBAR Vicuña Pablo. Métodos Cuantitativos para Negocios. Universidad Nacional del Centro del Perú. Lima. 2007.

ESPINOSA Berriel Héctor M. Programación Lineal. Editorial Pax. México. 1975.

FABOZZI F. J. / Valente J. Mathematical Programming in American Companies: A Sample Survey. Interfaces,7: 93 - 98, Noviembre. 1976.

FAULIN Fajardo Francisco Javier. Notas Sobre Cuestiones Históricas de la Investigación de Operaciones. Editorial Slide Print. España. 1996.

FEOFILOFF Paulo. Algoritmos de Programado Linear. Programado Linear Concreta. Universidade de Sao Paulo. Sao Paulo. Brasil. 2005.

FERNÁNDEZ González Victoria / Zelaia Jauregui Ana. Investigación Operativa. Universidad del País Vasco. España. 1997.

FERNÁNDEZ Ruiz Jorge. Teoría de Juegos: Su Aplicación en Economía. El Colegio de México. México. 2002.

FIACCO Anthony V. Mathematical Programming With Data Perturbations. Marcel Dekker. New York. 1998.

FISHMAN George S. Conceptos y Métodos en la Simulación Digital de Eventos Discretos. Limusa. México. 1978.

FLETCHER R. Practical Methods of Optimization. Unconstrained Optimization. Volume 1. John Wiley & Sons. U. S. A. 1980.

FLETCHER R. Practical Methods of Optimization. Constrained Optimization. Volume 2. John Wiley & Sons. U. S. A. 1981.

FOGARTY Donald W. / Blackstone John H. / Hoffmann Thomas R. Administración de la Producción e Inventarios. CECSA. México. 1993.

FORGIONNE G. A. Corporate Management Science Avtivities: An Update. Interfaces, 13: 20 - 23.1983.

FORRESTER Jay W. Dinámica Industrial. Editorial El Ateneo. Buenos Aires. 1972.

FRIEDMAN James W. Teoría de Juegos con Aplicaciones a la Economía. Alianza Editorial. Madrid. 1991.

GALE D. The Theory of Linear Economic Models. McGraw - Hill. New York. 1960.

648

GALEEV E. /Tijomírov V. Breve Curso de la Teoría de Problemas Extrémales. Editorial Mir. Moscú. 1991.

GALLAGHER Charles A. / Watson Hugh J. Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración. McGraw-Hill. México. 1982.

GALLEGO Rendón Ramón Alfonso / Escobar Zuluaga Antonio / Romero Lázaro Rubén Augusto. Técnicas de Optimización Combinatorial. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira. 2006.

GALLEGO Rendón Ramón Alfonso / Escobar Zuluaga Antonio / Toro Ocampo Eliana Mirledy. Programación Lineal y Flujo en Redes. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira. 2007.

GALLEGO Rendón Ramón Alfonso / Escobar Zuluaga Antonio / Romero Lázaro Rubén Augusto. Programación Lineal Entera y Métodos de Descomposición. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira. 2007.

GALLEGO Rendón Ramón Alfonso / Escobar Zuluaga Antonio / Toro Ocampo Eliana Mirledy. Técnicas Metaheurísticas de Optimización. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira. 2008.

GARCIA A. Josefina / Martínez R. Elena / Redondo P. Raquel / Del Campo C. Cristina. Métodos de Decisión. Prentice Hall. Madrid. 2002.

GARCIABenítez Francisco. Optimización Lineal y Entera: Teoría yAlgoritmos. Universidad de Sevilla. Sevilla. 2002.

GARCIA Benítez Francisco. Redes de Transporte: Teoría yAlgoritmos Básicos. Universidad de Sevilla. Sevilla. 2002.

GARCIA Cabañes Jaime / Fernández Martínez Luis / Tej era del Pozo Pablo. Técnicas de Investigación Operativa. Editorial Paraninfo S.A. 1989.

GARCIACantú Alfonso. Enfoques Prácticos para Planeación y Control de Inventarios. Trillas. México. 1996.

GARCIA Cuartas Fernando. Costos, Presupuestos y Principios de Investigación Operacional en la Empresa Agropecuaria. Universidad de Caldas. Manizales. 1997.

GARCÍA Jiménez Hugo. Apuntes de Programación Lineal. Universidad de Antioquia. Medellín. 2003.

GARDNER Roy. Juegos para Empresarios y Economistas. Antoni Bosch. Barcelona. 1995.

GASS Saúl I. Programación Lineal. CECSA. México. 1972.

GASS Saúl I. Linear Programming. Me Graw-Hill. Singapore. 1994.

GEREZ Víctor / Czitróm V. Introducción al Análisis de Sistemas e Investigación de Operaciones. Representaciones y Servicios de Ingeniería. México. 1978.

GIBBONS Robert. Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Antoni Bosch. Barcelona. 1992.

GIRÓN González - Torre Francisco Javier / Gómez Villegas Miguel Ángel. Teoría de Juegos. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Volumen I. Madrid. 1994.

GIRÓN González - Torre Francisco Javier / Gómez Villegas Miguel Ángel. Teoría de Juegos. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Volumen II. Madrid. 1994.

649

GLOVER Fred / Kochenberger Gary A. Handbook of Metaheuristics. Kluwer Academic Publishers. E. U. A. 2003.

GOBERNA Torrent Miguel Ángel / Jornet Plá Valentín / Puente Rubén Óscar. Optimización Lineal. Teoría, Métodos y Modelos. Me Graw Hill. Madrid. 2004.

GODDARD L. S. Técnicas Matemáticas de Investigación Operacional. Editorial Alhambra S. A. Madrid. 1969.

GOELLER B. y el equipo PRAWN. Planning the Netherlands. Water Resources. Interfaces, 15: 3 -33.1985.

GOICOCHEA A. / Hanse D. R . Multiobjetive Decisión Analysis with Engineering and Business Applications. John Wiley and Sons. New York. 1982.

GÓMEZ Delgado Montserrat / Barredo Cano José Ignacio. Sistemas de Información Geográfica y Evaluación Multicriterio en la Ordenación del Territorio. Alfaomega Ra - Ma. México. 2006.

GOMOLLÓN Félix Alonso. Ejercicios de Investigación de Operaciones. Escuela Superior de Gestión Comercial y Marketing (ESIC). Madrid. 1996.

GONZÁLEZ Ariza Ángel León. Manual Práctico de Investigación de Operaciones I. Universidad del Norte. Barranquilla. 2000.

GONZÁLEZ Félix Valerio. Modelos Cuantitativos. Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. 1999.

GONZÁLEZ López Julián / Salas Salas Álvaro. Introducción a la Programación Lineal. Universidad de Manizales. Manizales. 2000.

GONZÁLEZ Maximiliano / Otero Isabella. Curso Básico de Teoría de Juegos. Ediciones IESA. Caracas. 2007.

GORDON Geoffrey. Simulación de Sistemas. Editorial Diana. México. 1981.

GROSSMAN S. I. Aplicaciones de Álgebra Lineal. Me Graw-Hill. México. 1992.

GUASCH Antoni / Piera Miguel Ángel / Casanovas Joseph / Figueras Jaume. Modelado y Simulación. Universidad Politécnica de Cataluña. Alfaomega. México. 2005.

GUERRAS Martín Luis Ángel. Gestión de Empresas y Programación Multicriterio. Escuela Superior de Gestión Comercial y Marketing (ESIC). Madrid. 1989.

GUERRERO Casas Flor María. Curso de Optimización. Ariel Economía. Barcelona. 1994.

GUERRERO Casas Flor María / Vázquez Cueto María José. Manual de Cálculo Diferencial e Integral para la Economía y la Empresa. Pirámide. Madrid. 1998.

HANKE John E. / Reitsch Arthur G. Pronósticos en los Negocios. Prentice Hall. México. 1996.

HANSEN Gregory A. Automatización. Prentice Hall. México. 1997.

HARRELL Charles / Ghosh Biman K. / Bowden Royce. Simulation Using Promodel. Me Graw Hill. U. S. A. 2000.

650

HARTMANN Alexander K. / Heiko Rieger. Optimization Algorithms in Physics. Wiley - V. C. H. Berlín. 2002.

HEIN Leonard W. El Análisis Cuantitativo en las Decisiones Administrativas. Editorial Diana. México. 1982.

HENSON Ward C. Model Theory. University of Illinois. Illinois. 2006.

HERAS Martínez Antonio / Gutiérrez Valdeón Sinesio / Balbás de la Corte Alejandro / Gil Fana José Antonio / Vilar Zanón José Luis. Programación Matemática y Modelos Económicos. Un Enfoque Teórico - Práctico. Editorial AC. Madrid. 1993.

HICKS Philip E. Introducción a la Ingeniería Industrial y Ciencia de la Administración. CECSA. México. 1984.

HIERCHE Henri. Técnicas Modernas de Gestión de Empresas. Aguilar. Madrid. 1970.

HILL Ferry. La Esencia de la Administración de Operaciones. Prentice Hall. México. 1997.

HILLIER Frederick S. / HILLIER Mark S. / Lieberman Gerald J. Métodos Cuantitativos para Administración. Irwin Me Graw-Hill. México. 2001.

HILLIER Frederick S. / Lieberman Gerald J. Introducción a la Investigación de Operaciones. Me Graw-Hill. México. 2006.

HIRSCH Morris W. / Smale Stephen. Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos y Algebra Lineal. Alianza Editorial. Madrid. 1983.

HODSON William K. Manual del Ingeniero Industrial. Me Graw Hill. México. 1997.

HOLTON Wilson J. / Keating Barry. Previsiones en los Negocios. Irwin. Madrid. 1996.

HOPEMAN Richard J. Administración de Producción y Operaciones. CECSA. México. 1993.

HOROWITZ Ira. Introducción al Análisis Cuantitativo de los Negocios. Ediciones del Castillo. Madrid. 1968.

HUBER George P. Toma de Decisiones en la Gerencia. Trillas. México. 1996.

INFANTE Macías Rafael. Teoría de la Decisión. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Volúmenes I, II, III, IV, V y VI. Madrid. 1997.

INFANTE Macías Rafael. Métodos de Programación Matemática. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Volúmenes I y II. Madrid. 1997.

INFANTE Villarreal Arturo. Notas sobre Investigación Operacional. Universidad de los Andes. (Mimeografíado). Santafé de Bogotá D. C. 1976.

INFANTE Villarreal Arturo. Programación Lineal. Teoría y Aplicaciones. Editorial Universitaria de América Ltda. Bogotá D. C. 1979.

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Facultad de Ingeniería. Universidad de la República Oriental del Uruguay.

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Escuela de Economía. Universidad de Carabobo. Venezuela.

651

INVESTIGACIÓN OPERACIONAL. Revista Universidad de La Habana. La Habana. Septiembre -Diciembre 1975 No 16.

IZAR Landeta Juan Manuel. Investigación de Operaciones. Editorial Trillas. México. 2008.

IZMAILOV Alexey / Solodov Mikhail. Otimiza^äo - Volume 1. Condigóes de Otimalidade, Elementos de Análise Convexa e de Dualidade. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Río de Janeiro. 2005.

IZMAILOV Alexey / Solodov Mikhail. Otimiza^äo - Volume 2. Métodos Computacionais. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Río de Janeiro. 2007.

JAUFFRED M. F. / Moreno B. A. / Acosta J. J. Métodos de Optimización. Representaciones y Servicios de Ingeniería. México. 1974.

JENNINGS David / Wattam Stuart. Toma de Decisiones. Un Enfoque Integrado. CECSA. México. 1996.

JIMÉNEZ Lozano Guillermo. Investigación Operativa I. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Departamento de Administración y Sistemas. Manizales. 2002.

JIMÉNEZ Lozano Guillermo. Investigación Operativa II. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Departamento de Administración y Sistemas. Manizales. 2004.

JIMÉNEZ Lozano Guillermo / Quesada Ibargüen Víctor Manuel. Cien Problemas de Programación Lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Departamento de Informática y Computación. Manizales. 2006.

JOHNSON David B. / Mowry Thomas A. Matemáticas Finitas. Aplicaciones Prácticas. Thomson. México. 2000.

JOHNSON E. A. / Katcher, D. A. Mines against Japan. Naval Ordenance Laboratory. Silver Spring. Maryland. 1973.

JOURNAL Citation Reports. Social Science Citations Index. Institute Scientific Information. 1991.

KALENATIC Dusko. Técnicas de la Investigación Operacional. Universidad Piloto de Colombia. Santafé de Bogotá D. C. 1992.

KALENATIC Dusko. Técnicas de Planeación de Redes. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Santafé de Bogotá D. C. 1987.

KALENATIC Dusko / López César Amilkar. Técnicas de Simulación en Producción. Universidad Católica de Colombia. Santafé de Bogotá D. C. 1995.

KARM ARKAR N. A New Polynomial-Time Algorithm for Linear Programming. Combinatorica, 4: 373 -395. 1984.

KAUFMANNA. Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones. CECSA. Tomo I. México. 1965.

KAUFMANN A. Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones. CECSA. Tomo II. México. 1966.

652

KAUFMANN A. / Henry - Labordere A. Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones. CECSA. Tomo III. México. 1976.

KAUFMANN A. / Gil Aluja Jaime. Introducción a la Teoría de los Subconjuntos Borrosos a la Gestión de las Empresas. Editorial Milladoiro. Santiago de Compostela. 1986.

KAUFMANN A. / Gil Aluja Jaime. Las Matemáticas del Azar y de la Incertidumbre. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces (CERASA). Madrid. 1990.

KELLEY C. T. Iterative Methods for Optimization. Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia. E. U. A. 1999.

KISH S. Leslie. Diseño Estadístico para la Investigación. Centro de Investigaciones Sociológicas (CIS). Madrid. 1995.

KRAJEWSKI Lee J. / Ritzman Larry P. Administración de Operaciones. Prentice Hall. México. 2000.

KRASNOV Mijaíl Leóntievich / Kiseliov Alexándr Ivánovich / Makárenko Grigori Ivánovich / Shikin Ievgueni Viktorovich / Zaliapin Vladimir Ilich. Curso de Matemáticas Superiores: Estadística Matemática / Teoría de Juegos Tomo 8. Editorial URSS. Moscú. 2004.

LANGE Kenneth. Optimization. Springer Verlag. New York. 2004.

LASDON Leon S. Optimization Theory For Large Systems. Dover Publications . New York. 2002.

LATORRE Estrada Emilio. Teoría General de Sistemas. Universidad del Valle. Cali. 1996.

LAWRENCE John A. / Pasternack Barry A. Ciencias Administrativas Aplicadas. CECSA. México. 2004.

LEAL Millán Antonio / Sánchez - Apellániz Mercedes / Roldán Salgueiro José Luis / Vázquez Sánchez Adolfo E. Decisiones Empresariales con Criterios Múltiples. Ediciones Pirámide. Madrid. 1995.

LEDBETTER W. N. / Cox, J. F. Are OR Techniques Being Used.Industrial Engineering, 19 - 21, Febrero 1977.

LEMBERSKY M. / Chi U. Weyerhauser Decisión Simulator Improves Timber Profits. Interfaces, 16: 6 - 15. 1986.

LEÓN G. Orfelio. Análisis de Decisiones. Me Graw Hill. Madrid. 1994.

LEVIN Richard I. / Kirkpatrick Charles A. Enfoques Cuantitativos a la Administración. Cecsa. México. 1983.

LEWIS H. W. El Arte y la Ciencia de las Decisiones Correctas. Deusto. Bilbao. 1999.

LINARES Pedro / Ramos Andrés / Sánchez Pedro / Sarabia Ángel / Vitoriano Begoña. Modelos Matemáticos de Optimización. Universidad Pontificia de Comillas. Madrid. 2001.

LINDO. User's Manual. Linus Schräge. Boyd & Fräser. U. S. A. 1991.

LIU G. P. / Yang J. B. / Whidborne J. F. Multiobjective Optimisation and Control. Research Studies Press Ltd. Great Britain. 2003.

653

LOMELI Ortega Héctor E. / Rumbos Pellicer Irma Beatriz. Métodos Dinámicos en Economía. Thomson. México. 2003.

LONDOÑO Monsalve Julián Mauricio / Meza Oliveros María Alejandra. Redes Neuronales Artificiales Aplicadas a la Simulación de Ondas Sísmicas a Través del Suelo. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Manizales. 2001.

LONDOÑO López Germán. Introducción al Álgebra y Programación Lineal. Universidad de Manizales. Manizales. 1998.

LÓPEZ Díaz - Delgado Elena / Martínez Vicente Silvio. Iniciación a la Simulación Dinámica. Ariel. Madrid. 2000.

MADDEN Paul. Concavidad y Optimización en Microeconomía. Alianza Universidad. Madrid. 1987

MAGNANTI T. L. Twenty Years of Mathematícal Programming en Contributions to Operations Research and Economics. MIT Press. Cambridge. Massachusetts. 1989.

MANDEL Arnaldo. Desigualdades Lineares: Urna Visáo Combinatoria. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Río de Janeiro. 1985.

MAROTO Álvarez Concepción. Investigación Operativa. Modelos, Técnicas y Software Volumen 1. Publicaciones Universidad Politécnica de Valencia. Valencia 1997.

MAROTO Álvarez Concepción. Investigación Operativa. Modelos, Técnicas y Software Volumen 2. Publicaciones Universidad Politécnica de Valencia. Valencia 1997.

MARTELLO Silvano / Toth Paolo. Knapsack Problems. John Wiley & Sons. Great Britain. 1990.

MARTÍN del Brío Bonifacio / Sánz Molina Alfredo. Redes Neuronales y Sistemas Difusos. Alfaomega Ra - Ma. Colombia. 2002.

MARTÍN Martín Quintín. Investigación Operativa. Pearson Prentice Hall. Madrid. 2003.

MARTÍN Martín Quintín / Santos Martín María Teresa / De Paz Santana Yanira del Rosario. Investigación Operativa. Pearson Prentice Hall. Madrid. 2005.

MARTÍNEZ Panero Miguel / Rincón Zapatero Juan Pablo. Métodos Matemáticos de la Economía. Universidad de Valladolid. Valladolid. 2004.

MATEO Pedro. Programación Lineal I. Universidad de Zaragoza. Zaragoza. 2006.

MATHUR Kamlesh/ Solow Daniel. Investigación de Operaciones. Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. México. 1996.

MAYER Raymond R. Gerencia de Producción y Operaciones. Me Graw Hill. Bogotá. 1977.

MCKINSEY J. C. C. Introducción a la Teoría Matemática de los Juegos. Aguilar. Madrid. 1967.

MC C ARL Bruce A. / Spreen Thomas H. Applied Mathematícal Programming Using Algebraic Systems. E. U. A. 2000.

MC MILLAN Claude / González Richard F. Análisis de Sistemas: Modelos de Toma de Decisiones por Computadora. Trillas. México. 1986.

654

MICHA Elias. Matemáticas Discretas. Limusa. México. 1998.

MILLER M. David / Schmidt J. W. Ingeniería Industrial e Investigación de Operaciones. Noriega. México. 1992.

MISER H. J. The History, Nature, and Use of Operations Research. In Handbook of Operations Research. Foundations and Fundamentáis. Van Nostrand Reinhold Company. New York. 1978.

MITAL K. V. Métodos de Optimización. Limusa. México. 1984.

MIZRAHI Abe / Sullivan Michael. Matemáticas Finitas con Aplicaciones a la Administración. Limusa Wiley. 1999.

MOCHOLI Arce Manuel / Sala Garrido Rafael. Programación Lineal. Tebar Flórez. Madrid. 1993.

MOCHOLI Arce Manuel / Sala Garrido Rafael. Decisiones de Optimización. Tirant lo Blanch. Valencia. 1999.

MOJIC A Palacios José Ignacio. Investigación de Operaciones Aplicada a las Ciencias Sociales. Trillas. México. 2002.

MONKS Joseph G. Administración de Operaciones. Me Graw-Hill. México. 1998.

MONSALVE Sergio. Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá. 2002.

MONSALVE Sergio / Arévalo Julián. Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Universidad Externado de Colombia. Bogotá. 2005.

MONTANO Agustín. Iniciación al Método del Camino Crítico. Trillas. México. 1972.

MONTEALEGRE Cárdenas Mauro / Londoño Betancourth Gustavo / Polanía Quiza Luis Arturo. Fundamentos de los Sistemas Dinámicos. Universidad Surcolombiana de Neiva y Colciencias. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Neiva. 2002.

MOODY Paul E. Toma de Decisiones Gerenciales. Me Graw Hill. Bogotá. 1990.

MORA Escobar Héctor Manuel. Optimización en Grafos. XIV Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D. C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá. 1997.

MORA Escobar Héctor Manuel. Programación No Lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D. C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá. 1997.

MORA Escobar Héctor Manuel. Optimización No Lineal y Dinámica. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D. C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá. 2001.

MORA Escobar Héctor Manuel. Programación Lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D. C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá. 2004.

MORA José Luis. Investigación de Operaciones e Informática. Trillas. México. 1986.

MORA Osejo Luciano. Ensayos Extramurales. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Manizales. 2001.

655

MORENO Jiménez José María. Fundamentos de Toma de Decisiones. Universidad de Zaragoza. Zaragoza. 2006.

MORENO Osorio Luis G. Teoría de la Decisión. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D. C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá. 1995.

MORENO Valencia Manuel. Teoría de Grafos y Aplicaciones. Universidad Incca de Colombia. Bogotá. 2004.

MORSE R M. / George E. K. Methods of Operations Research. National Defense Research Committee, Washington, D. C. 1946.

MOSKOWITZ Herbert / Wright Gordon C. Investigación de Operaciones. Prentice / Hall. Carvajal. Cali. 1982.

MURO Sáenz Javier. Práctica de la Investigación Operativa Empresarial. Editorial Labor S.A. Barcelona. 1975.

NAHMIAS Steven. Análisis de la Producción y las Operaciones. CECSA. México. 1999.

NAMAKFOROOSH Mohammad. Investigación de Operaciones. Limusa. México. 1984.

NÁPOLES Peña Omar / Céspedes Trujillo Nancy. Investigación de Operaciones I. Centro Universitario Las Tunas. La Habana. 2006.

NARASIMHAN Sim / Dennis W. McLeavey / Billington Peter. Planeación de la Producción y Control de Inventarios. Prentice - Hall Hispanoamericana S. A. México. 1996.

NASAR Sylvia. Una Mente Prodigiosa. Debolsillo. Barcelona. 1998.

NASH Stephen G. / Sofer Ariela. Linear and Nonlinear Programming. Me Graw Hill. Singapore. 1996.

NAYLOR Thomas H. / Balintfy Joseph L. / Burdick Donald S. / Chu Kong. Técnicas de Simulación en Computadoras. Limusa. México. 1980.

NAZARETH John Lawrence. Differentiable Optimization and Equation Solving. Springer Verlag. New York. 2003.

NOBLE B. / Daniel W. J. Álgebra Lineal Aplicada. Prentice Hall. México. 1997.

NOCEDAL Jorge / Wright Stephen J. Numerical Optimization. Springer Verlag. New York. 1999.

NOORY Hamid / Radford Russell. Administración de Operaciones y Producción. Me Graw Hill. México. 1999.

NORIEGA Santos Jorge. Trayectoria Crítica CPM - PERT - LPU. Bhandar Editores. Santafé de Bogotá D. C. 2001.

OLCINA Gonzalo / Calabuig Vicente. Conducta Estratégica y Economía. Tirant Lo Blanch. Valencia. 2002.

OPERATIONS RESEARCH. Revista de la Operations Research Society of America (ORSA). Volume 23 Number 5. Baltimore. September - October 1975.

ORE Oystein. Teoría y Aplicaciones de los Gráficos. Random House - Editorial Norma. Cali.1963.

656

OSORIO Acosta Javier. Problemas de Programación Lineal. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. Las Palmas de Gran Canaria. 1999.

OSORIO Duque Guillermo. Método Gráfico en Problemas de Programación Lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira. Palmira. 1994.

OSPINABolaños Dagoberto. Sistemas Administrativos de Producción y de Operaciones. Universidad Tecnológica de Pereira. Facultad de Ingeniería Industrial. Pereira. 1996.

OSSA Ossa Carlos Alberto. Álgebra Lineal. Programación Lineal. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira. 2002.

OSSA Ossa Carlos Alberto. Simulación Básica. Universidad Tecnològica de Pereira. Pereira. 2002.

OWEN Guillermo. Game Theoiy. Academic Press. U. S. A. 1995.

ÒZAK Muñoz Òmer. Comportamiento Asintotico y Selección de Equilibrios en Juegos Evolutivos. Universidad Externado de Colombia. Bogotá. 2006.

PADILLA Garrido Nuria. Análisis Multicriterio Aplicado a la Selección de Carteras. Universidad de Huelva. Huelva. 2004.

PAREJA Alfonso G. / Calderón Susana / Hidalgo Ramón / Luque Gallego Mariano / Porto Vila Rosalía / Lafuente Lechuga Matilde. Aspectos Básicos de Matemática para la Economía. Universidad de Málaga. Málaga. 2001.

PAZOS Arias José Juan / Suárez González Andrés / Díaz Redondo Rebeca P. Teoría de Colas y Simulación de Eventos Discretos. Pearson Prentice Hall. Madrid. 2003.

PECHA Castiblanco Arsenio. Optimización Estática y Dinámica en Economía. Notas de Clase. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá. Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas. Bogotá. 2005.

PECHA Castiblanco Arsenio. Optimización Estática y Dinámica en Economía. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá. Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas. Bogotá. 2007.

PEDREGAL Pablo. Introduction to Optimization. Sringer Verlag. New York. 2004.

PEÑAFIELMillán Luis. Programación Lineal. Trillas. México. 1979.

PÉREZ Gutiérrez Luis. Cadenas de Markov. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Minas. Medellín. 1985.

PÉREZ Gutiérrez Luis. Teoría de Colas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Minas. Medellín. 1987.

PÉREZ Navarro Joaquín / Jimeno Pastor José Luis / Cerdá Tena Emilio. Teoría de Juegos. Pearson Prentice Hall. Madrid. 2004.

PÉREZ S. Eduardo / Ceballos C. Fabio. Álgebra y Programación Lineal para Administradores y Afines Aplicaciones en Excel. Universidad Pontificia Bolivariana. Medellín. 2002.

PÉREZ Vélez Ignacio. El Algoritmo de Kachiyan. Revista Lecturas Matemáticas. Sociedad Colombiana de Matemáticas. Volumen VII Números 1 - 2 - 3 . Bogotá. 1986.

657

PIKE Ralph W. / Guerra G. Lautaro. Optimización en Ingeniería. Alfaomega. México. 1989.

PINILLA García Vicente. Simulación. Universidad de Los Andes. Bogotá. 2004.

PINILLA García Vicente. Investigación Operacional. Universidad de Los Andes. Bogotá. 2005.

PORTILLA Gloria. Investigación de Operaciones Aplicadas a Casos de Administración de Empresas y de Economía. Pontificia Universidad Javeriana. Cali. 2003.

POUNDSTONE William. El Dilema del Prisionero. Alianza Editorial. Madrid. 2005.

PRAWDA Witenberg Juan. Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Limusa. Tomo 1. México. 2005.

PRAWDA Witenberg Juan. Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Limusa. Tomo 2. México. 2005.

PUERTO Albandoz Justo / Muñoz Márquez Manuel / Conde Sánchez Eduardo / Carrizosa Priego Emilio. Lecturas en Teoría de Localización. Universidad de Sevilla. Sevilla. 1996.

PUJOLAR Morales David. Fundamentos de Programación Lineal y Optimización en Redes. Universidad Autónoma de Barcelona. Barcelona. 2004.

QUARTERONI Alfio / Sacco Riccardo / Saleri Fausto. Numerical Mathematics. Springer Verlag. New York. 2000.

QUESADA Ibargüen Víctor Manuel. Programación Lineal. Escuela Naval "Almirante Padilla". Cartagena 1991.

QUESADA Ibargüen Víctor Manuel. Programación Lineal y Entera. Gráficas El Cheque. Cartagena 1997.

RAMOS M. Eduardo. Programación Lineal y Métodos de Optimización. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Madrid. 1993.

RAO S. S. Optimization. Theory and Applications. Wiley Eastern Limited. India. 1984.

RASMUSEN Eric. Juegos e Información. Una Introducción a la Teoría de Juegos. Fondo de Cultura Económica. México. 1996.

RENDER Barry / Stair Ralph M. Jr. Quantitative Analysis for Management. Allyn and Bacon Inc. U. S. A. 1988.

RENDER Barry / Stair Ralph M. Jr. / Hanna Michael E. Quantitative Analysis for Management. Prentice Hall, Inc. New York. 2006.

RENDER Barry / Stair Ralph M. Jr. / Hanna Michael E. Métodos Cuantitativos para los Negocios. Pearson Prentice Hall. México. 2007.

RENDÓN C. Hernán Darío / Díaz S. Francisco Javier. Introducción a la Investigación de Operaciones. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Facultad de Minas. Medellín. 2002.

RINCÓN A. Luis Alberto. Programación Lineal con Aplicaciones al Sector Agropecuario. Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira. Departamento de Ciencias Básicas. Palmira. 1994.

658

RINCÓN A. Luis Alberto. Investigación de Operaciones para Ingenierías y Administración de Empresas. Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira. Departamento de Ciencias Básicas. Palmira. 2001.

RÍOS García Sixto / Ríos Insúa Sixto / Ríos Insúa María de Jesús. Procesos de Decisión Multicriterio. EUDEMA Universidad. Madrid. 1989.

RÍOS García Sixto. Modelización. Alianza Universidad. Madrid. 1995.

RÍOS Insúa Sixto. Investigación Operativa. Programación Lineal y Aplicaciones. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces S.A. (CERASA). Madrid. 1996.

RÍOS Insúa David / RIOS Insúa Sixto / Martín Jiménez Jacinto. Simulación. Métodos y Aplicaciones. Rama. Madrid. 1997.

RIOS Insúa Sixto / Ríos Insúa David / Mateos Caballero Alfonso / Martín Jiménez Jacinto. Programación Lineal y Aplicaciones. Computec. Rama. Alfaomega. Santafé de Bogotá D.C. 1998.

RIOS Insúa Sixto / Bielza Lozoya Concepción / Mateos Caballero Alfonso. Fundamentos de los Sistemas de Ayuda a la Decisión. Ra - Ma. Madrid. 2002.

RIVETT P. La Investigación Operacional. Nueva Colección Labor. Barcelona. 1971.

ROBLEDO Villegas Gabriel. Métodos de Análisis para Planeación y Programación de Procesos Productivos. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Manizales. 1993.

RODRIGUEZ Huertas Rosa / Gámez Mellado Antonio. Investigación Operativa. Universidad de Cádiz. Cádiz. 2002.

RODRÍGUEZ Taborda Eduardo. Casos de Administración de Operaciones. Colegio de Estudios Superiores de Administración (CESA). Bogotá. 2007.

ROMERO Carlos. Teoría de la Decisión Multicriterio: Conceptos, Técnicas y Aplicaciones. Alianza Universidad. Madrid. 1993.

ROMERO Lázaro Rubén Augusto. Técnicas de Optimización Matemática Usadas en Sistemas de Energía Eléctrica. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira. 1996.

ROSS Sheldon M. Simulación. Pearson Prentice Hall. México. 1997.

RUIZ Díaz Fernando. Simulación Digital. Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga. 1999.

RYE David E. El Juego Empresarial. Me Graw Hill. Colombia. 1996.

SAATY L. Thomas. Elementos de la Teoría de Colas. Aguilar. Madrid. 1967.

SABOGAL Sánchez Carlos Arturo / Ardila Romero Esperanza. Álgebra y Programación Lineal. Universidad Externado de Colombia. Bogotá. 2003.

SALA Garrido Ramón. Modelización y Optimización. Universidad de Valencia. Valencia. 2001.

SALAZAR G. Juan José. Programación Matemática. Díaz de Santos. Madrid. 2001.

SALAZAR Rosandra. Investigación de Operaciones I. Universidad Alonso de Ojeda. Venezuela. 2006.

659

SALAZAR Rosandra. Investigación de Operaciones II. Universidad Alonso de Ojeda. Venezuela. 2006.

S ALAZAR Velásquez José Enrique. Fundamentos de Teoría de Juegos y Aplicaciones a los Mercados en Competencia. Talleres Gráficos Impresos Gramaher. Medellín. 2004.

SALVENDY Gabriel. Manual de Ingeniería Industrial. Noriega Editores. México. 1991.

SAMBOLA María Albareda. Optimización. Universidad Carlos III de Madrid. Madrid. 2005.

SÁNCHEZ Arango Javier Ignacio. Introducción a los Métodos de Ruta Crítica PERT y CPM. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Minas. Medellín. 1992.

SÁNCHEZ Camperos Edgar Nelson / Alanís García Alma Yolanda. Redes Neuronales. Conceptos Fundamentales y Aplicaciones a Control Automático. Pearson Prentice Hall. Madrid. 2006.

SÁNCHEZ Sánchez Francisco. Introducción a la Matemática de los Juegos. Universidad de Guadalajara y Siglo XXI Editores. México. 1993.

4

SASIENI M. / Yaspan A. / Friedman L. Investigación de Operaciones. Limusa. México. 1982.

SCHAFFERNICHT Martín. Indagación de Situaciones Complejas Mediante la Dinámica de Sistemas. Talca (Chile). 2006.

SCHNEIDER Kenneth C. / Byers C. Randall. Métodos Cuantitativos en Administración. Limusa. México. 1982.

SERRA de La Figuera Daniel. Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones. Gestión 2000. Madrid. 2004.

SHAMBLIN James E. / Stevens G. T. Investigación de Operaciones. Me Graw - Hill. México 1975.

SHANNON Robert E. Simulación de Sistemas. Trillas. México. 1988.

SHIKIN levgueni Viktorovich. Introducción a la Teoría de Juegos. Editorial URSS. Moscú 2003.

SHUBIK Martín. Economía Política: Un Enfoque desde el Punto de Vista de la Teoría del Juego. Fondo de Cultura Económica. México. 1992.

SHUBIK Martín. Teoría de Juegos en las Ciencias Sociales. Fondo de Cultura Económica. México. 1996.

SIN C. Álvaro. Cálculo iii para Economistas. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá D. E. Bogotá. 1969.

SINGLETON Robert R. / Tyndall William F. Introducción a la Teoría de Juegos y a la Programación Lineal. Editorial Labor. Barcelona. 1977.

SMITH Quintero Ricardo A. / Mesa Sánchez Óscar J. / Dyner Rezonzew Isaac / Jaramillo A. Patricia / Poveda J. Germán / Valencia R. Darío. Decisiones con Múltiples Objetivos e Incertidumbre. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Facultad de Minas. Medellín. 2000.

SOLER F. F. / Molina F. F. / Rojas C. L. Álgebra Lineal y Programación Lineal con Aplicaciones a Ciencias Administrativas, Contables y Financieras. Ecoe Ediciones. Bogotá. 2003.

660

SOLODOVNIKOV A. S. Sistemas de Desigualdades Lineales. Editorial Mir. Moscú. 1984.

SOTO Torres María Dolores. Métodos de Optimización. Delta Publicaciones. Madrid. 2007.

STAHL Saúl. Game Theory. American Mathematical Society. U. S. A. 1999.

STEUER R. E. Múltiple Criteria Decisión Making. North - Holland. New York. 1977.

TAHA Hamdy A. Investigación de Operaciones. Pearson Prentice Hall. México. 2004.

TAKEUCHI Yu. Una Noción de la Teoría de la Decisión. Revista Boletín de Matemáticas. Sociedad Colombina de Matemáticas y Universidad Nacional de Colombia Volumen IX Números 4,5 y 6. Bogotá. 1975.

TAWFIK Louis / Chauvel Alan M. Administración de la Producción. Me Graw Hill. México. 1994.

THIERAUF Robert J. / Grosse Richard A. Toma de Decisiones por Medio de Investigación de Operaciones. Limusa. México. 1982.

THOMAS G. / Da Costa J. A Sample Survey of Corporate Operations Research. Interfaces,9:102 -111.1979.

TIJONOV A. N. / Kostomárov D. P. Algo Acerca de la Matemática Aplicada. Editorial MIR. Moscú. 1983.

TORANZOS Fausto A. Introducción a la Teoría de Grafos. Organización de Estados Americanos. Washington. 1976.

TORMOS Juan Pilar / Lova Ruiz Antonio. Investigación Operativa para Ingenieros. Universidad Politécnica de Valencia. Valencia. 2003.

TURBAN E. A Sample Survey of Operations Research Activities at the Corporate Level. Operations Research, 20: 708 - 721. 1972.

TURNER J. C. Matemática Moderna Aplicada: Probabilidades, Estadística e Investigación Operativa. Alianza Universidad. Madrid. 1981.

ULLMAN John E. Métodos Cuantitativos en Administración. Me Graw-Hill (Colección Schaum). México. 1979.

UNISUR. Investigación de Operaciones. Universidad Nacional Abierta Caracas - Venezuela. Santafé de Bogotá. Bogotá. 1996.

URIBE Alvaro. Programación Lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D. C. Bogotá. 1976.

VALLADA Regalado Eva / Giner i Bosch Vicent. Problemas de Investigación Operativa para Ingenieros. Universidad Politécnica de Valencia. Valencia. 2004.

VAN Den Berghe Edgar. Simulación de Decisiones Gerenciales. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D. C. Bogotá. 1997.

VANDERBEI Robert J. Linear Programming: Foundations and Extensions. University of Princeton. New York. 2001.

649

VARAIYA Pravin P. Lecture Notes on Optimization. Van Nostrand Reinhold. California. 1998.

VARELA Jaime Enrique. Investigación de Operaciones. Fondo Educativo Interamericano. Santafé de Bogotá D. C. Bogotá. 1982.

VARES Maria Eulália. Grandes Desvíos: Em Processos Markovianos. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Río de Janeiro. 1985.

VARGAS Morales Germán. Modelos Lineales en Investigación de Operaciones. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Santafé de Bogotá D. C. 1990.

VARGAS Morales Germán. Métodos Cuantitativos en Producción. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Santafé de Bogotá D. C. 1996.

VASILE Sima. Algorithms for Linear Quadratic Optimization. Marcel Dekker. New York. 1996.

VEGA Redondo Fernando. Economía y Juegos. Antoni Bosch. Barcelona. 2000.

VELÁSQUEZ S. Alfredo. Métodos de Programación y Control de Proyectos Unidades PERT, CPM y LPU. Escuela Superior de Administración Pública (ESAP). Bogotá. 1989.

VENTSEL Sergeevna Elena. Elementos de la Teoría de los Juegos. Editorial MIR. Moscú 1977.

VENTSEL Sergeevna Elena. Investigación de Operaciones. Editorial MIR. Moscú. 1983.

VICENS Salort Eduardo / Ortiz Bas Ángel / Poler Escoto Raúl / Sempere Ripoll Francisca / Alemany Díaz María del Mar / Alfaro Saiz Juan José. Problemas de Métodos Cuantitativos I. Universidad Politécnica de Valencia. Valencia. 1999.

VIDAL Holguín Carlos Julio. Introducción a la Modelación Matemática y Optimización. Universidad del Valle. Cali. 2005.

VILLEGAS Jaime. Simulation Supported Industrial Training from an Organisational Learning Perspective. Linkoping University. Linkoping. 1996.

VOKUHL Peter. Programación Lineal. Sagitario. Barcelona. 1968.

VOLLMANN Thomas E. / Berry William L. / Whybark Clay D. Administración Integral de la Producción e Inventarios. Limusa Noriega Editores. México. 1996.

WADDINTON C. H. OR in World War 2 - Operational Research against the U - Boat. Paul Elek Ltd. London. 1973.

WAINRIGHT E. Martin Jr. Programación Lineal. Editorial El Ateneo. Buenos Aires. 1974.

WHITAKER David. Investigación Operativa con el Computador. Editorial Paraninfo S.A. Madrid. 1988.

WHITE D. J. Teoría de la Decisión. Alianza Universidad. Madrid. 1990.

WILSON Robin J. Introducción a la Teoría de Grafos. Alianza Universidad. Madrid. 1972.

WINSTON Wayne L. Investigación de Operaciones. Thomson. México. 2004.

YU Po - Lung. Multiple - Criteria Decisión Making. Plenum Press. New York. 1985.

662

ZAMBRANO Torres Harvey. Métodos de Planeación y Control. Universidad Externado de Colombia. Bogotá. 1988.

ZIONTS S. Multiple Criteria Decision Making. Theory and Applications. Springer - Verlag. Berlin. 1980.

Notas en Internet

http://argenet.com.ar/~von/II/apj.htm

http : //arquimedex .com

http://link.springer.de/ol/econol/index.htm

http://mat.gsia.cmu.edu/

http://members.tripod.com/operativa/

http://mis.ucd.ie/students/mms 1 /ahp.htm

http://neos.mcs.anl.gov/

http://OpsResearch.com/cgi-bin/mainIndex.cgi

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191 -03/intro.htm

http: //ubmail .ubalt .edu/~harsham/ opre640S/SpanishD .htm

http://web.nps.navy.mil/~library/ejournalsopr.htm

http://www.agifors.org

http://www.apors.ms.unimelb.edu.au/

http://www.blackwell-science.com/

http : //www. caam.rice .edu/~mathprog/

http://www.darden.virginia.edu/collection

http://www.e-estrategia.com.ar/ediciones/edicion0031/administracion.asp

http://www.elsevier.com:80/homepage/sae/orms/eor

http://www.eorudecision.fr

http://www.est.cie.uva.es/enlaces/estio.html

http://www.euro-online.org

http://www.exa.unicen.edu.ar/catedras/inv_op

http://www.ifors.org/

* 00/

3 BSBUOTECA

^NUPtß

663

/

http://www.ifors.org/panorama/index.html

http://www.impiba.umh.es/seio/

http://www.informs.org

http://www3.interscience.wiley.com/journalfmder.html

http://www.investigacion-operaciones.com

http://www.isro.ulb.ac.be/isro/

http://www.lionhrtpub.com/ORMS.shtml

http://www.ltsn.gla.ac.uk/

http://www-mmd.eng.cam.ac.uk/people/ahr/dstools/choosing/ahp.htm

http://www.monogrfias.com/trabajosl2/decis/decis.zip

http://www.orsoc.org.uk

http : //www.palgrave-j ournal s.com/pal/j nlindex.html

ht tp:/'/w w w. rsginc. com/ahp/index .htm

http://www.scirus.com/

http://www.soprapo.org.br/

http://www.tutor.ms.unimelb.edu.au/

http://www.ucalgary.ca/~grossman/cases.htm

http://www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html

http://www.usal.es/

http://www.wiley.com/college/informscases/

http : //www. wkap .nl/kaphtml .htm/

664