pdf ies nico cinematica 2013-2014

1. La posición de una partícula viene determinada por la ecuación: r (t) = (3 + 2 · t – t2)i en unidades del S.I.1. (1 p) Calcula la posición inicial y la posición cuando han transcurrido 2 y 4segundos.2. (1 p) Calcula la velocidad media entre t = 0 y t = 2 y entre t = 2 y t = 4. ¿Es unmovimiento uniforme o acelerado?3. (1 p) Encuentra la ecuación que permite calcular la velocidad instantánea v(t) y calcúlala en t = 2. ¿Coincide con la media de las dos velocidades medias calculadasanteriormente?

2. (1 p) Un automóvil toma una curva de 40 m de radio a una rapidez constante de 72km/h. Clasifica el movimiento del automóvil, atendiendo a su rapidez y a su trayectoria.

(1 p) ¿Tiene aceleración? ¿Por qué? En caso afirmativo, calcúlala.

3. (2 p) Se lanza hacia arriba una pelota a 10 m/s. En ese mismo instante, se deja caerotra desde 10 m de altura, sin velocidad inicial. Calcula el punto de encuentro y la velocidadde las pelotas en el momento del choque.

4. En la siguiente tabla se aportan datos sobre la posición de un objeto en función deltiempo:

x (m) 10 50 50 70 0

t (s) 0 1 3 7 9

(1 p) Determina la distancia total recorrida y el desplazamiento.

1. (2 p) El conductor de un coche divisa un camión cuando se encuentra 20 m detrásde él. La velocidad inicial del vehículo es 90 km/h y frena con una aceleración de 4 m/s2. Siel camión se mueve a la velocidad constante de 54 km/h, ¿habrá colisión? En casoafirmativo, calcula dónde y cuándo.2. (3 p) Una bicicleta tiene ruedas de 622 mm de diámetro. Con ella, un ciclista rueda

constantemente a 32 km/h en llano durante 1200 m. Luego sube una pequeña cuesta de

350 m, descendiendo uniformemente su velocidad hasta detenerse. Calcula:

1. frecuencia de giro de las ruedas, mientras rueda por el llano.

2. aceleración normal de un punto de la cubierta de la rueda, mientras va por

el llano, y aceleración tangencial del mismo mientras va subiendo por la cuesta.

3. número total de vueltas que dan las ruedas en todo el recorrido.

3. (2 p) El movimiento de un objeto viene dado por r (t) = (3 – 0'5 t) · i + (3 t2 – t3) · j.

Calcula:

1. velocidad media entre t = 0 y t = 2 segundos.

2. velocidad instantánea en t = 1 segundo.

4. Una catapulta lanza proyectiles con un ángulo de 45º y una velocidad de 20 m/s,

contra una muralla de 9 m de altura. Si la catapulta está situada a 38 metros de la muralla:

1. (2 p) Altura máxima y altura a la que los proyectiles impactan contra la

muralla.

2. (2 p) ¿Con qué rapidez y con qué ángulo de inclinación chocan los proyectiles contra

la muralla?

3. (1 p) ¿A qué distancia mínima y máxima de la muralla debe colocarse la

catapulta para que los proyectiles pasen por encima de ella?

5. Un barco situado en el origen de coordenadas se mueve con velocidad uniforme v =4·i + 3·j (m/s). Al mismo tiempo, una lancha sale del punto (0, 100m) en una direcciónparalela al eje X.

1. (1 p) Dibuja un esquema completo de la situación.

2. (1 p) Escribe la ecuación vectorial de movimiento del barco.

3. (1 p) Si un “nudo” equivale a 1'85 km/h, calcula la velocidad de avance delbarco en nudos.

4. (1 p) Deduce a qué velocidad debe moverse la lancha para encontrarse conel barco.

6. Marte tarda 687 días en dar una vuelta al Sol, mientras que la Tierra tarda 365 días.El 29 de enero de 2010, Marte estaba alineado con la Tierra y el Sol, lo cual supone sumáximo acercamiento a nuestro planeta. Supongamos que las órbitas de ambos planetasson circulares.

1. (1 p) Escribe las ecuaciones (escalares) de movimiento de Marte y la Tierra,usando las siguientes unidades: ángulo en grados, velocidad angular en º/día y tiempo endías.

2. (1 p) Calcula qué día será el próximo acercamiento de Marte a la Tierra.

7. Dejamos caer una pelota por un tejado inclinado 30º. La longitud del tejado es 3 m yel borde del tejado está situado a 6 m de altura sobre la calle. La pelota no tiene velocidadinicial y se desprecia el rozamiento.

1. (1 p) Sabiendo que la aceleración de la pelota es g·sen 30º, calcula el tiempoque tardará la pelota en recorrer el tejado, hasta llegar al borde, y el módulo de lavelocidad final.

2. (1 p) ¿Es cierto que, en su movimiento acelerado sobre el tejado, la pelotarecorre entre t=1 y t=2 segundos cuatro veces más distancia que entre t=0 y t=1 segundos?Demuéstralo.

3. (1 p) Escribe el vector de posición de la pelota en función del tiempo.Supongamos t=0 en el momento en que abandona el tejado. Ten en cuenta que lavelocidad inicial (la que has calculado en el apartado a) tiene la misma inclinación que eltejado. Indica dónde has colocado el punto de referencia en un dibujo.

4. (1 p) Calcula a qué distancia de la pared rebota la pelota en el suelo de lacalle.

1. Dos vagones se mueven por la misma vía en el mismo sentido. El nº 1 que vadelante tiene 3'5 t de masa y va a 5'2 m/s. El nº 2 tiene 2'7 t y va a 8'1 m/s. Para amortiguarel choque entre los vagones hay un muelle, y cuando los vagones se acercan lo suficiente,quedan enganchados.

1. (1 p) Calcula la velocidad final a la que se mueven los dos vagones.

2. (1 p) Si desde que se produce el primer contacto hasta que quedanfinalmente enganchados han transcurrido 1'4 segundos, calcula la fuerza media que elvagón nº 1 le hace al nº 2 y la que el nº 2 le hace al 1.

3. (1 p) Los vagones unidos tardan 3 minutos y 20 segundos en detenersesobre una vía horizontal. Dibuja, nombra y calcula todas las fuerzas que actúan sobre losvagones.

2. Marte tarda 687 días en dar una vuelta al Sol, mientras que la Tierra tarda 365 días.El 29 de enero de 2010, Marte estaba alineado con la Tierra y el Sol, lo cual supone sumáximo acercamiento a nuestro planeta. Supongamos que las órbitas de ambos planetasson circulares.

1. (1 p) Escribe las ecuaciones (angulares) de movimiento de Marte y la Tierra,expresando la velocidad angular en grados/día.

2. (1 p) Calcula qué día será el próximo acercamiento de Marte a la Tierra.

3. (1 p) Calcula las componentes tangencial y normal de la aceleración de sumovimiento.

3. Una caja de 25 kg permanece apoyada sobre un plano inclinado 30º sin deslizar,gracias a que está unida a una pequeña pesa que cuelga de una polea. Si echamos aceitebajo la caja para eliminar el rozamiento, el sistema se mueve hacia la derecha con unaaceleración de 0'25 m/s2.

1. (1 p) Calcula la masa de la pesa pequeña de la derecha y la tensión de lacuerda mientras el sistema está en movimiento.

2. (1 p) Calcula el coeficiente de rozamiento que existía cuando el sistemaestaba en reposo y la tensión de la cuerda en esa situación.

4. Una persona está de pie sobre una báscula de baño dentro de un ascensor enreposo. La báscula indica 600 N. Indica qué indicará la báscula en los siguientes casos:1. (0'5 p) Cuando el ascensor comienza a subir con una aceleración de 0'5 m/s2.

2. (0'5 p) Cuando el ascensor sube a velocidad constante de 1 m/s.3. (0'5 p) Cuando el ascensor frena a 0'5 m/s2, antes de llegar a su destino.4. (0'5 p) Cuando la persona levanta del suelo una cartera de 5 kg con unaaceleración de 2m/s2.

1. (1 p) Una bola de billar choca a 1 m/s contra otra bola con el doble de masa que seencontraba en reposo. Si el choque es perfectamente elástico, calcula las velocidadesfinales de cada bola (incluyendo el sentido). Aplica la conservación de la energía y de lacantidad de movimiento.

(1 p) Explica qué entiendes por choque “perfectamente inelástico”, indicando quémagnitudes se conservarían en este caso y qué transformación de energía ocurriría.

1. En una montaña rusa, un vagón con 400 kg de masa inicia la subida de una cuestade 30º de inclinación con una velocidad de 8 m/s.

1. (1 p) Suponiendo que no existiera rozamiento, aplica el principio deconservación de la energía mecánica para calcular hasta qué altura podría subir el vagón.

2. (1'5 p) Si en realidad el vagón alcanza una altura máxima de 3'1 m, calcula eltrabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el vagón y el coeficiente derozamiento.

3. (1 p) Suponiendo el mismo coeficiente de rozamiento, calcula la velocidadfinal del vagón, cuando desciende marcha atrás por la misma pendiente.

2. Una grúa eleva un palé de ladrillos que pesa 250 kg hasta 6 m de altura en 6segundos.

1. (1 p) Calcula en julios y en kw·h la energía consumida por la grúa,suponiendo que el motor tiene un rendimiento del 85%.

2. (0'5 p) Calcula y compara la potencia consumida y la potencia desarrolladapor la grúa.

3. (1 p) Cuando el palé está a 3 m de altura, se mueve a una velocidadconstante de 1 m/s. Calcula el trabajo realizado por la tensión de la cuerda y la energíaconsumida hasta ese momento.

3. (1 p) Calcula cuánto tarda en acelerar de 0 a 100 km/h un Mercedes SL 320 de 224CV (1 CV = 735 W) y 1850 kg, y el trabajo que realiza el motor.

(0'5 p) Calcula también el consumo de gasolina (en gramos) necesario para dichaaceleración, suponiendo un rendimiento del motor del 10%. Poder calorífico 45000 kJ/kg.

(0'5 p) Comenta las consecuencias para el medio ambiente de utilizar motores conun rendimiento tan bajo.

1. (2 p) Un objeto se mueve según la ecuación x1 = 3·t – 5 y otro según x2 = –6·t +9

a) Indica el punto inicial de cada uno y hacia dónde se mueve.

b) Calcula en qué punto se encuentran.

2. (2 p) Lanzamos un objeto hacia arriba a 20 m/s. Calcula qué altura máxima alcanza ycuánto tarda en regresar al suelo, utilizando como valor de g = 10 m/s2.3. (2 p) Lanzamos un disco de 100 g sobre una pista de hielo a 5 m/s y recorre 10 mantes de pararse. Calcula su aceleración y la fuerza de rozamiento con el hielo.4. (2 p) El cable de un ascensor que pesa 3600 N tira con una fuerza de 5000 N. Elascensor parte del reposo y sube hasta una altura de 2 m. En ese momento la fuerza sereduce a 3600 N y continúa subiendo hasta 9 m.

a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza neta en cada tramo.

b) Calcula la energía potencial y cinética del ascensor al final de cada tramo. g = 10 m/s2

5. (1 p) Indica el tipo de enlace de los compuestos siguientes (iónico, covalente,metálico) y si se encontrará probablemente en estado sólido, líquido o gas, a temperaturaambiente: NH3 y MgCl2.6. (1 p) La masa de un átomo de sodio es 23 u.m.a. la de un átomo de cloro es 35u.m.a. Utilizando para el número de Avogadro el valor de 6·1023, calcula:

a) El número de átomos de sodio en 29 gramos de sal (NaCl)

b) Gramos de sal contenidos en 500 mL de una disolución cuya molaridad es 2 M.

El vector de posición de un movimiento viene dado por r = (4t2 + 1) i – 5t j.

1. (0'5 p) Ecuación de la trayectoria. Tipo de trayectoria.2. (0'5 p) Aceleración en t = 1 seg.3. (0'5 p) Módulo de la velocidad en función de t y aceleración tangencial en t =1 seg.4. (0'5 p) Ángulo que forma la aceleración total con la aceleración tangencial ymódulo de la aceleración normal, en t = 1 seg.

EXAMEN DE FÍSICA · PRIMERO DE BACHILLERATO · SEPTIEMBRE 2011

Alumno: 1. CUESTIONES. a) ¿Es rectilíneo el movimiento descrito por la ecuación escalar C = - 0,4t + 21? ¿Es uniforme? EXPLICACIONES. b) Una roca de 3 toneladas, inicialmente en reposo, es dinamitada en tres trozos. Dos de ellos (de 800 kg y 1100 kg) salen con velocidades (SI) v1 = 19 j, v2 = 14 i respectivamente. Determinar la velocidad y ángulo de salida del tercer trozo. c) (*) Explicar qué son y cómo se calculan las llamadas “componentes intrínsecas de la aceleración”. d) Comentar las siguientes afirmaciones EXPLICANDO si son o no correctas: (a) “Tras disparar (desde el reposo) una bala por un cañón, la cantidad de movimiento total es cero” ; (b) “Un cuerpo puede estar moviéndose aunque la resultante de las fuerzas que actúen sobre él sea cero”; (c) “La variación de energía potencial gravitatoria experimentada por un cuerpo NO puede ser negativa”.

(2,5 puntos máximo / apartado correcto)

2. Un objeto de 2,2 kg comprime inicialmente 1,5 cm un resorte (k = 970 N/cm), de tal modo que tras dejarlo en libertad recorre 1,8 m por una superficie horizontal y rugosa, µ = 0,14 (ver figura) hasta terminar impactando contra un muro vertical. Considerando que el rozamiento actúa solo de modo importante a los largo de los 1,8 m, se pide: (a) ¿Con qué rapidez sale despedido el bloque por el muelle y qué aceleración experimenta el cuerpo en su recorrido horizontal de 1,8 m tras abandonar el resorte; (b) (*) ¿Qué tiempo emplea el bloque en hacer el recorrido (de 1,8 m) desde que sale del resorte hasta que llega al muro?; (c) Con el calor desprendido en el rozamiento, ¿qué masa de agua a 0ºC se podría haber calentado hasta los 5ºC si sabemos que el calor específico de ese líquido es 1 cal/g·ºC?; (d) MEDIANTE CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS, determina con qué rapidez impacta el bloque contra el muro


3. En una fábrica se almacena el producto elaborado en latas de conserva, que son transportadas en un mecanismo de cintas (rugosa) regulado por tres ruedas (A, B y C), tal y como aparece en la figura. Las latas suben con rapidez constante, de tal modo que emplean 3,43 segundos en hacer el recorrido AB. Se pide: (a) ¿Cuál es la rapidez de ascenso de las latas y cuál la rapidez angular de la rueda B, si sabemos que su diámetro es de 44 cm?; (b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre las latas y la cinta transportadora?; (c) (*) ¿Qué variación de energía mecánica experimenta cada lata en el trayecto AB, si sabemos que la masa de cada una es de 3 kg, y qué trabajo realiza el peso de la lata en ese recorrido?; (d) Una vez que la lata llega al punto B, es lanzada horizontalmente desde ahí, a un recolector situado en el suelo (al nivel AC). ¿A qué distancia de la rueda C deberá estar ese recolector para que las latas caigan en él, y qué tiempo emplea cada lata en su caída?


Ronda de los Molinos, s/n. Écija. e-mail: [email protected]

http://www.iesnicolascopernico.org/fisica.htm

“sapere aude”

EXAMEN DE QUÍMICA PRIMERO DE BACHILLERATO SEPTIEMBRE 2011

Alumno:

(LOS DATOS DE MASAS ATÓMICAS APARECEN AL FINAL DEL EXAMEN)

1. Formula/Nombra las siguientes sustancias (máximo 8 errores/blanco): a) Fluoruro de bario f) Hidrogenosulfato de sodio k) Sulfato de Cobre II p) Óxido de magnesio b) Ácido carbónico g) Cs2O l) FeH2 q) CoCl2

c) NH4NO3 h) Ácido crómico m) KNO2 r) 2,3-dimetil-1,3-pentadieno d) 3-metil-1-hexeno i) Na(OH) ñ) Ácido Clorhídrico s) Ba(ClO4)2

e) Benceno j) HgS o) Al2S3 t) KMnO4

(10 puntos)

2. CUESTIONES. a) ¿Cuál es la concentración Molar y en g/L de una disolución de K(OH) del laboratorio, que indicaba poseer una densidad de 1,14 g/mL y un 28 % de riqueza en peso? b) ¿Qué son los isótopos de un elemento y por qué (para un mismo elemento) tienen entre sí las mismas propiedades químicas? c) Deducir la configuración electrónica del Arsénico. ¿Por qué el hidrógeno puede actuar con valencia +1 y con valencia -1? d) ¿Qué es el potencial de ionización y cómo (y por qué) varía su valor en la Tabla Periódica? e) (*) Postulados de Bohr para el átomo de hidrógeno.

(2 puntos máximo / apartado correcto)

3. Cierto ácido (de masa molecular 63 u) pose la siguiente composición centesimal: H (1,58 %); O (76,19 %) y N (22,22 %). Se pide: (A) Fórmula molecular de esa sustancia; (B) ¿Cuántas moléculas de ese ácido habría en 1 kg del mismo?; (C) Si consiguiésemos extraer todo el oxígeno presente en 1 kg de ese ácido, ¿cuántas moléculas de O2 obtendríamos y qué volumen ocuparían a 20ºC y 780 mmHg?; (D) Si dispusiésemos de 500 g de H2 ¿cuántos moles de ese ácido podríamos formar?

(5 puntos)

4. En un recipiente de 140 L introducimos 6 g de gas hidrógeno y otros 40 g de gas oxígeno. Provocamos la reacción entre ambos gases (a 20 ºC) para formar agua gaseosa. Se pide: (a) Presión parcial de cada gas al final de la reacción; (b) (*) ¿Cuántos gramos de agua se han formado y qué volumen ocuparía esa agua en estado líquido?

(5 puntos)

Datos de masas atómicas (u)

O (16), H(1), K(39,1), N(14)

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“sapere aude”

MEDIDAS: CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES 01

El instrumento tiene un límite inferior de medida llamado APRECIACIÓN (resolución o sensibilidad)

El método científico de trabajo esta basado en mediciones de magnitudes de los sistemas que estudiamos

En la medida efectuada se pueden distinguir doscualidades:

EXACTITUD: grado de coincidencia entre el valormedido y el valor real. Para lograr mayor exactitud seránecesario CALIBRAR el instrumento de medida,haciendo uso de medidas patrones con valores realesconocidos.PRECISIÓN: grado de coincidencia de un conjunto demedidas efectuadas. La precisión dependerá de lascondiciones de medidas y de las características técnicasdel aparato utilizado (en especial de la resolución).

MEDIDAS EN EL LABORATORIO: Efectuar una medida requiere realizar varios ensayos ydisponer de varios valores. El valor asignado es el valor medio de las medidas y la precisión vienedada por la desviación media (media de las desviaciones de cada valor respecto al valor medio, envalor absoluto). La precisión también se conoce como DISPERSIÓN.

Poco preciso y poco exacto Preciso y exactoPreciso y poco exacto

medio valor - medido valor desviación

medidas de número

medidas las todas de suma medio Valor

medidas de número

esdesviacion las todas de suma N)(DISPERSIÓ media desviación


IMPORTANTE: Cuando una medida se divide por un número el resultado debe conservarel número de cifras decimales (hay que efectuar redondeo).

1 2 3 4 5 6 7 8 Valor medio sin 8

Periodo (s) 1,00 0,99 1’02 0,99 1,01 1,00 1,00 1,31 1,00

Desviación (s) 0,00 0,01 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0’31 0,01

La dispersión es 0’01 s sobre una medida de 1,00 s (1%)

En este caso la dispersión coincide con la resolución del cronómetro


Error de paralaje: para evitarlo nuestra mirada debe ser perpendicular a la regla

El número de cifras con que debemos expresar una medida depende de la resolución del

instrumento de medida y de la precisión de la medida

efectuada

No confundas estos dos conceptos

Una balanza puede tener una resolución muy pequeña pero, si es de mala calidad, puede dar valores diferentes en cada medida (dispersión alta)


Con buenas condiciones de medidas y buenos instrumentos el número de cifras con que debemos expresar la medida depende de la resolución del instrumento de medición

El diámetro medido es 10,0 0,1 mm

La resolución de la probeta es 5 mL:No se puede medir 218 mL

Una posible medida: 175 5 mL

La resolución del instrumento marca la incertidumbre de la medida


La incertidumbre de una medida nos da el ERROR ABSOLUTO

ERROR ABSOLUTO 5 mLERROR ABSOLUTO 0,1 mm

El porcentaje que representa el error absoluto respecto al valor de la medida nos da el ERROR RELATIVO:

10,0 0,1 mm ERROR RELATIVO = 0,1 . 100/10,0 = 1%

175 5 mL ERROR RELATIVO = 5 . 100/175 = 3%

La calidad de una medida viene dada por el error relativo


Si decimos que el lado del cubo mide 12 cm queremos decir que está entre 11 y 13 cm (12 1 cm)

En ese caso el volumen del cubo estará comprendido entre 113 y 133 cm3, esto es entre 1,3 . 103 cm3 y 2,2 . 103 cm3

El error relativo en la medida 12 cm es un 8%, lo que nos lleva a un error relativo en el volumen de un 24%

El volumen del cubo será 123 cm3 24% = 1728 415 cm3

(ATENCIÓN A LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS)


Las medidas han de expresarse con cifras significativas correctas:

2) Al multiplicar o dividir una medida por una cantidad exacta el número de cifras significativas no debe cambiar. Para expresar las cifras significativas adecuadas debes escribir el resultado en notación científica:

1) Una cifra exacta se puede expresar con el número de cifras que deseemos:

Arco de circunferencia completo: 360,00….º

2,43 mL / 5 = 0,486 mL = 4,86 . 10-1 mL

3) Cuando se realizan operaciones con medidas el resultado debe expresarse con el número de cifras significativas de la medida que tenga menos cifras significativas:

2’89 g / 15 mL = 0,19 g/mL = 1,9 . 10-1 g/mL


MEDIDAS: CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES 09EJERCICIOS PROPUESTOS Y EXÁMENES

25/09/13 1.- Señala el valor de la medida marcada por elcronómetro y la bureta de las figuras (las cifras estánreferidas a segundos y mililitros respectivamente).Determina el error relativo de ambas medidas

La resolución del cronómetro es 1/5 s = 0’2 s. El valor marcado se puede expresar como 10’6 0’2 s con un error relativo de 0’2.100/10’6 = 1’89% = 2%

La resolución de la bureta es 1/10 mL = 0’1 mL El valor marcado se puede expresar como 20’0 0’1 mL con un error relativo de 0’1.100/20’0 = 0’5%


25/09/13 2.-Un grupo de tres compañeros de 1º de Bachillerato realizan una práctica devolumetría para determinar la concentración de una disolución ácida y para ello utilizan unabureta que aprecia décimas de mililitros. Los volúmenes medidos (en mL) se recogen en lasiguiente tabla:

Explica la diferencia entre dispersión y resolución tomando los valores anteriores y haciendolos cálculos correspondientes.

Julia Alonso Inés

20'6 21'1 20'2

La dispersión es un valor estadístico de un conjunto de medidas (media de las desviaciones) y la resolución es una propiedad del instrumento de medida (en este caso 0’1 mL)

Julia Alonso Inés Media

20'6 21'1 20'2 20’6

Desviación 0’0 0’5 0’4 0’3

El valor que debemos asignar al volumen medido es 20’6 0’3 mL

La resolución de la bureta es 0’1 mL pero la medida se ve afectada por errores ajenos al instrumento


25/09/13 3.- Para determinar la densidad de un cilindro de metal se mide la masautilizando una balanza que aprecia décimas de gramos y se mide el diámetro y la alturacon un calibre que aprecia décimas de milímetros. Los valores obtenidos se reflejan en lasiguiente tabla:

Masa (g) Diámetro (mm) Altura (mm)46'7 18'9 38'6

Calcula el valor asignado a la densidad del metal y determina el error relativocorrespondiente expresando la incertidumbre de la densidad asignada.

Los errores relativos de las medidas efectuadas son:

• masa = 0’1 . 100/46,7 = 0’2%

• diámetro = 0’1 . 100/18,9 = 0’5%

• altura = 0’1 . 100/38,6 = 0’3%

La densidad se determina por la expresión d = m/V = m/πR2.hsiendo R el radio del cilindro y h su altura

lo que implica un densidad = masa + 2. radio + altura = 1’5%

La densidad es 4’31 g/cm3 1’5 de 4’31 = 4’31 0’06 g/cm3


09/10/13 1.- Con objeto de determinar la capacidad de un recipiente cilíndrico se mide eldiámetro interior y la profundidad del mismo con un calibre. Las imágenes muestran losresultados de esas medidas.

Determina la capacidad del recipiente expresando la incertidumbre del valor asignado.

Los errores relativos de las medidas efectuadas son:

• diámetro = 0’1 . 100/15’3 = 0’65%

• profundidad = 0’1 . 100/3’4 = 2’9%

Valores medidos: Diámetro interior = 15’3 ±0’1 mm Profundidad = 3’4 ± 0’1 mm

La capacidad se determina por la expresión V = πR2.h = 625’1 mm3

con un capacidad = 2. radio + altura = 4’2% de 625’1 = 26’3 mm3

El valor asignado debe ser 625’1 ± 26’3 mm3 por lo que no tiene sentido especificar tantas cifras, con dos cifras significativas bastan: 6’2 .102 ± 26 mm3

FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACHILLERATO Ejercicios para trabajar en casa ACTIVIDAD 1: Cifras significativas y errores

I.E.S. Nicolás Copérnico Departamento de Física y Química

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES: EJERCICIOS PARA TRABAJAR EN CASA

A1.1 Con una regla milimetrada se mide la altura de una varilla. Se realizan cinco medidas

obteniéndose los valores 342, 340, 339, 348 y 341 (en mm). Determina el valor asignado a la

medida realizada y el error absoluto asociado a la misma.

A1.2 Señala el número de cifras significativas en las siguientes medidas de longitud:

1’45 m 1’00 m 1 m 100 cm 1’00 . 102 cm 1000 mm

A1.3 ¿Qué diferencias encuentras entre 12 dm y 1’20.102 cm? Determina el error absoluto y el

error relativo en cada medida.

A1.4 Expresa las siguientes medidas en el sistema cegesimal, respetando el número de cifras

significativas:

25 m 100’0 dag 30 km/h 24’65 dm2

A1.5 Los lados de un rectángulo miden 220 mm y 290 mm. Determina el error absoluto del área

del rectángulo.

A1.6 Una alumna mide la masa de un tapón de corcho utilizando una balanza que aprecia

centésimas de gramos. Otro compañero mide el volumen del tapón haciendo uso de una probeta

que aprecia décimas de centímetros cúbicos. Los valores marcados por los aparatos son:

masa = 4’67 g volumen = 6’8 cm3

a) ¿Cuántas cifras significativas tiene cada medida?

b) Calcula la densidad y exprésala con las cifras significativas correspondientes. Expresa dicho

valor en el S.I.

A1.7 Los lados de un cubo de cierto metal miden 158 mm y la masa del cubo es de 10’649 kg.

Expresa la densidad del metal en el sistema cegesimal:

a) Teniendo en cuenta el error absoluto al calcular la densidad.

b) Considerando sólo las cifras significativas del cálculo.

A1.8 Calcula el volumen de una esfera cuyo radio mide 8’00 cm teniendo en cuenta el error

absoluto.

MAGNITUDES VECTORIALES 01

Algunas magnitudes quedan perfectamente determinadas con un valor numérico y launidad de medida. Así, al hablar de la masa de un cuerpo sólo es necesario conocer lacantidad correspondiente (por ejemplo, 5 kg). A nadie se le ocurre preguntar si el valorde esa masa es con el cuerpo boca arriba o boca abajo. Este tipo de magnitudes, dondeno importa la dirección, se denominan MAGNITUDES ESCALARES.

Otras magnitudes requieren, además de una cantidad, información sobre su dirección.Son las MAGNITUDES VECTORIALES. En notación escrita se distinguen por medio deuna flecha que se coloca encima de la letra utilizada para distinguir la magnitud.

aSe representan por vectores que tienen las siguientescaracterísticas:

MÓDULO: valor numérico correspondientePUNTO DE APLICACIÓN: punto origen del vector

DIRECCIÓN: recta que contiene al vectorSENTIDO: señalado por la flecha

Para sumar magnitudes vectoriales hay que sumar módulos, direcciones y sentidos


a

Producto de un vector por un escalar

a

a

a-a

3a 5a -6a+ = 2a

a

b

Suma gráfica de vectores

b

En el extremo del primer vector dibujamos el segundo vector

a

Se dibuja el primer vector respetando módulo, dirección y sentido

3a

a b+

El origen del primer vector y el extremo del segundo nos marcan el vector suma


Son componentes de un vector perpendiculares entre sí

v

y

x

v yx= +VECTORES CARTESIANOS UNITARIOS

Son vectores de módulo 1 y perpendiculares entre sí

x

y

j

i

v

COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR EN UN PLANO

x = x.i

y = y.j

v = x.i + y.j

v (x, y)Se representa como:

s

Cualquier vector puede expresarse como suma de otros llamados componentes

ba


v (13, 8)

Conocidas las componentes de un vector se puede determinarel valor del módulo y del ángulo director (ángulo que formael vector con la parte positiva del eje OX):

22 y x v

= arc tg y/x

Conociendo el ángulo director y el módulo v del vectorse pueden determinar las componentes (sólo hay querecordar relaciones básicas de trigonometría):

x = v . cos y = v . sen

v = 15 (unidad)

= 32º

ATENCIÓN AL VALOR DE : el vector puede estar en cualquier cuadrante del plano:

Entre 0º y 90º: primer cuadrante (x e y son positivas)1 c

Entre 90º y 180º: segundo cuadrante (x es negativa)2 c

Entre 180º y 270º: tercer cuadrante (x e y son negativas)3 c

Entre 270º y 360º: cuarto cuadrante (y es negativa)4 c

A2.1 Determina las componentes cartesianas de un vector de módulo 12,0 y cuyoángulo director es 160º. Expresa el vector de forma analítica.


x = 12,0 . cos 160 = - 11,3

y = 12,0 . sen 160 = 4,1

v = + 4,1 j-11,3 i

Resultante x = 3 -2 + 4 = 5

Resultante y = 1 + 5 - 3 = 3

s = + 3 j5 i

aA2.2 Determina el vector resultante de la suma de los vectores c (4 , -3)(3 , 1) b (-2 , 5)Calcula el módulo y el ángulo director del vector suma

5,8 3 5 s 22

= arc tg 3/5 (primer cuadrante) = 31º


Vector unitario en la dirección y sentido de un vector u v

Es evidente que = v . uvv

uu vLo que nos lleva a que = / v

A2.3 Determina el vector unitario en la dirección y sentido del vector v (-2 , 3)

vMódulo de = 3,6 3 (-2) 22

(-0,55 , 0,83) u

uEl vector unitario pedido es (-2/3,6 , 3/3,6)


a

b

Producto escalar de dos vectores

Se escribe como . y el resultado es un escalar de valor a . b . cos θa b

i jResulta evidente que . = 1 y que . = 0i i

a

b

θ

a = ax.i + ay.j

b = bx.i + by.j

+ax.i ay.j bx.i + by.j=a b. ( ) ( ).

Desarrollando el producto y teniendo en cuenta los productos de los vectores unitarios se llega a:

= ax . bx + ay . bya b.

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, es decir ax . bx + ay . by = 0


Vectores en el espacio: es necesario una tercera componente z

x

y

z

v

ij

k

El producto escalar de dos vectores en el espacioes ax . bx + ay . by + az . bz

a

b

Un nuevo producto: vectorial

Se escribe como o y el resultado es un vector de módulo a . b . sen θa bx a bΛ

v = x.i + y.j z.k+

222 z y x v

MAGNITUDES VECTORIALES 09a = ax.i + ay.j + az.k

b = bx.i + by.j + bz.k

a bx

b

θ

a

Es un vector cuya dirección es perpendiculara los dos vectores.

Para determinar el sentido hay que conocercómo avanza un sacacorchos (o un tornillo)al girarlo

Colocado el sacacorchos en la direcciónperpendicular se gira desde el primer vectorhacia el segundo vector. El avance delsacacorchos nos marca el sentido delproducto vectorial

ab x

a bx

El producto vectorial no es conmutativo: = - ab xa bx


Representando puntos en el espacio

P (3 , 5, 2)

Desde O avanzamos 3 unidades en eje OX

y

x

z

Desde ahí avanzamos 5 unidades en dirección OY

Por último subimos 2 unidades en dirección OZ


x

y

z

ij

k

i jResulta evidente que x = 0 y que x = -i i k

i

A2.13 Completa la siguiente tabla con todos los productosvectoriales de los vectores unitarios cartesianos:

i j k

k

i

j

0

0

0

-k j

k -i

-jPara calcular la forma analítica del productovectorial de dos vectores tendriamos quesumar todos los productos vectoriales de lasiguiente tabla:

ax.i

ay.j

az.k

a bx bx.i by.j bz.k Al hacerlo encontramos la siguiente expresión:

a bx = (ay . bz – az . by)+ (az . bx – ax . bz)

+ (ax . by – ay . bx)

ij

k

Cuando estudies los determinantes en Matemáticas tendrás otra regla para recordar la fórmula anterior

α

α = ar cos vx/v


vx

vy

vz

v

Cosenos directores: determinan la dirección del vector

γ

γ = ar cos vz/v

β

β = ar cos vy/v

Se cumple la relación cos2α + cos2β + cos2γ = 1

A2.14 Demuestra la expresión anterior

cos2α + cos2β + cos2γ = vx2/v2 + vy

2/v2 + vz2/v2 =

(vx2 + vy

2 + vz2 ) / v2 = v2/ v2 = 1


Escala

=4 i -v 3 j -5 kVamos a representar el vector

Primero: caja con las dimensiones de las componentes del vector

Segundo: acoplamos las componentes del vector a la caja respetando signos y con las tres componentes en el mismo vértice de la caja (hay que elegir el vértice adecuado)

X es positiva: el vértice debe estar a la derecha (4)

Y es negativa: el vértice debe estar delante (2)

Z es negativa: el vértice debe estar arriba (1)

Tercero: el vértice elegido y el vértice opuesto nos marcan el vector dado.


Dibujando vectores en el espacio

v=-3 i + 2 j -4 kVamos a representar el vector aplicado en P(5, 3, -4)

Segundo: dibujamos el vector como hemos hecho antes

y

x

z

Primero: dibujamos el sistema de ejes cartesianos y representamos el punto de aplicación del vector

P

Tercero: llevamos la caja con el vector haciendo coincidir el vértice con el punto P


vSe define el momento del vector respecto a Q como el producto vectorial r vx

r vx

A2.24 Calcula el momento del vector decomponentes (4 , 2 , -1) aplicado en elpunto (3 , -2 , 5) con respecto al origen O.

r vx = (-2 .(-1) – 5 . 2)+ (5 . 4 – 3 . (-1))

+ (3 . 2 – (-2) . 4)

ij

k

r vx = -8i + 23j 14k+

Un producto vectorial muy notable: el momento de un vector que está aplicado en un punto P de coordenadas (xv, yv , zv) respecto a otro punto Q con coordenadas (x , y, z)

x

y

z v

P(xv, yv , zv)

Q(x, y, z)

rEl vector tiene como componentes

(xv - x , yv - y, zv - z)r

ay =-8

ax = 6

MAGNITUDES VECTORIALES 15SOLUCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS

P(-2, 3)

θ

β

β

A2.4 Vamos a sacar el vector del punto (0 , 0): Unvector tiene su origen en el punto (-2 , 3) y su extremoen el punto (4 , -5). Determina el módulo del vector y elángulo director.

El módulo del vector es 10 8 6 a 22

El valor de la tangente de β es 8/6 = 1'33 por lo que β = 53º, es decir, el ángulo director θ = 360 - 53 = 307º

Q(4,-5)

Componente x = xQ - xP

Componente y = yQ - yP


A2.5 Calcula el módulo y el ángulo director del vectorcuyas componentes son (-4 , -7). Atención al cuadrantedel vector.

ay = -7

ax = -4

β

θ

El módulo del vector es 12'8 7 4 a 22

El valor de la tangente de β es 7/4 = 1'33 por lo que β = 60º, es decir, el ángulo director θ = 60 + 180 = 240º


A2.6 Determina el módulo y el ángulo director del vectorresultante de sumar los vectores cuyas componentes son(4 , 6), (-3 , -5) y (-6 , 4).

RX = 4 -3 -6 = -5

RY = 6 -5 + 4 = 5

βθ

El módulo del vector resultante es 7'1 5 5 R 22

El valor de la tangente de β es 5/5 = 1 por lo que β = 45º, es decir, el ángulo director θ = 180 - 45 = 135º


A2.7 Determina las componentes cartesianas de unvector de módulo 10 y ángulo director 260º.

Θ = 260º

β = 80º

Ax = A . cos θ = - A . cos β = -10.cos 80 = -1’7

Ay = A . sen θ = - A . sen β = -10.sen 80 = -9’8


A2.8 Determina el vector unitario cuyo ángulo directores 30º.

Θ = 30º

El vector pedido es u = 0’86 i + 0’50 j

ux = 1 . cos 30 = 0’86

uy = 1 . sen 30 = 0’50


A2.9 Dado el vector de componentes (5 , -3) determinael vector unitario en la misma dirección pero sentidocontrario.

El módulo del vector es 5'8 3 5 v 22

El vector pedido es u = -0’86 i + 0’52 j

El vector unitario en la dirección de v es u (5/5’8, -3/5,8)

El vector unitario sentido contrario es u (-5/5’8, 3/5,8)

MAGNITUDES VECTORIALES 21SOLUCIONES EJERCICIOS EXÁMENES

25-09-13 4.- Determina el módulo y el ángulo directorde un vector cuyas componentes son (4 , -6).

θ

β

ay = -6

ax = 4


El valor de la tangente de β es 6/4 = 1‘5 por lo que β = 56º, es decir, el ángulo director θ = 360 – 56 = 304º


25-09-13 5.- Expresa la forma analítica de un vectorcuyo módulo es 8'0 con ángulo director de 130º.

β = 50º

Ax = A . cos θ = - A . cos β = -8.cos 50 = -5’1

Ay = A . sen θ = A . sen β = 8.sen 50 = 6’1

Θ = 130º

Q(3,-6)

P(-4, 5)


25-09-13 6.-Un vector tiene su punto de aplicación enel punto P(-4 , 5) y su extremo en el punto Q(3 , -6).Determina las componentes del vector y su dirección.

θ

β

β


El valor de la tangente de β es 11/7 = 1’57 por lo que β = 58º, es decir, el ángulo director θ = 360 - 58 = 302º

ay = -11

ax = 7

Componente x = xQ - xP

Componente y = yQ - yP


25-09-13 7.- Determina la resultante del siguientesistema de vectores:

j8 i3- a

2)- , (-5 b

270ºdirector ángulo y 4módulo de vector c

El módulo del vector resultante es 8'2 2 8 R 22

RX = -3 -5 +0 = -8

RY = 8 -2 - 4 = 2

El valor de la tangente de β es 2/8 = 0’25 por lo que β = 14º, es decir, el ángulo director θ = 180 - 14 = 166º

β

θ


09/10/13 2.- Determina la resultante de sumar el vectorde la figura con el vector de componentes (2, -3, 4).Determina los ángulos directores del vector resultante conlos ejes OX y OZ.

El vector de la figura tiene como componentes (-2, 2, -3)

Por tanto, la suma (2, -3, 4) + (-2, 2, -3) nos da el vector decomponentes (0, -1, 1)

El módulo del vector resultante es 2 21 2(-1) 20 R

ÁNGULO OX: cos α = 0/R = 0 α = 90º

ÁNGULO OZ: cos γ = 1/R = 0’70 γ = 45º


09/10/13 3.- Dados los vectores de componentes (k, -2) y (-3, 4) determina el valor de kpara que:

a) Sean paralelos.b) Formen un ángulo de 30º.

A partir del producto escalar podemos establecer la relación:

= ax . bx + ay . by = a . b. cos θa b.

donde: 4 2k 2(-2) 2k a 5 16 9 24 2(-3) b

8- 3k- 0 cos . 5 . 4 2k De esta forma llegamos a la ecuación:

Resolver esa ecuación de segundo no tiene gran dificultad pero hay un método más fácil para vectores paralelos: el módulo del producto vectorial es cero (cos 0 = 1 sen 0 = 0)

Componente x del producto vectorial: ay . bz – az . by

Componente y del producto vectorial: az . bx – ax . bz

Componente z del producto vectorial: ax . by – ay . bx

En este caso los dos vectores se encuentran en el plano XY (componentes z = 0) por lo que las componentes x e y del producto vectorial valen 0 quedando k . 4 – (-2) . (-3) = 0 k = 3/2

El apartado b) requiere la resolución de la ecuación de segundo grado

8- 3k- 30 cos . 5 . 4 2k SOL 0’24 y 4’68


09/10/13 4.- Determina el momento del vector de componentes (-2, 3, 5) aplicado en elpunto Q(1, 0, -2) respecto al origen de coordenadas.

r vx = (0 . 5 – (-2) . 3)+ ((-2) . (-2) – 1 . 5

+ (1 . 3 – 0 . (-2))

ij

k

r = 1.i + 0.j 2.k-

v = -2.i + 3.j 5.k+

a bx = (ay . bz – az . by)+ (az . bx – ax . bz)

+ (ax . by – ay . bx)

ij

k

r vx = 6 - + 3i j k


09/10/13 5.- Sean los vectores de componentes (-3, 2) y (4, -3) aplicados en el origen O.a) ¿Qué dirección y sentido tendrá el momento de cada uno de ellos respecto al punto P(2, 2).b) Determina el módulo del vector momento resultante (suma de los momentos de cada vector)respecto al punto P.

Los dos vectores se encuentran en el plano XY (componente z = 0) por lo que el momento delos mismos tendrá dirección perpendicular al plano XY, es decir, dirección z: el producto vectorialsólo tiene componente k

a = -3.i + 2.j

b = 4.i -3.j

r = -2.i -2.j

[ (-2) . 2 – (-2) . (-3) ] = -10r axMa = = k k

[ (-2) . (-3) – (-2) . 4 ] = 14r bxMb = = k k

MT = = 4.kMa Mb+

El módulo del momento resultante es 4


30/10/13 1.- Un explorador sale de su campamento a las 7:00 AM andando a una velocidad de4’0 km/h. Su brújula le indica que se mueve en dirección 30º NE. Al cabo de hora y media, sinvariar de dirección, encuentra una carretera recta y sigue dirección este recorriendo 5’0 kmpor la misma hasta llegar a un cruce de caminos. En dicho cruce lo recoge un camión endirección sur y viaja 15 minutos en el mismo a una velocidad de 60 km/h. Se baja del vehículopara comer algo bajo la sombra de un árbol mientras el camión sigue su camino. Después decomer decide regresar al campamento por el camino más corto pero se da cuenta que ha dejadola brújula en el camión. Afortunadamente tiene un teléfono móvil y llama al campamento paraque vengan a recogerlo. ¿Qué dirección debe seguir el equipo de rescate y qué distancia mínimadebe recorrer?.

Los vectores rojos señalan los desplazamientos realizados. El vector azul marca la dirección y la distancia que debe recorrerel equipo de rescate. Como se ve es la suma vectorial de los deplazamientos. Sólo hay que descomponer vectores y realizarla suma analítica:

Componentes desplazamientos:Δr1 (+6’0.sen 30 , +6’0.cos30) =(+3’0 , +5’2)Δr2 (+5’0 , 0)Δr3 (0 , -15)ΔrT (+8’0 , -9’8)

SOLUCIÓN: 39º SE y 12’6 km

30º

θ

FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACHILLERATO Ejercicios para trabajar en casa ACTIVIDAD 2: Vectores


Página 2

VECTORES: EJERCICIOS PARA TRABAJAR EN CASA

A2.1 Vamos a sacar el vector del punto (0, 0): Un vector tiene su origen en el punto (-2, 3) y su

extremo en el punto (4, -5). Determina el módulo del vector y el ángulo director.

A2.2 Calcula el módulo y el ángulo director del vector cuyas componentes son (-4, -7). Atención al

cuadrante del vector.

A2.3 Determina el módulo y el ángulo director del vector resultante de sumar los vectores cuyas

componentes son (4, 6), (-3, -5) y (-6, 4).

A2.4 Determina las componentes cartesianas de un vector de módulo 10 y ángulo director 260º.

A2.5 Determina el vector unitario cuyo ángulo director es 30º.

A2.6 Dado el vector de componentes (5, -3) determina el vector unitario en la misma dirección

pero sentido contrario.

A2.7 Sean los vectores de componentes (4, 3) y (-8, y). ¿Cuál debe ser el valor de y para que los

dos vectores sean perpendiculares? ¿Y para que formen entre sí un ángulo de 60º?

A2.8 Determina el producto escalar de dos vectores cuyas componentes son (-2,3) y (3,-5).

A2.9 Calcula el producto escalar de un vector de módulo 20 y ángulo director 60ª y otro vector de

módulo 15 y ángulo director 210º.

A2.10 Representa los vectores que tienen como componentes:

a) (-5, 4, -3) b) (2, -3, 4) c) (-4, -2, 3)

A2.11 Representa el vector de componentes (3, -4, -2) aplicado en el punto P(2, 4, -3).

A2.12 Determina el producto vectorial de los vectores cuyas componentes son (3, 2,-4) y (0, -3,

5).

A2.13 Sean los vectores de componentes (4, 3, 0) y (-8, a, b). ¿Cuáles deben ser los valores de

a y b para que los dos vectores sean paralelos?

A2.14 Un vector de módulo 10 tiene como cosenos directores cos α = 0'80 y cos β = -0'40.

(Atención: una raíz cuadrada tiene doble solución. Interpreta este hecho). Determina las

componentes del vector. Calcula el producto vectorial de dicho vector con el vector de componentes

(1, 0,-5).

A2.15 Calcula el ángulo que forman los vectores de componentes (-1, 0, 5) y (3, -2, 6).

A2.16 Determina los cosenos directores del producto vectorial de los vectores del ejercicio

anterior.

FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACHILLERATO Ejercicios para trabajar en casa ACTIVIDAD 2: Vectores


Página 3

A2.17 Calcula las componentes de un vector unitario que sea perpendicular al vector de

componentes (2, -2 , 0). Analiza el resultado.

A2.18 Calcula el momento del vector de componentes (0, -4, 3) aplicado en el punto (2, 3, 1) con

respecto al origen de coordenadas O.

A2.19 La fuerza es una magnitud vectorial. Se aplica una fuerza de componentes (0, -2, 3) sobre

un punto de coordenadas (-4, 2, 4). Calcula el momento de la fuerza respecto al punto (1, 0, -1).

Calcula el vector unitario de dirección y sentido igual al momento de la fuerza.

A2.20 ¿Cómo es el producto vectorial de dos vectores que tienen la misma dirección?.

A2.21 Determina el momento del vector vrespecto al

punto P.

.

CINEMÁTICA 01

En la última hora la silla ha recorrido más de 107.000 km con respecto al Sol

A3.1 ¿Se mueve la silla donde estás sentado?

Al hablar de movimiento se hace necesario, antes de nada, hablar del SISTEMA DE REFERENCIA

CINEMÁTICA 02

Es necesario establecer la POSICIÓN del cuerpo respecto a un punto de referencia (O)

Si el cuerpo se mueve sobre una línea determinada (searecta o curva) sólo es necesario conocer la distancia (medidasobre la línea) que hay entre la posición del cuerpo y elpunto de referencia. Para indicar si el cuerpo está pordelante o por detrás del punto de referencia se hace uso delos signos + ó -. La posición requiere UNA COORDENADA x.

O

+

-

x

x

y

r

Si el cuerpo se puede mover libremente por un plano (por ejemplo,en un mapa) la posición viene dada por el vector de posición . Lalocalización requiere DOS COORDENADAS (x, y).

r

x

y

z

rEn caso de que el cuerpo se muevalibremente en el espacio se necesitanTRES COORDENADAS (x, y, z) paralocalizarlo.

El punto de referencia y las coordenadas necesarias constituyen el SISTEMA DE REFERENCIA

CINEMÁTICA 03

Los puntos de referencia también se mueven respecto a otros sistemas de referencia: NO EXISTE EL REPOSO ABSOLUTO

SISTEMAS INERCIALES En un buen ascensor sólo notas algo cuando arranca y cuando para. Mientras subes o bajas sólo ves

cambiar el número del piso por donde pasas

En un tren que se mueve a velocidad constante puedes caminar sin

problemas salvo en los momentos de frenada o aceleración

Los sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante se llaman SISTEMAS INERCIALES

Hombre y chica sentada: dos SISTEMAS INERCIALES diferentes

CINEMÁTICA 04Un cuerpo se mueve respecto a un punto dereferencia si el vector de posición delcuerpo cambia con el tiempo

x

y

Un cuerpo se mueve siguiendo una trayectoria curva

r1

En un momento determinado su vector de posición es r1

r2 r2Al cabo de cierto tiempo t su vector de posición es

Δr

Δr r1r2= -La variación del vector de posición es

Δr r1r2= -

se denomina vector desplazamiento (que no tiene nada que ver con el espacio recorridopor el cuerpo que es la longitud de la trayectoria azul)Δr

Para que el vector de posición cambie con el tiempo sus coordenadas tienen que ser función de t

r = 4.t i -(3 –t2) j -5 kLa coordenada x varía con el tiempo = 4.t

La coordenada y varía con el tiempo = -(3 – t2)

La coordenada z no varía con el tiempo = -5

El cuerpo se mueve en el plano XY donde z=-5

CINEMÁTICA 05

1.- ¿Cuál es la posición inicial?

2.- ¿Cuál es la posición a los 2 s?

3.- ¿A qué distancia del origen (observador) se encuentra a los 2 s?

Es el módulo del vector de posición a los 2 s

m 9'5 90 (-5)18 r 222

r = 4.t i -(3 –t2) j -5 k (m)

Será el vector para t= 0

r = 3 j- -5 k (m)

r = 8 i + j -5 k (m)

Ecuaciones de la trayectoria: son relaciones matemáticas entre las componentes

Paramétricas: x = 4t y = -(3 – t2) z = -5

Sustituyendo t en función de x se obtienen las ecuaciones de la trayectoria

5- z )16

x - (3- y

2

CINEMÁTICA 06Desplazamiento y espacio recorrido

x

y

r1

r2

Δr

Δr r1r2= - El desplazamiento es el módulo del vector (línea marrón)Δr

El espacio recorrido es la longitud de la trayectoriarecorrida (línea azul)

¿Pueden coincidir esas dos magnitudes?

x

y

r1

r2

Δr

Δr r1r2= -

Coinciden si se dan dos circunstancias:1. Trayectoria recta2. El cuerpo no cambia de sentido

Si la trayectoria es recta conviene elegir el sistema de referencia de manera que la trayectoria coincida con uno de los ejes cartesianos

Esto hace que el vector de posición sólo tenga una componente

En el plano una trayectoria recta se reconoce por la ecuación y = a . x + b

CINEMÁTICA 07Vector velocidad

x

y

r1

r2

Δr

Δr r1r2= -

No es la velocidad en un punto sino la velocidad promedio en elintervalo de tiempo. Si hacemos el intervalo de tiempo muy pequeñoel desplazamiento será también muy pequeño y podríamos hablar develocidad instantánea en cada punto

En Matemática un intervalo muy pequeño (tanto que tiende al valor cero) se denomina diferencial y se representa por la letra d

Velocidad =Vdr

dt

Es un vector con la misma dirección y sentido que Δr

Es un vector tangente a la trayectoria

x

y

r1

r2

v1

v2

Cuando aprendas a derivar en Matemáticapodrás calcular las componentes del vectorvelocidad a partir de las componentes delvector de posición

Velocidad media =Vm

Δr

Tiempo t

Es la relación entre el desplazamiento y el tiempo invertido

Unidad SI: m/s

CINEMÁTICA 08

x

y

r1

r2

v1

v2

= + +r rx i ry j rz k

= + +v vx i vy j vz k

Vx =dx

dtVy =

dy

dtVz =

dz

dt

Mientras no podamos utilizar derivadas e integrales nuestros cálculos están muy limitados

Casos particulares:

Si x es función lineal de t: x = b . t + c (MOVIMIENTO UNIFORME)

Es un movimiento con componente vx constante = b (m/s)La posición inicial es x0 = c

Si x es función cuadrática de t: x = b . t2 + c . t + d (MOV.UNIFORMEMENTE ACELERADO)

Es un movimiento con componente vx función lineal de tvx = ax . t + vxo

ax es la componente x de otro vector llamado aceleración = 2bvxo es la componente x inicial de la velocidad = c

La posición inicial es x0 = d

Aceleración =adv

dtax =

dvx

dtay =

dvy

dtaz =

dvz

dtUnidad SI: m/s2

CINEMÁTICA 09

ECUACIONES MOVIMIENTO

UNIFORME (v constante): x = vx.t + x0

UNIFORMEMENTE ACELERADO (a constante): x = axt2/2 + v0x.t + x0

vx = ax.t + vx0

PLANTEAMIENTO PROBLEMAS CINEMÁTICA

1) Establecer punto y sistema de referencia y situar los cuerpos móviles

2) Identificar componentes iniciales: x0, vo, a ATENCIÓN a signos de componentes

3) Sustituir componentes iniciales en las ecuaciones del movimiento USAR S.I. unidades

4) Plantear condiciones del problema y resolver ecuaciones

Un movimiento muy especial: aceleración gravedad ( g )• Aceleración debida a la atracción entre un cuerpo de masa muy grande

(planeta, estrella, galaxia, etc) y el cuerpo móvil • Dirección y sentido hacia el centro del planeta

• En la superficie terrestre g = -9‟8 j m/s2

CINEMÁTICA 10A3.10 El vector posición de un cuerpo móvil viene dado por la expresión:

(S.I.) j6)4t-(3t- i6-2t r 2

a) Explica el tipo de movimiento que sigue el cuerpo.

Tiene componentes variables x e y.x varía con el tiempo según un movimiento uniforme x = 2t -6

y varía con el tiempo según un movimiento uniformemente acelerado y = -(3t2 – 4t +6)

e) Determina la ecuación de la trayectoria.

t = (x + 6)/2 y = -[3(x + 6)2/4 – 4(x + 6)/2 + 6] =y= -3x2/4 -7x -21Ecuación que corresponde a una parábola

b) Determina las componentes iniciales

x0 = -6 m y0 = -6 mvx = 2 m/s v0y = 4 m/sax = 0 ay = -6 m/s2

c) Determina la ecuación vectorial de la velocidad

(S.I.) j4)-(-6t i2 v

d) Determina la ecuación vectorial de la aceleración (S.I.) j6- a

CINEMÁTICA 11

A3.11 El maquinista de un tren expreso que circula a 120 km/h observa a una distanciade 1800 m el furgón de cola de un tren de vapor que marcha por delante,sobre la mismavía y en el mismo sentido, con una velocidad 70 km/h. El maquinista del expreso aplicainmediatamente los frenos mientras que el mercancías continúa su marcha a velocidadconstante. Determina el valor mínimo de la aceleración para evitar la colisión.

1) Establecer punto y sistema de referencia y situar los cuerpos móviles

voA = +33,3 m/saA incognita < 0

xoB = +1800 mxoA = 0

A expreso B vaporO

A B

voB = +19,4 m/saB = 0

2) Identificar componentes iniciales: x0, vo, a ATENCIÓN signos de componentes

3) Ecuaciones movimientos xA = aA.t2/2 + 33,3.t +0

vA = aA.t + 33,3xB = 19,4.t +1800

4) Condiciones del problema y resolver ecuaciones

Límite: para evitar el choque el expreso debe alcanzar al vapor (xA = xB) con vA = vB

aA.t2/2 + 33,3.t = 19,4.t + 1800

19,4 = aA.t + 33,3 aA = -0,054 m/s2

CINEMÁTICA 12

A3.12 Lanzas una pelota hacia arriba. Al cabo de 4 s la vuelves a coger con tu manoalzada. ¿Cuál ha sido la velocidad inicial de salida? ¿Hasta que altura ha llegado?

1) Establecer punto y sistemade referencia y situarcuerpos móviles

O: posición de tu mano alzada

2) Identificar componentes iniciales: y0, voy, ay

ATENCIÓN signos de componentes

yo = 0

voy = incognita > 0ay = -9,8 m/s2

3) Ecuaciones movimientoy = -9,8.t2/2 + v0y.t +0vy = -9,8.t + voy

4) Condiciones del problema y resolver ecuaciones

Al cabo de 4 s vuelve a posición 0 0 = -9,8.42/2 + voy.4 + 0 voy = +19,6 m/s

En la altura máxima vy = 0 0 = -9,8.t + 19,6 t max alt = 2 sy = -9,8.t2/2 + 19,6.t + 0 y max alt = 19‟6 m

CINEMÁTICA 13A3.13 Desde la azotea de un edificio de 50 m de altura se lanza un objeto con unarapidez (módulo de velocidad) de 60 m/s formando un ángulo de 30º con la horizontal.a) Explica el tipo de movimiento que sigue el cuerpo.

v0x = v0.cos α =60.cos 30=60.0‟86 = 52 m/s

v0y = v0.sen α =60.sen 30=60.0‟50 = 30 m/s

a) La componente horizontal no se ve alterada y sigue unmovimiento uniforme. La componente vertical se ve afectada por lagravedad y sigue las ecuaciones del movimiento uniformementeacelerado. Como vimos en el ejercicio A3.10 la trayectoria es unaparábola

b) Determina el vector de posición y el vector velocidad

Es necesario fijar el sistema de referencia (O: por ejemplo, puntode lanzamiento) y establecer los valores iniciales:

x0 = 0 vox = vx = +52 m/s ax = 0 x = x0 + vx.t = 52.t

y0 = 0 voy = +30 m/s ay = -9,8 m/s2 y = y0 + v0y.t +a.t2/2 = 30.t – 4,9.t2

vy = v0y + ay.t = 30 - 9,8.t

=r 52.t i + (30.t -4,9.t2) j =v 52 i + (30-9,8.t) j

c) Escribe la ecuación de la trayectoria t = x/52 y = 30x/52 -4,9.x2/522

y = 0,58.x – 0,0018.x2

v0 = 60 m/s

α = 30º

d) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?

El suelo se encuentra a y = -50 m -50 = 30.ts – 4,9.ts2 La solución válida es ts = 7,5 s

e) ¿A qué distancia del edificio caerá?

Es el valor de x para t = ts = 7,5 s xs = 52.ts = 52.7,5 = 390 m

CINEMÁTICA 14

A3.14 En un tiro parabólico se denomina alcance horizontal al valor de x cuando elobjeto impacta en el suelo. ¿Cuál debe ser el ángulo de tiro para que el alcance seamáximo a una determinada velocidad de lanzamiento?.

v0

α

v0x = v0.cos α = vx

v0y = v0.sen α

y máxima para vy = 0

Alcance y = 0 (en este caso)

x = (vo.cos α).t y = (vo.sen α).t – 4,9.t2 vy = vo.sen α – 9,8.t

Punto de alcance en este caso y = 0 = (vo.sen α).t – 4,9.t2 ta = vo.sen α/4,9

xa = (vo.cos α). ta = vo2.sen α.cos α/4,9 = vo

2.sen 2α/9,8

Debes recordar relaciones básicas de trigonometría:sen(α+-β) = sen α . cos β +- cos α . sen βcos(α+-β) = cos α . cos β -+ sen α . sen β

El alcance depende de sen 2α y será máximo cuando 2α = 90º, esto es α = 45º

CINEMÁTICA 15

COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN

x

y

r1

r2

v1

v2

v1

v2 v1-

a

El vector aceleración tiene la misma dirección y sentido que v2 v1-

Hay que recordar que un vector se puede poner como suma de

otros dos llamados componentes (preferentemente cartesianas)

El vector lo vamos a desglosar en una componente con

dirección de la velocidad y en otra, , perpendicular a la

primera

aaT

aN

aT

aN

La aceleración tangencial provoca la variación del módulo de la velocidadaT

Como la velocidad es tangente a la curva, la aceleración es perpendicular a latrayectoria y se denomina componente normal de la aceleración

aN

La aceleración normal provoca la variación de la dirección de la velocidadaN

El módulo de se determina por la expresión v2/ρ, siendo v el módulo de la velocidad en el punto que estamos tratando y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto

aN

El módulo de se determina por derivación del módulo de la velocidad con respecto a t (no se hacen cálculos en este nivel)

aT

CINEMÁTICA 16

IDEAS CLARAS: un movimiento con trayectoria curva tiene al menos componente normal de aceleración (la que provoca el cambio en la dirección)

MOVIMIENTO CIRCULAR

Tomando como punto de referencia el centro de la circunferencia el módulo del vector de posición se mantiene constante (radio R)

r

rx

ry

v

θ

rx = R.cos θ ry = R.sen θ

Cuando el cuerpo se mueve θ es función del tiempo

Si la función es lineal (θ = b + c.t) el movimiento es uniformeb = ángulo inicial θ0

c = velocidad angular ω

Si la función es cuadrática (θ = b + c.t + d.t2) el movimiento es uniformemente acelerado

b = ángulo inicial θ0

c = velocidad angular inicial ω0

d = aceleración angular α/2

Recuerda que arco = ángulo . Radio(unidad ángulo S.I. = radián)

CINEMÁTICA 17

ECUACIONES ANGULARES MOVIMIENTO CIRCULAR

UNIFORME (ω constante): θ = ω.t + θ0

UNIFORMEMENTE ACELERADO (α constante): θ = αt2/2 + ω0.t + θ0

ω = α.t + ω0

Vector lineal = Vector angular x r

v = ω x r

• En el movimiento circular el vector de posición siempre es perpendicular a latrayectoria (su módulo es el radio de la circunferencia)

IDEAS CLARAS:

• Siempre existe la componente normal de la aceleración con la misma dirección que elvector de posición (sentido contrario) y cuyo módulo es v2/R. Como esta componentesiempre se dirige al centro de la circunferencia se denomina centrípeta.

• Si el movimiento es uniforme el módulo de la velocidad y el módulo de la aceleracióncentrípeta (aN) son constantes (recuerda que los vectores cambian de dirección)

r

v

ω

aN

CINEMÁTICA 18SOLUCIONES EJERCICIOS EXÁMENES

30/10/13 2.- La posición de un móvil viene dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:x = -6 y = 6 + 5.t z = 4t2 -5t + 4 (m)

a) Describe el movimiento del móvil.b) Determina la ecuación de la trayectoria. ¿Qué curva sigue el móvil?.c) Determina el módulo del vector desplazamiento entre 4 s y 7 s. ¿Este valor representa elespacio recorrido por el móvil?. Explica la respuesta.d) Expresa el vector velocidad. ¿Qué dirección tiene la velocidad a los 10 s? ¿Cuál es larapidez en ese momento?.

a) La componente x no varía por lo que el cuerpo se mueve en un plano YZ, en concreto en el plano x = - 6

b) Despejando t de una ecuación y sustituyendo en las demás tendremos:t = (y-6)/5 z = 4y2/25 -73y/25 + 394/25 , es decir, z es una parábola respecto a y

c) Los vectores de posición para t = 4s y para t = 7s tienen como componentes (-6, 26, 48) y (-6, 41, 165) por lo que elvector desplazamiento tendrá como componentes (0, 15, 117) lo que corresponde a un módulo de 118 m. El espaciorecorrido es la longitud de la trayectoria entre los tiempos 4 s y 7 s. Sólo coinciden cuando la trayectoria es recta y elcuerpo no cambia de sentido. En este caso hay trayectoria curva (parabólica).

d) El vector velocidad sólo tiene componentes (vy, vz). Las componentes de la velocidad se pueden determinarderivando las componentes espaciales o por comparación con las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado(nivel de este curso x = x0 + vx.t + ax.t2/2 vx = vox + ax.t) :

• vx es cero• vy es constante (+5 m/s)• vz es variable con voz = -5 m/s y az = 8 m/s2, es decir vz = 8.t – 5• A los 10 s la velocidad tendrá como componentes (5, 75), su dirección es arc tg 75/5 = 86º (con respecto aleje Y) y su módulo (rapidez) es 75 m/s


30/10/13 3.- Desde el borde de un acantilado sobre el mar se lanza una piedra verticalmentehacia arriba con una velocidad de 45 m/s y se observa que tarda 10 s en caer al agua. a)Escribe las ecuaciones del movimiento para la piedra. b) ¿Qué altura tiene el acantilado? c)¿Qué altura máxima alcanza la piedra respecto del nivel del mar? d) ¿Con qué velocidad llegaa la superficie del agua?

2) En segundo lugar hay que analizar componentes del movimiento y condicionesiniciales (OJO A SIGNOS). En este caso se trata de un movimiento con unasola componente vertical:

• y0 = 0• vy0 = + 45 m/s• ay = - 9’8 m/s2

1) El primer paso consiste en fijar punto de referencia y origen de tiempos: punto y momento del lanzamiento

0

3) y a) Sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuaciones generales del MUAtendremos las ecuaciones para nuestro problema:

y = 45.t -4’9.t2

vy = 45 – 9’8.t

b) y d) Las respuestas a los cálculos vendrán siempre por la información de algúnpunto de la trayectoria. La altura del acantilado es la distancia entre el punto O y elagua. En el punto del agua t = 10 s, lo que permite calcular y = -40 m y vy = -53 m/s

10 s c) En el punto de altura máxima vy = 0 (si no fuese así seguiría subiendo y no sería la alturamáxima). Esto ocurre para t = v0/g s lo que implica y máx = vo.vo/g – g.vo2/2g = v02/2g = 103 mLa pregunta es altura máxima sobre el nivel del agua = 143 m


30/10/13 4.- Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/sdesde la pared de la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota, además, es empujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal hacia la calle con aceleración de 2‟0 m/s2.a) Escribe el vector de posición de la pelota con respecto al suelo, el vector velocidad y elvector aceleración en cualquier momento.b) Calcula la distancia entre la pared y el punto de caída de la pelota.c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?.

0

50 m

20 m/s1) Fijado el punto de referencia en el suelo del edificio y teniendo encuenta que el movimiento de la pelota tiene componentes vertical yhorizontal analizamos valores iniciales:HORIZONTAL xO = 0 vxO = 0 ax = +2’0 m/s2

VERTICAL y0 = +50 m vy0 = +20 m/s ay = -9’8 m/s2

2) y a) Las ecuaciones de movimiento para las dos componentes (unidades SI):HORIZONTAL: x = t2 vx = 2’0.t ax = 2’0VERTICAL: y = 50 + 20.t -4’9t2 vy = 20 – 9’8.t ay = -9’8VECTORES: r = x.i + y.j v = vx.i + vy.j a = ax.i + ay.j

b) El punto de caida cumple y = 0 = 50 + 20.t -4’9.t2 t suelo = 5’8 s (solución -1’7 s no válida)x suelo = 5’82 = 34 m

c) La altura máxima cumple vy = 0 = 20 -9’8.t t y max = 2’0 s y max = 50 + 20.2’0 -4’9.2’02 = 70’4 m = 7’0.101 m

Un jugador de fútbol se dispone a lanzar una falta a balón parado. La barrera formada porjugadores del equipo contrario tiene una altura de 1,78 m, y está situada a 9 m del punto delanzamiento del balón. El jugador es capaz de hacer el lanzamiento con una rapidez de 25 m/s.Determina el ángulo mínimo que ha de tener el lanzamiento para poder superar la barrera.

CINEMÁTICA 21SOLUCIONES EJERCICIOS

v0

α


v0y = v0.sen α

x = (25.cos α).t y = (25.sen α).t – 4,9.t2 vy = 25.sen α – 9,8.t

A(9, 1‟78)

En el punto A xA = 9 yA = 1‟78 por lo que quedan las ecuaciones:

9 = 25.cos α . t 1‟78 = 25. sen α . t – 4‟9 . t2

La resolución del sistema de ecuaciones es una cuestión Matemática (no Física):

t = 9/25.cos α 1‟78 = 25. sen α . 9/25.cos – 4‟9 . (9/25.cos )2

1‟78 = 9.tg α – 0‟64 . 1/cos2

1‟78 = 9.tg α – 0‟64 . (1 + tg2 )1‟78 = 9m -0‟64 -0‟64m2

0‟64m2 -9m + 2‟42 = 0 m1 = 13‟8 ( = 86º) m2 = 0‟27 ( = 15º)

Explica las dos soluciones y escoge la adecuada

Desde lo alto de una azotea (de “h” metros de altura) lanzamos una piedra con una ciertarapidez inicial (Vo) y un ángulo “alfa” respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia delaire, determina la rapidez con que llega al suelo de la calle y demuestra que ese valor esindependiente del ángulo de lanzamiento.

CINEMÁTICA 22SOLUCIONES EJERCICIOS

h

0

v0α


v0y = v0.sen α

x = Vo.cos α .t y = h + Vo.sen α . t – g.t2 /2 vy = Vo.sen α – g.t

Fijado el punto de referencia y las condiciones iniciales obtenemos las ecuacionespara este movimiento:

A(x, 0) x = Vo.cos α .t 0 = h + Vo.sen α . t – g.t2/2 vy = Vo.sen α – g.t

En el punto A y = 0, por lo que en ese punto las ecuaciones quedan como:

Sería cuestión de resolver el sistema de tres ecuaciones con 3 incognitas (x, t, vy)

VA2 = VAx

2 + VAy2 = V0

2.cos2 + (V0.sen -g.t)2 = V02.cos2 + V0

2.sen2 + g2.t2 – 2 V0.sen .g.t = V02.cos2 + V0

2.sen2 + 2.g.h =VA

2 = V02 + 2.g.h

La velocidad en el punto A cumple la condición:

13-11-13 1.- Las ecuaciones paramétricas de un móvil que se mueve en el plano XY son:x = -3t2 - 8 y = 8t2 - 5t + 4 (S.I.)

a) Determina la ecuación de la trayectoria del móvil.b) Expresa los vectores posición, velocidad y aceleración en cualquier momento.c) Calcula la rapidez inicial del móvil.d) ¿A qué distancia del origen se encuentra a los 5 s?e) Determina el ángulo que forma el vector posición con el vector velocidad a los 5 s.


a) La ecuación de la trayectoria es una función y = f(x) o x = f(y). Despejamos la variable t en la ecuaciónparamétrica más sencilla y sustituimos en las demás:

3-

8 x t

3-

8 x5 -

3

52-8x- 4

3-

8 x5 -

3-

8 x8 y

2

b) Las componentes x e y nos dan el vector de posición. Para el vector velocidad necesitamos las componentes vx yvy . Estas se pueden obtener comparando las ecuaciones paramétricas dadas con la general de un movimientouniformenente acelerado para determinar las componentes iniciales (x = x0 + v0.t + at2/2). Para la componente x,v0x = 0 ax/2 = -3, por lo que vx = -6.t. Para la componente y, v0y = -5 ay/2 = 8, por lo que vy = 16.t – 5. Utilizandoderivadas se obtienen las expresiones de forma más directa.

j 4)5t -(8t i8)-(-3t jy i x r 22

j5)-(16t i6t- j v i v v yx

j16 i6- ja ia a yx

c) Es el módulo de la velocidad inicial (t = 0): m/s 5 (-5) 0 vj5- j5)-(16.0 i6.0- j v i v v 220y0x00

m/s 81 75 (-30) vj75 i30- j5)-(16.5 i6.5- j v i v v 225y5x55

d) Es el módulo del vector de posición para t= 5 s

m197 179 (-83) r j179 i83- j 4) 5.5-(8.5 i8)-(-3.5 jy i x r 225

22555

e) El producto escalar de los dos vectores nos permite determinar el ángulo que forman:

m197 179 (-83) r j179 i83- j 4) 5.5-(8.5 i8)-(-3.5 jy i x r 225

22555

197.81.cos 179.75 83.(-30)- .cos.vr .vr .vr v.r 55y5y5x5x555

Θ = 4º

13-11-13 2.-Un jugador de baloncesto se encuentra a 8‟0 m de la canasta (que está a 3‟0 msobre el suelo). Cuando tira eleva la pelota a 2‟5 m del suelo y la lanza con un ángulo de 40ºsobre la horizontal. Un jugador contrario que se encuentra a 5‟0 m de la canasta se eleva paraintentar taponar la pelota. a) ¿Con que rapidez debe lanzar la pelota para hacer canasta?b) ¿Hasta qué altura deben llegar las manos del jugador contrario para taponar el tiro?.


3‟0 m

o8‟0 m

5‟0 m

2‟5 m

40º

vox

voy

x0 = 8‟0 mv0x = -v0.cos 40 m/sax = 0

y0 = 2‟5 mv0y = v0.sen 40 m/say = -9‟8 m/s2

CONDICIONES INCIALES DE LA PELOTA(ATENCIÓN A LOS SIGNOS):

ECUACIONES MOVIMIENTO DE LA PELOTA

x = 8‟0 – v0.cos40.tvx = -v0.cos 40

y = 2‟5 + v0.sen40.t - 4‟9t2

vy = v0.sen 40 – 9‟8t

RESOLUCIÓN CUESTIONES

a) En la canasta la pelota debe tener xc = 0 yc = 3’0 m sustituyendo en las ecuaciones del movimiento0 = 8’0 – v0.cos40.tc 3’0 = 2’5 + vo.sen40.tc – 4’9tc2 v0 = 9’3 m/s

b) En el bloqueo la pelota y las manos del defensor deben tener xb = 5’05’0 = 8’0 – 9’3.cos40.tb yb = 2’5 + 9’3.sen40.tb – 4’9tb2 yb = 4’2 m

13-11-13 3.-El tejado de un edificio cuya pared mide 20 m de altura está inclinado 45º sobrela horizontal. Por el mismo cae una pelota que llega al final del alero con una velocidad de 6‟0m/s. Una persona que se encuentra en la calle a 8‟0 m del edificio ve caer la pelota y, justocuando la pelota deja el alero, corre con velocidad constante para coger la pelota a una alturade 1„5 m sobre el suelo. ¿Cuál debe ser la rapidez de la persona y a qué distancia del edificiocoge la pelota?


x0 = 0 mv0x = 6‟0.cos 45 m/sax = 0

y0 = 20 mv0y = -6‟0.sen 45 m/say = -9‟8 m/s2

CONDICIONES INCIALES PELOTA(ATENCIÓN A LOS SIGNOS):

ECUACIÓN MOVIMIENTO DE LA PERSONA: xp = 8‟0 + vp.t

RESOLUCIÓN CUESTIONES

a) En el punto de cogida yc = 1’5 m x = xp = xc

xc = 6’0.cos45.tc 1’5 = 20 – 6’0.sen45.tc – 4’9tc2 xc = 8’0 + vp.tc

NOTA: En principio desconocemos si la persona está a la izquierdao a la derecha de la trayectoria de la pelota por lo que nosabemos el sentido de su velocidad

ECUACIONES MOVIMIENTO DE LA PELOTA

x = 6‟0.cos45.tvx = 6‟0.cos 45

y = 20 – 6‟0.sen45.t - 4‟9t2

vy = -6‟0.sen 45 – 9‟8t

o

20 m

8‟0 m

45º

vox

voy

tc = 1’6 s xc = 6’6 m vp = -0’89 m/s El signo – de vp nos indica que la personaestaba a la derecha de la trayectoria

CINEMÁTICA 26

A3.36 El jugador de pelota de la figura lanza la pelotahacia la pared desde 1‟0 m de altura, con ángulo de 30ºsobre la horizontal y a 20 m de la pared. La pelota chocacuando se encuentra en el punto más alto de sutrayectoria y vuelve a la pista para caer a 15 m de lapared. Determina la velocidad de lanzamiento del jugador,la velocidad de la pelota al chocar con la pared y lavelocidad de la misma en el rebote.

A3.37 El piñón d del engranaje de la izquierda da unavuelta cada 60 s. Los piñones c y b están acoplados ygiran con la misma velocidad angular. ¿Cuál será lavelocidad angular del piñón a?.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN: Mecanismode un reloj de péndulo con pesas

A3.38 El dibujo representa un engranaje formado portres ruedas dentadas. Cada rueda está formada pordos piñones acoplados que giran con la misma velocidadangular. Queremos usar este sistema para construir unreloj de agujas de forma que la rueda 1 marque lossegundos y la rueda 3 marque los minutos. ¿Cuál debeser la relación R1/R2?

28-11-13 1.- El capitán de un barco dispara, verticalmente hacia arriba y con rapidez de 20m/s, una luz de bengala verde. Un segundo más tarde dispara otra bengala roja desde el mismopunto y en la misma dirección y sentido. Despreciando los efectos del viento: a) Determina laposición y velocidad de la bengala verde cuando la roja inicia el movimiento. b) Escribe lasecuaciones del movimiento de la bengala verde y la bengala roja desde ese instante (cuandosale la roja). c) Determina la posición y velocidad de la bengala roja, cuando la verde alcanzasu altura máxima. d) ¿En qué momento y a qué altura, con respecto al nivel de partida, secruzan ambas?


a) Al cabo de un segundo la bengala verde tiene una posición y = 0 + 20.1 -4’9.12 = 15’1 m. Éstaes la posición inicial de la bengala verde cuando sale la roja. Su velocidad en ese momento esvy = 20 – 9’8.1 = 10’2 m/s. Tomando una foto fija cuando sale R tendremos las condicionesiniciales para las dos bengalas (unidades SI):

y0R = 0 y0V = 15’1 v0R = +20 v0V = +10’2 aR = aV = -9’8

R

Vb) Las condiciones iniciales nos marcan las ecuaciones de movimiento de ambas bengalas:

yR = 20.t -4’9.t2 yV = 15’1 + 10’2.t – 4’9.t2

vR = 20 – 9’8.t vV = 10’2 – 9’8.t

c) Cuando la verde alcanza su máxima altura se cumple vV = 0. en ese momento:vV = 10’2 – 9’8.t = 0 t = 1’04 s

yR = 20.1’04 -4’9.1’042 = 15’5 m vR = 20 – 9’8.1’04 = +9’8 m/s

d) Cuando se cruzan (en este caso chocarían) yR = yV 20.t -4’9.t2 = 15’1 + 10’2.t – 4’9.t2 t = 1’5 s y = 19’2 m

Otra opción es considerar tiempos diferentes: tV = tR + 1yR = 20.tR -4’9.tR2 yV = 20.tV – 4’9.tV2 = 20.tR + 20 – 4’9(tR + 1)2 = 15’1 + 10’2.tR – 4’9.tR2

28/11/13 2.- Dos trenes marchan por la misma vía en sentidos opuestos acercándose uno alotro. El tren A va siempre a una velocidad constante de 50 km/h. El tren B originalmente sedesplaza a 70 km/h, pero cuando está a 5‟0 km de distancia de A, el maquinista percibe eltren A y aplica una aceleración en sentido contrario a su movimiento para primero frenar yluego retroceder. a) Expresa las ecuaciones del movimiento de ambos trenes desde el instanteen que B ve a A. b) Determina el valor mínimo de la aceleración para evitar el choque. c) ¿Aqué distancia se encuentra A de B en el momento que B cambia de sentido en su velocidad?


vA0 = vA0 = +50 km/h vB0 = -70 km/h

xB0 = +5‟0 km

aA = 0 +aB km/h2

a) Las condiciones iniciales nos dan las ecuaciones de movimiento de ambos trenes (unidades km y h):xA = 50.t xB = 5’0 -70.t + a.t2/2vA = 50 vB = -70 + a.t

b) La aceleración ha de permitir, al menos para que no choquen, que si llegan a tener contacto (la misma posición) lohagan con la misma velocidad

xA = xB 50.t = 5’0 -70.t + a.t2/2vA = vB 50 = -70 + a.t t = 1/12 h (300 s) a = 1.440 km/h2 = 0’11 m/s2

c) En el momento del cambio de sentido en la velocidad, vB = 0xA = 50.t xB = 5’0 -70.t + 1440.t2/2vA = 50 vB = -70 + 1440.t = 0 t = 7/144 h (175 s) xB – xA = 125/144 km = 0’87 km

28/11/13 3.- Una persona desciende en paracaídas con una rapidez de 2´0 m/s. Cuando seencuentra a 600 m de altura lanza un objeto horizontalmente con rapidez de 4´0 m/s.a) Escribe los vectores de posición, velocidad y aceleración del objeto en cualquier momentotomando como referencia el suelo. b) Dibuja la trayectoria que sigue el objeto y expresa laecuación de la trayectoria del objeto. c) Determina el ángulo que forma el vector posición conel vector velocidad a los 5´0 s. d) Calcula la posición de la persona cuando el objeto llega alsuelo. e) ¿Cuál será la rapidez y la dirección de la velocidad con la que el objeto llega al suelo?


o

600 m

vox

voy

ECUACIONES MOVIMIENTO OBJETO (UNIDADES S.I.)

x0 = 0 mv0x = + 4‟0 m/sax = 0

y0 = + 600 mv0y = -2‟0 m/say = -9‟8 m/s2

CONDICIONES INCIALES OBJETO(ATENCIÓN A LOS SIGNOS):

x = 4‟0.tvx = 4‟0

y = 600 – 2‟0.t - 4‟9t2

vy = -2‟0 – 9‟8t

a) j)4'9t-2'0t - (600 i 4'0t jy i x r 2

j9'8t) - (-2'0 i 4'0 j v i v v yx

j9'8- ja ia a yx

b) Sustituyendo en y el valor t= x/4’0 nos queda y = 600 – 0’50x – 0’31x2 , ecuación representada en el dibujo

88º- 106/4'0- tg arc

m/s 1'1.10 m/s 106'1 (-106) 4'0 v

j106 - i 4'0 j9'8.10'86) - (-2'0 i 4'0 v

222

obj

d) y e) Cuando el objeto llega al suelo yobjeto = 0 por lo que t = 10‟86 sy pers = 600 - 2‟0.t = 578 m =5‟8.102 m

º 1'7.10 173º 0'99268- cos

23.737- (-51) . 467 4. 20 cos . 51'1 . 467'4

m/s 51 m 51'1 51 4'0 v

m 4'7.10 m 467'4 467 20 r

2

22

222

c) A los 5’0 s : j 467 i20 j)4'209(5'0)- 2'0.5'0 - (600 i 4'0.5'0 r 2

j51 - i 4'0 j9'8.5'0) - (-2'0 i 4'0 v

NOTA: Dibujo no está a escala

28/11/13 4.- María tiene una bicicleta con un plato de 44 dientes y un piñón de 15 dientes,equipada con ruedas de 620 mm de diámetro. Partiendo del reposo tarda 5‟0 s en alcanzar unarapidez lineal de 25 km/h con aceleración constante para mantener movimiento uniforme desdeese momento. a) Determina la aceleración durante los 5‟0 segundos. b) ¿Cuántas vueltas danlas ruedas en ese tiempo? c) ¿Cuántas pedaladas ha tenido que dar para alcanzar la velocidadde 25 km/h? d) Explica las componentes intrínsecas de la aceleración que experimenta un puntoperiférico de las ruedas durante los 5‟0 s. e) Determina la aceleración normal de un puntoexterior de la rueda después de los 5‟0 primeros segundos.


a) El conjunto bicicleta-María acelera desde 0 a 25 km/h (6’9 m/s) en 5’0 s. Esta aceleración la produce elexterior de las ruedas de la bicicleta al girar sobre el suelo. Es decir, en esos 5’0 s el exterior de las ruedastiene una aceleración tangencial constante igual a (6’9 – 0)/5’0 = 1’4 m/s2. Esto implica una aceleración angularpara las ruedas de 1’4/0’310 = 4’5 rad/s2.

b) Las ecuaciones de movimiento para las ruedas en esos 5 s: = 0 + 0.t + .t2/2 En los 5‟0 s θ5 = 0 + 0.5‟0 + 4‟5.5‟02/2 = 56‟5 rad = 9‟0 vueltas

c) Si las ruedas han dado 9’0 vueltas en esos 5’0 s, el piñón de la rueda también ha dado 9’0 vueltas. El número devueltas del plato estará en relación inversa al tamaño (número de dientes):

plato vueltas3'1 piñón vueltas44

plato vueltas15piñón vueltas9'0

d) En los primeros 5’0 s el movimiento de un punto periférico de la rueda es circular uniformemente acelerado. Laaceleración tiene una componente tangencial de 1’4 m/s2 que hace que su velocidad lineal pase de 0’0 a 6’9 m/s enesos 5’0 s. En ese tiempo la aceleración tiene una componente normal que va aumentando conforme aumenta lavelocidad lineal de acuerdo a la expresión an = v2/R

e) A partir de 5’0 s, el movimiento es circular uniforme. La aceleración no tiene componente tangencial y lacomponente normal permanece constante an = v2/R = 6’92/0’310 = 154 m/s2 = 1’5.102 m/s2

FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACHILLERATO Ejercicios para trabajar en casa ACTIVIDAD 3: Cinemática


Página 4

CINEMÁTICA: EJERCICIOS PARA TRABAJAR EN CASA

A3.1 Señala el punto de referencia que tomarías y el número de coordenadas que serían necesarias para

localizar:

a) Un coche que se desplaza por la Autovía de Andalucía.

b) Un caracol que se mueve por el suelo.

c) Un avión volando.

d) Un tren en movimiento.

e) Un cuerpo que se deja caer desde 100 m de altura.

f) Un péndulo oscilando.

A3.2 El vector posición de un cuerpo móvil viene dado por las coordenadas (2, -5 + t2, 3t) expresadas en

metros.

a) ¿Es un movimiento plano? En caso afirmativo señala el plano del movimiento.

b) Determina la posición inicial del móvil.

c) Calcula el desplazamiento que experimenta entre los 4 y 7 segundos.

d) ¿A qué distancia del origen se encuentra a los 5 s?.

e) Determina las ecuaciones de la trayectoria.

A3.3 Un cuerpo sigue un movimiento circular.

a) ¿Dónde fijarías el origen de coordenadas?

b) Expresa las componentes x e y en función del radio del círculo y del ángulo director θ.

A3.4 Las ecuaciones paramétricas de un movimiento son x = 2t, y = -t3 -2t, z= -5t2 (S.I.)

a) Determina el vector posición inicial y la distancia al origen en ese momento.

b) Expresa un vector unitario en la dirección del vector de posición para t = 1 s.

c) Calcula el vector desplazamiento entre 0 y 3 segundos.

d) Determina las ecuaciones de la trayectoria.

e) Calcula las componentes y, z para x = 10 m.

A3.5 Un cuerpo sigue un movimiento plano de manera que la ecuación de su trayectoria es y = 3x2 - 4. La

coordenada x varía con el tiempo según la ecuación x = 3t +5. Determina el vector de posición del cuerpo en

cualquier instante.

A3.6 El vector de posición de un cuerpo que se mueve en un plano tiene como componentes (2t2 - 5, 6-t).

Determina la ecuación de la trayectoria que sigue. ¿Es un movimiento rectilíneo?.

A3.7 La posición de un tranvía viene dada por la componente x = 2t2 - 4t + 2.

a) ¿Cuál es la posición inicial del tranvía?

b) ¿Dónde se encuentra a los 5 s?

c) ¿Podemos obtener información sobre la trayectoria que sigue el tranvía? Explica la respuesta.

d) Representa la gráfica posición/tiempo.

A3.8 Las componentes del vector de posición de un cuerpo son (2cos0,1πt, 2sen0,1πt) (ángulos medidos en

radianes).

a) ¿Qué valores pueden tomar las componentes de dicho vector?

b) Determina el módulo del vector. ¿Varía el módulo con el tiempo?

c) Representa la gráfica x/t, la gráfica y/t y la gráfica x/y. ¿Cuál de ellas representa la trayectoria

seguida por el cuerpo?

d) ¿Cuál es el vector de posición inicial?

e) ¿Cuál es el vector de posición a los 5 s?

f) Calcula el desplazamiento efectuado en esos 5 s y el espacio recorrido en dicho tiempo.



Página 5

A3.9 Desde la azotea de un edificio cae un objeto que tarda 0,30 s en pasar por una ventana que mide 3,0

m de alta. Calcula la distancia que hay desde la azotea a la parte superior de la ventana.

A3.10 Desde la cornisa de un edificio lanzamos verticalmente y hacia arriba un cuerpo con una rapidez de 10

m/s de forma que el cuerpo tarda 4,5 s en llegar al suelo. Determina la altura del edificio.

A3.11 Una persona situada a 60 m sobre el suelo ve subir, pasando delante de él, un cuerpo lanzado desde

abajo. Ocho segundos después lo ve bajar por el mismo punto. ¿Con qué velocidad fue lanzado el cuerpo?

A3.12 Un ascensor va subiendo con una velocidad constante de 2'0 m/s cuando se cae la lámpara del techo.

Razona si el tiempo que tarda la lámpara en impactar con el suelo del ascensor es mayor, menor o igual que el

tiempo que tardaría si el ascensor estuviese en reposo.

A3.13 Desde lo alto de un edificio de 60 m de altura se deja caer un cuerpo. Dos segundos más tarde se

lanza desde el mismo punto otro cuerpo hacia abajo con rapidez inicial de 2,0 m/s. ¿Cuál de los dos cuerpos

llegará antes al suelo?

A3.14 ¿A qué velocidad hay que lanzar un objeto para que llegue a alcanzar una altura de 100 m si el ángulo

de lanzamiento es 60º?

A3.15 Se patea un balón de fútbol con una velocidad inicial de 20 m/s y un ángulo de 35º. Despreciando los

efectos del viento (que influyen de manera notable) y del rozamiento con el aire, calcula:

a) Altura máxima a la que llega el balón.

b) Tiempo que tarda en alcanzar esa altura.

c) Alcance del balón.

d) Velocidad del balón a los 3 segundos de la salida.

A3.16 El arquero de la figura lanza la flecha con un ángulo de

45º. ¿Cuál debe ser la velocidad con la que debe lanzarla para

dar en una diana que hay en el centro de la azotea del edificio

de la derecha? ¿Cuánto tiempo tardará la flecha en alcanzar la

diana? ¿Cuál será la rapidez con la que llega?

A3.17 Un avión que vuela a 1000 m de altura y con rapidez

constante horizontal de 800 km/h debe soltar una carga para que

caiga en un punto determinado. ¿A qué distancia horizontal del

objetivo debe soltar la carga?

A3.18 Dibuja las componentes intrínsecas de la aceleración para un movimiento circular uniformemente

acelerado de frenada. Dibuja el vector aceleración.

A3.19 Señala el tipo de movimiento que sigue un cuerpo cuando:

a) Tiene sólo aceleración tangencial.

b) Tiene sólo aceleración normal.

c) No tiene ni aceleración normal ni aceleración tangencial.

d) Tiene las dos componentes.

A3.20 En el movimiento circular uniforme se define el periodo T como el tiempo que tarda el cuerpo en dar

una vuelta completa y la frecuencia f como el número de vueltas que da en un segundo. Expresa la rapidez

angular en función de T y de f.



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A3.21 El rotor de un motor debe alcanzar una rapidez angular de 2000 rpm (revoluciones por minutos =

vueltas por minuto) desde el reposo en 5 s. Determina la aceleración angular. ¿Cuántas vueltas ha dado en

ese tiempo?

A3.22 Un disco plano de 20 m de radio gira a razón de 20 rpm. Determina la rapidez lineal y la aceleración

centrípeta de un punto situado a:

a) en el centro b) a 10 m del centro c) en la periferia

A3.23 Dos poleas, de 40 y 15 cm de radio respectivamente, se encuentran girando por medio de una correa

de transmisión con rapidez constante. ¿Qué magnitud tienen en común la correa y los puntos de contacto de

ésta con las poleas? Determina la rapidez angular de cada polea.

A3.24 En 1994 el ciclista Miguel Induráin batió el record de velocidad en una hora con una bicicleta que

tenía un plato de 59 dientes, un piñón de 14 dientes y una rueda trasera de 671 mm de diámetro. El record

se estableció en 53,04 km/h. ¿Cuál fue la cadencia de pedaleo? (pedaladas por minuto).

A3.25 Determina la rapidez angular de las agujas horaria y minutero de un

reloj tradicional. ¿Cuándo coinciden ambas agujas?

A3.26 La rueda grande del sistema de poleas acopladas de la figura gira a

razón de 40 rpm. Determina la rapidez angular de la rueda pequeña.

A3.27 La Estación Espacial Internacional orbita la Tierra a una altura de 300

km y con periodo de 90 minutos. Determina la rapidez angular y la lineal. ¿Qué

aceleración centrípeta experimentan los cuerpos situados en dicha estación? (Radio terrestre = 6.370 km)

A3.28 Un CD-ROM de 6 cm de radio gira a 2.500 rpm. Si tarda 10 s en pararse determina:

a) Módulo de la aceleración angular de frenado.

b) Velocidad angular a los 5 s.

c) Vueltas que da hasta pararse.

A3.29 Un coche con ruedas de 30 cm de radio acelera de 0 a 100 km/h en 6 s de manera uniforme.

Determina:

a) Dibuja un esquema de una rueda con los vectores de aceleración existentes y explica cómo varían.

b) Módulo de la aceleración angular de las ruedas.

c) Módulo de la aceleración tangencial.

d) Vueltas que dan las ruedas en los 6 s.

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 5: Cálculo vectorial - 1 -

TEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL

5.1 Vectores 5.2 Sistemas de referencia. Coordenadas. Componentes de un vector. 5.3 Operaciones con vectores: Suma, producto por un número. Módulo de un vector. 5.4 Vectores unitarios. 5.5 Producto escalar. Ángulo que forman dos vectores. 5.6 Descomposición de vectores en sus componentes.

5.1 VECTORES

La Física (y cualquier disciplina científica en general), se encarga de estudiar aquellas características o

propiedades de los cuerpos que pueden ser medidas. Es decir, estudia magnitudes físicas. Existen dos tipos de magnitudes físicas: Magnitudes escalares: Para indicar su valor basta con indicar un número y la unidad correspondiente. Ejemplos

de estas magnitudes: Masa, Tiempo, Volumen, Temperatura, Densidad... Magnitudes vectoriales: Para indicar su valor no basta con indicar un número y una unidad (módulo), habrá que

dar información sobre en qué dirección va, y en qué sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales: Velocidad, Fuerza, Aceleración...

Sobre estas magnitudes vectoriales centraremos nuestro estudio en este tema. VECTORES: un vector es la representación matemática de una magnitud

vectorial. Consiste en un segmento orientado, que contiene toda la información sobre la magnitud que estamos midiendo. Se representa por ar .

Partes del vector: - Módulo: ( aoar ) : Longitud del segmento

- Dirección: La de la recta en la que se encuentra el vector (recta soporte). - Sentido: Viene dado por la flecha. Dentro de la dirección, será + ó - , dependiendo del

criterio que hayamos escogido en un principio. OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES:

Suma: La suma de dos o más vectores es otro vector basrrr

+=


Opuesto de un vector: El opuesto del vector ar es el vector ar− , un vector con el mismo módulo y

dirección que ar , pero en sentido contrario. Producto de un vector por un número real: Al multiplicar un vector ar por un número real k, el resultado

es otro vector cr con las siguientes características:

Módulo: akcc ⋅==r

Dirección: la de ar Sentido: Igual que ar si k > 0

Contrario que ar si k < 0

Vector unitario: Se dice que un vector es unitario cuando su módulo es 1. Se usa para indicar dirección y sentido.

Supongamos un vector a cualquiera. Podemos obtener un vector unitario en su misma dirección y

sentido, dividiendo el vector ar por su módulo. 5.2 SISTEMAS DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN PUNTO. COMPONENTES DE UN

VECTOR. Siempre que queramos localizar un objeto, debemos indicar su posición respecto a algo que consideremos fijo. En una dimensión, basta con indicar la distancia a un punto que elijamos (punto de referencia). En el ejemplo de

la figura, podemos indicar la posición del coche respecto al árbol. En dos dimensiones, en el plano, que es la parte que estudiaremos en el presente curso, necesitamos indicar dos

distancias a dos rectas que habremos fijado. Este conjunto de dos rectas se denomina sistema de referencia. Sistema de referencia: Está formado, como ya hemos dicho, por dos direcciones

(dos rectas) que hemos fijado en el plano. Para mayor facilidad en los cálculos, estas dos rectas siempre serán perpendiculares. Reciben el nombre de ejes coordenados ( eje x , eje y ).

Llevan incorporado un sentido, indicando con + y -. Cada dirección de los ejes coordenados viene indicada por un vector unitario:

En dirección x: ir

En dirección y: jr

Estos vectores unitarios indican además el sentido positivo de los ejes. El punto de corte de los ejes coordenados se denomina Origen de coordenadas ( O ). La posición de cualquier

punto del plano se referirá respecto a ese punto.

COORDENADAS DE UN PUNTO P:

Para localizar un punto del plano, basta con indicar las coordenadas, las distancias a los ejes coordenados.

Coordenada x: distancia medida sobre el eje x. Coordenada y: distancia medida sobre el eje y Las coordenadas se colocan entre paréntesis, separadas por comas: P: ( xP , yP )

Nota: La tercera dimensión. En este curso sólo trataremos problemas en el plano, en dos dimensiones. En el espacio existe una tercera dimensión, a la que corresponde el eje z, perpendicular al x y al y. El vector unitario

correspondiente al eje z es el kr

.

aaua r

rr

=

+

+

+

+


COMPONENTES DE UN VECTOR:

También un vector puede ponerse en función del sistema de referencia. Se puede expresar el vector como las coordenadas de su extremo. ax y ay se denominan componentes del vector ar . (Esas componentes nos vienen a indicar cuánto hay que avanzar o retroceder

desde el origen para llegar hasta el extremo) (Para un vector que no empiece en el origen, nos indicaría qué cantidad tendremos que sumar a cada

coordenada del origen del vector, para obtener las coordenadas del extremo.)

Existe otra forma de expresar el valor de un vector, y es en función de los vectores unitarios ir

, jr

Como puede verse en la figura, el vector ar es igual a la suma de los vectores xar y yar

ar= xar + yar

Ahora bien, xar = ax · ir

yar = ay · jr

Por lo tanto ar = ax ir

+ ay jr

Es decir, sabiendo las componentes ax y ay , tenemos dos formas de expresar

el valor del vector: - Poner las componentes entre paréntesis ( ax , ay ) - Poner la suma de las componentes, cada una acompañada de su vector unitario. ar = ax i

r + ay j

r

5.3 OPERACIONES CON VECTORES.

Una vez conocido el concepto de componente de un vector, ya tenemos una herramienta para poder realizar numéricamente operaciones con vectores.

Supondremos dos vectores: ar = ax ir

+ ay jr

; br

= bx ir

+ by jr

Suma de vectores: sr = ar + br

= (ax ir

+ ay jr

) + (bx ir

+ by jr

) = ( ax + bx ) ir

+ ( ay + by ) jr

Se suman las componentes x por un lado y las componentes y por el otro. Para restar, la operación es idéntica.

Producto de un vector por un número real: cr = k · ar k ∈ R

cr = k · ax ir

+ k · ay jr

De otra forma cr= ( k · ax , k · ay )

La división es un caso particular de producto. Dividir por k es lo mismo que multiplicar por 1/ k.

Módulo de un vector: Recordemos que indicaba el valor numérico de la

magnitud y se correspondía con la longitud del vector.

En el plano, se calcula fácilmente a partir del teorema de Pitágoras.

La raíz que se toma siempre es la positiva, ya que el módulo de un vector debe ser positivo siempre.

Vector que une dos puntos: PQ = ( Qx - Px ) ir

+ (Qy - Py ) jr

),( yx aaa =r

22yx aaaa +==

r

+

+

+

+

+

+

+

+


5.4 VECTORES UNITARIOS

Ya vimos que un vector unitario es un vector de módulo 1. Nos indica una dirección y un sentido determinados. El vector unitario correspondiente a un vector ar dado será un vector que mantendrá la misma dirección y

sentido que ar , pero que tendrá módulo 1. Recordamos que se calculaba con A partir de lo anterior, podemos dejar el vector a de esta manera: De esta forma tendremos separados el módulo del vector por un lado, y la dirección y sentido por otro, lo cual

puede ser muy interesante en algunas situaciones.

5.5 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES.

El producto entre dos vectores es muy diferente del producto que conocemos para números. Para comenzar, existen dos tipos de producto entre vectores:

- Escalar: El resultado de la operación es un número (un escalar) - Vectorial: El resultado de la operación es un vector. En este curso estudiaremos el producto escalar.

Esta operación se representa mediante un punto ar · br

= k , k ∈ R

El producto escalar se calcula como ar · br

= a · b · cos α donde α es el ángulo que forman los vectores a y b (se coge el menor ángulo) El producto escalar de dos vectores puede ser:

Positivo ( > 0 ): Si α < 90º Nulo (= 0 ) : Si α = 90º (condición de perpendicularidad) Negativo ( < 0 ): Si α > 90º

También puede calcularse el producto escalar usando las componentes de los vectores. Sabiendo que:

ar = ax ir

+ ay jr

; br

= bx ir

+ by jr

ar · br

= (ax ir

+ ay jr

) · (bx ir

+ by jr

) = ax · bx · ir

· ir

+ ax· by· ir

· jr

+ ay · bx· jr

· ir

+ ay · by · jr

· jr

=

= ax · bx + ay · by puesto que ir

· ir

= 1 ; jr

· jr

= 1 ; ir

· jr

= 0 ; jr

· ir

= 0 Ángulo entre dos vectores: Con lo visto anteriormente, podemos calcular fácilmente el ángulo que forman dos

vectores ar y br

, mediante su producto escalar, ya que en la expresión aparece el coseno de dicho ángulo.

Condición de perpendicularidad: dos vectores ar y br

son perpendiculares si y sólo si ar · br

= 0

Condición de paralelismo: dos vectores ar y br

son paralelos si y sólo si sus componentes x e y son proporcionales

22yx

yxa

aa

jaiaaau

+

⋅+⋅==

rr

r

rr

auaa rrr⋅=

αcosbaba ⋅⋅=⋅rr

yyxx bababa ⋅+⋅=⋅rr

αcos⋅⋅=⋅ babarr

yyxx bababa ⋅+⋅=⋅rr

bababa yyxx

⋅

⋅+⋅=αcos

y

x

y

x

bb

aa

=


5.6 DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES EN SUS COMPONENTES.

Las cuestiones que nos planteamos a continuación son las siguientes: - Conociendo las componentes de un vector: ¿Podemos conocer su módulo y orientación? - Conociendo el módulo de un vector y el ángulo que forma con alguno de los ejes coordenados ¿Podemos conocer sus componentes?

Partiendo de las componentes: Descomposición (A partir del módulo y el ángulo, obtener las componentes)

Además, hay que tener en cuenta los signos de cada componente (eso nos lo da el dibujo y el criterio de signos)

EJERCICIOS:

1. Dados los vectores ar = 4 ir

- 3 jr

, br

= ( 0, 2 ). Calcular:

1) ar + br

2) - ar 3) - br

4) 2 ar 5) -7 br

6) ar - br

7) 2 ar - 3 br

8) | ar | 9) |br

| 10) |br

- ar | 11) |3 br

| 12) aur

13) bur 14) ar · br

15) br

· ar 16) 2 ar · (-br

) 17) Ángulo entre ar y br

2. Dados los siguientes puntos del espacio: P: ( 2 , -1 ) y Q: ( -1 , 3 ) , calcular:

1) ar = OP 2) br

= OQ 3) →

c = PQ 4) →

d = QP 5) ar + br

6) cr - 2 dr

7) 3 ar 8) | cr | 9) ar · br

10) cr · 3 br

11) cur 12) aur

13) ar · (br

· cr ) 14) ( ar · br

) · cr 15) ar · (br

+ cr ) 16) Ángulo entre cr y dr

3. De las siguientes parejas de vectores: ¿cuáles son perpendiculares entre sí y cuáles no?

1) ar = (-1 , 3) ; br

= (2 , 2/3) 2) cr = ir

+ 2 jr

; dr

= - 2 ir

- jr

4. Calcular m para que los vectores sean perpendiculares:

1) ar = m ir

+ 4 jr

; →

b = - ir

+ m jr

2) cr = (m , 3) ; dr

= (-1 , 2) 5. Calcular m para que los vectores sean paralelos:

1) ar = (m , -2) ; br

= (3 , 6) 2) cr = - ir

+ m jr

; dr

= - m ir

+ 4 jr

22yx aaaa +==

r

aax=αcos

x

y

aa

=αtga

a y=αsen

αα

sencos⋅=⋅=

aaaa

y

x

αα

cossen⋅=⋅=

aaaa

y

x

+

+

+

+

+

+


6. Descomponer estos vectores en sus componentes:

7. Calcular el módulo y los ángulos que forman estos vectores con los ejes coordenados:

ar = 2 ir

+ 3 jr

br

= - ir

+ 2 jr

cr = 3 ir

- 4 jr

dr

= - jr

8. a) Dado el vector ar= ir

- 2 jr

, calcula un vector br

que sea perpendicular a ar , y que además sea unitario.

b) Lo mismo del apartado anterior con el vector ar = ( 0 , -1 ). 9. Calcula numéricamente el vector suma en las siguientes situaciones:

10. a) ¿Qué conclusión podemos extraer del hecho de que ar · br

< 0 ? b) "Dos vectores paralelos en el mismo sentido tendrán el mismo vector unitario" ¿Verdadero o falso? c) "El producto escalar de dos vectores da como resultado otro vector". ¿Verdadero o falso? d) "Al multiplicar un vector por un escalar, da como resultado un vector". ¿Verdadero o falso?

e) ¿Corresponden estas dos expresiones al mismo vector? ar = ( 1 , 2 ) ; ar = jr

+ 2 ir

? f) "Sabiendo únicamente el módulo, podemos saber sus componentes" ¿Verdadero o falso? SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS: 1. 1) ( 4 , -1 ) 2) ( -4 , 3 ) 3) ( 0 , -2 ) 4) ( 8 , -6 ) 5) ( 0 , -14 ) 6) ( 4 , -5 )

7) ( 8 , -12 ) 8) 5 9) 2 10) 11) 6 12) (4/5 , -3/5)

13) jr

14) - 6 15) - 6 16) 12 17) 126,87º

2. 1) (2 , -1) 2) ( -1 , 3 ) 3) ( -3 , 4 ) 4) ( 3 , -4 ) 5) ( 1 , 2 ) 6) ( -9 . 12 )

7) (6 , -3) 8) 5 9) - 5 10) 45 11) (-3/5 , 4/5) 12)

13) (30 , -15) 14) (15 , -20) 15) - 15 16) 180º

3. La primera sí, la segunda no. 4. 1) m = 0 ; 2) m = 6 5. 1) m = -1 ; 2) m = 2

6. 1) 17,32 ir

+ 10 jr

2) 7,07 ir

+ 7,07 jr

3) 5 ir

+ 8,66 jr

4) -17,32 ir

+ 10 jr

5) -14,14 ir

- 14,14 jr

7. 1) a = 13 α = 56,3º con eje x 2) 5b = α = 116,56º con eje x

3) c = 5 α = - 53,13º con eje x 4) d = 1 α = 270º con eje x

8. a) br

= también ; b) br

= ir

(también el - ir

) 9. (La solución depende del sistema de referencia y el criterio de signos escogido)

20 20

20

1010

30º 30º 45º 45º 30º

41

−

51,

52

51,

52

−−

51,

52

2

3

3

211

2

2

+

+

+

+

+

+

+

++

+

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 6: Descripción del movimiento - 1 -

TEMA 6: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

6.1 Concepto de movimiento. Sistema de referencia. Vector de posición de una partícula. Vector desplazamiento.

6.2 Velocidad media e instantánea. 6.3 Aceleración. Componentes intrínsecas de la aceleración. 6.4 Clasificación de movimientos según los valores de aceleración y sus componentes. 6.5 Estudio de algunos movimientos: uniforme, uniformemente acelerado, circular.

6.1. CONCEPTO DE MOVIMIENTO. SISTEMA DE REFERENCIA. VECTOR DE POSICIÓN DE

UNA PARTÍCULA. VECTOR DESPLAZAMIENTO. 6.1.1. Concepto de movimiento.

Cuando viajamos en un avión, sentados en nuestra plaza, creemos que estamos en reposo y no dudaríamos en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en movimiento. Pero, ¿Estamos realmente en reposo, o nos movemos junto con el avión? ¿Está realmente en reposo la mesa sobre la que apoyas estos apuntes? En definitiva, la pregunta que nos planteamos es: ¿cuándo podemos afirmar que un objeto se mueve?

Un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo. Así, según donde esté situado el sistema de referencia (donde esté el observador que estudia el movimiento) mediremos un movimiento u otro, o no mediremos movimiento alguno.

Los movimientos, entonces, son siempre relativos, pues para un observador en la Tierra un edificio sería un objeto carente de movimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio tendrá un movimiento de rotación y otro de traslación. Por eso hablamos de movimiento relativo, dependiendo de la ubicación del sistema de referencia.

El sistema de referencia (punto O, ejes coordenados, criterio de signos) es elegido por el observador, la

persona que estudia el movimiento. Una vez elegido, debe mantenerse. No puede cambiarse durante la resolución del problema.

Punto material: En nuestro estudio del movimiento consideraremos que el objeto móvil es una partícula,

un punto material que representa al objeto (bola, coche, avión, electrón…) y que concentra toda su masa. 6.1.2. Posición. Trayectoria. Ecuación de movimiento. Vector desplazamiento. Posición ( rr ): Lugar que ocupa el móvil en un instante determinado.

- La posición se indica con las coordenadas del punto en el que está situado el móvil, medidas respecto al sistema de referencia escogido. O lo que es lo mismo, con las componentes del vector rr , que va desde el punto O hasta el punto en que está la partícula. - Lógicamente, la posición de un móvil dependerá del sistema de referencia escogido.

En este curso estudiaremos movimientos en dos dimensiones. Nuestro

sistema de referencia está formado por los ejes coordenados x e y, a los que

corresponden los vectores unitarios ir

y jr

. En todos los problemas es obligatorio dibujar claramente el sistema de referencia con el criterio de signos. El desplazamiento será el segmento o vector que une los puntos inicial y final. También se calcula restando las posiciones (final menos inicial). Para ello restamos las coordenadas x e y por separado.

Así, el vector de posición rr se expresará jyixrrrr

+=

Nota: (En el espacio (3 dimensiones), existiría una componente más, de modo que kzjyixrrrrr

++= . Todas las magnitudes vectoriales tendrían tres componentes)

En el Sistema Internacional de unidades (S.I.), las coordenadas están dadas en metros (m).

rr

ir

jr

rr


Trayectoria: Es la línea formada por la unión de los puntos que sigue el móvil en su recorrido. Según la forma de la trayectoria, tendremos movimientos: - Rectilíneos.

- Curvilíneos.

Ecuación de movimiento: Al transcurrir el tiempo, el móvil va pasando por los distintos puntos de la trayectoria. A cada valor de t, corresponde una posición. Es decir, la posición rr del móvil depende del tiempo. A la expresión de la posición en función del tiempo )(trr se le denomina ecuación de movimiento de la partícula. Al sustituir en ella un valor de tiempo, obtenemos las coordenadas del punto en el que se encuentra el móvil en ese instante. Cada movimiento tiene su propia ecuación de movimiento. Posición inicial: 00 )( rtr rr

= Posición en el instante en que empezamos a contar el movimiento. Normalmente

consideraremos t0 = 0 s., pero puede ser cualquier otro valor de tiempo. Vector desplazamiento ( rr∆ ): Vector que une dos puntos de la trayectoria.

Va desde la posición considerada inicial hasta la posición final. Se calcula como la diferencia entre las dos posiciones (siempre la final menos la inicial).

0rrr rrr−=∆

Diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida: Vemos que rr∆

mide el desplazamiento en línea recta. El módulo del desplazamiento

( rr∆ ) sólo nos indica la distancia en línea recta desde el punto inicial hasta el punto final. La distancia

recorrida ( s ) se mide sobre la trayectoria.

Los valores de rr∆ y s sólo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea.

6.2. VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA.

Todo movimiento supone un cambio en la posición del móvil. Pero este cambio puede ser más rápido o más lento. La velocidad mide la rapidez de ese cambio. Es decir, la velocidad mide cómo cambia la posición de un móvil con el tiempo.

6.2.1. Velocidad media:

Mide el cambio de posición en un intervalo de tiempo.

0

0m tt

rrtrv

−−

==rrr

r

∆∆

Unidades: En el S.I. [vm]= m/s = m·s-1 Otras unidades: km/h, nudos (millas marinas/h) Del mismo modo que el vector desplazamiento, la velocidad media

sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes. Sólo nos da información sobre el promedio de velocidad en el intervalo. NO nos dice cómo se mueve en un instante concreto. 6.2.2 Velocidad instantánea ( vr ): Indica cómo varía la posición del móvil en cada instante.

Hemos visto que la velocidad media no nos da información sobre cómo se mueve la partícula en un instante concreto. Pero si calculamos la velocidad media en un intervalo corto de tiempo, la información del movimiento resulta más precisa. Cuanto más corto sea el tiempo que dejemos pasar, más se aproximará la velocidad media a la velocidad que lleva el móvil en el instante que estamos estudiando (velocidad instantánea).

rr0rr

rr0rr rr∆

rr0rr rr∆

mvr


Matemáticamente, esta operación se calcula mediante un paso al límite. trvv lim

0tmlim

0t ∆∆

∆∆

rrr

→→ ==

Esta operación se denomina derivada (en este caso “derivada de la posición respecto al tiempo”).

dtrdv

dtrd

trvv lim

0tmlim

0t

rr

rrrr

=→=== →→ ∆∆

∆∆

Nota: Derivada de una función. dt

)t(fd

La derivada respecto al tiempo de una función nos indica cómo cambia esa función respecto al tiempo. Es una operación que tiene sus propias reglas de cálculo, de las que sólo vamos a ver brevemente las que nos interesan).

Teniendo en cuenta que el vector de posición tiene dos componentes rr (t) = x (t) ir

+ y (t) jr

, la velocidad también tendrá dos componentes.

jvivjdtdyi

dtdx

dtrdv yx

rrrrrr

+=+==

Recordemos que la velocidad es una magnitud vectorial.

- Su módulo ( vv =r

) se denomina rapidez. Se mide en m/s.

- Su dirección y sentido nos indican hacia dónde se mueve la partícula en ese momento. El vector velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto. 6.3. ACELERACIÓN. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN. Introducción: Supongamos un movimiento en el que la velocidad se mantiene constante en todo momento. Eso significa

- Que recorre los mismos metros en cada segundo (rapidez constante) - Que la dirección y sentido del movimiento se mantienen constantes, no cambian. Su trayectoria es recta.

No podemos olvidar este segundo aspecto de la velocidad. Un automóvil que toma una curva manteniendo su rapidez a 60 km/h, NO lleva velocidad constante, ya que hay algo que cambia en la velocidad: su dirección. Para estudiar los cambios en la velocidad (ya sea en módulo o en dirección) usamos una magnitud vectorial: la aceleración. Nota: Es importante tener en cuenta que el concepto de aceleración no tiene por qué significar que el movimiento sea más rápido. Puede ser también un frenado, o puede que la rapidez sea constante y cambie la dirección. 6.3.1 Aceleración media: ( mar )

Mide el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo . 0

0m tt

vvtva

−−

==rrr

r

∆∆

Unidades: En el S.I. [am]= m/s2 = m·s-2 Al igual que en el caso de la velocidad, la aceleración media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final,

independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes.

Función: f(t) Derivada: df(t)/ dt a = cte 0

t 1 a·t a

a·t n a·n·t n-1

)t(f f(t)2 df/dt

f(t) ± g(t) df/dt ± dg/dt

vr vr

vr


6.3.2 Aceleración instantánea ( ar ): Indica cómo cambia la velocidad del móvil en un instante determinado. Al igual que en el caso de la velocidad instantánea, se calcula mediante un paso al límite.

dtvda

dtvd

tvaa lim

0tmlim

0t

rr

rrrr

=→=== →→ ∆∆

∆∆

Es decir, la aceleración mide cómo cambia la velocidad de móvil en cada instante, ya sea porque cambia su módulo (rapidez) o su dirección. Se mide en las mismas unidades que la aceleración media. [am]= m/s2 = m·s-2 Por ejemplo, si el módulo de una aceleración es de 2 m/s2, significa que su rapidez cambia en 2 m/s por cada segundo de tiempo que pasa. La aceleración NO nos dice nada sobre distancia recorrida Importante: Es preciso tener muy claro que la aceleración NO nos dice cómo se mueve la partícula ni hacia dónde se mueve. Eso es la velocidad. La aceleración nos informa de si la velocidad cambia, de qué modo y hacia dónde está cambiando. El vector aceleración tiene componentes cartesianas x e y.

jaiajdt

dvi

dtdv

dtvda yx

yxrrrrr

r+=+==

6.3.3 Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial ( tar ) y normal ( nar )

Cuando en un movimiento cambia la velocidad, puede ser que cambie su rapidez, su dirección, o ambas cosas. Podemos estudiar estos cambios por separado, descomponiendo la aceleración como la suma de dos componentes distintas de las cartesianas, denominadas componentes intrínsecas : - Aceleración tangencial ( tar ):

- Lleva la misma dirección del vector velocidad (puede ir en el mismo sentido o en el opuesto). NO modifica la dirección del movimiento.

- Modifica la rapidez (el módulo de la velocidad). Hace que el movimiento sea más rápido o más lento. Si el sentido de tar coincide con el de vr aumenta la rapidez

Si el sentido de tar es el opuesto al de vr disminuye la rapidez

En módulo, se calcula con dt

vdat

r

=

Por ejemplo, al pisar el acelerador o el freno de un coche originamos una aceleración tangencial. Varía la rapidez, pero no cambia la dirección.

- Aceleración normal (o centrípeta) ( nar ):

- Lleva dirección perpendicular (=normal) a la velocidad. Modifica la dirección del movimiento, indicando hacia dónde se desvía. Apunta hacia el centro de la curva.

- NO modifica la rapidez (el módulo de la velocidad).

En módulo, se calcula con Rva

2

n = donde R es el radio de la curva que describe en ese momento

Por ejemplo, al girar el volante del coche originamos una aceleración normal, que hace variar la dirección del movimiento.

La suma de ambas componentes es, lógicamente, el vector aceleración:

nt aaa rrr+= en módulo

2n

2t

2 aaa +=


6.4 CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTOS: Existen múltiples clasificaciones posibles para los movimientos. Veremos dos de ellas. Según los valores de ar y vr : - ar= 0 vr= cte= 0. Estado de reposo.

vr= cte ≠ 0. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): - ar=cte ≠ 0 Movimiento uniformemente acelerado (MUA)

- Si 0vr y ar van en la misma dirección Trayectoria recta (MRUA)

- Si 0vr y ar tienen direcciones distintas Trayectoria curva Movimiento

parabólico - ar ≠ cte Movimiento variado. Según los valores de tar y nar :

- tar = 0 Rapidez constante. Movimiento uniforme (no tiene por qué ser rectilíneo)

- tar = 0 y nar = cte v = cte, R = cte Movimiento circular uniforme (MCU)

- nar = 0 Trayectoria recta Movimiento rectilíneo (no tiene por qué ser uniforme).

- tar y nar variables Movimiento variado.

6.5 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU): Este tipo de movimiento se caracteriza por una velocidad constante en módulo, dirección y sentido. Por tanto: Su aceleración es nula ( ar= 0 ) Su rapidez es constante (recorre la misma distancia en cada segundo) Su trayectoria es rectilínea (al ser constante la dirección de la velocidad en todo momento). Ecuación del MRU: Sabiendo que el vector velocidad se mantiene constante ( vr =cte)

)tt(vrr)tt(vrrttrrv 00000

0 −⋅+=→−⋅=−→−−

=rrrrrr

rrr

Si t0 = 0 tvrr 0 ⋅+=rrr

6.6 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MUA): Este tipo de movimiento se caracteriza porque posee aceleración constante en módulo, dirección y sentido.( ar= cte) La velocidad (vector) varía a ritmo constante.

La rapidez del movimiento ( v ) varía, aumentando o disminuyendo.

La trayectoria que sigue depende de las direcciones de 0vr y ar :

Si 0vr =0 Trayectoria rectilínea

Si 0vr y ar van en la misma dirección (son paralelos) Trayectoria rectilínea

Si 0vr y ar van en direcciones distintas Trayectoria curvilínea (parabólica)

Ecuaciones del M.U.A: Ecuación de la velocidad: Sabiendo que ar =cte:

)tt(avvttvva 000

0 −⋅+=→−−

=rrr

rrr

Si t0 = 0 tavv 0 ⋅+=rrr

Ecuacion de la posición: 2

021

000 )tt(a)tt(vrr −⋅+−⋅+=rrrr

Si t0 = 0 221

00 tatvrr ⋅+⋅+=rrrr

Puede comprobarse que, lógicamente, al derivar la ecuación del movimiento obtenemos la de la velocidad.


CASOS ESPECIALES DENTRO DEL M.U.A: Si bien todos los movimientos que tengan aceleración constante obedecen a las ecuaciones expresadas anteriormente, y resolveremos los problemas del mismo modo, podemos establecer algunos casos particulares de MUA que tienen especial interés. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A):

En este movimiento la trayectoria es rectilínea, ya que la velocidad y la aceleración son paralelas. Es el caso, por ejemplo, de un automóvil que se desplaza en línea recta y pisa el acelerador, o el freno.

Para estos movimientos es bueno escoger un sistema de referencia de forma que uno de los ejes (x o y)

coincida con la dirección de la trayectoria. Así, todos los vectores tendrá el mismo vector unitario ( ir

o jr

), facilitando la resolución del problema. Movimientos de caída libre: Estos movimientos están sometidos únicamente a la aceleración de la gravedad ( ar = gr ). Aunque el valor de la gravedad varía con la altura, siempre que no nos alejemos mucho de la superficie del planeta (es decir, hasta una altura de algunos km), podemos considerar que su valor se mantiene constante. Al nivel de la superficie terrestre el valor del módulo de la aceleración gravitatoria es de 9,8 m s-2 ~ 10 m s-2 (Nota: El valor de la gravedad en la superficie de un planeta depende de la masa y del radio de dicho planeta) En los problemas de caída libre, siempre consideraremos que el rozamiento con el aire es despreciable, y no lo tendremos en cuenta La trayectoria que sigue un cuerpo en caída libre depende de la dirección de su velocidad inicial, caso de que tenga. Esto ya lo hemos estudiado anteriormente, para un MUA en general:

Si 0vr =0 Trayectoria rectilínea

Si 0vr y gr van en la misma dirección (son paralelos) Trayectoria rectilínea

Si 0vr y gr van en direcciones distintas Trayectoria curvilínea (parabólica)

6.7 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SOBRE MOVIMIENTO EN UNA O DOS DIMENSIONES:

Pasos a seguir. 1º- Esquema del problema, indicando claramente el sistema de referencia y criterio de signos. (Esto es fundamental,

ya que todos los datos y magnitudes del problema los calcularemos según ese sistema de referencia. No se puede cambiar durante el problema).

2º- Datos del problema (tipo de movimiento, posición inicial, velocidad, inicial, aceleración). Todas esas son magnitudes vectoriales, deben llevar vectores unitarios según el sistema de referencia escogido, además de sus unidades. Es posible que haya que descomponer algún vector en componentes x e y (suele ocurrir con la velocidad inicial).

3º- Ecuación del movimiento y ecuación de velocidad: sustituir los datos y descomponer (ecuaciones paramétricas). 4º- A partir de estas ecuaciones, calculamos lo que nos pide el problema (en muchas ocasiones, un dato servirá

para calcular el valor del tiempo en una de las ecuaciones, y sustituirlo luego en otra ecuación). Ejemplo: Resolución de un movimiento rectilíneo uniforme: Un tren se aproxima a la estación con una velocidad constante de 72 km/h. Inicialmente se encuentra a 5 km de la estación. Calcule: a) Ecuación de movimiento del tren. b) Posición al cabo de 1 minuto c) Desplazamiento en ese tiempo d) Tiempo que tarda en llegar a la estación, suponiendo que mantiene constante la velocidad.

En este caso, hemos colocado el sistema de referencia en la estación. Datos iniciales (en unidades S.I.): (72 km/h = 20 m/s)

0rr

= - 5000 ir

m , vr= 20 ir

m/s = cte , t0 = 0

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU), ya que la velocidad se mantiene constante en módulo y dirección.

a) Ecuación de movimiento: tvrr 0 ⋅+=rrr

rr= - 5000 ir

+ 20 t ir

(m) x = - 5000 + 20 t (m)

0rr

vr

XO +_

y+


b) Para t = 1 min = 60 s x (60) = - 3800 m ; rr (60) = - 3800 ir

m. Se encuentra a 3800 m de la estación. c) 0rrr rrr

−=∆ = - 3800 ir

- (- 5000 ir

) m = 1200 ir

m ; r∆ = 1200 m. Se ha desplazado 1200 m en sentido

positivo. d) Cuando llega a la estación: x = 0 - 5000 + 20 t = 0 t = 250 s tarda en llegar a la estación. Ejemplo: Resolución de un movimiento de caída libre (parabólico): Desde un acantilado de 30 m de altura sobre el nivel del mar, se lanza una piedra hacia el mar, con una velocidad de 20 m/s y formando un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular la altura máxima que alcanza y a qué distancia del acantilado caerá la piedra.

[ Colocamos el sistema de referencia en la base del acantilado (de esta forma las coordenadas x e y de la piedra serán siempre positivas) ]

Datos iniciales: 0rr

= 30 jr

m ; ar = gr = -10 jr

m s-2 = cte , t0 = 0

Descomponemos 0vr : v0x= 20·cos30º = 17,32 m/s

v0y= 20·sen30º = 10 m/s [ambas componentes son positivas]

0vr = 17,32 ir

+ 10 jr

m s-1

Se trata de un movimiento uniformemente acelerado, ya que la aceleración es constante.

Sigue una trayectoria parabólica, pues 0vr y ar no van en la misma dirección.

Ecuaciones:

221

00 tatvrr ⋅+⋅+=rrrr

)m(jt5jt10it32,17j30r 2 rrrrr⋅−⋅+⋅+= x = 17,32· t (m)

y = 30 + 10· t – 5 t2 (m)

tavv 0 ⋅+=rrr

jt10j10i32,17vrrrr

⋅−+= vx = 17,32 m/s = cte vy = 10 – 10· t m/s

[ Es decir, la piedra lleva un movimiento uniforme en el eje x (siempre avanza al mismo ritmo en horizontal) y un movimiento acelerado en el eje y, ya que la aceleración va sólo en vertical. ]

Cálculo de la altura máxima: [ En el punto de altura máxima, se cumple que la componente vertical de la velocidad se anula ] vy = 0 vy = 10 – 10· t = 0 t = 1 s. [ tarda 1 s en alcanzar su altura ( y ) máxima. Sustituimos en la ecuación de y ] y = 30 + 10· t – 5 t2 = 35 m. = ymáx [En ese momento está a 35 m de altura sobre el mar.] Cálculo del punto de impacto con el mar (alcance horizontal): Cuando llega a la superficie del mar, se cumple que su altura es cero ( y = 0 ). y = 30 + 10· t – 5 t2 = 0 t = 3,65 s [se desprecia la otra solución t = - 1,65 s, que carece de sentido] Sustituimos en x x = 17,32· t = 63,22 m. Cae a esa distancia horizontal desde la base del acantilado. 6.8. MOVIMIENTOS CIRCULARES: 6.8.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U):

El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento acelerado (la dirección

de la velocidad cambia), dotado únicamente de aceleración centrípeta (aceleración normal). La trayectoria que describe es una curva de radio constante: una circunferencia.

Un movimiento circular es más sencillo de estudiar si usamos coordenadas polares

(en lugar de coordenadas x e y, usamos el radio y el ángulo que forma con uno de los ejes, normalmente el semieje x +). Como el radio de la circunferencia que describe se mantiene constante ( R ), para indicar la posición del móvil

gr0rr

y 20 m/s

x

ymáx

+

+

_O_

30 m 30º

R +_

θO

v0y

v0x

v0

30º


en la circunferencia sólo tendremos que dar el valor del ángulo θ , que se denomina posición angular y se mide en radianes (rad) ( 2π rad 360º )

El desplazamiento angular entre dos posiciones se calcula como la diferencia entre las mismas 0θθθ∆ −=

La rapidez con que varía el ángulo θ descrito proporciona una medida de la velocidad del movimiento circular. A

esa velocidad relacionada con el ángulo se la denominará “velocidad angular”, que se simboliza como ω y que, en términos de velocidad angular media, se expresa como:

0

0

ttt −−

==θθ

∆θ∆ω Unidades (S.I) = radián por segundo (rad·s-1)

Ecuación del movimiento circular uniforme : Sabemos que en un MCU, la velocidad angular es constante.

Despejando: )tt()tt( 0000 −⋅+=→−⋅=− ωθθωθθ En el caso de que t0 = 0. t0 ⋅+= ωθθ

Magnitudes asociadas al M.C.U: Al tratarse de un movimiento periódico, que se repite cada cierto tiempo,

podemos definir: • Período ( T ): Tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa (o repetir su posición). En el S.I. se

mide en segundos. ωπ2T =

• Frecuencia (υ ): Es la magnitud inversa del periodo. Indica el número de vueltas (o número de veces que se repite una posición) por unidad de tiempo.

πωυυ2

;T1

== Unidad en el S.I: 1/s = s-1 (también se denomina hertzio (Hz)).

Relación entre magnitudes angulares y lineales: Posición y desplazamiento sobre la trayectoria: Rs ⋅=θ ; Rs ⋅= θ∆∆ Velocidad lineal (rapidez, v) Rv ⋅= ω 6.8.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA).

Cuando la velocidad angular de un cuerpo que se mueve describiendo círculos varía, se dice que está dotado de

aceleración angular, que se simboliza con la letra α. Indica cómo varía la velocidad angular con el tiempo.

0

0

ttt −−

==ωω

∆ω∆α

La unidad de la aceleración angular en el sistema internacional es el radián por segundo al cuadrado

(rad/s2). Si α es constante, se dice que el movimiento circular es uniformemente acelerado (MCUA) Ecuaciones del MCUA:

Posición: 202

1000 )tt()tt( −⋅+−⋅+= αωθθ Si t0 = 0 2

21

00 tt ⋅+⋅+= αωθθ

Velocidad: )tt( 00 −⋅+= αωω t0 ⋅+= αωω

Relación entre magnitudes angulares y lineales: Aceleración tangencial: Rat ⋅= α

Aceleración normal: RRva 2

2

n ⋅== ω

R +_

θO

s

ω < 0 ω > 0


EJERCICIOS:

1.-Un móvil se mueve con rr = 3t ir

+ (2t2 + 3) jr

(m). Calcular: a) Vector de posición inicial. b) Ídem a los 5 segundos. c) Vector desplazamiento en el intervalo t=0 y t=5 s, y su módulo. d) Ecuaciones paramétricas. e) Ecuación de la trayectoria. 2.-Las ecuaciones paramétricas para el movimiento de una partícula son, en unidades del S.I.: x = t + 1; y = t2. Escribe la expresión del vector de posición y halla la ecuación de la trayectoria.

3.-La Ecuación del movimiento de un objeto viene dada por: rr= 3 ir

+ 2t jr

(m). Calcula: a) la ecuación de la Trayectoria b)Vector de posición en t=0 y en t=4 s. c)Vector desplazamiento para ese intervalo. ¿Coincide el módulo del vector desplazamiento con la distancia

recorrida? Razona por qué.

4.-El vector de posición de una partícula en cualquier instante viene dado por rr= 5t2 ir

+ 6t jr

, donde rr se expresa en metros y t en segundos. Calcula la velocidad con que se mueve la partícula en cualquier instante y su módulo en el instante t=2 s.

5. El movimiento de una partícula viene dado por rr= 2 t ir

+ (5- t2) jr

(m). Calcula: a) Ecuaciones paramétricas. b) Dibuja aproximadamente la trayectoria que describe el movimiento. c) Desplazamiento durante el tercer segundo de su movimiento.

6.-La ecuación del movimiento de un objeto es: rr= 3t2 ir

+ 2t jr

(m). Calcula: a) Velocidad media entre t=2 s y t=5 s. b) Módulo del vector velocidad media entre t=2 s y t=5 s. c) Velocidad instantánea y su módulo. d) Velocidad en t=3 s y su módulo.

7.- La ecuación de movimiento de un móvil es rr= (2 t – 4) ir

+ (t2 – 3t) jr

(m). Calcular: a) Vector de posición inicial. b) Ídem a los 3 segundos. c) Vector desplazamiento en el intervalo t=0 y t=3 s, y su módulo. d) Ecuaciones paramétricas. e) Ecuación de la trayectoria. 8.-Las posiciones que ocupa un móvil vienen dadas por: x = 1/2t2 – 3 ; y = t – 2 (m). Averiguar: a) Vector de posición del móvil a los dos segundos. b) Ecuación de la trayectoria. c) Velocidad a los dos segundos y el valor del módulo en ese instante.

9.-La ecuación del movimiento de un móvil es: rr = (6t3 + 8t2 + 2t – 5) ir

(m). Calcular: a) El valor del vector de posición, el vector velocidad y el vector aceleración para t=3 s. b) Módulo de cada uno de los vectores. 10.- Un móvil se mueve sobre un plano, las componentes de la velocidad son, vx = t2 (m/s); vy = 2 m/s. Calcular: a) Aceleración media durante el primer segundo. b) Vector aceleración y su módulo para t = 1 s. c) El módulo de las aceleraciones tangencial y normal para t=1 s. d) El radio de curvatura de la trayectoria para t = 1 s.

11.-Un punto en su movimiento tiene la siguiente ecuación de movimiento rr= t3 ir

+ 2t2 jr

(m). Si la aceleración normal del punto al cabo de 2 s es de 16,2 m/s2. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto?


12.-La posición de un punto que se mueve en línea recta a lo largo del eje de abscisas (eje horizontal varía con el tiempo, según la ecuación: x = 4t2 – 3t + 11, donde x se expresa en metros y t en segundos.

a) Calcula la velocidad y la aceleración con que se mueve el punto en cualquier instante. b) Valor de la velocidad y aceleración para t=2 s y t= 3 s. 13.-Calcular la velocidad y la aceleración de un móvil conociendo la ecuación del movimiento del mismo:

rr = (t – 5) ir

+ (2t3 – 3t) jr

(m). 14.-La posición de una partícula, viene dada por las siguientes ecuaciones paramétricas (S.I.): x = t2; y = 3t; z=5 Hallar la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los 2 s.

15.-El vector de posición de un punto es rr = (t + 1) ir

+ t2 jr

+ (t4 – 4t2) kr

(m). Calcular: a) Posición, velocidad y aceleración en t=2 s (vector y módulo). b) Velocidad media entre t=2 s y t=5 s y su modulo. SOLUCIONES: Problemas 1 al 15: 1. a) 0r

r= 3 j

r m ; b) rr (5) = 15 i

r+ 53 j

r m ; c) rr∆ = 15 i

r+ 50 j

r m , r∆ = 52,2 m;

d) x = 3 t (m) , y = 2 t2 + 3 (m) e) . y = 2/9 x2 + 3 2. rr (t) = (t + 1) i

r + t2 j

r ; y = x2 – 2 x + 1

3. a) x = 3 ; b) 0rr

=3 ir

m , rr (4)= 3 ir

+ 8 jr

(m) ; c) rr∆ = 8 jr

m , r∆ = 8 m. Coinciden

4. vr = 10 t ir

+ 6 jr

m s-1 ; vr (2)= 20 ir

+ 6 jr

m s-1 ; v = 20,88 m s-1

5. a) x = 2t (m) , y = 5 - t2 (m) ; b) La curva es una parábola ; c) rr∆ = rr (3) - rr (2)= 2 ir

- 5 jr

m.

6. a) mvr = 21 ir

+ 2 jr

m s-1 ; b) v = 21,1 m s-1 ; c) vr (t)= 6 t ir

+ 2 jr

m s-1 4t36v 2 += m s-1

d) vr (3)= 18 ir

+ 2 jr

m s-1 , v(3) = 18,11 m s-1 7. a) 0r

r= -4 i

r m ; b) rr (3)= 2 i

rm ; c) rr∆ = 6 i

rm , r∆ = 6 m. ; d) x = 2 t – 4 m , y = t2 – 3 t m

e) y = ¼ x2 + ½ x – 2 (m) 8. a) rr (2)= - i

r m; b) 26x2y −+= ; o también x = ½ y2 + 2y - 1

c) vr (2)= 2 ir

+ jr

m s-1 ; v(2) = 2,24 m s-1 9. a) rr (3)= 235 i

rm , vr (3)= 212 i

rm s-1 , ar (3)= 124 i

rm s-2 ;

b) r(3)= 235 m , v(3)= 212 m s-1 , a(3)= 124 m s-2 10. a) mar = i

rms-2 ; b) ar (t)= 2 t i

rms-2 , a(1) = 2 ms-2 ; c) at(1)=0,894 ms-2 , an(1)=1,789 ms-2

d) R(1)=2,79 m. 11. R = 12,84 m. 12. a) rr (t) = 4t2 – 3t + 11 (m) ; b) vr (t) = (8t – 3) i

rm s-1 , ar= 8 i

rm s-2 ;

c) vr (2) = 13 ir

m s-1 , vr (2) = 21 ir

m s-1 ; ar (2)= ar (3) = 8 ir

m s-2 = cte. 13. vr (t)= i

r+ (6 t2 -3) j

r m s-1 , ar (t)= 12 t j

r m s-2

14. rr (2)= 4 ir

+ 6 jr

+ 5 kr

m ; vr (2)= 4 ir

+ 3 jr

m s-1 ; ar= 2 ir

m s-2

15. a) rr (2)= 3 ir

+ 4 jr

m , r(2)= 5 m ; vr (2)= ir

+ 4 jr

+ 16 kr

m s-1 , v(2)= 16,52 m s-1 ;

ar (2)= 2 jr

+ 40 kr

m s-2 , a(2)= 40,05 m s-2 ; b) mvr = ir

+ 7 jr

+ 175 kr

m s-1 , vm= 175,14 m/s


EJERCICIOS: Sobre tipos de movimiento 16. ¿Cómo será la trayectoria de un movimiento con las siguientes características?: a) ar = 0 b) an = 0 c) at = 0 , an = cte d) at = 0 , an aumentando

e) ar = cte y paralela a 0vr , f) ar = cte y no paralela a 0vr .

17. Dibuja la trayectoria aproximada que seguiría en cada caso el punto móvil de la figura, atendiendo a los datos de velocidad inicial y aceleración. Explica qué tipo de movimiento llevará (la aceleración se supone constante). 18. Un móvil se mueve con velocidad constante de módulo 2 m/s y formando 30º con el eje y. Cuando comenzamos a estudiar el movimiento, se encuentra sobre el eje x, a 3 m de distancia del origen en sentido positivo.

Razona de qué tipo de movimiento se trata y calcula su ecuación de movimiento. ( rr= (3+t) ir

+ 1,73 t jr

m (existen otras soluciones))

19.- En un movimiento se sabe que: ar n = 0 , ar t = 2 ir

(m/s2), y en el instante inicial se cumple que

vr 0 = 2 ir

m/s y rr 0 = ir

+ jr

m

Razona de qué tipo de movimiento se trata y calcula vr y rr para cualquier instante.

( rr =(1+ 2 t + t2 ) ir

+ jr

m ; vr = (2+2 t) ir

m/s ) 20. De un movimiento sabemos que se encuentra sometido únicamente a la acción de la gravedad, y que

inicialmente se encontraba en el origen, moviéndose con una velocidad vr 0= 3 ir

– jr

m/s. Razona de qué tipo de

movimiento se trata y calcula rr y vr para cualquier instante.( rr =3 t ir

+ ( - t – 5 t2) jr

m ; vr = 3 ir

+ (-1-10 t) jr

m/s ) Sobre movimientos en una dimensión 21. Un tren que marcha por una vía recta a una velocidad de 72 km/h se encuentra, cuando comenzamos a estudiar su movimiento, a 3 km de la estación, alejándose de ésta. Calcula:

a) Ecuación de movimiento del tren. ( rr = (3000 + 20 t ) ir

m.) b) Tiempo que hace que pasó por la estación, suponiendo que siempre lleva movimiento uniforme. ( 2 min 30 s.) 22. Un ciclista se mueve en línea recta, y acelera pasando de 15 km/h a 45 km/h en 10 s. Calcular, en unidades del S.I.:

a) Aceleración del ciclista, supuesta constante. ( ar= 0,83 ir

m s-2 ) b) Distancia recorrida en ese tiempo. ( r∆ = 83,2 m) c) Si pasados esos 10 s, el ciclista frena hasta detenerse en 5 s, calcular la aceleración de frenado y la distancia

recorrida desde que comenzó a frenar hasta que se para. ( ar= - 2,5 ir

m s-2 , r∆ = 31,25 m) 23.-Un coche que lleva una velocidad de 144 km/h, frena; y después de recorrer 160m se para. Calcular: a)La aceleración, supuesta constante. ( ar= - 5 i

rm s-2 )

b)Tiempo invertido por el móvil en el frenado. ( 8 s ) 24. Un automóvil circula a 72 km/h. En ese momento, el conductor ve un obstáculo en la carretera y pisa el freno hasta que el coche se detiene. Suponiendo que el tiempo de reacción del automovilista es de 0,5 s, y que la aceleración de frenado es (en módulo) de 5 m/s2, calcular: a) Distancia recorrida durante el tiempo de reacción (durante ese tiempo aún no ha pisado el freno). ( 10 m) b) Tiempo total que tarda el coche en detenerse. ( 4,5 s) c) Distancia total que recorre el coche hasta que se para. ( 50 m) d) Velocidad y posición del automóvil al cabo de 2 s desde que empezamos a estudiar este movimiento.

( vr = 12,5 ir

m s-1 ; rr = 34,38 ir

m )

vr

0=arvr

ar vrar vr

ar

vr

ar


25. Dejamos caer en caída libre un cuerpo desde una torre de 30 m. Despreciando el rozamiento con el aire, calcular:

a) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad con la que llega. ( t = 2,45 s ; vr = - 24,5 jr

m s-1 )

b) Posición y velocidad al cabo de 1,5 s de iniciado el movimiento. ( rr = 18,75 jr

m ; vr = - 15 jr

m s-1 )

c) Velocidad que lleva cuando su altura es de 15 m. ( vr = - 17,32 jr

m s-1 ) 26. Repite el problema anteriores si inicialmente impulsamos hacia abajo la piedra con una velocidad de 10 m/s.

a) t = 1,65 s ; vr = - 26,5 jr

m s-1 ; b) rr = 3,75 jr

m ; vr = -25 jr

m s-1 ; c) vr = - 20 jr

m s-1 27. Lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12 m s-1. Despreciamos el rozamiento con el aire. Calcular: a) Altura máxima que alcanza y tiempo que tarda en alcanzarla. ( 7,2 m ; 1,2 s.)

b) Velocidad y posición de la piedra al cabo de 1 s de empezar el movimiento. ( vr = 2 jr

m/s ; rr = 7 jr

m) c) Tiempo que tarda en llegar de nuevo al suelo y velocidad que lleva en el momento de chocar con él.

( t= 2,4 s. ; vr = - 12 jr

m/s ) 28. Lanzamos desde el suelo una piedra verticalmente hacia arriba, alcanzando una altura de 20 m. ¿Con qué

velocidad se lanzó? ¿qué tiempo tarda en alcanzar su altura máxima? ( t = 2 s ; 0vr = 20 jr

m s-1 ) 29. Una grúa eleva a un albañil con una velocidad vertical de 2 m/s. Cuando se halla a 10 m sobre el suelo, se le cae el bocadillo. Calcular el tiempo que tarda el bocadillo en llegar al suelo y con qué velocidad lo hará.

(t = 1,63 s. ; vr = - 14,3 jr

m/s) 30. Desde un globo aerostático que asciende con una velocidad de 5 m/s se suelta uno de los sacos de lastre. Si desde que se suelta hasta que llega al suelo transcurren 10 s, calcula la altura a la que se encontraba el globo en el momento de la caída. ( 450 m) 31. Un objeto se desplaza sobre el eje x con un movimiento que viene dado por x = 4 t - t2 (S.I.). Calcular: a) ¿En qué instante se invierte el sentido del movimiento? (A los 2 s.) b) ¿Cuál es la posición del móvil en ese instante? ( 4 i

r m)

32. En una etapa contrarreloj, un ciclista circula a 30 km/h. A 1 km por delante de él marcha otro ciclista a 20 km/h. a) Calcular el tiempo que tardan en encontrarse y su posición en ese instante. ( 361 s , 3007 i

r m )

b) Resolver el problema suponiendo que los dos ciclistas circulan en sentidos opuestos. ( 72 s. , 600 ir

m) 33. Un guepardo ve a una gacela a 150 m de distancia, y emprende una rápida carrera para cazarla. En ese mismo instante la gacela se da cuenta y huye hacia unos matorrales, situados a 280 m de la gacela, que pueden servirle de refugio. Suponiendo ambos movimientos como uniformes (velocidad del guepardo: 108 km/h, velocidad de la gacela: 72 km/h) ¿Quién sale ganando en esta lucha por la supervivencia? (La gacela) 34. Un arquero que está al pie de una torre de 40 m, dispara una flecha verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 25 m s-1. En el instante del disparo dejan caer desde la torre una piedra en caída libre:

a) Escribir las ecuaciones de ambos movimientos. ( rr 1 = (25 t - 5 t2) jr

m , rr 2 = (40 - 5 t2) jr

m ) b) Calcular la altura a la que se cruzan la piedra y la flecha. (27,2 m)

c) Calcular la velocidad que lleva cada una en el momento del cruce. ( vr 1 = 9 jr

m/s , vr 2 = - 16 jr

m/s ) d) Calcular el tiempo que tarda la flecha en volver de nuevo al suelo. ( 5 s.) Movimientos en dos dimensiones: 35. Una barca cruza un río de 1000 m de ancho navegando siempre perpendicular a la orilla. Si la velocidad media que imprime el motor a la barca es de 25 km/h y el río fluye a 1,5 m/s. a) ¿Qué distancia a lo largo del río habrá recorrido la barca cuando llegue al otro lado? ( 216,14 m) b) ¿Con qué orientación debería navegar para llegar a la otra orilla justo enfrente de donde salió?

( Con una vr = - 1,5 ir

+ 6,94 jr

m/s)


36. Jugando al billar, golpeamos la bola, que se encuentra inicialmente en el punto que indica la figura, imprimiéndole una velocidad de 1 m/s en la dirección dibujada. Despreciamos el rozamiento. a) Calcule razonadamente la ecuación de movimiento de la bola.

( rr =(0,5 + 0,87 t ) ir

+ (0,5 + 0,5 t ) jr

m) b) Calcule en qué punto de la banda rebota la bola. (Rebota a 2,24 m de la banda izquierda) 37. Una pelota rueda por un tejado que forma 30° con la horizontal, de forma que cuando cae por el alero lo hace

con una velocidad de 5 m/s. La altura del alero desde el suelo es de 20 m. Calcular: a) Tiempo que tarda en caer al suelo. ( t= 1,76 s.)

b) Velocidad con la que llega la pelota al suelo. ( vr = 4,33 ir

- 20,1 jr

m/s ) c) Repetir el problema suponiendo la misma velocidad de salida, pero un tejado horizontal.

(t= 2 s ; vr = 5 ir

- 20 jr

m/s) 38. Un portero de fútbol saca de portería de modo que la velocidad inicial del balón forma 30° con la horizontal y su

módulo es de 20 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule: a) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento tocará el balón el césped? (x= 34,64 m) b) Altura máxima que alcanza el balón y tiempo que tarda en alcanzar esa altura máxima. ( 5 m , 1 s ) c) Repetir los dos apartados anteriores suponiendo que el balón sale con un ángulo de 45° con el suelo.

( 40 m , 10 m , 1,4 s ) 39. Un mortero dispara proyectiles con un ángulo de 60° con la horizontal. a) ¿Con qué velocidad debe lanzar el proyectil para hacer impacto en una trinchera situada a 200 m? (v0= 48 m/s ) b) Si a los 190 m del punto de disparo existe una casa de 20 m de altura, ¿conseguirá proteger ese obstáculo la

trinchera? ( Sí, choca a 15,6 m de altura) 40.-Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una velocidad de 5

m/s. Calcula: a)¿Qué anchura deberá tener la calle para que esa piedra no choque contra el edificio situado enfrente? (>15,81 m) b)¿Cuánto tiempo tardará en caer la piedra? (3,16 s) 41.-Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 360 km/h a una altura de 500 m. Al pasar por la vertical

de un punto A suelta una bomba. Calcula: a)¿Cuánto tiempo tardará en llegar la bomba al suelo? ( 10 s ) b)¿A qué distancia del punto A se producirá la explosión? ( 1000 m )

c)¿Con qué velocidad llegará la bomba al suelo? ( vr = 100 ir

- 100 jr

m s-1 ) 42.- Jesús Navas lanza hacia Kanouté (que se encuentra 30 m por delante) un balón en profundidad formando un

ángulo de 37º con la horizontal y a una velocidad inicial de 24 m/s. Kanouté arranca a correr con movimiento uniforme en el mismo instante del lanzamiento. ¿Qué velocidad debe llevar para alcanzar al balón en el momento en que éste toque el suelo? ( 8,8 m/s )

43.-Un bombardero está haciendo una pasada sobre un destructor a una altura de 300 m. La velocidad del avión es

480 km/h. ¿De cuánto tiempo dispone el destructor para cambiar su rumbo una vez que han sido soltadas las bombas? ( 7,75 s)

44.-Un saltador de longitud salta 8 m cuando lo hace con un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Cuánto saltaría, en

las mismas condiciones, si lo hiciera con un ángulo de 45º? ( 9,05 m, salta con una rapidez de 9,6 m/s)

45.-Un jugador de baloncesto desea conseguir una canasta de 3 puntos. La canasta está situada a 3,05 m de altura

y la línea de tres puntos a 6,25 m de la canasta. Si el jugador lanza desde una altura de 2,20 m sobre el suelo y con un ángulo de 60º, calcula la velocidad inicial del balón para conseguir canasta. (v0=8,85 m/s;

0vr =4,42 ir

+7,66 jr

m/s)

0,5m

0,5m 30º

3m

1,5 m


46. Un avión de salvamento que vuela a una altura de 100 m y a una velocidad de 100 m/s tiene que lanzar un paquete de provisiones a unos náufragos que se encuentran en una balsa. Calcular: a) desde qué distancia horizontal hasta la balsa tienen que soltar el paquete para que éste caiga al mar 10 m antes

de la balsa. (Desde 457,2 m)

b) Velocidad con que el paquete llega al mar. ( vr =100 ir

- 44,7 jr

m/s ) 47. Un bombardero que vuela a 150 m de altura y a una velocidad de 300 km/h tiene que destruir un tanque que avanza a 36 km/h. Para ello tiene que soltar una bomba desde cierta distancia antes de encontrarse a su altura. Calcular la distancia horizontal hasta el tanque desde la que tiene que soltar la bomba el avión. ( Desde 402 m aprox.) Movimientos circulares: 48. Una rueda de 0,5 m de radio gira a 20 rad/s. Calcular:

a) Periodo, frecuencia del movimiento ( 0,315 s. , 3,18 Hz) b) Ecuación del movimiento ( θ= 20 t rad ) c) Tiempo que tarda en dar 100 vueltas completas (31,4 s.) d) Ángulo recorrido en 5 minutos. ( 6000 rad) e) Velocidad de un punto: 1) del exterior, 2) a 25 cm del centro. ( 10 m/s , 5 m/s )

49. Un coche toma una curva con forma de circunferencia de 50 m de radio de curvatura con una rapidez constante

de 72 km/h. Calcular: a) Aceleración tangencial y normal de este movimiento. ( 0 , 8 m/s2) b) Velocidad angular y ecuación de movimiento. ( 0,4 rad/s , θ = 0,4 t rad ) c) Periodo y frecuencia, si el movimiento describiera una circunferencia completa. ( 15,7 s , 0,064 Hz)

50. El periodo del M.C.U. de un disco es de 5 s. Calcular:

a) Frecuencia, velocidad angular (0,2 Hz , 1,257 rad/s) b) Ecuación de movimiento. ( θ = 1,257 t rad ) c) Velocidad de un punto del disco a 10 cm del centro. ( 0,13 m/s ) d) Aceleración lineal (tangencial) de dicho punto. ( 0,158 m/s2 ) e) Ángulo y distancia recorrida por el punto anterior en 1 minuto. ( 75,42 rad , 7,542 m)

51. Los discos que se usan en los tocadiscos (los LP) giran a un ritmo de 33 rpm (revoluciones por minuto).

Calcular: a) Velocidad angular, frecuencia y periodo. ( 3,46 rad/s , 0,55 Hz , 1,82 s. ) b) Ecuación de movimiento. ( θ = 3,46 t rad ) c) Tiempo que tardará el disco en girar 100 rad. ( 28,9 s ) d) Velocidad y aceleración de un punto situado: 1) a 15 cm del centro (0, 52 m/s , 1,8 m/s2) 2) en el centro. (0 m/s , 0 m/s2 )

52.-Una sierra eléctrica gira con una velocidad de 1000 rpm. Al desconectarla, se acaba parando en 5 s. Calcular: a)La aceleración angular de frenado. ( - 20,94 rad/s2) b)La aceleración lineal de los dientes de la hoja si ésta tiene un diámetro de 30 cm. ( - 3,14 m/s2) 53.-Un motor es capaz de imprimir una velocidad angular de 3000 rpm a un volante en 10 s cuando parte del

reposo. Calcular: a)La aceleración angular del proceso. ( 31,42 rad/s2) b)¿Cuántos radianes gira el volante en el tiempo anterior? ( 1571 rad, aprox. 250 vueltas) 54.-Un volante gira a 3000 rpm y mediante la acción de un freno se logra detenerlo después de dar 50 vueltas. Calcula: a)¿Qué tiempo empleó en el frenado? ( 2 s ) b)¿Cuánto vale su aceleración angular? ( - 157,1 rad/s2) 55.-La velocidad angular de un motor aumenta uniformemente desde 300 rpm hasta 900 rpm mientras el motor

efectúa 50 revoluciones. Calcula: a)¿Qué aceleración angular posee? ( 12,6 rad/s2) b)¿Cuánto tiempo se empleó en el proceso? ( 5 s )

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