ECUACIONES DIFERENCIALES

LILIANA ARENAS

EDGAR NOGUERA

ING. JOSE VILLAZON

DOCENTE

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

CICLO DE FACULTAD

SANTA MARTA

2009-06-03

INTRODUCCION

El presente trabajo trata de mostrar de manera más general todos los temas expuestos en la clase de ecuaciones diferenciales, con el fin de que quede un documento para ayudar a resolver incógnitas que hayan quedado acerca de estos temas.

Dado a que todas las exposiciones fueron de muy buen nivel donde se escogió el mejor material de estas, para tener una muy buena documentación, todo esto para poder facilitar a nuestros compañeros un material de apoyo para generaciones futuras.

OBJETIVOS

Mostrar algunos tipos no comunes de ecuaciones que existen y sus respectivos métodos de solución.

Aplicar el Teorema de Existencia y Unicidad en ecuaciones diferenciales para determinar condiciones suficientes que aseguren la existencia de una solución que tenga ciertas propiedades.

Conocer las ecuaciones de Clairaut y Lagrange y su forma de desarrollo frente a estas ecuaciones no lineales.

Conocer la aproximación que puede existir entre ecuaciones diferenciales lineales a no lineales.

Demostrar que las series de potencias son herramientas fundamentales en el estudio de las funciones analíticas.

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente. Por ejemplo, las leyes de Newton.

Donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo.

Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las

(1)

Ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

...

Entonces se puede reescribir (1) como

...

Que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.

En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene la forma:

...

Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:

Teorema

Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional las funciones

Y tal que dicha región contiene el punto . Entonces existe un

intervalo en el que hay solución única de la forma:

...

Del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición

...

Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales

y no lineales. Si las funciones tienen la forma

El sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.

Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Si las funciones y son continuas en el intervalo abierto

a < t < b

Que contiene al punto , entonces existe una única solución al sistema de la forma:

...

Que satisface las condiciones de valor inicial

...

Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funciones p ij(t) y qi(t) son continuas a diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las funciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden

...

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

Donde

Y su derivada

Y

Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Se dice que un vector x = {f (t)} es solución del sistema si sus componentes

satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Supóngase que P y q son continuos en un intervalo a < t < b . En primer lugar, se estudia la ecuación homogénea

Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.

Sean

Soluciones específicas de la ecuación homogénea.

Teorema 1

Si y son soluciones del sistema (1), entonces

Es solución también, donde y son constantes arbitrarias.

Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla en (1)

Aparentemente se pueden encontrar infinitas soluciones, por ello se debe cuestionar acerca del número mínimo de soluciones independientes que generan todas y cada una de las soluciones del sistema.

Por similitud a los temas previos se puede afirmar que habrá n. Sean , ,....,

. Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada columna es uno de estos vectores-

Estas soluciones serán linealmente independientes en cada punto t del intervalo a < t < b si y sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto. Al determinante de X se le llama wronskiano de las n soluciones.

Teorema 2

Si las funciones vectoriales , ,......, son soluciones linealmente independientes del sistema (1) en cada punto de a < t < b entonces la solución

del sistema {f (t)} puede ser expresada como una combinación lineal de ,

,......, .

Para demostrarlo véase que con sólo elegir adecuadamente los valores de las constantes se puede obtener la solución {f (t)} que cumpla unas determinadas

condiciones de contorno en un punto del intervalo

a < t < b

Sean estas condiciones

Siendo

Si

Sustituyendo el valor se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:

Este sistema tiene solución para las incógnitas , , ........, si el determinante de los coeficientes es distinto de cero. Como el wronskiano es distinto de cero -las funciones son independientes- en el intervalo a < t < b , el determinante es distinto de cero. Por consiguiente hay una única solución del sistema y

Llamando W(t) al wronskiano. Dicha función verifica la ecuación diferencial.

Que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.

Como

Derivando

Pero:

O empleando el convenio de Einstein de suma en índices repetidos:

Por tanto:

Por consiguiente se llega a que

Integrando se obtiene que: , Siendo K una constante de integración.

Una vez realizada este cálculo se puede estudiar otro teorema.

Teorema 3

Si , , ...., son soluciones de en el intervalo a < t < b entonces en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.

La demostración surge como una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las

funciones son continuas en (a ,b ) la traza de la matriz P(t) es una función continua y por consiguiente la función exponencial no se anula para valores de x pertenecientes al intervalo (a ,b ). El único valor que puede ser cero es la constante K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso contrario, nunca se anula.

Teorema 4

Si se llama

, , ... ,

Y las soluciones , , ......, son tales que , donde t es cualquier

punto en a < t < b , entonces , , ......, son conocidas como soluciones fundamentales y cualquier solución del sistema se puede expresar como una combinación lineal de estas soluciones fundamentales.

La demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estas soluciones fundamentales son linealmente independientes, ya que en un punto del intervalo su wronskiano es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al ser un conjunto de n soluciones linealmente independientes constituye un conjunto generador de soluciones.

SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO CON COEFICIENTES CONSTANTES

En este apartado se construye la solución general de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Sea el sistema x' = A·x, donde A es una matriz n x n. Por analogía a las

ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca una

solución de la forma donde el vector a y el escalar r son constantes a

determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:

Como no es cero, se obtiene que o (A-r·I)·a = 0, donde I es la matriz identidad. Por tanto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales se ha de obtener la solución de un sistema algebraico. Precisamente éste es el problema de determinación de vectores y valores propios de la matriz A. Por

tanto el vector . solución del sistema viene definido por los valores r que son los autovalores de A y los vectores a son sus autovectores asociados.

Ejemplo

Suponiendo

Se llega a qué:

Luego:

Son soluciones: y y los autovectores asociados son:

Por tanto las soluciones son

Y

El wronskiano es:

que no es cero, por tanto, la solución general es:

puesto de otra forma:

Para visualizar estos resultados se pueden representar en el plano las

soluciones para distintos valores de y .

Volviendo al sistema original, los autovalores (puede haber raíces múltiples) son las raíces de:

det (A - r·I) = 0

A) Sistema Hermítico:

La situación más simple se da cuando A es una matriz hermítica (una matriz

que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso de ser de elementos reales, una matriz hermítica es sinónima de simétrica). Como se sabe las raíces son todas reales. Aunque haya alguna repetida hay siempre un conjunto

de n autovectores linealmente independientes, que además se pueden elegir de modo que sean ortogonales.

Por tanto las soluciones del sistema son:

...

Estas soluciones son linealmente independientes ya que su wronskiano es:

cada una de las columnas son los vectores propios, que son independientes entre sí. Por consiguiente su determinante es distinto de cero y como también lo es el factor exponencial que aparece en la fórmula anterior, entonces W ¹ 0. Las soluciones son linealmente independientes, y la solución general es:

B) Sistema no hermítico

Sea la matriz A de valores reales. Pueden presentarse varios casos:

1) n valores propios reales y distintos. Habrá n vectores propios linealmente independientes. La solución adopta la forma del caso hermítico.

2) valores propios complejos

3) valores propios repetidos, tanto reales como complejos. Como no todos los valores propios múltiples tienen tantos vectores asociados como el orden de su multiplicidad, necesitan una consideración especial.

Ejemplo del caso hermítico

El polinomio característico de la matriz A es:

y sus raíces son

Con :

Luego:

Con l = -4

Solución general:

Puesto de otro modo

Es interesante estudiar el comportamiento de estas funciones en el plano de

fases, es decir en el plano cartesiano .

AUTOVALORES COMPLEJOS

Sea la matriz real A -no hermética- x' = A· x y entre los valores propios de A

hay alguno complejo. Si A es real y es complejo Se puede

observar que, calculando la conjugada se obtiene ya que A e I son

matrices reales. Esto significa que, siendo un valor propio complejo, su

complejo conjugado también es valor propio. Lógicamente los vectores propios asociados serán complejos y entre sí complejos conjugados.

Sea un valor propio complejo y su vector asociado, obviamente los valores

conjugados y definen también una solución. Así,

Si ,

entonces:

Y también será solución:

Por tanto -como se buscan soluciones reales-, son soluciones la parte real e imaginaria de las antes vistas:

Ejemplo:

Los valores propios son: , Los vectores propios serán:

Es decir: y

Solución:

La representación en el plano de fases es:

AUTOVALORES REPETIDOS

Si el polinomio característico de A no tiene n raíces distintas, entonces A puede no tener n autovectores linealmente independientes. Por ejemplo, la matriz

tiene solo dos autovalores distintos =1 y =2 y dos autovectores linealmente independientes, por ejemplo:

y consecuentemente, la ecuación diferencial tiene solo dos

soluciones independientes de la forma

y

El problema, en este caso, es encontrar una tercera solución linealmente independiente. Supóngase, en un caso general, que la matriz A nxn tiene solo

k soluciones linealmente independientes de la forma . Se trata de encontrar n-k soluciones adicionales linealmente independientes.

Teniendo en cuenta que la solución de la ecuación diferencial escalar x' = a·x es x(t) = eat·c, para cualquier constante c, análogamente, gustaría comprobar que x(t) = eAt·v es solución de la ecuación diferencial vectorial x´ = A·x, para cualquier vector constante v. Hay una vía natural de definir eAt si A es una

matriz nxn.

Se puede demostrar que esta serie infinita converge para todo t, y que se puede diferenciar término a término. En particular

Esto implica que es solución para cualquier vector constante v, ya que

La función matricial, y la función escalar satisfacen muchas propiedades similares. Por ejemplo

y

sin embargo

Hay clases de matrices para las cuales la serie infinita antes definida, se puede

sumar exactamente. En general, sin embargo, no parece posible expresar de una forma compacta. Aunque, lo más remarcable es que siempre se pueden encontrar n vectores v linealmente independientes para los cuales la serie

infinita se puede sumar exactamente. Además, una vez que se conocen n vectores linealmente independientes solución del sistema, se puede calcular

exactamente.

Ahora se demuestra cómo se pueden calcular n vectores v linealmente

independientes, para los cuales la serie infinita se puede sumar exactamente. Teniendo en cuenta que

para cualquier constante l , ya que , tenemos que

.

Por lo tanto, .

Además, si , para algún m entero, entonces, la serie infinita

, se trunca en m términos ya que si , entonces

Consecuentemente,

Y

Esto sugiere el siguiente algoritmo para encontrar n soluciones linealmente independientes de (1).

a.- Encontrar todos los autovalores y autovectores de A. Si A tiene

exactamente n autovectores independientes, entonces la ecuación diferencial

x' = A·x tiene n soluciones linealmente independientes de la forma (En

este caso la serie infinita se trunca en un término).

b.- Si A tiene solo k < n autovectores linealmente independientes, entonces

hay sólo k soluciones linealmente independientes de la forma .Para obtener soluciones adicionales, para cada autovalor l de A, se obtendrán todo

los vectores v tales que pero . Para cada vector v

se tendrá que

Es una solución adicional de x' = A·x.

c.- Si no se tienen suficientes soluciones, se calcularán todos los vectores tales

qué , pero que . Para cada vector v se tendrá que

Es una solución adicional de x' = A·x.

d.- Se procederá como en los apartados anteriores hasta obtener n soluciones linealmente independientes.

Nota: El siguiente lema del álgebra lineal, que se acepta sin demostración, garantiza el buen funcionamiento del algoritmo. Es más, establece un límite superior de pasos que se efectuarán en el algoritmo.

Lema:

Sea el polinomio característico de A con k raíces distintas de

multiplicidades respectivamente. (Eso significa que p(l ) se puede factor

izar como ... .)

Si A tiene solo autovectores linealmente independientes asociados al

autovalor , entonces la ecuación tiene por lo menos

soluciones independientes. En general, si la ecuación tiene

solo soluciones independientes, entonces la ecuación

tiene por lo menos soluciones independientes.

Este lema implica que existe un entero tal que la ecuación

tiene por lo menos soluciones linealmente independientes x' = A·x. Para cada una de ellas se tendrá que

es una solución de x' = A·x. En suma, se puede demostrar que el conjunto de

soluciones que se obtengan serán linealmente independientes.

MATRIZ FUNDAMENTAL DE UN SISTEMA

Supóngase el sistema homogéneo x' = P(t)·x y sean un conjunto linealmente independiente de soluciones. Este conjunto genera ¾ mediante una apropiada combinación lineal¾ todas y cada una de las soluciones del sistema. Se llama matriz fundamental de las soluciones de un sistema a la

matriz cuyas columnas son los vectores soluciones. Repárese que, como son soluciones linealmente independientes, el determinante de dicha matriz (que es el wronskiano) es distinto de cero.

Supóngase ahora que se busca la solución que verifica Entonces

Para obtener basta con darse

cuenta que

C es el vector columna de los { }. Como , entonces se puede

determinar el vector C mediante la matriz inversa de la Y ( ), es decir:

Luego la solución particular buscada es:

A veces es conveniente hacer uso de las soluciones, que se han llamado

anteriormente con el nombre de fundamentales

Este conjunto especial de soluciones fundamentales van a definir una matriz

que se le va a llamar f (t)

Obviamente:

A continuación se demostrará que puede computarse directamente a partir de cualquier matriz fundamental del sistema Es decir para el caso particular en que P(t)=A matriz de coeficientes constantes. Para ello, es preciso

demostrar algunos resultados previos.

Teorema

Una matriz Y (t) es una matriz fundamental del sistema: si y sólo si

. Además si es matriz fundamental, entonces .

Al ser Y (t) una matriz fundamental, sus columnas verifican el

sistema: , pero entonces:

y como Y (t) es una matriz

fundamental, entonces es regular y en particular para t=0.

La función matricial es una matriz fundamental solución del sistema

Se ha visto antes que . Por lo tanto es solución del sistema

y es matriz fundamental. Además y .

Sean y dos matrices fundamentales solución del sistema .

Entonces existe una matriz constante C tal que

Por definición las columnas de y las columnas de son conjuntos de soluciones linealmente independientes del sistema. En

particular cada columna de se puede expresar como combinación lineal

de las n columnas de ; esto es, existirán constantes tal que la

columna j-ésima de será

Sea C la matriz constante que tiene por columnas estos vectores constantes

:o

Las ecuaciones anteriores son equivalentes a la ecuación matricial

. Teniendo en cuenta estos tres lemas podemos ya enunciar el resultado siguiente:

Sea Y (t) cualquier matriz fundamental solución del sistema .

Entonces , es decir el producto de cualquier matriz

fundamental por su inversa evaluada en t = 0 conduce a .

Teniendo en cuenta lo anterior, existirá una matriz constante C tal que:

Pero evaluando esta expresión en t=0, como:

Þ Þ

SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS

Sea el sistema Supóngase resuelto el sistema homogéneo

y llámese Y (t) a la matriz fundamental de las soluciones. Se van a distinguir distintos casos:

A) Si P(t) = A, matriz constante diagonalizable. Llamando T a la matriz de los vectores propios de A y haciendo el cambio de variable x = T·y resulta:

Como T es no singular , pero (matriz diagonal de los valores propios)

Por consiguiente: en componentes (no hay suma en índices repetidos)

Luego: , Deshaciendo el cambio de variable

x = T·y

B) Variación de los parámetros

Conocida Y (t), matriz fundamental de la ecuación homogénea se busca una

solución de la forma . u debe ser determinado de modo que el vector x sea solución del sistema. x' = P(t)·x + Q(t)

Sustituyendo: , pero ya que las columnas de j son solución de la homogénea. Luego

Luego la solución general será:

ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Para poder hablar de ecuaciones diferenciales no lineales, debemos recordar algunos conceptos básicos, esto con el fin, de poder entender mucho mejor nuestro tema a exponer, como son el caso de; no linealidad, los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal. Por otra parte la linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas

suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir. Otros conceptos a tener cuenta son: Sistemas lineales: una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades.

1. Aditividad:

2. Homogeneidad: Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de Superposición. Sistemas no lineales

Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza. Ejemplos físicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una ecuación lineal en algún valor desconocido

de u tiene la forma

Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma: , Para algún valor desconocido de u. Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué espacio matemático se encuentra la solución u. Podría ser que u es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades. Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver. Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.

Luego de mencionados los conceptos básicos podemos ahora si hablar de la ED no lineales:

Ecuaciones Diferenciales No Lineales De las ED no lineales de primer orden, las podemos convertir a lineales con métodos vistos anteriormente en clases como son el caso de: La Ecuación de Bernoulli, Ecuación de Riccati, Fracciones parciales, entre otros métodos que ya hemos de conocer. Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. Ya es conocido que las ecuaciones lineales no homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de soluciones también es una solución. Las ecuaciones no lineales no poseen esta propiedad de superposición. Las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior desafían virtualmente la solución mediante métodos analíticos. Aunque esto sería desalentador, aun no hay cosas que se pueda hacer. Siempre es posible analizar de modo cualitativo o numérico una ED no lineal. Es claro que la ED no lineales de orden superior son importantes, ¿quizá más que las lineales? Porque a medida que se ajusta a un modelo matemático, por ejemplo, un sistema físico, se incrementa por igual la probabilidad de que este modelo de mayor definición sea no lineal. Hay grandes clases de ecuaciones diferenciales y sistemas que tienen solución en algún intervalo. Sin embargo si una ecuación es no lineal, entonces generalmente no hay manera de hallar su solución. Por esta razón es necesario buscar métodos para describir la naturaleza de una solución sin resolver la ecuación explícitamente. Considere las siguientes ecuaciones lineales.

Todas las soluciones de: a. Se aproximan a o cuando t tiende a ∞ b. se aproximan a ∞ cuando t tiende a ∞ c. se mantienen acotadas pero no se acercan a ninguna constante cuanto t

tiende a ∞, además sus soluciones son periódicas de periodo 2π. Las ecuaciones diferenciales no lineales también pueden tender a cero, crecer sin cota, o permanecer acotadas cuando t crece. Además pueden speriódicas.

Solución De Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Un método para solucionar una ecuación diferencial no lineal es considerarla como una perturbación de alguna ecuación lineal, o sea, tratar de aproximarla por medio de una ecuación lineal “relacionada”. Como ejemplo la ecuación del péndulo. Ejemplo 1. Considere un péndulo de oscilación libre (sin fricción) de longitud L.

Donde . Sin embargo, como:

Podemos aproximar la ecuación del péndulo para valores pequeños de por la ecuación lineal

Y la solución general para esta es periódica:

Ejemplo 2. Considere la ecuación escalar no lineal de primer orden

Esta ecuación tiene dos soluciones constantes y que pueden verificarse sustituyendo el la ecuación inicia. Para cerca de cero el término

no lineal es relativamente pequeño comparado con el término lineal – ya

que:

Por lo tanto queremos comparar las soluciones de la ec.(1) con aquellas de la ecuación lineal.

Cuya solución general es:

La ecuación no lineal (1) puede resolverse por separación de variables

Usando fracciones parciales tenemos:

Lo cual implica que:

Para una nueva constante C. Podemos suponer que , porque si , ya tenemos la solución única . Entonces, para , la ecuación (3) da:

Así

Despejando

Esta función está definida mientras el denominador no sea cero; es decir, mientras:

Observe que para valores pequeños de t, esta cerca de cero, así que la solución de , dada por la ecuación, (4) está cerca de , que es la

solución de la ecuación lineal .

Ahora suponga que . Entonces, por la ecuación (3), . Luego para todo , y la solución de la ecuación (1) [dada por la

ecuación (4)] se aproxima a cero cuando t tiende a . Por tanto, para

la ecuación (2) es una buena aproximación de de la ecuación (1)

en el sentido de que ambas ecuaciones exhibe el mismo comportamiento asintótico. Cuando , ya no estamos cerca de la solución cero, y la

ecuación (2) no es una buena aproximación. Si , obtenemos la solución

constante . Si , entonces y , así que la

solución (3) se aproxima a infinito cuando t tiende a – . Esto se ilustra en la

siguiente figura.

El Efecto Mariposa

Las que hoy son conocidas como ecuaciones de Lorenz, son el parteaguas de esta llamada revolución, esta investigación está en su escrito "Deterministic Nonperiodic Flow". Lorenz derivó este sistema tridimensional de ecuaciones diferenciales no-lineales, sistema que es un modelo matemático simplificado de la recirculación por convección que aparece en la atmósfera. Lorenz descubrió que este simple modelo puede desarrollar una dinámica errática extrema: sobre un amplio rango de parámetros, las soluciones oscilan irregularmente, nunca repitiéndose exactamente, pero siempre permaneciendo entre los límites de una región del espacio de fase. Cuando Lorenz graficó las trayectorias en el espacio tridimensional, el descubrió que se situaba en un complicado arreglo, hoy conocido como atractor extraño. El atractor extraño, no es un punto o una curva o una superficie, es un fractal con una dimensión entre 2 y 3. Las ecuaciones de Lorenz son:

donde \sigma, r, b>0, son parámetros. \sigma es el llamado número de Prandtl, r es el número de Rayleigh, y b es la relación de aspecto de los “rollos” o recirculaciones por convección. Las variables x, y, z, son la razón de rotación, el gradiente de temperatura y la desviación de la temperatura respecto al valor de equilibrio, respectivamente. Es un sistema no-lineal por las dos no-linealidades, los términos xy y xz. Soluciones numéricas del sistema son mostradas a continuación, como ejemplo usando sigma=10, b=8/3, r=28. Una maravillosa estructura emerge si la solución es visualizada como una trayectoria en el espacio (x(t), y(t), z(t)). Aquí se muestra el patrón tipo mariposa.

Modelos demográficos Si P(t) es el tamaño de una población en el momento t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que

Para cierta k > 0

En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por

Se supone constante, igual a k. Es difícil encontrar casos reales de un

crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento demográfico. Así, cabe esperar que la razón disminuya a medida que P aumenta de tamaño. La hipótesis que la tasa con que crece o decrece una población sólo depende del número presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenómenos estacionales, se puede enunciar como sigue:

Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos demográficos animales, se llama hipótesis de dependencia de densidad.

Ecuación logística

Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. Dicha cantidad se llama capacidad de sustento, o de sustentación, del ambiente. Entonces

para la función f en la ecuación anterior y se escribe también . En la figura vemos tres funciones que satisfacen estas dos condiciones.

La hipótesis más sencilla es que es lineal; esto es, que .

Si aplicamos las condiciones , tenemos que

respectivamente, y f adopta la forma Entonces la

ecuación se transforma en

Si redefinimos las constantes tenemos

Alrededor de 1840, P. F. Verhufst, matemático y biólogo belga, investigó modelos matemáticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que estudió fue la anterior, con a > 0 y b > 0. Esa ecuación se llamó ecuación logística y su solución se denomina función logística. La gráfica de una función logística es la curva logística.

La ecuación diferencial no es un modelo muy fiel de la población

cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativos sobre el ambiente (como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible). Esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento demográfico. Según veremos a continuación, la solución de de la ecuación

Está acotada cuando Si se rearregla esa ecuación en la forma

, el término no lineal , se puede interpretar como un término de “inhibición” o “competencia.” Asimismo, en la mayor parte de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b. Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud las pautas de crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Daphnia) y moscas de la fruta (Drosophila) en un espacio limitado.

Solución de la ecuación logística Uno de los métodos para resolver la ecuación logística es por separación de

variables. Al descomponer el lado izquierdo de en fracciones

parciales e integrar, se obtiene

Como consecuencia de la última ecuación,

Si , , llegamos a y así, sustituyendo y

simplificando, la solución es

Gráficas de P(t) La forma básica de la gráfica de la función logística P(f) se puede conocer sin mucha dificultad. Aunque la variable t suele representar al tiempo -y casi no nos ocupamos de aplicaciones en que t < 0, tiene cierto interés incluir ese intervalo al presentar las diversas gráficas. Tenemos que

y

La línea de puntos P = a/2b de la figura anterior corresponde a la ordenada de un punto de inflexión de la curva logística. Para caracterizarlo diferenciamos la ecuación logística aplicando la regla del producto

Recuérdese, del cálculo diferencial, que los puntos en donde son

posibles puntos de inflexión, pero se pueden excluir P = 0 y P = ; de aquí

que P = sea el único valor posible para la ordenada a la cual puede

cambiar la concavidad de la gráfica. Entonces, P” = 0 cuando 0 < P < , y

< P < significa que P’’ < 0; por consiguiente, al avanzar de izquierda

a derecha la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P = a/2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 <Po

< a/2b, la gráfica de P(f) toma la forma de una S. Cuando , la

gráfica sigue teniendo la forma de S, pero el punto de inflexión está en un valor negativo de t

Ejemplo de Crecimiento logístico Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días x(4) = 50. SOLUCIÓN Suponiendo que nadie sale del campus durante la epidemia, debemos resolver el problema de valor inicial

Sustituimos a = 1OOOk y b = k en la ecuación

Y vemos de inmediato que:

Usamos la condición x(4) = 50 y calculamos k con

Esto da como resultado -1OOOk = = -0.9906. Entonces

La respuesta es

Curvas de Gompertz: Otra ecuación que tiene la forma de la ecuación

Es una modificación de la ecuación logística

En donde a y b son constantes. Por separación de variables se comprueba con facilidad que una solución de la ecuación .

Es:

En donde c es una constante arbitraria. Cuando b > 0, cuando ,

mientras que cuando b<0 y c>0 , cuando . La gráfica de la función

se llama curva de Gompertz y se parece mucho a la

gráfica de la función logística.

Las funciones como la ecuación surgen, por ejemplo, al describir el aumento o la disminución de ciertas poblaciones, en el crecimiento de tumores, en predicciones actuariales y en el incremento de las utilidades por la venta de un producto comercial.

Reacciones químicas

Supongamos que se combinan a gramos de la sustancia A con b gramos de la sustancia B. si, para formar gramos de la sustancia C se necesitan M

partes de A y N partes de B, los gramos de las sustancias A y B que quedan en cualquier momento son respectivamente,

Según la ley de acción de masas, la rapidez de reacción se apega a

Sacamos a como factor común del primer factor, a del segundo e

introducimos un constante de proporcionalidad, k > 0, con lo cual nuestra ecuación adquiere la forma

En la que y . de acuerdo a la ecuación una reacción

química que responde a la ecuación diferencia no lineal anterior se llama reacción de segundo orden.

Reacción Química de Segundo Orden

Ejemplo Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C. la reacción entre ambas es tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Calcula la cantidad de C en función del tiempo si la velocidad de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos?

Interprete la solución cuando . Solución Sean los gramos del compuesto C presentes cuando el tiempo es t. Está

claro que =0 y .

Si, por ejemplo, hay dos gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b gramos de B, de tal modo que a+b=2 y b=4a; por

consiguiente, debemos emplear gr de la sustancia A y gr de la

sustancia B. En general, para obtener gramos de C debemos emplear

Entonces, las cantidades de A y B que quedan en cualquier momento son

Respectivamente. Sabemos que la rapidez de formación del compuesto C está definida por

Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a como factor común

del primer término, del segundo e introducimos la constante de

proporcionalidad:

Separamos variables y por fracciones parciales llegamos a

Al intégrala obtenemos

O sea

Cuando t=0, X=0, y en consecuencia Cuando X=30gr cuando t=10,

vemos que Con estos datos despejamos X de la

última de las ecuaciones

En la figura de a continuación se muestra el comportamiento de X en función del tiempo. Según la tabla de la figura y la ecuación obtenida anteriormente, esta claro que cuando . Esto quiere decir que se forman 40 gramos de la sustancia C y que quedan

Comportamiento de X en razón de t

Ecuación De Clairaut

La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:

Donde f(x) es una función continuamente diferenciable. El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso de relieve. Recordemos que la ecuación de Clairaut es de la forma

El método de resolución es hacer y derivar respecto a , teniendo en cuenta que . Nos queda entonces

Si entonces y por tanto teniendo en cuenta (1) se obtiene que

La familia (2) es un haz de rectas, todas ellas solución de (1).

Si , usando (1) se obtiene la solución singular en forma paramétricas:

En general no es obligatorio eliminar p para obtener una ecuación de la forma

Ecuación De Lagrange

Son de la forma y = x f(y') + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'. Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.

(1)

(2)

Ecuaciones de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier

y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina mecánica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Las ecuaciones de Navier-Stokes

. Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general. La ley de conservación de la masa se escribe:

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.

donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

Fluidos no viscosos

Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque. Si además ρ puede ser considerada constante (como en un líquido):

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

Sistemas De Ecuaciones No Lineales

La diferencia entre los sistemas lineales y no lineales se ven a continuación. Los sistemas lineales están dados de esta forma:

Cuando g1 y g2 son lineales en las variables (t,x,y) esto es :

Donde los coeficientes podrían depender de t. entonces se dice que el

sistema es un sistema lineal, en caso contrario si no dependiera de t entonces se dice que no es lineal. El siguiente sistema no lineal se conoce como depredador-presa se desea conocer el sistema no lineal que puede presentar en los ecosistemas cuando se tiene a 2 poblaciones muy presentes en ella como lo son los zorros (depredadores) y los conejos (presa).

Las condiciones iníciales empleadas fueron Se observa que el modelo parece predecir que ambas poblaciones

son periódicas. Esto tiene sentido ya que al disminuir la cantidad

de presas la de depredadores terminara reduciéndose por el poco suministro alimenticio; pero a causa de su decremento en la cantidad de depredadores, aumenta la cantidad de presas, esto a su vez, origina mayor numero de depredadores, que mas adelante originan otra disminución entre las presas y así sucesivamente. El siguiente es un modelo de competencia, pero en este caso no como depredador y presa sino como 2 competidores del un mismo recurso, que se encuentran en un mismo ecosistema. Se desea conocer la rapidez de crecimiento demográfico de cada especie:

Como se sabe que las 2 especies se encuentran compitiendo, otra hipótesis seria que una población puede llegar a sentirse menguada por la otras población. Asi, un modelo de las 2 poblaciones es el sistema lineal:

En donde a, b, c, d son constantes positivas. Debido a la interacción entre las 2 especies el sistema quedaría así:

Llegando finalmente al sistema no lineal:

Este es un claro ejemplo donde podemos llegar a ver sistemas lineales que pueden conducir a sistema no lineales y viceversa.

Soluciones De Sistemas No Lineales De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Las ecuaciones diferenciales no lineales no se pueden resolver exactamente en general, y que cuando se pueden generalmente se requieren técnicas especiales. En vista de esto no es una sorpresa que los sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales también requieran técnicas especiales si una solución exacta es posible. Hay varios métodos de ataque que se pueden emplear, tales como los siguientes.

A) Método de eliminación Elimine todas excepto una de las variables dependientes del sistema, como en el caso de sistemas lineales. Esto conduce a una ecuación no lineal individual con una variable dependiente y una variable independiente. Eventualmente, podemos resolver esta ecuación y así llegar a la solución del sistema. Una dificultad de este procedimiento es que, a diferencia de los sistemas lineales, la eliminación no siempre es posible aún cuando existe una solución exacta.

B) Transformación de variables

Si el método de eliminación falla, puede ser posible transformar variables para producir un sistema más simple. Los tipos de transformaciones que se pueden ensayar frecuentemente son sugeridos por la forma particular del sistema, pero el ingenio también juega un papel importante en hacer una buena selección. Un ejemplo de solución de sistemas no lineales por este método es la aplicación astronómica que veremos a continuación De acuerdo a la famosa ley universal de gravitación de Newton. Cualesquiera dos objetos separados por una distancia r y con masas M1 y M2 respectivamente, se atraen uno a otro con una fuerza teniendo una magnitud dada por

Donde G es una constante de gravitación universal. Es interesante hacer uso de esta ley para describir el movimiento de planetas en nuestro sistema solar. Consideraremos, en particular, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Al discutir este problema, simplificamos nuestra tarea tremendamente al despreciar los efectos de los otros planetas. Consecuentemente, los resultados son aproximados pero, sin embargo, sí representan en un alto grado de precisión, el verdadero estado de cosas como se evidencia por observaciones experimentales. Formulación matemática Asumimos al Sol fijo en el origen de un sistema de coordenadas x y y que la Tierra está en el punto (x, y) en el tiempo t de su movimiento Tomamos como direcciones positivas de las cantidades vectoriales las direcciones + x y + y. De la figura, la fuerza F actuando sobre la Tierra se ve que tiene componentes x y y de magnitudes F cos Ф y F sen Ф, respectivamente. Tomando a ms y me, como las masas respectivas del Sol y de la Tierra, tenemos, haciendo uso de ()

Puesto que y las ecuaciones anteriores llegan a ser

Donde k = G m, puesto que las ecuaciones se pueden escribir

Como condiciones iníciales asumimos que en t = 0, la Tierra está localizada en el eje X, a una distancia a del Sol, y prosigue en la dirección positiva y con velocidad vo

Así Si podemos resolver simultáneamente las ecuaciones sujetas a condiciones, tendremos la solución a nuestro problema. Solución El sistema de ecuaciones diferenciales es un sistema no lineal y un poco de experimentación con ellas pronto revela que es difícil si no imposible eliminar x o y. Sin embargo, al notar la presencia de x2 +y2, podemos ser llevados a considerar un cambio de variables a coordenadas polares. Esto se evidencia más al ver que la posición de la Tierra con respecto al Sol se describe tal vez mejor con coordenadas polares (r, Ф) que con (x, y). Transformemos por tanto las ecuaciones a coordenadas polares. Puesto que las ecuaciones que permiten la transformación de coordenadas rectangulares (x, y) a coordenadas polares (r, Ф) están dadas por

C) Método de linearización

Si el sistema no lineal no se puede resolver exactamente, puede ser posible remplazarlo por un sistema lineal que pueda servir como una razonable aproximación. Si el sistema surge de una formulación matemática de un problema en ciencia o ingeniería, esto generalmente involucra el

establecimiento de supuestos acerca del modelo matemático, el cual puede servir como una primera aproximación a la situación real. Así, por ejemplo, si un proyectil se lanza desde la superficie de la Tierra, podemos como una primera aproximación suponer que la Tierra es plana. Sin embargo, esto será una razonable buena aproximación si el proyectil no viaja demasiado lejos. En otro caso, puede que tengamos que considerar el hecho de que la Tierra es esférica en forma (o más exactamente es un esferoide ovalado, esto es, ligeramente achatada en los polos), y que la aceleración gravitacional no es constante. Para mayor precisión podemos considerar el movimiento de la Tierra y aún los efectos del Sol, la Luna, y otros planetas.

Existencia Y Unicidad

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea deterministico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?

2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?

3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?

El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un método para llegar a ella, quizás, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla.

Existencia Y Unicidad De Soluciones

Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solución puede ser demostrado.

El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en el intervalo que

contiene algunos ,0t si ƒ y sus derivadas parciales ∂ƒ/∂y son continuas en una

región que contiene ,0t e ,0y. La prueba de este teorema es un producto por

reformular el problema como un equivalente de la ecuación integral.

La integral puede ser considerado un operador de una función que asigna a

otro, de modo que la solución es un punto fijo del operador. Se invoca para demostrar que existe un único punto fijo, que es la solución del problema de valor inicial.

Una prueba de la edad Picard-Lindelöf teorema construye una secuencia de funciones que convergen a la solución integral de la ecuación, y por lo tanto, la solución del problema de valor inicial. Dicha construcción a veces se denomina "el método de Picard" o "el método de aproximaciones sucesivas". Esta versión es esencialmente un caso especial del teorema de punto fijo de Banach.

Teorema De Existencia Y Unicidad

Suponga que f es una función de dos variables, continua en algún rectángulo

],[],[ dcbaR (abierto) y que la derivada parcial también es continua en R.

sea )( 0,0 yxen el rectángulo R. Entonces, en algún intervalo

hxhx 00 ,

contenido en ],[ ba existe una solución única )(xgy del problema de valores iníciales:

),(´ yxfy 00 )( yxy

El procedimiento que ella sigue consiste en la construcción de una sucesión de funciones que converge a una función límite que satisface el problema de valores iníciales dados. Esto podría considerarse como un método practico, pero por lo general resulta imposible calcular más allá de unos cuantos términos de la sucesión, de modo que la función límite rara vez se puede encontrar explícitamente mediante el procedimiento que establece la demostración del teorema.

Teorema De Unicidad

Supongamos que se cumplen las condiciones del teorema de existencia. Entonces:

Es la única solución continua en

Demostración

Supongamos que x(t) y y(t) son dos soluciones continuas

y distintas del P.V.I. (1) en y supongamos que para

todos

Sea y por tanto y continua.

Como f(t,x) es continua de Lipschitz en x sobre D, entonces

Teorema Local De Existencia Y Unicidad, Caso Unidimensional

A continuación analizaremos las condiciones para la existencia y unicidad del P.V.I. con la E.D. de primer orden:

Teorema 1

Sea f (t, x) continua para todos los valores de t y x donde la función está definida. Entonces el P.V.I. (1) es equivalente a la ecuación integral:

(Es decir, x(t) es solución de (1) y x(t) es solución de (2))

Demostración

Si x (t) satisface (1) entonces:

Si x (t) satisface (2) entonces derivando (2):

Y

Teorema De Picard

Si son continuas en D. Entonces existe una constante

tal que las funciones de Picard convergen a una solución

única y continua en

Demostración

Es consecuencia directa de los teoremas de existencia y unicidad.

Lipschitz Continuidad

Funciones continua que no son (a nivel mundial) Lipschitz continua

La función f (x) = x 2, con dominio de todos los números reales no es Lipschitz continua. Esta función se convierte en arbitraria empinada como x se aproxima al infinito. Sin embargo, es localmente Lipschitz continua.

La función f (x) = x 2 definida en [-3, 7] es Lipschitz continua con constante Lipschitz K = 14.

La función f (x) = √ x ² + 5 definida para todos los números reales es Lipschitz continua con constante Lipschitz K = 1.

La función f (x) = | x | se define sobre las reales es Lipschitz continua con constante Lipschitz igual a 1. Este es un ejemplo de una función Lipschitz continua que no es diferenciable.

Más en general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con respecto a las métricas asociadas, con la Lipschitz constante igual a 1.

Esta función se convierte en infinitamente empinada como ,0x enfoques

desde sus derivados se convierte en infinito

Sin embargo, es titular continua de clase C 0, α, para α ≤ 1 / 2.

Diferenciable funciones que no son (a nivel mundial) Lipschitz continua

La función f (x) = x 3 / 2 sen (1 / x) (x ≠ 0) y f (0) = 0, restringido en [0, 1], da un ejemplo de una función que es diferenciable en un compacto conjunto mientras no Lipschitz localmente, ya que su función no es derivado delimitadas.

Ejercicios Resueltos

Estudiar los dominios de existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial

SOLUCIÓN

El campo de existencia de

Es siendo, además, continua en todos los puntos del mismo.

Por otra parte , es:

Y se trata de una función continua Se obtiene, en consecuencia, que cualquier problema de Cauchy:

Posee una única solución a condición que . Así pues se puede hablar de existencia y unicidad de soluciones en cada uno de los siguientes dominios (abiertos y conexos) del plano:

EJERCICIO 2

La solución de:

Puede concluirse que

Es más,

EJERCICIO 3

Considere el problema con valores iniciales

2

4'

2/12 yxxy

, 1)2(y

1. Pruebe que las dos funciones xy 11 y

2

24

1xy

son soluciones de dicho problema, ¿en qué intervalo es válida cada una?

2. ¿por qué la existencia de dos soluciones para este problema no contradice el teorema de existencia y unicidad?

3. Demuestre que 2ccy x , donde C es una constante arbitraria,

satisface la ecuación diferencial dada.

4. Observe que si 1C , en la función del punto anterior, se obtiene la

solución 1y , pruebe que, sin embargo, no existe ningún valor de C que

produzca la solución 2y , es decir 2y es una solución singular de la ecuación.

Solución

1. Tenemos xy 11 entonces 1'y . Por otra parte.

2

2

2

2

2

44

2

4'

2/122/122/1

1

2 xxxxxxxyxxy

Si 2x , la última expresión se convierte en

12

2

2

2 xxxx

De modo que, xy 12 es solución de la ecuación diferencial para 2x también vemos que satisface la condición inicial.

Tomemos ahora

2

24

1xy

, se tiene que 1)2(2y , es decir, satisface la condición inicial.

Por otra parte, xy

2

1'2

, además:

2222

4 2/12/1222/1

2

2 xaxxxxyxx

Lo anterior es válido para todo IRx

Así, 2y también es una solución del problema de valores iniciales dado.

2. Aquí tenemos

2

4),(

2/1

2

2 yxxyxf

,

Por lo tanto

2/1

2

2

2/1

2

2

4

14

yxyx

y

f

Pero esta expresión no tiene sentido cuando yx 42

, es decir y

f

no es

continua en ningún punto de la forma )

4

1,( 2xx

. Dado que la condición inicial

es 1)2(2y y que el punto (2,-1) es la forma antes dicha, concluimos que el teorema no garantiza unicidad en este punto . Por esto , no se contradice el teorema.

3. Si 2ccy x , entonces, Cy' . Por otro parte:

2

42/1

2

2 yxx

= 2

442/122 CCxx X

= 2

22/12

Cxx

=C

Cxx

2

22

Si Cx 2 .

Por lo tanto 2ccy x es solución de la ecuación diferencial sobre el intervalo

xcx2

4. Si existiera un valor de C que produjera la solución

2

24

1xy

, tendríamos que

2

4

1x

=2ccx

Pero esto no es posible, dado que la izquierda tenemos un polinomio de grado dos y a la derecha un polinomio de grado uno y para ninguna constante C se tendría esa igualdad.

Un punto singular de la ecuación diferencial ),(' yxfy es un punto ),( 00 yx en

el que no se satisface las condiciones iniciales dadas por el teorema de existencia y unicidad, tal teorema establece la existencia y unicidad de la

solución con condición inicial 00 )( yxy siempre que el punto

),( 00 yxno sea

singular. Por el contrario, si el punto es singular. No se puede hacer ninguna afirmación de antemano acerca del comportamiento de las soluciones en tal punto.

SERIES DE POTENCIAS

Según se verá más adelante, una propiedad fundamental de las funciones analíticas es que pueden representarse por medio de series de potencias.

Y recíprocamente, salvo excepciones triviales, toda serie de potencias convergente define una función analítica.

Por ello las series de potencias son herramienta fundamental en el estudio de las funciones analíticas.

Definición

“Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la forma:

0

00100 ...)(...)()(n

n

n

n

n zzazzaazza

iaC ”

Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades de la suma como función de z.

Como de 0n

n0n )zz(a

se pasa a la 0n

nn za

por un simple cambio de origen, se estudiará exclusivamente esa segunda serie.

1 1

!

nn n

n

Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo

o

nna x

, en donde na R

Es decir

0

nn

0 1 22

33

nna x = a + a x+ a x + a x +....+a x +...

Por ejemplo

0

nx = 1+ x + 2x + 3x +...+ nx +...

en donde todos los na valen 1, o

0

n2 3

n1

n!x = 1+ x+

x

2!+

x

3!+...+

1

n!x +...

Y todos sus na =

1

n! .

Es interesante saber cuáles son los valores de x R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes.

Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, 0

nx

es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.

Pero para x = 1/2 es

1+

1

2+

1

4+

1

8+...+

1

2+...

n

Que es una serie geométrica de razón q =

1

2< 1

y su suma S =

1

1- q= 2

con lo

que la serie es convergente. Más aún, 0

nx

es una serie geométrica de

razón x y será convergente si |x|< 1, es decir si x I ,

Siendo I = x / -1< x <1R .

Si se cumple esta condición:

1+ x+ x + x +...+x +...=

1

1- x2 3 n

Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe

exactamente a una función. En este caso a f(x)=

1

1- x , pero solo en el intervalo (-1;1).

Gráficamente

f(x)=

1

1- x Sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie

Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en

1+1+

1

2!+

1

3!+...+

1

n!+...= e

Ejemplos: 000

,!

,n

n

n

n

n

n nxn

xx

Para estudiar la convergencia puntual, fijaremos la x y la trataremos como una serie normal. Al no tratarse de una serie de términos positivos, utilizaremos la convergencia absoluta

Ejemplos:

1) !,

! 00 n

xbb

n

xn

n

n

n

n

n

01

!

)!1(

1

1

n

xlim

nx

nx

limb

blim

nn

n

nn

n

n

Luego bn es convergente Rx

Por tanto la serie original es absolutamente convergente.

2)

n

n

n

n

n

n xnbbnx ,00

1??

1.

1.)1()1()1(

1

1

x

xconvabsno

xconvabs

xxn

nlim

n

xnlim

xn

xnlim

b

blim

nnn

n

nn

n

n

El caso general de una serie de potencias se expresa:

Raaxa r

n

n

n ,)(0 . A los términos an se les llama coeficientes de la serie.

Si hacemos t=x-a la reducimos al tipo anterior.

TEOREMA

1) Si 0n

n

n xa

converge puntualmente en x1 0 entonces es absolutamente convergente si |x|<| x1|

2) Si 0n

n

n xa

diverge en x1 0 entonces es divergente si |x|>| x1|

Demostración:

1) 0

1

n

n

n xa

convergente1/0 1001

n

n

n

nn

xannNnxalim

11

1

1

1

1

1

n

no

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n xannx

xxa

x

xx

x

xaxa

Por tanto 0 1n

n

x

x

es una mayorante a partir de n0 de 0n

n

n xa

0 1n

n

x

x

es una serie geométrica de razón

1??

1.

1.

1

1

1

1

x

x

x

xDiver

x

xConv

x

xr

Luego si 1xx entonces 0 1nn

n

x

x

es una mayorante convergente de 0nn

n

n xa

, luego la original es convergente a partir de n0 y por tanto a partir de n=0.

Debido a ello 0n

n

n xa

es absolutamente convergente si 1xx

2) Reducción al absurdo:

Supongamos que existe 122 / xxx y 0

2

n

n

n xa

absolutamente convergente. Por

1) la serie seria convergente si 2xx, luego sería convergente en 1x , lo que

es contradictorio.

De lo anterior se deduce que existe )0(rRr tal que 0n

n

n xa

es

absolutamente convergente rxRx /

, y divergente si rx

. Si rx

puede ocurrir cualquier cosa. A r le llamaremos radio de convergencia de la serie de potencias.

sxsiconvxaRsrn

n

n ./sup0

Calculo del radio de convergencia.

Gráficamente, la convergencia de una serie de potencias se resume en el dibujo siguiente:

Figura 2.1: Intervalo de convergencia de , para

Las series de potencias y tienen el mismo radio de

convergencia, r =1, pero un comportamiento distinto en el extremo

Las animaciones siguientes muestran gráficamente el comportamiento local de ambas series en las proximidades del punto.

Animación 2.2: La serie en . Animación 2.3: La

serie en .

El radio de convergencia de la serie obtenida al derivar o integrar una serie de potencias es el mismo que el de la serie de potencias original.

El intervalo de convergencia, por lo contrario, puede diferir al comportamiento en sus puntos terminales.

EJEMPLOS

Sea 0n

n

n xa

una serie de potencias con radio de convergencia r:

1) Si

Ra

aliml

n

n

n

1

entonces lr 1

, es decir:

11

1

n

n

n

n

n

n

a

alim

a

alim

r

2) Si Raliml n

nn entonces l

r 1, es decir:

nn

nalim

r1

Demostración:

??00 n

n

n

nn

n

n

n bxabxa

Aplicando el criterio de la raíz:

lxalimxaxlimxalimblim nn

n

nn

n

n n

nn

nn

n

Si

...100

convabsxaconvblxn

n

n

n

n

si lx

1

Si

...100

convabsnoxadivblxn

n

n

n

n

si lx

1

No solo no es absolutamente convergente, sino que es divergente: si

01 n n

nn

xalimlx, luego la serie es divergente.

EJEMPLOS

Si 0n

n

nxa

tiene radio de convergencia r, llamamos intervalo de convergencia al intervalo (-r,r), y campo de convergencia al mayor intervalo en el que converge la serie. Por tanto el campo de convergencia será (-r,r), (-r,r], [-r,r) y [-r,r].

Ejemplos:

0n

nx

111n

n

nn

a

alimrNna

Intervalo de convergencia (-1,1)

1x Serie divergente Campo de convergencia (-1,1)

0

)1(n

nn

n

x

1

1)1(

)1()1(

1

1

n

nlima

alimr

na

n

n

nn

n

n

n

n

Intervalo de convergencia (-1,1)

1x Serie armónica Divergente

1x Serie armónica alternada Convergente

Campo de convergencia (-1,1]

0n

n

n

x

r=1 Intervalo de convergencia (-1,1)

1x Serie armónica alternada Convergente

1x Serie armónica Divergente

Campo de convergencia [-1,1)

02

n

n

n

x

r=1 Intervalo de convergencia (-1,1)

1x Convergente

1x Divergente

Campo de convergencia [-1,1]

EJEMPLOS

Si 0n

n

n xa

tiene radio de convergencia r>0 entonces converge uniformemente

en cualquier intervalo rrba ,, .

Demostración:

Sea rhbamaxh ,

Si n

n

n

n

nnhaxahxbax ,

0n

n

n ha

es una mayorante de 0n

n

n xa

Como rh , 0n

n

n ha

es convergente, y por el criterio de Weiertrasss 0n

n

n xa

es absolutamente convergente bax ,

Corolarios

1) Si 0n

n

n xa

tiene radio de convergencia r y 0

)(n

n

n xaxS

entonces )(xS es continua en (-r, r)

2) (para integrales) Si 0n

nf

converge uniformemente, entonces

00 n

x

a n

x

an

n ff

Si 0n

n

n xa

tiene radio de convergencia r entonces:

rrbaxn

xadttadttadtta

n

n

xn

n

xn

n

xn

n ,,1

1

000

la integral tiene radio de convergencia al menos r

3) (para derivadas) Si 0n

nf

converge uniformemente, entonces

00 n

x

a n

x

an

n ff

Demostración:

1) Veamos que )(xS es continua en ),(0 rrx.

Existe ),(,/, 0 rrbaxba. )(xS es continua en ba, por ser suma de

funciones continuas, luego es continua en 0x.

Solución Mediante Series De Potencias En El Entorno De Un Punto Ordinario

Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :

0y)xR(y)xQ(y)xP( 1

ó en forma canónica :

0y)xq(y)xp(y

1´

Definiciones.

Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 1´ si las funciones

p( )Q( )

P( )x

x

x y q( )

R( )

P( )x

x

x son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2 no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si y

sólo si P(x0) 0 ( siendo 1 no simplificable ).

Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación 1 ó

1´

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la

ecuación 1´ en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y

unicidad de solución del problema de valor inicial definido por 1´ y las

condiciones: y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 I

Pero si además es x0 un punto ordinario de 1 ó 1´ , las p(x) y q(x) no sólo son continuas en I , sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un

punto ordinario de 1 , surgen las preguntas siguientes:

¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la forma :

...)xx(a...)xx(a)xx(aay

n0n

202010 2

En caso afirmativo :

¿Cómo se obtienen los coeficientes an?

¿Dónde converge la serie 2 ?

Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar

buscar soluciones de la forma 2 , si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse término a término en I.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no demostrado.

Teorema

Si x0 es un punto ordinario de 1 ( ó 1’ ) entonces la solución general de 1

en un cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez

)x(ya)x(ya)xx(ay 2110

0n

n0n

Siendo a0 , a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, y linealmente independientes en I.

El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto

singular más próximo de la ecuación 1 , sea dicho punto real o complejo)

Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1 ,

sustituyendo la serie genérica 0n

n0n )xx(ay

en 1 , (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.

Observaciones

a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.

b) Si el punto ordinario es x0 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t.

c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se obtienen en términos de a0 y a1.

d) El método para resolver una ecuación completa : y x y x y xp( ) q( ) h( ) , siendo x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0 , antes de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.

e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales lineales, de primer orden.

Ejemplo 1

Hallar la solución general de la ecuación diferencial 0yyxy

, determinando dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x. Campo de validez de las mismas. En particular obtener la solución tal que y(0) = 1 y´(0) = 0.

Es

p( )

q( )

x x

x 1 . Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia de

sus respectivos desarrollos

R

R

1

2 , es decir x0 = 0 es punto ordinario..

Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de

potencias de x, válida para todo x R .

Sea y a xn

n

n 0 . Por tanto : y n a xn

n

n

1

1 , y n n a xn

n

n

( )1 2

2

En la ecuación diferencial :

n n a xn

n

n

( )1 2

2 - n a xn

n

n 1 - a xn

n

n 0 0 en

Término independiente : 2 1 02 0a a a

a2

0

2

Coeficiente de x : 3 2 03 1 1a a a a

a3

1

3

Coeficiente de xn : n n a n an n2 1 1 02

aa

nn

n2

2

Ley de recurrencia : a

a

nnn

n 2 2

Luego a0 y a1 son libres y

aa

n

aa

n

n

n

20

2 11

2

2 1

( )!!

( )!!

Por tanto :

y x ax x x

na x

x x x

n

a y x a y x x

n n

( )!! !!

...( )!!

...!! !!

...( )!!

...

( ) ( )

0

2 4 2

1

3 5 2 1

0 1 1 2

12 4 2 3 5 2 1

Solución particular:

y

y

a

a

( )

( )

0 1

0 0

1

0

0

1

Luego

y xx

n

n

( )( )!!

2

0 2 y x

x

n

x

n

n

n

n

( )! !

2

0

2

02

2

2

x2

e)x(y

Ejemplo 2

Hallar, por el método de series de potencias en torno a x0 = 0, la solución

general de la ecuación diferencial: 0y2yx2y)x1(2

Es

p( )

q( )

xx

x

xx

2

1

2

1

2

2 Ambas analíticas en x0 = 0 con R1 = R2 = 1

Luego existe solución analítica en x0 = 0, válida al menos para x 1

.

Sustituyendo y a xn

n

n 0 en la ecuación diferencial:

n n a xnn

n

( )1 2

2 + n n a xn

n

n

( )12 +2

n a xnn

n 1 - 2a xn

n

n 0 0

Término independiente : 2 2 02 0a a a a2 0

Coeficiente de x : 6 2 2 03 1 1a a a a3 0

Coeficiente de xn : n n a n n a n a an n n n2 1 1 2 2 02

Luego a0 y a1 libres, a2 = a0 , a3 = 0,

an n n

n na

n n

n nan n n2

1 2 2

1 2

1 2

1 2

( )

( )( )

( )( )

( )( )a

n

nan n

3

12

n 2

Como a3 = 0 a5 = a7 = ... = a2n+1 = ... = 0

a n2 =

2 3

2 11

2 3

2 1

2 5

2 3

3

5

1

3

1

12 2 0

n

na

n

n

n

nan

n... ( ) ...( )1

2 1

1

0

n

na

Por tanto :

y =

ax x x

nx a x x

nn

0

2 4 6 12

111 3 5

1

2 11...

( )...

En este caso puede sumarse la serie :

y =

a xx x x x

a x0

3 5 7

111 3 5 7

...

xaxarctgx1ay 10

Nota

En los dos primeros ejemplos, la relación de recurrencia ha consistido únicamente en dos términos y además podía deducirse fácilmente de ella, la forma general de an . Pero, pueden aparecer relaciones con dos o más términos (Con 3 en el Ejemplo 3), que sean más complicadas, tales que no pueda determinarse la forma general de los coeficientes an. Entonces sólo podrán obtenerse algunos términos.

Ejemplo 3

Hallar por el método de series de potencias en torno a x0 = 1 los términos hasta la potencia de grado 4, correspondientes a la solución general de la ecuación

diferencial: 0yyxy2

Se efectúa el cambio de variable : x - 1 = t ó x = t + 1.

Entonces yy,y

xd

td

td

yd

xd

ydy

2 1 0 ( ) y t y y , t0 = 0

p( )

q( )

tt

t

1

2

1

2 Ambas analíticas en t = 0 con R1 = R2 =

Luego existe solución analítica en t = 0, válida para todo t.

Sustituyendo

y a tnn

n 0 en la ecuación diferencial :

2 1 2

2

n n a tnn

n

( )

+

n a tnn

n 1 +

n a tnn

n

1

1 +

a tnn

n 0 0

Término independiente : 2 2 1 02 1 0a a a a

a a2

0 1

4

Coeficiente de t : 2 3 2 2 03 1 2 1a a a a a

a a3

1 2

6

Coeficiente de tn : 2 2 1 1 02 1n n a n a n a an n n n( )

a

n a n a

n n

a a

na

a a

nn

n n n nn

n n2

1 1 2 11 1

2 1 2 2 2 2

( ) ( )

( )( ) ( )

Luego : a

a a2

0 1

4 ; a

aa a

a a3

10 1

1 04

6

3

24

a

a a

a a a a

a a a a a a4

2 3

0 1 1 0

0 1 1 0 0 1

8

4

3

24

8

6 6 3

192

5 9

192

x...)1x(192

9

8

)1x(

4

)1x()1x(a

...)1x(192

5

24

)1x(

4

)1x(1a)x(y

432

1

432

0

Ejemplo 4

Hallar, por el método de series, la solución del problema de valor inicial:

y’’ – 2xy’ + 8y = 0 ; y(0) = 3 , y’(0) = 0.

Son p(x) = -2x y q(x) = 8 , ambas analíticas en xo = 0 , con R1 = R2 =

Por tanto, existe solución y = y(x), analítica en xo = 0, válida para todo x.

Sustituyendo y a xn

n

n 0 en la ecuación diferencial:

n n a xnn

n

( )1 2

2 - 2 n a xn

n

n 1 + 8 a xn

n

n 0 0

Término independiente : 0a8a2 02 02 a4a

Coeficiente de x : 0a8a2a6 113 13 aa

Coeficiente de xn : 0a8an2a1n2n nn2n

Luego : n2n a

)2n)(1n(

)4n(2a

. De donde: 2nn a

)1n(n

)6n(2a

n 2

Se pide la solución tal que : y(0) = 3 e y’(0) = 0 , es decir, tal que ao = 3 y a1 = 0.

Luego:0.....aa0a

412

a4a

0......aa

12a

0a

3a

1086

24

53

2

1

0

Por tanto: y = 3 – 12 x2 + 4 x4

Ejemplo 5

Ecuación y polinomios de Legendre (1752-1833)

La ecuación de Legendre de parámetro m 0 es :

0y)1m(myx2y)x1(

2

3

Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.

Es 2

2

x1

)1m(m)x(q

x1

x2)x(p

Ambas analíticas en x0 = 0 con radio de convergencia de los respectivos desarrollos : R1 = R2 = 1

Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x,

válida, al menos para x 1

.

Sea 0n

nn xay

. Sustituyendo en la ecuación :

2n

2nn xa)1n(n

- 2n

nnxa)1n(n

-2 1n

nn xan

+ 0n

nn xa)1m(m

0

Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.

x0 : 0a)1m(ma12 02 02 a

12

)1m(ma

x1 : 0a)1m(ma2a23 113 113 a

!3

)2m)(1m(a

23

2)1m(ma

xn : 0a)1m(man2a1nna1n2n nnn2n

n2n a

)1n)(2n(

)1nm)(nm(a

2n a

)1n(n

)1nm)(2nm(a 2nn

Luego :

1x...x!5

)4m)(2m)(1m)(3m(x

!3

)2m)(1m(xa

...x!4

)3m)(1m(m)2m(x

!2

)1m(m1ay

531

420

Es decir : )x(ya)x(yay 2110

Si m = 0, 1, 2, ... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios pn(x) son respectivamente :

p0 = 1 p1(x) = x p2(x) = 1 - 3 x2 p3(x) = x - 3

5

x3 ......

Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la solución polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m ( o sea, el múltiplo de pn(x), tal que Pm(1) = 1.

Será:

P0(x) = 1 P1(x) = x 2

1x

2

3)x(P 2

2

x2

3x

2

5)x(P 3

3

Algunas propiedades:

Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :

n2

n

n

n )1x(xd

d

!)!n2(

1)x(P

O mediante una función generadora, debida a Legendre :

...t)x(Pt)x(P)x(Ptxt21

2210

2 21

También mediante fórmulas de recurrencia :

n1n1n

1nn1n

P)1n(2PP

)x(P1n

n)x(Px

1n

1n2)x(P

Cumplen la relación de ortogonalidad :

nm

1n2

2

nm0

xd)x(P)x(P1

1nm

4

La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de simetría esférica.

Ejemplo 6

Ecuación y polinomios de Hermite (1822 -1901)

La ecuación de Hermite es :

0y2yx2y

5

Aparece esta ecuación, por ejemplo en la mecánica cuántica, a partir de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico.

Se trata ahora de obtener su solución por el método de series, en torno a x0= 0.

El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación 5 , pues p(x) = -2x y q(x) =

2 son analíticas en x = 0. Además los radios de convergencia de los

respectivos desarrollos, son ambos infinitos. Luego existe solución de 5 , de la

forma 0n

nnxay

, válida para todo x real.

Sustituyendo en la 5 :

x 0xa2xna2xa)1n(n

2n

nn

2n

nn

2n

2nn

Luego :

Coeficiente de 1 : 0a2a2 02 02 aa

Coeficiente de xn-2 : n(n-1)an-2(n-2)an-2+2 an= 0

Relación de recurrencia : )1n(n

a)n2(2a

2nn

n 2

Luego :

x ...x!7

)5)(3)(1(2x

!5

)3)(1(2x

!3

)1(2xa

...x!6

)4)(2(2x

!4

)2(2x

!2

21a)x(y

73

52

31

63

42

20

Para = 0,1,2, ... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios

hn(x), para = n = 0,1,2,... son respectivamente :

... ,x3

2-x=)x(h ,x2-1=)x(h ,x)x(h ,1)x(h 3

32

210

Se llama polinomio de Hermite de grado n , y se designa Hn(x), a la solución

polinómica de la ecuación de Hermite de parámetro = n ( o sea el múltiplo de hn(x)), cuyo coeficiente de xn es 2n. Será por tanto :

... ,x12-x8=)x(H 2,-x4=)x(H ,x2)x(H ,1)x(H 33

2210

Algunas propiedades: (sin demostración)

Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :

22x

n

nxn

n eexd

d)1()x(H

También por medio de la función generadora :

0n

nnttx2t

!n

)x(H2

e

O mediante las fórmulas de recurrencia :

)x(Hn2)x(H

)x(Hn2)x(Hx2)x(H

1n'n

1nn1n

Cumplen la relación de ortogonalidad:

nm!n2

nm 0xd)x(H)x(H

nnmx

2

e

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES CON DERIVADAS PARCIALES

Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales se denomina ecuación diferencial en derivadas parciales.

En toda ecuación diferencial en derivadas parciales, la variable dependiente (función desconocida) deberá ser una función de por lo menos dos variables independientes ya que de no ser así no aparecerían derivadas parciales.

El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada de mayor orden que aparezca en dicha ecuación.

Ejemplo.

APLICACIONES

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el moldeamiento de fenómenos físicos.

Ecuación de la conducción del calor. La constante C, llamada infusibilidad, es igual a 1 donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.

• Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante. La constante, donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

• Elípticas: Las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.

Ejemplo. Laplace Elíptica

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

• Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al

tiempo son usualmente hiperbólicas.

Ejemplo: Onda Hiperbólica.

Es la ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

• Parabólicas: las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas.

Ejemplo: Difusión Parabólicas.

Es la ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

SOLUCION DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES

La solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales, resulta más complejo que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias debido a que no existen métodos generales de resolución efectivos sino para un diverso grupo de ecuaciones.

TIPOS DE SOLUCIONES DE LAS EDP

Solución general: Toda ecuación en derivadas parciales de primer

orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

solución completa: Una solución completa es una solución particular

de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Métodos de Laplace: La transformada de Laplace se puede utilizar para

la solución de ecuaciones diferenciales parciales de forma similar que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Regularmente este método se emplea para solucionar ecuaciones con condiciones iníciales, es decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo.

El método consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial parcial y a las condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener la transformada inversa.

TALLERES RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

TALLER 1: ECUACIONES HOMOGENEAS

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

2.1 ;

2.3 ;

2.4 ;

3.1

3.7

3.8

4.1

4.7

4.8

TALLER 2:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

2.1 ;

2.3 ;

2.4 ;

3.1

3.7

3.8

4.1

4.7

4.8

TALLER 3:

Guía de ejercicios ecuaciones diferenciales.

1. Obtenga en cada caso la transformada de la función dada.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

2. halla la transformada de laplace de las siguientes expresiones.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

3. halle la transformada inversa de las siguientes funciones

3.1

3.2

4. obtenga la solución particular que cumpla con los valores iniciales dados, de las siguientes

ecuaciones diferenciales.

4.1

Luego aplicamos la transformada inversa para obtener el y(t)

4.2

Luego aplicamos la transformada inversa para obtener el y(t)

4.3

Luego aplicamos la transformada inversa para obtener el y(t)

4.4

4.5

Luego aplicamos la transformada inversa para obtener el y(t)

5.halla la solución particular de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales, que

cumplan con los valores iniciales dados.

5.1

5.3

6. halle la transformada de laplace de las siguientes expresiones.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

7. obtenga la solución particular que cumpla con las condiciones iniciales dadas, en la

siguientes ecuaciones diferenciales

7.1

8. obtenga la transformada de laplace de las siguientes funciones.

8.1

8.2 -

8.3

8.4

CONCLUSION

A manera de conclusión podemos decir que hay diversos métodos

para saber o demostrar la existencia de las soluciones de las

ecuaciones diferenciales, muchas personas han dedicado su

estudio a este campo, con el fin de explicar a fondo todos estos

teoremas.

En este trabajo observamos la importancia de las ecuaciones

diferenciales con los diferentes métodos, así como la utilización de

las ecuaciones diferenciales no lineales para el modelaje de

problemas de crecimiento de población, teniendo en cuenta que se

realiza desde un punto de vista cualitativo.

Además, Podemos concluir que las ecuaciones no lineales nos

pueden llegar a ayudar en múltiples problemas que se nos pueden

presentar en la vida y los cuales podremos tener una aproximación

muy grande acerca de su solución utilizando este tipo de

ecuaciones.

BIBLIOGRAFIA

http://www.mitecnologico.com/Main/IntroduccionALasEcuacion

esDiferencialesParciales

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_p

arciales

Elementos en ecuaciones diferenciales parciales.pdf

Dennis zill, ecuaciones diferenciales

www.divulgamat.net

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node17.html

ecuaciones diferenciales. conceptos basicos (existencia y

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