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Análisis en Forma Estratégica: Juegos Estáticos I Empezaremos nuestro análisis con juegos estáticos: Aquellos en los cuales los jugadores decide sus acciones de forma simultánea e independiente. Nuestro análisis se basa en la representación estratégica (normal) de los juegos. Así, nos concentraremos en las estrategias y los payoffs de los jugadores. Recuerde que este tipo de juegos tiene una “buena” representación en forma normal. El objetivo es introducir conceptos y algoritmos que nos ayudaren a predecir el comportamiento de los jugadores. Los principales conceptos que veremos son: I. Dominación (Nash, 1951). II. Mejor respuesta (Nash, 1951). III. Dominación iterativa (Pearce,1984; Bernheim, 1984). IV. Equilibrio de Nash (Nash, 1951).

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I. Dominación Ejemplo 1: Considere el siguiente juego en forma estratégica:

La estrategia U del jugador 1 posee una característica interesante: Independientemente de la estrategia que escoja 2 ( R,LS2 ) el jugador 1 siempre estará mejor escogiendo la estrategia U. En este caso decimos que la estrategia D es dominada por la estrategia U. Note que ninguna de las estrategias de 2 es dominada por la otra.

1 \ 2 L R

U 2, 3 5, 0

D 1, 0 4, 3

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Ejemplo 2:

1 2 L C R

U 8, 3 0, 4 4, 4

M 4, 2 1, 5 5, 3

D 3, 7 0, 1 2, 0

¿Existe alguna estrategia del jugador 1 que sea dominada? ¿Existe alguna estrategia del jugador 2 que sea dominada?

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Ejemplo 2:

1 2 L C R

U 8, 3 0, 4 4, 4

M 4, 2 1, 5 5, 3

D 3, 7 0, 1 2, 0

¿Existe alguna estrategia del jugador 1 que sea dominada? D es dominada por M ¿Existe alguna estrategia del jugador 2 que sea dominada? No

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Ejemplo 3:

1 2 L R

U 4,1 0,2

M 0,0 4,0

D 1,3 1,2

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Ejemplo 3:

1 2 L R

U 4,1 0,2

M 0,0 4,0

D 1,3 1,2

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Ejemplo 3:

1 2 L R

U 4,1 0,2

M 0,0 4,0

D 1,3 1,2 En este ejemplo no existe una dominación en estrategias puras para ningún jugador. La dominación en este caso es un poco más compleja! Una estrategia mixta entre U y M domina D para el jugador 1. Suponga que 1 usa la estrategia mixta σ1=(½, ½, 0), entonces:

Si 2 juega L, el payoff esperado de 1 es: 1L,Du2100½4½ 1 Si 2 juega R, el payoff esperado de 1 es: 1R,Du2104½0½ 1

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Formalmente Una estrategia pura is del jugador i es dominada si existe una estrategia (pura o mixta) ii S tal que iiiiii s,sus,u , para todo el perfil de estrategias

ii Ss . Notas:

Existen varias definiciones de dominación en la literatura. La mayoría son equivalentes.

Note que la definición de dominación implica la desigualdad estricta. Esto es, iiiiii s,sus,u y no iiiiii s,sus,u . (Ver ejemplo 2). Con el

fin de enfatizar, muchas veces se usa el término dominación estricta. Conclusión:

Un jugador racional NUNCA jugará una estrategia dominada ya que, escogiendo otra estrategia, incrementará su pago esperado (independientemente de los que haga el resto de jugadores).

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El algoritmo… El objetivo es buscar estrategias que son dominadas. Así, es mejor iniciar el análisis de forma sencilla: 1. Busque si alguna estrategia del jugador i es dominada por otra estrategia pura

(Tenga cuidado de no confundir los pagos entre jugadores). 2. Si una estrategia no es dominada por ninguna estrategia pura, hay que revisar

si ésta es dominada por alguna estrategia mixta. 3. Lo mejor es tratar de combinar números grandes con números pequeños.

Recuerde que es suficiente con encontrar UNA estrategia mixta que domine a alguna estrategia pura (Por lo general, hay muchas - ver ejemplo 3).

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Ejemplo 3: (¿Cómo sustentar en un examen?)

1 2 L R

U 4,1 0,2

M 0,0 4,0

D 1,3 1,2 No existe dominación en estrategias puras para 1. No existe dominación en estrategias puras para 2. Para 1: D es dominada por σ1=(½, ½, 0)

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II. Mejor respuesta (Best response) Aunque el concepto de dominanción es importante, éste no necesariamente permite predecir de forma completa el comportamiento de los agentes. Por ejemplo, en muchos juegos cada jugador tiene más de una estrategia no dominada ¿Cómo podríamos predecir su comportamiento en estos casos? Ejemplos Matching Pennies Batalla de los sexos

1 2 C S

C 1, -1 -1, 1

S -1, 1 1, -1

1 2 F O

F 3, 2 1, 1

O 0, 0 2, 3

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Muchas veces los individuos forman creencias (beliefs) sobre el comportamiento de los otros individuos. El cómo se forman estas creencias, depende de factores institucionales, culturales, de las posibilidades de comunicación, etc. El concepto de mejor respuesta consiste en que cada jugador escoge su mejor estrategia (la que da mayor payoff), basado en sus creencias. Formalmente: Suponga que el jugador i tiene creencias ii S sobre el perfil de estrategias jugadas por el resto de jugadores. La estrategia ii Ss es una mejor respuesta si iiiiii ,'su,su para todo ii S's .

Para cada creencia i , llamaremos iiBR al conjunto de mejor respuesta de i.

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Teorema: En juegos finitos cada creencia tiene por lo menos una mejor respuesta (La prueba no la haremos). Nota:

Puede existir más de una mejor respuesta para un mismo vector de creencias. Es decir, el conjunto de iiBR no es necesariamente unitario.

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Ejemplo: Batalla de los sexos Suponga las siguientes creencias: ½,½1 , ½,½2 Calculando los pagos esperados obtenemos: 212/132/1, 11 Fu y 122/102/1, 11 Ou ,

luego FBR 11 102/122/1,22 Fu y 232/112/1,22 Ou ,

luego OBR 22

1 2 F O

F 3, 2 1, 1

O 0, 0 2, 3

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Mejor Respuesta 2: Nuestro concepto de mejor respuesta involucra directamente las creencias de los jugadores. Un concepto más generalizado (pero menos general) que aparece en los libros de texto es el siguiente: La estrategia ii Ss es una mejor respuesta al vector de estrategias ii Ss si iiiiii ssussu ,', para todo ii S's .

Lo único que cambia en este concepto es que no se le llama beliefs al vector

ii Ss . Sin embargo, la creencia implícita de i es que el resto de jugadores jugará is con probabilidad del 100%.

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Dominación y Mejor respuesta ¿Existe alguna relación entre dominación y mejor respuesta? Definamos:

iUD al conjunto de estrategias del jugador i que NO son dominadas.

iB { is : existe una creencia ii S tal que iii BRs } Es decir, iB es el conjunto de estrategias de i que son mejor respuesta sobre todas las posibles creencias del jugador i. Miraremos si existe una relación entre iUD y iB .

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Ejemplo:

1 2 L R

U 6,3 0,1

M 2,1 5,0

D 3,2 3,1

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Ejemplo:

1 2 L R

U 6,3 0,1

M 2,1 5,0

D 3,2 3,1 Tenemos que:

LUD2 y LB2

M,UUD1 (En estrategias mixtas D es dominada) y M,UB1

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El ejemplo anterior ilustra un resultado que se puede demostrar formalmente: una estrategia es mejor respuesta si y solo si esta no es dominada. Teorema 1 (Pearce, 1984): En un juego finito con dos jugadores, 11 UDB y

22 UDB . Para juegos con más de dos jugadores, la relación entre iB y iUD es más complicada y requiere conocer mejor el tipo de creencias de los jugadores. Si denotamos iB como el conjunto de estrategias de mejor respuesta donde no existe correlación entre las beliefs de los jugadores y c

iB el conjunto donde las creencias son correlacionadas, el siguiente resultado se obtiene: Teorema 2 (Pearce, 1984): En un juego finito, ii UDB y i

ci UDB para cada

n,...,2,1i . Es decir: Con beliefs no-correlacionadas, una estrategia dominada nunca es mejor respuesta; y con beliefs correlacionadas, una estrategia NO es dominada si y solo si es mejor respuesta.

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III. Dominación Iterativa Un comportamiento racional implica más que evitar estrategias dominadas. Debemos seguir explorando el comportamiento de los jugadores en más detalle. Ejemplo 1:

1 2 X Y Z

A 3,3 0,5 0,4

B 0,0 3,1 1,2

1 No tiene estrategias dominadas, así esperamos que juegue racionalmente A o B dependiendo de sus creencias. Sin embargo, podemos hacer un análisis mucho más profundo.

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Suponiendo common knowledge sobre el juego que se está jugado (la matriz), podemos aplicar estrategias dominadas interactivas.

1 2 X Y Z

A 3,3 0,5 0,4

B 0,0 3,1 1,2

Ver tablero

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Suponiendo common knowledge sobre el juego que se está jugado (la matriz), podemos aplicar estrategias dominadas interactivas.

1 2 X Y Z

A 3,3 0,5 0,4

B 0,0 3,1 1,2

Ver tablero

Predicción: el único resultado que se debe observar es Z,B con payoffs 2,1 . Nota: Note que el resultado es ineficiente, si los jugadores se pusieran de acuerdo jugarían X,A .

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Ejemplo 2:

1 2 L C R

U 5, 1 0, 4 1, 0

M 3, 1 0, 0 3, 5

D 3, 3 4, 4 2, 5

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Ejemplo 2:

1 2 L C R

U 5, 1 0, 4 1, 0

M 3, 1 0, 0 3, 5

D 3, 3 4, 4 2, 5

RM , es el único perfil de estrategias que sobrevive.

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Eliminación iterativa de estrategias dominadas:

Borrar todas las estrategias dominadas de forma pura para cada jugador. Ningún jugador las jugará!

Lo anterior lleva a un nuevo juego. Vuelva a aplicar el concepto de dominación hasta reducir lo máximo posible el juego.

Se puede demostrar que el orden en el cual se eliminan las estrategias (si hay

más de un jugador con estrategias dominadas en un mismo juego) no afecta el resultado final.

El conjunto de estrategias que sobreviven a este proceso es llamado estrategias racionalizables (rationalizable strategies).

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Ejemplo 2: (¿Cómo sustentar en un examen?)

1 2 L C R

U 5, 1 0, 4 1, 0

M 3, 1 0, 0 3, 5

D 3, 3 4, 4 2, 5

1) L es dominada por σ2=(0,½, ½) 2) U es dominada por D 3) C es dominada por R 4) D es dominada por M RM , es el único perfil de estrategias que sobrevive.