pautas de ayudantías (introducción a la microeconomía - uchile)

Universidad de ChileFacultad de Economıa y NegociosDepartamento de Economıa

ECO150: Introduccion a la MicroeconomıaProfesor Christian Belmar C.

Semestre Primavera, 2011

Pauta Ayudantıa 1

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Marıa Jose Perez y Mauricio Vargas

27 de julio de 2011

1. Sistemas de Ecuaciones

1. ¿Que es un sistema de ecuaciones?

Respuesta. Un sistema de ecuaciones consiste en 2 o mas ecuaciones de 2 o mas incognitas. Enparticular, diremos que el sistema es de 2 ⇥ 2 si consiste en 2 ecuaciones con 2 incognitas, y de 3 ⇥ 3si consiste en 3 ecuaciones con 3 incognitas. En adelante nuestras incognitas seran designadas por lasultimas letras del alfabeto a menos que se indique lo contrario. ⇤

Ejemplo 1. Sistema de 2⇥ 2 ⇢ax+ y = b

x� ay = 2b

Tenemos 2 incognitas, x e y, mientras que a y b son coeficientes conocidos que podrıan ser numeros,pero resolver con esos factores nos da la solucion general para esa forma del sistema. Hay 2 ecuacionesy 2 incognitas, es decir, el sistema es de 2⇥ 2.

Ejemplo 2. Sistema de 3⇥ 3 8<

:

x+ y � z = 0x+ y + 2z = 93x� z = 0

Notemos que la tercera ecuacion del sistema tiene 2 incognitas, pero en total entre las 3 ecuacionescontamos 3 incognitas y el sistema es de 3⇥ 3.

2. ¿Que significa resolver un sistema de ecuaciones?

Respuesta. Resolver el sistema es encontrar los valores (literales o numericos) de las incognitas perotiene tambien un significado geometrico. Resolver un sistema de 2 ⇥ 2 es encontrar las coordenadasde interseccion de las dos rectas representadas por las 2 ecuaciones, mientras que resolver un sistemade 3 ⇥ 3 es encontrar las coordenadas del punto de interseccion de los tres planos dados por las tresecuaciones. Por las explicaciones anteriores dos rectas no siempre se cortan en un punto pues puedentambien ser paralelas o coincidir, o que 3 planos no siempre concurren en un punto porque tambienpueden tener una recta comun, o pueden coincidir completamente, o bien ser paralelos. Es decir, unsistema no siempre tiene solucion unica, es mas, no siempre tiene solucion.

El caso mas simple de analizar graficamente es el de sistemas de 2⇥ 2 y lo veremos con ejemplos. ⇤

3. Resuelva el sistema ⇢3x� 7y = 82y � x = �3

por el metodo de igualacion.

Igualacion. Consiste en tomar dos ecuaciones y en ambas despejar una variable, para luego igualarambas ecuaciones. Esto se repite hasta llegar a una ecuacion de una sola incognita, para resolverla y

1

sustituir en alguna ecuacion, o repetir todo el proceso para despejar esta vez otra incognita. Recuerdenque no podemos inventar informacion para resolver el sistema.

Soluci

´

on. Despejemos x en ambas ⇢x = 7y+8

3x = 2y + 3

Luego,7y + 8

3= 2y + 3

donde resolviendo obtenemos y = 1. Ahora podrıamos hacer algo similar a lo anterior, esta vez igualandoy para obtener x. Pero es mas rapido reemplazar y = 1 en x = 2y + 3, obteniendo x = 5.

Solucion:(x, y) = (5, 1)

y el grafico del sistema es

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

(3x-8)/7(x-3)/2

⇤

4. Resuelva el sistema 8<

:

2x� 3y � 5z = 23x+ y � 2z = 3x+ y � z = 0

por el metodo de igualacion.

Soluci

´

on. De la primera y la ultima ecuacion obtenemos

⇢x = 1

2 (2 + 3y + 5z)x = z � y

igualamos y se obtiene 5y + 3z = �2.

De la segunda y la ultima ecuacion obtenemos

⇢x = 1

3 (3� y + 2z)x = z � y

igualamos y se obtiene z � 2y = 3.

Por lo anterior se tiene⇢

5y + 3z = �2z � 2y = 3

)⇢

z = � 13 (2 + 5y)

z = 3 + 2y) �1

3(2 + 5y) = 3 + 2y

2

Resolviendo obtenemos y = �1. Reemplazando en alguna de las ecuaciones del sistema de 2⇥2 anterior,por ejemplo en z � 2y = 3, obtenemos z = 3 + 2y = 3� 2 = 1.

Con y = �1, z = 1 reemplazamos en alguna de las ecuaciones del sistema de 3⇥ 3 original. Por ejemploreemplazando en x+ y � z = 0, se obtiene x = 2.

Solucion:(x, y, z) = (2,�1, 1)

y el grafico del sistema es

−20

24

−2−1

01

23

−6

−4

−2

0

2

4

6

yx

z

(2x−3y−2)/5(3x+y−3)/2x+y

⇤

5. Tarea: Resuelva el sistema ⇢3x+ 4y = 23x� 8y = 3

usando el metodo de eliminacion y ademas resuelva los sistemas anteriores por el metodo de eliminacion.

Eliminacion: Tomamos dos o mas ecuaciones del sistema y las multiplicamos por algun factor conve-niente (entero, fraccion, positivo, negativo, etc pero nunca cero) de manera que al sumar estas igualdadestermino a termino se elimine alguna incognita o se obtenga una ecuacion de primer grado con una solaincognita que se supone, a estas alturas ya sabemos resolver.

Soluci

´

on. Multiplicamos la segunda ecuacion por �3

⇢3x+ 4y = 23�3x+ 24y = �9

Sumamos termino a termino obteniendo 28y = 14, es decir y = 12 . Sustituyendo este valor en la segunda

ecuacion del sistema original se obtiene x = 7.

Solucion: (x, y) =

✓7,

1

2

◆

Los demas problemas ya fueron resueltos y solo cambia un poco el desarrollo. ⇤

2. Preguntas Cortas

1. La principal diferencia entre microeconomıa y macroeconomıa es que esta ultima utiliza mucha ma-tematica y la primera es mucho mas conceptual.

Respuesta. Falso. La microeconomıa es una rama de la economıa que estudia las interacciones que sedan entre los agentes de forma individual, centrandose en que aspectos determinan el comportamientode estos. Sus principales estudios son la teorıa del consumidor y la teorıa de la firma. Por otro lado,

3

la macroeconomıa estudia las interacciones de los agentes a nivel agregado, centrandose en analizar lastendencias y posibles intervenciones. Sus principales estudios son los efectos de la polıtica fiscal y lapolıtica monetaria. ⇤

2. Cuando el precio maximo que un consumidor se dispone a pagar son $500 por los chocolates, el preciode equilibrio es $500.

Respuesta. Falso. La condicion de equilibrio es Q

S = Q

D. Si los consumidores estan dispuestos apagar hasta cierto precio, dicho precio corresponde a su precio de reserva.

Recordemos el siguiente grafico

Q

P (Q)

Exceso de oferta

Exceso de demanda

D

S

Los precios por sobre el precio de equilibrio generan que la cantidad ofertada sea mayor que la cantidaddemandada. Los precios por debajo del precio de equilibrio generan que la cantidad ofertada sea menorque la cantidad demandada. ⇤

3. La funcion de oferta para un cierto bien asigna a cada precio el numero de unidades del bien que losproductores desearıan vender a ese precio. Entonces, por definicion es exactamente igual dejar el precioen funcion de la cantidad que la cantidad en funcion del precio en un grafico de oferta y demanda.

Respuesta. Lo que el comente dice respecto de la funcion de oferta es cierto pero no debemos olvidarque en economıa trabajamos con la oferta inversa (simplemente se omite este “apellido” porque porconvencion se trabaja ası), la cual a cada nivel de produccion le asocia el menor precio al cual losproductores estarian dispuestos a producir dicha cantidad.

Podemos concluir que mientras mayor sea el precio de un bien los productores estarian dispuestos avender una mayor cantidad. Es decir, se concluye que la funcion de oferta (inversa) tiene pendientepositiva. La funcion de oferta (no inversa) tambien tiene pendiente positiva.

Finalmente, debemos destacar que dejar una variable en funcion de otra cambia ligeramente la inter-pretacion que damos a los graficos pero, dada la funcion de demanda, se llega al mismo equilibrio conambas formas tras despejar los precios o las cantidades tanto en la oferta como en la demanda. ⇤

4. El mercado de los completos en nada afecta al mercado de las hamburguesas.

Respuesta. Falso. Ambos bienes, en general, son sustitutos. Cuando el precio de los completos aumenta,la gente tendera a dejar de consumir completos reemplazandolos por hamburguesas. Los consumidoresdemandaran mas hamburguesas para cada precio dado. Graficamente

4

Q

P (Q)

D1

S

D2

P1

P2

Q1 Q2

⇤

5. Considere los siguientes datos sobre el precio del pan (datos hipoteticos):

Precio del kg. (en $) 320 340 360 380 400 420Oferta (en kg.) 8.000 8.500 9.000 9.500 10.000 10.500

Determine si esto corresponde a una funcion de oferta mediante los siguientes pasos:

a) Determine si la relacion entre ambas variables sigue una proporcionalidad directa.

b) Obtenga la funcion que relaciona precio y cantidad y grafique esta funcion.

c) Concluya.

Respuesta. Siguiendo los pasos:

a) Una forma conveniente es calcular la razon de cambio del aumento de precios y el cambio decantidades. Es decir, debemos calcular

P2 � P1

Q2 �Q1

Si tomamos P2 = 340 y P1 = 320 las cantidades correspondientes son Q2 = 8,500 y Q1 = 8,000,esto nos da una razon 1:25 (simplificando 20:500), es decir por cada una unidad que aumenta elprecio aumenta en 25 unidades la cantidad. Luego, para cualquier incremento de precios tras cal-cular la razon de cambio obtenemos la misma constante de proporcionalidad. Concluimos entoncesque la relacion esta dada por una recta y que no hay cambios de pendiente.

b) De la parte anterior sabemos que la relacion es lineal y deberıamos saber que la ecuacion de unarecta (con Q como variable independiente) es

P = mQ+ n

Tambien de la parte anterior obtenemos que m = 1/25, entonces nos falta saber el valor de n.Cuando el precio es, por ejemplo, 360 tenemos

360 =1

25· 9000 + n ) 360 = 360 + n ) n = 0

Entonces la funcion es

P =1

25·Q

y el grafico corresponde a una recta con pendiente positiva.

5

0 5 10 15 20 25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Q

P(Q)

c) De la parte anterior el valor n nos dice que si el precio es cero los productores ofrecen cero, enesto hay que ser cuidadosos con algunos valores de n que podrıan generar, por ejemplo, preciosnegativos para cantidades positivas lo cual carece de sentido logico y economico. El valor de m

nos dice que si aumenta la cantidad entonces el precio aumentara. Ambos hechos nos permitenconcluir que esta funcion refleja el comportamiento de la oferta, entonces es una funcion de oferta.

⇤

3. Equilibrio de mercado

Problema 1. En la ciudad de Springfield se produce Cerveza Du↵. Los economistas de dicha ciudad quehan estimado las funciones de oferta y demanda llegaron al siguiente resultado:

Q

S =P

2y Q

D = 36� P

En base a estos datos determine:

1. Grafique la oferta con el precio en funcion de la cantidad y la cantidad en funcion del precio. ¿Enque difieren los graficos?

2. Calcule la cantidad de equilibrio y en base a dicha cantidad encuentre el precio de equilibrio. Grafiqueel equilibrio dejando el precio en funcion de la cantidad.

3. ¿Que se entiende por equilibrio? Explique brevemente.

Tarea: Considere que en la ciudad hay 15 firmas que producen la Cerveza Du↵. De esas firmas hay 10 queson identicas y tienen una funcion de oferta q

S1 = P

40 y 5 firmas distintas a las anteriores pero identicas entreellas que tienen una funcion de oferta q

S2 = P

20 . La curva de demanda por cervezas es QD = 36�P . Encuentrela curva de oferta agregada. Ademas grafique la oferta agregada y la de cada tipo de firmas segun precio enfuncion de cantidad y cantidad en funcion de precio.

Soluci

´

on.

1. Graficando con la cantidad como variable dependiente tenemos Q(P ) = P/2

6

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

P

Q(P)

Graficando con el precio como variable dependiente tenemos P (Q) = 2Q

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Q

P(Q)

La interpretacion de la pendiente es distinta en los dos graficos. Es fundamental distinguir que ambosgraficos no son lo mismo. El grafico de cantidad en funcion del precio asigna a cada precio el numerode unidades del bien que los productores desearıan vender a ese precio. Por otra parte, el grafico deprecio en funcion de la cantidad asigna a cada cantidad el precio mınimo al que los productores estarıandispuestos a producir dicha cantidad.

2. Para encontrar el equilibrio aplicamos la condicion Q

S = Q

D

Q

S = Q

D ) 36� P =P

2) P = 24

con este precio la cantidad de equilibrio se encuentra reemplazando en la funcion de oferta o en lafuncion de demanda (es indiferente), por efectos de interpretacion nos quedaremos con la oferta

Q

S =P

2) Q

S = 12

Cuando igualamos cantidades, dejamos todo en funcion de precios que tras reemplazar en la oferta oen la demanda nos queda la cantidad de equilibrio. Graficamente

7

P

Q(P )

D

S

Q0

P0

Graficando con el precio como variable dependiente

0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

35

Q

P(Q)

QS

QD

3. La nocion de equilibrio en economıa es muy importante y requiere aclarar bien algunos conceptos. Engeneral, se podria pensar que equilibrio es Q

S = Q

D lo cual es un concepto inacabado. El hecho deque las cantidades ofertadas y demandadas se igualen es la consecuencia del equilibrio. Pero, ¿Que esequilibrio? Aun no lo hemos respondido porque partimos de la consecuencia y no de la causa.

La teorıa plantea que existe equilibrio competitivo en un mercado (por ejemplo en el mercado deltrabajo, del pan, del petroleo, etc.) si existe un precio en ese mercado (es decir por la mercancıa encuestion que se transa en dicho mercado) tal que no hay exceso de demanda pero que eventualmentepodrıa haber exceso de oferta.

Entonces, dejando de lado el caso en que exista exceso de oferta, en la economıa (varios mercados quese interrelacionan) decimos que un equilibrio competitivo es una “coleccion” o mejor dicho un conjuntode precios (uno para cada mercancıa) tales que la cantidad ofertada de cada bien (por los productores)es igual a la cantidad demandada de cada bien (por los consumidores). El equilibrio competitivo, en unsentido bien preciso, es eficiente.

Desarrollo de la tarea: Para las primeras 10 firmas tenemos

Q

S1 = 10qs1 =

10P

40=

P

4

Para las otras 5 firmas tenemos

Q

S2 = 5qs2 =

5P

20=

P

4La cantidad total que ofertan es

Q

S = Q

S1 +Q

S2 =

P

4+

P

4=

P

2

8

Graficando con la cantidad como variable dependiente

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

PQ(P)

Q1S

Q2S

QS

Graficando con el precio como variable dependiente

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Q

P(Q)

Q1S

Q2S

QS

⇤

Problema 2. En el paıs de 31 Minutos las curvas de oferta y demanda por sopaipillas estan dadas por

P

S = 2Q+ 20 y P

D = 300� 5Q

En base a estos datos calcule el precio de equilibrio y explique su resultado. ¿Que sucede si P = 120?

Soluci

´

on. Lo que puede confundir es que no aparecen las cantidades en funcion del precio. La condicionque debemos aplicar es PS = P

D, es decir

2Q+ 20 = 300� 5Q ) Q = 40

y en base a esto podemos reemplazar en la oferta para llegar al precio de equilibrio que es P = 100.Cuando igualamos precios, dejamos todo en funcion de cantidades que tras reemplazar en la oferta o en lademanda nos queda el precio de equilibrio. Graficamente

9

Q

P (Q)

D

S

P0

Q0

Si P = 120 la cantidad demandada es QD = 36 y la cantidad ofertada es QS = 50. Es decir, hay un excesode oferta (ver el grafico del comente 2.) ⇤

10




Ayudantıa 2

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jauregui, Marıa Jose Perez, Mauricio Vargas

27 de julio de 2011

1. Preguntas Cortas

Nota: En esta seccion se escribe una afirmacion, la cual es verdadera, falsa o incierta. Para responder uncomente se debe dar una postura, indicando claramente, los conceptos economicos que llevan a entenderlacomo verdadera, falsa o incierta. Todos los comentes, salvo excepciones deben tener apoyo grafico.

1. Para la Copa America, la Cerveza Cristal aumento su precio considerablemente, sin embargo los con-sumidores demandaron una mayor cantidad de dicho bien. Esto implica que existen dos posibilidades:Los agentes involucrados son irracionales o la ley de demanda no se cumple. Comente.

Soluci

´

on. Falso. Cabe recordar el concepto de Ceteris Paribus, es decir efectuar un cambio en unavariable independiente dejando todos los demas factores involucrados constantes.

Aplicando dicho concepto a la ley de demanda, se debe senalar que esta define una relacion inversaentre la cantidad y el precio cuando se consideran todos los demas componentes como fijos.

A partir de lo anterior se debe aclarar que son conceptos distintos la de ley de demanda y la funcionde demanda.

La ley de demanda describe un modelo basico donde se relacionan inversamente un precio Pi

con lacantidad Q

i

.Graficamente es un desplazamiento dentro de la curva que relaciona ambas variables,es decir , si se elige una cantidad se toma un nivel de precio y si se elige un nivel de precio se eligeautomaticamente una cantidad demandada.

Por otro lado la funcion de demanda es una expresion matematica que relaciona la cantidad de unbien o servicio con todas las variables de la que ella depende. Graficamente podrıamos observarlo comoun desplazamiento de la curva de demanda, producida por un cambio en un factor distinto del precio,como por ejemplo los gustos.

Qx

= f(Px

, Pz

, I, g)

En este ejemplo de funcion de demanda, el bien depende del precio del producto, del precio de otrosbienes, del ingreso disponible y de los gustos.

En conclusion el comente es falso ya que los gustos de las personas durante la Copa America en relaciona la cerveza cambia, estando dispuestos a demandar una mayor cantidad a mayor precio. En caso queefectivamente se cumpliera que los precios aumentan y la cantidad demandada aumenta dado todo lodemas constante, estarıamos en presencia de un bien Gi↵en o inferior, donde existe una relacion positivaentre precio y cantidad demandada.

1

P

PD

PE

Q1 Q2 Q

D1

D2

En la imagen podemos ver dos curvas de demanda. Se puede apreciar que en la curva D1

, la cantidadQ

1

se transa al nivel de precio PD, en cambio para Q2

se transa al precio PE Esto es conocido comomovimiento dentro la curva de demanda.

Ahora, saltando a la curva D2

es posible observar que la cantidad Q2

se transa a un precio mayor queen la curva D

1

y que para el precio PD se puede demandar una mayor cantidad. Esto es conocido comodesplazamiento de la curva de demanda. ⇤

2. Cuando los agentes de una economıa se enfrentan a diversas decisiones, evaluan cual de estas se ajustanmejor a sus objetivos. Por lo tanto el criterio logico serıa que los agentes tomaran sus decisiones en basea lo que estan obteniendo. Comente.

Soluci

´

on. Falso. En economıa los agentes son racionales y por lo tanto no solo consideran lo queobtienen al tomar una decision, sino que tambien toman en cuenta a lo que estan renunciando. Esteconcepto es conocido como Costo de Oportunidad o Costo alternativo.

El Costo de Oportunidad de una decision economica que tiene varias alternativas, es el valor de la mejoropcion no realizada. Es decir que hace referencia a lo que una persona deja de ganar o de disfrutar,cuando elije una alternativa entre varias disponibles. ⇤

3. Un impuesto porcentual aplicado a la oferta o demanda de un bien produce un alza en la mismamagnitud porcentual en el precio. Esto implica que pendiente y elasticidad son conceptos equivalentes.Comente.

Soluci

´

on. Falso. Existen solo dos casos donde se cumple que la magnitud porcentual de un impuestoy precio son iguales. Estos casos son el de demanda completamente inelastica y oferta completamenteelastica. Para todos los demas casos dependera de la elasticidad precio de las curvas de oferta y demanda.

Por otro lado, pendiente y elasticidad son conceptos distintos ya que la primera mide el grado deinclinacion o sustitucion entre dos variables, mientras que la segunda mide la sensibilidad porcentualde una variable respecto al cambio en otra. Es decir ambos conceptos tienen relacion pero no sonequivalentes, observando la ecuacion de elasticidad precio tenemos que :

⇠x

=Q

x

Px

· �Px

�Qx

Donde el primer factor del producto representa el inverso de la pendiente y el segundo es la relacion delas variables precio y cantidad en un determinado punto.

2

P

Q

D

S

P

Q0 Q

D

S

En el grafico de la izquierda se aprecia una demanda completamente inelastica y en la derecha unaoferta completamente elastica. Los rectangulos punteados representan el monto del impuesto ⇤

4. La aplicacion de un impuesto a los productores de un bien nocivo para la salud beneficia a los consu-midores. Comente.

Soluci

´

on. Incierto. El concepto central a destacar en este comente es la elasticidad precio. Siempre quese aplique un impuesto a un mercado, se debe cuantificar el impacto del cambio de una variable sobreotra. Este analisis permite concluir si un cambio en el precio de un bien afecta mas a los consumidoreso a los productores, ya que si bien el impuesto es colocado en la oferta, los oferentes van a introducirdicha alza al mercado afectando tambien a los demandantes. Recordar que la formula de la elasticidadprecio tanto para la demanda como para la oferta es:

⇠(d,s)

=Variacion porcentual de la cantidad demandada u ofertada

Variacion porcentual en el precio

=P

Q(d,s)

·�Q

(d,s)

�P

Diremos que cuando la elasticidad tiende a infinito es elastica y cuando tiende a 0 es inelastica. Cuandola demanda es completamente inelastica y se le pone un impuesto a cualquiera de las dos curvas elconsumidor termina pagando el impuesto. Si la oferta fuera completamente inelastica y se pone unimpuesto a cualquiera de las dos curvas el productor paga el impuesto.

Lo relevante es saber en que proporcion afectara a unos y a otros, esto se puede inferir de las curvas deoferta y demanda ya que la mas inelastica nos dira quien tiene que pagar mas.

Observemos que pasarıa con una demanda mas y menos elastica que la oferta dado el impuesto senaladoen el comente.

P

Q

S2

D

Q1 Q2

S1

PC

PP

PR

Figura 1: Demanda mas elastica

3

En este caso los productores absorben la mayor parte del impuesto ya que la oferta es mas inelasticaque la demanda.

P

Q

S2

D

Q1Q2

S1

PC

PP

PR

Figura 2: Demanda mas inelastica

En este caso los consumidores absorben la mayor parte del impuesto ya que la demanda es mas inelasticaque la oferta. ⇤

5. En un mercado donde la demanda es completamente inelastica y la cantidad es muy cercana a cero,se enfrenta una oferta que intersecta el eje de las abscisas en el mismo punto de donde nace dichademanda. Claramente el equilibrio de mercado mostrara una situacion de bienestar en la economıa.Comente.

Respuesta. Falso. Cabe senalar que dicho equilibrio no es lo suficientemente estable para mantenerseen el tiempo ya que ningun oferente estara dispuesto a entregar un producto a precio cero. Por otrolado la demanda es inelastica y cercana a cero, esto implica que se tiene un bien que es necesario peropoco demandado.Es logico que los oferentes suban el precio del bien para aumentar su excedente yaque la cantidad transada se mantendra inmutable. Por otro lado el productor debe analizar cual es sucosto de oportunidad de estar participando de este mercado.

P

Q

D

S

En el grafico podemos apreciar una demanda completamente inelastica y una oferta que intercepta eleje de las abscisas en el punto de origen de la curva de demanda. Claramente se aprecia un equilibrio debaja estabilidad ya que el precio de equilibrio es cero y la cantidad transada es positiva. Cabe senalarque para cualquier otro punto de dicha oferta no existiran equilibrios posibles. ⇤

6. Establecer un precio maximo permite ejecutar politicas de equidad ya que esta medida disminuye losprecios relativos al bien. Comente.

4

Respuesta. Falso. Primero se debe considerar si dicho precio maximo esta sobre o bajo el precio deequilibrio.

En caso que este por encima, el mercado no se vera alterado por dicha medida.

Cuando el precio maximo esta por debajo del precio de equilibrio se produce el efecto de escasez, esdecir la cantidad ofrecida en el mercadoes menor que la cantidad demandada produciendose un excesode demanda.

Es por esto que en este escenario menos personas podran adquirir el bien que en la situacion inicialproduciendose un menor acceso al bien.

En conclusion esta medida produce que se deje de transar unidades que antes eran ofrecidas a mayorprecio.

P

Q

D

S

Pm

Qs Qd

Escasez

En la figura podemos observar un precio maximo por debajo del equilibrio inicial de mercado donde seproduce una divergencia entre cantidad demandada y ofrecida produciendose escasez. ⇤

2. Oferta y Demanda

Problema 1. Considere el mercado de lapices Bic descritos por las siguientes funciones:

Oferta: Q = 700

Demanda: Q = 1000� P

1. Encuentre las cantidades y precios de equilibrio.

2. Encuentre el excedente del consumidor y el productor.

Soluci

´

on. Para determinar el equilibrio, las cantidades ofrecidas y demandadas deben ser iguales:

700 = 1000� P

P = 1000� 700

P ⇤ = 300

Reemplazamos este precio en la oferta o la demanda para encontrar la cantidad de equilibrio

Q = 1000� 300

Q⇤ = 700

5

P

Q

D

S

300

700 1000

EC

1000

EP

En la figura se aprecia una oferta completamente inelastica, donde la cantidad transada sera constante eigual a 700 y el precio de equilibrio sera 300. Excedentes:

EC =1

2· (1000� 300) · 700 = 245,000

EP = 7000 · 300 = 210,000

Cabe destacar que al ser la oferta completamente inelastica, los oferentes estan dispuestos a producir dichacantidad incluso a precios menores que la de equilibrio ya que para cualquier precio, el productor estara dis-puesto a ofrecer 700 unidades , esto impacta positivamente sobre su excedente. ⇤

Problema 2. Siguiendo el problema anterior. Al aproximarse el comienzo de clases la demanda por lapicesaumenta fuertemente, por lo que la demanda se desplaza, y la oferta tambien se ve afectada quedando ambasdescritas por las ecuaciones:

Demanda 2: Q = 2000� P

Oferta 2: Q = 4P � 500

1. Encuentre el nuevo precio y cantidad de equilibrio.

2. Ante el aumento de los precios el gobierno decide poner manos a la obra para detener este abuso, porlo que decide fijar un precio maximo igual al encontrado previa la expansion de la demanda. Grafiquey encuentre el precio final, la cantidad demandada y el exceso de demanda.

3. Encuentre y grafique la perdida de eficiencia producto de esta medida.

4. Viendo los resultados, el gobierno intenta arreglar la situacion, por lo que en vez del precio maximo,decide entregar un subsidio a las familias igual a $100 por lapiz. Encuentre el nuevo equilibrio y muestregraficamente la perdida de eficiencia.

Soluci

´

on. Nuevamente:

4P � 500 = 2000� P

5P = 2500

P ⇤ = 500

Reemplazamos este precio en la oferta o la demanda para encontrar la cantidad de equilibrio

Q = 4P ⇤ � 500 = 4?500� 500 = 1500

Q⇤ = 1500

El precio maximo sera de 300 (el obtenido en la parte (a))

6

La cantidad demandada a precio 300 serıa:

Qd = 2000� Pmax

= 2000� 300 = 1700

Pero a P = 300 no se ofrecen 1700, sino que se ofrecen:

Qs = 4Pmax

� 500 = 4 · 300� 500 = 700

El exceso de demanda es entonces:

Exceso de demanda = Qd �Qs = 1700� 700 = 1000

El precio final en el mercado negro sera aquel que esten dispuestos a pagar para las 700 unidades producidas:

700 = 2000� Pfinal

Pfinal

= 1300

P

Q

D

S

300

700

1300

1700

La perdida de eficiencia esta dada por:

PNBS =1

2· (1500� 700) · (1300� 300) =

1

2· 800 · 1000 = 400,000

El subsidio del gobierno es equivalente a una reduccion en los precios de $100, por lo que la demanda seexpande. Primero despejamos los precios en la demanda

Q = 2000� P

P = 2000�Q

Aplicamos el subsidio obtenemos la nueva demanda:

P = 2100�Q

Equilibrio:

P = 2100� 4P + 500

5P = 2600

P ⇤ = 520

Q⇤ = 4P ⇤ � 500 = 4?520� 520 = 1580

7

P

Q

D1

S

500

1500

D2

1580

520

⇤

Problema 3. En una investigacion se descubre que la produccion de lapices es lo que estaba matando a loscisnes de Valdivia, por lo que se decide reducir la produccion de lapices. Se elimina el subsidio y se reemplazapor un impuesto. Para esto, se determino que la cantidad maxima de lapices que se pueden producir sinmatar ningun cisne es de 400 lapices. Determine el impuesto a fijar a la oferta para alcanzar dicha cantidad.

Soluci

´

on. Ahora el impuesto afecta por el lado de la oferta, por lo que nuevamente despejamos el precio(ya que el impuesto afecta el precio):

Q = 4P � 500

P =Q

4+ 125

Considerando el impuesto:

P =Q

4+ 125 + t

Encontramos el equilibrio:

Q = 2000� P

Q = 2000� Q

4� 125� t

Se nos dice que la cantidad optima es Q = 400, por lo que reemplazamos:

400 = 1875� 1

4· 400� t

400 = 1875� 100� t

400 = 1775� t

1375 = t

⇤

8

Departamento de Economıa Universidad de Chile

ECO150

Introduccion a la MicroeconomıaProfesores: Christian Belmar, Felipe Varela, Jose Yanez. Javier Turen, Carlos Caceres y Jose Contreras

Ayudantes: Edgardo Cerda, Constanza Acuna, Jose Belmar, Marıa Perez, Iracı Hassler, Nicolas Bohme, AdolfoFuentes, Rodrigo Garay, Martın Harding, Matias Caamano, Maximiliano Acevedo, Alejandra Jauregui, Mauricio

Vargas, Bernardita Saona, Heinz Doebbel y Manuel Ugalde .

Primavera 2011Ayudantıa 3

Comentes

a. Mauricio y Adolfo (fervientes admiradores de la cerveza Du↵) se juntan en un pub a consumir esta no-ble bebida, sin embargo, una vez que ven la carta de precios deciden pedir leche tibia semi-descremada.Esto claramente es un acto irracional. Comente.

RespuestaFalso. Recordemos que la condicion de eleccion del consumidores se da cuando:

UMg

x

UMg

y

=P

x

P

y

Por lo tanto, puede ocurrir que la utilidad que reportaba la cerveza por peso gastado hacia que ambospersonajes fueran fervientes admiradores, sin embargo, ante un alza en el precio de la cerveza, la cervezadejo de reportar tal nivel de utilidad por peso gastado, lo que da lugar a consumir otros bienes con mejorrelacion, en este caso, la leche tibia semi-descremada.

b. En base al comente anterior, explique el efecto sustiticion y el efecto ingreso.

RespuestaEl efecto sustitucion es aquel que nos habla de como cambıa la relacion de precios entre los bienes queestamos analizando. Para esto recordar que la relacion de precios se determina a traves de preguntarnoscuantas cervezas puedo comprar con una leche semi-descremada o viceversa, dependiendo del bien quequeramos analizar. En este caso, la cerveza es relativamente mas cara frente a la leche semi-descremada(podemos comprar menos cervezas con una leche semi-descremada). Es por esto, que el efecto sustiticionnos dira que consumamos menos cerveza y mas leche semi-descremada.

Por su parte, el efecto ingreso es aquel que nos habla de como cambıa el set de posibilidades de consumo(o el area bajo la recta presupuestaria). En este caso, ante un aumento del precio de la cerveza, vemos quenuestro set de posibilidades de consumo se reduce, lo cual nos dice que en terminos reales podemos comprarmenos bienes que antes. En este caso, suponiendo preferencias convexas, podemos ver que el efecto ingresonos dice que consumamos menos de ambos bienes.

1


c. Calcular los efectos sustitucion e ingreso por los metodos de Hicks o Slutsky es el mismo proceso, dadoque cuando hacemos el ejercicio llegamos a los mismos resultados. Comente.

RespuestaFalso. Mientras Hicks nos dice que llevemos la restriccion presupuestaria a la misma utilidad, Slutsky nosdice que la llevemos a la canasta inicial. Esto, hace que Slutsky le de un pequeno ingreso al agente, de formaque este queda en una mayor utilidad. Recordando:

Hicks

Para mantener el ingreso ral constante debemos dar o quitar ingreso de modo que a la nueva relacion deprecios, el consumidor pueda alcazar el nivel de utilidad inicial, es decir, este indiferente frente a la canastainicial. De esta forma, la distancia entre la canasta inicial y la nueva nueva canasta indiferente, sera el efectosustitucion, y la distancia entre la nueva canasta indiferente y la canasta final sera el efecto ingreso.

y

x

E

0

E

f

E

h

ES EI

I

p

1x

I

p

2x

I

p

y

u

1

u

2

Slutsky

Para mantener el ingreso real constante debemos dar o quitar ingreso, de modo que a la nueva relacion deprecios, el consumidor pueda alcanzar la canasta inicial. Pero esto generara que la ahora podra acceder unanueva canasta de mayor utilidad que la canasta inicial. De esta forma, la distancia entre la canasta inicial yla nueva canasta sera el efecto sustitucion, y la distancia entre la nueva canasta u la canasta final sera elefecto ingreso.

2


y

x

E

f

E

s

ES EI

I

p

1x

I

p

2x

I

p

y

u

1

u

2

E

0

d. El destacado aprendiz de economista y maestro parrillero RG senala: “El efecto sustitucion muestracomo cambia la cantidad demandada de un bien ante un cambio en el precio. Sin embargo, debemosconsiderar que este efecto tiene el mismo signo en todos los casos y tiene sentido cuando dicho cambiodeja a los individuos indiferentes entre la situacion actual de consumo y la situacion de consumo antesdel cambio en precios”

RespuestaVerdadero. El efecto sustitucion corresponde al cambio en la cantidad demandada que se produce debidoa cambios en el precio. Hipoteticamente se disminuye el ingreso lo suficiente para que los individuos semantengan en el mismo nivel de utilidad (misma curva de indiferencia). Esto genera un efecto que siemprees negativo, cuando el precio relativo de un bien cae, su consumo aumenta.

e. AJ y MJ son dos hermosas alumnas de FEN las cuales ante una duda de algunos alumnos han senalado:“El efecto ingreso y el efecto sustitucion no siempre se refuerzan, hay que distinguir el tipo de biendel cual estamos hablando”

RespuestaVerdadero. En el caso de los bienes normales es verdadero. Sin embargo, en el caso de los bienes inferioresse contraponen y de esto el caso particular es el bien Gi↵en. Este ultimo se caracteriza porque el efectoingreso es tan negativo que supera la influencia del efecto sustitucion y origina una demanda con pendientepositiva (es un caso teorico).

Matematico

a. Suponga un agente representativo que tiene la siguiente funcion de utilidad:

U(x, y) = x

↵

y

�

Ademas, usted sabe que el agente cuenta con un ingreso igual a I

0

. Con esta informacion responda losiguiente:

b. Plantee formalmente el problema de eleccion del consumidor.

3


RespuestaComo ya sabemos el optimo de la eleccion del consumidor se encuentra cuando la tasa marginal de sustituciondel consumo (la pendiente de la curva de indiferencia) es igual a la tasa marginal de intercambio de mercado(la pendiente de la restriccion presupuestaria), es decir:

TMgSC

x,y

= TMgIM

x,y

UMg

x

UMg

y

=P

x

P

y

Donde si desarrollamos encontramos que:

dU(x, y)

dx

= ↵x

↵�1

y

�

dU(x, y)

dy

= �x

↵

y

1��

UMg

x

UMg

y

=↵y

�x

Por lo tanto, la eleccion del consumidor esta dada por:

↵y

�x

=P

x

P

y

c. Encuentre las Demandas Marshallianas del bien x y del bien y

RespuestaPara encontrar las demandas marshalianas debemos despejar un bien de la condicion de optimo y reemplazarloen la restriccion presupuestaria. Luego solo basta despejar el bien que nos queda y encontramos la demandamarshalliana. Entonces si despejamos y de la condicion de optimo obtenemos:

y =�xP

x

↵P

y

Luego reemplazamos esto en la restriccion presupuestaria y despejamos x, obteniendo:

I = P

x

x+ P

y

y

I = P

x

x+ P

y

�xP

x

↵P

y

I = P

x

x+�xP

x

↵

↵I = ↵P

x

x+ �xP

x

↵I = P

x

x(↵+ �)

x

⇤ =↵I

P

x

(↵+ �)

De forma analoga, obtenemos la demanda marshalliana de y:

y

⇤ =�I

P

y

(↵+ �)

4


d. Si ↵ = � = 0, 5, I0

= 1000, Px

= 50 y P

y

= 100 encuentre las cantidades demandadas de x e y, ycompruebe que cumplen la restriccion presupuestaria:

RespuestaSi reemplazamos los valores vemos que:

x

⇤ =↵I

P

y

(1 + �)=

0, 5 · 100050

= 10

y

⇤ =�I

P

y

(1 + ↵)=

0, 5 · 1000100

= 5

Tenemos el siguiente grafico

y

x

ES EI

1 x 10

5

ES EI

e. ¿Que pasa si repentinamente el precio del bien x se dispara a P

x

= 500? Encuentre los nuevos optimosy muestre graficamente el efecto ingreso y el efecto sustitucion:

RespuestaPara esto volvemos a reemplazar y obtenemos:

x

⇤ =↵I

P

y

(1 + �)=

0, 5 · 1000500

= 1

y

⇤ =�I

P

y

(1 + ↵)=

0, 5 · 1000100

= 5

f. ¿Que pasa si el precio de x ahora se estabiliza en P

x

= 100?. Explique intuitivamente el resultado yademas muestre graficamente el efecto ingreso y el efecto sustitucion.

RespuestaPara esto volvemos a reemplazar y obtenemos:

x

⇤ =↵I

P

y

(1 + �)=

0, 5 · 1000100

= 5

y

⇤ =�I

P

y

(1 + ↵)=

0, 5 · 1000100

= 5

5


Es decir, el individuo consumira la misma cantidad de ambos bienes dado que tiene la misma valoracion porambos y ademas estos cuestan lo mismo.

Tenemos el siguiente grafico

y

x

ES EI

1 x 10

5

ES EI

6

Universidad de Chile

Facultad de Economıa y Negocios

Departamento de Economıa



Pauta Ayudantıa 4

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jauregui, Marıa Jose Perez y Mauricio Vargas

21 de septiembre de 2011

1. Comentes

1. Cuando existe una restriccion presupuestaria estamos en una situacion suboptima pues el punto en que

la TMS iguala a la relacion de precios el consumidor no puede elegir la mejor combinacion de bienes.

RespuestaFalso. De no haber restriccion de presupuesto, el consumidor podrıa acceder a cualquier canasta y escoger

la mejor opcion. Al haber una restriccion de presupuesto el consumidor escoge la mejor canasta factible, es

decir, escoge la mejor canasta dentro de las posibilidades lo cual por definicion corresponde a una canasta

optima.

En terminos generales, si las derivadas parciales de una funcion U(x1, x2) cualquiera existen, entonces su

diferencial esta dado por

dU =

@U

@x1dx1 +

@U

@x2dx2

si nos mantenemos en la misma curva de indiferencia (combinacion de valores que generan el mismo nivel

de utilidad) se tendra que dU = 0 entonces

0 =

@U

@x1dx1 +

@U

@x2dx2 (*)

La restriccion de consumo dependera del nivel de ingreso. Cuando se gasta todo el ingreso en consumir x1 y

x2, a precios estrictamente positivos y sin posibilidades de contraer deudas, se tendra que I = p1x1 + p2x2.

Si graficamos todas las combinaciones que se pueden adquirir gastando todo el ingreso se obtiene una recta

y si nos mantenemos en dicha recta cambian las combinaciones de x1 y x2 pero no el valor de I, entonces

dI = 0 = p1dx1 + p2dx2 (**)

Asumiendo que dx1 6= 0 de la ecuacion (**) tenemos

dx2

dx1= �p1

p2

Reordenando (*) para el caso de una solucion interior se tiene

Umg(x2)

Umg(x1)= �dx1

dx2

Si combinamos estos dos resultados llegamos a

Umg(x2)

Umg(x1)=

p2

p1, Umg(x2)

p2=

Umg(x1)

p1

esto corresponde a la condicion de optimalidad para una solucion interior, en palabras corresponde a: “La

utilidad marginal del ultimo peso gastado en el bien uno, en el optimo, es igual a la utilidad marginal del

ultimo peso gastado en el bien dos”.

1

2. Siempre que existan dos bienes que nos otorguen igual utilidad marginal, estaremos indiferentes entre

consumir cualquiera de ellos.

RespuestaFalso. A partir del comente anterior se concluye que el consumidor elegira aquel bien que entregue mayor

utilidad por peso gastado. El optimo se dara cuando las pendientes de ambas curvas (indiferencia y presu-

puestaria) se igualen, este es el punto de equilibrio, aquel que soluciona el problema de maximizacion del

consumidor. Ambos bienes podrıan tener la misma utilidad marginal pero sus precios podrıan ser distintos.

3. Si la funcion de utilidad es una Cobb-Douglas cuyas curvas de indiferencia son convexas, entonces

podemos verificar la convexidad de las curvas de indiferencia mediante el criterio de la segunda derivada.

RespuestaVerdadero. Una Cobb-Douglas para dos bienes es una funcion de la forma

f(x1, x2) = x

↵

1 x�

2 , ↵, � > 0

la forma algebraica de las curvas de indiferencia corresponde a

x2(x1) =

✓c

x

↵

1

◆1/�

Un criterio util para determinar si las curvas de indiferencia son convexas es mediante la primera y la segunda

derivada. Si la curva de indiferencia es dos veces derivable, podemos tomar su segunda derivada y verificar

que es mayor o igual a cero, de lo contrario la curva de indiferencia no sera convexa. Entonces,

@x2

@x1= �↵ · (c · x�↵

)

1/�

�x

< 0

@

2x2

@x

21

=

⇣↵

2

�

2 +

↵

�

⌘· (c · x�↵

)

1/�

x

21

> 0

del signo de la segunda derivada se concluye que las curvas de indiferencia son convexas.

Para fijar ideas, tomemos el caso de una Cobb-Douglas con parametros ↵ = � = 1 y grafiquemos la funcion

y las curvas de nivel

Figura 1: f(x1, x2) = x1x2

se observa que la funcion describe curvas suaves y esto en nada contradice que se pueda utilizar el criterio

de la segunda derivada.

4. La funcion de utilidad Leontief (o de proporciones fijas) no tiene utilidad marginal.

2

RespuestaFalso. La funcion Leontief corresponde a lo siguiente

U(x1, x2) = mın{x1, x2} =

8><

>:

x1 si x1 < x2

x1 = x2 si x1 = x2

x2 si x1 > x2

Su grafico corresponde a lo siguiente

x

y

pendiente

�y > ↵x

�y < ↵x

↵/�

Esta funcion no es diferenciable en todas partes y sus derivadas parciales no son continuas. Veamos las

derivadas parciales:

@

@x1U(x1, x2) =

(1 si x1 x2

0 si x1 > x2

@

@x2U(x1, x2) =

(1 si x2 x1

0 si x2 > x1

Entonces se concluye que la utilidad marginal en un caso es cero (cuando aumenta el consumo de un bien

que de antemano se consume en cantidades mayores que la del otro bien). En el otro caso la utilidad marginal

es igual a uno.

Cuando tenga sentido, cuando cambia la cantidad consumida de un bien, digamos del bien x1, la utilidad no

necesariamente aumenta (cuando este cambio no alcanza para aumentar el nivel de utilidad), y en tal caso

Umg(x1) =@

@x1U(x1, x2) = 0

Para el caso del bien x2 es analogo. En general, por este hecho la TMS

x2,x1 es infinita (luego no esta bien

definida para cualquier valor de (x1, x2)).

5. Para resolver el problema del consumidor basta con igualar la TMS

x2,x1 con la relacion de precios

p

x2/px1 .

RespuestaFalso. Una condicion necesaria es

TMS

x2,x1 =

p

x2

p

x1

sin embargo, las condiciones necesarias no son suficientes. Una condicion suficiente es que las curvas de

indiferencia sean estrictamente convexas.

Un contraejemplo es la funcion de utilidad lineal. En el optimo no se tiene la tangencia entre la tasa marginal

de sustitucion y la tasa marginal d intercambio de mercado. Para fijar ideas digamos que la restriccion

3

presupuestaria es g(x1, x2) = x1 + x2 = 14 mientras que la funcion objetivo es f(x1, x2) = x1 + 2x2.

Cambiando ligeramente la situacion del caso anterior, supongamos que ahora f(x1, x2) = 2x1 + x2. Se

obtienen los siguientes graficos respectivamente:

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20y

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

Del grafico del lado izquierdo se concluye que la solucion optima se logra con (x1, x2) = (0, 14) que genera

un valor de la funcion objetivo igual a f(x1, x2) = 28 mientras que (x1, x2) = (14, 0) tambien es factible

pero genera un valor de la funcion objetivo igual a f(x1, x2) = 14. Las soluciones interiores, por ejemplo

(x1, x2) = (8, 6) generan un valor de la funcion objetivo menor a f(x1, x2) = 28 dada la restriccion (no son

optimas).

Del grafico del lado derecho se concluye que la solucion optima se logra con (x1, x2) = (14, 0) que genera

un valor de la funcion objetivo igual a f(x1, x2) = 28 mientras que (x1, x2) = (0, 14) tambien es factible

pero genera un valor de la funcion objetivo igual a f(x1, x2) = 14. Las soluciones interiores nuevamente no

son optimas.

Una situacion distinta en que no hay solucion unica es cuando la funcion objetivo y la restriccion son iguales,

con lo cual cualquier solucion interior es optima y genera el mismo valor en la funcion objetivo que en los

dos casos anteriores.

Finalmente, es importante mencionar que en el caso de que se tengan dos males (en el sentido economico),

la curva de indiferencia asociada a estos es concava y toca las esquinas del grafico. Para este caso, igualar

la TMS a la relacion de precios nos lleva a una combinacion de bienes que es la peor de entre todas las

posibilidades (analice esto ultimo).

2. Matematico: Andrea, Hicks y Slutsky

Andrea Palominovich IV, mas conocida como Andrea la Cruel, tiene una funcion de utilidad por el consumo

de Cerveza Du↵ (x1) y Buzz Cola (x2) definida por

U(x1, x2) = x1x2

Inicialmente Andrea tiene 2 unidades del bien x1 y 8 unidades del bien x2 mientras que p

x1 = 2 y p

x2 = 1.

Luego, debido a un cambio en la demanda producto de las fondas, el precio del bien x1 baja a p

x1 = 1.

En base a esto encuentre lo siguiente:

4

1. Demandas marshallianas.

RespuestaLa condicion de optimo esta dada por la igualacion de la TMS a la relacion de precios.

TMS

x2,x1 =

p

x2

p

x1

Umg(x2)

Umg(x1)=

p

x2

p

x1

x1

x2=

p

x2

p

x1

) x1(x2) =p

x2

p

x1

x2 , x2(x1) =p

x1

p

x2

x1

La restriccion presupuestaria esta dada por I = p

x1x1 + p

x2x2 y podemos reemplazar una variable a la vez

para obtener la demanda marshalliana

1) I = p

x1x1 + p

x2x2 = p

x1x1 + p

x2 ·p

x1

p

x2

x1 = 2p

x1x1 ) x

M

1 (p

x1 , I) =

I

2p

x1

2) I = p

x1x1 + p

x2x2 = p

x1 ·p

x2

p

x1

x2 + p

x2x2 = 2p

x2x2 ) x

M

2 (p

x2 , I) =

I

2p

x2

2. Canasta optima a precios iniciales y luego a precios finales.

RespuestaA precios iniciales, dada la dotacion de recursos, tenemos que el ingreso corresponde a

I1 = p

x1x1 + p

x2x2 = 2 · 2 + 1 · 8 = 12

Luego reemplazamos los precios y el ingreso en las demandas marshallianas

x

i

1(px1 , I) =

I

2p

x1

=

12

4

= 3 , x

i

2(px2 , I) =

I

2p

x2

=

12

2

= 6

A precios finales, dada la dotacion de recursos, tenemos que el ingreso corresponde a

I2 = p

x1x1 + p

x2x2 = 1 · 2 + 1 · 8 = 10

Luego reemplazamos los precios y el ingreso en las demandas marshallianas

x

f

1 (px1 , I) =

I

2p

x1

=

10

2

= 5 , x

f

2 (px2 , I) =

I

2p

x2

=

10

2

= 5

3. Calcule la utilidad que se obtiene a precios iniciales y a precios finales. ¿Cual situacion es preferible?

RespuestaLa canasta inicial es (3, 6) y la utilidad correspondiente es U(x

i

1, xi

2) = 18. La canasta final es (5, 5) y la

utilidad correspondiente es U(x

f

1 , xf

2 ) = 25. Luego, seria preferible la situacion final porque la variacion de

utilidad es positiva (�U = U

f

+ U

i

= 7).

5

4. Grafique ambas restricciones presupuestarias y las curvas de indiferencia que pasan por los optimos

finales e iniciales.

0 1 2 3 4 5 6 8.5 9 10 120

2

4

6

8

8.5

9

10

12

[3,6]

[5,5]

[2,8]

5. Efectos sustitucion y efecto ingreso, debido al cambio en precios, utilizando el metodo de Slutsky.

RespuestaDebemos tener presente que ambos efectos se aplican al bien x y no al bien y ya que el precio de este ultimo

no cambia.

La restriccion presupuestaria inicial es RP

i

: 2x1 + x2 = 12 mientras que la restriccion final es RP

f

: x1 +

x2 = 10. Con la restriccion inicial se pueden consumir las canastas (6, 0), (0, 12) y (3, 6) que es la canasta

optima a precios iniciales. Con la restriccion final se pueden consumir las canastas (10, 0), (0, 10) y (5, 5)

que es la canasta optima a precios finales.

Luego, tenemos que la restriccion presupuestaria inicial pasa por el punto (3, 6) y se intersecta con la

restriccion inicial en el punto (2, 8), para obtener esto ultimo debemos igualar ambas restricciones:

x1 + x2 � 10 = 0 y 2x1 + x2 � 12 = 0

podemos restar ambas ecuaciones para eliminar x2, entonces

(x1 + x2 � 10)� (2x1 + x2 � 12) = 0 ) (x1 � 2x1) + (x2 � x2) + (�10 + 12) = 0

) � x1 + 2 = 0

) x1 = 2

reemplazamos en cualquiera de las dos restricciones para obtener x2, si reemplazamos en la restriccion final

se tiene

x1 + x2 � 10 = 0 ) 2 + x2 � 10 = 0

) x2 � 8 = 0

) x2 = 8

Nos falta encontrar una curva de indiferencia tangente a una recta paralela a la recta que pasa por el punto

(5, 5). Luego, debe existir una recta que pasa por el punto (3, 6) y tiene la misma pendiente que la restriccion

6

presupuestaria final. Es decir, debe existir una recta de la forma x1 + x2 = c. Para obtener el valor de c

reemplazamos directamente

x1 + x2 � c = 0 ) 3 + 6� c = 0 ) 9� c = 0 ) c = 9

Ahora podemos aplicar directamente la condicion de optimo

TMS

x2,x1 =

p

x2

p

x1

Umg(x2)

Umg(x1)=

p

x2

p

x1

x

y

=

p

x2

p

x1

x

y

= 1

Dado que la recta que buscabamos es x1 + x2 = 9 tenemos que 2x1 = 2x2 = 9 por condicion de optimo.

En consecuencia la curva de indiferencia es tangente a la recta encontrada en el punto (4, 5; 4, 5).

Finalmente, el efecto total corresponde a la diferencia en el eje x entre el punto (3, 6) y (5, 5) por lo que su

valor corresponde a |ET | = 2. Este se separa en:

Efecto sustitucion: Corresponde a la diferencia en el eje x entre el punto (3, 6) y (4, 5; 4, 5) por lo que

su valor corresponde a |ES| = 1, 5.

Efecto ingreso: Corresponde a la diferencia en el eje x entre el punto (4, 5; 4, 5) y (5, 5) por lo que su

valor corresponde a |EI| = 0, 5.

El grafico nos queda de la siguiente forma:

0 1 2 3 4 5 6 8.5 9 10 120

2

4

6

8

8.5

9

10

12

[2,8]

[3,6]

[5,5]

[4.5,4.5]

7






Pauta Ayudantıa 5


27 de septiembre de 2011

1. Maximizacion de Utilidad

Suponga que un individuo posee un ingreso de I y que en el mercado que se encuentra existen dos bienes x

e y, cuyos precios son P

x

y P

y

respectivamente. Se le pide:

1. Encuentre la decision de consumo optima (las demandas marshallianas) del consumidor si el individuo

tiene una funcion de utilidad Cobb-Douglas de la forma:

u(x, y) = x

↵

y

�

Respuesta

Para maximizar este tipo de funciones debemos utilizar la condicion de optimo del consumir, es decir:

TMgSC

x,y

= TMgIM

x,y

UMg

x

UMg

y

=

P

x

P

y

↵x

↵�1y

�

�x

↵

y

��1=

P

x

P

y

↵y

�x

=

P

x

P

y

De lo que se concluye que la proporcion optima

1esta dado por:

y

⇤=

�P

x

· x↵P

y

Si reemplazamos esta proporcicion en la restriccion presupuestaria obtenemos:

I = xP

x

+ yP

y

I = xP

x

+

�P

x

· x↵P

y

�P

y

Donde si despejamos x obtenemos el consumo optimo de este bien:

x

⇤=

↵I

(↵+ �)P

x

Por simetrıa podemos determinar que:

y

⇤=

�I

(↵+ �)P

y

Notar que las demandas dependen de la importancia relativa de los bienes, mostrando una cierta dependencia

del consumo de ambos.

1Notar que los consumidores eligen proporciones de consumo y no valores absolutos. Por ejemplo: Quiero consumir el doble

de morochas que de ramitas

1

2. Encuentre la decision de consumo optima del consumidor si el individuo tiene una funcion de utilidad

de Sustitutos Perfectos de la forma:

u(x, y) = ↵x+ �y

Respuesta

Para esta funcion debemos analizar dos casos:

Si la pendiente de la curva de indiferencia es mayor que la restriccion presupuestaria.

TMgSC

x,y

> TMgIM

x,y

Si la pendiente de la curva de indiferencia es menor que la restriccion presupuestaria.

TMgSC

x,y

< TMgIM

x,y

Si se cumple el primer caso (TMgSC

x,y

> TMgIM

x,y

) entonces consumiremos solo x, entonces reempla-

zamos en la restriccion presupuestaria la condicion de y = 0, obteniendo:

x

⇤=

I

P

x

y

⇤= 0

Si se cumple el caso contrario (TMgSC

x,y

> TMgIM

x,y

) entonces solo consumiremos y, entonces reem-

pazamos en la restriccion presupuestaria la condicion de x = 0, obteniendo:

x

⇤= 0

y

⇤=

I

P

y

Notar que en ambos casos las demandas de los bienes solo dependen de sus precios, dando la representacion

matematica a la perfecta sustitucion


Leontief de la forma:

u(x, y) = mın[↵x;�y]

Respuesta

En este caso, sabemos que el optimo estara dado por la proporcicion ↵x = �y, por lo tanto, lo unico que

tenemos que hacer es reemplazar esto en la restriccion presupuestaria. Entonces:

I = xP

x

+ yP

y

I = xP

x

+

↵x

�

P

y

I = x

P

x

+

↵P

y

�

�

I = x

�P

x

+ ↵P

y

�

�

x

⇤=

�I

�P

x

+ ↵P

y

Por simetrıa obtenemos:

y

⇤=

↵I

�P

x

+ ↵P

y

2


de la forma:

u(x, y) = ↵ ln(x) + � ln(y)

Respuesta

Para maximizar este tipo de funciones debemos utilizar la condicion de optimo del consumir, es decir:

TMgSC

x,y

= TMgIM

x,y

UMg

x

UMg

y

=

P

x

P

y

↵y

�x

=

P

x

P

y

De donde se desprende que las demandas marshallianas son las mismas que bajo la funcion Cobb-Douglas.

Esto se debe a que la funcion presentada arriba es una transformacion monotonica creciente de la utilidad

(se obtiene aplicando logartimo natural).

2. Demandas, efecto sustitucion e ingreso y elasticidades

Las preferencias del ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque por Cerveza Du↵ (x) y Apuestas de

Caballos (y) son representables mediante la siguiente funcion de utilidad

U(x, y) = xy + x

Indicaci

´

on. Asuma que siempre se cumple que I > p

y

.

1. Encuentre la utilidad marginal de cada bien y exprese la demanda del bien y en funcion de del bien x

y los precios de ambos bienes.

Respuesta

Las utilidades marginales corresponden a:

Umg(x) =

@

@x

U(x, y) = y + 1

Umg(y) =

@

@y

U(x, y) = x

Luego, debemos encontrar la TMS

y,x

. Por definicion

TMS

y,x

=

@U(x,y)@y

@U(x,y)@x

=

x

y + 1

En el optimo, cuando la solucion es interior, tenemos que la TMS

y,x

es igual a la relacion de precios

TMS

y,x

=

p

y

p

x

x

y + 1

=

p

y

p

x

con esto podemos despejar y y obtenemos el resultado

y(x) =

p

x

p

y

x� 1 =

p

x

x� p

y

p

y

(*)

3

2. Plantee y resuelva el problema de maximizacion de utilidad para luego encontrar una expresion para

las demandas marshallianas.

Respuesta

El problema es el siguiente

max

x,y

U(x, y) = xy + x

sujeto a I = p

x

x+ p

y

y

Para resolver el problema una forma es la siguiente: De lo obtenido en la parte (1) reemplazamos y por la

expresion de la ecuacion (*) en la restriccion presupuestaria

I = p

x

x+ p

y

p

x

x� p

y

p

y

I = 2p

x

x� p

y

en esto ultimo despejamos x y se obtiene la demanda marshalliana de dicho bien

x

m

(p, I) =

I + p

y

2p

x

Luego, como tenemos una expresion para y en funcion de x podemos reemplazar x

m

en la ecuacion (*)

y =

p

x

x

m � p

y

p

y

=

p

x

p

y

· I + p

y

2p

x

� 1

esto nos da la demanda marshalliana por el bien y que corresponde a

y

m

(p, I) =

I � p

y

2p

y

3. Plantee y resuelva el problema de minimizacion de gasto para luego encontrar una expresion para las

demandas hicksianas (demandas compensadas).

Respuesta

El problema es el siguiente

mın

x,y

p

x

x+ p

y

y

sujeto a xy + y = U, U es constante

Una forma de resolver es tomar la ecuacion (*) y reemplazar y en la funcion de utilidad

U(x, y) = x

p

x

x� p

y

p

y

+ x

U(x, y) =

p

x

x

2 � p

y

x+ p

y

y

p

y

U(x, y) =

p

x

x

2

p

y

tengamos presente que el problema considera un nivel fijo de utilidad, es decir que el resultado inmedianta-

mente anterior nos lleva a

U =

p

x

x

2

p

y

4

a partir de esto despejamos x y se obtiene la demanda hicksiana por dicho bien

x

h

(p, U) =

sUp

y

p

x

Luego, para obtener la demanda hicksiana por el bien y podemos reemplazar x

h

en la ecuacion (*)

y =

p

x

x

h � p

y

p

y

=

p

x

p

y

sUp

y

p

x

� 1

esto nos da la demanda hicksiana por el bien y que corresponde a

y

h

(p, U) =

sUp

x

p

y

� 1

4. Calcule la cantidad demandada de ambos bienes y el nivel de utilidad si I = a, p

x

= b y p

y

= c con

a, b, c constantes estrictamente positivas.

Respuesta

Por enunciado tengamos presente que I > p

y

) a > c. Luego, para obtener lo pedido reemplazamos

directamente en las demandas marshallianas y en la funcion de utilidad. Todos los calculos son directos salvo

el nivel de utilidad. Tenemos

U =

(a+ c)

2b

· (a� c)

2c

+

a+ c

2b

=

a

2 � c

2

4bc

+

a+ c

2b

Luego

x

m

=

a+ c

2b

y

m

=

a� c

2c

U =

a

2 � c

2

4bc

+

a+ c

2b

5. ¿Impondrıa alguna restriccion sobre los parametros en base al resultado anterior?

Respuesta

En el caso de x tenemos que la cantidad siempre sera positiva.

En el caso del bien y tenemos que a � c podrıa ser negativo pero sabemos que a > c y no aparece este

inconveniente.

En el caso de la utilidad, por el hecho de que hay una resta en la primera fraccion, podrıa obtenerse un valor

negativo en caso de que

a

2 � c

2

4bc

+

a+ c

2b

< 0

a

2 � c

2+ 4bc

a+ c

2b

< 0

a

2 � c

2+ 2c(a+ c) < 0

a

2 � c

2+ 2ac+ 2c

2< 0

a

2+ 2ac+ c

2< 0

(a+ c)

2< 0

a+ c < 0

5

De esto tenemos que si a + c � 0 entonces la utilidad toma valores no negativos. Luego, como ambos

valores son positivos la utilidad toma valores estrictamente positivos y entonces no debemos imponer mas

restricciones.

6. Considere que el precio del bien y aumenta de p

i

y

= c a p

f

y

= d. Calcule las variaciones en el consumo

de ambos bienes y determine el efecto sustitucion y efecto ingreso del bien x.

Respuesta

Para las demandas marshallianas tenemos lo siguiente

x

m

i

=

a+ c

2b

! x

m

f

=

a+ d

2b

y

m

i

=

a� c

2c

! y

m

f

=

a� d

2d

Luego calculamos la variacion en la cantidad demandada de cada bien

�x

m

=

a+ d

2b

� a+ c

2b

�y

m

=

a� d

2d

� a� c

2c

Para determinar el efecto sustitucion debemos determinar el cambio en las demandas hicksianas

x

h

i

=

sUc

b

! x

h

i

=

sUd

b

Entonces la variacion corresponde a

�x

h

= ES =

sUd

b

�

sUc

b

Finalmente, el efecto ingreso corresponde a la diferencia entre el efecto total y el efecto ingreso

ET = ES + EI

EI = ET � ES

EI = �x

m ��x

h

EI =

a+ d

2b

� a+ c

2b

�

sUd

b

�

sUc

b

7. Calcule la elasticidad precio, elasticidad ingreso y elasticidad precio cruzada del bien y.

Respuesta

"

y,p

y

=

@y

m

@p

y

· p

y

y

m

"

y,I

=

@y

m

@I

· I

y

m

"

y,p

x

=

@y

m

@p

x

· p

x

y

m

=

�2p

y

� 2(I � p

y

)

4p

2y

· p

y

y

m

=

1

2p

y

· I

y

m

= 0

=

�2I

4p

y

· 1

y

m

=

I

2p

y

· 2p

y

I � p

y

=

�2I

4p

y

· 2p

y

I � p

y

=

I

I � p

y

=

�I

I � p

y

6




Pauta Ayudantıa 6


11 de octubre de 2011

1. Preguntas Cortas

1. ¿Que se entiende por produccion?. De a lo menos tres ejemplos no triviales de produccion.

Respuesta

Se define que produccion es cualquier dinamica o proceso destinada a transformar determinados insumos en

otros diferentes de los originales. Segun esta definicion los siguientes casos son procesos productivos:

Transporte de mercaderıas: Es un proceso productivo y los insumos que lleva, por ejemplo, un camion

de Santiago a Concepcion no son los mismos segun sus caracterısticas espaciales o temporales.

Tiendas de ropa: Tambien realizan un proceso productivo aunque el trabajo de produccion “tangible”

se haga en una sastrerıa o un taller industrial.

El Sr. del mote con huesillos de Av. Portugal: Realiza un proceso productivo aunque parezca que no

realiza grandes transformaciones a los insumos pero los reune y entrega en una forma distinta a como

los recibe.

2. Las funciones de produccion representan implıcitamente la eficiencia tecnica.

Respuesta

Verdadero. Las funcion de produccion de una firma es aquella que asocia a los factores dados la maxima

capacidad de producto que se puede elaborar a partir de los mismos. Esto, es las funciones de produccion

incorporan el concepto de eficiencia tecnica pues no consideran derroche en la produccion.

3. Explique que es el set de produccion.

Respuesta

Es el conjunto que contiene todas las combinaciones de insumos que permiten producir determinado nivel

de producto. Si tenemos uno o mas insumos x1, . . . , xn

y un nivel de produccion y, entonces el set de

produccion corresponde a

�(x) = {y 2 R+ : y puede ser elaborado con x}

4. Explique que hace que una funcion describa un proceso productivo.

Respuesta

Si tenemos uno o mas insumos x1, . . . , xn

no cualquier funcion es de produccion. Tenemos que f : Rn

+ ! R+

es funcion de produccion si cumple lo siguiente:

a) f(x) � y 8y 2 �(x)

b) f es creciente en todas sus componentes.

1

c) f(0) = 0, esto es lo mismo a decir que “de la nada, nada sale”.

5. Diego H. no ha visto en clases la diferencia entre producto marginal y producto medio. ¿Como se loexplicarıa brevemente?

Respuesta

El producto marginal indica cuanto aumenta la produccion ante cambios en el factor x

i

. En el caso diferen-

ciable tenemos que

PMg(xi

) =@

@x

i

f(x) � 0

El producto medio indica cuanto aporta en promedio cada factor a la produccion. Tenemos que

PMe(xi

) =f(x)

x

i

2. Funciones de produccion

Problema 1.

Asuma que tenemos un factor productivo, entonces de las siguientes funciones ¿cuales corresponden a fun-ciones de produccion?

f(x)

x

(a)

f(x)

x

(c)

f(x)

x

(b)

f(x)

x

(d)

f(x)

x

(f)

f(x)

x

(e)

Respuesta

Esto se responde con las tres propiedades que cumplen las funciones de produccion:

Las funciones de produccion representan distintas combinaciones que permiten producir determinado nivel

de producto. La primera condicion nos dice que y � f(x) 0 8y 2 �(x). Es decir que si tomamos un nivel

de producto constante y cualquier cantidad de producto menor debe estar en el set de produccion, ya que

se puede producir a lo menos y utilizando x. Esto ultimo descarta los casos (b) y (e).

Las funciones de produccion son crecientes en el uso de cada uno de los factores. Esto es, siempre PMg � 0.Por mas que aumentemos la cantidad de input la produccion total siempre debe aumentar en una cantidad

mayor o igual a 0, jamas disminuir. Por lo tanto se descarta que (b) y (e) sean una funcion de produccion

pues poseen un tramo decreciente.

2

“De la nada, nada sale”, es decir que f(0) = 0. Si no existe ningun input es imposible producir algo. Por lo

tanto se descarta (a) y (e).

En resumen, (c), (d) y (f) son funciones de produccion.

Problema 2. Cuando tenemos funciones de la forma f : Rn ! R y dado c 2 R se define el conjunto de nivelde la funcion f como

N

c

(f) = {x 2 D ⇢ Rn : f(x) = c}En el caso en que n = 2 y n = 3 el conjunto de nivel N

c

(f) se puede dibujar. Se le conoce como curva denivel cuando n = 2 y superficie de nivel si n = 3.Suponga que tiene la siguientes funciones:

f1(x1, x2) =px1 +

px2

f2(x1, x2) = x

21 + x

22

Determine lo siguiente:

1. ¿Son funciones de produccion?

2. ¿Se puede obtener la curva de nivel (isocuanta) dejando x2 en funcion de x1? Explique intuitivamentea que corresponde la curva de nivel de una funcion de produccion y grafique sus resultados.

3. ¿Tiene sentido que tengan solucion interior o de esquina en el uso de los factores?

4. Tarea: ¿Que sucede con el uso de x1 ante un aumento en el uso de x2?. Exprese su resultado ma-tematicamente y explique lo que se obtiene.

5. Tarea: ¿Que se puede decir acerca de los retornos de las funciones? (Indicacion: Conviene determinarel grado de homogeneidad de las funciones)

Respuesta

Para el primer caso:

1. Es funcion de produccion ya que f(0, 0) = 0 y la productividad marginal es creciente en el uso de los factores

(

@

@xif = 1

2pxi

> 0)

2. Digamos que se quiere producir una cantidad c1, entonces

c1 =px1 +

px2

c1 �px1 =

px2

x2(x1) = (c1 �px1)

2

Graficamente se tiene lo siguiente:

x2

x1

3

3. De la parte anterior podemos ver que si x1 = 0 entonces se utilizara c

21 de x2 para obtener el nivel deseado,

en caso de que se necesitara “infinito” de x2 cuando se tiene cero de x1 no tendrıa sentido la solucion

esquina, luego si lo tiene en este caso. Finalmente una combinacion intermedia de factores resulta en una

combinacion eficiente pues la isocuanta es convexa, podemos unir dos puntos extremos y tendremos que es

posible encontrar un isocuanta que genera en un mayor nivel de produccion con un gasto en insumos que

es igual al gasto que supone una solucion esquina que permite producir menos. Esto ultimo graficamente

corresponde a lo siguiente:

x2

x1

4. Tenemos que x2(x1) = (c1 �px1)

2corresponde a la isocuanta. Si derivamos con respecto a x1 se obtiene

lo siguiente:

@

@x1x2(x1) = (c1 �

px1) ·

�1

2px1

= (c1 �px1) ·

�1

2px1

luego (c1 �px1) � 0 ya que c1 =

px1 +

px2, entonces

@

@x1x2(x1) < 0

entonces ante un aumento del factor x1 debe disminuir el uso de x2 para producir la misma cantidad.

5. Veamos primero si la funcion es homogenea:

f(�x1,�x2) =p

�x1 +p

�x2 =p�(px1 +

px2) = �

0,5f(x1, x2)

entonces la funcion es homogenea de grado 0,5 lo cual quiere decir que si duplicamos la cantidad de todos

los factores productivos la cantidad producida aumenta pero en a magnitud menor al doble de la inicial (en

este caso aumentarıa a

p2 veces la cantidad inicial). La funcion presenta retornos decrecientes.

Para el segundo caso:

1. Es funcion de produccion ya que f(0, 0) = 0 y la productividad marginal es creciente en el uso de los factores

(

@

@xif = 1

2pxi

> 0)

2. Digamos que se quiere producir una cantidad c1, entonces

c1 = x

21 + x

22

c1 � x

21 = x

22

x2(x1) =q(c1 � x

21)

Graficamente se tiene lo siguiente:

4

x2

x1

3. De la parte anterior podemos ver que si x1 = 0 entonces se utilizara

pc1 de x2 para obtener el nivel deseado,

luego tiene sentido una solucion esquina en este caso. Finalmente una combinacion intermedia de factores

resulta en una combinacion ineficiente pues la isocuanta es concava, podemos unir dos puntos extremos y

tendremos que es posible encontrar un isocuanta que genera en un mayor nivel de produccion con un gasto

en insumos que es igual al gasto que supone una solucion interior que permite producir menos. Esto ultimo

graficamente corresponde a lo siguiente:

x2

x1

4. Tenemos que x2(x1) =p(c1 � x

21) corresponde a la isocuanta. Si derivamos con respecto a x1 se obtiene

lo siguiente:

@

@x1x2(x1) =

�2x1

2p(c1 � x

21)

= � x1p(c1 � x

21)

luego

p(c1 � x

21) � 0 ya que c1 = x

21 + x

22, entonces

@

@x1x2(x1) < 0

entonces ante un aumento del factor x1 debe disminuir el uso de x2 para producir la misma cantidad.

5. Veamos primero si la funcion es homogenea:

f(�x1,�x2) = (�x1)2 + (�x2)

2 = �

2(x21 + x

22) = �

2f(x1, x2)

entonces la funcion es homogenea de grado 2 lo cual quiere decir que si duplicamos la cantidad de todos los

factores productivos la cantidad producida aumenta pero a magnitud mayor al doble de la inicial (en este

caso aumentarıa a una magnitud que es el cuadrado de la inicial). La funcion presenta retornos crecientes.

5

Problema 3. Demuestre que la productividad media es maxima cuando esta iguala al producto medio.Grafique en base a su desarrollo para ilustrar lo que sucede.

Respuesta

Por definicion tenemos que

PMe(xi

) =f(x)

x

i

luego,

@Pme(xi

)

@x

i

=

@f(x)@xi

· xi

� f(x)

x

2i

=

@f(x)@xi

x

i

�f(x)xi

x

i

=PMg(x

i

)

x

i

� PMe(xi

)

x

i

La productividad marginal es creciente si y solo si

@PMe(xi)@xi

> 0, entonces

PMg(xi

)

x

i

� PMe(xi

)

x

i

> 0 , PMg(xi

) > PMe(xi

)

La productividad marginal es dcreciente si y solo si

@PMe(xi)@xi

< 0, entonces

PMg(xi

)

x

i

� PMe(xi

)

x

i

< 0 , PMg(xi

) < PMe(xi

)

entonces la productividad media es maxima cuando PMe(xi

) = PMg(xi

)Graficamente:

f(x)

x

PMg

PMe

6




Pauta Ayudantıa 7


19 de octubre de 2011

1. Preguntas Cortas

1. El costo marginal es constante e igual al costo medio si la funcion de produccion es una Cobb-Douglashomogenea de grado 1.

Respuesta

Falso. El que sean iguales depende de si el valor de Q es tal que las curvas de costo marginal y costomedio tienen igual valor para dicho Q, que es lo mismo a decir que dependera del punto en el cual nosencontremos. Si las curvas de costo marginal y costo medio se intersectan para algun Q es cierto que soniguales y graficamente se tiene lo siguiente:

Q

L

PMgPMe

CMgCMe

C

L

Efectivamente ambos costos son constantes. La funcion de produccion es f(K,L) = AK↵L1�↵ y es ho-mogenea, entonces se puede expresar como

Q = Lf

✓K

L,L

L

◆= Lf

✓K

L

◆

1

El costo marginal esta dado por

CMg(Q) =@C(Q)

@Q

y tambien se puede expresar como

CMg(Q) =r

@Q/@K=

w

@Q/@L

Entonces, juntando ambos resultados

CMg(Q) =r

@f(K/L)@K · L

L

f 0 depende solo de K/L y K/L depende solo de la razon de precios de los factores. Si estos no cambian elcosto marginal no cambia.

Para el costo medio tenemos lo siguiente

CMe(Q) =rK + wL

Q=

rK + wL

L · f�KL

� =rKL + w

f�KL

�

Igualmente el costo medio depende solo de la razon de uso de los factores. Si el costo de estos no cambia,no cambiara la razon de uso y en consecuencia no cambiara el costo medio.

Finalmente ambos costos son constantes pero no son iguales. Esta conclusion es valida si se trata de unafirma en competencia perfecta y todos sus factores son variables. Si hay un factor fijo, la razon de preciosde los factores cambiara y el costo marginal y el costo medio ya no seran constantes.

2. En una funcion de produccion de retornos crecientes a escala y homogenea de grado mayor a 1, el pago alos factores es mayor que el valor producto, pero si amplificamos suficientemente el numero de factores,sera posible que el mayor incremento proporcional del producto haga posible obtener excedentes.

Respuesta

Falso. Sea Q = f(K,L) una funcion homogenea de grado superior a 1 (digamos n > 1). Por la ecuacion deEuler,

nQ =@f(K,L)

@K·K +

@f(K,L)

@L· L

multiplicando por el precio del producto p a ambos lados

n(pQ) = p@f(K,L)

@K·K + p

@f(K,L)

@L· L = V PMg(K) ·K + V PMg(L) · L = rK + wL

entonces

pQ =1

n(rK + wL)

Como n > 1 entonces 1/n claramente es menor a 1. Luego, el pago a los factores siempre sera mayor queel producto.

La explicacion de esta aparente contradiccion es que si bien el nivel de producto se amplifica en mas que elaumento de los factores, tambien el pago a los factores (productividades marginales) se amplifica en masque el aumento de estos.

Es decir, cualquiera sea el tamano de planta o la escala de produccion el producto generado sera menor queel pago a los factores productivos bajo retornos crecientes a escala.

2

3. En general la tecnologıa Leontief se representa por medio de una funcion similar a la siguiente:

f(K,L) = mın

⇢K

↵,L

�

�

Grafique el producto marginal y el producto medio de una funcion Leontief. Explique que significan losparametros ↵ y � y las consecuencias de la forma de sus graficos.

Respuesta

↵ es el numero de unidades de capital requeridas para producir una unidad de producto y � es el numerode unidades de trabajo requeridas para producir una unidad de producto. Tenemos el siguiente grafico:

L

KL0

K0

PMg(K)

KK0

1↵

A

PMe(K)

KK0

1↵

El producto marginal del capital entre los puntos L0 y A para K0 unidades de capital sera constante e iguala 1/↵, pues por cada ↵ unidades de capital se aumenta la produccion en una unidad.

3

Desde el punto A en adelante la productividad marginal del capital se hace cero para las K0 unidades detrabajo.

El producto medio del trabajo es constante hasta la contratacion de K0 unidades y en adelante empieza adisminuir.

La razon de estos comportamientos es que para unidades de capital menores que K0 existe un exceso deunidades de trabajo y la productividad marginal de este es nula. Para unidades de capital mayores que K0

existe un exceso de unidades de trabajo para las L0 unidades de trabajo y en consecuencia la productividadmarginal del trabajo es nula.

4. La tecnologıa Leontief representada por medio de la siguiente funcion:

f(K,L) = mın{↵K,�L}

no tiene productividad marginal.

Respuesta

Falso. Dicha funcion puede reescribirse como

f(K,L) = mın{K,L} =

(K si K L

L si K > L

El grafico de la isocuanta corresponde a lo siguiente

K

L

�L > ↵K

�L < ↵K

m = �↵

Esta funcion no es diferenciable en todas partes y sus derivadas parciales no son continuas. Veamos lasderivadas parciales:

@

@Kf(K,L) =

(↵ si K L

0 si K > L

@

@Lf(K,L) =

(� si L K

0 si L > K

Entonces cuando aumenta la intensidad de uso de un factor que de antemano se utiliza en cantidades mayoresque la del otro factor se concluye que la productividad marginal es cero. En el otro caso la productividadmarginal es igual a ↵ o � dependiendo de la combinacion de factores.

Cuando tenga sentido, cuando cambia la intensidad de uso de un factor, digamos del factor K, la produccionno necesariamente aumenta (cuando este cambio no alcanza para aumentar el nivel de produccion), y en talcaso

Pmg(K) =@

@Kf(K,L) = 0

Para el caso del factor L es analogo. En general, por este hecho la TMSTL,K es infinita (luego no esta biendefinida para cualquier valor de (K,L)).

4

5. En una funcion Leontief el pago a cada factor es constante para cambios en la razon de uso de losfactores cuando la funcion es homogenea de grado 1.

Respuesta

Falso. Sea f(K,L) = mın{K,L}, que corresponde a una funcion homogenea de grado 1 pues

f(�K,�L) = mın{�K,�L} = �mın{K,L}

Sabemos que esta funcion requiere de proporciones fijas de insumos, sin posibilidades de sustitucion, paraproducir determinada cantidad de unidades.

Lo relevante no es la homogeneidad de la funcion sino que ante un aumento en el costo de un factor se debeproducir lo mismo que antes pero a un mayor costo o reducir la escala de produccion. Podrıamos tener unafuncion de la forma f(K,L) = mın{K2, L3}, que no es homogenea pero que representa una tecnologıa deproporciones fijas.

El pago relativa a cada factor w/r es constante y no varıa en proporcion inversa al cambio en la razon deuso de factores y ademas la proporcion de uso de los factores no cambia.

6. La tecnologıa Leontief representable por medio de la funcion

f(K,L) = mın

⇢ln(K)

↵,L2

�

�

presenta rendimientos decrecientes a la escala.

Respuesta

Falso. Dicha funcion no es homogenea de ningun tipo ya que no puede expresarse de la forma:

mın

⇢ln(�K)

↵,(�L)2

�

�= �n mın

⇢ln(K)

↵,L2

�

�

donde n mide el grado de homogeneidad. Por lo tanto, en estricto rigor, la funcion no presenta retornos ala escala de ningun tipo.

Sin embargo, debe considerarse que al aumentar ambos factores a una cierta tasa, sera el capital el quehara el papel de “frenar” la expansion del producto, haciendo que este crezca a tasa decreciente.

Si ln(K)↵ < L2

� , entonces

Q =ln(K)

↵) @Q

@K=

1

↵K> 0 ) @2Q

@K2= � 1

↵K2< 0

Si ln(�K)↵ > (�L)2

� , entonces

Q =L2

�) @Q

@L=

2L

�> 0 ) @2Q

@L2=

2

�> 0

Lo anterior implica que el capital conduce a un aumento a tasa decreciente del producto, no asi el trabajoque de no ser por el efecto del capital conducirıa a un aumento a tasa creciente del producto.

7. En un proceso productivo, es posible tener un producto marginal decreciente en un factor y, aun ası,rendimientos crecientes de escala.

Respuesta

Verdadero, puesto que se trata de distintos analisis. Recordar que productividad marginal considera todoslos demas factores constantes, mientras que en los rendimientos a escala todos varıan.

5

Un ejemplo de esto serıa:

f(K,L) = K1/2L3/2

f(�K,�L) = �2K1/2L3/2 ! Rendimientos crecientes a escala

@f(K,L)

@K=

1

2L�1/2L3/2

@2f(K,L)

@K2= �1

4K�3/2L3/2 0 ! Productividad Marginal Decreciente

2. Ejercicios

Problema 1. La empresa Aperezco S.A se dedica a la produccion de frutillitas empleando capital ytrabajo. No se conoce exactamente su funcion de produccion pero los estudios que se han realizadosobre la produccion agrıcola revelan que los rendimientos son decrecientes.

Tras varios periodos se han probado distintas combinaciones de capital y trabajo que permiten producirun volumen fijo de produccion que se exporta todos los anos. Sin embargo, recientemente se han robadoel notebook del gerente (en realidad aun no sabemos si fue robo o extravıo) y se perdieron todos losdatos de produccion pero se salvo la siguiente tabla que estaba en una carpeta que tenıa guardada enun cajon:

Combinacion K LA 1 25B 19 7C 10 16D 17 8E 14 14F 10 10G 4 15

El gerente decidio preguntarle a los ayudantes de microeconomıa por su problema para determinarcuales son las combinaciones que efectivamente dan lugar a la isocuanta pues tiene serias dudas de quetodas esas combinaciones permitan producir la cantidad que necesita para exportar. Los ayudantes hanrecopilado los datos y tienen la respuesta pero quieren preguntar lo siguiente a los alumnos para saberque tan bien se encuentran para el control de la proxima semana:

a) Ubique las distintas combinaciones en el plano (K,L) y determine todos los tramos que unen lascombinaciones senaladas para dar lugar a la isocuanta.

Respuesta

Si los rendimientos son decrecientes la isocuanta debe ser convexa. Lo primero es tener en cuenta quelas combinaciones mas extremas de las descritas deben pertenecer a la isocuanta por lo que los puntosA y B se encuentran en la isocuanta.

Luego, si observamos el factor capital tenemos que el punto D tiene menos capital que los demas salvoel punto B y le siguen los puntos F , E, C y G. Si observamos el factor trabajo tenemos que el puntoG tiene menos trabajo que los demas salvo el punto A y le siguen los puntos C, F , E y D.

Como la isocuanta es convexa los puntos D y G deben estar en la isocuanta pues son combinacionesde factores mas balanceadas que A y B.

6

Observemos que C tiene la misma cantidad de trabajo que F pero tiene mayor cantidad de capital.Entonces C no pertenece a la isocuanta.

De momento A, B, D, E, F y G se mantienen como candidatos a estar en la isocuanta. El analisisanterior nos lleva a que deberıamos dudar de los puntos D y E pues ya sabemos que F y G soncombinaciones balanceadas de A y B.

Tomando los puntosB y F podemos asegurarnos de queD esta en la isocuanta pues es una combinacionde A y B y tambien de B y F . Sin embargo, E no es una combinacion de B y F por lo que se descarta.El mismo razonamiento nos lleva a que el punto G es una combinacion de A y F por lo que esta enla isocuanta.

Finalmente los tramos AG, FG, FD y DB contienen todas las combinaciones intermedias ademas delos puntos senalados que dan lugar a la isocuanta. El analisis anterior nos lleva a que la isocuanta seconstruye de la siguiente forma:

A

G

F

D

B

C

E

K

L

b) Ahora nos dicen que por razones de ingenierıa entre el tramo F y el tramo D hay deseconomıasde escala que llevan a utilizar mas de ambos factores para producir lo mismo en lugar de usar masde ambos factores y producir una cantidad mayor. ¿Por que podria ocurrir algo ası? ¿Que formatendrıa la isocuanta?

Respuesta

La presencia de deseconomıas de escala significa que existe un tramo de produccion en que es necesarioincurrir en mayores costos para producir lo mismo. Una explicacion es que con determinadas combina-ciones de factores puede haber problemas de coordinacion en el proceso productivo. Si esto ocurrieratendrıamos que existe un tramo en el que se debe emplear mas de ambos factores en lugar de sustituirunidades de un factor por otro.

En el caso anterior los tramos GC, CE y ED serıan parte de la isocuanta. El grafico tendrıa la siguienteforma:

7

A

G

F

D

B

C

E

K

L

Problema 2. Suponga que la tecnologıa accesible de la empresa CB y Asociados para producir el bien Qesta representada por la funcion de produccion Q = 2K1/2L1/4 donde K y L indican, respectivamente, lascantidades de trabajo y capital utilizadas en la produccion del bien Q. Si en este mercado opera una empresacompetitiva:

1. Obtenga y represente graficamente la senda de expansion de la produccion de la empresa RG y Aso-ciados.

Respuesta

Debemos plantear y resolver el problema de minimizacion de costos que corresponde a lo siguiente:

mınK,L

C = wK + rL

s.a Q = 2K1/2L1/4

C = wK + rL ! IsocostosdL

dK

��C

= �w

r! Pendiente de Isocostos

TMSTK,L =dL

dK

��Q

= �@Q/@K

@Q/@L= �PMg(K)

PMg(L)= � L1/4K�1/2

12K

1/2L�3/4

TMSTK,L = �2L

K! Pendiente de la Isocuanta

|TMSTK,L|@K

< 0

Si igualamos las pendientes:

dL

dK

��C

=dL

dK

��Q

) �w

r= �2L

K

) L =wK

2r

8

Entonces la pendiente esdL

dK=

w

2r

K

L

L = rK2w

2. Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la funcion de costes a lo largo plazode RG y Asociados. ¿Cual es la expresion de dicha funcion de costes si los precios de los factores son,respectivamente, w = 2 y r = 1?

Respuesta

Del optimo calculado en (a) sabemos que:

w

r=

2L

K) L =

Kw

2r, K =

2Lr

w

Reemplazando en la restriccion (uno a la vez):

Q = 2K1/2

✓Kw

2r

◆1/4

Q

2= K3/4

⇣ w

2r

⌘1/4

Kc =

✓Q

2

◆4/3 ✓2r

w

◆1/3

Q = 2

✓2Lr

w

◆1/2

L1/4

Q

2=

✓2r

w

◆1/2

L3/4

Lc =

✓Q

2

◆4/3 ⇣ w

2r

⌘2/3

9

Ahora si reemplazamos Kc y Lc en la funcion de costos:

C = wK + rL

C = w

✓Q

2

◆4/3 ✓2r

w

◆1/3

+ r

✓Q

2

◆4/3 ⇣ w

2r

⌘2/3

C =

✓Q

2

◆4/3"(2r)1/3(w)2/3 + (w)2/3

✓1

2

◆2/3

(r)1/3#

CLP =

✓Q

2

◆4/3

(w)2/3(r)1/3"(2)1/3 +

✓1

2

◆2/3#

CLP =

✓Q

2

◆4/3

(w)2/3(r)1/3"(2)1/3

(2)2/3

(2)2/3+

✓1

2

◆2/3#

CLP =

✓Q

2

◆4/3

(w)2/3(r)1/3✓

3

(2)2/3

◆

Como w = 2 y r = 1, entonces:

CLP (Q,w, r) = CLP (Q) = 3

✓Q

2

◆4/3

3. Suponga que en el corto plazo CB y Asociados posee el factor L fijo en 16. Determine las funciones dedemanda condicionada de factores y la funcion de costes a corto plazo. ¿Cual es la expresion de dichafuncion de costes si los precios de los factores son, respectivamente, w = 2 y r = 1?

Respuesta

mınK

C = wK + 16r

s.a Q = 2K1/2(16)1/4 = 4K1/2

) Q = 4K1/2

) Kc =

✓Q

4

◆2

Entonces:

CCP (Q,w, r) = wKc + 16r

CCP (Q,w, r) = w

✓Q

4

◆2

+ 16r

Como w = 2 y r = 1, entonces:

CCP (Q,w, r) =Q

2

8+ 16

10


ECO150

Introduccion a la MicroeconomıaProfesores: Christian Belmar, Felipe Varela, Jose Yanez. Javier Turen, Carlos Caceres y Jose Contreras

Ayudantes: Edgardo Cerda, Constanza Acuna, Jose Belmar, Marıa Perez, Iracı Hassler, Nicolas Bohme, AdolfoFuentes, Rodrigo Garay, Martın Harding, Matias Caamano, Maximiliano Acevedo, Alejandra Jauregui, Mauricio

Vargas, Bernardita Saona, Heinz Doebbel y Manuel Ugalde .

Primavera 2011

Ayudant

´

ıa 8

2 de noviembre de 2011

Comentes

(a) Alejandra acaba de revisar la siguiente respuesta en un control: “En microeconomıa cuando hablabamosde largo plazo nos referimos, por lo general, a periodos de 12 meses o mas, dado que es en estos grandesperiodos de tiempo cuando las empresas se pueden ajustar”. Explique por que Alejandra tiene motivospara poner cero puntos a dicha respuesta si lo pedido era una definicion economica de largo plazo.

RespuestaEn microeconomıa al hablar de largo plazo nos referimos a cuando las empresas no tienen una restriccionde capital o nivel de trabajo, es decir, ellas pueden adaptar estos parametros a sus necesidades de demanda,de forma de maximizar sus beneficios. En este contexto, el largo plazo microeconomico es mas un conceptoteorıco que un concepto temporal de largo plazo, de hecho, este concepto es usado mas comunmente enmacroeconomıa dado que ahı si tiene una interpretacion temporal.

(b) Suponga que Mauricio acaba de asumir como gerente general de Vina San Pedro S.A y esta haciendo unestudio econometrico sobre su funcion de costos de largo plazo. Por ahora solo conoce su forma algebraicala cual es:

C(w1

, w2

, y) = "(w↵

1

+ w�

2

)(y� + �)

Indique las condiciones sobre los parametros ", ↵, �, � y � para que la funcion sea funcion de costos delargo plazo:

C(w1

, w2

, y) = "(w↵

1

+ w�

2

)(y� + �)

RespuestaDebe cumplir con las siguientes propiedades (bajo los supuestos vistos en clases):

1. Sin costo fijo: � = 0

2. Homogenea de grado 1 en w: ↵ = � = 1

3. Estrictamente creciente en y: � > 0

4. No negativa: " > 0

(c) Marıa Jose acaba de terminar un estudio para Codelco que llega a la siguiente conclusion: “La oferta dela industria del cobre en el largo plazo, en el caso de que operase bajo competencia implicara que, no seofrecera toda la produccion disponible en el largo plazo a un precio igual al costo medio mınimo de largoplazo, ya que debido al efecto de la expansion de la industria se han encontrado nuevos yacimientos defactores productivos que garantizan el suministro por lo menos durante algunos anos”. Comente

1


RespuestaVerdadero. Descubrir nuevos yacimientos de factores lleva a una disminucion de la estructura de costos. Estaes una externalidad positiva en el mercado teniendo como efecto final una oferta de largo plazo de la industriacon pendiente negativa.

P P

q Qq1

q2

Q1

Q2

QLP

ind

Cmg1 Cmg

2

Cme1

Cme2

(d) Adolfo esta muy feliz de que su novia Francisca tenga un aumento en el sueldo, dado que esto le permitetrabajar menos. Comente.

RespuestaVerdadero. Economicamente podemos ver que el ingreso de su novia se puede interpretar como un aumentodel ingreso no laboral, lo que para las funciones de utilidad mas comunes se traduce en una disminicion delsalario. Graficamente:

(e) Rodrigo intenta ayudar a un estudiante que esta a dos minutos de rendir su control de Microeconomıa yle acaba de decir: “Estoy super bien para la prueba. A fin de cuentas el modelo de ocio consumo es un

2


modelo que no aporta mucho al estudio de la economıa, dado que es una simple adaptacion del modelode eleccion del consumidor, esto debido a que lo que hace es reemplazar la eleccion de consumo de dosbienes, por ocio y consumo, es decir, un mero cambio de nombre”.¿Como resumirıan el modelo y refutarıan la afirmacion de la forma mas breve posible?

RespuestaSe puede resumir de la siguiente manera:El modelo de ocio consumo es una adaptacion del modelo de eleccion del consumidor. Este transforma elproblema inicial y le da caracteristicas adicionales que hacen que se distinga claramente el problema de consu-mir dos bienes del problema de consumir y tener tiempo para ocio. Conceptualmente la gran transformacionesta en las restricciones del problema dentro de la que destaca la restriccion intertemporal.

Matematicamente el problema de eleccion del consumidor es:

max U(x, y)

s.a Px

x+ Py

y = I

Mientras que el problema de ocio consumo viene dado por:

max U(✓, c)

s.a wl + ynl

= pc

l + ✓ = T

De forma adicional, el gran aporte del modelo de ocio consumo es que mediante la aplicacion de distintossalarios nos permite saber la oferta de trabajo del individuo.

Matematicos

1. Suponga que la empresa CC Ltda. opera en un mercado competitivo. Sus costes de produccion de cortoplazo estan dados por la funcion C(y) = y3 � 6y2 + 20y + 50, siendo y su nivel de produccion.

a. Obtenga la curva de oferta a corto plazo de CC.

Respuesta

maxy

B(y) = I(y)� C(y) = py � C(y)

Se calcula el costo marginal:

CMg =@C(y)

@y= 3y2 � 12y + 20

Se calcula el costo variable medio:

CVMe =y3 � 6y2 + 20y

y= y2 � 6y + 20

La produccion que minimiza el costo variable medio se obtiene:

@CVMe

@y= 0 ) @(y2 � 6y + 20)

@y= 2y � 6 = 0 ) y = 3

3


Por lo tanto el minimo de los costos variables medios es:

CVMemın = CVMe(y = 3) = 3 · 3� 6 · 3 + 20 = 11

Ademas la curva del coste marginal corta a la curva del coste medio variable en su mınimo:

CMg(y = 3) = 3 · 3 · 3� 12 · 3 + 20 = 11

Igualando el precio al coste marginal, se obtiene la cuerva inversa de oferta, que expresa el precio en funcionde la produccion:

p = 3y2 � 12y + 20 con y � 3

Despejamos la produccion en funcion del precio, obtenemos la oferta de la empresa:

ys(p) =

8<

:

0 si p < 11

12 +p144� 12(20� p)

6si p � 11

Luego obtenemos el costo medio de la empresa:

CMe =y3 � 6y2 + 20y + 50

y= y2 � 6y + 20 +

50

y

El nivel de produccion que minimiza el coste medio se obtiene, de la siguiente manera:

@CMe

@y= 2y � 6� 50

y2= 0 ) y = 4,33

Para el nivel de produccion y = 4,33 el coste medio mınimo y coincide con el coste marginal:

CMemın = CMe(y = 4,33) = 24,3 = CMg(y = 4,33)

Graficamente, la curva de oferta de la empresa coincide con el tramo de la curva de coste marginal quequeda por encima de la curva de coste variable medio.

P

Q

Oferta

3 4,33

CMg

CTMe

CVMe

24,3

11

4


b. Suponga que el precio del producto es P = 20. Calcule la produccion y el beneficio de equilibrio de CC.

RespuestaPara un p = 20, la cantidad ofrecida por la empresa competitiva sera:

ys(p = 20) =12 +

p144� 12(20� 20)

6= 4

El beneficio sera de:

B(y) = py � C(y) = 20(4)� (43 � 6(42) + 20(4) + 50) = �18

Como se pueden dar cuenta la empresa obtiene perdidas en el corto plazo porque los ingresos que obtieneno le permiten cubrir los costes totales. Sin embargo, la empresa no cerrara porque los ingresos obtenidossuperan a los costes variables. Los beneficios que obtiene produciendo cuatro unidades son superiores a losde no producir, ya que en este caso obtendrıa una perdida de cincuenta unidades.

Oferta

Perdida

P

Q

CMg

CTMe

CVMe

2. El destacado economista y maestro parrillero CB tiene la siguiente funcion de utilidad:

U(O,C) = O↵C� (1)

Ademas usted conoce lo siguiente:

YNL

= Y 0

NL

(2)

w = w0

(3)

↵+ � = 1 (4)

Con esta informacion explique conceptual y graficamente cada una de las siguientes situaciones planteadas(cada letra es independiente de la anterior). Indicando claramente que ocurre con el consumo, el ocio y eltrabajo.

a. Un aumento del salario de w0

a w1

.

RespuestaFrente a un alza en el salario por hora ocurre que aumentan los incentivos a trabajar mas por ende disminuyelas horas dedicadas al ocio, lo que implica (como se dijo antes) que aumentan las horas dedicadas al trabajo,como ahora se trabajan mas horas y se recibe un salario mayor por esas horas trabajadas, es posible accedera un mayor consumo. Por lo tanto el agente mejora.1

1Tambien era valido hacer un analisis donde ocurriera que un aumento en el salario tiene un efecto positivo en el ocio, esto

ocurre cuando se esta ganando un sueldo “muy” alto.

5


Y 0

NL

C1

C0

TO1

O0

O

C

u0

u1

w0

b. Una disminucion del ingreso no laboral de Y 0

NL

a Y 1

NL

.

RespuestaFrente a una disminucion del ingreso no laboral ocurre que tienen que disminuir las horas dedicadas al ociopara poder aumentar las horas dedicadas al trabajo y ası no disminuya tanto el consumo. Por lo tanto elagente empeora.

Y 0

NL

TO1

O0

O

C

w0

u0

Y 1

NL

u1

C0

C1

c. Imagine dos opciones, la primera es un aumento del salariode w0

a w1

y la segunda es un aumentodel ingreso no laboral de Y 1

NL

a Y 2

NL

que lo deja en la misma utilidad que la primera opcion. ¿Existediferencia en el trabajo, ocio y consumo? ¿Le da lo mismo cual opcion tomar si es que existe diferenciaen trabajo, ocio y consumo?

RespuestaSi comparamos la primera alternativa con la segunda tenemos que en la primera disminuyen las horasdedicadas al ocio (aumenta el trabajo) y en la segunda aumentan las horas de ocio (disminuye el trabajo).En ambos casos podemos ver que aumenta el consumo, pero en la primera alternativa aumenta mas queen la segunda, explicado en parte por que en esta alternativa se trabajan mas horas a un sueldo mayor,pudiendo ası optar a un mayor consumo.

Pese de que ambas alternativas nos dejan en la misma utilidad, las canastas optimas en cada alternativason distintas. A pesar de esto, podemos decir con certeza que le da lo mismo cual alternativa elegir, pues

6


ambas lo dejan en la misma curva de utilidad (o de indiferencia), y este es el concepto clave que hay detrasde las curvas de utilidad. Por lo tanto con ambas alternativas el agente mejora en la misma magnitud.

w0

u0

u1

C1

C2

C0

Y 2

NL

Y 0

NL

O1

O0

O2

OT

C

d. Imagine un trabajo que duplica w0

, pero disminuye la cantidad de tiempo disponible, debido a que elnuevo trabajo esta mas lejos.

RespuestaSi duplicamos el salario pero disminuimos el tiempo disponible, podemos ver en este caso que, disminuyenlas horas dedicadas al ocio, pero en este caso el trabajo disminuye (recuerde que el trabajo se mide desde eltiempo disponible hasta la cantidad de ocio elegida), pero a pesar de que el trabajo haya disminuido tenemosque el consumo aumenta (el salario ahora es el doble). Es decir, el agente mejora.

Y 0

NL

O

C

u1C

0

C1

u0

O1

O0

T

2w0

w0

e. Encuentre la oferta de trabajo cuando el ocio es un bien inferior.

RespuestaPrimero recordemos que para que un bien sea inferior, el equilibrio final debe quedar a la izquierda del

7


equilibrio a la Hicks (o Slutsky y aunque no es necesario que queda a la izquierda del equilibrio inicial, puedeocurrir), entonces dado que el ocio es un bien inferior, tenemos que frente a un alza en el salario, el individuosiempre va a escoger trabajar mas (aunque el salario sea muy alto), por ende si sube el salario siempre va aescoger destinar menos horas al ocio. Como siempre elige trabajar mas a un mayor salario, tambien siemprepodra consumir mas. En este caso el agente mejora, pero sus preferencias son distintas.

Al obtener la oferta de trabajo del individuo tenemos que esta siempre sera creciente con respecto al salario,y no como cuando el ocio es un bien normal donde en un punto es decreciente respecto al salario.

C1

C0

Y 0

NL

O1

O0

T

w0

u0

OL0

L1

w

L

w1

w0

Oferta de trabajo

C

u1

8






Pauta Ayudantıa 9


10 de noviembre de 2011

1. Preguntas Cortas

1. Un dıa escucha en la cola del casino que la condicion de competencia perfecta IMg = CMg no tiene

sentido, dado que la venta de la ultima unidad no aporta nada a las firmas, y por lo tanto, podemos

quedarnos con la venta de la unidad anterior. Comente

Respuesta

Falso. De la estructura de los costos de una firma sabemos que estan considerados tanto los costos conta-

bles como los costos economicos (o costos de oportunidad), esto implica que esa unidad de margen si es

beneficiosa para la firma, dado que nos paga ese costo de oportunidad y contable de su produccion, mientras

que la anterior deja un margen.

Por otro lado, conviene recordar que la condicion se obtiene de maximizar los beneficios de la empresa

bajo competencia perfecta. Donde:

⇡T (Q) = IT (Q)� CT (Q)

Y sabemos que en optimo:

@piT (Q)

@Q= 0

Donde reemplazando la condicion tenemos:

@IT (Q)

@Q� @CT (Q)

@Q= 0

IMg � CMg = 0

IMg = CMg

1

2. La oferta de la industria en el largo plazo es perfectamente elastica, independiente de si hay competencia

perfecta o no. Comente.

Respuesta

Falso. Para poder afirmar esto es necesario al menos asumir que no hay barreras de entrada, dado que de lo

contrario no se puede permitir el ingreso de firmas para mantener a la industria con beneficios iguales a 0.

Para ejemplificar esto, supongamos una industria en equilibrio:

Lo que implica que estamos en una industria donde los beneficios son cero, de la forma:

Ahora supongamos que aumenta la demanda, de forma que:

2

Lo que en la industria se refleja que:

Pero esto genera aumente la oferta de forma:

3. El ano pasado salio en los diarios el siguiente aviso: ”Bancos Chilenos cierran 2010 con utilidades record

que superan los US$ 3.300 millones”. Esto claramente es un ejemplo de que el mercado bancario no

funciona bajo competencia perfecta. Comente

Respuesta

Falso. Nosotros sabemos que en competencia perfecta los beneficios de las firmas deben ser igual a cero,

pero esto no implica ninguna condicion sobre las utilidades. Recordar que con beneficios nos referimos al

ingreso menos el costo contable y de oportunidad, mientras que con utilidad nos referimos al ingreso menos

el costo contable.

4. El Gerente General de un malvado casino de una Facultad cualquiera dice: Excelente, puedo seguir

subiendo el precio de las botellas de bebida, dado que esto siempre se traducira en mayores beneficios.

Comente.

Respuesta

Falso. Esto se debe a que el casino a pesar de ser un monopolio, sabemos que este enfrenta una demanda,

por lo tanto, no puede cobrar precios demasiado altos dado que nadie le comprara (dependiendo de la

elasticidad). Para poder formalizar esto, debemos maximizar la utilidad del monopolio:

IT (Q) = QP (Q)

3

Donde sabemos que en el optimo:

IMg =

@⇡

@Q= 0

Reemplazando la restriccion obtenemos:

IMg = P (Q) +Q@P

@Q

IMg = P (Q) +

Q

P

@P

@QP (Q)

IMg = P (Q)

1 +

Q

P

@P

@Q

�

IMg = P (Q)

1 +

1

⇠P,Q

�

5. Solo si el Costo Marginal de un Monopolista es igual a cero, este se ubicara simultaneamente en un

punto donde la Utilidad (Ingresos menos Costos) y el Ingreso total son maximos. Comente

Respuesta

Verdadero, dado que el Monopolista produce en el punto donde Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal

para maximizar su utilidad, si el costo marginal es igual a cero, entonces el ingreso marginal tambien lo

sera. El punto en donde el Ingreso Marginal es igual a cero, es el punto maximo del Ingreso Total (primera

derivada). Por lo tanto, el monopolista produce en el punto en que las utilidades e ingreso total son maximos.

6. Las ganancias del Monopolista dependeran unicamente de la curva de demanda que enfrente. Comente.

Respuesta

Falso, las ganancias o perdidas del Monopolista dependeran tanto de la estructura de costos que posea

la empresa como tambien de la curva de demanda. Juntando ambos factores podrıamos decir que si sus

costos son altos y enfrenta una demanda muy baja posiblemente tendran perdidas y si son bajos los costos

y enfrenta una alta demanda posiblemente tendran ganancias. Graficamente:

4

2. Matematico

Problema 1. Considere una economıa donde la demanda esta dada por:

Q = 100� 4P

Y ademas sabe que hay una firma en el mercado y que su estructura de costos es de la forma:

C(Q) = 10Q+ 2Q2

Se le pide:

Encuentre la produccion de equilibrio de la firma si sabe que P ⇤= 20 si asumimos competencia perfecta.

Respuesta

Sabemos que producto de la maximizacion de beneficios la condicion de optimo esta dada por:

P = IMg = CMg

Entonces obtenemos el costo marginal de la forma:

@C(Q)

@Q= 10 + 4Q

Y hacemos la condicion de optimo, encontrando:

10 + 4Q = 20

4Q = 10

Q⇤= 2, 5

Calcule los beneficios de la firma, ¿Que nos dice sobre la competencia perfecta de la industria?

Respuesta

Los beneficios estan dados por:

⇡ = Q(P ) · P � C(Q)

⇡ = 2, 5 · 20� 10 · 2,5� 2(2, 5)2

⇡ = 2, 5 · [20� 10� 2(2, 5)]

⇡ = 2, 5 · [10� 5]

⇡ = 2, 5 · [5]⇡ = 12, 5

Ahora como vemos hay beneficios en la industria, por lo tanto, hay incentivos a que entren empresas en el

mercado de forma que el precio disminuya

Calcule el precio que hace que la empresa no tenga beneficios.

Respuesta

Para esto sabemos que la condicion de optimo es:

10 + 4Q = P

Por lo tanto, reemplazamos de forma generica obteniendo:

⇡ =

P � 10

4

· P � 10

✓P � 10

4

◆� 2

✓P � 10

4

◆2

⇡ =

P (P � 10)

4

� 10(P � 10)

4

� 2

✓(P � 10)

2

16

◆

5

Ahora hacemos ⇡ = 0 obteniendo:

0 =

P (P � 10)

4

� 10(P � 10)

4

� 2

✓(P � 10)

2

16

◆

0 = 4P (P � 10)� 40(P � 10)� 2(P � 10)

2

0 = (P � 10)(4P � 40)� 2(P � 10)

2

0 = 4(P � 10)

2 � 2(P � 10)

2

2(P � 10)

2= 0

(P � 10)

2= 0

(P � 10)(P � 10) = 0

P1 = 10

P2 = 10

Para comprobar reemplazamos determinamos la produccion optima y obtenemos:

10 + 4Q = 10

Q = 0

Reemplazando en los beneficios:

⇡ = 10 · 0� 10 · 0� 2(0)

2

⇡ = 0

La conclusion es que con un precio de 10 la firma obtiene beneficio 0. Ahora bien, que la empresa no produzca

es una consecuencia de que la empresa tiene solo costos variables y, por lo tanto, no se puede extrapolar a

otros casos.

Problema 2. Suponga que se tiene una empresa del Estado que produce un bien de importancia nacional.

Este bien tiene una demanda de:

Q = 80� 2P

Mientras que la estructura de costos de la firma estatal es de la forma:

C(Q) = 280 + 10Q+ 0, 25Q2

Se le pide:

Suponga que la empresa esta sola en el mercado, pero actua como si estuviera en competencia perfecta.

Encuentre la produccion, el punto de equilibrio y los beneficios de la firma.

Respuesta

Sabemos que el equilibrio se da en:

CMg = P

10 + 0, 5Q = P

10 + 0, 5Q = 40� 0, 5Q

Q = 30

P = 25

Entonces los beneficios son de la firma:

⇡ = 30 · 25� 280� 10 · 30 + 0, 25 · (30)2

⇡ = 750� 280� 300� 225

⇡ = �55

Por lo tanto, todos los periodos la empresa estatal genera una perdida de -55.

6

Suponga que un grupo de privados ofrece comprar la firma estatal a cambio de dar una cantidad de los

beneficios obtenidos. Si la firma en manos de privados se comporta de forma monopolica, ¿Cuanto es

lo maximo que estan dispuestos a pagar los privados?

Respuesta

Sabemos que como monopolio la condicion es:

IMg = CMg

Donde:

IT = (40� 0, 5Q)Q

IMg = 40�Q

Entonces:

40�Q = 10 + 0, 5Q

30 = 1, 5Q

Q = 20

P = 30

Por lo tanto el beneficio esta dado por:

⇡ = 20 · 30� 280� 10 · 20 + 0, 25 · (20)2

⇡ = 600� 280� 200� 100

⇡ = 20

Por lo tanto, la maxima disposicion a pagar es de 20.

Si el criterio de asignacion de recursos se realiza en base al excedente del consumidor mas las rentas

obtenidas de privados, ¿El estado cede la firma?

Respuesta

Calculamos el excedente del consumidor en el primer caso como:

EC1 =

15 · 302

= 225

Calculamos el excedente del consumidor en el segundo caso como:

EC2 =

10 · 202

= 100

Por lo tanto, el criterio es:

C1 = 225

Calculamos el excedente del consumidor en el segundo caso como:

C2 = 100 + 20 = 120

Por lo que bajo este criterio no se deberıa vender el activo.

Comente el criterio de asignacion de recursos del estado.

7

Problema 3. Suponga que usted encuentra un monopolio cuya funcion de costos totales es de la forma:

C(Q) = 10 + 5Q

Enfrenta una demanda dada por:

P = 100�Q

Se le pide:

Determine el equilibrio monopolico y grafiquelo.

Respuesta

El monopolio maximiza beneficios sujeto a:

IMg = CMg

Donde:

IT (Q) = (100�Q)Q

IT (Q) = (100Q�Q2)

@IT (Q)

@Q= IMg = 100� 2Q

Ahora igualamos IMg = CMg obteniendo:

IMg = CMg

100� 2Q = 5

QM= 47, 5

Para obtener el precio reemplazamos en la demanda y obtenemos:

P = 100� 47, 5

P = 52, 5

Graficamente:

8

Determine el beneficio monopolico e identifiquelo en el grafico.

Respuesta

El beneficio del monopolista viene dado por la diferencia entre el precio que cobra y su costo marginal por

la cantidad de unidades que vende, es decir:

⇡ = P (Q) ·Q� C(Q)

⇡ = 52, 25 · 47, 5� (10� 5 · 47, 5)⇡ = 2246, 25

Graficamente:

Determine el valor de la perdida social que produce el monopolio e identifiquela en el grafico.

Respuesta

La perdida social viene dada por aquella cantidad que los consumidores dejan de adquirir dado el precio

monopolico, frente al precio de competencia perfecta. Para poder calcular esto primero debemos calcular el

equilibrio de competencia perfecta.

El equilibrio de competencia perfecta corresponde al punto donde CMg = Dda, es decir:

CMg = Dda

5 = 100� P

P ⇤= 95

Q⇤= 5

Entonces la perdida de eficiencia viene dada por:

PEE =

1

2

(95� 47, 5)(52, 5� 5)

PEE =

1

2

(47, 5)(47, 5)

PEE =

1

2

(2256, 25)

PEE = 1128, 125

9

Graficamente:

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pautas de ayudantías (introducción a la microeconomía - uchile)

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