Parte I : l’Alto Medioevo in Europa e in Oriente

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Cicerone: “Artes quae libero sunt dignae” Trivio: grammatica, retorica, dialettica Quadrivio: geometria, aritmetica,

astronomia e musica

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“Le dita della giovane si muovevano rapide innanzi e indietro ed erano percorse come da un inarrestabile formicolio. Fatto il suo ingresso ed ottenuto con le dita variamente piegate un numero pari a settecentodiciassette, le alzò per porgere il saluto a Giove. Allora Filosofia, poiché era accanto alla Tritonide, le domandò che cosa Aritmetica avesse inteso con quel numero. E Pallade le rispose: “Ha salutato [Giove] con il suo proprio nome”

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ms. Urb. Lat. 329, f. 113, Biblioteca Apostolica Vaticana, Città del Vaticano

Marziano passa ad esaminare i singoli numeri da uno (la monade) fino a dieci, esplorandone tutti i significati filosofici e teologici e le sfumature simboliche e collegandoli con i rispettivi enti geometrici (la monade corrisponde al punto e così via).

Seguono la trattazione della natura e la divisione dei numeri (pari e dispari; composti e non composti; perfetti, imperfetti e più-che-perfetti; piani e solidi), i rapporti tra i numeri ed il concetto di proporzione.

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Trattati sulle arti liberali: ◦ De institutione arithmetica◦ De Musica◦ Geometria (pseudo-Boezio)

Tassonomia del quadrivio◦ Aritmetica>geometria>musica>astronomia

De institutione arithmetica◦ Libro 1: Classificazione dei numeri◦ Libro 2: Teoria delle proporzioni

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I numeri sono distinti in ◦ pari e dispari

parimenti pari 2n

parimenti dispari 2m+1(2n+1)◦ primi e composti ◦ perfetti (6 = 1+2+3) ◦ imperfetti (sono maggiori della somma) ◦ ultraperfetti (inferiori alla somma)

Studio delle relazioni fra i numeri: ◦ Uguaglianza ◦ Disuguaglianza (maggiore o minore e opposizione)

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Multiplo: a è multiplo di b se esiste un numero n tale che a=nb; per n=2 a è detto superduplo di b; per n=3, supertriplo etc.

Superparticolare: a è chiamato superparticolare di b se a=b+b/n per un qualche n; per n=2 a è sesquialtero di b; per n=3 è sesquiterzo, etc.

Superparziente: a è detto n-multiplo super-m-parziente di b se a= bn + m ad esempio, 16 rapportato a 6 è definito duplice superquadriparziente, perché dalla divisione risulta che il 6 è contenuto 2 volte con l’avanzo di 4

Multiplo superparticolare: a è super-n-particolare se a = n+1/n per qualche n intero: ad esempio 3/2= 1 + 1/2 (sesquialtero), 4/3 = 1 + 1/3 (sesquiterzo), etc.

Multiplo superparziente: a è superparziente se a = (2b+c)/b + c per a, b interi diversi tra loro.

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Isidoro di Siviglia (c. 560 - 636) Beda il Venerabile (674-735) Alcuino (732 - 804):

Propositiones ad acuendos iuvenes◦ Propositio I: Limax fuit ab hirundine invitatus ad

prandium infra leucam unam. In die autem non potuit plus quam unam unciam pedis ambulare. Dicat, qui velit, in quot diebus ad idem prandium ipse limax perambulat?

◦ I. Sequitur solutio de limace: In leuca una sunt mille quingenti passus, VII pedes, XC unciae. Quot unciae, tot dies fuerunt, qui faciunt annos CCXLVI, et dies CCX

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Nell'area del Medio Oriente coesistevano varie culture: ◦ greca (con la sua tradizione classica, ellenistica e poi

cristiana) ◦ siriaca (di impronta essenzialmente religiosa per via

dell’influsso nestoriano)◦ ebraica ◦ persiana

Queste culture comunicavano principalmente attraverso traduzioni eseguite da dotti religiosi bilingui.

Fin dal V secolo accanto alle traduzioni propriamente religiose (dalla Bibbia) apparvero quelle scientifiche e filosofiche greche, in particolare le opere più tarde neo-platoniche, neo-aristoteliche ed eclettiche.

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762: al-Mansur trasferisce la capitale da Damasco a Baghdad

Bayt al Hikma, officina culturale unica ◦ opere dall’utilità pratica

immediata, come trattati di medicina, astrologia, logica e scienze matematiche.

◦ filosofia di Platone ed Aristotele

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◦ I testi già in siriaco (la lingua dei Nestoriani) furono tradotti in arabo

◦ le opere non disponibili in siriaco erano tradotte direttamente dal greco in arabo oppure attraverso la mediazione linguistica del siriaco.

◦ In varie occasioni, furono inviate spedizioni a Bisanzio per ottenere copie di opere greche altrimenti irreperibili oppure copie migliori di originali posseduti solo in versioni irrimediabilmente corrotte.

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Yuhanan Bekhtyashu, Hunayn ibn Ishaq e suo figlio Ishaq ibn Hunayn, Qusta ibn Luqa, Abd al-Masih al-Himsi, i fratelli banu Musa ibn Shakir, Thabit ibn Qurra

Grazie a strumenti altamente qualificati, come dizionari bilingui, manuali e grammatiche, realizzarono le traduzioni in arabo (passando spesso attraverso il siriaco) delle opere memorabili della filosofia e scienza greco-ellenistica: ◦ Galeno, Tolomeo, Euclide, Aristotele, Alessandro di

Afrodisia, Dioscoride, Giamblico e Porfirio, oltre a tutta una serie di testi gnostici e sincretistici;

Anche traduttori di opere indiane, soprattutto di astronomia e matematica.

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L’influsso greco giunse agli Arabi anche indirettamente dall’Oriente, attraverso l’India e la Persia;

si tratta di conoscenze elaborate da studiosi indiani, a partire da materiale di provenienza alessandrina, passato in India ◦ o via mare, sulla rotta che connetteva Alessandria con

l’India nord-occidentale, ◦ o via terra lungo una strada che collegava la Grecia

con la Battriana, in particolare con la città di Marw (oggi nel Turkmenistan)

Il loro contributo in particolare consistette nell’introduzione della notazione decimale e di molti simboli.

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La più antica testimonianza dell’uso di una notazione posizionale, secondo uno studio recente di un gruppo di storici tedeschi, è l’iscrizione di Gurjara, datata 346 secondo il computo Samvat, corrispondente al 595 d.C., scritta in parole-numero brahmi, ossia nomi di oggetti il cui numero è risaputo: l’ordine di presentazione delle potenze era dal più basso al più alto

le parole-numero risultavano poetiche e gradevoli e il loro uso costituiva una valida mnemotecnica.

Ali-sensi-vuoto-luna = ?

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è comparso in scritti babilonesi di astronomia, in cui era usato il sistema sessagesimale; in epoche più tarde, era previsto un segno per una cifra mancante solo nel mezzo del numero

I Greci utilizzarono questo sistema per i calcoli astronomici, con una cifra come 0 per rappresentare lo zero.

Gli studiosi indiani avrebbero conosciuto tutta questa tradizione a seguito delle campagna militari di Alessandro e l’avrebbero tramandata a loro volta; in seguito avrebbero integrato le loro cifre brahmi da 1 a 9 e lo zero greco e adottato la scrittura da sinistra a destra greco-babilonese.

Ci sarebbe stata la fusione delle conoscenze derivate da tre culture, mentre furono gli Indiani a costruire completamente da soli il sistema posizionale, con l’evoluzione sopra descritta.

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Iscrizione gwalior (870) : è evidenziato il numero 270

Nell'VIII secolo, presso gli Arabi e le popolazioni sottoposte alla loro dominazione, si manifesta un crescente interesse per l'aritmetica e, in particolare, per i sistemi di numerazione.

Gli Arabi cominciarono ad usare le lettere dell'alfabeto per rappresentare il sistema decimale, additivo e basato su nove simboli;

L’introduzione dello zero e della notazione posizionale intervennero grazie agli interessi astronomici (calcolo della direzione della Mecca) che portarono gli Arabi alla lettura dei testi indiani, dove si faceva uso di questa notazione e dello zero.

Essi privilegiarono questa convenzione per la sua semplicità ed efficacia ed intrapresero studi specifici di aritmetica.

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la vita l’opera algebrica e

aritmetica le fonti della sua

formazione (locali ed esterne al mondo islamico)

metodo innovativo nel procedimento risolutivo delle equazioni

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Aritmetica: ◦ Hisab al-Hindi (Algorithmi de numero Indorum)◦ Al-jam wa-al-tafriq (Liber augmenti et diminutionis)

algebra (Hisab al-jabr w’al-muqabalah: Calcolo con completamento e riduzione)

astronomia (Zij: tavole astronomiche) geografia (Kitab Surat al-Ard: Libro sulla forma

della Terra) calendario (Istikhraj Ta’rikh al-Yahud: Il

calendario ebraico), 823-824 storia (Kitab al-Tarik: Croniche); un testo di

storia e astrologia, databile dopo l’826

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Del libro di aritmetica non ci è giunto il testo arabo originale, ma solo in varie traduzioni latine del XII e XIII secolo. Una di queste versioni, presente in un unico manoscritto (ms.Ii.vi.5) alla University Library di Cambridge, fu pubblicata a Roma nel 1857 da Baldassarre Boncompagni, col titolo Algoritmi de numero Indorum, e successivamente, a cura di Vogel e in fac-simile dalla Kopelevitch .

Ne esiste l’edizione critica dei testi latini da essa derivati con traduzione francese, di Allard.

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Falsa posizione o regula falsi◦ Risolve problemi che oggi vengono ricondotti a

equazioni del tipo ax + b =0 Doppia falsa posizione o elchataym

(approssimazione del valore per eccesso e per difetto)◦ Risolve problemi che oggi vengono ricondotti a

equazioni del tipo ax + b = c, con a , b, c > 0◦

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Il più antico testimone arabo dell’Algebra (Oxford Hunt. 214) attualmente pubblicato è piuttosto tardo, dal momento che è stato copiato al Cairo nel 1342.

esistenza di manoscritti inediti a Kabul, a Medina (2), a Berlino e a Teheran.

sono invece più antiche le traduzioni latine, in particolare quelle di◦ Roberto di Chester, realizzata nel 1145 a Segovia, ◦ Gerardo da Cremona, redatta a Toledo intorno al 1170◦ Guglielmo de Lunis, portata a termine il secolo

successivo nel 1250 circa.

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Il titolo completo del testo arabo è Al-Kitab al-muktasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabalah, ossia “Breve opera sul calcolo con restaurazione e riduzione”.

Algebra retorica È strutturato in

◦ breve introduzione sui contratti commerciali e sui calcoli relativi eseguiti attraverso la regola del tre, già nota ai matematici indiani;

◦ tre capitoli di varie lunghezza dedicati rispettivamente all’algebra; alla geometria piana e solida; ai problemi di spartizione di eredità, estremamente macchinosi nel

diritto coranico. Le traduzioni latine si discostano in vari passi da questi

contenuti e si limitano alle prime due parti, escludendo la parte di geometria e quella sui calcoli per le eredità .

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I numeri necessari per il calcolo con completamento e riduzione sono di tre tipi: radici, quadrati e numeri semplici, che non sono né radici né quadrati.

Una radice (jidr)è una quantità che è da moltiplicare per se stessa, ed è costruita di unità (ascendente) o frazioni (discendente).

Un quadrato (mal) è il valore totale della radice moltiplicata per se stessa.

Un numero semplice (dirham) è qualsiasi numero che può essere nominato senza fare riferimento a radice o quadrato.

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Equazioni semplici◦ Caso 1: Quadrati uguali a radici (ax2 = bx)◦ Caso 2: Quadrati uguali a numeri (ax2 = c)◦ Caso 3: Radici uguali a numeri (bx = c)

Equazioni composte◦ Caso 4: Quadrati e radici uguali a numeri

(ax2 + bx = c)◦ Caso 5: Quadrati e numeri uguali a radici

(ax2 + c = bx)◦ Caso 6: Radici e numeri uguali a quadrati

(bx + c = ax2)

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ax2 + bx = c

NB: ◦ x > 0◦ 1 sola soluzione

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Inizio

Calcola b/2

a=1?

sì

Dividi a, b, c per a(al-hatt)

no

Calcola (b/2)2

Calcola (b/2)2 + c

Ponib = b/a c = c/a

Estrai la radice quadrata

Leggi equazioneax2 + bx = ca, b, c > 0

Fine

Calcolax = sqr((b/2)2 + c) - b/2

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Inizio

Calcola b/2

a=1?

sì

Dividi a, b, c per a(al-hatt)

no

Calcola (b/2)2

(b/2)2 < csì

(b/2)2 = c

no

sì

Calcola (b/2)2 - c

no

Ponib = b/a c = c/a

Estrai la radice quadrata

b/2 > sqr((b/2)2 – c) sì

no

Leggi equazioneax2 + c = bxa, b, c > 0

Fine

Calcolax = b/2 ± sqr((b/2)2 – c)

Calcolax = b/2 + sqr((b/2)2 – c)

Calcolax = b/2

Dichiara la soluzioneimpossibile

(non esistono soluzioni reali)

•ax2 + c = bx

•NB: x > 0 Nessuna soluzione 1o 2 soluzioni

bx + c = ax2

NB: ◦ x > 0◦ 1 sola soluzione

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Dati◦ 1 quadrato di area a·b (a=b) che rappresenta

x2

◦ 4 rettangoli equivalenti (c,d,e,f) con dimensioni a, 2 unità e mezzo

Per completare il quadrato maggiore, si aggiungono quattro quadrati con perimetro tratteggiato di area 6 unità e un quarto

Quindi per risolvere l’equazione◦ Si aggiunge il quadruplo di 6 unità e un quarto

(=25) a 39, ottenendo x2 = 25+39 = 64

◦ Da ciò si ricava che il lato del quadrato maggiore misura 8;

◦ si sottrae il doppio di 2 unità e mezzo (=5) e si ottiene la misura di a (=b), cioè 3

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“Ora io aggiungo questi problemi, che serviranno per portare l’argomento più vicino alla conoscenza, per rendere la sua comprensione più facile e per rendere gli argomenti più perspicui”

Ogni equazione risolvente di un problema viene riportata ad uno dei 6 casi grazie a due operazioni basilari: ◦ al-jabr (completamento; in latino restauratio), che consiste

nell’eliminare i termini negativi, addizionando termini positivi uguali nei due membri;

◦ al-muqabalah (opposizione; in latino oppositio) che permette di sommare algebricamente i termini dello stesso grado nei due membri.

In definitiva, il procedimento presentato dall’autore per la soluzione di un problema si può sintetizzare nei seguenti passi:◦ Tradurre il problema in un’equazione algebrica;◦ Ricondurre l’equazione ad uno dei casi noti;◦ Applicare l’algoritmo appropriato per arrivare alla soluzione.

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Al- Khawarizmi prosegue poi la sua trattazione con altri trentaquattro problemi, che, salvo una sola eccezione (il problema 7), possono essere catalogati, secondo Oaks, in tre gruppi, sulla base del loro enunciato: tipo “10”, “M” e “D”.

Il testo dei problemi di tipo 10 incomincia con “Hai diviso il dieci in due parti …”, cui segue una condizione che le parti devono soddisfare.

Il testo dei problemi di tipo M riguarda invece la ricerca di un mal.

I problemi di tipo D hanno invece a che fare con un certo numero di dirhem divisi tra persone.

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“Sai che tutte le transazioni commerciali tra le persone, come comprare e vendere, barattare e prendere a prestito, prevedono sempre due condizioni e quattro numeri, fissati da chi pone il problema; ossia, misura e prezzo e quantità e somma. Il numero che esprime la misura è inversamente proporzionale a quello che esprime la somma, e il numero del prezzo è inversamente proporzionale a quello della quantità. Tre di questi quattro numeri sono già noti, il quarto è l’incognita e questa è implicita quando chi pone il problema chiede “quanto?” ed è l’oggetto del problema.”

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Tre parti sul calcolo di aree e volumi◦ Viene ricordata la proprietà dei triangoli rettangoli

nota in Occidente come Teorema di Pitagora, con dimostrazione geometrica diversa sia da quella euclidea sia da quella, pur posteriore, di Bhaskara

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Indiane: lessico (dhanam = mal; rupa=dirhem)

Greche: era nota l’opera di Diofanto? Astratto vs. concreto; Erone?

Ebraiche: Mishnat ha Middot Babilonesi: tecnica cut and paste Oggi: sincretismo di fonti o originalità?

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Secondo Ruska (1917) e Sezgin (1974), si potranno fare progressi sulla questione delle fonti solo grazie a: ◦ scoperte di nuove fonti manoscritte;◦ discussione delle premesse alla fondazione di una

letteratura matematica presso gli Arabi;◦ reale approfondimento delle intenzioni e degli

scopi;◦ precisa analisi terminologica.

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