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Estadıstica I

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Principalesdistribucionesunidimension-alesdiscretas

Principalesdistribucionesunidimension-alescontinuas

Relacionesentredistribuciones

Distribucionesasociadas a lanormal

Part VI

Distribuciones notables

Mario Francisco Estadıstica I

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Distribuciones unidimensionales discretas

El proceso de Bernoulli

En cada observacion se clasifica el elemento de lapoblacion en una de las dos posibles categorıas,correspondientes a la ocurrencia o no de un suceso.Llamaremos exito (E ) a la ocurrencia y fracaso (F ) a la noocurrencia.

La proporcion de exitos en la poblacion es constante y nodepende del numero de elementos de esta.Representaremos por p (0 < p < 1) a la probabilidad deexito y por q (q = 1− p) a la probabilidad de fracaso.

Las observaciones son independientes. Es decir, laprobabilidad de exito es siempre la misma y no se modificadependiendo de los elementos observados.


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Distribucion de Bernoulli

La variable con distribucion de Bernoulli se define como:

X =

{0 si ocurre F1 si ocurre E

Funcion de probabilidad:

P(X = 1) = p y P(X = 0) = q

Caracterısticas

E (X ) = p, Var(X ) = pq


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Distribucion binomial

En un proceso de Bernoulli la variable aleatoria

X = “numero de exitos en n realizaciones del experimento”

sigue una distribucion binomial de parametros n y p. Ladenotaremos X ∈ B(n, p).


P(X = x) =(nx

)pxqn−x si x = 0, 1, 2, . . . , n

Caracterısticas:

E (X ) = np, Var(X ) = npq


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Funcion de probabilidad de una variable B(10, 0′1)


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Distribucion Binomial. Comentarios

1 La distribucion de Bernoulli es la distribucion binomial conn = 1.

2 Los valores de esta distribucion estan tabulados.

3 La distribucion binomial se utiliza en los procesos decontrol de calidad y en el muestreo con reemplazamiento.

4 El numero de fracasos en n pruebas tiene distribucionbinomial de parametros n y q.

5 Reproductividad de la distribucion binomial: SiX ∈ B(n1, p) e Y ∈ B(n2, p), entoncesX + Y ∈ B(n1 + n2, p).

6 Si X ∈ B(n, p) entonces X =∑n

i=1 Xi , dondeXi ∈ B(1, p) independientes.


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Distribucion geometrica o de Pascal

En las mismas condiciones del experimento binomial,

X = “numero de fracasos hasta obtener el primer exito”

tiene distribucion geometrica de parametro p.


P(X = x) = qxp si x = 0, 1, 2, . . .

Caracterısticas:

E (X ) =q

p, Var(X ) =

q

p2


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Distribucion binomial negativa

la variable

X = “numero de fracasos hasta obtener el exito n”

tiene distribucion binomial negativa de parametros n y p,que denotaremos por BN(n, p).


P(X = x) =(n+x−1

x

)qxpn si x = 0, 1, 2, ...

Caracterısticas:

E (X ) =nq

p, Var(X ) =

nq

p2


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Funcion de probabilidad de una variable geometrica (BN(1, 0′1))


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Distribucion binomial negativa. Comentarios

La distribucion geometrica es una BN(1, p).

Reproductividad de la distribucion binomial negativa: Lasuma de n variables aleatorias independientes condistribucion geometrica de parametro p tiene unadistribucion BN(n, p).

La distribucion binomial negativa tambien se puede definircomo la distribucion de la variable “numero de pruebashasta obtener el exito n”. En este caso, la media de estavariable es n/p.

La distribucion binomial negativa se utiliza en estudios defiabilidad.


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El proceso de Poisson

Llamaremos proceso de Poisson a aquel experimentoaleatorio que consiste en observar la aparicion de sucesospuntuales sobre un soporte continuo (generalmente eltiempo), de manera que:

El proceso sea estable. Es decir, a largo plazo el numeromedio de sucesos por unidad de medida, λ (λ > 0), esconstante.Los sucesos ocurren aleatoriamente de formaindependiente.

Es la generalizacion a un soporte continuo del proceso deBernoulli.

Ejemplos: presencia de globulos rojos en una gota desangre, usuarios de Internet que acceden a un servidor,espectadores que llegan a la cola de un cine, etc.


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Distribucion de Poisson

En un proceso de Poisson, la variable

X = “numero de sucesos ocurridos en un intervalo”

es una variable aleatoria con distribucion de Poisson deparametro λ. La denotaremos por X ∈ P(λ).


P(X = x) = e−λ λx

x!si x = 0, 1, 2, . . .

Caracterısticas:

E (X ) = Var(X ) = λ


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Funcion de probabilidad de una variable P(10)


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Distribucion de Poisson. Comentarios

En la practica se va a tomar como intervalo (de definicion)el conjunto donde se observe la variable. Tendremos quecorregir el valor del parametro λ si variamos el intervaloinicial.

Reproductividad de la distribucion de Poisson: SeanX ∈ P(λ1) e Y ∈ P(λ2) dos variables aleatoriasindependientes, entonces X + Y ∈ P(λ1 + λ2).

La distribucion de Poisson esta tabulada.

La distribucion de Poisson se obtiene como lımite de ladistribucion binomial cuando n →∞ y p → 0.


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Distribucion uniforme discreta

Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribucionuniforme discreta sobre n valores {x1, x2, . . . , xn} si todosocurren con la misma probabilidad.


P(X = x) =1

nsi x = x1, x2, . . . , xn

Caracterısticas:

µ = E (X ) =1

n

n∑i=1

xi , Var(X ) =1

n

n∑i=1

(xi − µ)2


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Distribucion hipergeometrica

Consideremos una poblacion finita de N elementos de loscuales k son de la clase D y los restantes, N − k, de laclase D. Se toma una muestra aleatoria sinreemplazamiento de tamano n,

X =“numero de elementos de la clase Den la muestra de tamano n”

tiene distribucion hipergeometrica de parametros N, n y k.La denotaremos por X ∈ H(N, n, k).


P(X = x) =

(kx

)(N−kn−x

)(Nn

)max{0, n − (N − k)} ≤ x ≤ min{k, n}Mario Francisco Estadıstica I

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Distribucion hipergeometrica

Caracterısticas:

E (X ) =nk

N= np

Var(X ) =nk(N − k)(N − n)

N2(N − 1)= npq

N − n

N − 1

Donde p =k

Ny q = 1− p son, respectivamente, las

probabilidades de que un elemento pertenezca a las clasesD y D.


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Distribucion hipergeometrica. Comentarios

La distribucion hipergeometrica se utiliza en el muestreode una poblacion finita sin reemplazamiento. Si elmuestreo es con reemplazamiento, la distribucion que seutiliza es la binomial.

La distribucion hipergeometrica se puede aproximar por ladistribucion binomial cuando el tamano de la poblacion esgrande.


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Distribuciones unidimensionales continuas

Distribucion uniforme

X tiene distribucion uniforme en (a, b), X ∈ U(a, b), si sufuncion de densidad es:

f (x) =

1

b − asi x ∈ (a, b)

0 en otro caso

Funcion de distribucion:

F (x) =

0 si x < a

x − a

b − asi a ≤ x ≤ b

1 si x > b


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Distribucion uniforme

Caracterısticas:

E (X ) =a + b

2

Var(X ) =(b − a)2

12

El nombre de esta distribucion se deriva del hecho de quela probabilidad se reparte de modo uniforme sobre elintervalo (a, b) (densidad constante en dicho intervalo),siendo el modelo de distribucion uniforme el utilizado paradescribir el resultado del experimento consistente en elegirun valor al azar en un intervalo.


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Funcion de densidad de unaU(−2, 2)

Funcion de distribucion de unaU(−2, 2)


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Distribucion normal

La distribucion normal fue considerada por primera vez porDe Moivre en 1733 como lımite de la distribucionbinomial, B(n, p), cuando n →∞.

Este descubrimiento quedo en el olvido y fue redescubiertaen el siglo XIX por Gauss y Laplace al estudiar ladistribucion de los errores accidentales en astronomıa ygeodesia.

La distribucion normal o gaussiana es la mas importante yde mayor uso de todas las distribuciones continuas deprobabilidad. Existen multitud de experimentos cuyoresultado se ajusta a esta distribucion: el peso de unindividuo y su talla, datos meteorologicos, errores demedicion, calificaciones de pruebas de aptitud, etc.


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Distribucion normal

Diremos que una variable aleatoria tiene distribucionnormal de parametros µ, σ (−∞ < µ < ∞, σ > 0), quedenotaremos por X ∈ N(µ, σ), si su funcion de densidades:

f (x) =1

σ√

2πe−

(x − µ)2

2σ2 si −∞ < x < ∞

Caracterısticas:E (X ) = µ

Var(X ) = σ2


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Distribucion normal. Comentarios

La variable aleatoria N(0, 1) se denomina normal estandar,tipificada o estandarizada; la representaremos usualmentepor la letra Z y a su funcion de distribucion, que estatabulada, por Φ (Φ(z) = P(Z ≤ z)). Su funcion dedensidad viene dada por:

f (z) =1√2π

e−z2/2 si −∞ < z < ∞

Para calcular las probabilidades relativas a una variableX ∈ N(µ, σ) se tipifica la variable. La nueva variable

Z =X − µ

σtendra distribucion N(0, 1).


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Distribucion normal. Comentarios

Los valores del coeficiente de asimetrıa y la curtosis de unavariable normal son 0.

Sean X ∈ N(µ1, σ1) e Y ∈ N(µ2, σ2). Si dichas variables

son independientes X + Y ∈ N

(µ1 + µ2,

√σ2

1 + σ22

).

Dadas variables normales independientes Xi ∈ N(µi , σi ) yconstantes cualesquiera ai (i = 1, 2, . . . , n), la variablealeatoria

∑ni=1 aiXi tiene distribucion

N(∑n

i=1 aiµi ,√∑n

i=1 a2i σ

2i

).


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Trazo fino densidad de N(0, 1)y trazo grueso densidad deN(0, 2)

Trazo fino densidad de N(0, 1)y trazo grueso densidad deN(1, 1)


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Distribucion exponencial

En un proceso de Poisson, consideremos la variable X =“tiempo entre dos sucesos consecutivos”. Diremos que Xtiene distribucion exponencial de parametro λ, quedenotaremos por X ∈ Exp(λ) siendo λ > 0 el numeromedio de sucesos que ocurren por unidad de tiempo.

Funcion de densidad:

f (x) =

{λe−λx si x > 0

0 en otro caso


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Distribucion exponencial

Funcion de distribucion:

F (x) =

{1− e−λx si x > 0

0 en otro caso

Caracterısticas:

E (X ) =1

λ

Var(X ) =1

λ2


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Distribucion exponencial. Comentarios

La distribucion exponencial “carece de memoria”, es decir,

P(X > x + t /X > x ) = P(X > t)

La distribucion exponencial es la generalizacion al casocontinuo de la distribucion geometrica.

La distribucion exponencial aparece, en ocasiones,caracterizada utilizando como parametro la media,µ = 1/λ.


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Trazo fino densidad de Exp(1) ytrazo grueso densidad de Exp(2)

Trazo fino distribucion deExp(1) y trazo grueso dis-tribucion de Exp(2)


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Distribucion gamma

Llamaremos funcion gamma a Γ(p) =

∫ ∞

0xp−1e−xdx

De la definicion se deduce que:1 Γ(p) = (p − 1) Γ(p − 1). En particular, si p es un entero

positivo Γ(p) = (p − 1)!2 Γ(1/2) =

√π.

La distribucion gamma, que denotaremos por Γ(λ, p),suele utilizarse para modelizar el tiempo de espera hastaque ocurre el p-esimo suceso de Poisson. El parametro λrepresenta el numero medio de sucesos que ocurren porunidad de tiempo y p es el numero de sucesos quequeremos que hayan ocurrido.


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Distribucion gamma


f (x) =

λp

Γ(p)xp−1e−λx si x > 0

0 en otro caso

Caracterısticas:E (X ) =

p

λ

Var(X ) =p

λ2


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Distribucion gamma. Comentarios

La distribucion gamma es una generalizacion de ladistribucion exponencial (la distribucion exponencial deparametro λ es la Γ(λ, 1)).

Reproductividad de la distribucion gamma: Si X e Y sonvariables independientes, X ∈ Γ(λ, p1), Y ∈ Γ(λ, p2), lavariable X + Y ∈ Γ(λ, p1 + p2).Como caso particular de esta propiedad, la suma de nexponenciales independientes de parametro λ tienedistribucion Γ(λ, n).

Cuando p es un entero positivo, la distribucion gamma seconoce con el nombre de distribucion de Erlang


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Relaciones entre distribuciones

Relacion entre las distribuciones hipergeometrica, binomial y dePoisson

Si X ∈ H(N, n, k) y el tamano, n, de la muestra es muypequeno comparado con el tamano de la poblacion, N,podremos aproximar la distribucion de X por ladistribucion B(n, p).En la practica, convendremos en utilizar esta aproximacion

sin

N< 0′1.

Sea X ∈ B(n, p). Si np = λ es constante, n →∞ yp → 0, entonces la distribucion de X se puede aproximarpor la distribucion P(λ).En la practica, utilizaremos esta aproximacion si p < 0′1 yn > 30.


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Comparacion de las funciones de probabilidad de una variableB(36, 0′05) (+) y su aproximacion por la variable P(1′8) (�)


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El teorema central del lımite

Sean X1,X2, . . . ,Xn variables aleatorias independientes eidenticamente distribuidas con media µ y desviacion tıpica σ.Para n grande, Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn tiene distribucionaproximadamente N

(nµ, σ

√n).

Equivalentemente, para n grande, la distribucion deSn − nµ

σ√

nse

puede aproximar por la distribucion N(0, 1).

Comentario

Este teorema establece que cuando los resultados de unexperimento son debidos a un conjunto muy grande de causasindependientes que actuan sumando sus efectos, dichosresultados siguen una distribucion normal.


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Relacion entre la distribucion normal y las distribuciones bino-mial, de Poisson y gamma

Si X ∈ B(n, p) entonces X =∑n

i=1 Xi , donde cadaXi ∈ B(1, p). Por el Teorema Central del Lımite X sepuede aproximar por una N(np,

√npq). Esta aproximacion

es valida si n > 30 y 0′1 < p < 0′9.

Por el Teorema Central del Lımite (y la reproductividad) laPoisson de parametro λ se puede aproximar mediante ladistribucion N(λ,

√λ), para valores grandes de λ (λ > 5).

La propiedad de reproductividad de la distribucion gamma,conjuntamente con el Teorema Central del Lımite,permiten aproximar, para p grande (p > 100), ladistribucion Γ(λ, p) mediante la distribucionN(p/λ,

√p/λ).


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Comentario

Con el fin de mejorar la calidad de las aproximacionesobtenidas al aproximar una distribucion discreta mediante unadistribucion continua, se recomienda utilizar lo que se conocecomo correccion por continuidad.Ası, si se trata de aproximar una distribucion discreta, quetoma solo valores enteros, por una continua, cometeremos unmenor error en la aproximacion si al calcular la P(a ≤ X ≤ b),con X distribucion discreta y a, b dos valores enteros de lavariable, la aproximamos por la P(a− 0′5 ≤ X ≤ b + 0′5), conX distribucion continua.


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Distribuciones asociadas a la normal

Distribucion χ2 de Pearson

Sean Z1,Z2, . . . ,Zn variables aleatorias independientes condistribucion normal estandar. La variable aleatoriaχ2

n = Z 21 + Z 2

2 + · · ·+ Z 2n tiene distribucion χ2 de Pearson

con n grados de libertad.


f (x) =

(

12

) n2 x

n2−1e−

x2

Γ(

n2

) si x > 0

0 en otro caso

Caracterısticas:

E (χ2n) = n, Var(χ2

n) = 2n


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Distribucion χ2 de Pearson. Comentarios

La distribucion χ2 esta tabulada.

La distribucion χ2n coincide con la distribucion Γ(1/2, n/2).

La√

2χ2n se aproxima a la N(

√2n − 1, 1), cuando n es

grande (n > 100).

Reproductividad de la distribucion χ2: Si X ∈ χ2n e

Y ∈ χ2m son independientes, X + Y ∈ χ2

n+m.


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Funcion de densidad de la distribucion χ2. Trazo fino χ21, trazo

grueso χ25


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Distribucion t de Student

Sean Z ∈ N(0, 1) e Y ∈ χ2n variables aleatorias

independientes. La distribucion t de Student con n grados

de libertad es la distribucion de la variable tn =Z√Y /n

.


f (x) =Γ(n+1

2 )√

nπ Γ(

n2

) (1 +

x2

n

)− n+12

, x ∈ R

Caracterısticas:

E (tn) = 0 si n > 1, Var(tn) =n

n − 2si n > 2


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Funcion de densidad de la distribucion t. Trazo fino t2, trazogrueso t10.


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Distribucion t de Student. Comentarios

Para n grande (n > 30), la distribucion t de Student seaproxima por la distribucion normal estandar.

La distribucion t de Student presenta mayor dispersionque la N(0, 1) y menor curtosis.

La distribucion de t1 se conoce con el nombre dedistribucion de Cauchy y presenta la caracterıstica de notener media.

La distribucion de tn esta tabulada.


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Distribucion F de Fisher-Snedecor

Sea X ∈ χ2m e Y ∈ χ2

n, independientes. La distribucion Fde Fisher-Snedecor con m y n grados de libertad es la

distribucion de la variable Fm,n =X/m

Y /n.


f (x) =

Γ

(m+n

2

)Γ

(m2

)Γ

(n2

) nn2 (mx)

m2

x(mx + n)m+n

2

si x > 0

0 en otro caso


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Distribucion F de Fisher-Snedecor

Caracterısticas:

E (Fm,n) =n

n − 2si n > 2

Var(Fm,n) =2n2(n + m − 2)

m(n − 2)2(n − 4)si n > 4

La distribucion de Fm,n esta tabulada.

Si X ∈ Fm,n entonces1

X∈ Fn,m.


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