parcial resuelto de algebra lineal
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primer parcial resuelto de algebraTRANSCRIPT
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Primer Parcial
Algebra Lineal
Javier Elizondo
I. Sean V = M22(F ),
W1 =
{(a b
c a
) V
a, b, c F}
y W2 =
{(0 a
a b
) V
a, b F}.
Probar que W1, W2 son subespacios de V , y encuentre la dimensiones de W1, W2,
W1 +W2 y W1 W2.
Solucion: Para demostrar que W1 es un espacio vectorial es suficiente probar que la
suma de dos elementos deW1 esta enW1, y que el producto de un escalar por un elemen-
to en W1 esta en W1. Similarmente con W2. Sean v =
{(a b
c a
)}y w =
{(d e
f d
)}
elementos de W1. Entonces, la suma es de la forma w + v =
{(a+ d b+ e
f + c a+ d
)}, que
claramente esta en W1 ya que los elementos de la diagonal son iguales. Ahora bien,
un elemento de la interseccion se obtiene igualando dos matrices, una en W1 y otra en
W2 as tenemos que un elemento de la interseccion esta dado por la igualdad siguiente(a b
c a
)=
(0 d
d e
). Entonces, la solucion es de la forma a = 0, b = d, c = d, a = e
Es decir W1 W2 =
{(0 b
b 0
) b R}. Por lo tanto, dim(W1 W2) = 1. Ahora
bien, es claro que la dimension de W1 es 3 y la dimension de W2 es igual a 2. Por lo
tanto, dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 dim(W1 W2) = 3 + 2 1 = 4.
II. Encuentre una base para el siguiente subespacio de F 5
V2 = {(a1, a2, a3, a4.a5) F5 | a2 = a3 = a4 y a1 + a5 = 0}.
Solucion: Solo hay que observar que si fijamos el valor de a1 y de a2 las demas coor-
denadas quedan determinadas. Es decir, la dimension del espacio V2 es igual a 2, y una
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base queda dada por a1 = 0, a2 = 1 y a1 = 1, a2 = 0. Es decir v1 = (0, 1, 1, 1, 0) y
v2 = (1, 0, 0, 0, 1) es una base para V2. Claramente este conjunto es linealmente inde-
pendiente y genera a V2.
III. Construya tres subespacios vectoriales M , N1 y N2 de un espacio vectorial V tal que
MN1 = MN2 = V peroN1 6= N2. Cual es el significado geometrico que corresponde
a esta situacion?
Solucion: Sea V = R2, yM = {(1, 0) | R}. Consideremos N1 = {(0, 1) | R}
y N2 = { (1, 1) | R}. Es facil probar queMN1 = MN2 = V . Geometricamente,
lo que estamos considerando es la descomposicion de R2 como la suma del eje x y el
eje y, por un lado, y por otro, la suma del eje x y de la recta y = x.
IV. Sean x, y, u y v vectores en R4. Sean M y N subespacios generados por {x, y} y
{u, v} respectivamente. Diga si R4 = M N , donde x = (1, 1, 1, 0), y = (0, 1,1, 1),
u = (1, 0, 0, 0), v = (0, 0, 0, 1, ).
Solucion: Primero observemos que M = {(, + , , ) |, R} y N =
{(, 0, 0, ) | , R}. As que un vector esta en M N si y solo si el vector satisface
que = y = , por lo tanto, = = 0, esto implica que = = 0 = = .
Es decir, M N = {(0, 0, 0, 0)}. Por lo tanto, R4 = M N.