184

Unitatearen aurkezpena

•Estatistika-parametroakezagutzeaketaeurenbalioaktestuingu-ruarenaraberainterpretatzeaktauleketagrafikoekemandakoinformazioaaberastekobaliokodieikasleei.

Ikasturtehonetan,ikasleakgaidiradagoenekoparametrobatzukerabiltzeko(zentralizazio-parametroakbai,behintzat).Unitatehonetanzehar,parametrohoriekberrikusikodituguetaikasi-takoansakontzenjarraitukodugu.Eraberean,besteparametrobatzukaztertukoditugu: sakabanatze-neurriaketa,bereziki,desbideratze-estandarra.

Kalkulagailuaerabiltzeaezinbestekoaizangodahainbatgauzata-rako:parametroakkalkulatzeko,batezbestekoaetadesbideratzeestandarrabaterainterpretatzeko,edotaestatistika-banaketabatizentzuaemateko,baitaposizio-neurrieietairudikapengrafikoariere.

•Ikasturtehonetanedukihaueklandukoditugu:

–Alderditeorikoak:

•Estatistika-parametroak.Bakoitzarenesanahiaetaguztienbaterakointerpretazioa.

–Parametroaknolalortu:

•Maiztasun-taulaerabiliz,pausozpauso,eskuzkalkulatukodi-ra,kasubakoitzaridagozkionformulakaplikatuz.

•Kalkulagailuaerabiliz,bimotetakoaklortzea.

•Posizio-parametroakkalkulatzea.

–Parametroaknolainterpretatu:

•Kasujakinbakoitzeanlortutakox etaσparametroakinter-pretatzea.

• x etaσparametroakbaterakalkulatzea.

•Aldakuntza-bariazioa.

•Koartilakinterpretatzea.

–Grafikoenazterketa:

•Kaxaetabiboteendiagrama.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Estatistika-parametroakeskuzetakalkulagailuaerabilizkalkula-tzea.

•Posizio-parametroakkalkulatzea.

•Kaxaedobiboteendiagramaegitenjakitea.

14 Parametro estatistikoak

184

Unitatearen eskema

POPULAZIO BATEN EZAUGARRI BAT

zeinakdesbideratzeestandarrarekinbateraneurtzen

duen

zeinakbatezbestekoarekinbateraneurtzen

duen

etahonelaadieraztendira:

zeindiren zeindiren zeindiren

hauenbidezlaburbiltzenda:

honakohauekizandaitezke:

KOARTILAKBATEZBESTEKOA

MEDIANA MODA

ZENTRALIZAZIO-PARAMETROAK

SAKABANATZE-PARAMETROAK

POSIZIO-PARAMETROAK

KAXAEDOBIBOTEENDIAGRAMARENBITARTEZ

ALDAKUNTZA-KOEFIZIENTEA

IBILTARTEEDOHEINA

BATEZBESTEKODESBIDERATZEA

DESBIDERATZEESTANDARRA

ESTATISTIKA-PARAMETROAK

185

Osagarrigarrantzitsuak

Komenidaikasleekedukiosagarriakerabiltzea,ikasketa-prozesuaosatzeko.Unitatehonetan,honelakoekintzakproposadaitezke:

•Kalkulagailuaestatistikakontuetarakotrebetasunezerabiltzea.

•Datuaktartekabildutadituztentauletan,parametroakklase-mar-ketatikabiatuzkalkulatzea.

•Ikasleekestatistikarentestuinguruhistorikoaaztertzeaetaharenbalioespenpositiboaegitea.

Lanakaurreratu

•Aldagaikuantitatiboakdituztenestatistikakprestatzea,ikasleek,taldeka,zenbatzeakegiteko,datuaktauletanjartzekoetaestatis-tika-parametroakaztertzeko;adibidez:neba-arrebenkopurua,altuera,familiakokideak,irakurritakoliburuak...

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

279.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 268.or.1.ariketa.(*) 267.or.«Ebatzi».(*)

271.or.2.ariketa.(*) 274.or.1.ariketa.(*)

276.or.Ariketaebatziaeta2.ariketa.(*) 275.2.ariketa.(*)

277.or.Ariketaebatzia.(*) 279.or.7.eta9.(*)ariketak.

278.or.«Ariketaetaproblemaebatziak».(*) 280.or.10.ariketa.(*)

279.or.1.ariketa.(*) 281.or.18.(*),23.,24.eta25.(*)ariketak.

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

279.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

266.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

271.or.4.ariketa.(*) Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

282.or.«Gaussenkanpaia»izenekoariketa.

272.or.1.ariketa.(*) 276.or.1.ariketa.(*) 280.or.11.(*)eta14.(*)ariketak.

282.or.«Pentsatuetaorokortu».(*) 280.or.14.ariketa.

281.or.17.(*),19.(*)eta21.(*)ariketak.

283.or.«Trebatuproblemakebatziz».

Jarraianaurkeztukoduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekimenaetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatukodugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagokionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,pro-posamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

186

Unitatea hasteko•Irakurgaianestatistikakizanzueneboluzioaaurkeztenda;hasieraba-tean,datuakbiltzeazenhareneginkizuna,bainageroinformazioalabur-biltzengaiizangozirenbalioakzenbakibidezkuantifikatzekoerabiliizanzen.Baliohorieiparametroderitze.

•Horrezgain,GeorgeDantzigizenekoestatubatuarestatistikarigarran-tzitsuarenpasadizobaterekontatzendairakurgaian.EstatistikarihoriNeyman-enjarraitzaileaizanzen.

Itura tiratzea•Adibidehonetanosogarbiikustendazerfuntziodutenzentralizazio-parametroek(dianarenpuntubatda,etahareninguruantiroguztiakba-natzendira)etasakabanatze-parametroek(elkarrenarteanhurbiledourrundaudenpuntuak).

IKT Honakoariketahauiradokitzenda:

Sakonduirakurgaiariburuzkoinformazioa:bilatuestatistika-matematikarieiburuzkobestedatubiografikoedoanekdotikorenbat.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 • Adinarierreparatuzesandezakegusenitartekoakdoazela.

• Kadeteena.

• Kadeteena.

2 a)I. dianaBenitorenada, II.a Karlarena, III.aDanielena eta IV.aAnerena.

b)Tirotzaileonektxarrekbainoemaitzaezhainsakabanatuakdituzte.

c)Benitorentiroekerdianjokozuten,etaKarlarenakezkerrerantzetagorantzmugitukoziren.

267266

14 Parametro estatistikoak

Ebatzi

1. Autobus urdinaren eta gorriaren kasuan:•Nor doa autobus gorrian, atletismoko taldea ala senitartekoak?•Zer talde da ugariena, gazteena ala kadeteena? (Oharra: bilatu zer adin sartzen

diren bi kategoria horietan).•Bidaztiak adinen arabera bereiziz gero, zer talde da ugariena autobus urdinean?

2. Itura tiratzeko kasuan, tiratzaileek ituaren zentrora tiratu nahi dutela pentsatzen dugu. Erantzun:

a) Zein da lau tiratzaileetako bakoitzaren itua?

b) Tiratzaile onek, txarrek bezain emaitza sakabanatuagoak ala ez hain sakabanatuak dituzte?

c) Eskopetak trukatu balituzte, non joko zuten, gutxi gorabehera, Benitoren eta Karlaren tiroek?

Medianari buruzko adibidea

Eskuineko autobusak 45 jarlekukoak dira biak eta beterik doaz.Horietako batean atletismo-klub bateko jokalariak, gazteak eta kadeteak, doaz; beste autobusean, horien senitartekoak eta lagunak doaz, jokalariei adore ema-teko.Autobus urdineko bidaztiak adinen araberako ordenan jarriz gero, ilararen erdian 16 urteko mutila ikusiko dugu. Eta gauza bera autobus gorrian eginez gero, 23 urteko neska aurkituko dugu posizio horretan.Zer atera dezakegu datu horietatik?

Itura tiratzea

Itura tiratzeko lehiaketa batean, lau tiratzaileko hamar tiroko lau txanda hautatu ditugu. Hona hemen horien tiroak:

I II III IV

Lau tiratzaileek honako ezaugarri hauek dituzte:— Ane tiratzaile ona da eta eskopeta ona du.— Benito tiratzaile ona da eta mira okertuta duen eskopeta du.— Karla tiratzaile txarra da eta eskopeta ona du.— Daniel tiratzaile txarra da eta mira okertuko eskopeta du.

Zergatik parametroak? Hasieran, estatistikak datuak biltzeko eta antolatzeko zeregina baino ez zuen. Baina, datuak aztertzen, ondorioak ateratzen, probabilitateak jotzen, eta abar, hasi zenean, multzo osoari dagokion informazioa laburbiltzeko gai izango ziren balioak zenbaki bidez kuantifikatzeko premia sortu zen; balio horiei parametro estatistiko esan zitzaien (moda, mediana, batez bes-tekoa, bariantza…).

Nolako bilakaera dute?Parametroen laguntzarekin, azterketa estatistikoa, hau da, datuen anali-sia, planifikatzen da; gaur egun analisi hori funtsezkoa da edozein era-tako zientzia-ikerketan (medikuntzan, biologian, soziologian, psikologian, ekonomian…). Parametro horiek goi-mailako estatistikan erabiltzea guztiz konplexutasun-maila handikoa izaten da.

Ikasle saiatuaGeorge Dantzig (1914-2005) Estatu Batuetako matematikaria eta esta-tistikaria izan zen, eta arrakasta handiak izan zituen zientziaren eremuan.25 urte zituela, Neyman estatistikari handiak zuzendu zuen doktoretza-ikastaroa egin zuen Berkeleyko Unibertsitatean. Behin, Dantzig berandu iritsi zen ikasgelara eta bi problemaren enuntziatuak ikusi zituen arbelean; Dantzigek «etxeko lanak» izango zirela pentsatu zuen. Kopiatu egin zituen eta, etxean zegoela, lan horiek egiteko ahalegina egin zuen. Asko kostatu zitzaion, oso zailak baitziren («Tira, gaur irakaslea urrunegi joan dela uste dut», pentsatuko zuen Dantzigek.). Ordu luzeko lanaren ostean, lanak bukatu eta irakasleari eman zion bere ahalegin neketsuaren fruitua. Egun batzuk igarota, Neyman bere ikaslearen etxean aurkeztu zen honako hau jakinarazteko: arrakastaz ebatzi zuena ordura arte inork ebatzi ezin izan zituen bi problema handi eta garrantzitsu zirela.

Berkeley Unibertsitatea (AEB); George Dantzigek unibertsitate horretan egin zuen doktoretza-ikastaroa.

Madrilgo Burtsa.

OHARRAK

187

Iradokizunak•Sakabanatze-parametroekinformazioberriaemangodigute,zentraliza-zio-parametroekematendigutenaezbezalakoa.Batzuketabesteakelkarrenosagarridira.Halaere,baieztapenhoribarneratzeko,aztertubeharradaukagu.

•Batezbestekoadesbideratzeestandarrarekinedobatezbestekodesbi-deratzearekinosatzenda.Mailahonetan,bariantzadesbideratzeestan-darrakalkulatzekoparametrogisaerabilikodugusoilik.(Goimailakoes-tatistikan,ordea,osogarrantzitsuadahainbataldagairenbariantzakaztertzea).Estatistika-banaketamodusintetikoanazaltzeko,harenbatezbestekoaetadesbideratzeestandarraazaldukoditugu(batezbestekodesbideratzeaosogutxierabiltzendaeta).

Indartu eta sakondu•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.eta2b)ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) x =8;Me=6;Moda=6

b)x =9;Me=9,5;Moda=10

c) x =4,5;Me=4,5;Moda=3eta6

d)x ≈2,78;Me=3;Moda=1,2,3eta4

2 x =3,8;Me=3,5;Moda=2

3 a)Ibiltarteaedoheina=13;DM=3,2;Bariantza=14,8;σ=3,85

b)Ibiltarteaedoheina=12;DM=2,2;Bariantza=9,6;σ=3,1

c) Ibiltarteaedoheina=5;DM=1,5;Bariantza=2,58;σ=1,61

d)Ibiltarteaedoheina=4;DM≈1,14;Bariantza=1,73;σ=1,31

4 1.modua:Datuetatikbatezbestekorakodistantzienkarratuenbatezbestekoa.

2.modua:Karratuenbatezbestekoakenbatezbestekoarenkarratua.

Bariantza=9,984

269268

1 Bi eratako parametro estatistikoakBi eratako parametro estatistikoak bakarrik hartuko ditugu kontuan: zentraliza-zio- eta sakabanatze-parametroak.• Zentralizazio-parametroek datuak zer balioren inguruan (zentro deritzogu)

banatzen diren adierazten dute.• Sakabanatze-parametroek banaketaren balioak zentrotik zenbat urruntzen

diren adierazten dute.

Zentralizazio-parametroak

■ Batez Bestekoa

Banaketa estatistikoak hartzen dituen balioei x1, x2, …, xn esanez gero, batez bestekoari x– esaten zaio, eta honela kalkulatzen da:

x– = …n

x x xn1 2+ + + Laburtuz: x– = nxi/

Adibidez, honako hauek kirol talde bateko 10 kideek gainditu dituzten proba fisikoen kopuruaren emaitzak dira: 1, 0, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 4, 4Batez bestekoa zenbat den kalkulatuko dugu:

x– = 10

1 0 3 4 5 2 3 4 4 41030+ + + + + + + + + = = 3

■ Mediana

Datuak txikitik handira ordenatzen badira, mediana, Me, erdian dagoen balioa da: hau da, azpitik zein goitik, banakoen kopuru bera du. Datuen kopurua bikoitia izanez gero, medianari erdiko bi gaien batez besteko balioa ematen zaio.

Aurreko adibidean, batez bestekoa lortzeko, datuak ordenan idatziko ditugu:0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5

Datu zentralak 3 eta 4 dira; ondorioz, mediana 3,5 da.

■ Moda

Moda, Mo, maiztasunik handieneko balioa da.

Aurreko adibideko moda 4 da, maiztasunik handieneko balioa baita.

1. Kalkulatu honako banaketa estatistiko hauen batez bestekoa, mediana eta moda:a) 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 11, 12, 17b) 10, 12, 6, 9, 10, 8, 9, 10, 14, 2c) 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 3, 7d) 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1

2. Kalkulatu barra-diagramaren bidez emandako honako banaketa honen zentralizazio-parametroak:

0

1234

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pentsatu eta egin

Moda bat baino gehiagoko banaketak

Banaketak moda bat baino gehiago izan dezake. Bi moda dituenari bimo-dal esaten zaio; hiru modakoari, tri-modal…

Sakabanatze-parametroakAlboko grafikoak bi herritako futbol taldeetako jokalarien adinei dagozkie. Bie-tan, batez besteko adina, gutxi gorabehera, 21 urtekoa da. Hartu kontuan, batez besteko bera izan arren, banaketak guztiz desberdinak direla. Beste parametro batzuk behar ditugu desberdintasun horiek seinalatzeko.Banaketa batek zer sakabanatze duen neurtzeko, funtsezko ideia datuetatik batez bestekora zer bitarte dagoen neurtzea da.

■ iBiltarte edo heina

Daturik handienaren eta txikienaren arteko aldea da. Hau da, datuak dau-den tartearen luzera da.

Gainditutako proben adibidean, ibiltartea 5 – 0 = 5 da.

■ Batez Besteko desBideratzea

Datuetatik batez bestekora dauden distantzien batez bestekoa da:

BBD = n

x x x x x x– – … –n1 2+ + + = nx x–i/

Aurreko orrialdeko adibidean, batez bestekoa 3 zen, eta batez besteko desbi-deratzea da:

BBD = …10

1 3 0 3 4 3– – –+ + + = 1012 = 1,2

■ Bariantza

Datuetatik batez bestekorako distantzien karratuen batez bestekoa da:

Bariantza = ( ) ( ) ( )n

x x x x x x– – … –n1 2 2 2 2+ + + = ( )n

x x–i 2/

Formula hori honako honen baliokidea da:

Bariantza = …n

x x xn12 22 2+ + + – x– 2 = nxi2/ – x– 2

Adibideko banaketaren bariantza honako hau da:

Bariantza = …10

1 0 42 2 2+ + + – 32 = 10112 – 9 = 11,2 – 9 = 2,2

■ desBideratze estandarra edo tipikoa, σ

Bariantzaren erro karratua da: σ = ariantzab = nx x–i2

2/

Gure adibideko desbideratze estandarra honako hau da: σ = ,2 2 = 1,48.Aurrerantzean, aparteko arreta emango diegu batez bestekoari (x– ) eta desbide-ratze estandarrari (σ). Batek ematen duen informazioak bestearena osatzen du.

Zergatik desbideratze estandarra?Bariantzak eragozpen handia du. Pentsa ezazu cm-tan eman dizkiguten altueren banaketa aztertzen ari garela. Batez bestekoa cm-tan adierazita ageriko den artean, bariantza cm2-tan egongo litzateke (hau da, azalera luzeraren ordez). Horregatik aterat-zen dugu horren erro karratua desbi-deratze estandarra lortzeko eta hori, gure adibidean, cm-tan emandako luzera izango litzateke.

3. Kalkulatu aurreko orrialdeko 1. ariketako banaketen sakabanatze-parametroak.

4. Kalkulatu bi modu desberdinetan zenbat den honako banaketa honen bariantza: 8, 7, 11, 15, 9, 7, 13, 15

Pentsatu eta egin

Idazkera∑ zeinua hainbat batugairen batura adierazteko erabil-tzen da.∑ xi honela irakur-tzen da:

«xi-en batura»

baliorik baliorik txikiena handiena

ibiltartea

xi x– xj

|xi – x– | |xj – x

– |

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Bekuri

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Goiuri

OHARRAK

188

Iradokizunak

•Ziurasko,ikasleekkalkulagailuaerabilikodute x etaσparametroakkalkulatzeko;halaere,komenidamaiztasun-taulaerabilizhoriekkalku-latzekoprozesuaezagutdezaten.

•Estatistika-tauletanaldagaienbalioakzenbakiosoakizatendiraiabeti.

Alabaina,batezbestekoa,x ,ezohidazenbakiosoaizaten.Horregatik,osonekezadaxi– x ,(xi–  x )2,fi(xi– x )2,baliohamartarrakkalkula-tzea.fi·xietafi·xi2balioak,ordea,zenbakiosoakdira.Horidelaeta,σ2kalkulatzekokomenidaikasleekadierazpenhauerabiltzea:

f

f x

i

i i2

//

–x 2

•Moduautonomoanerabiltzekogaiezbadiraere,komenidaikasleekba-tukarienetaazpiindizeennomenklaturaezagutzea(apurkabadaere).

•σ2renbiadierazpenenidentitatearendemostrazioa:

( ) ( )

f

f x x

f

f x x xx2– –

i

i i

i

i i i2 2 2

=+

//

//

=

= 2f

f xx x

ff

f x f2–

i

i i

ii

i i i2

+//

/// /

=(*)

=(*) 2 2

f

f xx x x

f

f xx2– –

i

i i

i

i i2 2

+ =//

//

(*) ,f

f xx

f

f

i

i i

i

i=//

//

=1

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.,2.eta3.ariketak.Afitxako«Aplikatu»ataleko1.,2.eta3.Ariketak.Bfitxako«Praktikatu»ataleko2b)etac)ariketa.Bfitxako«Aplikatu»ataleko1a)etab)ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) x =2,08 b)x ≈0,727

2 xi fi fi · xi fi · xi 2

1 12 12 12

2 15 30 60

3 24 72 216

4 19 76 304

5 10 50 250

guztira 80 240 842 x =3,σ≈1,235

3 xi fi fi · xi fi · xi 2

54 6 324 17496

62 12 744 46128

70 21 1470 102900

78 16 1248 97344

86 5 430 36980

guztira 60 4216 300848 x =70,267;σ≈8,76

4 a)σ≈1,547 b)σ≈0,962

271270

2 Maiztasun-tauletan x– eta σ kalkulatzeaDatu estatistikoak maiztasun-taulen bidez adierazita ageri direnean, parametroak erosotasun handiz lortzeko eran antola daitezke kalkuluak.

■ x– kalkulatzea

Adibide baten bidez ikusiko dugu: eskuineko maizta-sun-taula ikasgela bateko 33 ikasleek azken azterketan izan dituzten notei dagokie.

xi fi4 15 106 147 58 29 1

Noten batez bestekoa zenbat den kalkulatzeko, honako batuketa hau egin beharko genuke:

4 + (5 + 5 + … + 5) + (6 + 6 + … + 6) + (7 + 7 + … + 7) + 8 + 8 + 9 10 aldiz 14 aldiz 5 aldiz

eta emaitza, honako honekin zatitu: 1 + 10 + 14 + 5 + 2 + 1 = 33.

Hala ere, goiko batura errazago lortzen da honela:

1 · 4 + 10 · 5 + 14 · 6 + 5 · 7 + 2 · 8 + 1 · 9

Hau da, aldagaiaren balio bakoitza bere maiztasunarekin biderkatu eta emaitza guztiak batzen dira.

Kalkulu horiek errazteko, beste zutabe bat gehituko zaio taulari, fi · xi .

Banakoen guztizkoa fi zutabea batuz lortzen da.

f1 + f2 + … + fn = 33 → ∑ fi = 33

Nota guztien batura fi · xi zutabea batuz lortzen da.

f1x1 + f2x2 + … + fn xn = 198 → ∑ fi xi = 198

Batez bestekoa da: x– = f

f xi

i i//

= 33

198 = 6

Bere maiztasun-taularen bidez emandako banaketan, batez bestekoa zenbat den kalkulatzeko, taulari fi · xi zutabea gehitzen zaio eta honela jokatzen da:

xff x

i

i i= //

horretan, ∑ fi xi = f1x1 + f2x2 + … + fn xn balio guztien batura da; eta ∑ fi = f1 + f2 + … + fn banakoen kopurua da.

xi fi fi · xi4 1 45 10 506 14 847 5 358 2 169 1 9

33 198

∑ fi ∑ fi xi

xi fi fi · xix1 f1 f1 x1x2 f2 f2 x2… … …xn fn fn xn

∑ fi ∑ fi xi

1. Kalkulatu zenbat den honako banaketa hauen batez bestekoa:a) seme-alaben kopurua b) azken ebaluazioko gutxiegien kopurua

xi 0 1 2 3 4 5 6 7fi 6 14 15 7 4 2 1 1

xi 0 1 2 3 4fi 17 11 3 1 1

Pentsatu eta egin

■ σ kalkulatzea

Desbideratze estandarrak bi adierazpen baliokide onartzen ditu:

( )q SS

ff x x–

i

i i2

= horretan ∑fi(xi – x

– )2 = f1(x1 – x– )2 + … + fn(xn – x

– )2 batez bestekorako desbideratzeen karratuen batura da.

q SS

ff x x–

i

i i2

2= horretan ∑fi xi2 = f1x12 + … + fn xn2 balio guztien karra-

tuen batura da.

Emaitza bera lortzen da bi formulen bidez. Hala ere, askoz erabilgarriagoa da bigarrena. Zergatik den ikusiko dugu:fi · xi2 berdin (fi · xi) · xi, denez, xi eta fi · xi zutabeetako dagozkien elemen-tuak biderkatuz lortzen den zutabea gehituko dugu maiztasun-taulan. Jatorrizko

taularekin, bi zutabe berriekin eta batura totalekin erraz kalkulatzen dira batez bes-tekoa eta desbideratze estandarra:

• batez bestekoa:

x– = SS

ff x

33198

i

i i = = 6

• desbideratze estandarra:

q SS

ff x x–

i

i i2

2= = 331224 6– 2 = 1,04

Datuak tarteka bilduta dituzten taulakDatuak tarteka bilduta ditugunean (balio puntualen ordez), tarte bakoitzari bere balio zentrala esleitzen zaio, bere klase-marka (ikusi 188. orrialdea). Aurrekoak bezalako maiztasun-taula lortzen da horrela eta era berean jokatzen da.

2. Bi zutabeak, fi · xi eta fi · xi2, dituen maizta-sun-taula edukita, kopiatu eta osatu totalen errenkada eta kalkulatu honako banaketa honen batez bestekoa eta desbideratze estandarra:

xi fi fi · xi fi · xi 2

1 12 12 122 15 30 603 24 72 2164 19 76 3045 10 50 250

totala

3. Koadernoan, osatu taula klase-marka egokiekin eta kalkulatu honako banaketa honen batez bestekoa eta desbideratze estandarra:

pisuak pertsonak

50 - 58 658 - 66 1266 - 74 2174 - 82 1682 - 90 5

xi fi54 6

122116

5

4. Kalkulatu aurreko orrialdeko 1. ariketako ba-naketen desbideratze estandarrak.

Pentsatu eta egin

xi fi fi · xi fi · xi2

4 1 4 165 10 50 2506 14 84 5047 5 35 2458 2 16 1289 1 9 81

33 198 1 224

∑ fi ∑ fi xi ∑ fi xi2

(xi) · ( fi · xi)

Zabaltzea: berdintasunen baliokidetza desbideratze estandarrerako frogatzea.

Webgunean

kalkulu-orria. Maiztasun-taulak egite-ko, dagozkien grafikoak adierazteko eta x–, σ eta AK kalkulatzeko aplikazioa.

Webgunean

189

Iradokizunak

•Pantailaerrazekokalkulagailuekhirumemorialekudituzte,horietan,sartzenditugundatuakgordetzendituzte:

nBanakoenkopurua,hauda,maiztasunenbatura.æSartuditugunfixiguztienbatura.Æfi xi2-enbatura.

5sartuzgero(5D),nunitatebathandiagotzenda,Σx5handiagotzenda,etaΣx225handiagotzenda.

Laubostsartuzgero(5*4D),n4handiagotzenda,Σx4 ×5=20handiagotzenda,etaΣx24×25=100handiagotzenda.

Segidahorretanaurrekologikaberarijarraituzezabatzendirabalioak.Horidelaeta,kalkulagailuakaurretiksartuezdirendatuakezabadi-tzake.(Makinak«ezdugogoratzen»zerdatusartudugun.Makinakda-tuakzenbatdiren,haienartekobaturazeindenetahaienkarratuenarte-kobaturazeindengogoratzendusoilik).

•Datuakgordetzekoetaparametroaklortzeko,bimoduzeharodesber-dinerabilibehardirapantailadeskribatzailekoetapantailasoilekokalkulagailuetan(agianzailagoadapantailadeskribatzailekokalkulagai-luetan).Parametroakkalkulatzekoerabiltzendensintaxiaeredesberdinada.Halaere,abantailahandibatdute:balizkoakatsaka posterioriiden-tifikatzekoaukeraematendute;horrela,errazagoadahoriekzuzentzea.

•Edonolaere,272.orrialdearenbazterreanikasleeiberenkalkulagailuenerabilbide-eskuliburuabegiratzekogomendioaegitenzaie.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Prozesuarijarraituzemaitzaklortukoditugu:

X→{∫∫∫∫“…≠°};g→{∫∫‘…∞¢|‘“\}

2 Datuhaueksartzendira:X→{∫∫≠…|“|“|“|};g→{∫∫≠…£\“≠£‘¢}

273272

Pantaila deskriptiboa duten kalkulagailuak1 Estatistikan lan egiteko prestatzea

stat (estatistika) 1-var (aldagai batekin) erreferentziak aurkitu behar ditugu. Segida honako hau izan daiteke: M 2 8 1.

Pantailan, aldagaiaren balioak, x, kokatuko di-ren taula eta horri dagozkion maiztasunak, freq, agertuko dira.

23

1x FREQ

2 Aurreko lanean pilatutako datuak ezabatzea

Kalkulagailua pizten denean, estatistikan lan egiteko prest ageri izanez gero (pantailaren goialdean stat agertuko da), taula s? sekuentziaren bidez berreskuratzen da. Taulan gorde nahi ez ditugun datuak izanez gero, trata-mendu estatistikoa (M 2 8 1) berriz instalatuz ezabatzen dira.

3 Datuak sartzea

Taulan aldagaiaren balio guztiak sartuz hasiko gara:

151 = 156 = 161 = … 176 = Hartu kontuan kalkulagailuak era automatikoan

esleitzen dituela 1 balioak dagozkien maiztasune-tan.

Maiztasunen benetako balioak sartzeko, ”‘‘‘... kurtsorea erabiliko dugu toki egokian koka gaite-zen. Orain, fi -ren balioak sartuko ditugu:

1 = 4 = 9 = 10 = 4 = 2 = Amaitu A tekla sakatuz taulatik ateratzeko.

67

5 171 42176

x FREQ

Taulara itzuli nahi izanez gero, s? 2(data) jarriko dugu.4 Zuzentzea

Errakuntzarik egonez gero, kurtsorearen bidez, errakuntzaren gainean koka-tuko gara, balio zuzena idatzi eta = sakatuko dugu.

5 Emaitzak. n, ∑ x, ∑ x 2, x– eta q-ra iristeko, honela jokatuko dugu:

n (indibiduoen kopurua: ∑ fi ): s? 5(var)1(n) = 8 30 ∑ x (balioen batura: ∑ fi xi ): s? 4(sum)2(∑ x ) = 8 4 920 ∑ x 2 (karratuen batura: ∑ fi xi2): s? 4(sum)1(∑ x 2) = 8 807 910 x– (batez bestekoa): s? 5(var)2( x– ) = 8 164 q (desbideratze estandarra): s? 5(var)3(x q n) = 8 5,859465

3 x– eta σ kalkulagailuz lortzea

xi fi151 1156 4161 9166 10171 4176 2

Beste kalkulagailu batzuetanEra horretako beste kalkulagailu batzuetan, emaitza guztiak batera lortzen dira, kurtsorearen bidez CALC(1-VAR) delakora joaz baka-rrik.

1. Jarraitu aurreko prozesuari 198. orrialdeko 1. ariketako seme-alaben kopurua banaketan x– eta σ kalkulatzeko.

2. Jarraitu aurreko prozesuari 198. orrialdeko 1. ari-ketako gutxiegien kopurua banaketan x– eta σ kalkulatzeko.

Piensa y practica

3. Jokatu aurrean bezala x– eta σ zenbat diren kalku-latzeko 270. orrialdeko 1. ariketako seme-alaben ko-purua delako banaketan.

4. Jokatu aurrean bezala x– eta σ zenbat diren kalku-latzeko 270. orrialdeko 1. ariketako gutxiegien ko-purua delako banaketan.

Pentsatu eta egin

67

5 171 11176

x FREQ

KontuzAurkitzen duzun taulak, stat, 1-var jarri eta gero, maiztasun-zutabea ez izatea gerta daiteke. Kasu horretan, jo honako segida hau:

s ! ’ 3(stat)1(frecuency on)

Pantaila errazeko kalkulagailuakAdibide bat erabiliz (erreparatu bazterreko taulari), kalkulagailuan datuak sar-tzeko eta emaitza egokiak lortzeko eman behar diren pausoak aztertuko ditugu.

eMan Behar diren pausoak

1 Prestatzea. Ipini aparatua kalkulu estatis-tikoak egiteko moduan:

* SD MODUA. Aztertu nola lortzen den modu hori zure kalkulagailuan.

2 Ezabatu aurreko lanen batetik gera dai-tezkeen datuak (kalkulagailu batzuetan, itzali arren, datu horiek ez dira ezabatzen).

3 Sartu datuak. Datu bakoitza pantailan ipiniz eta D

tekla sakatuz sartzen da. Datua n aldiz baldin badago, D tekla n

aldiz sakatuko da: edo honako hau egingo da:

datua * n D Jarraitu datu guztiak sartu arte.

4 Zuzendu. Ezabatzeko aukera. Daturen bat gaizki sartuz gero, datu hori

pantailan idatziz eta I D sakatuz ezaba daiteke.

5 Emaitzak. Sakatu honako tekla hauek: n → banakoen kopurua → n = ∑ fi æ → balio guztien batura →

→ ∑ x = ∑ fixi Æ → balio guztien karratuen batura →

→ ∑ x2 = ∑ fixi2

X → batez bestekoa g → desbideratze estandarra

adiBidea

M* → {∫∫∫∫¿}

I A

151 * 1 D → {∫∫‘∞‘} 156 * 4 D → {∫∫‘∞\} 161 * 9 D → {∫∫‘\‘} 166 * 10 D → {∫∫‘\\} 171 * 4 D → {∫∫‘|‘} 176 * 2 D → {∫∫‘|\}

Datu okerra: 181 * 6 DEzabatu: 181 * 6 I D

n → {∫∫∫∫∫∫«≠} æ → {∫∫∫∫¢£“≠}

Æ → {∫∫°≠|£‘≠}

X → {∫∫∫∫∫‘\¢} g → {∞…°∞£¢\∞}

Kontsulta hori prozesuko edozein unetan egin dezakezu. Gero, nahi izanez gero, datuak sartzen jarraitu dezakezu.

xi fi151 1156 4161 9166 10171 4176 2

KalkulagailuaIa kalkulagailu zientifiko guztiak daude x eta σ parametroak kalku-latzeko prestatuta.Hemen eskaintzen diren orientabi-deak orokorrak dira, kalkulagailu-modelo bakoitzak bere nomenkla-tura eta prozedurak baititu. Orduan, ikertu zeure kalkulagailuan eta begiratu erabilbide-eskuliburuan.

LaguntzaZure kalkulagailuaren teklatuan emaitzen teklak era esplizituan ageri ezean:

n, ∑ x y ∑ x 2

bilatu emaitzak honako segida hauen bidez:

r 3, r 2, r 1

3 Aldagaiarenbalioguztiaksartukoditugutaulan:

0=1=2=3=4=5=6=7=

Maiztasunenbalioaksartukoditugu:

6=14=15=7=4=2=1=1=

Emaitzaklortukoditugu:

n(banakokopurua:Σfi ): s?5(var)1(n)= → 50

Σx(balioenbatura:Σfixi): s?4(sum)2(Σx)= → 104

Σx 2(balioenbatura:Σfixi 2): s?4(sum)1(Σx 2)= → 336

x (batezbestekoa): s?5(var)2(x )= → 2,08

σ(desbideratzeestandarra): s?5(var)3(xσn)= → 1,547126

4 Aldagaiarenbalioguztiaksartukoditugutaulan:

0=1=2=3=4=

Maiztasunenbalioaksartukoditugu:

17=11=3=1=1=

Emaitzaklortukoditugu:

n(banakokopurua:Σfi ): s?5(var)1(n)= → 33

Σx(balioenbatura:Σfixi): s?4(sum)2(Σx)= → 24

Σx 2(balioenbatura:Σfixi 2): s?4(sum)1(Σx 2)=→ 48

x (batezbestekoa): s?5(var)2(x )= → 0,7272727

σ(desbideratzeestandarra): s?5(var)3(xσn)= → 0,9620914

190

Iradokizunak•Parametroakkalkulatzeakzentzuaizandezan,haienesanahiainterpreta-tubeharradaukagu.Banaketabatenezaugarrieiburuzkoinformazioalortzeko,haren x etaσparametroetatikabiatuz,zenbaitbanaketadagozkienparametroekinlotzeagomendatzendugu(ariketaebatzianegindenbezala).

•Orrialdearenamaieranproposatutakoariketariesker,honakohauiku-sikodugu,pausozpauso:desbideratzeestandarrazeroduenbanaketabat(banakoguztiekbalioberadute)nolabihurtzendengehienezkodesbideratzeestandar(batezbestekotikurrunendaudenbalioetandau-debanakoak).Pausobakoitzean,banakogutxibatzukurruntzendiraba-tezbestekotik.

Iradokizunak

•Aldakuntza-koefizienteahonakohauda:aldagaiak,berebalioekinerla-zioanjarrita,duendesbideratzeestandarra.Baliohoriekbatezbeste-koakadieraztenditu.

•Aldakuntza-koefizienteakezdutxakurrenetazezenenpisuabezalakopopulaziohaindesberdinakbakarrikalderatzekobalio.

•Adibidez,hainbatherrialdetakosoldatakalderatzenbaditugu,jakinikherrialdebakoitzeanmonetadesberdinbaterabiltzendutela,desbide-ratzeestandarrakdagozkienmonetetanemangodira;aldakuntza-koefi-zienteak,ordea,ez.Bestemodubateraesanda:desbideratzeestanda-rrakdimentsiojakinbatdu(aldagaiakduenberdina:euroak,dolarrakedoliberak;metroak,zentimetroakedohazbeteak);aldakuntza-koefi-zientea,aldiz,dimentsiorikgabekozenbakiada.Aldagaiaadieraztekoerabiltzendugununitateaaldatzenbadugu,desbideratzeestandarraal-datuegingoda;aldakuntza-koefizientea,aldiz,ez.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.Afitxako«Aplikatu»ataleko4.eta5.ariketak.Bfitxako«Praktikatu»ataleko2b)ariketa.Afi-txako«Aplikatu»ataleko1b)etac)ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 AIpianoak=0,157→%15,7

AIflautak=0,167→%16,7

AIharmonikak=0,324→%32,4

275274

4 x– eta σ batera interpretatzeaBerriro ikusiko ditugu bi futbol taldetako jokalarien adinei buruzko 197. orrial-deko bi grafikoak.Hartu kontuan desbideratze estandarra askoz handiagoa dela Bekurin Goiurin baino; izan ere, Bekurin datuak urrunago daude batez bestekotik: alde handia dago adinen artean eta, Giokurin, ostera, ia denak dira 20, 21 edo 22 urtekoak.

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Bekuri

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Goiuri x– = 21σ = 0,88

x– = 21σ = 2,62

x– eta σ-ren balioekin, nahiko ondo dakigu banaketa nolakoa den. Batez bes-tekoak zentroa non dagoen diosku. Desbideratze estandarrak batez bestekotik datuak zein urrun, zein barreiatuta dauden argitzen digu.

Bazterreko lau grafikoek lau ikasgelatako ikasleek astean zenbat ordutan ikasten duten diosku. Kontuan hartuta beheko taulako datuak, grafikoe-tako bakoitza zer ikasgelatakoa den adieraztea.

Grafikoei erreparatuz gero, gauza erraza da I eta III ikasgeletako batez beste-koak 8ren inguruan daudela ikustea; II eta IV klaseetako batez bestekoak, aldiz, handiagoak dira eta 12 eta 13ren artean daude. Beraz, honela elkartu ditzakegu:1. A eta 1. B ↔ I eta III 3. A eta 3. B ↔ II eta IVBatez bestekoak oso antzekoak dituztenen artean bereizteko, datuak zein saka-banatuta dauden hartuko dugu kontuan.Argi dago I-ko datuak askoz sakabanatuago daudela III-ko datuak baino; beraz 1. A ↔ III eta 1. B ↔ I.Argi ikusten da II-ko datuak IV-koak baino askoz sakabanatuago daudela ere. Orduan, honako ondorio hau aterako dugu:

3. A ↔ II eta 3. B ↔ IV

Ariketa ebatzia

1. Desbideratze estandarrak konparatzen trebatzeko, erreparatu banaketen honako segida honi. Guztiek dute batez besteko bera, baina horien desbideratze estandarrak gero eta handiagoak dira.

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Hori horrela dela ziur egon zaitezen, hartu kontuan, grafiko bakoitzetik hurrengora pasatzeko, erdiko barrak laburtu eta kanpokoak luzatu egin behar direla. Hau da, banako batzuk batez beste-kotik urrundu egin behar direla.

Pentsatu eta egin

5

III

9 13 17 5

IV

9 13 17

5

I

9 13 17 5

II

9 13 17

2. Pianoen, zehar-flauten eta harmoniken modelo jakin batzuen prezioak zein diren galdetu dugu musika-tresnen hainbat dendatan. Lortu ditugun emaitzek honako batez besteko eta desbideratze estandar hauek dituzte:

Konparatu hiru produktu horien sakabanatze erlatiboa.

pianoak flautak harmonikak

batez bestekoa 943 132 37 desb. estandarra 148 22 12

Pentsatu eta egin

ikasgela x– σ

1. A 8,2 0,81. B 8 2,53. A 12,5 2,33. B 13 1,2

kalkulu orria. x– eta σ interpreta-tzen trebatzeko aplikazioa.

Webgunean

Indartzea: x– eta σ batera interpretatzea.Webgunean

Aldakuntza-koefizienteaGanadutegi jakin bateko zezen suharren pisuak x– = 500 kg-ko batez bestekoare-kin eta σ = 40 kg-ko desbideratze estandarrarekin banatzen dira.Txakur-erakusketa jakin bateko txakurren pisuen batez bestekoa x– = 20 kg da eta desbideratze estandarra, σ = 10 kg-koa.

Zezen suharren taldearen desbideratze estandarra (40 kg) handiagoa da txaku-rrena baino (10 kg). Hala ere, 40 kiloak gauza gutxi dira zezenen itzelezko tamainaren ondoan (hau da, saldo horretako zezenen pisua guztiz antzekoa da); 10 kg, aldiz, askoz gehiago da txakurren pisuaren aldean. Horrelako kasuetan, desbideratze estandarra ez da neurri egokia sakabanatzeak konparatzeko. Beste parametro estatistiko bat definitzen dugu horren ondorioz.

Bi populazio heterogeneoren sakabanatzeak konparatzeko, aldakuntza-koefi-zientea honela definitzen da:

AK = qx

σ zati x– eginez gero, sakabanatzea erlatibizatzen ari gara.Emaitza, batzuetan ehunekotan ematen da.

Zezenen eta txakurren adibidean, honako hau lortuko dugu:

•Zezenentzat: AK = 50040 = 0,08 Hau da, % 8.

•Txakurrentzat: AK = 50040 = 0,50 Hau da, % 50.

Horrela, argi ageri da txakurren pisuen aldakuntza (% 50) askoz handiagoa dela zezenen pisuarena baino (% 8).

500en aldean 40 txikiagoa da, 20ren aldean 10 baino.

x– σ

zezenak 500 40txakurrak 20 10

x– σ ak

zezenak 500 40 8 %txakurrak 20 10 50 %

OHARRAK

191

Iradokizunak•Banaketaestatistikoaaztertzekobestemodubatposizio-parametroakerabiltzeada.Ikasleekdatuguztiakimajinaditzaketetxikienetikhandie-neraordenatuta,eta,horrelaegonik,multzoaelementukopuruberekolauzatiberdinetanbanatu.PuntuakQ1,MeetaQ3dira(koartilak),etahorietanebakitzeagertatzenda.

•Koartilakmedianarenosagarridira.Me,Q1etaQ3koartilekbanaketariburuzkoinformaziointeresgarriaematendute.Orrialdearenbazterrean,halaber,azaltzendamediana,zentralizazio-parametroaizateazgain,po-sizio-parametroadela.

•Kaxaetabiboteendiagramaposizio-parametroeierabatloturikdago.Horriesker,banaketaikusi,etahirubalionabarmendukoditugu:Me,Q1etaQ3.

•Diagramahauekegiteko,ezinbestekoadahonakohaukontuanhartzea:al-boetakoadarrek(«biboteek»)ezdutekaxaetaerdikoluzeragainditubehar.BanakobatedogehiagoQ1-etikedoQ3-tikaldentzendirenean(Q1-enazpitikedoQ3-rengainetik),banakoakizartxoakerabiliznabarmentzendira:

Q1 Me Q3 Ezin du Q3 – Q11,5 aldiz gainditu

Banakako nabarmenak

Halaere,ikasturtehonetanezduguholakozailtasunakdituendiagrama-riklanduko.Horisaihesteko,orrialdeanageridirenkasuguztietan(ebatzi-tazeinebatzigabedaudenetan)ezda«banakakonabarmenik»agertuko.

Indartu eta sakondu•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko4.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)Q1=24;Me=25;Q3=27

b)Q1=4;Me=7;Q3=11

2 a)Abanaketa→Q1=3;Me=4;Q3=8

Bbanaketa→Q1=2;Me=5,5;Q3=14

Cbanaketa→Q1=16;Me=63;Q3=127,5

b)Ikasleekpuntuakadierazikodituzte.

3 Abanaketa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bbanaketa

0 5 10 15 20 25 30 35

Cbanaketa

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

4 Q1=5,Me=6etaQ3=8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

277276

5 Posizio-parametroak: mediana eta koartilak

2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 6 6 6 6 6 7 7 8 8 Q1 Me Q 3

160 165 170 175 180 185 190

Me Q3Q1

16 pertsonako talde bati hilabete honetan lasterka egiteko zenbat bider atera diren galdetu diegu. Honako hauek dira emaitza ordenatuak eta horien adierazpena:

0, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10

0POPULAZIOAREN % 50 POPULAZIOAREN % 50Me

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hartu kontuan medianaren, Me, eskuinean, populazioaren erdia dagoela. Media-naren ezkerrean, beste erdia dago. Hau da, medianak erdibitu egiten du populazioa.Eta populazioa banako kopuru bereko lau zatitan banatu nahi izanez gero? Beste puntu batzuk seinalatu beharko lirateke, Q1 eta Q3 koartilak.

0

Me

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q3Q1

Lehen koartila, Q1, beraren azpitik populazioaren laurden bat eta, gainetik, hiru laurden uzten dituen aldagaiaren balioa da. Hirugarren koartila, Q 3, populazioaren laurden bat bere gainetik eta, azpitik, hiru laurden uzten duena da. Q1 eta Q 3 esaten zaie mediana bigarren koartila delako. Q 2. Q 3 – Q 1 kendurari koartilarteko ibiltarte esaten zaio.

Ariketa ebatziaUrtebetetze-jaian, gozo-eltzea apurtu dute eta zain zeuden hamar adiskideetako bakoitzak ahal izan dituen adina opari hartu ditu. Honako hau da bakoitzak hartu dituen oparien zerrenda ordenatua.

2, 2, 3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11

Mediana eta koartilak kalku-latzea.

Banaketak 10 banako dituenez, laurdena 10 : 4 = 2,5 da.•Q1-k «bi elementu eta erdi» utzi behar ditu bere ezkerrean. Ondorioz, lehen

koartilak hirugarren elementuan egon behar du, «banako erdia» bere ezke-rrean eta «beste erdia» bere eskuinean dagoelako.Hau da, Q1 = 3.

•Me-k 5 banako utzi behar ditu bere ezkerrean eta beste 5 bere eskuinean. Ondo-rioz, bosgarrenaren (7) eta seigarrenaren (8) artean d ago; hau da, Me = 7,5.

•Q 3-k «zazpi elementu eta erdi» utzi behar ditu bere ezkerrean (2,5 · 3 = 7,5). Q 1-rako erabili izan denaren antzeko arrazoibidearen bitartez, hirugarren koartila zortzigarren elementuan dago; hau da, Q 3 = 9.

Mediana: posizioa eta zentralizazioa

Mediana eta koartilak posizio-parametroak dira, horietako bakoi-tzak banaketako gainerako balioei buruzko tokia (posizioa) adierazten baitu.Posizio-parametroen artean, mediana leku zentrala hartzen duena da. Horregatik da baita zentralizazio-parametro ere.

1. Kalkulatu Q1, Me eta Q 3 eta jar itzazu adierazitako banaketa hauetako bakoitzean:

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31a)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

32

12b)

2. Honako banaketa hauetako bakoitzean:a) Kalkulatu Q1, Me eta Q 3.b) Adierazi datuak eta jarri horietan Q1, Me eta Q 3.b) A: 0, 0, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10b)B: 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 14, 17, 29, 35b)C: 12, 13, 19, 25, 63, 85, 123, 132, 147

Pentsatu eta egin

Kaxa eta biboteen diagramaAdierazpen grafiko hori estu lotuta dago ikasi ditugun posizio-parametroekin. Adibide baten bidez, nola eraikitzen den ikusiko dugu.

1. adibideaBazterrean, adiskide talde baten familietako bakoitza osatzen duten pertsonen kopurua adierazi da.Honako hau ageri da:• Baliorik txikiena 2 da eta handiena, 8.•Q1 = 3; Me = 4 eta Q 3 = 6.Emaitza horiekin, diagrama marraztuko dugu:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Me Q3Q1

Hau da, kaxak bi koartilen arteko tartea deskribatzen du, mediana era esplizi-tuan seinalatuz, eta biboteak datu guztietara hedatzen dira.

2. adibideaBazterrean, elkarte jakin bateko kideen altueren banaketa kaxa eta biboteen dia-gramaren bidez adierazi dugu. Diagrama ikusita, honako hau esan dezakegu:• Txikienak 160 cm-ko altuera du eta handienak, 187 cm-koa.• Koartilak eta mediana Q 1 = 167,5; Me = 171 eta Q 3 = 175,5 dira.• Ondorioz, kideen % 25ek 160 cm eta 167,5 cm-ren arteko altuera dute; beste

% 25ek, 167,5 cm eta 171 cm-ren artekoa, eta azken % 25ek (altuenak), 175,5 cm eta 187 cm-ren artekoa.Ariketa ebatzia

Kaxa eta biboteen diagraman honako banaketa hauetako bakoitza adieraztea:

a) 2, 2, 3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11

b) 1, 1, 2, 3, 5, 5, 15, 27, 41, 43

a) Aurreko orrialdean: Q1 = 3; Me = 7,5: Q 3 = 9 lortu dugu.Eskala jarri eta diagrama adieraziko dugu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b) Lehenengo, posizio-parametroak lortuko ditugu: Q1 = 2; Me = 5; Q 3 = 27.Eskala finkatu (kontuan hartu behar da azken datuek balio «oso handiak» dituztela) eta diagrama marraztuko dugu:

0 10 20 30 40 50

3. Adierazi kaxa eta biboteen diagrama baten bidez aurreko orrialdeko 2. ariketako banaketa bakoitza.Erabili ariketa horretan aurkitu dituzun Q 1, Me eta Q 3-ren balioak.

4. Adierazi, kaxa eta biboteen diagraman, ituan lortu diren honako puntu hauek: 7 6 6 8 5 5 7 9 6 8 4 7 5 8 6 7 5 6 6 7 5 6 6 5 8 6 7 5 9 3

Pentsatu eta egin

Hartu kontuanKaxaren luzera Q 3 – Q 1 da, koarti-larteko ibiltartea.

OHARRAK

192

Iradokizunak•Orrialdehonetakoproblemaebatziakunitateanzeharikasikoprozedu-rakberrikustekoaukeraemangodigu.Ondoren,gauzaberaeskatukodugu«Zeukegin»izenekoatalean.

Lankidetzan ikasi Orrialdeotakoariketakosoegokiakdirataldetxikian(edobinaka)lanegi-teko;horrela,berdinenarteko ikasketabultzatukodugu (sailkatzea,hainbateuskarritanjasotakoinformazioabalioestea,grafikoakeraikitzeaetainterpretatzea…).

Diziplinartekotasuna Honakoariketahauiradokitzendugu:

Azalduitzazuestatistikaetabestezientziabatzukerlazionatzendituztenhirudatuedoegoeragutxienez(medikuntza,biologia,merkatu-ikerketak,politika…).

«Zeuk egin» atalaren soluzioakDiagrama5pertsonagazteenakgabe:

1 2 3 4 5 6 7

Diagrama5haurrekin:

1 2 3 4 5 6 7

Kaxakosoantzekoakdira.Ezkerrekobiboteenluzeraaldatzenda,gaztee-nenadinakkendubaititugu.

Ariketak eta problemak

279

Ariketa eta problema ebatziak

278

EginZentralizazio- eta sakabanatze-parametroak

1. Kasu bakoitzean, kalkulatu honako parametro hauek: batez bestekoa, mediana, moda, ibiltartea, desbideratze estandarra eta aldakuntza-koefizientea:a) 6, 3, 4, 2, 5, 5, 6, 4, 5, 6, 8, 9, 6, 7, 7, 6, 4, 6, 10, 6b) 11, 12, 12, 11, 10, 13, 14, 15, 14, 12c) 165, 167, 172, 168, 164, 158, 160, 167, 159, 162

2. Gure ikasleek oinetako-zenbaki hauek dituzte: 42, 40, 43, 45, 43 44, 38, 39, 40, 43 41, 42, 38, 36, 38 45, 38, 39, 42, 40 40, 39, 37, 36, 41 46, 44, 37, 42, 39a) Egin maiztasun-taula honako tarte hauekin:

35,5 - 38,5 - 40,5 - 42,5 - 44,5 - 46,5.b) Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze estandarra

eta AK.

3. Fabrikatik dendarako bidean kaxa bakoitzean zenbat edontzi apurtzen diren kontatu da.

apurtutako edontzi kop. 0 1 2 3 4 5 6kaxa kop. 51 23 11 8 4 2 1

a) Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze estandarra eta AK.

b) Zenbat da moda?c) Kalkulagailua erabiliz, egiaztatu emaitzak.

4. Taulak Olinpiar Jokoetarako probetako xabalina-jaurtiketako emaitzak erakusten ditu:

distantzia (m) jaurtitzaileen kop

54 - 58 458 - 62 1162 - 66 2466 - 70 970 - 74 2

a) Klase-markak eta maiztasunak adierazteko, egin taula.

b) Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze estandarra eta AK.

c) Kalkulagailua erabiliz, egiaztatu emaitzak.

Posizio-parametroak eta kaxa eta biboteen diagramak

5. Kalkulatu honako banaketa hauetako mediana eta koartilak:a) 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 8 10, 11b) 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12, 14, 19, 22c) 123, 125, 134, 140, 151, 173, 178, 186, 192, 198

6. Marraztu aurreko ariketako banaketa bakoitzeko kaxa eta biboteen diagrama.

7. Lotu barra-grafiko bakoitza dagokion ka-xa eta biboteen diagramarekin:

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

1 2

A B

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

C D

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

3 4

8. Honako taula honek ikasgela bateko kideek eba-luazio batean gainditu ez dituzten irakasgai kopurua-ren banaketa erakusten du:

gainditu ez diren irak. kop. 0 1 2 3 4 5ikasle kop. 10 4 5 2 4 3

Adierazi banaketa hori kaxa eta biboteen diagrama-ren bidez.

Zenbaki guztiak ilaran jar ditzakezu koartilak aurki-tzeko, baina hobe izango da, idatzi gabe, ilaran daudela imajinatu eta arrazoitzen baduzu.

9. Badakigu eskualde jakin batean hilero zenbat egunetan egin duen euria aurten. Koartilen balioak 6, 9 eta 14 dira. Hilabeterik euritsuena mar-txoa izan da 21 egun euritsurekin eta banaketaren heina 18 dela dakigu. Eraiki kaxa eta biboteen dia-grama. Zure ustez, eskualde euritsua al da?

Mendirako ibilaldian, honako adin hauek dituzten 25 pertso-nak hartu dute parte:

8 10 10 11 12

36 37 37 38 40

42 43 43 44 45

47 48 50 52 53

55 58 61 63 67

a) Maiztasun-taula prestatzea adinak 7,5en hasi eta 67,5en amaitzen diren tarteetan sailkatuz. Horietan oinarri hartuz, x–, σ eta AK lortzea.

b) x–, σ eta AK zenbat diren kalkulatzea kalkulagailuan 25 datuak sartuz; hau da, tarteka taldekatu gabe.

c) 5 haurrak albora utzita, 20 pertsonako taldea lortzen da. Horien parametroak hasie-rako taldean lortutakoekin konparatzea.

d) Jatorrizko banaketako posi-zio-parametroak aurkitzea eta kaxa eta biboteren dia-grama eraikitzea.

1. Parametro estatistikoak lortzea

a) Kontabilitatea 6 tarteetan egingo dugu. Gero, aldagaiaren balio gisa klase-markak hartuz, taula eraikiko dugu:

tartea maiztasuna

7,5-17,517,5-27,527,5-37,537,5-47,547,5-57,557,5-67,5

503854

xi fi fi · xi fi · xi 2

12,522,532,542,552,562,5

503854

62,50,0

97,5340,0262,5250,0

781,250,00

3 168,7514 450,0013 781,2515 625,00

totalak 25 1 012,5 47 806,25

•batez bestekoa: x– = ,S

Sf

f x25

1012 5i

i i = = 40,5

•desb. estandarra: σ = S

Sf

f xx–

i

i i2

2 = , ,2547806 25 40 5– 2 = 16,49

•aldakuntza koefizientea: AK = ,

,qx 540

16 49= = 0,407 → % 40,7

b) Kalkulagailua modo sd-n ipiniko dugu.Memoria hustuko dugu: I A25 datuak sartuko ditugu: 8 * 1 D; 10 * 2 D; …x– = 40,4; σ = 17,11; AK = 0,424 → % 42,4 lortuko dugu; datuak tarteetan bilduz lortu direnen oso antzekoak dira.

c) Kalkulagailuarekin egingo dugu. Sobera dauden 5 datuak kenduko ditugu:8 * 1 I D; 10 * 2 I D; …

Honako lau lortuko dugu: x– = 47,95; σ = 8,97; AK = 0,187 → % 18,75 haur albora utziz gero, adinen batez bestekoa handiago egin eta desbide-ratze estandarra txikiago bihurtzen da. Sakabanatzea, bidezkoa denez, askoz txikiagoa da. AK, aldiz, multzo osoaren erdia baino txikiagoa da.

d) Indibiduoen kopurua 4 zati berdinetan banatuko dugu:

•4

25 = 6,25. Ondorioz, Q1 7. tokia okupatzen duen indibiduoa da → Q1= 37

• 252 = 12,5. Mediana 13. tokian dago → Me = 43

• ·4

3 25 = 18,75. Ondorioz, Q 3 da 19. indibiduoa → Q 3 = 52

Kontuan hartuz baliorik txikiena 8 dela eta handiena 67 dela, kaxa eta bibo-teren diagrama eraikiko dugu:

10 20 30 40 50 60 70

Me Q3Q1

Zeuk egin. Eraiki talde murriztuari (20 helduak haurrik gabe) dagokion kaxa eta biboteren diagrama eta konparatu hasierako taldearenarekin.

OHARRAK

193

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a) b) c)

bestez bestekoa 5,75 12,4 164,2

mediana 6 12 164,5

moda 6 12 167

ibiltartea 8 5 14

batez besteko desbideratzea 1,4 1,28 3,6

bariantza 3,49 2,24 17,96

desbideratze estandarra 1,87 1,50 4,24

aldakuntza-koefiziente0,3248(%32,48)

0,1207(%12,07)

0,0258(%2,58)

2 a)

tartea xi fi fi · xi fi · xi 2

35,5-38,5 37 8 296 10952

38,5-40,5 39,5 8 316 12482

40,5-42,5 41,5 6 249 10333,5

42,5-44,5 43,5 5 217,5 9461,25

44,5-46,5 45,5 3 136,5 6210,75

guztira 30 1215 49439,5

b)x =40,5;σ=2,78;AI=0,0687→%6,87

3 a) x =1,01;σ=1,37;AI=1,3539→%135,39

b)Mo=0

c) Ikasleekemaitzakegiaztatukodituzte.

4 a)

tartea xi fi fi · xi fi · xi 2

54-58 56 4 224 12544

58-62 60 11 660 39600

62-66 64 24 1536 98304

66-70 68 9 612 41616

70-74 72 2 144 10368

guztira 50 3176 202432

b)x =63,52;σ=3,72;CV=0,0586→%5,86

c) Ikasleekemaitzakegiaztatukodituzte.

5 a)Q1=1,5;Me=6etaQ3=7,5

b)Q1=41,Me=46etaQ3=54

c)Q1=134,Me=162etaQ3=186

6 a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

c)

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

7 1→B 2→D 3→C 4→A

8 0 1 2 3 4 5

9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21

Kaxaetabiboteendiagramarierreparatuz,esandezakegueskualdeeuritsuadela.

Ariketak eta problemak

279

Ariketa eta problema ebatziak

278

EginZentralizazio- eta sakabanatze-parametroak

1. Kasu bakoitzean, kalkulatu honako parametro hauek: batez bestekoa, mediana, moda, ibiltartea, desbideratze estandarra eta aldakuntza-koefizientea:a) 6, 3, 4, 2, 5, 5, 6, 4, 5, 6, 8, 9, 6, 7, 7, 6, 4, 6, 10, 6b) 11, 12, 12, 11, 10, 13, 14, 15, 14, 12c) 165, 167, 172, 168, 164, 158, 160, 167, 159, 162

2. Gure ikasleek oinetako-zenbaki hauek dituzte: 42, 40, 43, 45, 43 44, 38, 39, 40, 43 41, 42, 38, 36, 38 45, 38, 39, 42, 40 40, 39, 37, 36, 41 46, 44, 37, 42, 39a) Egin maiztasun-taula honako tarte hauekin:

35,5 - 38,5 - 40,5 - 42,5 - 44,5 - 46,5.b) Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze estandarra

eta AK.

3. Fabrikatik dendarako bidean kaxa bakoitzean zenbat edontzi apurtzen diren kontatu da.

apurtutako edontzi kop. 0 1 2 3 4 5 6kaxa kop. 51 23 11 8 4 2 1

a) Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze estandarra eta AK.

b) Zenbat da moda?c) Kalkulagailua erabiliz, egiaztatu emaitzak.

4. Taulak Olinpiar Jokoetarako probetako xabalina-jaurtiketako emaitzak erakusten ditu:

distantzia (m) jaurtitzaileen kop

54 - 58 458 - 62 1162 - 66 2466 - 70 970 - 74 2

a) Klase-markak eta maiztasunak adierazteko, egin taula.

b) Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze estandarra eta AK.

c) Kalkulagailua erabiliz, egiaztatu emaitzak.

Posizio-parametroak eta kaxa eta biboteen diagramak

5. Kalkulatu honako banaketa hauetako mediana eta koartilak:a) 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 8 10, 11b) 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12, 14, 19, 22c) 123, 125, 134, 140, 151, 173, 178, 186, 192, 198

6. Marraztu aurreko ariketako banaketa bakoitzeko kaxa eta biboteen diagrama.

7. Lotu barra-grafiko bakoitza dagokion ka-xa eta biboteen diagramarekin:

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

1 2

A B

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

C D

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

3 4

8. Honako taula honek ikasgela bateko kideek eba-luazio batean gainditu ez dituzten irakasgai kopurua-ren banaketa erakusten du:

gainditu ez diren irak. kop. 0 1 2 3 4 5ikasle kop. 10 4 5 2 4 3

Adierazi banaketa hori kaxa eta biboteen diagrama-ren bidez.

Zenbaki guztiak ilaran jar ditzakezu koartilak aurki-tzeko, baina hobe izango da, idatzi gabe, ilaran daudela imajinatu eta arrazoitzen baduzu.

9. Badakigu eskualde jakin batean hilero zenbat egunetan egin duen euria aurten. Koartilen balioak 6, 9 eta 14 dira. Hilabeterik euritsuena mar-txoa izan da 21 egun euritsurekin eta banaketaren heina 18 dela dakigu. Eraiki kaxa eta biboteen dia-grama. Zure ustez, eskualde euritsua al da?

Mendirako ibilaldian, honako adin hauek dituzten 25 pertso-nak hartu dute parte:

8 10 10 11 12

36 37 37 38 40

42 43 43 44 45

47 48 50 52 53

55 58 61 63 67

a) Maiztasun-taula prestatzea adinak 7,5en hasi eta 67,5en amaitzen diren tarteetan sailkatuz. Horietan oinarri hartuz, x–, σ eta AK lortzea.

b) x–, σ eta AK zenbat diren kalkulatzea kalkulagailuan 25 datuak sartuz; hau da, tarteka taldekatu gabe.

c) 5 haurrak albora utzita, 20 pertsonako taldea lortzen da. Horien parametroak hasie-rako taldean lortutakoekin konparatzea.

d) Jatorrizko banaketako posi-zio-parametroak aurkitzea eta kaxa eta biboteren dia-grama eraikitzea.

1. Parametro estatistikoak lortzea

a) Kontabilitatea 6 tarteetan egingo dugu. Gero, aldagaiaren balio gisa klase-markak hartuz, taula eraikiko dugu:

tartea maiztasuna

7,5-17,517,5-27,527,5-37,537,5-47,547,5-57,557,5-67,5

503854

xi fi fi · xi fi · xi 2

12,522,532,542,552,562,5

503854

62,50,0

97,5340,0262,5250,0

781,250,00

3 168,7514 450,0013 781,2515 625,00

totalak 25 1 012,5 47 806,25

•batez bestekoa: x– = ,S

Sf

f x25

1012 5i

i i = = 40,5

•desb. estandarra: σ = S

Sf

f xx–

i

i i2

2 = , ,2547806 25 40 5– 2 = 16,49

•aldakuntza koefizientea: AK = ,

,qx 540

16 49= = 0,407 → % 40,7

b) Kalkulagailua modo sd-n ipiniko dugu.Memoria hustuko dugu: I A25 datuak sartuko ditugu: 8 * 1 D; 10 * 2 D; …x– = 40,4; σ = 17,11; AK = 0,424 → % 42,4 lortuko dugu; datuak tarteetan bilduz lortu direnen oso antzekoak dira.

c) Kalkulagailuarekin egingo dugu. Sobera dauden 5 datuak kenduko ditugu:8 * 1 I D; 10 * 2 I D; …

Honako lau lortuko dugu: x– = 47,95; σ = 8,97; AK = 0,187 → % 18,75 haur albora utziz gero, adinen batez bestekoa handiago egin eta desbide-ratze estandarra txikiago bihurtzen da. Sakabanatzea, bidezkoa denez, askoz txikiagoa da. AK, aldiz, multzo osoaren erdia baino txikiagoa da.

d) Indibiduoen kopurua 4 zati berdinetan banatuko dugu:

•4

25 = 6,25. Ondorioz, Q1 7. tokia okupatzen duen indibiduoa da → Q1= 37

• 252 = 12,5. Mediana 13. tokian dago → Me = 43

• ·4

3 25 = 18,75. Ondorioz, Q 3 da 19. indibiduoa → Q 3 = 52

Kontuan hartuz baliorik txikiena 8 dela eta handiena 67 dela, kaxa eta bibo-teren diagrama eraikiko dugu:

10 20 30 40 50 60 70

Me Q3Q1

Zeuk egin. Eraiki talde murriztuari (20 helduak haurrik gabe) dagokion kaxa eta biboteren diagrama eta konparatu hasierako taldearenarekin.

OHARRAK

194

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

10 a) x a=6etaσa=1→1.grafikoax b=6etaσb=3→3.grafikoa

b)A5gutxiegietabikainbatdituenikasgelaridagokio.

B11gutxiegieta4bikaindituenikasgelaridagokio.

c)AMarkorentzatetaBMikelentzat.

11 A→IV B→I C→III D→II

AKa=0,0489 AKb=0,0197 AKc=0,0238 AKd=0,0419

A<D<C<B

12 Elene→x =17etaσ=9etax +1,5σ=30,5.

Sonia→x =20etaσ=3etax +3σ=29.

Hortaz,entrenatzaileakEleneaukeratubeharkodu.

13 a)Lidia:x ≈11,63etaσ≈2,98 Marko:x =9,75etaσ≈2,94

b)Lidia:AK=0,26→%26 Marko:AK=0,30→%30

Lidiaapurbaterregularragoada.

14 a)I.Q1=4;Me=5;Q3=7 II.Q1=4,5;Me=5,5;Q3=6

III.Q1=3,5;Me=6,5;Q3=8

b)I.taldea I II.taldea II III.taldea I IV.taldea III

15 a)I.Txik.=2;Q1=3;Me=5;Q3=6;Hd.=10

II.Txik.=1;Q1=4;Me=5;Q3=9;Hd.=10

III.Txik.=2;Q1=4;Me=5;Q3=6;Hd.=8

IV.Txik.=0;Q1=2;Me=5;Q3=6;Hd.=8

b)A→IV B→II C→I D→III

c)DatuakI.digramarekinbatetortzeko,7renlekuan6jarribeharda.

d)etae)Erantzunirekia.

16 Rafakgaur360–240=120€irabaziditu.

17 a)4, 38! b)4,9

18 AKhonakohauekdira,hurrenezhurren:%30eta%20.Ikaslehonen7,5datxalogarriena.

19 a) x =60,4;σ=10,336

b)x+2σbainohandiagokoak:%3,5x–2σbainotxikiagokoak:%3

20 a) x =6,638;σ=0,997

b)x –σetax +σartean→%67,5

x +σ-tikgora→%21,25 x –σ-tikbehera→%11,25

21 Osogaraiak:%3 Garaiak:%14 Normalak:%67

Txikiak:%15 Osotxikiak:%2

22 a)Honakohauekdiramaiztasunak,ordenan:5,11,12,9,3.

b)x =13,25h;σ=5,6513h

c)Osogutxi:(0;1,9)→%0 Gutxi:(1,9;7,6)→%15

Normala:(7,6;18,9)→%67,5 Asko:(18,9;24,6)→%15

Izugarri:24,6tikgora:→%2,5

23 x =5,657 x a=7,12 x b=2

x ezdax a-renetax b-renbatezbestekoa.

24 Lehenengokasuan,AKhandiagoadalehenbanaketan.

Bigarrenkasuan,AKhandiagoadabigarrenbanaketan.

25 • Batezbestekoaunitatekahandiagotzenda,etadesbideratzeestan-darraezdaaldatzen.

• Batezbestekoaetadesbideratzeestandarrak-rekinbiderkatzendira.

280 281

Ariketak eta problemak

Ebatzi problemak10. 30 ikasleko A eta B taldeek azterketa egin

dute. Horien batez bestekoak eta desbideratze estanda-rrak honako hauek dira: x–A = 6, σA = 1, x

–B = 6, σB = 3.

a) Esleitu grafiko bat A-ri eta bestea B-ri.

0 5 10 0 5 10 0 5 10

b) Ikasgeletako batean, 11 gutxiegi eta 4 bikain dau-de; bestean, aldiz, 5 gutxiegi eta bikain bat daude. Zein da A eta zein da B?

c) Markok bikain atera behar du eta Mikel konforme dago nahiko ateraz gero. Zure ustez, zer ikasgela da egokiena horietako bakoitzarentzat?

11. Honako lau grafiko hauek saskibaloiko A, B, C eta D taldeetako altuerei dagozkie; horien parametroak taulan ageri dira. Zein da talde bakoitzaren grafikoa?

180 195 210 180 195 210

III

180 195 210 180 195 210

IVIII

taldea x– σ

A 198,5 9,7B 198,1 3,9C 193 4,6D 193,4 8,1

Aurkitu talde bakoitzaren AK eta ordena itzazu erre-gulartasun txikienekotik handienekora.

12. Elene saskibaloiko jokalaria da eta partidako 17 puntuko batez bestekoa eta 9ko desbideratze estanda-rra ditu. Eleneren lagunak, Soniak, 20 puntuko batez bestekoa eta 3 puntuko desbideratze estandarra ditu.Hurrengo partidarako, entrenatzaileak 30 puntu edo gehiago lortuko dituen jokalaria behar du. Bietako zein aukeratu beharko du? Zergatik?

13. Lidia eta Marko, hitzen definizio emanda, minutu batean zeinek erantzun zuzen gehiago eman jolasten ari dira. Hainbat bider jolastu dira. Hona hemen emaitzak:

lidia 14 8 15 9 7 13 12 15marko 11 9 10 10 12 11 6 9

a) Kalkulatu batez bestekoa eta desbideratze estanda-rra.

b) Kalkulatu AK. Nor da erregularrena?

14. a) Nota hauek hiru ikasle talderenak dira. Konparatu nota horien banaketak eta adierazi banaketa bakoitzaren batez bestekoa eta mediana:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

III

II

I

b) Ebaluazio-bileran, honako iruzkin hauek egin dira:i. Ikasgelako % 50ek gainditu dute.ii. Notak oso antzekoak dira.iii. Ikasgelako laurdenek 7tik gorako notak dituzte.iv. Ikasgelarik onena baina sakabanatzerik handie-

nekoa da.Adierazi zer talderi dagokion iruzkinetako bakoitza.

15. Honako hauek dira 20 ikasleko lau ikasgelaren matematikako noten kaxa-diagramak:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

III

IV

II

I

a) Adierazi zein diren, horietako bakoitzean, baliorik handiena eta txikiena eta Q1, Me eta Q3.

b) Parametroak honako hauek dira, ez hurrenez hurren:

a b C dx– 4 6 5 5σ 2,3 3,1 2,5 1,3

Lotu parametro bakoitza dagokion ikasgelarekin.c) I ikasgelako notak honako hauek dira:

2 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 8 8 10 10Egiaztatu horren kaxa-diagramari dagozkiola.Asmatu ii, iii eta iv diagrametako bakoitzari erantzungo dioten 20 balio.

d) Kalkulatu zenbat diren x– eta σ aurreko atalean asmatu dituzun banaketetan eta konparatu b) ata-leko taulan ematen direnekin.

e) Aurkitu B) ataleko banaketa bakoitzaren aldakun-tza-koefizientea eta adierazi zein den erregularrena.

16. Rafael kalez kaleko saltzailea da astean sei egu-nean. Atzo, ostirala, aste honetan egunean 48 euroko batez besteko irabazia lortu duela kalkulatu zuen. Kontu bera egin du gaur, larunbata, eta egunean 60 euro irabazi dituela atera du. Zenbat irabazi du gaur?

17. Irakasgai bateko nota zenbat den kalkula-tzeko orduan, bigarren azterketak lehenengoak bi halako balio du eta hirugarrenak, lehenengoak hiru halako.a) Zenbat da 5, 6 eta 4 atera dituen ikaslearen azken

nota?b) Eta nota horiek % 10, % 40 eta % 50 izanez gero?

18. Ikasgela bateko azterketako batez besteko nota 5 izan da eta desbideratze estandarra, 1,5. Ikas-gela berean, beste azterketa bateko batez besteko nota 5 izan da eta desbideratze estandarra, 1.Ikasle batek lehenengo azterketan 8 atera du eta bi-garrenean, 7,5. Zer nota da txalogarriena? Zergatik?

Problema korapilatsuagoak19. 200 pertsonari egin zaien adimen-testean,

honako emaitza hauek lortu dira:

puntuazioa 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

pertsona kop. 6 18 76 70 22 8

a) Kalkulatu batez bestekoa eta desbideratze estandarra.b) Ehuneko zenbat pertsona dira x– + 2σ baino adi-

men handiagokoak? Eta x– –  2σ baino txikia-gokoak? Egizu gutxi gorabeherako kalkulua.

20. Espezie jakin bateko animalien jaiotzako pisuak neurtu eta honako datu hauek lortu dira:

pisua (kg) animalia kop.

3,5 - 4,5 14,5 - 5,5 85,5 - 6,5 286,5 - 7,5 267,5 - 8,5 168,5 - 9,5 1

a) Kalkulatu batez bestekoa eta desbideratze estanda-rra.

b) Ehuneko zenbat animalia egon ziren x–  –  σ eta x– + σ-ren artean? x– + σ-tik gora? x– – σ-tik behera?

21. Hauek 4 350 soldaduren altuerak dira:

altuera (m) (klase markak) 1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,88

soldadu kop. 62 186 530 812 953 860 507 285 126 29

x– + σ eta x– + 2σ arteko altuera duten soldaduak garaiak, x– –  σ eta x– – 2σ artekoak txikiak, eta x– – σ eta x– + σ artekoak normalak direla joko dugu. Kalkulatu, gutxi gorabehera, ehuneko zenbat diren garaiak, txikiak eta normalak. Ehuneko zenbat dira oso garaiak eta oso txikiak ?

22. Ikasle talde baten asteroko ikastorduak hauek dira: 14 9 9 20 18 12 14 6 14 8 15 10 18 20 2 7 18 8 12 10 20 16 18 15 24 10 12 25 24 17 10 4 8 20 10 12 16 5 4 13a) Eraiki maiztasun-taula honako tarte hauekin:

1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5b) Kalkulatu batez bestekoa eta desbideratze estandarra.c) x– eta σ parametroak erabiliz, egin bost tarte ho-

nako ezaugarri hauekin: oso gutxi ikasten du, gutxi ikasten du, normal ikasten du, asko ikasten du, izu-garri ikasten du. Ehuneko zenbat indibiduo daude bakoitzean?

23. Ikasgela jakin bateko azterketako notak hauek dira:

notak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ikasle kop. 4 3 2 1 7 3 2 8 3 2

Kalkulatu honako hauen batez besteko notak: ikasge-la ( x– ), nahikoak ( x–A ), gutxiegiak ( x

–B ). Lor al daiteke

x–, x–A eta x–

B-ren batez bestekoa eginez?

Hausnartu teoriari buruz24. Bi banaketak batez besteko bera izan, eta lehe-

nengoaren desbideratze estandarra bigarrenarena baino handiagoa izanez gero, bietako zeinetan da handiena aldakuntza-koefizientea? Eta desbideratze estandar bera izan eta lehenengoaren batez bestekoa bigarrenarena baino handiagoa izanez gero?

25. Zer gertatzen zaie banaketa bateko x– eta

σ-ri, horietako datu guztiei zenbaki bera batuz ge-ro? Eta zenbaki berarekin biderkatuz gero? Egiaztatu zeure aieruak honako datu hauekin:

4, 3, 6, 7, 5, 4, 5, 3, 2, 6, 5

195

Irakurri eta ikasiTestuhonetanGaussenkanpaiaaurkeztukodugu,bitxikeriagisa.Horrela,hurrengo ikasturteetarabegira, ikasleekkontzeptuhoribarneratzekoaukeraizangodute.

Soluzioa:

Edozeinbanaketanormaletakobatezbestekoa,medianaetamodabatdatoz.

ParadoxaAintziraosozabalabada,25cm-kosakoneraizandezakeiaazaleraosoan,3metrokosakoneraduenalderdibateanizanezik.Kasuhorretan,batezbeste30cm-kosakoneraduenaintziraizanliteke.

Pentsatu eta orokortuAtalhonetan,ikasleekproblemaerrazbatebatzibeharkodute;horiegite-ko,behaketaetaesperimentazioaerabilikodituzte.

Soluzioak:

1dado→7puntu 2dado→14puntu

3dado→21puntu 6dado→42puntu

xdado→7xpuntu

Funtzioa:y=7x

4 6

y = 7x

2 3 5 71DADOAK

10

20

30

40

5

15

25

35

45 PUNTUAK

Trebatu problemak ebatziz

• Kaxan45bonboidaude.

• Bixerra(AetaB)5minutujarrikodituzartaginean.

Horietakobat(A)aterakodu,bestebati(B-ri)bueltaemangodio,etahirugarrena(C)5minutujarrikodu.

Gero,Baterakodu(bialdeetatikeginadagoeta),C-ribueltaemangodio,etaAberrirojarrikoduzartaginean,gordinikdagoenaldetik.Beste5minutu.Horrela,hirurak15minutuanegitealortukodu.

•

Autoebaluazioaren soluzioak

1 x :5;Me:4;DM:2,4;σ:2,72

AK:0,54

2 a) x =1,87 σ=1,43 AK:0,7647

b)x =21 σ=11,72 AK:0,56

3 a)Me=3,Q1=2etaQ3=4

b)

0 1 2 3 4 5

4 I→B II→C III→A

282 283

Taller de matemáticas

Irakurri eta ikasiGaussen kanpaia Benetako munduari buruzko eta ausazko osagaiak dituzten aldagai estatistiko askok oso maiztasun txikiak izaten dituzte muturreko balioetan, eta balio zentraletara hurbildu ahala, maiztasun horiek gero eta handiagoak izaten dira.Horrelako portaera du, adibidez, pertsona multzo baten altueren banake-tak: gutxi batzuk oso txikiak dira (1,55 m-tik beherakoak); beste gutxi batzuk oso garaiak dira (1,95 m-tik gorakoak) eta asko tarteko balioen artean daude (1,75 m-ren inguruan). Eta gauza bera esan dezakegu pisuei, arropen neurriei, tenperaturei, ibaien emariei, energia-gastuei, diru-sarrerei eta beste gauza askori buruz.Era horretako banaketak, horien forma idealean, banaketa normal deritzon kontzeptuari dagozkio eta horien adierazpen grafikoari (balioak - maiztasu-nak) Gaussen kanpaia esaten zaio; izendapen hori ematen zaio duen for-maren ondorioz eta kontzeptu horiek beste zientzia batzuetarako ikasketa praktikoetan lehenengoz erabili izan zituena Gauss izan zelako.•Zenbat izango litzateke batez bestekoa grafiko gorriaren banaketan? Eta mediana? Eta moda?•Zer balio izango lukete parametro horiek grafiko berdean? Eta morean?

Matematika-lantegia

ParadoxaEstatistikalaria 30 cm-ko batez besteko sako-nerako aintziran itotzeko gauza den zientziala-ria da.

eta ikasiizan ekimena

Pentsatu eta orokortu

Honako dado honek ezkutuko bi aurpegi eta begien bistako lau ditu. Zenbat puntu dituzte, guztira, ezkutuko aurpegiek?

Hemen ezkutuko lau aurpegi daude.Zenbat puntu dira, guztira, ezku-tuko lau aurpegietakoak?

Eta hemen?

Eta hemen?Eta x dado izanez gero?

Ezkutuko aurpegietako puntuen kopurua dadoen kopuruaren funtzioan dago. Idatzi eta adie-razi dadoen kopurua, x, ezkutuko aurpegien kopuruarekin, y erlazioan jarriko duen funtzioa.

Trebatu problemak ebatziz •Fatimak 10 adiskide gonbidatu ditu bere urtebetetze-

jaira. Askaldu ondoren, sari eta guztiko igarkizuna proposatu die:

«Bonboi-kaxa irabaziko du zenbat bonboi dituen, kaxa ireki gabe, asmatuko duenak. Hiru pista emango diz-kizuet:

— Bost dozenatik behera dira.

— Bederatziko ilaratako ordenan daude.

— Hemen dauden guztien artean banatuz gero, bat geratuko litzateke sobera».

Zenbat bonboi daude kaxan?

•Sukaldariak hiru xerra frijitu behar ditu. Bakoi- tzak bost minutu egin behar ditu zartaginean aurpegi bakoitzeko. Zartaginean bi baino ez dira sartzen. Nola egin dezake xerrak ahalik eta azkarren frijitzeko?

•Kopiatu eskuineko marraz-kia eta marratu koadernoan honako hamahiru puntue-tatik pasatuko den bost seg-mentuko lerro hautsia.

1. Kalkulatu zenbat diren honako banaketa honen batez bestekoa, mediana, desbideratze estandarra eta aldakuntza-koefizientea:

6 9 1 4 8 2 3 4 4 9

2. Kalkulatu zenbat diren honako banaketa hauetako x–, σ eta AK:a) Ikasmaila jakin bateko ikasleak liburutegira zenbat

egunetan joan diren:

egun kop. maiztasuna

0 61 72 83 54 25 2

b) Egun jakin batean gaixoek sendagileren kontsultan zenbat denbora eman duten, minututan adierazita:

denbora (min) maiztasuna

1 - 9 49 - 17 517 - 25 825 - 33 733 - 41 441 - 49 2

3. DBHko hirugarren mailako 30 ikasleek 5 galderako test motako azterketan atera dituzten notak honako hauek izan dira:

3 3 2 4 5 4 1 3 3 2

3 2 4 4 3 1 2 0 5 3

2 0 3 5 3 3 5 2 1 4

a) Kalkulatu zenbat diren mediana eta koartila.

b) Marraztu kaxa eta biboteren diagrama.

4. Saskibaloiko A, B eta C taldeetako jokalarien altue-rak honako grafiko hauetan banatzen dira:

175170 180 185 170 175 180165 170 175 180 185185 190165

IIIIII

Taldeetako bakoitzari dagozkion parametroak ho-nako hauek dira:

a b C

x– 177,8 176,8 174,6

σ 6,4 3,2 4,5

Erabaki, arrazoituz, zer grafiko dagokion taldeetako bakoitzari.

Autoebaluazioa

a

b

c

x

Honako ariketa hauek ebaztea.Webgunean