PARADOJASParadoja es todo razonamiento contradictorio pero correcto. Es correcto en el sentido de que usa reglas lógicas coherentes, pero es contradictorio porque su conclusión es de la forma A A

1. Paradojas de ZenónZenón de Elea fue discípulo de Parménides y fundó la dialéctica para defender las tesis sobre la inmovilidad del ser.1.1. La FlechaCuando lanzamos una flecha notaremos que en cada segundo permanece quieta. Si disminuimos la cantidad de tiempo en cada instante, seguiremos notando que la flecha permanece quita. Por ello, diremos que si el tiempo está compuesto de instantes entonces la flecha nunca se mueve pues en cada instante estaría quieta, en reposo.1.2. Aquiles y la TortugaAquiles competirá con la tortuga. Para ello, le dará cierta ventaja. Cuando Aquiles llegue donde la tortuga ha estado (en el punto C), ella habrá avanzado un poco más. Nuevamente cuando Aquiles llegue al punto C donde localizó a la tortuga, ella ya habrá otro poquito más. Siempre pasará esto. Por lo tanto, Aquiles nunca logra alcanzar a la tortuga.1.3. La dicotomía

Zenón está a 8 metros de un árbol y le tira una piedra. Para llegar a su objetivo esta piedra tiene que recorrer la primera mitad del camino: 4 metros. Estando en ese punto, para llegar al árbol esta piedra antes tiene que recorrer la mitad del camino y avanza 2 metros más. Pero estando en ese punto, para llegar al árbol esta tiene que recorrer la mitad del camino. Siempre las cantidades tendrán mitad, por lo tanto, siempre las dividiremos hasta el infinito. Por ende, La piedra nunca llega al árbol ya que siempre faltará la mitad de un cierto recorrido.

2. Paradojas SemánticasSon entes lingüísticos cuyo análisis del puro significado conduce a un callejón sin salida, un enredo, un dilema comprometedor (aporía)2.1. El MentirosoUna persona dice: “yo miento”. ¿Dice una mentira o dice la verdad? Si dice la verdad, asumimos que lo que dice sucede en la realidad. Entonces él nos está mintiendo. Y si nos está mintiendo, debido a lo que él mismo nos ha dicho (“yo miento”), nos estaría diciendo la verdad.Resumen:Si dice la verdad, miente (es decir, no dice la verdad)Forma lógica: p → pSi miente, dice la verdadForma lógica: p → p

2.2. El CocodriloUn cocodrilo le roba un hijo a una madre. El reptil le plantea un reto. Le dice que le va a plantear una pregunta, si responde con una verdad, no se come a su hijo. Si responde con una falsedad, se come a su hijo. La pregunta es: ¿me comeré a tu hijo?Si la madre responde:“Sí, si te lo comerás”, el cocodrilo tendrá dificultades para cumplir su promesa. Pues, si se lo come, lo que la madre dijo sería algo verdadero, y ello implica que no se debe comer a su hijo. Pero, si no se lo come, lo que la madre dijo sería algo falso, y ello implica que debe comérselo. Sin embargo, si se lo come, la madre habría dicho una verdad, y no tendría que comérselo. Pero, si no se lo come, … y así sucesivamenteResumen:Si se lo come, entonces no se lo come.Forma lógica: q→qSi no se lo come, entonces se lo comeForma lógica: q→q2.3. Los CaníbalesUnos caníbales capturan a un misionero. Ellos se lo van a comer pero no saben cómo. Así que le dicen al misionero que responda una pregunta, si responde con una verdad, se lo comen hervido, pero si responde con una falsedad, se lo

PARADOJAScomen frito. La pregunta es ¿cómo te comeremos?Si el misionero responde: “Me comerán frito”, habría problemas lógicos. Si los caníbales lo fríen, el misionero habría dicho una verdad y por eso tendrían que hervirlo, pero si los caníbales lo hierven, el misionero habría dicho una falsedad, y por ello tendrían que freírlo. Pero si lo fríen, … y así sucesivamente. Resumen:Si lo fríen, entonces lo hiervenForma lógica: r→q Si lo hierven, entonces lo fríenForma lógica: q→r

3. Paradojas de RussellSon argumentos que Bertrand Russell esgrimió para refutar el proyecto logicista de Frege que consistía en reducir la matemática a la lógica. En pocas palabras, asumiendo el principio de comprensión de Frege se llega a contradicciones. Principio de comprensión: x pertenece al conjunto de los elementos que tienen una propiedad, si y solo si x tiene dicha propiedad. Forma Lógica: x{y/F(y)} F(x)

3.1. Del BarberoEl barbero de una ciudad afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos.

Forma Lógica: A(b, x) → A(x, x) que se lee: “si barbero afeita a x, entonces x no afeita a x”. Obviamente, el barbero no afeita a los que sí se afeitan a sí mismos. Forma Lógica: A(b, x) → A(x, x) que se lee: “si barbero no afeita a x, entonces x afeita a x”. Pero este barbero ¿se afeita a sí mismo? ¿sí o no? Si se afeita, él estaría afeitando a alguien que no se afeita porque solo afeita a los que no se afeitan. Pero si no se afeita, el debería se afeitado por el barbero (él mismo) porque ese barbero afeita precisamente a los que no se afeitan.3.2. De los CatálogosNormalmente los catálogos son pequeños. Pero a veces los catálogos llegan a ser tan grandes que se convierten en libros. Por ello, queda la posibilidad que dicho catálogo se incluya a sí mismo como un libro de la biblioteca. Pero, así como hay catálogos que se incluyen a sí mismos, hay los que no se incluyen a sí mismos. Se plantea entonces la posibilidad de hacer un catálogo de todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos. Forma Lógica: I(c, x) → I(x, x) que se lee: “Si el catálogo incluye a x entonces x no incluye a x”Equivalentemente, este catálogo no incluye a esos catálogos que se incluyen a sí mismos.

Forma Lógica: I(c, x) → I (x, x) que se lee: “Si el catálogo no incluye a x, entonces x incluye a x”Este catálogo ¿se incluye a sí mismo? Si se incluye, entonces es un catálogo que no se incluye pues dicho catálogo solo incluye catálogos que no se incluye. Y si no se incluye, entonces es un catálogo que debe incluirse porque este solo incluye catálogos que no se incluyen.3.3. De los AlcaldesHay ciudades cuyos alcaldes viven en ellas y otras en las que los alcaldes no viven en ellas. Supongamos que existen muchos alcaldes que no viven en sus propias ciudades, y por ello se decide crear una ciudad S que reunirá a todos los alcaldes que no viven en sus propios distritos. Además, imaginemos que S logra ser una ciudad tan grande que necesita de un alcalde. En S viven los alcaldes que no viven en sus propios distritos. Si el alcalde vive en su distrito, entonces no vive en S.Forma Lógica: [A(x, z) V (x, z) ] → V (x, s) que se lee: “si x es alcalde de z y x vive en z, entonces x no vive en s”Si el alcalde no vive en su distrito, entonces vive en SForma Lógica: [A(x, z) V (x, z) ] → V (x, s) que se lee: “Si x es alcalde de z y x no vive en z, entonces x vive en s ”

PARADOJASLa pregunta es ¿Dónde vive el alcalde de S? ¿En S? ¿sí o no? Si no vive en S, entonces vive en su propia ciudad, es decir, vive en S. Pero si vive en S, entonces no vive en su propia ciudad, es decir, no vive en S.

4. Paradojas Matemáticas4.1. Paradoja de Cantor1) Cuando un conjunto contiene a otro, se dice que tiene más elementos.2) El conjunto potencia de un conjunto X (Pot(X)) tiene más elementos que X.Consideremos el conjunto universal (U). Este contiene a todos los conjuntos. Por ello, también contendrá a su conjunto potencia. Por 1) diremos que U tiene más elementos que Pot(U). Por 2) diremos que Pot(U) tiene más elementos que Pot(U). Esta es la contradicción.4.2. Paradoja de las Clases (Russell)* Ejemplos de clases que no se contienen a sí mismasA = {José, Pedro, Juana}B = {verde, amarillo, azul}Vemos que los elementos de A no son A. Lo mismo con B.* Ejemplos de clases que se contienen a sí mismos1) La clase de los pensamientos es un pensamiento

P = {imagen, razonar, entender, P}2) La clase de la información es una informaciónI = {Lima es ciudad, Perú es país, I}3) La clase universal es una claseU = {A, B, C, D, U}P, I y U se contienen a sí mismas.

Ahora concentrémonos en las clases A y B. Supongamos que sean las únicas clases que existen y que tienen la característica de no contenerse a sí mismas. Agrupemos a todas las clases anteriores en una nueva clase R. La clase R es la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas. En fórmula: R = {x / xx} …..(I)Pero ese mismo R ¿se contiene a sí mismo o no?1) y{x/xx} (yy) Princ. de comprensión: y pertenece a la clase de las x que tienen la propiedad de no pertenecerse a si mismos si y solo si y no se pertenece.2) yR yy de 1 por identidad (I)3) RR RR de 2 por remplazo.

Solución de Russell: Teoría de los tipos lógicos Decir xx no tiene significado. En AB el tipo lógico de A es de un grado menor que el de B. Se acepta

BlancoColores, pero no ColoresColores o BancosBancos