Parábolas y Ecuación de segundo

grado Viviana Soto

Daniela Valenzuela

Daniela Reyes

III ½ B 2010

En matemática, la definición original de parábola corresponde a la

sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz, pero actualmente se define como el lugar geométrico de

los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.

La parábola aparece en muchas de las ramas de las ciencias aplicadas,

debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son

parábolas.

Tiene una gran importancia en Física y que se ajusta a la

descripción o a la representación matemática de muchos fenómenos.

Pero la parábola también tiene importancia en nuestra

vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o

no seamos conscientes de ello, tenemos muchas

parábolas a nuestro alrededor.

Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u horizontal describe un

movimiento parabólico bajo la acción de la gravedad. Un

ejemplo es el caso de una pelota que se desplaza

botando.

Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o diverger un

haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las

lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también

tienen forma paraboloide.

Las parábolas tienen una propiedad. Si se coloca una bombilla encendida en el foco de

la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos

serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o

en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el

foco de este paraboloide.

En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergirán o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite

envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en

donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta

propiedad.

Otro ejemplo es el caso de los chorros y las gotas de agua que

salen de los caños de las numerosas fuentes que

podemos encontrar en las ciudades. El desplazamiento

bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra permite

obtener bonitos arcos parabólicos.

También se aprecia el mismo caso en piletas ubicadas en edificios,

hoteles, etc.

Arcos parabólicos en dos de las fuentes que pueden encontrarse en el Paseo del Prado de

Madrid.

También obtenemos formas parabólicas cuando un haz luminoso de forma cónica se proyecta sobre una pared. Las

líneas parabólicas de la imagen se han obtenido proyectando un haz de luz sobre una pared blanca.

Las parábolas también están presentes en la arquitectura.

Faro de un automóvil

Estructuras de algunos puentes

Al saltar la cuerda

En una montaña rusa

Al jugar fútbol

Y en diferentesDeportes…

También en otros casos una parábola es la curva que adopta un cable que tenga que soportar una carga, un

peso, uniformemente distribuido.Como por ejemplo: El Golden Gate. (Puente de San

Francisco)

 Diferentes tipos de antenas

Antena Parabólica de Televisión

Una de las propiedades más importantes de las formas parabólicas es que cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola

rebota en su superficie pasando por el foco. La parábola sirve para concentrar los rayos de luz en un punto, el foco, en el caso de la cocina solar,  o las radiaciones electromagnéticas, en general, en las antenas parabólicas. Pero también sirve, como en el caso del faro de un coche,

para conseguir que la luz que sale del foco se concentre en un  haz más o menos cerrado.

Antena parabólicaAntena parabólica

Guía de Trabajo: “Función Cuadrática”Guía de Trabajo: “Función Cuadrática”

Objetivos:

Conocer la función cuadrática en sus diversas formas

Graficar la función cuadrática en sus diversas formas

Identificar en un gráfico puntos de intersección con los ejes de coordenadas, vértice y eje de simetría

La Parábola en Matemática se define como:La Parábola en Matemática se define como:

f(x) = a. x2 + b. x + c

1

Para determinar las raíces o ceros de la ecuación de segundo grado, Para determinar las raíces o ceros de la ecuación de segundo grado, se pueden emplear por lo menos tres métodos.se pueden emplear por lo menos tres métodos.

1.1.Método de factorizaciónMétodo de factorización

2.2.Completación de cuadrados Completación de cuadrados

3.3.Fórmula de ecuación de segundo grado.Fórmula de ecuación de segundo grado.

A continuación se presentarán los siguientes ejemplos:

1. Método de factorización:

X² + 5x + 6 = 0(x+3) (x+2) = 0, donde tenemos que:

X1: (x+3) = 0, para que al multiplicarlo por (x + 2) el producto sea 0 x1= -3

X2: (x+2) = 0, para que al multiplicarlo por (x + 3) el producto sea 0 x2= -2

2. Completación de cuadrados

Se debe aislar el término independiente(C) de la ecuación de segundo grado, la cual debe ser

completa particular, quedando una igualdad con una parte binomial y la otra parte numérica. Si

tenemos una ecuación completa general, habrá que transformarla a completa particular.

Por lo tanto, para completar el cuadrado de binomio siempre debemos sumar y restar: (b ÷ 2)²

[ (a ± b)² = a² ± 2ab + b² ]

Ejemplo: Ejemplo: x² + 6x + 5 = 0 x² + 6x + 5 = 0

a = 1b = 6 c= 5 (término independiente)

x² + 6x + 5 = 0x² + 6x = -5 (aislación del término independiente)

x² + 6x = -5 / +9x² + 6x + 9 = -5 + 9(x+3)² = 4 / √X+3 = ± 2

X1: +2 - 3 = -1X2: -2 - 3 = -5

S= {-5,-1}

(b ÷ 2)² = (6/2)² = 3² = 9

3- Fórmula de ecuación de segundo grado

X =

X1 =

X2 =

Siendo la primera

solución X1 y la

segunda X2

Siendo la primera

solución X1 y la

segunda X2

Ejemplo: Ejemplo: x² + 5x + 6 = 0 x² + 5x + 6 = 0

x² + 5x + 6 = 0x² + 5x + 6 = 0

a = 1b = 5 c = 6

a = 1b = 5 c = 6

X1 =

X1 =

X1 =

X1 = -2

X2 =

X2 =

X2 =

X2 = -3

S = ( -2, -3 )

Aactividad n°2:

1.- Una de las raíces de la ecuación 3x² - 4x + 1 = 0 es:a)-1b)-1/3c)4/3d)1/3e)3

*Respuesta: d

2.- ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x² + 5x – 6 = 0?a)3 y 2b)3 y -2c)-2 y 3d)-1 y -6e)-6 y 1

*Respuesta: e

3.- ¿En cuál de las siguientes ecuaciones ambas soluciones son mayores que cero y menores que uno?a) 3x² - 7x + 3 = 0b) 3x² + 7x + 3 = 0c) 8x² - 6x – 1 = 0d) 8x² + 6x + 1 = 0 e) 8x² - 6x + 1 = 0

*Alternativa: e

4.- ¿Cuál es el cuadrado de la mayor de las soluciones de la ecuación x² - 2x - √5 x + 2 √5 = 0?a)5b)4c)√5d)-4e)-5

*Alternativa: a

Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado:

a)Propiedad de la suma:

X1 + X2 = +

X1 + X2

X1 + X2 = -b a

b) Propiedad del producto de raíces

X1 * X2 = *

X1 * X2 =

X1 * X2 =

X1 * X2 = c a

En general tenemos:x² + (X1 + X2)x + (X1 * X2) = 0

Actividad n°3:

1.- ¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación 5x² + 10x + 1 = 0?a)-1/5b)1/5c)-2d)2e)½

*Respuesta: d

2.- Una ecuación de segundo grado cuyas raíces o ceros, satisfacen las igualdades (X1 + X2) = -2 y (X1*X2) = 5 es:a)x² - 2x – 5 = 0b)x² -2x + 5 = 0c)x² + 2x + 5 = 0d)x² + 2x – 5 = 0e)x² - 5x – 2 = 0

*Respuesta: c

3.- ¿Qué valor debe tener K en la ecuación 3x² - 5kx – 2 = 0, para que una de sus raíces sea -2?a)0b)1c)-1d)-20e)-4

*Respuesta: c

2.- Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son 2 + √5 y 2 - √5 es:a) x² - 4x -1 = 0b) x² - 4x + 1 = 0c) x² - 5x + 1 = 0d) x² - 5x -1 = 0e) Ninguna de las anteriores

*Respuesta: a

Gráfica de la función de segundo grado: LA PARÁBOLALA PARÁBOLA

La función de segundo grado permite graficar una parábola. Se representa como: f(x) = ax² + bx + c Si analizamos sus coeficientes podemos bosquejar una gráfica. Es muy importante encontrar las raíces de la ecuación, analizando primeramente el discriminante para saber el tipo de raíces, y finalmente, debemos determinar el vértice de la parábola.

Análisis de la función:

1.- El coeficiente “a” indica la concavidad de la parábola:

2.- El coeficiente “b” indica la traslación o corrimiento de la parábola, pero analizado juntamente con el coeficiente “a”

a)Si a > 0 a > 0 y:

b > 0 parábola cóncava hacia arriba y trasladada hacia la izquierda

b = 0 parábola cóncava hacia arriba y centrada en el eje de las ordenadas.

b < 0 parábola cóncava hacia arriba, trasladada hacia la derecha

b) Si a < 0 a < 0 y:

b > 0 parábola cóncava hacia abajo y trasladada hacia la derecha

b = 0 parábola cóncava hacia abajo y centrada

b < 0 parábola cóncava hacia abajo y trasladada hacia la izquierda

en el eje de las ordenadas.

3- 3- El coeficiente “c” indica el lugar en que la parábola se intersecta con el eje de las ordenadas (y)

Actividad n°4

1.Con respecto a la función f(x) = 3x² + 13x – 10 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Su concavidad está orientada hacia arriba.II) El punto de intersección con el eje y es (o , -10)III) f(-5) = 0

a)Sólo Ib)Sólo I y IIc)Sólo I y IIId)Sólo II y IIIe)Todas ellas

*Respuesta: e

DISCRIMINANTE (▲):

Es la cantidad subrradical que corresponde a las raíces o ceros de la ecuación de segundo grado. El análisis del discriminante nos permite clasificar las raíces de la ecuación.

Si ▲ es mayor a cero, la parábola corta en dos puntos al eje X. Las raíces son reales y distintas.

Si ▲ es igual a cero, la parábola corta en un punto al eje X. Las raíces son reales e iguales.

Si ▲ es menor a cero, la parábola no corta al eje X. Las raíces no son reales, son complejas conjugadas o imaginarias puras.

El discriminante se determina por D = b² - 4ac

La parábola corta en dos puntos al

eje X

La parábola corta en un

punto al eje X

La parábola no corta al eje X

Actividad n°51. ¿ En cuál de las siguientes ecuaciones, las raíces son reales y

distintas?a) x² - x + 12 = 0b) x² +3x + 5 =0c) x² - 4x +3 =0d) x² +5x + 7 =0e) x² - 2x + 8 = 0

*Respuesta : c

2. Si el discriminante de la ecuación cuadrática 3x² - 4x + k = 0 es igual a 4, entonces k =

a) -5/3b) -1c) 0d) 1e) 5/3

*Respuesta : d

3. Si las raíces de la ecuación x² - 6x + t = 0 son reales e iguales, entonces t=

a) 9b) 3c) 0d) -3e) -9

*Respuesta: a

4. Las soluciones de la ecuación de segundo grado x²+bx+c= 0 serán siempre reales si:

a) b > 0 y c < 0b) b > 0 y c > 0c) B < 0 y c > 0d) B = 0 y c > 0e) Ninguna de las anteriores

*Respuesta: a

Cálculo del vértice de una parábola

( h, k)

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

Eje de simetría (h)

• El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y (ordenadas) , y que pasa por el vértice de la parábola.

Punto máximo y mínimo (k)Como sabemos, el coeficiente “a” (de la función

f(x)= ax² + bx + c) determina la concavidad de la parábola. Sin embargo, también es necesaria para determinar el si el

vértice es el punto máximo o mínimo de ella.

K =

a < o

a > o

Actividad n°6:

1. Dada la función f(x) = x² + 2x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?I) x = 1 es un cero de la funciónII) La ecuación del eje de simetría es x = -1III) El vértice de la parábola es (-1, -4)

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo I y IId) Sólo I y IIIe) Todas ellas*Respuesta: e

2 . De la función f(x) = x² - 8x + 15 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice?a) (1, -4)b) (3, -5)c) (4, -1)d) (15, -4)e) (15, -8)*Respuesta: c

3. Respecto a la parábola f(x) = x² - 9x + 14, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Sus ceros son X1 = 7 y X2 = 2 II) Intersecta al eje y en (0, 14) III) Su eje de simetría es x = 4a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo I y IId) Sólo I y IIIe) I, II y III*Respuesta: c

4. Dada la parábola f(x) = x² + bx + c . Se pueden determinar las coordenadas del vértice si se sabe que:

I) Intersecta al eje x en X1 = 2 y X2 = 3 II) b = -5 y c = 1 – b

a) (1) por sí solab) (2) por sí solac) Ambas Juntas, (1) y (2)d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)e) Se requiere información*Respuesta: b

Luego de haber aprendido teóricamente lo que era una parábola jamás Luego de haber aprendido teóricamente lo que era una parábola jamás imaginaríamos la importancia de éstas. Aprendimos que vivimos día a día imaginaríamos la importancia de éstas. Aprendimos que vivimos día a día con ellas, muchas veces sin darnos cuenta. Sin ellas tal vez no podríamos ver con ellas, muchas veces sin darnos cuenta. Sin ellas tal vez no podríamos ver tv, no conseguiríamos esa descarga de adrenalina en una montaña rusa y tv, no conseguiríamos esa descarga de adrenalina en una montaña rusa y no existirán tantos avances en la ciencia. Es sorprendente como una simple no existirán tantos avances en la ciencia. Es sorprendente como una simple ecuación ; unos simples números escritos pueden llegar a ser parte de algo ecuación ; unos simples números escritos pueden llegar a ser parte de algo cada vez más grande. Desde ser unas simples curvas y líneas en un plano cada vez más grande. Desde ser unas simples curvas y líneas en un plano hasta llegar a ser enormes obras de ingeniería y arquitectura. hasta llegar a ser enormes obras de ingeniería y arquitectura.

Aprendimos con este trabajo a mirar más detenidamente lo que nos rodea. Aprendimos con este trabajo a mirar más detenidamente lo que nos rodea. Las parábolas poseen un gran contenido estético y son muy llamativas por Las parábolas poseen un gran contenido estético y son muy llamativas por ser simétricas. ser simétricas.

También nos dimos cuenta que no sólo existen figuras concretas con formas También nos dimos cuenta que no sólo existen figuras concretas con formas de parábolas, sino que existen diferentes movimientos que forman de parábolas, sino que existen diferentes movimientos que forman parábolas, como por ejemplo: la técnica de lanzamiento de dedos en parábolas, como por ejemplo: la técnica de lanzamiento de dedos en voleibol para dar pases, las canastas utilizadas en básquetbol para encestar, voleibol para dar pases, las canastas utilizadas en básquetbol para encestar, movimientos con cintas y cuerdas en gimnasia rítmica, etc. movimientos con cintas y cuerdas en gimnasia rítmica, etc.

Lo que aprendemos no lo aprendemos porque si; todo esto tendrá una Lo que aprendemos no lo aprendemos porque si; todo esto tendrá una finalidad si lo queremos, podremos hacer grandes cosas con el finalidad si lo queremos, podremos hacer grandes cosas con el conocimiento adquirido y una disposición a hacer algo mejor.conocimiento adquirido y una disposición a hacer algo mejor.

ConclusiónConclusión

Por s u a t en c i ón , mucha s g rac ia s