Reiman AcuñaJorge Chinchilla

Estadística y Probabilidadpara asesores de matemática

Escuela de Matemática

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Reiman Y. Acuña & Jorge L. Chinchilla.

Compilación

Estadística y Probabilidadpara Asesores de Matemática

setiembre 2014

Índice general

1 Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Medidas de Tendencia Central 51.1.1 La media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Media ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 La media para frecuencias simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5 La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.6 Media, mediana y moda de subgrupos combinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Comparación de las Medidas de Tendencia Central 11

1.3 Medidas de variabilidad 151.3.1 Recorrido o amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Desviación estándar y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Coeficiente de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 La enseñanza de la probabilidad en secundaria 232.1.1 El azar: situaciones aleatorias y deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Introducción 25

2.3 La ley de los Grandes Números 29

2.4 Axiomas de Probabilidad 29

Bibliografía 30

1 — Estadística

1.1 Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central se utilizan con bastante frecuencia para resumir un conjunto decantidades o datos numéricos a fin de describir los datos cuantitativos que los forman.

En nuestra vida diaria, constantemente nos encontramos de manera más común con un concepto esta-dístico, el “promedio” . Continuamente estamos expuestos a reportes de promedios: salario promedio,nota promedio, peso promedio,hasta gol promedio. Sin embargo el promedio es una idea ambigua.Cuando se explora un conjunto desordenado de calificaciones de un examen de matemáticas, porejemplo, para ver si su calificación es alta o baja o por encima o por debajo del promedio, estábuscando información estadística relevante que le permitirá interpretar y evaluar si desempeño conmás precisión y significado. Las medidas de tendencia central son también frecuentemente usadaspara comparar un grupo de datos con otro, por ejemplo: el promedio de ventas obtenido por un grupode vendedores de una zona comparado con el promedio de ventas otro grupo de vendedores de otrazona, el promedio de reclamos de clientes de una sucursal, comparado con el promedio de reclamosde otra sucursal. Otras características generales de las medidas de tendencia central son las siguientes:

Características

1 Permiten apreciar qué tanto se parecen lo grupos entre sí.

2 Son valores que se calculan para un grupo de datos y que se utiliza para describirlos dealguna manera.

3 Normalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores incluidos enel grupo.

6 Estadística

4 Es el valor más representativo o típico de un grupo de datos, no es el valor más pequeñoo el más grande, sino un valor que está en algún punto intermedio del grupo, másexactamente, se acerca a estar al centro de todos los valores, por ello se les llamamedidas de tendencia central.

5 Se utilizan como mecanismo para resumir una característica de un grupo de datos enparticular.

6 También para comparar un grupo de datos contra otro.

Sin embargo, una medida de tendencia central o localización media de los conjuntos de datos estálejos y por mucho del tipo de índice estadístico más ampliamente utilizado.

Las dos medidas de posición más usadas son la media aritmética, o promedio, y la mediana; en menormedida se usa la moda. Los cálculos se pueden hacer para datos simples, para datos ponderados opara datos agrupados en clases.

1.1.1 La media

La media, llamada también media aritmética, es la medida de tendencia central conocida popular-mente como “promedio”. Se define como la suma de todos esos valores dividida por el número deellos. La media aritmética puede ser simple o ponderada.

Definición 1.1 (Media aritmética simple)Sean X1,X2,X3, . . . ,Xn−1,Xn los n valores observados para una variable cuantitativa X . Enton-ces la media aritmética o promedio de la variable X , que se denota con una barra encima de X ,es:

X =X1 +X2 +X3 + . . .+Xn−1 +Xn

nEn notación de sumatoria, la media aritmética se escribe:

X =1n

n

∑i=1

Xi

1.1

Suponga que se tienen las notas obtenidas por un grupo de 20 estudiantes en un examenuniversitario y que sus valores (ordenados de menor a mayor) son: 15, 45, 47, 53, 58, 58, 60,62, 67, 74, 75, 78, 80, 80, 81, 85, 85, 85, 90, 92

1.1 Medidas de Tendencia Central 7

Entonces la media es:

X =15+45+47+53+58+58+60+ · · ·+75+78+80+80+81+85+85+85+90+92

20

es decir,

X =137020

Por lo tanto, la nota promedio es 68,50.

1.1.2 Media ponderadaA veces interesa dar diferentes pesos o ponderaciones a los diferentes valores de la variable, deacuerdo con su importancia. Ante esto, tenemos la siguiente definición

Definición 1.2 (Media ponderada simple)Sean X1,X2,X3, . . . ,Xn−1,Xn los n valores observados para una variable cuantitativa X,donde los datos están ponderados por los p1, p2, p3, . . . , pn, es decir, estos valores pi dan laimportancia relativa que tiene cada unidad estadística en el estudio.

Entonces la media ponderada de la variable X es :

X =p1X1 + p2X2 + p3X3 + . . .+ pnXn

p1 + p2 + . . .+ pn

En notación de sumatoria, la media ponderada es:

X =∑

ni=1 piXi

∑ni=1 pi

1.2

Supóngase que un estudiante tiene las siguientes notas en cuatro cursos matriculados uncuatrimestre: 67, 82, 90, 71. El número de créditos que vale cada curso es, respectivamente: 3,2, 2, 4. Entonces la media ponderada de las notas será:

X =(3×67)+(3×82)+(2×90)+(4×71)

3+2+2+4=

82911

= 75,36

1.1.3 La media para frecuencias simplesCuando los datos recolectados han sido organizados en una tabla de distribución de frecuenciassimples, la media, para poblaciones como para muestras, se puede calcular por medio de la fórmula

x =∑ f x

n

8 Estadística

en donde

x = media o promedio

∑ f x = suma de las frecuencias

por su correspondiente

dato nominal.

n = suma de todas las frecuen-

cias (número de datos reco-

lectados)

Calificacionesx f0 21 32 33 64 85 96 177 228 109 610 5

Total 91

1.3

Las calificaciones de Matemáticas de los grupos ”A” y ”B” se muestran en la tabla de laderecha. Calcular el promedio (la media) obtenido por esos grupos.

Solución: Debe añadirse a la tabla original una columna encabezada por f x en donde se anotaránlos resultados correspondientes a las multiplicaciones de cada valor nominal x por su frecuencia frespectiva.

Por ejemplo, para la primera fila de la tabla: f x = 2×0 = 0La tabla completa con las tres columnasqueda como se muestra a la derecha. Lasuma de los valores de la columna f x es544, de manera que utilizando la fórmu-la para el promedio,recordando que n esla suma de todas las f , se obtiene:

x =54491

x = 5,97

Calificacionesx f f x0 2 01 3 32 3 63 6 184 8 325 9 456 17 1027 22 1548 10 809 6 54

10 5 50Total 91 544

1.1 Medidas de Tendencia Central 9

1.1.4 La mediana

La mediana es el valor que esta en el “centro” de todos los valores, si éstos se ordenan. Es decir, esun valor tal que no más de la mitad de las observaciones son mayores que él y que no más de lamitad son menores que él. La mediana se denota Me. Esto es

Definición 1.3 (Mediana)Supóngase que se tienen las observaciones X X1,X2,X3, . . . ,Xn−1,Xn de una variablecuantitativa y que estas observaciones están ordenadas. Entonces el valor de la medianadependerá de si el número n de datos es par o impar:

I Si n es impar, entonces la mediana se encuentra en la posición (n+ 1)÷ 2, que esexactamente la posición que separa los datos en dos grupos de igual cantidad:

Me =X(n+1)

2

II Si n es par, entonces la mediana estará entre la posición n/2 y la posición n/2+1, paraque los datos se dividan en dos grupos de n/2 valores cada uno.Es usual entonces tomar la mediana como la media aritmética entre los datos Xn/2+Xn/2+1, es decir:

Me = (Xn/2+Xn/2+1)÷2

(Observe que ambos valores pueden coincidir).

1.4

Supóngase que se tienen los siguientes datos ordenados de una variable cuantitativa:−3,−3,−2,0,0,1, 3 ,3,5,8,8,10,10. Como hay n = 13 datos, que es un número impar,entonces la mediana está en la posición (n+1)÷2 = (13+1)÷2 = 7 , es decir, que Me = 3.Esto significa que el 50% de los datos son mayores o iguales que 3 y el otro 50% de los datoson menores que 3. Nótese que a partir de la fórmula se obtiene la posición de la mediana y noel valor de ésta.

1.5

Consideremos las notas obtenidas por un grupo de 20 estudiantes universitarios:

15,45,47,53,58,58,60,62,67, 74 , 75 ,78,80,80,81,85,85,85,90,92

Como el número de datos es 20, que es par, entonces la mediana será la media aritmética entrelos datos que están en la posición n/2 = 10 y la posición n/2+1 = 11. Estos datos son: 74 y75. Entonces la mediana es:

10 Estadística

Me = (74+75)÷2 = 74,5

1.1.5 La moda

La moda es la medida de posición más simple de definir:

Definición 1.4 (Moda)dada una serie de observaciones para una variable cuantitativa, entonces la moda, denotadaMO, es el valor más frecuente (si existe), o los valores más frecuentes (si son varios).

Si un grupo de datos presenta una sola moda, diremos que es unimodal. Si presenta dos modas,diremos que es bimodal.

La moda es la medida de posición que menos se usa por una sencilla razón: en muchas ocasiones noexiste. Peor aún, cuando existe, frecuentemente no es única, sino que existen muchas modas parauna misma serie de datos. Por lo tanto, advertimos al estudiante acerca de su uso y su interpretación.

1.6

Consideremos de nuevo la siguiente serie de datos, correspondiente a las notas de un grupo deestudiantes:

15,45,47,53,58,58,60,62,67,74,75,78,80,80,81,85,85,85,90,92

Entonces la moda es 85, que tiene frecuencia 3. O sea, que la nota más frecuente es 85.

1.7

Supóngase que se tienen observadas las siguientes estaturas de 10 personas, en centímetros:

168,162,181,180,169,171,175,159,173,160

Como no hay ningún valor que sea más frecuente que los demás, entonces la moda no existe.

1.8

En una pequeña empresa familiar, se tienen los siguientes salarios mensuales de los empleados,en miles de colones:

30,35,35,35,40,90,120,120,120,150

Entonces hay dos modas: 35 y 120, ambas con frecuencia 3.

1.2 Comparación de las Medidas de Tendencia Central 11

1.1.6 Media, mediana y moda de subgrupos combinados

Suponga que s e conocen la media, la mediana y la moda de calificaciones de examen para cada unade tres escuelas por separado (subgrupos), pero deseamos encontrar las tres medidas de tendenciacentral para el grupo compuesto (es decir, las tres escuelas combinadas en un grupo grande). Das lasmedidas de los tres subgrupos y sus respectivas n, podemos calcular la media compuesta (llamadamedia mayor simbolizada por X . ), mediante la ecuación:

X .=∑X1 +∑X2 + . . .+∑X j

n1 +n2 + . . .n j

N Advertencia:

A La media mayor no sólo es la media de las medias de los subgrupos a menos que lostamaños de las muestras de los subgrupos sean idénticas. La media mayor (X) de gruposmedida diferente se calcula dividiendo la suma de las sumas de los subgrupos entre lasuma de las n del grupo, como esta implícito en la ecuación anterior.

B Las modas o medianas del conjunto de datos compuesto no puede calcularse a partir delas modas o medianas de los subgrupos. Para la moda y mediana , debemos tener losdatos originales a la mano y formar una distribución de frecuencias combinada simpleantes de que la moda o la mediana de los datos agregados pueda encontrarse.

C Con muestras de subgrupos pequeños, la media, moda y mediana del grupo compuestoson simples de determinar. Si embargo, en el caso de conjuntos grandes de datos queestán involucrados, solo la media mayor es razonablemente simple de calcular. Sólo lamedia se define algebraicamente por la ecuación

X = ∑X/n

.

1.2 Comparación de las Medidas de Tendencia Central

El propósito de las medidas de posición ( tendencia central) es resumir o representar un conjuntode datos. Dichas medidas se complementan y en conjunto, permiten una mejor descripción de lascaracterísticas de la distribución de los datos. El problema reside en escoger cuál de las medidasrepresenta mejor dicho conjunto de datos, para ello es necesario tener una idea acerca de la forma desu distribución.

Las ventajas y limitaciones de usar la media, la moda y la mediana para describir un conjunto dedatos depende estrictamente de la forma (tipo) de la distribución de datos. Siempre que se pueda usar,en general se prefiere la media para describir la tendencia central, aunque algunas distribuciones sedescriben mejor por medio de la moda y la mediana. A continuación evaluaremos la aplicabilidad denuestros tres “promedios” a diferentes tipos de distribuciones.

12 Estadística

Comparaciones

1 En una distribución normal (simétrica), la media, moda y mediana tienen un valoridéntico (Figura 1). Esto en realidad es evidente, dado que una distribución normal esperfectamente simétrica, y la curva tiene un sólo punto máximo (moda) que también seencuentra en el centro. Así, la media debe ser nuestra medida preferida de tendenciacentral para los conjuntos de datos que se distribuyen normalmente, puesto que es másfácil de calcular y de usar en forma matemática.

Figura 1

2 Una distribución bimodal tiene dos puntos máximos (Figura 2). Esto hace que la mediay la mediana no sean de utilidad, puesto que sus valores estarán en algún lugar entre losdos puntos máximos y distorsionarán enormemente la descripción de la distribución.La moda, y observe que en este caso hay dos modas, pasa a ser la única medida útilde tendencia central. Sin embargo, una distribución bimodal es poco común y engeneral podemos decir que consta de dos distribuciones que se pueden analizar enforma independiente.

Si hay mucha asimetría, se debe evitar usar la media, ya que ésta es muy sen-sible a la presencia de valores extremos.

3 Cuando se describen distribuciones asimétricas (sesgadas) positivas o negativas, lamedia no es la mejor medida de tendencia central disponible. Mientras mayor sea laasimetría o sesgo de los datos, mayor utilidad tendrá la mediana (y más engañosaserá la media), porque la mediana estará más cerca del “valor promedio” real de lasobservaciones. Por ejemplo, en el caso de una distribución asimétrica positiva, la mediase encuentra “inflada” por la minoría de las observaciones que tienen un valor mayor.Esto sucede, por ejemplo, con el ingreso percápita, puesto que las distribuciones delingreso son asimétricas positivas. En las siguientes figuras se muestran las posicionesrelativas de la media, la moda y la mediana en cuatro distribuciones asimétricas.

1.2 Comparación de las Medidas de Tendencia Central 13

Figura 2

Observe que cuando la distribución es asimétrica “positiva”, (es decir, el extremo máslargo de la distribución apunta hacia el este o hacia su derecha), la moda está a laizquierda de la mediana, y a su vez, la mediana está a la izquierda del promedio. Sucedelo contrario cuando la distribución es asimétrica negativa o sesgada negativamente.Esto nos lleva a una consideración final: si una distribución es asimétrica, es decir,notoriamente sesgada, la mediana será mejor que la media (promedio aritmético)para describir la tendencia central de la distribución de los datos. Observe las figurasanteriores. Note que en todas las distribuciones asimétricas, la mediana efectivamentese acerca más que la media al valor “promedio” o “normal” de las observaciones o, enotras palabras, refleja mejor la existencia de un sesgo en los datos.

Para elegir una medida de posición en un grupo de datos, las siguientes consideraciones pueden serde utilidad:

Consideraciones

1 La media de un conjunto de datos es la medida que conlleva mayores cálculosaritméticos y su valor está afectado por los valores individuales de todos los datos,mientras que la mediana y la moda pueden no ser afectadas por todos los valores. Porejemplo, véase el siguiente conjunto de datos, en el que el último valor es aumentado:

14 Estadística

Datos Media Mediana Moda1,2,4,4,4,6,7,8 36÷8 = 4,5 4 4

1,2,4,4,4,6,7,26 54÷8 = 6,75 4 4

Puede observarse que la media cambia (es sensible al valor extremo 26), mientras quela moda y la mediana permanecen iguales.

2 En grupos pequeños, la moda puede ser muy inestable o puede no existir.

3 La mediana no se afecta por el tamaño de los valores por encima o por debajo de ella.

4 La media es influida por el tamaño de cada valor en el grupo de datos.

5 Algunos grupos de datos simplemente no manifiestan una posición en formasignificativa, siendo en este caso engañoso calcular una medida de posición.

6 La posición de grupos de datos con valores extremos se mide probablemente mejor porla mediana, si las observaciones son unimodales. Sin embargo, si lo que se quiere es quela medida utilizada refleje el efecto de los valores extremos, entonces es convenienteutilizar la media.

7 La media aritmética es muy útil para estimar la suma total de las observaciones si seconoce el número de observaciones.

Ejercicios 1.1

1.1 Los 16 ejecutivos de una empresa ganaron los siguientes salarios para un mes determina-do:

170000 170000 170000 170000 185000 190000205000 215000 250000 250000 280000 280000190000 200000 300000 300000

a.) Calcule la media, la mediana y la moda e interprételas desde el punto de vista delproblema

b.) ¿Qué tipo de asimetría tiene la distribución? ¿Por qué?1.2 En un curso se han hecho 6 exámenes cortos (quices), y tres estudiantes obtuvieron las

siguientes notas:

Estudiantes NotasA 90 85 83 12 75 90B 77 78 82 83 77 85C 88 72 10 90 72 85

1.3 Medidas de variabilidad 15

a.) Calcule todas las medidas de posición.b.) Si usted fuera el estudiante A, ¿qué medida de posición escogería para tener la nota

máxima?c.) Si usted fuera el estudiante B, ¿qué medida de posición escogería?d.) Si usted fuera el estudiante C, ¿qué medida de posición escogería?

1.3 Medidas de variabilidad

En el apartado anterior se estudiaron las medidas de tendencia central, que son un indicador decómo los datos se agrupan o concentran en una parte central del conjunto. Sin embargo, para unainformación completa de dicho conjunto de datos hace falta saber el comportamiento opuesto, esdecir, de qué manera se dispersan o se alejan algunos datos de esa parte central. Para tener una ideade ello, es necesario medir el grado de variabilidad o dispersión de los datos.

Las medidas de variabilidad, también llamadas medidas de dispersión, miden qué tan concentradosestá los datos de una variable cuantitativa alrededor de la medida de posición. Es decir, la variabilidado dispersión nos indica si esas puntuaciones o valores están próximas entre sí o si por el contrarioestán o muy dispersas.Si el valor de la medida de variabilidad es pequeño, entonces los datos se parecen mucho entre sí. Enel caso contrario, hay muchos datos diferentes o están muy dispersos.

Hay varias razones para analizar la variabilidad en una serie de datos. Primero, al aplicar unamedida de variabilidad podemos evaluar la medida de tendencia central utilizada. Una medida devariabilidad pequeña indica que los datos están agrupados muy cerca, digamos, de la media. Lamedia, por lo tanto es considerada bastante representativa de la serie de datos. Inversamente, unagran medida de variabilidad indica que la media no es muy representativa de los datos.

Una segunda razón para estudiar la variabilidad de una serie de datos es para comparar como estánesparcidos los datos en dos o más distribuciones.

Por ejemplo, al tomar las temperaturas en una región “A” durante diferentes épocas del año y adistintas horas del día, se registraron los datos que se muestran en la columna “A” ; por su parte, lasde otra región diferente “B”, son las de la columna “B” .

16 Estadística

A B19,3◦ −3◦

20◦ 0◦

20,2◦ 6◦

20,4◦ 22◦

21◦ 31,5◦

21,3◦ 34◦

21,3◦ 36◦

22◦ 39◦

Promedio 20,68◦ 20,68◦

Al obtener la media, en ambos casos resultó que la temperatura promedio fue de 20,68, cuya inter-pretación podría ser que en torno, al rededor o cerca a 20,68 fluctúan los demás valores.

Como puede verse, eso es bastante aproximado para los datos de la columna “A”, no así para los dela “B”. Los datos más alejados en “A” son 19.3º y 22º, que realmente están próximos a 20.68º; encambio, los datos más alejados en “B” son -3º y 39º, que están muy distantes del promedio.

¿Por qué si en ambos casos se tiene igual promedio, no se puede afirmar lo mismo de los valores queestán a su alrededor?. La respuesta está en que no se ha tomado en cuenta la dispersión, es decir, lamanera en que se disgregan los datos respecto de la media, pues en “A” casi no se dispersan mientrasque en “B” sí, .Cabría decir que el conjunto de datos “A” es bastante compacto mientras que el “B”es muy dilatado.

Las medidas de variabilidad más usadas son la amplitud o recorrido, la desviación estándar, lavarianza y el coeficiente de variación. Al igual que las medidas de posición pueden calcularse paradatos simples o datos agrupados en clases.

1.3.1 Recorrido o amplitud

Definición 1.5 (Recorrido o Amplitud)

El recorrido o amplitud de una serie de datos es la diferencia entre el valor máximo (M) y elvalor mínimo (m) de esa serie. También se conoce como rango y se denota como A.Luego,

A = M−m

Cuanto mayor sea la amplitud, mayor será la dispersión de los datos de una distribución. A pesarde lo simple de su cálculo, el recorrido no es muy usado debido a que presenta la dificultad de quesu valor depende de los valores extremos del conjunto de observaciones a que se refiere. En efecto,como sólo se utilizan dos observaciones para su cálculo, puede suceder que todos los valores delas observaciones sean muy homogéneos, excepto los dos extremos, el mayor y el menor, que sonprecisamente los dos casos que se usan para calcular el recorrido. Por otra parte, la introducciónde nuevas observaciones puede afectar su valor ya que entre las nuevas observaciones puede habervalores mayores que M o valores menores que m, por lo que el valor de A se aumentaría.

1.3 Medidas de variabilidad 17

En los casos de las temperaturas del ejemplo anterior, el rango de “A” esR = 22−19,3 = 2,7, encambio, el de “B” es B = 39− (−3) = 42.

1.3.2 Desviación estándar y varianza

Definición 1.6 (Desviación Estándar)La desviación estándar es el promedio de desviación o diferencia de las observaciones conrespecto a la media aritmética. Se denota como s. Cuanto mayor es la dispersión de los datosalrededor de la media aritmética, mayor es la desviación estándar.

La desviación estándar es:

s =

√∑

ni=1(Xi−X)2

n−1

donde : Xi son los datos

X es la media

n número total de datos

la fórmula anterior se puede simplificar como:

s =

√1

n−1

n

∑i=1

X2i −

nn−1

(X)2

Definición 1.7 (Varianza)La varianza es una medida muy importante para la inferencia estadística, es el cuadrado de ladesviación estándar y se denota s2. O, lo que es lo mismo, la desviación estándar es la raízcuadrada positiva de la varianza.

1.9

Consideremos el ejemplo de las notas obtenidas por un grupo de 20 estudiantes en un examenuniversitario:

15,45,47,53,58,58,60,62,67,74,75,78,80,80,81,85,85,85,90,92

Teníamos que la media de estos datos es 68,50. Para calcular la varianza, primero calculamos

18 Estadística

la suma de los cuadrados de los datos:

20

∑i=1

= 152 +452 +472 + . . .+902 +922 = 100714

Entonces la varianza (de la muestra) es:

s2 =100714

19− 20

19(68,5)2 = 361,53

Luego, la desviación estándar (de la muestra) es:

s =√

361,53 = 19,01

La desviación estándar se interpreta como “cuánto se desvía -en promedio- con respecto a la mediaaritmética, un conjunto de observaciones”. En el ejemplo, las notas de los estudiantes se desvían-en promedio-en 19.01 puntos con respecto a la media aritmética. El lector debe observar quelas unidades de medida de la varianza son el cuadrado de las unidades de medida de la variableobservada, por lo que su interpretación práctica debe ser cuidadosa. Para una comparación con lamedia o con los datos, debe usarse la desviación estándar.

1.10

Tú y tus amigos han medido las alturas de tus perros (en milímetros):

Figura 3

Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.

Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.

X =600+470+170+430+300

5= 394

así que la altura media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico:

1.3 Medidas de variabilidad 19

Figura 4

Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:

Figura 5

Para calcular la varianza:

s2 =(206)2 +(76)2 +(−224)2 +362 +(−94)2

4= 27130

Así que la varianza es 21 130.

Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:s =√

21130 = 145,36 ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviaciónestándar (145mm) de la media:

Figura 6

Así que usando la desviación estándar tenemos una manera “estándar” de saber qué es normal,o extra grande o extra pequeño.

Los Rottweilers son perros grandes. Y los Dachsunds son un poco menudos...

Nota: ¿por qué al cuadrado?

20 Estadística

Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar quelos números negativos reduzcan la varianza)

1.3.3 Coeficiente de variación

Las medidas de variabilidad que se han mencionado están afectadas por la unidad de medida enque se expresa la variable. Con frecuencia interesa comparar dos o más series de observaciones encuanto a su dispersión y para ello se requiere eliminar el efecto de las unidades de medida y de lamagnitud general de los datos que se consideran.

Definición 1.8El coeficiente de variación mide la variabilidad porcentual o relativa de un conjunto de datosrespecto a su media. Se denota CV :

CV =sX×100

El coeficiente de variación sirve para comparar la variabilidad de diferentes conjuntos de datos, y esparticularmente útil cuando:

Utilidad

1 Los datos están en unidades diferentes.

2 Los datos están en las mismas unidades, pero las medias son muy diferentes.

1.11

Dos empresas de la industria electrónica, A y B, tienen en el mercado de valores accionescomunes. El precio medio de cierre en el mercado de valores durante un mes fue, para la acciónA, de g15000, con desviación estándar de g500. Para la acción B, el precio medio fue de g5000,con desviación estándar de g300. Haciendo una comparación absoluta, resultó ser superiorla variabilidad en el precio de la acción A debido a que muestra una mayor desviación estándar.

Pero, con respecto al nivel de precios, deben compararse los respectivos coeficientes devariación:

CV (A) =sA

XA×100 = (500/15000)×100 = 3%

CV (B) =sB

XB×100 = (300/5000)×100 = 6%

Por ello, puede concluirse que el precio de la acción B ha sido casi 2 veces más variable que

1.3 Medidas de variabilidad 21

el precio de la acción A (con respecto al precio medio para cada una de las dos acciones).

Ejercicios 1.2

1.3 Calcule la desviación estándar para los datos que se refieren a los salarios de 16 ejecutivosde una empresa del ejemplo ya realizado.1.4 Considere las notas de tres estudiantes del ejercicio visto en este documento. ¿De cuál

de los tres estudiantes podría decirse que tuvo notas más homogéneas?1.5 En una empresa, una muestra de 20 trabajadores calificados tienen un salario mensual

medio de g55000, con una desviación estándar de g67970. En la misma empresa, el salariomensual medio de una muestra de supervisores es de g146150, con una desviación estándarde g91040. Compare la variabilidad de los salarios de los trabajadores de la empresa.

2 — Probabilidad

2.1 La enseñanza de la probabilidad en secundaria

De acuerdo con el enfoque propuesto por el Ministerio de Educación Pública, se enfatiza la ense-ñanza basada en la experimentación y desarrollo de temas con fuerte apego a la contextualizacióndel educando, por lo que la labor del docente no debe ser vista como el de “resolver” todos losproblemas y ejercicios planteados en el salón de clase.

De acuerdo con Batanero(2013), la enseñanza de la probabilidad en el nivel no universitario debe deestar marcado bajo una metodolía experimental, en donde se plantea a los estudiantes situacionesprobabilísticas bajo contextos prácticos y cercanos a su entorno. Se espera que ellos anoten lo quesucede a medida que realizan la actividad e ir descubriendo progresivamente que puede saberse“cuando un suceso es más probable” y “cuánto más probable es”.

Esta autora señala que no debe abordarse el conocimiento de las fórmulas, ni que los estudiantesrealicen cálculos probabilísticos desvinculados de la realidad, al contrario, se busca que ellos explo-ren sucesos y situaciones acordes a su entorno.

La propuesta del Ministerio de Educación procura que los estudiantes logren mediante actividadesconcretas alcanzar ciertas nociones básicas de probabilidad,mediante orientaciones y actividadessobre su utilidad en diversos contextos (no sólo juegos de azar), posibilitando el desarrollo deproblemas interesantes respecto a la toma de decisión y previsión, relacionados con problemas a losque tendrán que enfrentarse a lo largo de la vida.

En este sentido, Batanero(2013) nos recuerda tener presente que el azar está en la vida cotidianade muchos contextos en los que aparecen nociones de incertidumbre, riesgo y probabilidad. Haysituaciones en la vida diaria en las que no podemos saber qué resultado va a salir, pero sí sabemoslos posibles resultados; son situaciones que dependen del azar.

24 Probabilidad

Al lanzar una moneda al aire no sabemos si saldrá escudo o corona, pero sí conocemos los posiblesresultados. Cuando lanzamos un dado no sabemos el número que saldrá, pero sabemos que hay seisposibles resultados. El próximo partido de la Selección Nacional, no sabemos el marcador, pero sabe-mos que hay tres posibles resultados, así como el pronóstico del tiempo, diagnóstico médico, estudiode la posibilidad de tomar un seguro de vida o efectuar una inversión, evaluación de un estudiante, etc.

Así pues, consideramos importante que antes de iniciar este tema en nuestros salones de clase enlos distintos colegios del país, es necesario dedicar un tiempo a investigar aspectos relacionadoscon el tema en estudio, que puedan resultar motivadores tanto para nosotros mismos como para losalumnos, de manera que logremos desarrollar el interés y la predisposición a la exploración en eltema de probabilidad.

Sin embargo, debemos señalar que la Probabilidad por su parte, además de ser una disciplina íntima-mente ligada a la Estadística ya que justifica su desarrollo formal y ha aumentado el alcance de susaplicaciones, tiene la enorme cualidad, en sí misma, de ser capaz de representar adecuadamente larealidad de muchos procesos sociales y naturales. Su conocimiento es fundamental para la formaciónde un individuo capaz de comprender el mundo en que vivimos.

A continuación algunos aspectos importantes.....

2.1.1 El azar: situaciones aleatorias y deterministas

“¿Qué sentido tiene todo esto, Watson? -dijo Holmes solemnemente al concluir lalectura-. ¿Qué objetivo persigue este círculo vicioso de sufrimiento, violencia y miedo?Tiene que existir alguna finalidad, pues de lo contrario significaría que el universo serige por el azar, lo cual es inconcebible. Pero ¿cuál puede ser esa finalidad? He aquí eleterno gran problema que la razón humana se encuentra tan incapaz como siempre deresolver”

La Caja de cartón.Las aventuras imprescindibles de Sherlock Holmes.

Dacunha, citado por Jiménes et al (s.f.) señala en su libro “Chemins de L‘Aleatorie. Le hasardet le risque dans la société moderne.”, que el azar ha sido un recurso que han utilizado algunassociedades para resolver diversas situaciones y que en nuestra época hasta se ha intentado utilizar enla asignación de empleos.

De hecho, argumenta que hay que aprender a dudar, a reconocer la incertidumbre, a saber que ella esparte del ejercicio de la ciudadanía. Los ciudadanos deberían integrar a su juicio la dimensión delo aleatorio, cuando se trata tanto de su responsabilidad individual como de la responsabilidad delestado.En este sentido, Pérez et al, (2000) indica que: “La probabilidad tiene la enorme cualidad derepresentar adecuadamente la realidad de muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su

2.2 Introducción 25

conocimiento permite comprender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos” Es conocidoque un papel fundamental que se le atribuye a la matemática sirve para modelar fenómenos que sonparte de nuestra vida cotidiana, siendo para ello un instrumento esencial en diversas ciencias comola física, química, estadística, entre otras, así como su rol en los nuevos sistemas de comunicación ylenguajes de programación.

Sin embargo, en ese proceso de modelar los fenómenos de nuestro entorno, nos encontramoscon situaciones que obedecen a un modelo determinista y otras que en cambio obedecen a un modeloaleatorio.

A los fenómenos que de antemano se conoce su resultado se les llama deterministas.

2.1

1 Si se lanza una pelota hacia arriba, sabemos que tendrá que caer.

2 Si se deja un trozo de hielo en el agua, sabemos que se derretirá.

3 Si el agua se calienta a 100° C sabemos que se evaporará.

4 El décimo dígito de la sucesión binaria 101101110... Resultado: es un 1.

Por su parte, se les llama aleatorios a los fenómenos que tienen varios resultados posibles y no sepuede asegurar cuál de ellos ocurrirá.

2.2

1 Al lanzar al aire una moneda puede caer escudo o corona.2 Al lanzar un dado puede caer 1, 2, 3, 4, 5 o 6.3 El último dígito del número que saldrá premiado en la lotería puede ser 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9 y 0.

Otros ejemplos de fenómenos aleatorios son: los ganadores de los próximos juegos olímpicos, elmarcador del próximo juego de la selección costarricense de futbol.

2.2 Introducción

Al considerar la probabilidad, tratamos con diversos procedimientos, como por ejemplo, realizar unaprueba de polígrafo, arrojar un dado, contestar una pregunta de opción múltiple en un examen, o sersometido a una prueba de consumo de drogas; que de una u otra forma producen resultados. La idea,bajo este aspecto, es desarrollar una buena comprensión de los valores de probabilidad que permitenrechazar las explicaciones basadas en probabilidades bajas de un evento y generar inferencias a partir

26 Probabilidad

de los sucesos cuando un patrón se percibe en la realidad. De esta forma tenemos los siguientesconceptos

Definición 2.1 (Evento)Un evento es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento.

Definición 2.2 (Evento Simple)Un evento simple es un resultado o un evento que ya no puede desglosarse en componentesmás simples

Definición 2.3 (Espacio Muestral)El espacio muestral de un procedimiento se compone de los eventos simples posibles. Es decir,el espacio muestral está formado por todos los resultados que ya no pueden desglosarse más.

Veamos un ejemplo donde se implementas estas definiciones

2.3

En la siguiente presentación se utiliza la f para indicar que se rata de un niña y una m paraindicar que se trata de un varón.

Procedimiento Ejemplo de Evento Espacio muestral completo

Un solo nacimiento Una niña (eventosimple)

{ f ,m}

3 nacimientos 2 niñas y un niñose pueden represen-tar por f f m, f m f ,m f f , los cuales soneventos simples.

{ f f f , f f m, f m f ,f mm,m f f ,m f m,

mm f ,mmm}

Cuadro 2.1: Clarificación de las definiciones

Con un solo nacimiento, el hecho de que se trate de una niña es un evento simple, porque nose puede desglosar en eventos más simples. Con tres nacimientos, el evento de “2 niñas y unniño” no es un evento simple, porque se puede desglosar en eventos más simples. Con tresnacimientos el espacio muestral consiste en los 8 eventos simples mencionados antes.

Para iniciar, presentamos una lista de algunas notaciones básicas, y luego explicaremos tres formasdiferentes para calcular la probabilidad de un evento.

2.2 Introducción 27

Notación de probabilidades

1 P denota una probabilidad.2 A,B y C denotan eventos específicos.3 P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento A

1. Aproximación de la probabilidad por frecuencias relativas. Esto es, realice u observe unprocedimiento y cuente el número de veces que el evento A ocurre en la realidad. Con base enestos resultados reales, P(A) se estima de la siguiente forma

P(A) =número de veces que ocurrió A

número de veces que se repitió el procedimiento

2.4

La probabilidad de que un automóvil sufra un accidente se puede aproximar con laprobabilidad de frecuencias relativas. Por ejemplo, en un año reciente, de un totalde 135670000 automóviles registrados en Estados Unidos (según datos de StatisticalAbstract of the United Sates), 6511000 se accidentaron. Ahora, con base en el métodoanterior tendremos

P(accidente) =número de automóviles accidentados

número total de automóviles=

6511000135670000

= 0,0480

Advierta que no es posible utilizar el método clásico, ya que los dos resultados (acci-dente, ausencia de accidente) no son igualmente probables.

2. Método clásico de la probabilidad (requiere resultados igualmente probables). Supongaque un procedimiento dado tiene n eventos simples distintos y que cada uno de esos eventostiene la misma posibilidad de ocurrir. Si el evento A puede ocurrir en s de estas n formas,entonces

P(A) =número de formas en que puede ocurrir A

número de eventos simples diferentes=

1n

N Advertencia: Cuando utilice el método clásico, siempre verifique que los resultadossean igualmente probables

2.5

Si una urna contiene 10 esferas blancas, 15 azules y 5 rojas, la probabilidad de extraeral azar una esfera blanca, es:

P(B) =1030

=13

28 Probabilidad

Nota: Esta probabilidad se basa en razonamientos abstractos y no depende de laexperiencia, lo cual permite estimar probabilidades sin realizar una gran cantidad deexperimentos.

3. Probabilidades subjetivas P(A), la probabilidad del evento A, se estima con base en elconocimiento de las circunstancias relevantes.

2.6

¿Cuál es la probabilidad de quedar atrapado en un ascensor?

En ausencia de datos históricos sobre fallas de elevadores, no podemos usar elmétodo de frecuencias relativas. Hay dos posibles resultados (quedar atrapado o noquedar atrapado), pero no son igualmente probables, por lo que no podemos usar elmétodo clásico. Esto nos deja con una estimación subjetiva. En este caso, la experienciasugiere que la probabilidad en cuestión es muy pequeña. Estimemos que sea, 0,0001(equivalente a 1 en 10000). Esta estimación subjetiva, basada en nuestro conocimientogeneral, puede encontrarse en el campo general de la probabilidad real.

Veamos algunos ejemplos más

2.7

En una bolsa tenemos 7 bolas rojas, 9 bolas azules y 4 verdes. Extraemos una bola, calcula laprobabilidad de que

1 No sea roja P(R) = 13/20 = 0,65

2 Sea roja o azul P(R∪A) = 16/20 = 0,8 pues 7+9 = 16 rojas ó azules

2.8

De 70 alumnos que se matricularon en el curso de probabilidad del ITCR, en el semestreanterior. 15 no lo terminaron, 20 obtuvieron una calificación de PE y el resto lo aprobaron,¿Cuál es la probabilidad de que un alumno gane esta materia? La respuesta es

P(A) =3570

=12

Es muy importante señalar que el método clásico requiere resultados igualmente probables. Si losresultados no son igualmente probables, debemos usar la estimación de frecuencias relativas o confiaren nuestro conocimiento de las circunstancias para hacer una conjetura adecuada.

2.3 La ley de los Grandes Números 29

Al calcular probabilidades con el método de frecuencias relativas, obtenemos una aproximación envez de un valor exacto. Conforme el número total de observaciones se incrementa, las estimacionescorrespondientes tienden a acercarse a la probabilidad real. Esta propiedad se enuncia en forma deteorema, el cual se conoce como la ley de los grandes números.

2.3 La ley de los Grandes Números

Jacob Bernoulli descubrió que las frecuencias observadas se acercaban al verdadero valor previo desu probabilidad al hacer crecer el número de repeticiones del experimento. Pero él quería encontraruna prueba científica que no sólo probara que al aumentar el número de observaciones de la muestrase podía estimar la probabilidad auténtica con el grado de precisión deseado en cada ocasión, sinoque permitiera calcular explícitamente cuántas observaciones eran necesarias para garantizar esaprecisión de que el resultado queda dentro de un intervalo predeterminado alrededor de la verdaderasolución.

De esta forma el experimento que consiste repetir una prueba con la misma probabilidad de éxito unnúmero grande de veces recibió el nombre de “experimento de Bernoulli”.

Bernoulli era consciente de que, en situaciones reales y cotidianas, la certeza absoluta, es de-cir, la probabilidad 1, es imposible de alcanzar. Por eso introdujo la idea de la “certeza moral”: paraque un resultado fuese moralmente cierto, debía tener una probabilidad no menor que 0.999, mientrasque un resultado con probabilidad no mayor que 0.001 se consideraría “moralmente imposible”. Fuepara determinar la certeza moral de un suceso para lo que Bernoulli formuló su teorema, la ley delos grandes Números

2.4 Axiomas de Probabilidad

Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base paradeducir a partir de ellas un amplio número de resultados.

La letra P se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo P(A) la probabilidad deocurrencia de un evento A en un experimento. Ante ello, tenemos tres axiomas

Axioma 1

Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es:

0≤ P(A)≤ 1

Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de n éxitos en n experimentos, la probabilidadde cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1.

30 Probabilidad

Axioma 2

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a laprobabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B

P(A∪B) = P(A)+P(B)

Excluirse mutuamente quiere decir que A y B no pueden ocurrir simultáneamente en el mismoexperimento. Así, la probabilidad de obtener escudo o corona en la misma tirada de una monedaserá:

P(A∪B) = P(A)+P(B)P(A∪B) = 1/2+1/2 = 1.

En general podemos decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutua-mente excluyentes es igual a 1:

P(A1)+P(A2)+P(A3)+ ...+P(An) = 1

Axioma 3

Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A es el complemento de A, entonces:

P(A) = 1−P(A)

Es decir, la probabilidad de que el evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad deque ocurra.

Finalmente, como hemos visto la frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que aparececuando se repite un experimento aleatorio, y la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta divididapor el número de veces, n, que se repite el experimento aleatorio.

Ejercicios 2.1

2.1 Genere un ejemplo donde la probabilidad de un evento sea 02.2 Genere un ejemplo que implemente el Axioma 22.3 Datos del FBI indican que el 62.4% de los asesinatos se aclaran por medio de los arrestos.Podemos expresar la probabbilidad de que un asesinato sea calarado por un arresto comoP(aclarado) = 0,624. Para un asesinato seleccionado al azar, calcule P( aclarado)

Bibliografía

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Soluciones de los ejercicios

Soluciones del Capítulo 1

1.1

a.) Solución 1.1.1-1

b.) Solución 1.1.1-2

1.1 Fin Solución 1.1

1.2

a.) Solución 1.1.2-1

b.) Solución 1.1.2-2

c.) Solución 1.1.2-3

d.) Solución 1.1.2-4

1.2 Fin Solución 1.2

1.3 Fin Solución 1.3

1.4 Fin Solución 1.4

1.5 Fin Solución 1.5

Soluciones del Capítulo 2

2.1 Fin Solución 2.1

2.2 Fin Solución 2.2

2.3 Fin Solución 2.3