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Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica

Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo

Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadasPrediction of deformations in overconsolidated clays

Agustín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA2

1Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México2 Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México

RESUMEN: Se presenta un procedimiento no lineal para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas preconsolidadas totalmente saturadas. Se considera además la influencia del incremento de esfuerzo desviador en la magnitud de la compresión de un elemento de suelo. Se utilizan los conceptos anteriores para el cálculo de asentamientos de estructuras apoyadas sobre arcillas preconsolidadas. Se incluye un ejemplo de aplicación.

ABSTRACT: A non linear procedure for the calculation of long term deformations in fully saturated, overconsolidated clays, is presented. It also takes into account the influence of deviator stress increment in the amount of deformation in these soils. These concepts are used to calculate the settlements of structures resting over these soils. An example of settlement prediction is included.

1 INTRODUCCIÓN

Para el cálculo de la deformación a largo plazo de un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, es usual utilizar los resultados de pruebas de consolidación unidimensional, practicadas sobre muestras inalteradas extraídas del estrato de suelo. En ocasiones la estimación de la compresión se acerca en forma más o menos satisfactoria a la compresión que sufre el estrato en el campo.

Sin embargo, otras veces ocurre que la deformación de la arcilla en el campo es menor que la deformación estimada con los resultados del ensaye de consolidación unidimensional. Skempton y Bjerrum (1957) analizaron este fenómeno y concluyeron que esta diferencia se debe a que el incremento de esfuerzo desviador in situ no necesariamente es similar al incremento de esfuerzo desviador en el laboratorio. Esta discrepancia hace que el incremento de presión de poro en el campo sea menor que el incremento de presión de poro en el consolidómetro, lo que a su vez da lugar a que la compresión in situ sea menor que la compresión en el laboratorio.

Por otra parte, una arcilla preconsolidada ha almacenado energía de deformación por la mayor carga que tuvo durante su historia geológica; cuando ocurre en este suelo un incremento de esfuerzo desviador, se libera parte de esta energía de deformación. En consecuencia, el incremento de presión de poro en el campo resulta menor que el incremento de presión de poro en el odómetro.

Las razones expuestas en los párrafos anteriores explican el porqué la deformación in situ es menor

que la deformación en el laboratorio, siendo esta diferencia mayor en arcillas preconsolidadas.

En su forma original, el trabajo de Skempton y Bjerrum fue presentado de manera gráfica, y lo que nosotros exponemos en este artículo son expresiones analíticas derivadas del procedimiento de estos autores, las cuales se pueden programar en una calculadora con relativa facilidad. Previamente a la presentación de estos conceptos, tratamos un método no lineal para el cálculo de las deformaciones en arcillas preconsolidadas.

2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS2.1 Ecuación constitutivaConsideremos un elemento de arcilla precon-solidada totalmente saturada, sometida a una prueba de consolidación unidimensional, como se muestra en la Figura 1. Denominemos con pveo al confinamiento inicial vertical y a σz el incremento de esfuerzo normal vertical sobre el elemento.

El confinamiento inicial vertical pveo está dado por

pveo=pcie+pvo ' (1)

donde pcie es la presión de confinamiento equivalente a la cementación del suelo (en caso que la hubiera), y pvo’ es la presión normal vertical efectiva inicial sobre el elemento.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

2 Título del trabajo

Debido al incremento de esfuerzo vertical σz sobre el espécimen de suelo, éste sufre una deformación vertical Δwf como se indica en la Figura 1.

σz

Z, W

pvo'

ΔWf ΔW < 0

ΔZo

ΔZf

x, u

Figura 1. Incremento de esfuerzo normal, σz, sobre un elemento de suelo de espesor inicial Δzo

Definamos la diferencial de deformación unitaria vertical dεz de la siguiente forma

dε z=−d ( Δw )

Δz (2)

De acuerdo con la Figura 2

Δz=Δzo+Δw

d ( Δz )=d ( Δzo )+d ( Δw )=d ( Δw )

Reemplazando en la ecuación (2)

dε z=−d ( Δz )

Δz (3)

Demos ahora un incremento de esfuerzo diferencial dσz como se indica en la Figura 2. Proponemos la siguiente ecuación constitutiva para el cálculo de la deformación unitaria en compresión no confinada

dε z=1A

dσ z

pa

( pveo+σz

pa )s

(4)

donde pa = presión atmosférica = 101.3 kPa, A es un coeficiente que mide la rigidez del material, y s es un

exponente que depende del tipo de suelo. En arcillas totalmente saturadas s ≈ 1; reemplazando este valor en la ecuación (4)

Z, W

d(σz)

ΔWΔWf d(ΔW) ΔW < 0

ΔZΔZf

ΔZo

x, u

Figura 2. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo

dε z=1A

dσ z

pveo+σ z (5)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (5), e integrando

∫Δzo

Δzf d ( Δz )Δz

=− 1A ∫0

σ z dσ z

pveo+σ z

Es decir

Δz f

Δzo=( pveo+σ z

pveo)−1A

(6)

Por otra parte, de acuerdo con la Figura 2

Δz f =Δzo+ Δw f

Δz f

Δzo=1+

Δw f

Δzo

Δw f =( Δz f

Δzo−1) Δzo

(7)

Reemplazando la ecuación (6) en la ecuación (7)

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(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 3

Δw f =[( pveo+σ z

pveo )−1A−1]Δzo

(8)

De acuerdo con la convención de signos de la Figura 2, el valor de Δwf dado por la ecuación (8) da siempre negativo. Para tener una magnitud positiva de la deformación del elemento, hagamos ΔδP=- Δwf, donde ΔδP es la deformación al término de la consolidación primaria del elemento de suelo. La expresión (8) queda

Δδ P=[1−( pveo+σ z

pveo )−1A ]Δzo

(9)

La ecuación (9) permite calcular la deformación ΔδP, en compresión confinada, de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo, sometido a un incremento de esfuerzo vertical σz.

2.2 Determinación del módulo de rigidez AEl módulo de rigidez A lo obtenemos despejándolo de la ecuación (9)

A=−

log ( pveo+σ z

pveo)

log (1− ΔδP

Δzo)

(10)

donde log x = log10 x

Por otra parte, es usual calcular la relación de vacíos en una prueba de consolidación. El módulo A se puede obtener en función de dicha relación de vacíos, de la siguiente forma

Δδ P=Δe1+eo

Δzo=eo−e f

1+eoΔzo

1−Δδ P

Δzo=1+e f

1+eo (11)

Si, como es común, en arcillas preconsolidadas la presión equivalente debida a la cementación entre partículas es cercana a cero: pcie ≈ 0, la presión pveo ≈ pvo’. Tomando en cuenta además la ecuación (11) en la ecuación (10), el módulo A queda

A=−

log ( pvf 'pvo ' )

log ( 1+e f

1+eo)

(12)

La expresión (12) se puede utilizar para determinar el módulo de rigidez en la rama de recompresión, As’. En efecto, sean P1(pv1’, e1) y P2(pv2’, e2) dos puntos en dicha rama (pv2’ > pv1’), entonces

As '=−

log( pv 2 'pv 1 ' )

log( 1+e21+e1) (13)

Un procedimiento similar se usa para obtener el módulo de rigidez en la rama virgen, A’.

3 CRITERIO DE SKEMPTON Y BJERRUM PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS

Como señalamos antes, Skempton y Bjerrum (1957) señalan que las magnitudes de las deformaciones obtenidas a partir de resultados de una prueba de consolidación unidimensional pueden ser diferentes a los valores de las deformaciones sufridas por una obra en el sitio, dependiendo esta diferencia de la relación entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro. Veamos a continuación la forma de estimar esta diferencia.

La deformación en consolidación unidimensional vale

Δδ Pcon=mv ( Δzo )σ z

siendo mv el coeficiente de compresibilidad volumétrica del suelo. En el consolidómetro el incremento de presión de poro, en el momento de aplicar la carga, ΔuWcon = σz, por lo que

Δδ Pcon=mv ( Δzo ) (ΔuWcon) (14)

Por otra parte, el incremento de presión de poro en el campo es función del incremento de esfuerzo desviador, es decir

ΔuWcpo=σ x+σ y

2+ ASke(σ z−

σ x+σ y

2 )(15)



donde ASke es el coeficiente de presión de poro de Skempton (1953), cuyos valores, para condiciones de trabajo, se exhiben en la Tabla 1.

Tabla 1. Valores del coeficiente ASke en condiciones de trabajo (Skempton y Bjerrum, 1957)

Tipo de arcilla Aske

Arcilla blanda muy sensitiva > 1Arcilla normalmente consolidada ½ a 1Arcilla preconsolidada ¼ a ½Arcilla arenosa fuertemente preconsolidada 0 a ¼

Skempton y Bjerrum consideran que el asentamiento en el campo se puede calcular con la ecuación (14), sustituyendo el incremento de presión de poro en el sitio, es decir

Δδ Pcpo=mv ( Δzo ) (ΔuWcpo) (16)

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (14) y (16)

Δδ Pcpo

Δδ Pcon=

ΔuWcpo

ΔuWcon

¿ASke σ z+

(1−ASke )(σ x+σ y )2

σ z=μ≤1

(17)

O sea

Δδ Pcpo=μ ( ΔδPcon ) (18)

donde

Δδ Pcon=[1−( pveo+σz

pveo )−1

As ' ] Δzo

(19)

4 PREDICCIÓN DE DEFORMACIONES A LARGO PLAZO EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS

De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, el cómputo de la deformación a largo plazo en un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, se puede llevar a cabo con los siguientes pasos

a) Se extrae una muestra inalterada del suelo, de preferencia a la mitad del estrato

b) Se realiza una prueba de consolidación unidimensional en una probeta labrada de la muestra inalterada

c) Con los resultados de la prueba de consolidación, se obtienen el coeficiente de consolidación cv del suelo (empleando los procedimientos usuales de la geotecnia), y el módulo de rigidez As’ en el tramo de recompresión, usando la ecuación (13)

As '=−

log ( pv 2 'pv 1 ' )

log ( 1+e21+e1) (13)

d) Se calcula la deformación del estrato para compresión unidimensional, al término de la consolidación primaria, utilizando la ecuación (19)

Δδ Pcon=[1−( pveo+σz

pveo )−1

As ' ] Δzo

(19)

e) Se obtiene la deformación del estrato en campo, al término de la consolidación primaria, con la ecuación (18)

Δδ Pcpo=μ ( ΔδPcon ) (18)

donde, de acuerdo con la expresión (17)17

μ=ASke σ z+

(1−ASke ) (σ x+σ y )2

σz≤1

(17)

f) La deformación del estrato para un tiempo, t, se determina

Δδ Pcpo , t=Δδ PcpoU (20)

donde U es el grado de consolidación primaria, que es función del factor tiempo T

T=cv t

(Δze )2 (21)

Las magnitudes de U se muestran en la Tabla 2.



Hicimos una comparación de los asentamientos de estructuras, tomados de Skempton y Bjerrum (1957), empleando el método de estos autores y el procedimiento que planteamos en este artículo. Los resultados se exhiben en la Tabla 3; vemos que los valores de coeficiente μ son prácticamente los mismos.

Tabla 2. Relación teórica U-TU (%) T

0 010 0.00815 0.01820 0.03125 0.04930 0.07135 0.09640 0.12645 0.15950 0.19755 0.23860 0.28765 0.34270 0.40575 0.47780 0.56585 0.68490 0.84895 1.127100 ≈ 2.0

(Tomada de Juárez Badillo y Rico, 1976)

Tabla 3. Magnitudes del coeficiente μ

ObraValores del coeficiente μ

Skempton y Bjerrum

Este artículo

Tanque de almacenamiento

0.80 0.80

Arcilla de Chicago 0.90 0.90Arcilla de Londres 0.50 0.49Arcilla de Oxford 0.55 0.55

[5] FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZO

Los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por un cimiento cargado se pueden valuar con las siguientes expresiones, válidas para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elástico (con una relación de Poisson ν), ν), con carga repartida q aplicada sobre la superficie de un medio seminfinito (Deméneghi y Puebla, 2012) Círculo cargado

Los incrementos de esfuerzo bajo el centro de un círculo cargado están dados por

Incremento de esfuerzo normal vertical

σ z=q [1− z3

(a2+z2)3/2 ]Incremento de esfuerzo radial horizontal (Yoder, 1959)

σ r=q2 [1+2υ− 2 (1+υ ) z

(a2+z2)1/2+ z3

(a2+z2)3 /2 ]Rectángulo cargado

Los incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado están dados por (Figura 3)

Incremento de esfuerzo normal vertical (Damy, 1985)

σ z=q2π [( 1

x2+z2+ 1

y2+z2) xyzB

+ tan−1 xyzB ]

q y

x

z

σz

σy

σx

Figura 3. Incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado

Incrementos de esfuerzo normal horizontal (Dashkó y Kagán, 1980)

σ x=q2π

[ π2

−xyz( y2+z2 ) B

−tan−1zBxy

+(1−2υ )( tan−1 xy−tan−1 xB

yz ) ]



σ y=q2π

[ π2

−xyz( x2+z2) B

− tan−1 zBxy

+(1−2υ )( tan−1 yx

− tan−1 yBxz ) ]

5[6] EJEMPLO

Calcular el asentamiento bajo el centro de la losa de cimentación de la estructura de la Figura Figura 4, para tiempos de 6 meses y 5 años después de terminada la construcción. La losa tiene 8 por 16 16 m en planta, y transmite al terreno un incremento de presión media de 80 80 kPa.

Se practicó además una prueba de consolidación sobre una muestra inalterada extraída del estrato de arcilla preconsolidada. Las coordenadas de dos puntos de la curva de compresibilidad en la rama de recompresión son: P1 (0.281 281 kg/cm2, 1.061), P2 (1.217 217 kg/cm2, 1.024); cv = 0.000046 000046 cm2/s. En esta arcilla el fenómeno de consolidación secundaria es pequeño y se puede despreciar para fines prácticos.

Considerar en la arcilla ’ = 29°, pcie = 0, una relación de preconsolidación OCR OCR = = 2 y un coeficiente de Skempton Aske = 1/3

NAF

Arena compacta0.6 m

Gamma = 18 kN/m3

Arcilla preconsolidada, OCR = 2, pcie = 00.6 m

Gamma = 16 kN/m3

Roca

Figura 4. Ejemplo

SoluciónEl módulo As’ lo obtenemos con la ecuación (13)

A s '=−log ( 1.2170 .281 )log ( 1+1.0241+1 .061 )

=80.9

pveo = pvo’ =(18-9.81)(0.6)+(16-9.81)(0.3)= 6.771 771 kPa

Ko=(1−sen ϕ ) (OCR )sen ϕ

¿ (1−sen29∘) (2 )sen 29∘=0 .721

ν=Ko

1+K o= 0 . 7211+0 .721

=0 . 419

A la mitad del estrato, los incrementos de esfuerzo valen

σz = 79.61 kPaσx = 57.36 kPaσy = 54.27 kPa

Utilizamos la ecuación (19)

Δδ Pcon=[1−( 6 .771+79 .616 .771 )−1

80 .9 ] (0.6 )=0 .0186m

Usando la ecuación (17)

μ=

79 .613

+(1−1/3 ) (57 .36+54 . 27 )

279.61

=0 .801

La deformación en campo, al término de la consolidación primaria vale [ecuación (18)]

Δδ Pcpo=0 .801 (0.0186 )=0 .0149m

a) Tiempo = 6 6 meses

t = 6(30)(86400) = 15,552,000 s

T=0 .000046 (15 ,552 ,000 )

(30 )2=0.795

U = 88.4%

Δδ P6meses=0.884 (0.0149 )=0 .0132m

b) Tiempo = 5 5 años



t = 5(365.25)(86400) = 157,788,000 s

T=0 .000046 (157 ,788 ,000 )

(30 )2=8 .06>2

U = 100%

Δδ P5años=(1 ) (0 .0149 )=0 .0149m

(Arcilla preconsolidada. Ejemplo 5 años)

6[7] VALORES ESTADÍSTICOS

Para fines preliminares de análisis se pueden usar las siguientes magnitudes obtenidas a partir de datos estadísticos

As '=2491.5

IP+12 .12+25.16 tα √1 .00885+ (IP−34 .469 )2

31027

A '=757 .3

IP+28. 79+23 . 43 t α √1 .00637+ (IP−35 . 099 )2

54414

donde IP es el índice plástico, en porciento, y tα es una variable t de Student, cuyos valores en función del nivel de confianza α aparecen en la Tabla 4. Para fines preliminares se puede usar 15% ≤ α ≤ 30%.

Tabla 4. Magnitudes de la variable aleatoria tα

Nivel de confianza α Módulo As’ Módulo A’

% Variable aleatoria tα

2.5 1.982 1.9755 1.659 1.65410 1.289 1.28715 1.041 1.04020 0.845 0.84425 0.677 0.67630 0.526 0.52640 0.254 0.25450 0 0

7[8] CONCLUSIONES

De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, se concluye lo siguiente:

a) La compresión de un elemento de arcilla preconsolidada se puede predecir usando

un método no lineal de deformación, considerando que la compresibilidad del suelo disminuye con el esfuerzo normal vertical efectivo sobre el suelo

b) La deformación de un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, resulta en el campo menor o igual que la deformación calculada a partir de resultados de pruebas de consolidación unidimensional

c) La diferencia entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro da lugar a que el aumento de presión de poro in situ sea menor que el aumento de presión de poro en el laboratorio, lo que conduce a que la deformación unitaria de un estrato en campo sea menor a la deformación unitaria de una probeta en el odómetro

d) En este artículo se presentó un procedimiento analítico para tomar en cuenta el efecto del esfuerzo desviador in situ, siguiendo los conceptos presentados por Skempton y Bjerrum. La solución que exponemos se puede programar en una computadora con relativa facilidad

REFERENCIAS

Damy, J. (1985). “Integración de las ecuaciones de Boussinesq, Westergaard y Fröhlich, sobre super-ficies poligonales de cualquier forma, cargadas con fuerzas verticales uniformemente repartidas”, Rev Ingeniería, Vol LV, N° 1: 82-86

Dashkó, R. E., y Kagán, A A.A. (1980). Mecánica de Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la Ingeniería, Cap 2, MIR, Moscú

Deméneghi, A. , y Puebla, M. (2012). “Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo”, Apuntes de Comportamiento de Suelos, Facultad de Ingeniería, UNAM, México, D F

Juárez Juárez-Badillo, E., y Rico, A. (1976). Mecánica de Suelos, Limusa, México, D F

Skempton, A. W. (1954). “The pore pressure coefficients A and B”, Géotechnique, 4: 143-147

Skempton, A. W., y Bjerrum, L. (1957). “A contribution to the settlement analysis of foundations in clay”, Géotechnique, 7(4): 168-178

Yoder, E E.J. (1959). Principles of Pavement Design, Wiley


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