paper procesos ergodicos
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El paper se basa en los procesos ergodicos estudiados en procesos estocasticos que nos permiten entender de mejor manera el concepto de estadistica que se habla dentro de la materiaTRANSCRIPT
ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO EXTENSIÓN LATACUNGA
Lagla Quinaluisa Johana Estefanía.
Electrónica e Instrumentación, Quinto Nivel, Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.
Email: [email protected] Fecha de presentación: 09 de febrero del 2015
PROCESOS ERGÓDICOS
RESUMEN
Un sistema es Ergódico si el único conjunto invariante de medida no nula de la hipersuperficie de
energía constante del espacio de las fases es toda la hipersuperficie de energía constante. X (t) es un
proceso Ergódico si y solo si todas sus medias estadísticas de la familia pueden ser intercambiadas por sus correspondientes medias temporales. Es decir una simple realización temporal es representativa de todo el proceso. Que un proceso sea Ergódico implica que éste sea estacionario, pero al revés no.
ABSTRACT
A system is ergodic if the only invariant set of nonzero measure of constant energy hypersurface of phase space is the whole constant energy hypersurface. process is ergodic if and only if all its statistical averages of the family will be exchanged for the corresponding time averages. Ie a simple temporal embodiment is representative of the entire process. That a process is ergodic implies that it is stationary, but not backwards.
PALABRAS CLAVES
Clave 1 Procesos Clave 2 Ergódico Clave 3 Hipersuperficie
OBJETIVOS
Determinar que un proceso ergódico
se puede aplicar siempre y cuando
es estacionario
Determinar que los procesos
ergódico cumple que los promedios
totales son los mismos promedios en
el tiempo
Analizar las características de un
proceso ergódico.
Estudiar los tipos de ergodicidad.
Determinar la ergodicidad en algunos
ejemplos.
Precisar que es un proceso ergódico.
Verificar que los procesos ergódicos
cumplen con que los promedios
conjuntos, son iguales a promedios
en el tiempo
DESARROLLO
1. Definición
X (t) es un proceso ergódico si y solo
si todas sus medias estadísticas de
la familia pueden ser intercambiadas
por sus correspondientes medias
temporales. Es decir una simple
realización temporal es
representativa de todo el proceso.
Que un proceso sea ergódico implica
que éste sea estacionario, pero al
revés no.
Por lo tanto: Si la serie de tiempo X(t)
es estacionaria y ergódica con
][ tXE
Entonces el promedio de la serie de
tiempo converge a
, es decir:
t t ∑
n
La ergodicidad en sentido estricto, si
bien es fácil de definir formalmente,
no es fácilmente verificable dado el
modelo del proceso.
Condiciones más débiles son la
ergodicidad en media y la
ergodicidad en auto correlación, que
valen cuando la media y auto
correlación temporales coinciden con
las estadísticas.
En un proceso estocástico uno puede
determinar ciertos parámetros de dos
formas:
Se toma una muestra completa del
proceso (Ej: x1(t)) y se realizan
cálculos sobre ella.
Se toman los valores de todas las
salidas posibles para un tiempo fijo tk
y se calcula el parámetro deseado. Si
el valor del parámetro resulta igual
por los dos métodos, se dice que el
proceso es Ergódico con respecto a
ese parámetro. Por ejemplo,
ergodicidad con respecto a la media
sería decir que:
[ ]
∫
[ ] ∫
Ecuación 1.- Ergodicidad con respecto a la
medida
Para ello, disponemos de muestreos
de ambas señales en los instantes de
tiempo nt, que llamaremos x[n] y
h [n-k] (Donde n y k son enteros).
Daría el mismo resultado tomar, por
ejemplo, x2(t) y promediarla en el
tiempo, o tomar los valores de x1(tk),
x2(tk),......, xn(tk) y promediarlos.
Es evidente que si un proceso es
ergódico también es estacionario y si
la salida representa una señal
eléctrica, esta será de potencia y se
cumplirá que:
[ ]
Ecuación 2.- Nivel D.C. de x (t)
[ ]
Ecuación 3.- Potencia promedio total de
x (t)
[ ]
Ecuación 4.- Potencia D.C. de x (t)
[ ] [ ]
Ecuación 5.- Potencia promedio A.C de x (t)
{ }
Ecuación 6.- Densidad espectral de
Potencia
Siendo:
Esta última relación es
importantísima ya que nos dice que a
pesar de que la señal es aleatoria, su
auto correlación, y por ende, su
densidad espectral de potencia, son
determinísticas. La demostración es
la siguiente:
Uno puede definir la densidad
espectral de un proceso aleatorio
como el promedio de las densidades
espectrales de las funciones
muestras así:
| |
Ecuación 7.- Densidad espectral de un
proceso
Donde es la transformada de
Fourier del proceso aleatorio
truncado x (t) Π(t/T). Su módulo al
cuadrado es igual a:
| |
∫
∫
Ecuación 8.- Modulo al cuadrado del proceso
Estas dos integrales pueden
expresarse como una integral doble
del producto de x (t1)x(t2), y como la
operación de pro mediación es otra
integral más, puede realizarse
primero; esto último se expresaría
como la pro mediación previa del
producto x (t1)x(t2) . Queda entonces
que:
∫ ∫
Ecuación 9.- Densidad espectral de un
proceso entre
Para desarrollar la fórmula de la
convolucion discreta partimos de dos
señales discretas x[n], la entrada del
sistema, y h[n] la respuesta del
sistema, se puede definir como:
Si el proceso es estacionario en el
sentido amplio, el promedio del
producto x(t1)x(t2) es la auto
correlación evaluada en la diferencia
de tiempos t2 - t1. La densidad
espectral queda entonces igual a:
∫ ∫
∫ ∫
La integral doble puede cambiarse
por una integral única respecto a la
diferencia (t2 - t ) = τ notando que el
argumento a integrar es constante
cuando (t2 - t1) lo es.
Eso significa que la integral doble
sobre (t2, t1), lo cual es un volumen,
puede calcularse como el argumento
multiplicado por el área de la base.
El cálculo de esta área puede verse
de la siguiente figura:
Figura 1.- Área de la integral doble sobre t2-t1
Donde podemos reducir la segunda
sumatoria de la ecuación de la
ecuación de arriba:
Quedaría 0.5(T- τ)2 - 0.5(T- τ -∆τ)2 (
Resta de las áreas de los dos
triángulos) esto es aproximadamente
(T- τ)∆τ cuando ∆t t ende a cero. Para
t negat vo el área resulta (T+ τ) ∆τ.
Por lo tanto el volumen, en la
pequeña zona será F(t) (T- | τ | )∆τ .
El volumen total es la densidad
espectral de potencia Gx(f), y resulta
igual a:
∫ | |
∫ ( | |
)
∫
Finalmente, y recordando la
definición de F(t), tendremos:
F { Rx(τ) } = Gx (f) = Densidad
Espectral de Potencia
Una vez conocido esto, si el proceso
pasa por un sistema dado, se podrá
conocer características de la salida
de la siguiente forma:
a) Si el sistema es lineal, conocemos
la densidad espectral de potencia de
la señal de entrada Gx(f) y el
cuadrado de la magnitud de la
función transferencia |H(f)|2,
podremos conocer la densidad
espectral de potencia de la señal de
salida Gy(f) de la siguiente forma:
Gy (f) = | H(f) |2 Gx (f)
b) Si el sistema es no lineal,
podemos transformar el proceso de
entrada con el conocimiento de la
función característica.
2. Ergodicidad Respecto a la Media
Un P.E. X(t) es ergódico respecto a
la media si:
X(t) es estacionario en
sentido amplio
El promedio temporal es
igual a la media
Condiciones para que X(t) (WSS) sea
ergódico respecto a la media
Teorema 1: Condición Necesaria y
Suficiente
∫ (
| |
)
Teorema 2: Condición Suficiente
∫ | |
Teorema 3: Condición Suficiente
| |
2.1 Ergodicidad Respecto a la
Autocorrelación
Definición: Un P.E. X(t) es ergódico
respecto a la autocorrelación si:
X(t) es estacionario en
sentido amplio
La Autocorrelación Temporal
es igual a la Autocorrelación
ANÁLISIS DE
RESULTADOS
Convule (n=4)
- Un proceso ergódico tiene la
siguiente función de auto
correlación:
Determine: La densidad espectral
de potencia del proceso, la
potencia promedio total, la
potencia A.C, la potencia D.C y el
voltaje R.M.S.
a) La densidad espectral de potencia
es la transformada de Fourier de la
auto correlación, resultando entonces
(por tablas de Fourier):
b) La potencia DC es nula ya que en
f=0 no existe una delta de Dirac.
c) La potencia AC en este caso es
igual a la potencia total, ya que la
potencia DC es nula. Al evaluar la
autocorrelación en cero, tendremos
el valor de la potencia total. También
daría el mismo resultado integrar la
densidad espectral de potencia entre
menos infinito e infinito.
Potencia total = Potencia AC = Rx(0)
= A2
d) El voltaje R.M.S es igual a la raíz
de la potencia AC.
Es decir, VR.M.S = A.
CONCLUSIONES
Los sistemas ergódicos tienen el interés de que en ellos el promedio temporal de ciertas
magnitudes pueden obtenerse como promedios sobre el espacio de estados lo cual
simplifica las predicciones sobre los mismos.
Un sistema es ergódico si no existe un subconjunto del espacio de estados con una
medida finita que sea invariante por el conjunto de aplicaciones
Un proceso es ergódico si los parámetros estadísticos calculados en un conjunto de
realizaciones (promedios de conjunto) son iguales que los parámetros estadísticos
calculados en una única realización (promedios temporales).
BIBLIOGRAFÍA Y/O ENLACES
Probabilidad, variables y señales aleatorias- Peebles/ tercera edición/1999 /editorial El Tinter,
SAL
http://prof.usb.ve/tperez/docencia/1421/Capi/CAPITULO%20VI.pdf
http://iie.fing.edu.uy/ense/asign/mpd/recursos/procesos.pdf