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Universidad de los llanos. Duarte, Mosos. Diseño de un controlador para un extensor de brazo usando compensadores de adelanto – atraso en tiempo continuo y tiempo discreto

Unillanos 2012 – Especialización en instrumentación y control industrial

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Resumen— Exoesqueleto mecánico o exoesqueleto robot

es un armazón metálico externo que ayuda a moverse a su portador y a realizar cierto tipo de actividades, como lo es el cargar peso, por lo tanto los extensores se definen como un tipo de robots manipuladores que aumentan la fuerza de un brazo humano mientras mantienen el control humano de la tarea, sin embargo es necesario mantener un control fino sobre el sistema para que los movimientos del actuador sean delicados sin disminuir su efectividad.

Índice de Términos— Actuador, Compensador, Control, Sistema, LGR.

I. INTRODUCCIÓN El control es un área de la ingeniería que se centra en el control de los sistemas dinámicos mediante el principio de la realimentación, para conseguir que las salidas de los mismos se acerquen lo más posible a un comportamiento predefinido, en la ingeniería de control moderna se usan circuitos electrónicos que pueden ser modelados fácilmente ya que su comportamiento puede ser descrito mediante ecuaciones matemáticas y en gran parte de los casos para ciertos intervalos de valores se pueden considerar sistemas lineales e invariantes en el tiempo LTI, si bien esto no es cierto del todo, manejar modelos LTI ayuda a simplificar los procesos matemáticos que describen el comportamiento real del sistema y es una muy buena aproximación a la realidad, solo en casos donde es necesario hacer procesos de control más delicados y detallados no es posible hacer este tipo de aproximaciones. El control aplicado en la industria se conoce como control de procesos. Se ocupa sobre todo del control de variables como temperatura, presión, caudal, etc, en un proceso químico de una planta. La ingeniería de control es un área muy amplia y cualquier ingeniería puede utilizar los mismos principios y técnicas que esta utiliza, es una disciplina que se focaliza en modelar matemáticamente una gama diversa de sistemas dinámicos y el diseño de controladores que harán que estos sistemas se comporten de la manera deseada.

El objetivo del control automático es poder manejar con una o más entradas, una o más salidas de una planta o sistema, para hacerlo, básicamente existen dos posibilidades que son el control en lazo abierto en donde el proceso es controlado de una manera predeterminada y donde no se tiene conocimiento de las señales de salida para hacer los ajustes necesarios donde sea requerido. Un ejemplo clásico de control en lazo abierto es una lavadora de ropa ya que ésta funciona durante un ciclo predeterminado sin hacer uso de sensores. Otra forma de hacer control sobre un sistema y que de hecho es la más ampliamente implementada, es el concepto de feedback o realimentación, en que se usa la medición de la salida del sistema, como otra entrada del mismo, de tal forma que se puede diseñar un controlador que ajuste la actuación para variar la salida y llevarla al valor deseado, este tipo de controles son más eficientes, pero a su vez son también mas costosos, ya que se debe incluir sensores y/o transductores que deben proporcionar un valor de la salida en el dominio de la entrada de referencia, también su diseño es más complejo, pero estas desventajas son ampliamente superadas por su eficiencia.

II. REDES DE CONTROLADORES Y EL

LUGAR GEOMETRICO DE LA RAICES El objetivo principal es presentar los procedimientos para el diseño y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan como especificaciones de desempeño. Por lo general se refieren a la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta. Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de desempeño se proporcionan en términos de valores numéricos precisos. Al desarrollar un sistema de control, sabemos que la modificación adecuada de la dinámica de la planta puede ser

Diseño de un controlador para un extensor de brazo usando compensadores de adelanto – atraso en

tiempo continuo y tiempo discreto Ing. Duarte Brito, Iván. Lic. Mosos Ramos, Edwin

Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería - Universidad de los Llanos Villavicencio - Colombia

[email protected], [email protected]



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una forma sencilla de cumplir las especificaciones de desempeño. Sin embargo, tal vez esto no sea posible en muchas situaciones prácticas, debido a que la planta esté fija y no pueda modificarse. En este caso, deben ajustarse parámetros diferentes a los que tiene la planta fija. Se supone que la planta está definida y es inalterable. El enfoque del lugar geométrico de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se incorporan las especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento, si se requiere de un ajuste diferente al de la ganancia, debemos modificar los lugares geométricos de las raíces originales insertando un compensador conveniente. Una vez comprendidos los efectos de la adición de los polos y/o ceros sobre el lugar geométrico de las raíces, podemos determinar con facilidad las ubicaciones de los polos y los ceros del compensador que volverán a dar una forma conveniente al lugar geométrico de las raíces. Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y alentar el asentamiento de la respuesta. Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta. En el diseño de compensadores se busca que el sistema controlado tenga un comportamiento estable para un gran rango de ganancia, haciendo que sea menos susceptible a los cambios de los factores propios de la planta o del sistema de compensación, que por efectos de deterioro durante el tiempo de operación puedan repercutir en la estabilidad del sistema controlado.

Redes De Compensación Se trata del diseño de un controlador que combine las ventajas de adicionar ceros y polos a la planta para ajustar su funcionamiento a unas especificaciones de diseño dadas, de tal manera que satisfaga la siguiente función de transferencia.

��

Donde Kc es la ganancia de compensación. z es el cero de compensación. p es el polo de compensación.

El comportamiento del compensador para las distintas frecuencias que afectan el sistema se puede determinar mediante los valores de z y p de la siguiente manera. Para bajas frecuencias cuando � � 0 el comportamiento del compensador está determinado por:

lim�� lim��

��

Entonces el comportamiento del compensador depende sus polos y ceros. Para altas frecuencias cuando � � ∞ el comportamiento del compensador está determinado por:

lim�� lim��

Entonces su comportamiento solo depende de su ganancia. Ahora si observamos el comportamiento del compensador para cuándo � � �ω, tendremos que el compensador puede agregar un desfase a la señal, que puede ser en adelanto o en atraso dependiendo de z y p.

��ω� � �� ω ��ω ��

�� ω� � tan� ω ! tan� ω

�

Si z < p, entonces se tiene una red de adelanto de fase, ya que el ángulo resultante es (+) positivo. Si z > p, entonces tenemos una red de atraso de fase, ya que el ángulo resultante es (-) negativo. En un compensador de adelanto de fase se logra mejorar la respuesta transitoria del sistema adaptando el lugar geométrico de las raíces del sistema original, el cero del compensador modifica el LGR haciéndolo más estable mientras que el polo se ubica lejos a la izquierda del cero para que no influya de manera significativa en la modificación del LGR hecho por el cero. En cambio un compensador de atraso de fase se implementa cuando se desea lograr una respuesta en estado estable sin modificar el LGR y generalmente se ubican sus polos y ceros cercanos entre si y en la vecindad del origen. La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que el compensador de atraso-adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado.



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III. DISEÑO DE UN CONTROLADOR EN

TIEMPO CONTINÚO DE ADELANTO –

ATRASO USANDO EL ENFOQUE DEL LGR Los actuadores mecánicos, en particular los extensores de brazos son dispositivos que buscan dotar de mayores capacidades al ser humano, bien sea por mejorar su fuerza o para poder manipular objetos en lugares donde las condiciones ambientales son nocivas para la salud. Aquí entonces, se pretende hacer el diseño de un controlador para este tipo de dispositivos teniendo como partida la función de transferencia en lazo abierto del sistema mostrado en la figura 1a y representado por el diagrama de bloques de la figura 1b.

Figura 1

Sea entonces G(s) la función de transferencia de la planta en lazo abierto.

�� 8��2� 1��0.05� 1�

Podemos ver que el sistema en si tiene 3 raíces en el semiplano izquierdo ubicadas en.

S1,2,3=0,-0.5,-20 Por lo que podríamos deducir que el sistema es estable, sin embargo al realizar la simulación del sistema en lazo abierto a una entrada escalón vemos que su respuesta tiende a crecer de manera indefinida, por lo que el sistema como tal es inestable como se puede apreciar en la figura 2.

Figura 2: Respuesta en lazo abierto del sistema.

Una vez identificado la inestabilidad del sistema en lazo abierto se procede a verificar su funcionamiento en lazo cerrado con realimentación unitaria, donde podemos observar de manera grafica como el sistema se vuelve estable pero con un tiempo de asentamiento bastante grande y unas oscilaciones que no son deseadas en este tipo de actuadores mecánicos como se puede apreciar en la figura 3.

Figura 3: Respuesta en lazo cerrado del sistema.

En este punto es necesario definir algunos criterios para a fin de comenzar con el diseño del compensador que modificará la respuesta del sistema para que actúe de la manera deseada. Dentro de las consideraciones de diseño podemos establecer ciertos parámetros de comportamiento del sistema en el dominio de la frecuencia asumiendo valores en el dominio del tiempo, es por eso que para este sistema se desea que su sobrepaso máximo sea del 16%, un amortiguamiento de 0.5, el tiempo de asentamiento con un criterio del 2% sea de 1.6s y su constante de velocidad sea de 80 s-1.

ζ = 0.5 ts = 1.6 s

Mp= 16% Kv = 80 s-1 La primera aproximación al diseño de un compensador es asumir que con variar la ganancia del sistema será suficiente, por lo que se debería agregar un compensador de la manera:



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��

Aunque este tipo de compensadores son poco usados ya que tienen efectos sobre el error de estado estable, en algunos casos con solo hacer una variación de la ganancia podría satisfacer los criterios de diseño, por lo tanto veremos cómo es el comportamiento del sistema con este tipo de compensador.

Figura 4: Variación del factor de ganancia en el compensador

Negro con Kc =1; Azul con Kc = 2 ; Verde con Kc = 3 En la figura 4 podemos observar que con solo ajustar la ganancia en el compensador proporcional no podemos satisfacer las consideraciones de diseño que se establecieron originalmente, por lo que aquí debemos usar otros enfoques que nos permitan tener en cuenta estas consideraciones. Para esto usamos el LGR del sistema con el propósito de observar el comportamiento de las raíces y poder definir el método de compensación necesario.

Figura 5: LGR del sistema en lazo cerrado sin compensador

Como podemos observar en la grafica los polos del sistema en lazo cerrado están cerca del origen y las curvas que pueden seguir estos polos al aumentar la ganancia del sistema tienden hacia el semiplano derecho del LGR es necesario agregar polos y ceros al sistema de tal manera que podamos tener un

sistema compensado con unos polos dominantes en el semiplano izquierdo. Considerando el efecto que tiene un cero de atraer el LGR del sistema hacia la izquierda haciéndolo más estable que en la grafica de la figura 5 podemos ver que la intersección de las asíntotas de los polos tienden a cruzar el eje real en un valor de s = -6, por lo que podríamos hacer una primera aproximación al compensador agregando un cero en este punto. Entonces la FT del compensador quedaria �� 6�

Figura 6: LGR compensado con cero en s = 6

Figura 7: Respuesta al escalón unitario del sistema

compensado con un cero en s = -6 En la figura 6 podemos observar que al agregarle un cero al sistema mediante el compensador, hemos logrado dos efectos sobre la planta, considerando la respuesta del sistema en lazo cerrado sin compensador como se muestra en la figura 3 al agregar el compensador con un cero en s = -6 se logro reducir el sobre impulso de un 80% a tan solo 45% y se redujo el tiempo de establecimiento con el criterio del 2% de 25s a tan solo 2s como se observa en la figura 7 y que el LGR del sistema compensado mostrado en la figura 6 se observan unas curvas asintóticas para los polos que no cortan el eje imaginario dando como resultado un margen de ganancia elevada.



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Aun cuando esta acción de agregar un cero en s = -6 al sistema nos da unas mejoras considerables en el funcionamiento del sistema, todavía no se logra satisfacer las consideraciones de diseño establecidas inicialmente, pero si es un buen punto de partida para hallar el compensador de adelanto atraso requerido de la forma ��()�� *+,� -. �-./0�1+��*+,� -. �120�+�

�� 34��35� Compensador de Adelanto.

�6�� 7 8 9�3 :9�3 Compensador de atraso.

��()�� 7 8 ;� 1

8;� 1

Abordar el diseño de controladores no tiene un algoritmo definido o establecido como absoluto, pero si es conveniente saber el efecto que tiene el agregar un compensador de adelanto, atraso o adelanto-atraso sobre el sistema. Anteriormente habíamos comentado el efecto de cada uno de estos compensadores sobre el sistema y además de eso hicimos una primera aproximación podríamos ver como es el comportamiento de la respuesta cuando acercamos el cero al origen.

Figura 8: Comportamiento de la respuesta al escalón unitario variando el cero del compensador hacia el origen, Negro con

z = 6, Azul con z = 5; Verde con z = 4, Rojo con z = 2, Magenta con z = 1, Amarillo con z = 0

De la grafica de la figura 8 podemos observar que a medida que acercamos el cero al origen la respuesta del sistema es más parecida a un sistema donde el factor de amortiguamiento crece, teniendo en cuenta las consideraciones de diseño establecidas vemos que la respuesta que más se acerca a la deseada en el valor del sobre impulso máximo es cuando el valor del cero esta en s = -2.

Figura 9: Comportamiento del LGR a medida que el cero se

acerca al origen.

De la figura 9 podemos ver que a medida que el cero se acerca al origen el LGR tiende a estar más en el semiplano izquierdo y que variar este cero no afecta el margen de ganancia del sistema compensado por lo que estas dos graficas podemos establecer el cero del compensador de adelanto en s = -2 quedando de la siguiente manera.

�� 2��

A partir de este punto empezamos con el diseño del compensador de adelanto teniendo en cuenta que el sistema ha respondido de manera satisfactoria a un cero en s = -2. Teniendo en cuenta que el sistema compensado debe responder con unas características que se definieron en un principio, es necesario tenerlas en consideración en esta parte del problema, para satisfacer que el diseño del compensador cumpla con las consideraciones de ζ=0.5; ts=1.6 s; Mp=16%; Kv = 80 s-1. Entonces vamos a considerar que el sistema debe responder como un sistema de segundo orden definido por la siguiente ecuación.

�� ω<7�7 2ζω<� ω<7

�� >; -./ �?�1.,0 *+,�.��0-+ Entonces

ω< � 4ζts � *+� 1� 0/ 2%

ω< � 5

�� 25�7 5� 25

En la figura 10 podemos ver la respuesta esperada del sistema compensado.



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Figura 10: Respuesta del sistema deseado con compensador. Siendo más rigurosos con el criterio de sobre impulso tendríamos que hallar el valor de ζ partiendo de la siguiente ecuación.

C� � .� DE

FGHEI= 0.16

ζ � 0.5203808

Por lo que ζ cambia un poco de acuerdo con la consideración inicial, pero nos permite asegurar un sobre impulso máximo del 16%, aquí debemos tener en cuenta que para este caso en particular es mejor tener prelación del sobre impulso por sobre el valor de ζ ya que un sobre impulso muy grande se podría traducir en una fuerza excesiva en el actuador. Como ζ cambio es necesario rehacer los cálculos para el valor de ω< teniendo en cuenta que el tiempo de establecimiento debe ser de 1.6s.

ω< � 4ζts � *+� 1� 0/ 2%

ω< � 4.8041744

Realizados estos cálculos vemos que la variación de los parámetros ζ y ω< no son muy drásticos y que podemos hacer esta consideración de garantizar el sobre impulso máximo y el tiempo de establecimiento. Ya una vez definidos estos valores procedemos a calcular los polos dominantes en el sistema que están dados por la siguiente ecuación.

L ,7 � !ζNO P �NOQ1 ! ζ7 � LR � !2.5 P �NOQ1 ! ζ7 Entonces LR � !2.5 P �4.1024494

Aplicando la condición de fase, el ángulo de la planta viene determinado por.

T�� º|�WXY � T! ��|�WXY T! ��2� 1�|�WXY! T ��0.05� 1�|�WXY

Con LR � !2.5 �4.1024494 Entonces T�� º|�WXY � !1.7079575º

Entonces para que la planta alcance la condición de fase el ángulo de adelanto viene dado por: Z[ � 180 ! 1.7079575 � 178.29204

Una vez definido el ángulo de adelanto Z[, se fija el valor del cero y se determina el valor del polo del compensador de adelanto, pero como ya pudimos apreciar anteriormente podemos ubicar el cero en s = -2 ya que este valor nos da una primera aproximación a la respuesta deseada. Así, si z = 2 entonces: Z[ � T�� 2�|�WXY T! �� |�WXY

y

tan� 4.1024494!2.5 � � 3.1574736

Entonces

� � 4.1024494tan 3.1574736 2.5 � 76.868014

Por lo que nuestro compensador de adelanto queda de la siguiente manera:

�� 2�

�� 76.868014�

Definiendo K como la ganancia total del sistema compensado podemos establecer que: � � 8�� Y para calcular Kc aplicamos la condición de modulo de la siguiente manera:

|�9|�WXY � 1 � \� �� 2�� 2� 1��0.05� 1�\

�WXY� 1

� � 10.0014076 � 710.26486

Entonces



7

� � 8��

�� 8 � 88.783107

Por lo tanto nuestro compensador de adelanto quedaría de la siguiente forma.

�� 88.783107 �� 2�� 76.868014�

Y la respuesta del sistema con el compensador de adelanto seria de la manera que se muestra en la figura 11.

Figura 11: Respuesta del sistema con el compensador de

adelanto �� 88.783107 ��37��3]^._^_� `�

Una vez realizados los cálculos mediante Scilab obtenemos los siguiente resultados, Mp = 18.9% y ts2% = 1.485s

Figura 12: Sistema deseado Vs Sistema con compensador de

adelanto.

Ahora solo nos falta ver el comportamiento del lugar geométrico de las raíces para determinar la estabilidad del sistema.

Figura 13: LGR del sistema compensado con una red de

adelanto de fase.

Si bien en la grafica las curvas por donde se pueden desplazar los polos del sistema en algún momento cruzan el eje imaginario y pasan al semiplano derecho del mismo, esto solo es posible para valores de ganancia muy altos por lo que el margen de ganancia del sistema es elevado y podemos considerar que no es muy susceptible de los cambios de los valores propios de la planta por efecto del desgaste natural de los materiales que la componen. Es entonces valido considerar que en este punto del diseño se han tomado en cuenta consideraciones que son validas para el controlador deseado. Sin embargo es necesario hacer un ajuste de los valores del compensador para lograr la respuesta deseada, ya que los valores obtenidos de los parámetros establecidos no cumple a satisfacción los criterios de diseño de Mp = 16%, ts2% = 1.6s y ζ � 0.5. Entonces de la definición del Mp podemos obtener el valor de ζ del sistema compensado.

C� � .� abQ �bI � 0.1897406

Entonces ζ � 0.4676463

Conociendo el comportamiento de la respuesta del sistema a las variaciones de los parámetros del controlador podemos hacer los ajustes necesarios para obtener los valores deseados según las condiciones de diseño, en primer lugar haremos variaciones de la ganancia del sistema para ajustar el sobre impulso máximo.



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Figura 14: Variación de la respuesta al escalón

unitario variando Kc1

De la grafica de la figura 14 podemos inferir que la variación de la respuesta del sistema no está determinado de forma sustancial por el valor de Kc1, por lo que para efectos de la construcción y poder simplificar la electrónica del controlador hacemos Kc1 = 100, quedando nuestro controlador de la siguiente manera.

Ahora procedemos a ver la respuesta del sistema cuando variamos el polo del compensador en las cercanías del polo original.

Figura 15: Respuesta del sistema a variaciones del polo del compensador.

De la grafica de la figura 15 podemos observar que mover el polo del compensador no afecta considerablemente la respuesta al escalón unitario del sistema salvo solo por cambiar el tiempo de

establecimiento, por lo que aquí, por consideraciones de fabricación y con el objetivo de facilitar la electrónica asociada al compensador ubicaremos el polo en s = 90, quedando nuestro compensador de la siguiente manera.

En la figura 8 pudimos observar que a medida que acercamos el cero del compensador al origen, el sobre impulso máximo se hacía menor y que la respuesta deseada se encontraba para valores de z en -2 < s < -1, por lo que vamos a hacer variaciones del cero del compensador en este rango de valores para lograr el ajuste necesario y cumplir con los requerimientos de diseño originales.

Figura 16: Variación de la respuesta escalón unitario modificando el valor del cero del

compensador.

De la figura 16 vemos como se modifica el valor de Mp a medida que acercamos el cero del compensador al origen por lo que para un valor de z en s = -1.74 nuestro compensador queda.

Con este nuevo compensador obtenemos los siguiente valores de Mp = 15.9%; y ts2% = 1.665s, por lo que es necesario hacer un ajuste en el polo del compensador acercándolo levemente al origen de tal manera que mejore el tiempo de establecimiento sin afectar el comportamiento del compensador en general para lograr satisfacer todos los requerimientos de diseño, quedando entonces el compensador de la siguiente manera.



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�� 100 �� 1.74�� 80�

Figura 17: Respuesta del sistema deseado Vs Respuesta del sistema compensado.

Comparando la figura 12 con la figura 17 vemos que al hacer los ajustes en los valores de z, p y Kc1 para el nuevo compensador logramos que la respuesta del sistema compensado se mas cercana a lo deseado según los parámetros de diseño establecidos inicialmente.

Parámetro Diseño Compensado.

Mp 16 % 16%

ts2% 1.6s 1.57s

ζ 0.5 0.503

Tabla 1: Comparación de los parámetros Mp, Ts2% y ζ del sistema deseado y el sistema compensado.

Para poder tener en cuenta el parámetro del error de velocidad Kv = 80s-1 que es un criterio de diseño debemos agregar un compensador de atraso al sistema de tal manera que no afecte el LGR del sistema compensado hasta el momento de la forma que se indica en la siguiente ecuación.

�6�� 8 �;� 1��8;� 1�

Figura 18: Sistema completo con compensador de adelanto-atraso.

Entonces el Error del sistema está determinado por.

c�� d��1 �6��5��

Aplicando el teorema del valor final se obtiene.

.�� lime�� .�1� � lim�� c��

.�� lim�� f�� 3gh��gi��gj��

Asumiendo

d�� 1�7

Entonces el error en estado estable queda como.

.�� lim��1

1 �6��5�� k 1� � 1

�l

Donde Kv es.

�l � lim�� 6��5��

Aplicando el teorema del valor final y calculando el error en estado estacionario tenemos

�l � lim�� m� �100 � 1.74� 80 � � 8

��2� 1��0.05� 1�� 8 ;� 18;� 1�n

Una de las condiciones del diseño es que el error de velocidad es de 80s-1 por lo que de la ecuación anterior podemos hallar el valor de Kc y β.

�l � 17.4��8

Escogemos Kc = 1 para no modificar el LGR y hallamos el valor de β de la relación anterior.

8 � ol17.4 � 4.5977011

Sabiendo que el efecto de un cero atrae el LGR al semiplano izquierdo y que los valores cercanos al origen tienden a disminuir el sobre impulso máximo escogemos un valor cercano a al origen de tal manera que el cero del compensador de atraso este en s = -0.05.

� � 0.05 � 1;

; � 20



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Entonces el polo de compensador se calcula de la siguiente manera.

L� � 18; � 1

�20��4.5977011� � 0.010875

Por lo que el compensador de atraso para el sistema queda.

�6�� 0.05�� 0.01�

Figura 19: Respuesta de escalón unitario del sistema con compensador de adelanto-atraso

Comparando la figura 17 y la figura 19 podemos observar que al agregar el compensador de atraso no afecta la respuesta del sistema, pero si hemos logrado satisfacer la condición de diseño que establecía a Kv = 80s-1 y apoyados en la simulación obtenemos los valores de Mp=16.7% Ts2%=1.61s y ζ = 0.494, por lo que podemos considerar que se han cumplido las especificaciones iníciales del diseño del controlador.

Si queremos ser un poco más rigurosos en las especificaciones de diseño podemos acercar el cero y el polo del compensador de adelanto un poco más al origen ubicándolo en z = 1.65 y p = 73 para reducir el sobre impulso máximo con lo que podemos satisfacer todos los criterios de diseño con Mp=15.9% Ts2%=1.6s y ζ = 0. 0.504

Al final podemos escribir las ecuaciones que definen el controlador de adelanto atraso que se conectan en serie con la planta para que su acción en lazo cerrado sea la deseada.

�6�� 3�.�p��3�.� � � Compensador de Atraso

�� 100 ��3 .^p��3]q� � Compensador de Adelanto

Y la función de transferencia en lazo cerrado completa del sistema estaría determinada por.

r��d�� 6��5��

1 ��6��5��

Una última inspección al LGR del sistema compensado es conveniente para evaluar la estabilidad del sistema, ver el comportamiento de los polos en lazo cerrado y luego si poder determinar el margen de fase y el margen de ganancia a fin de asegurar la estabilidad del sistema.

Figura 20: LGR del sistema con compensador de adelanto-atraso

Figura 21: Diagrama de bode para el sistema compensado.

De la grafica de la figura 21 podemos establecer los márgenes de ganancia y fase del sistema compensado a fin de determinar la eficiencia del compensador agregado en serie con la planta y verificar que no sea susceptible a variaciones en los parámetros propios del sistema, teniendo como resultado Mg = 23dB y Mf = 116°, por lo que podemos considerar que nuestro compensador a quedado diseñado y que está definido por las ecuaciones anteriores.



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IV. DISEÑO DEL CONTROLADOR

DISCRETO EN ADELANTO-ATRASO

USANDO EL ENFOQUE DEL LGR

Ya habiendo visto el desarrollo del controlador en tiempo continuo, debemos aplicar ciertas analogías para realizar el procedimiento en tiempo discreto, y lo primero que debemos hacer es determinar el tiempo de muestreo, para esto miramos cual es la frecuencia más alta que se presenta en el sistema, de tal forma que podamos realizar el cálculo del tiempo de muestreo. Del apartado anterior observamos que el sistema tiene un polo en s = - 20, entonces. � � �N N � 2st

t � 202s � 3.1831

t � 1; � 0.3142

Para garantizar la recuperación correcta de la señal se debe cumplir con el criterio de Nyquist que establece que la frecuencia de muestreo fs debe ser cuando menos el doble de la frecuencia de la señal, por lo que el periodo de muestreo Ts deberá ser la mitad para cumplir con esta condición, sin embargo los muestreos en el límite de esta condición presentan un efecto de aliasing al momento de la reconstrucción por lo que se recomienda hacer un muestreo con un tiempo Ts de al menos una decima parte de T. ;� � 0.03142 s Por consideraciones de diseño y facilidad en los cálculos tomaremos Ts = 0.01s de tal forma que se cumpla el criterio de Nyquist. ;� � 0.01 s

Una vez determinado el tiempo de muestreo se procede a la discretización del sistema en lazo abierto usando un retenedor de orden cero.

�� 80.1�q 2.05�7 �

�� ! 1 u1

� ��v4

�� ! 1 u1

�8

0.1�q 2.05�7 �v4

�� 1 k 10�p 1.2687 4.821 1.144q ! 2.8147 2.628 ! 0.8146

Una vez discretizada la planta procedemos a diseñar el compensador de adelanto del sistema que cumpla con la siguiente ecuación.

��R�� R� ! w�� ! 5�

La ganancia Kd se debe escoger de tal forma que no afecte la respuesta del sistema en estado estacionario, entonces.

�R � �1 ! x5��1 ! ��

Para que el compensador diseñado sea de adelanto z0 >zp y Kd>1, generalmente para el diseño del compensador en adelanto de fase, el cero zo del compensador se ubica cerca de la ubicación de uno de los polos de la planta para la cancelación polo-cero y el polo zp del compensador se ubicará a la izquierda del cero de modo que el lugar de raíces se mueva a la izquierda.

Figura 22: Respuesta del sistema en lazo cerrado sin compensador en tiempo discreto Ts=0.01s

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8



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Figura 23: LGR en el Plano Z De la grafica 22 vemos que el sistema presenta unas oscilaciones grandes con un sobre impulso máximo Mp = 70% y que su tiempo de establecimiento en ts = 22s y en la grafica 23 observamos que esto es debido a que sus polos están cerca del borde del circulo unitario. ,7,q � 1 ; 0.995 ; 0.8187 Sabiendo que el agregar un cero al sistema tiene la propiedad de jalar el LGR al interior del círculo unitario y que buscamos una cancelación cero-polo, entonces escogemos la ubicación del cero en las cercanías de uno de los polos del sistema.

Figura 24: LGR con Compensador Gcd=(z -0.995)

Figura 25: Respuesta del sistema con Compensador Gcd=(z -0.995)

Figura 26: LGR con Compensador Gcd=(z -0.8187)

Figura 27: Respuesta del sistema con Compensador Gcd=(z -0.8187)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)

Real Axis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Real Axis

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Real Axis

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



13

Figura 28: LGR con Compensador Gcd=(z -1)

Figura 29: Respuesta del sistema con Compensador

Gcd=(z -1)

Las graficas de la 24 a la 30 muestran el comportamiento del sistema cuando se agrega un compensador Gcd=(z –z0) buscando la cancelación de alguno de los polos de la planta, también de esas graficas podemos observar que el sistema responde mejor cuando el cero se ubica en Gcd=(z -0.995). Sabiendo que el agregar un polo al sistema lo hace menos estable es prudente escoger un comportamiento conservador en el cero de tal manera que la trayectoria de los polos en lazo cerrado del sistema este más al interior del círculo unitario para así poder garantizar un margen de ganancia alto al agregarle el polo al compensador.

��R�� R� ! 0.995�

� ! 5�

También es importante ver que el tiempo de establecimiento es bastante largo, pero esto se deberá corregir al agregar el polo y determinar la ganancia

del compensador de tal manera que cumpla con los requerimientos de diseño establecidos. Una vez determinado el cero de la función es necesario escoger el polo dentro del circulo unitario teniendo en cuenta que para que sea un compensador de atraso z0 debe ser mayor que zp, aquí es conveniente usar una herramienta que nos permita ver el comportamiento del LGR, la respuesta en frecuencia y la respuesta temporal del sistema, por lo que haremos uso del toolbox de control de Matlab® Usando la herramienta sisotool podemos hacer los ajustes necesarios en la posición del polo del compensador de tal manera que podamos lograr una respuesta satisfactoria, hay que aclarar que debemos ubicar el polo de manera manual hasta lograr la respuesta deseada.

Figura 30: LGR del sistema con patrón de ubicación de polos según condiciones de diseño ζ � 0.5 y Ts =

1.6s

De la grafica de la figura 30 podemos observar que las curvas que describen los polos del sistema no intersectan el cruce de las curvas para ζ � 0.5 y Ts = 1.6s por lo que no es posible satisfacer estos criterios de diseño de manera exacta, pero podemos buscar una respuesta que sea satisfactoria para el sistema teniendo como limites superiores las condiciones de diseño establecidas originalmente, de tal manera que.

��R�� R� ! 0.995�� ! 0.77�

Y

�R � �1 ! 0.77��1 ! 0.995� � 46

Por lo que nuestro compensador quedaría de la manera.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Real Axis

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Imag

Axi

s



14

��R�� 46 � ! 0.995�� ! 0.77�

Figura 31: Respuesta al escalón unitario del sistema compensado de manera digital.

De la grafica de la figura 31 se obtienen los siguientes valores. C� � 15.5% 1� � 0.77 �

Figura 32: LGR del sistema Compensado con ��R�� 46 � ! 0.995�

� ! 0.77�

Figura 33: Respuesta en frecuencia del Sistema compensado

De la figura 33 podemos ver que el margen de ganancia del sistema compensado es de 13.5dB y el margen de fase es de 52.5 Grados, de aquí en adelante podemos hacer ajustes en la ubicación de los polos y ceros del compensador con la herramienta sisotool de tal manera que logremos mejorar el margen de ganancia sin desmejorar la respuesta en el dominio del tiempo obtenida.

��R�� 91 � ! 0.992�� ! 0.3�

Con este nuevo compensador se obtienen los siguientes datos. C� � 4.2% 1� � 1.59 � Lo que todavía cumple con los requerimientos de diseño originales.

Figura 34 : Respuesta a la entrada escalón del

sistema compensado con ��R�� 91 �4��.zz7��4��.q�

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 1.16Overshoot (%): 15.5At time (seconds): 0.37

System: Closed Loop r to yI/O: r to ySettling time (seconds): 0.769

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


100

101

102

103

104

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

P.M.: 52.5 degFreq: 7.23 rad/s

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

G.M.: 13.4 dBFreq: 20.5 rad/sStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I/O: r to yPeak amplitude: 1.04Overshoot (%): 4.18At time (seconds): 0.67




15

Figura 35: LGR del sistema compensado

Figura 36: Respuesta en frecuencia del sistema

compensado

Una vez finalizado el diseño del compensador y después de hacerle los ajustes necesarios para mejorar el margen de fase y el margen de ganancia obtenemos los siguientes resultados. Margen de fase 68.6 Grados en comparación con 52.5 Grados inicialmente y margen de ganancia 23.4dB en comparación con 13.5dB iníciales, al hacer este ajuste se sacrifico el tiempo de respuesta por una mayor estabilidad del sistema sin sobrepasar los límites impuestos en los criterios de diseño. El procedimiento para calcular el compensador de atraso es similar al de adelanto teniendo en cuenta que zo<zp , por lo que el compensador debe satisfacer la ecuación característica siguiente.

��RG�� RG� ! wG�� ! 5G�

Definimos K de la siguiente manera. � � ��R k ��RG

Entonces, el compensador de atraso quedara de la siguiente manera.

��RG�� R � ! 0.75�� ! 0.61�

Y ��R � 1.56

Entonces el compensador completo de adelanto-atraso quedaría.

��R{�� 142 � ! 0.992�� ! 0.3�

� ! 0.75�� ! 0.61�

Figura 37: LGR y respuesta en frecuencia del sistema compensado en adelanto y atraso con

controlador digital.

Figura 38: Respuesta al escalón unitario del sistema

compensado. De la figura 38 podemos determinar que el sistema tiene un Mp= 4% y un tiempo de establecimiento ts = 1.7s por lo que es necesario hacer un último ajuste de los valores de los polos y ceros del compensador para lograr la respuesta deseada. Para esto hacemos de nuevo uso de la herramienta del toolbox de control de Matlab® sisotool moviendo los

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Real Axis

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90


-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20


Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)

10-2

10-1

100

101

102

103

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90


Frequency (rad/s)

Pha

se (

deg)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60


Mag

nitu

de (

dB)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Imag

Axi

sA

mpl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 1.04Overshoot (%): 3.87At time (seconds): 0.79



16

polos y ceros del compensador en las cercanías de sus ubicaciones originales, para finalmente obtener el compensador deseado y que estaría determinado por la siguiente función de transferencia.

��R{�� 200 � ! 0.98�� ! 0.3�

� ! 0.75�� ! 0.61�

Figura 39: Respuesta del sistema al escalón unitario

con el compensador de adelanto-atraso

Figura 40: LGR de sistema Compensado con

controlador de Adelanto-atraso


compensado

En la figura 39 podemos observar que el Mp=16.1% y el ts=1.2s lo que satisface los criterios de diseño establecidos originalmente en lo que respecta al sobre impulso máximo y el tiempo de establecimiento al 2%, ahora se debe verificar el valor del factor de amortiguamiento relativo que lo podemos obtener de la definición del máximo impulso de la siguiente manera.

C� � .� abQ �bI � 0.161

Entonces ζ � 0.49764

Y un último análisis en las graficas 40 y 41 nos permite observar que el margen de fase y de ganancia del sistema con el compensador de adelanto-atraso es grande lo que nos garantiza una estabilidad del sistema compensado en un amplio espectro de ganancia estática.

Mf =58.3°

Mg = 22dB Entonces observamos que el agregar el compensador de atraso no afecta considerablemente la respuesta del sistema pero nos garantiza una reducción en el error de estado estacionario. Finalmente el diagrama de bloques del sistema compensado quedaría de la siguiente manera.

Figura 42: Diagrama de Bloques del sistema en

tiempo discreto

Dónde.

�� 200 � ! 0.98�� ! 0.3�

� ! 0.75�� ! 0.61�

Y

�5�� 1 k 10�p 1.2687 4.821 1.144q ! 2.8147 2.628 ! 0.8146

Una vez finalizado el diseño del compensador de adelanto-atraso es bueno hacer una comparación con la respuesta deseada del sistema según los criterios de diseño que se establecieron en un principio, para esto es bueno recordar que el sistema compensado debe

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 1.16Overshoot (%): 16.1At time (seconds): 0.41


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Real Axis

Imag

Axi

s

10-2

10-1

100

101

102

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90


Pha

se (

deg)

-60

-40

-20

0

20

40

60

80


Mag

nitu

de (

dB)



17

responder como un sistema de segundo orden como lo indica la siguiente ecuación.

�� 25�7 5� 25

Al hacer el proceso de discretización con el método del retenedor de orden cero el sistema queda de la siguiente manera.

�� 0.00122z 0.001207 ! 1.949 0.9512

Figura 42: Respuesta al escalón del sistema deseado

con compensador

Figura 43: LGR del sistema deseado con compensador


deseado con compensador

Haciendo una comparación final entre la respuesta deseada y la respuesta obtenida, podemos observar que la respuesta del sistema no es exactamente la deseada, sin embargo los resultado obtenidos con el compensador diseñado son satisfactorios como se puede observar en la siguiente tabla. Criterio Deseado Diseñado Mp % 16% 16.1% ts(2%) 1.6s 1.2s

Mf 32º 58.3º Mg 21.5dB 22dB } 0.5 0.49764

Tabla 2: Cuadro comparativo de los valores

deseados y los valores obtenidos con el compensador diseñado.

V. CONCLUSIONES

Si bien no hay un método definido para el diseño de controladores sí podemos establecer una secuencia lógica que podría ser útil para resolver problemas de ingeniería, en el caso particular la manera de abordar este problema partió de la conjetura de poder lograr una estabilidad del sistema variando la ganancia estática de la planta, en algunos casos esto es posible siempre y cuando se cumplan unas condiciones de margen de ganancia, en nuestro caso esto no fue posible, por eso fue necesario graficar el LGR para determinar la estabilidad del sistema. Agregar ceros al sistema atrae el LGR al semiplano izquierdo haciéndolo más estable, por lo que es recomendable hacer este tipo de ajustes compensándolos mediante redes de adelanto, una forma de escoger el cero del compensador de adelanto es ver cómo se comporta al ubicarlo en la

Time (seconds)

0 0.5 1 1.5 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

31.4

62.8

94.2

126

157

188

220

251

283

314

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0


-100

-80

-60

-40

-20

0

20




18

intersección de las asíntotas con el eje real y acercarlo de manera gradual al origen hasta tener una respuesta cercana a la deseada del sistema. Una vez obtenido el cero, se procederá a calcular el polo del compensador que deberá estar lo suficientemente alejado del los polos de la planta para que no sea considerado como un polo dominante y su efecto no sea significativo sobre el sistema. Es necesario hacer ajustes de los valores z, p y Kc luego de calculados con ayuda de un software que nos permita ver el comportamiento del sistema a esta variaciones. Un compensador de adelanto será en gran parte de los casos un buen sistema de control para una planta si se desea obtener estabilidad y tiempos de respuesta bastante cortos, si por otro lado necesita agregar un poco mas de rigurosidad y hacer que el error del sistema cumpla con unas especificaciones particulares, debería entonces agregar un compensador de atraso de fase en serie con la planta. Realizar controladores en tiempo discreto no difiere mucho de las técnicas usadas en tiempo continuo, es posible hacer analogías y se deben tener en cuenta el efecto que tiene agregar polos y ceros al sistema. Hacer el proceso de discretización con un retenedor de orden cero agrega un polo al sistema en el borde del circulo unitario, esto se debe al integrador que se agrega en serie con la planta por lo que es bueno buscar un cero en el compensador en las cercanías de uno de los polos de la planta buscando la cancelación cero-polo para lograr una estabilidad del sistema. Agregar un cero en el controlador discreto tiene la propiedad de arrastrar el LGR al interior del circulo unitario, al igual que en tiempo continuo arrastraba el LGR al semiplano izquierdo haciendo el sistema más estable y reduciendo las oscilaciones y el tiempo de establecimiento. Conociendo el efecto que tiene el agregar polos y ceros al sistema, es posible mediante el uso de herramientas sofisticadas para el diseño de controladores ubicar los polos y ceros de forma manual y hacer variación de la ubicación de los mismos hasta lograr los valores deseados que garanticen la estabilidad de la planta y los requerimientos de diseño del controlador.

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