ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS

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Figura 3.4 Geometría de la estructura de un piso.

Para encontrar la columnas de la matriz se dibujaran elementales y se miden las

deformaciones A iq

p . Estas son positivas si el pórtico se desplaza en sentido de la orientación positiva.

• EJEMPLO 1

Determinar la matriz de compatibilidad de la estructura de un piso indicada en la

figura 3.2. A

• SOLUCIÓN

Primera columna de la matriz A

1011 ≠== iqyq i

Figura 3.5 Deformada elemental 1q

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE

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Es el centro de masa el que se desplaza horizontalmente, en sentido X, la unidad pero como la losa es totalmente rígida en el plano, toda la losa se mueve la unidad como se aprecia en la figura 3.5. Ahora se debe medir las deformaciones en cada uno de los pórticos.

0011 )(

1)(

1)2(

1)1(

1 ==== BA pppp Entre paréntesis se ha identificado al pórtico. Para los pórticos en sentido X, los

desplazamientos son positivos y valen la unidad; en cambio, para los pórticos en sentido Y, son nulos ya que la estructura se mueve como cuerpo rígido en sentido X.

Segunda columna de la matriz A

La deformada elemental se presenta en la figura 3.6; en este caso la losa se mueve como cuerpo rígido, en sentido Y, la unidad.

2012 ≠== iqyq i

Figura 3.6 Deformada elemental . 2q

Luego los desplazamientos laterales de cada uno de los pórticos son:

1100 )(1

)(1

)2(1

)1(1 ==== BA pppp

Se deja al lector la obtención de los elementos de la tercera columna de A, los valores

que se obtienen, son:

335.25.2 )(1

)(1

)2(1

)1(1 =−==−= BA pppp

Luego la matriz A, resulta:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

0.3100.3105.2015.201

A

ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS

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La matriz A es particionada, para el ejemplo se tiene:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)(

)2(

)1(

B

A

A

A

A

A

A

La matriz A del pórtico 1, es:

[ ]5.201)1( −=A

La matriz A de cada pórtico tiene una fila debido a que la estructura es de 1 piso y tiene 3 columnas. Para el caso general la matriz de compatibilidad A tendrá NP filas y 3 por NP columnas, siendo NP el número de pisos y la forma de esta matriz es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

n

i

rSenCos

rSenCosA

αα

αα...................

1)( ( 3.2 )

Donde α es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje X, es la distancia desde el origen de coordenadas CM hasta el pórtico ( i ) en el piso uno, es la distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. Los valores de

1r nr

r , tienen signo, serán positivas si la orientación positiva del pórtico rota con respecto al CM en forma antihorario.

3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO

Para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso , se considera como artificio que cada uno de los pórticos, son elementos de una estructura que están unidos entre si por medio de una losa rígida. Con esta hipótesis, la matriz de rigidez se obtiene empleando la teoría de Análisis Matricial de Estructural. Aguiar (2004) que establece lo siguiente:

EK

∑=

=NP

i

iiL

tiE AKAK

1

)()()( ( 3.3 )

El procedimiento de cálculo para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, es

el siguiente:

i. Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos planos.

LK

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE

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ii. Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones de cada pórtico,

empleando la ecuación ( 3.2 ). A

iii. Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, empleando la ecuación

(3.3).

Se desea ver la contribución de un pórtico cualquiera a la matriz de rigidez en coordenadas de piso . Sea la matriz de rigidez lateral del pórtico y la matriz de compatibilidad.

EK )(iLK )(iA

[ ]rISenICosA i αα=)(

Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 3.3 ) se obtiene:

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∆2)()()()()()(

)()()(2)(

)()()()(2

iiL

iiL

iiL

iiL

iL

iL

iiL

iL

iL

E

rKrKSenrKCos

rKSenKSenKCosSen

rKCosKCosSenKCos

K

αα

ααα

ααα

α

α

( 3.4 )

En ( 3.4 ) se ha denominado EK∆ a la contribución de un pórtico a la matriz de rigidez de la estructura. Para hallar la matriz de rigidez total se debe sumar la contribución de los demás pórticos con lo que se obtiene:

EK

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

2)()()()()()(

)()()(2)(

)()()()(2

iiL

iiL

iiL

iiL

iL

iL

iiL

iL

iL

E

rKrKSenrKCos

rKSenKSenKCosSen

rKCosKCosSenKCos

K

αα

ααα

ααα

α

α

( 3.5 )

La sumatoria se extiende a todos los pórticos de la estructura. La matriz de rigidez es de orden 3NP por 3NPy es simétrica con respecto a la diagonal principal. De igual manera la matriz se puede escribir de la siguiente manera:

EK

EK

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

θθ

θ

θ

KKKKKK

K YYY

XXYXX

E ( 3.6 )

Siendo las matrices de rigidez lateral por traslación; matriz de rigidez torsional; matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión; es la matriz trasnacional de acoplamiento en las direcciones X,Y.

YYXX KK , θθK

θθ YX KK , XYK