FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

SISTEMAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES - FMM312

PAUTA Primera SolemneSistemas y Ecuaciones Diferenciales Lineales - FMM312

Sea P3[x] el espacio vectorial de todos los polinomios de grado estrictamente menor a 3 y H = {p(x) ∈ P3 | p′(1) = 0}.

(a) Muestre que el polinomimo q(x) = x2 − 2x+ 5 es un elemento de H

Solución: Observe que la derivada de q(x) es q′(x) = 2x− 2, así que q′(1) = 2− 2 = 0, por lo tanto q(x) ∈ H.

(b) Muestre que H es un subespacio vectorial de P3.

Solución: Sean p1, p2 ∈ H, entonces:

(p1 + p2)′(1) = p′1(1) + p′2(1) = 0 + 0 = 0 =⇒ p1 + p2 ∈ H

De la misma forma, si αR, p ∈ H,

(αp)′(1) = α · p′(1) = α · 0 = 0 =⇒ αp ∈ H

(c) Encuentre una base para H y halle la dimensión del espacio vectorial H.

Solución: Si p(x) = a+ bx+ cx2 es un elemento de H, entonces:

p′(x) = b+ 2cx =⇒ p′(1) = b+ 2c = 0

así que b = −2c. Entonces, si p(x) es un elemento de H

p(x) = a− 2cx+ cx2 = a(1) + c · (−2x+ x2)

Luego, H = G{1 , −2x + x2} y, dado que estos polinomios son linealmente independientes se concluye que la

base del subespacio vectorial H es H =⟨1 , −2x+ x2

⟩y su dimensión es 2.

SOLUCIÓN PROBLEMA 1.

Considere

W =

{(x, y, z, w) ∈ R4

/x+ y + z + w = 02x+ y − z + w = 0

}; H =

{(x, y, z, w) ∈ R4

/3x+ y + z − w = 04x− y − z + 2w = 0

}(a) Determine base y dimensión de H ∩W y H +W

Solución: Calculamos las bases de los espacios W y H, obteniendo que

W = {(2,−1, 1, 0) ; (0,−1, 0, 1)}

H = {(1,−10, 0,−7) ; (0,−1, 1, 0)}

Luego, para analizar la suma aplicaremos el teorema del rango, esto es:

2 −1 1 00 −1 0 11 −10 0 −70 −1 1 0

∼

2 −1 1 00 −1 0 10 −19 −1 −140 −1 1 0

∼

2 −1 1 00 −1 0 10 0 −1 −310 0 1 −1

∼

2 −1 1 00 −1 0 10 0 −1 −310 0 0 −32

Esto implica que la dimensión del espacio W + H es 4, por lo tanto, utilizando el teorema de dimensiones se

concluye que:

dim(H ∩ W ) = 0

(b) ¾R4 = H ⊕W?

Solución: Utilizando lo analizado en la parte (a) se concluye que R4 = H ⊕ W , ya que dim(H ∩ W ) = 0 y,

dim(R4) = dim(H) + dim(W )

SOLUCIÓN PROBLEMA 2.

2

Considere T : R3 → R3 de�nida por

T (x, y, z) = (2x− y , x+ y + z , 3x− y + z)

Calcule [T ]αα si

[I]αβ =

2 1 11 2 21 1 2

y β = {(4, 2, 2) ; (4, 0, 2) ; (4, 2, 0)}

Solución: Sabemos que [T ]αα = [I]αe · [T ]eα, donde e corresponde a la base canónica, por lo tanto para encontrar la

base α relacionada en la ecuación anterior utilizaremos la matriz [I]βα la cual se obtiene calculando la inversa de [I]αβ ,esto es:

2 1 1 1 0 01 2 2 0 1 01 1 2 0 0 1

∼ 2 1 1 1 0 0

0 3 3 −1 2 00 1 3 −1 0 2

∼ 6 0 0 4 −2 0

0 3 3 −1 2 00 0 6 −2 −2 6

∼ 1 0 0 2

3 − 13 0

0 1 0 0 1 −10 0 1 − 1

3 − 13 1

Lo anterior implica que si α = {~v1 ; ~v2 ; ~v3} entonces:

~v1 =2

3· (4, 2, 2) + 0 · (4, 0, 2) +

(−1

3

)· (4, 2, 0) =

(4

3,2

3,4

3

)

~v2 = −1

3· (4, 2, 2) + 1 · (4, 0, 2) +

(−1

3

)· (4, 2, 0) =

(4

3,−4

3,4

3

)~v3 = 0 · (4, 2, 2) + (−1) · (4, 0, 2) + (1) · (4, 2, 0) = (0, 2,−2)

=⇒ [I]eα =

43

43 0

23 − 4

3 2

43

43 −2

Lo cual implica que

[I]αe =

0 1

112

34 − 1

2 − 12

12 0 − 1

2

Calculamos [T ]eα por medio de

T

(4

3,2

3,4

3

)=

(2,

10

3,14

3

); T

(4

3,−4

3,4

3

)=

(4,

4

3,20

3

); T (0, 2,−2) = (−2, 0,−4)

Finalmente

[T ]αα =

4 4 −2

− 52 −1 1

2

− 43 − 4

3 1

SOLUCIÓN PROBLEMA 3.

3