p r e s e n t a m. en c. leobardo morales...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS NANOTUBOS DE CARBONO

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE D O C T O R E N C I E N C I A S

CON ESPECIALIDAD EN I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A

P R E S E N T A M. en C. LEOBARDO MORALES RUIZ

DIRECTOR DR. ALEXANDER BALANKIN

México, Distrito Federal, Junio del 2012

Dedicatoria

Con mi mayor alegría, dedico este trabajo a mis padres:

Joel Morales Franco

Eva Ruiz Garcés

Por su cariño y apoyo incondicional

Agradecimientos Institucionales

Agradezco de una manera muy especial, al Instituto Politécnico Nacional. Por

ofrecerme una ventana al conocimiento, permitiendo mi formación y desarrollo de

una manera integral. Formación que abarcó los estudios de Licenciatura, Maestría y

Doctorado.

Agradezco también a las siguientes instituciones, por brindarme apoyo económico

durante diferentes etapas de mi formación académica, proporcionando los recursos

necesarios para la conclusión exitosa de esta tesis doctoral.

Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología

Instituto de Ciencia y Tecnología del Distrito Federal

Tecnología Aplicada en Exploración y Producción Petrolera S. A. de C. V.

Agradecimientos Personales

Quiero expresar mi más sincero agradecimiento al Dr. Alexander Balankin, pues su

invaluable apoyo y oportuna dirección, incentivaron el desarrollo de mis habilidades

como investigador, permitiendo llevar a buen fin esta tesis doctoral. Gran maestro,

siempre disponible en los momentos cruciales, las discusiones sostenidas fueron

altamente enriquecedoras en la búsqueda de las soluciones.

Agradezco a los doctores Orlando Susarrey Huerta, Iván Campos Silva, Didier

Samayoa Ochoa, José Martínez Trinidad y Ernesto Pineda León, por los consejos y

observaciones efectuadas durante el desarrollo del presente trabajo.

Al Dr. Francisco A. Cabrera Cárdenas, por su apoyo y consejos para seguir por el

camino de la superación profesional.

A mis amigos, por hacer esta estancia no solamente agradable, sino divertida.

i ________________________________________________________________________________

Resumen

En este estudio se recabó información disponible en la literatura con respecto de las

propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono de pared única, como son el Módulo

de Young, el Módulo de Corte y la Relación de Poisson, con la finalidad de determinar sus

funciones de densidad.

Se estableció una metodología para la extracción de los valores de estas propiedades,

cuando éstas son proporcionadas de manera gráfica. Ya sea que los datos sean graficados

de manera directa o bien como una función de la segunda derivada de la energía de la

deformación.

El ajuste de los datos a funciones de densidad se realizó a través de @Risk, y la bondad del

ajuste fue evaluado por el estadístico de Chi-cuadrada, Anderson-Darling y Kolmogorov-

Smirnov, dándoles prioridad a las distribuciones que fueron clasificadas en las mejores

posiciones y que aparecieron en la mayoría de los casos de estudio.

Inicialmente se obtuvo la función de densidad de las propiedades mecánicas usando todos

los datos disponibles, sin importar su diámetro. Posteriormente para el caso del módulo

de Young y el módulo de corte, se efectuaron análisis separando los datos de los

nanotubos considerando si su diámetro era menor o mayor de un nanómetro.

Posteriormente se contrastó el valor de los estadísticos de la bondad de ajuste, entre los

casos donde el ajuste se obtuvo sobre todos los datos sin importar el diámetro, con el

ajuste de las distribuciones obtenidas para el caso en que los datos fueron separados en

dos intervalos.

Para el caso de la relación de poisson, se consideró en el estudio clasificar primero a los

nanotubos de Carbono con base en su quiralidad, y posteriormente subclasificarlos en

base a su diámetro.

De esta manera, para cada propiedad mecánica, se obtuvo más de una función de

densidad.

ii ________________________________________________________________________________

Abstract

On this study information available in the literature regarding the mechanical properties

of single wall Carbon nanotubes, such as the Young's modulus, shear modulus and

Poisson's ratio, was collected; in order to determine their density functions.

For the case in which data is provided in graphical form, a method for extracting the

values of these properties was established; whether the mechanical property is plotted

directly as if it is a function of the second derivative of the strain energy.

The fitting of the data to the density functions was performed by using @Risk, and the

goodness of fit test was evaluated by the statistics of Chi-square, Anderson-Darling and

Kolmogorov-Smirnov; giving priority to distributions that were ranked in the best positions

and also they appeared in most cases of study.

Initially, the density function of the mechanical properties was fitted by using all available

data, regardless of their diameter. Then, for the cases of Young's and shear modulus,

previous to the fitting of the data to a density function, the property was classified

regarding their diameter (if nanotubes were smaller or greater than one nanometer).

Subsequently, the statistics for the goodness of fit test for the three cases were compared.

For the case of Poisson ratio, in addition to the analysis done for young and shear

modulus, nanotubes were also first classified by chirality. All these cases were compared

and density functions were chosen.

In this way, for each mechanical property, several density functions were available to

characterize the mechanical properties for different intervals.

iii ________________________________________________________________________________

Tabla de Contenido

Pag.

Resumen ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ i

Abstract ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ii

Tabla de Contenido ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ iii

Lista de Figuras ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ vii

Lista de Tablas ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xiii

Simbología ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xvii

Objetivo ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xxi

Justificación ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xxii

1 Introducción a los Nanotubos de Carbono

1.1 Estructuras del Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1

1.1.1 Enlaces entre los Átomos del Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4

1.2 Fulerenos ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 10

1.3 Nanotubos de Carbono (NTsC) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 12

1.4 Estructura de los NTsC ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 14

1.5 Deducción de las Relaciones Geométricas en los NTsC ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 19

1.5.1 Vectores a1 y a2 en Coordenadas Cartesianas ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 20

1.5.2 Vector Quiral en Coordenadas Cartesianas ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 22

1.5.3 Ángulo Quiral ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 23

1.5.4 Diámetro del Nanotubo ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 25

1.6 Espesor de los Nanotubos de Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 26

1.6.1 Convenciones con respecto al Espesor ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 27

1.6.2 Situaciones en las que Fallan las Convenciones del Espesor ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 28

1.7 Referencias ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 31

iv ________________________________________________________________________________

Pag.

2 Propiedades Mecánicas 35

2.1 Energía de Deformación ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 37

2.1.1 Energía de Deformación en NTsC ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 40

2.1.2 Energía de Curvatura en NTsC ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 43

2.1.3 Modelo Continuo para la Energía de Curvatura en SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 45

2.2 Relaciones Esfuerzo−Deformación ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 53

2.2.1 Ley de Hooke ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 54

2.2.2 Matriz de Rigidez para Nanotubos ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 62

2.2.3 Módulo de Young ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 65

2.2.4 Relación de Poisson ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 77

2.3 Referencias ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 79

3 Funciones de Densidad 82

3.1 Variable Aleatoria ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 85

3.2 Función de Distribución Acumulada ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 85

3.3 Función de Densidad ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 86

3.4 Resumen de algunas Funciones de Probabilidad ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 88

3.4.1 Función Logística ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 89

3.4.2 Función Log-Logística ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 90

3.4.3 Función de Valores Extremos ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 93

3.4.4 Función Gauss Inversa ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 94

3.5 Funciones de Densidad para los SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 96

3.5.1 Metodología ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 96

3.5.2 Módulo de Young: Todos los Diámetros ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 98

3.5.2.1 Módulo de Young: Diámetro < 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 101

v ________________________________________________________________________________

Pag.

3.5.2.2 Módulo de Young: Diámetro ≥ 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 104

3.5.3 Módulo de Corte: Todos los Diámetros ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 107

3.5.3.1 Módulo de Corte: Diámetro < 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 110

3.5.3.2 Módulo de Corte: Diámetro ≥ 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 112

3.5.4 Relación de Poisson ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 115

3.5.4.1 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los

Diámetros ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

115

3.5.4.1.1 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades:

Diámetro < 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

118

3.5.4.1.2 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades:

Diámetro ≥ 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

120

3.5.4.2 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los

Diámetros ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

123

3.5.4.2.1 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales:

Diámetro < 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

125

3.5.4.2.2 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales:

Diámetro ≥ 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

128

3.5.4.3 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los

diámetros ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

130

3.5.4.3.1 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales:

Diámetro < 1nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

133

3.5.4.3.2 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales:

Diámetro ≥ 1 nm ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

135

3.5.5 Resumen de Funciones de Probabilidad para las Propiedades

Mecánicas de los SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

138

3.5.5.1 Fórma Paramétrica ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 138

3.5.5.2 Funciones de densidad ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 139

vi ________________________________________________________________________________

Pag

3.5.5.3 Función de Distribución Acumulada ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 142

3.5.6 Análisis de los Resultados ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 145

3.6 Referencias ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 148

Conclusiones ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 151

Apéndice A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 154

Apéndice B ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 158

Apéndice C ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 162

Publicaciones ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 166

vii ________________________________________________________________________________

Lista de Figuras

Figura Descripción Pag.

Figura 1.01 Cuatro formas cristalinas perfectas del Carbono: el diamante,

grafito, el nanotubo y el fulereno, i.e. C60 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

Figura 1.02 La madre de todas las formas grafíticas ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

Figura 1.03 Forma de los orbitales s y p ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4

Figura 1.04 Hibridización sp3 de los orbitales de Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6

Figura 1.05 a) Representación de la nube electrónica del orbital hibrido sp3,

b) Ejes tetragonales de cuatro orbitales hibridizados sp3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

6

Figura 1.06 Enlace de los orbitales híbridos sp3 (enlace−σ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7

Figura 1.07 Hibridización de los orbitales sp2 del Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 8

Figura 1.08 Sección Plana de los orbitales híbridos sp2 del átomo de Carbono ⋅ 8

Figura 1.09 Formación de una estructura hexagonal mediante enlaces de los

orbitales híbridos sp2 (enlaces−σ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

9

Figura 1.10 Espectro de los clusters de Carbono obtenido mediante un

espectrómetro de masas, usando fotoionización y un analizador de

tiempo de vuelo ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11

Figura 1.11 Molécula C60 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 12

Figura 1.12 Micro-fotos electrónicas de Nanotubos de Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 13

Figura 1.13 Diagrama esquemático mostrando un arreglo helicoidal de un

nanotubo de Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

15

Figura 1.14 Formación de un nanotubo a partir de una lámina de grafeno ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 16

Figura 1.15 Nanotubos del tipo sillón, zig-zag y quiral, así como sus tapas

correspondientes ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

19

Figura 1.16 Estructura Hexagonal del Grafeno ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 20

viii ________________________________________________________________________________


Figura 1.17 Estructura básica para una capa de grafeno, la cual está enlazada

hexagonalmente ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

27

Figura 1.18 Representación tri-dimensional de la estructura del grafito ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 28

Figura 2.01 a) Desplazamiento bajo un esfuerzo uni-axial. b) Trabajo realizado

por el esfuerzo uni-axial ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

37

Figura 2.02 Energía de deformación (eV por átomo de Carbono) vs

deformación unitaria bajo cargas de tensión en la dirección axial

del nanotubo del tipo sillón (5,5) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

40

Figura 2.03 Gráfico de la energía potencial U vs desplazamiento, para un

nanotubo (10,10) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

40

Figura 2.04 Energía de deformación minimizada relativa a la del grafito (eV por

átomo de Carbono) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

45

Figura 2.05 Energía de deformación versus radio del nanotubo ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 45

Figura 2.06 Vista de una viga, la cual es doblada hasta que forma el radio R

cuando se le aplica el momento flexionante M ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

46

Figura 2.07 Varias gráficas para la Energía de deformación vs Radio ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 50

Figura 2.08. a) Cubo unitario de un cuerpo sometido a esfuerzos tri-

dimensionales; donde sólo se muestran las componentes en tres

de las caras expuestas. b) Cubo unitario cuando es alargado en la

dirección de Ox3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

53

Figura 2.09 Nanotubos de Carbono de pared única. a) Planos de simetría en

una nanocuerda. b) Sección transversal de la celda unitaria de una

nanocuerda. c) Sistema coordenado en un SWCNT ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

63

Figura 2.10

Segunda derivada de la energía por átomo de carbono con

respecto de la deformación unitaria obtenida numéricamente. La

deformación tuvo lugar en la dirección del eje del nanotubo, y

efectuada para los potenciales EP1 y EP2. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

67

ix ________________________________________________________________________________


Figura 2.11 Cambio de la energía total ∆Etot como función de la deflexión ∆z,

para bucky tubos de C100, C200 y C400 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

68

Figura 2.12 Micrografías de fibras de nanotubos con uno de sus extremos libre,

obtenidas por TEM a 300 K y 600 K ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

73

Figura 2.13 Grafico del cuadrado del promedio de la amplitud de vibración

contra la temperatura, para un nanotubo en voladizo de 5.1 µm de

longitud, 16.6 nm de ancho ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

73

Figura 2.14 Propiedades elásticas de los nanotubos. A El módulo de Young Eb

como función del diámetro. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

76

Figura 2.15 Imagen obtenida por HRTEM de un nanotubo flexionado a un radio

de curvatura≈400 nm. B y C Vistas magnificadas de una porción de

D. D Nanotubo que muestra características onduladas al ser

comprimido. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

76

Figura 2.16 Relación de Poisson vs radio del nanotubo ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 78

Figura 3.01 Nanoestructuras a base de nanotubos ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 84

Figura 3.02 Evaluación de la Probabilidad de Falla ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 84

Figura 3.03 Función de Distribución Acumulada ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 86

Figura 3.04 Función de densidad ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 88

Figura 3.05 Función de densidad logística cuando μ=0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 90

Figura 3.06 Función de densidad Log-logistic mostrando diferentes formas

dependiendo del tercer parámetro, el de forma ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

92

Figura 3.07 Función de densidad de Valores Extremos (extremo máximo) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 94

Figura 3.08 Función de densidad Gauss Inversa ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 96

Figura 3.09 Módulo de Young Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 98

Figura 3.10

Función de densidad de probabilidad (Módulo de Young: Todos los

diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

100

x ________________________________________________________________________________


Figura 3.11 Función de distribución acumulada (Módulo de Young: Todos los

diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

101

Figura 3.12 Función de Densidad Probabilística para el Módulo de Young

(d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

103

Figura 3.13 Función de Distribución Acumulada para el Módulo de Young

(d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

104

Figura 3.14 Función de Densidad Probabilística (Módulo de Young: d≥1nm) ⋅ ⋅ ⋅ 106

Figura 3.15 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Young: d≥1nm) ⋅ ⋅ ⋅ 106

Figura 3.16 Módulo de Corte Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 107

Figura 3.17 Función de Densidad Probabilística (Módulo de Corte: Todos los

diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

109

Figura 3.18 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: Todos los

diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

109

Figura 3.19 Función de Densidad de Probabilidad (Módulo de Corte: d<1nm) ⋅ ⋅ 111

Figura 3.20 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 112

Figura 3.21 Función de Densidad de Probabilidad (Módulo de Corte: d≥1nm) ⋅ ⋅ 114

Figura 3.22 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: d≥1nm) ⋅ ⋅ ⋅ 114

Figura 3.23 Relación de Poisson Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 115

Figura 3.24 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Todas

las Quiralidades: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

117

Figura 3.25 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las

Quiralidades: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

117


las Quiralidades: d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

119

Figura 3.27

Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las

Quiralidades: d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

120

xi ________________________________________________________________________________



las Quiralidades: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

122

Figura 3.29 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las

Quiralidades: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

122

Figura 3.30 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson:

Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

124

Figura 3.31 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson:

Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

125


Nanotubos Aquirales: d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

127


Nanotubos Aquirales: d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

127


Nanotubos Aquirales: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

129


Nanotubos Aquirales: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

130

Figura 3.36 Función de Densidad Probabilística para la Relación de Poisson

(Quirales: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

132

Figura 3.37 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Quirales:

Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

132


Quirales: d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

134


d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

135

Figura 3.40

Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson:

Quirales: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

137

xii ________________________________________________________________________________



d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

137

xiii ________________________________________________________________________________

Lista de Tablas

Tabla Descripción Pag.

Tabla 2.01 Energía de Curvatura para los nanotubos de Carbono ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 49

Tabla 2.02 Los índices tensoriales son reemplazados por índices matriciales

siguiendo la convención de Voigt ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

59

Tabla 2.03 Relación de Poisson obtenida por diferentes métodos ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 78

Tabla 3.01 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo

de Young: Todos los datos) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

99

Tabla 3.02 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de

densidad (módulo de Young: Todos los datos) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

99

Tabla 3.03 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Modulo

de Young: d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

102


densidad (Módulo de Young: d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

102


de Young: d≥1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

104


densidad (Módulo de Young: d≥1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

105


de Corte: Todos los datos) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

108


densidad (Módulo de Corte: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

108

Tabla 3.09

Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo

de Corte: d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

110

xiv ________________________________________________________________________________



densidad (Módulo de Corte: d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

110


de Corte: d≥1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

112


densidad (Módulo de Corte: d≥1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

113

Tabla 3.13 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación

de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

116


densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los

diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

116


de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

118


densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm) ⋅ ⋅ ⋅

118


de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

120


densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅

121


de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

123


densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los

diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

123

Tabla 3.21

Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación

de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

126

xv ________________________________________________________________________________



densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

126


de Poisson: Nanotubos Aquirales: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

128


densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d≥1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

128


de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

131


densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los

diámetros) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

131


de Poisson: Nanotubos Quirales: d< 1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

133


densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d< 1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

133


de Poisson: Nanotubos Quirales: d≥ 1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

135


densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d≥ 1 nm) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

136

Tabla 3.31 Representación paramétrica de las funciones de probabilidad que

describen las propiedades mecánicas de los SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

138

Tabla 3.32 Funciones de densidad para el Módulo de Young de los SWCNTs ⋅ ⋅ 139

Tabla 3.33 Funciones de densidad para el Módulo de Corte de los SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ 139

Tabla 3.34

Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs:

Todas las Quiralidades ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

140

xvi ________________________________________________________________________________


Tabla 3.35 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs:

Nanotubos Aquirales ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

140


Nanotubos Quirales ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

141

Tabla 3.37 Funciones de Distribución Acumulada para el Módulo de Young de

los SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

142

Tabla 3.38 Funciones de Distribución Acumulada para el Módulo de Corte de

los SWCNTs ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

142


Todas las Quiralidades ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

143


Nanotubos Aquirales ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

143


Nanotubos Quirales ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

144

xvii ________________________________________________________________________________

Simbología

Símbolo Descripción

A Parámetro igual a Yh3Ω/24

a Constante de red del grafito

ac=c Distancia Carbono-Carbono en la cara hexagonal

a1, a2 Vectores unitarios en la red hexagonal del grafeno

a1x Componente x del vector unitario de la red hexagonal

a1y Componente y del vector unitario de la red hexagonal

A-D Prueba Anderson-Darling

Ch Vector quiral

Cijkl Tensor de rididez

cijkl Coeficientes elásticos

cn Constante efectiva de la viga, cuando es considerada como un tipo de resorte

CDF Función de distribución acumulada (Cumulative Distribution Function)

CNT Carbon Nanotube (Nanotubo de Carbono), ver NTC

CNTs Carbon Nanotubes (Nanotubos de Carbono), ver NTsC

C60 Buckminsterfulereno o bucky-esfera

D, d Diámetro del nanotubo

dA diferencial de área

Db Rigidez a la flexión

DFT Density Functional Theory – Teoría del Funcional de la Densidad

d𝑢𝑢 Deformación de un elemento diferencial en la dirección x

dx, dy, dz Longitud de un elemento diferencial en las direcciones x, y, z

Ec Energía de curvatura por cada átomo de carbono

fn Frecuencia natural y sus armónicos en Hz

Fx Fuerza en la dirección x

𝑓𝑓(𝑥𝑥) Función de densidad de probabilidad

𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) Función de distribución acumulada de la variable aleatoria X

xviii ________________________________________________________________________________


h Espesor de la pared de un nanotubo

HRTEM High Resolution Transmission Electron Microscopy – Microscopía Electrónica

de Transmisión de Alta Resolución

I Momento de inercia

k Constante de Boltzmann

K-S Prueba Kolmogorov-Smirnov

L Longitud

LDA Local Density Approach – Aproximación de Densidad Local

𝑚𝑚 Parámetro de forma de la distribución Weibull

M Momento flexionante

MM Mecánica Molecular

MQ Mecánica Quántica

MWCNTs Multi Wall Carbon Nanotubes – Nanotubos de Carbono de Paredes Múltiples

n Número cuántico principal, índice quiral, modo de vibración

N Número atómico, número de átomos

n, m Índices quirales. (n,0) zig-zag, (n,n) sillón, y (n,m) quiral

Nd-YAG Neodymium-doped Yttrium Aluminium Garnet. Cristal de granate (óxido de

itrio y aluminio) dopado con neodimio.

NTC Nanotubo de Carbono, ver CNT

NTsC Nanotubos de Carbono, ver CNTs

P Presión

pdf Abreviatura de Función de densidad de probabilidad (probability density

function)

R Radio de curvatura

Req Radio del nanotubo en equilibrio y sin aplicación de esfuerzos

SWCNTs Single Wall Carbon Nanotubes – Nanotubos de Carbono de Pared Única

So Superficie del tubo cuando se encuentra en equilibrio

xix ________________________________________________________________________________


sech θ Secante hiperbólica

T Temperatura

tanh θ Tangente hiperbólica

TOF Analizador de masa de tiempo de vuelo (Time-of-flight)

𝑢𝑢 Desplazamiento de un punto sobre el eje x

U Densidad de la energía de deformación

U, Est Energía de deformación, Energía potencial total

Ua Energía de deformación por cada átomo

un Amplitud de la vibración horizontal en la punta de un nanotubo

U0 Energía potencial total inicial en equilibrio

V Volumen

Va Volumen en el que está distribuido cada átomo

V0 Volumen inicial

W Trabajo

Wn Energía de vibración

x valor numérico que toma la variable aleatoria X

X Variable aleatoria

x,y,z Ejes de un sistema coordenado cartesiano

Y Módulo de Young

𝛼𝛼 Parámetro de localización de las funciones logística y de valores extremos,

parámetro de forma en la función Log-logistica

𝛽𝛽 Parámetro de escala de las funciones logística y de valores extremos,

parámetro de forma en la función Log-logística

𝛾𝛾 parámetro de localización de la función Log-logística

εij Tensor de deformación

εkl Tensor de deformaciones

𝜀𝜀𝑥𝑥 Deformación unitaria en la dirección x

xx ________________________________________________________________________________


𝜆𝜆 Parámetro de forma en la función de Gauss inversa

𝜇𝜇 Media de la distribución, medida de tendencia central en la función de Gauss

Inversa

θ Ángulo quiral, ángulo que forma una viga al aplicarle un momento flexionante

κ Curvatura del nanotubo

ν Relación de Poisson

𝜎𝜎𝑐𝑐 Resistencia característica en la distribución Weibull

σij Tensor de esfuerzos

𝜎𝜎𝑥𝑥 Esfuerzo normal en la dirección x

𝜎𝜎2 Varianza

Φ(z) función de distribución acumulada de una distribución normal (0,1)

Ω Área por cada átomo de carbono en el grafeno

ωn Frecuencia natural y sus armónicos en rad/s

xxi ________________________________________________________________________________

Objetivo

En el presente trabajo de tesis doctoral, el principal objetivo es determinar las

funciones de densidad de tres propiedades mecánicas de los nanotubos de

Carbono de pared única, como son el módulo de Young, el módulo de corte y la

relación de Poisson. Adquirir los datos necesarios para el ajuste de las

distribuciones a partir de la información reportada en la literatura sobre éstas

propiedades. La importancia de estas funciones de densidad, radica en el hecho

que permitirá en el futuro la realización de análisis probabilísticos de

nanoestructuras creadas a base de nanotubos de Carbono.

xxii ________________________________________________________________________________

Justificación

Los Nanotubos de Carbono (NTsC) constituyen un ejemplo relevante de los

nanomateriales; es decir, aquellos cuyas características mecánicas, eléctricas, y térmicas

entre otras, son diseñadas a nivel molecular, controlando su forma y tamaño a escala

nanométrica. Los NTsC tienen un gran potencial para futuras aplicaciones pues han

mostrado que tienen novedosas propiedades. En el aspecto electrónico se pueden

comportar como metales o como semiconductores, características que dependen tanto

del diámetro del nanotubo como de su quiralidad. Mecánicamente se ha determinado que

su rigidez es del orden de los Terapascales (0.4-5.5 TPa), y que además de ser muy

resistentes pueden soportar grandes deformaciones antes de que ocurra la fractura (200

GPa y alrededor del 20% de deformación).

Entre las aplicaciones que se han diseñado y pensado, las cuales toman ventaja de las

novedosas características antes mencionadas, se incluyen su uso como nanocables

eléctricos, diodos, transistores, emisores de campo (para su aplicación en: puntas para

microscopios de barrido electrónico, pantallas planas para TV, lámparas), sensores

(químicos, bioquímicos, ópticos, etc.), actuadores, almacenadores de gas, i.e. hidrógeno,

nanotermómetros. Sus características mecánicas únicas pueden ser utilizadas para la

construcción de cables de gran resistencia. Por ejemplo, se ha pensado en la construcción

de un elevador espacial, en el cual el cable con el cual sería construido sería hecho a base

de nanotubos. Aplicaciones más inmediatas tienen que ver con la manufactura de

materiales compuestos para ser empleados en áreas como la aeroespacial y automotriz.

Cuando los NTsC son incorporados a una matriz polimérica se ha encontrado que la

adición de 1 % en peso de nanotubos de carbono de paredes múltiples, incrementa la

tenacidad del polímero. Otros tipos de materiales compuestos que utilizan a la NTsC como

refuerzo son los materiales compuestos cerámicos, i.e. matriz a base de Al2O3, y los

materiales compuestos metálicos, i.e. aquellos cuya matriz es de Al, Mg, titanio, ó Ni/P.

Aún y cuando se han realizado muchas investigaciones acerca de las propiedades

mecánicas de los NTsC, existen varios problemas fundamentales. El primero de ellos tiene

xxiii ________________________________________________________________________________

que ver con el hecho de que para poder determinar el módulo de Young, E, se requiere

conocer el espesor de la pared del tubo, pues generalmente se obtiene a partir de la

segunda derivada de la energía de deformación. Ya que un NTC de pared única está hecho

de una sola capa donde se distribuyen los átomos de carbono, se tiene que el espesor del

tubo ni es continuo ni está definido. De esta manera en la mayoría de los casos se ha

usado uno de los dos espesores que han sido tomados por la mayoría de los

investigadores como una convención. La primera de ellas asigna un espesor del nanotubo

de 0.34 nm, la cual corresponde a la separación que existe entre dos capas del grafito.

Mientras que la segunda convención se obtiene como el espesor continúo de una

membrana que debe de satisfacer la condición de poder soportar deformaciones axiales y

de flexión simultáneamente. Dicho criterio converge cuando el espesor del nanotubo es

de 0.066 nm. El problema radica en que si se sigue la primera convención el valor del

modulo de Young anda en el orden de 1 TPa, mientras que si se sigue la segunda entonces

se obtiene un valor alrededor de 5.5 TPa.

Sin importar cual criterio acerca del espesor se utilice, en ambos casos se tienen una gran

dispersión de los datos, ya sea que éstos hayan sido obtenido por simulaciones o

calculados a partir de mediciones experimentales. Por lo tanto, en el presente trabajo,

consideramos que obtener las propiedades mecánicas desde un punto de vista

probabilístico, sería un primer paso para poder simular el comportamiento de estructuras

más complejas fabricadas a partir de NTsC de una manera que se acerque más a una

aplicación real.

1 Introducción a los

Nanotubos de Carbono

1 Introducción a los Nanotubos de Carbono 1 ________________________________________________________________________________

1.1 Estructuras del Carbono

El Carbono es un material extraordinario; es fundamental para que la vida tenga lugar, así

como en la química orgánica. Los átomos de Carbono también pueden combinarse entre

ellos formando moléculas, las cuales pueden adoptar una de las cuatro estructuras

cristalinas o formas alotrópicas que forman al diamante, grafito, así como a los nanotubos

y fulerenos. [1.01]. Tomando en consideración la dimensión que ocupan estas formas

alotrópicas el diamante es tri-dimensional, ya que sus enlaces se expanden en el espacio y

sus cristales pueden crecer en las tres direcciones. El grafito está formado a partir de una

capa plana hexagonal, también conocida como grafeno. Dimensionalmente el grafeno es

bi-dimensional debido a que el arreglo hexagonal puede extenderse en dos direcciones.

Por otra parte, los nanotubos son uni-dimensionales ya que en su sección transversal los

átomos están colocados alrededor de una circunferencia formando una estructura

cerrada, por lo que el cristal sólo puede crecer en una sola dirección a lo largo del eje axial

del tubo. Finalmente, los fulerenos son cero-dimensionales ya que forman estructuras

esféricas cerradas como si fueran puntos. De esta manera, después de formar la

estructura cerrada, los cristales no pueden crecer a lo largo de ningún eje. En la Figura

1.01, se ilustran las formas alotrópicas del Carbono.

Figura 1.01. Cuatro formas cristalinas perfectas del Carbono: el diamante,

grafito, el nanotubo y el fulereno, i.e. C60 [1.02].

Durante siglos, las únicas formas alotrópicas conocidas del Carbono fueron el grafito y el

diamante; sin embargo, fue hasta hace poco tiempo, sólo después de que los fulerenos


fueron descubiertos por Kroto et al. [1.09] en 1985 que se tuvo conciencia de la existencia

de las otras formas alotrópicas. Incluso, aún y cuando el grafeno había sido estudiado de

manera teórica por más de sesenta años, fue apenas aislado del grafito por Novoselov et

al., en el año 2004 [1.03]. Debe tenerse en cuenta y para ser más precisos, que si bien el

grafito es formado por el apilamiento de capas de grafeno, las propiedades de ambos son

diferentes. De esta manera, realmente al grafito puede considerársele como un material

macroscópico tri-dimensional, mientras que al grafeno como un material bi-dimensional,

el cual presenta nuevas propiedades. Por ejemplo, desde el punto de vista de las

propiedades electrónicas, si el material está formado por una o dos capas de grafeno, se

comporta como un semiconductor con cero-gap, pero si se apilan de tres a diez capas

entonces aparecen varios portadores de carga, por lo que las bandas de conducción y de

valencia empiezan a traslaparse [1.04]. De esta manera, diez capas de grafeno parecen ser

la frontera para tener un comportamiento como un grafeno bi-dimensional o un grafito

tri-dimensional. Los estudios sobre el grafeno han sido fundamentales para entender las

propiedades tanto de los fulerenos como de los nanotubos. De hecho, ya que la superficie

de ambos están formadas por arreglos hexagonales similares a las del grafeno, sus formas

alotrópicas se han explicado conceptualmente como si fueran construidas a partir del

doblamiento de una capa de grafeno, tal y como se muestra en la Figura 1.02.

Considerando la Figura 1.02, en el extremo izquierdo se observa que cuando la isla

marcada en verde que se encuentra sobre la capa de grafeno se recorta y dobla de tal

manera que al coincidir los átomos de Carbono en los bordes de la isla se les permita su

traslape, en la superficie poligonal esférica que se forma, aparecerán también caras

pentagonales en la nueva estructura. Es la formación de estas caras pentagonales la

responsable de la curvatura de los fulerenos. En particular, el fulereno mostrado en esta

figura contiene 60 átomos de Carbono y está formado por 20 hexágonos y 12 pentágonos,

el cual es conocido como buckminsterfulereno o bucky-esfera. Si procedemos de manera

similar con la isla rectangular de color magenta que se encuentra en la misma Figura 1.02,

pero ahora en la sección media de la misma y la recortamos de la capa de grafeno,


rolándola luego alrededor de un eje de tal manera que los átomos en los bordes opuestos

se encuentren y se les permita su traslape. Entonces, la estructura formada será un tubo

construido de Carbono con dimensiones nanométricas, el cual es comúnmente llamado

Nanotubo de Carbono (NTC ó NTsC en plural). Finalmente, en la Figura 1.02 en la sección

derecha de la misma, se muestra la formación del grafito. El cual es formado por la

superposición de capas de grafeno, con una separación de 0.34 nm entre ellas.

Figura 1.02 La madre de todas las formas grafíticas. El grafeno es el material 2D básico que sirve para la construcción de los materiales de Carbono de todas las demás dimensiones. Puede ser doblado pertinentemente en bucky-esferas en

0D, rolado en nanotubos en 1D o apilado para formar el grafito en 3D [1.04].


1.1.1 Enlaces entre los Átomos de Carbono

El Carbono, cuyo símbolo es C, se encuentra en el grupo IV de la Tabla Periódica. Tiene un

número atómico, Z=6, así como cuatro electrones de valencia. En su estado basal, un

átomo de Carbono aislado tiene la siguiente configuración electrónica: 1s22s22p2. Dicha

distribución indica que los electrones son primeramente alojados en el nivel de energía K

(ó n = 1), llenándolo complemente, pues éste contiene solo un sub-nivel (u orbital) s (ó l=0)

con capacidad para alojar dos electrones. Los restantes cuatro electrones son alojados en

el nivel L (ó n = 2) llenándolo sólo parcialmente pues contiene a los orbitales 2s y 2p (ó l=1)

los cuales entre ambos tienen una capacidad para alojar hasta 8 electrones. Dos de los

cuatro electrones del nivel L son colocados en el sub-nivel 2s llenándolo completamente y

los otros dos son usados para llenar solo parcialmente al orbital 2p. Es importante señalar

que no todos los electrones en el nivel L poseen la misma cantidad de energía, pues

pertenecen a dos diferentes sub-niveles 2s y 2p. Así mismo mientras que los dos

electrones alojados en el orbital 2s2 tienen un espín opuesto, los dos alojados en el orbital

2p2 tienen un espín paralelo [1.05]. En el estado basal el Carbono solo tiene orbitales del

tipo s y p. Los orbitales s son esféricos y no-direccionales, mientras que los orbitales p son

alargados, direccionales y simétricos alrededor de su eje. En la Figura 1.03, se representan

a los orbitales del tipo s y p.

Figura 1.03 Forma de los orbitales s y p [1.05].


Un átomo es estable cuanto tiene 8 electrones en su capa externa, i.e. los gases nobles. Si

ese no es el caso, tratará de perder, ganar o compartir electrones formando iones o

compuestos. Los átomos de Carbono pueden combinarse entre ellos; sin embargo, ya que

poseen cuatro electrones de valencia, tienen que compartirlos formando enlaces

covalentes. Cuando el Carbono se combina de esta manera, sus orbitales ya no son más

del tipo s o p, sino que se mezclan e hibridizan formando orbitales del tipo sp3, sp2 y sp.

El diamante tiene una estructura tetraédrica simétrica y sus cuatro enlaces tienen la

misma resistencia. Para tomar en cuenta estas características, los cuatro electrones de

valencia de cada átomo deberán de estar alojados en orbitales separados, con su espín

desacoplado de los otros electrones. Por lo tanto, en este caso el alojamiento de los

electrones del nivel L del átomo de Carbono en el estado basal se modifica de tal manera

que primero uno de los electrones del orbital 2s es promovido a un orbital más energético

2p, tal y como se muestra en la Figura 1.04. Luego el orbital 2s restante se mezcla o

combina con los tres orbitales 2p formando cuatro orbitales 2sp3.

Los nuevos orbitales híbridos 2sp3 tienen también una nube de densidad electrónica

diferente que describe su probabilidad de localización, la cual da lugar a un orbital

asimétrico, concentrado en un lado y con una pequeña cola en el lado opuesto, la forma

de dicho orbital es mostrado en la Figura 1.05a. En la Figura 1.05b se muestran los cuatro

orbitales híbridos del átomo de Carbono sp3 para el diamante, teniendo idéntica forma

pero diferente orientación espacial. Si se conectan los puntos extremos de estos orbitales,

se forma un tetraedro regular, existiendo el mismo ángulo entre cada uno de ellos de 109o

28´. Los átomos hibridizados sp3 pueden ahora combinarse entre ellos para formar fuertes

enlaces covalentes, ya que cuatro de los seis electrones forman enlaces. Por convención,

un orbital direccional, tal como el sp3 es llamado orbital sigma (orbital−σ), y a su enlace un

enlace sigma (enlace−σ). En la Figura 1.06, a) se representa a un solo enlace−σ y en b) la

representación tridimensional de cuatro enlaces−σ en el diamante.


Figura 1.04 Hibridización sp3 de los orbitales de Carbono

Figura 1.05 a) Representación de la nube electrónica del orbital hibrido sp3, b) Ejes tetragonales de cuatro orbitales hibridizados sp3, donde los lóbulos negativos se han omitido por claridad.


Figura 1.06 Enlace de los orbitales híbridos sp3 (enlace−σ) a) mostrando un solo enlace covalente, b) mostrando la representación de una estructura tri−dimensional (diamante). Las regiones sombreadas muestran las más altas

probabilidades electrónicas donde el enlace covalente tiene lugar.

Los orbitales híbridos sp2 ó trigonales son la base para todas las estructuras grafíticas.

Como en el caso anterior donde se abordo la hibridización sp3, primero se explicará el

proceso de hibridización para un solo átomo de Carbono, y luego se considerará su enlace

covalente. El mecanismo de hibridización sp2 difiere de la hibridización sp3. El arreglo de

los electrones en el nivel L del átomo Carbono en su estado basal se modifica cuando uno

de los electrones del orbital 2s es excitado al orbital 2p, lo cual da como lugar que se

tenga un electrón en el orbital 2s y tres electrones en los orbitales 2p. Posteriormente, el

electrón del orbital 2s se combina o hibridiza con sólo dos de los electrones de los

orbitales 2p (y por lo tanto la designación sp2) para formar tres orbitales sp2, mientras que

el otro electrón queda libre y sin hibridizarse en el orbital 2p por lo que también se le

conoce como electrón deslocalizado, tal y como se muestra en la Figura 1.07.

La forma de los tres orbitales sp2 es similar a la de los orbitales sp3; sin embargo, sus

orientaciones son diferentes ya que se encuentran en el mismo plano, formando un

ángulo de 120o entre ellos, como se muestra en la Figura 1.06. El cuarto orbital, formado

por el electrón p deslocalizado, está dirigido perpendicularmente al plano que contiene a


los tres orbitales sp2, y está disponible para formar el enlace subsidiario pi (enlace-π) con

otros átomos, por ejemplo entre los planos del grafito.

Figura 1.07 Hibridización de los orbitales sp2 del Carbono

Figura 1.08 Sección Plana de los orbitales híbridos sp2 del átomo de Carbono


El enlace sp2 es del tipo covalente y debido a que hay tres electrones de valencia, sp2,

también forma fuertes enlaces. Ya que un lado del orbital sp2 es más pequeño que el otro,

existe una considerable superposición con otros orbitales sp2. El orbital sp2 es direccional y

se le llama orbital sigma (orbital−σ) y a los enlaces que forma enlaces sigma (enlace−σ).

Ya que cada átomo de Carbono hibridizado tiene tres orbitales del tipo sp2 en el plano

formando un ángulo de 120o entre ellos, cuando una serie de ellos se enlaza con otros tres

átomos de Carbono del tipo sp2 se forma una estructura plana hexagonal. El cuarto

electrón de valencia, el cual es el electrón 2p deslocalizado (libre), es simétrico y está

orientado perpendicular al plano formado por los enlaces σ, tal y como se ilustra en la

Figura 1.09. En una estructura sp2 como la del grafito, los electrones deslocalizados se

pueden mover fácilmente de una región a otra a lo largo de la capa plana, pero no pueden

hacerlo de una capa a otra, como resultado el grafito es anisotrópico.

Figura 1.09 Formación de una estructura hexagonal mediante enlaces de los orbitales híbridos sp2 (enlaces−σ)

a) Se muestran los enlaces sigma y los orbitales de los electrones libres 2p, b) Se muestra la representación de una

estructura tri-dimensional (grafito), cuando las capas de grafeno se unen a través de enlaces covalentes π.


1.2 Fulerenos

El grafito es la estructura preferida en sistemas que contienen una gran cantidad de

átomos de Carbono; sin embargo, cuando las capas de grafito se reducen a pequeñas

dimensiones, la gran cantidad de energía asociada en cada átomo de Carbono se vuelve

significativa, principalmente en los bordes. Para evitar la aparición de bordes energéticos,

los sistemas que contienen un pequeño número de átomos de Carbono prefieren adoptar

geometrías que formen capas cerradas [1.01].

La formación de clusters conteniendo más de 30 átomos de Carbono, fue reportada

inicialmente por Rohlfing et al. [1.08], mientras trabajaban con chorros supersónicos-

micro-pulsados de Carbono. En su experimento una barra de grafito puro fue vaporizada

mediante una irradiación por laser en el interior de una boquilla, la cual fue sometida a

micro-pulsos de helio a alta presión. El helio al expandirse en la boquilla originó un chorro

supersónico, que a su vez enfrió y transportó al vapor de Carbono. Posteriormente, los

clusters de Carbono formados fueron foto ionizados por un laser UV y analizados

mediante un analizador de masa de tiempo de vuelo (time-of-flight TOF). De esta manera,

encontraron clusters que contenían de 2 a 190 átomos de Carbono, los cuales estaban

distribuidos bi-modalmente, como se muestra en la Figura 1.10. Para tamaños de Cn entre

1 y 30, los clusters encontrados contenían un número de átomos tanto pares como

impares. Sin embargo, para C2n en el intervalo 20<n<50, solamente fueron detectados

clusters conteniendo un número de átomos par. Considerando la bi-modalidad y la

intensidad descubiertas, especularon que para la formación de los clusters de Carbono,

deberían de existir dos mecanismos; uno de los cuales debería de dar origen al carbine,

una nueva estructura para el Carbono que se formaba a altas temperaturas, y la cual había

sido propuesta previamente por otros investigadores. Sin embargo, como fue señalado

por Smalley, no se percataron de la importancia de la distribución de clusters superior

[1.02]; particularmente la que se encuentra en el intervalo 40 – >100, la cual es conocida

en la actualidad como fulerenos.


Figura 1.10. Espectro de los clusters de Carbono obtenido mediante un espectrómetro de masas, usando fotoionización y un analizador de tiempo de vuelo. El grafito fue evaporado usando un laser doble Nd:YAG de 40 mj, y posteriormente ionizado por un laser ionizante ArF (193 nm) con una energía de 1.6 mJ por pulso [1.08].

Un año después, Kroto et al., mejoraron el experimento [1.09], por ejemplo, usando un

solo valor para la energía de ionización o el uso de equipo más sofisticado como el usado

en el estudio de materiales semiconductores. Además también enfocaron su atención en

los clusters que contenían 60 átomos de Carbono, ya que la intensidad de ionización era

varias veces mayor que la de los otros. Por si fuera poco, para colectar una mayor

cantidad de moléculas C60, el experimento fue optimizado incrementando el tiempo en el

cual el chorro de helio era expandido, permitiendo más tiempo para la formación de los

clusters. Como resultado la intensidad de ionización para el C60 fue hasta 40 veces mayor

que la de los clusters cercanos. Para explicar la estabilidad de las moléculas de C60, Kroto

et al., argumentaron que se necesitaba una estructura con forma esférica. Durante la

formación de dichas moléculas, si tuvieran la estructura del grafito o del diamante, se

formarían bordes cuyas valencias se verían insatisfechas. Para satisfacer todas las

valencias sp2, solamente una estructura globular haría el trabajo. Ellos propusieron que el

modelo esperado era en forma poligonal como un icosaedro trunco, una estructura

estudiada por Buckminster Fuller, la cual contiene 60 vértices. Ya que el cluster de

Carbono contenía 60 átomos, se podría colocar un átomo en cada vértice, tal y como se

muestra en la Figura 1.11. Como se puede observar, cada cara pentagonal está rodeada

completamente por caras hexagonales, mientras que cada cara hexagonal está rodeada

de solamente tres caras pentagonales, las cuales están colocadas de manera alternada.


El Buckminsterfulereno o bucky-esfera tiene la forma de un icosaedro trunco. El cual contiene: 60 vertices 32 caras 12 caras pentagonales 20 caras hexagonales

Figura 1.11 Molécula C60, adaptada de [1.01].

1.3 Nanotubos de Carbono (NTsC)

Sumio Iijima reportó en 1991 el descubrimiento de una nueva estructura de Carbono en

forma de tubo a escala nanométrica [1.10]. En su experimento, el Carbono fue evaporado

en una atmósfera de argón por una descarga de arco eléctrico de CD, y el vapor resultante

se depositó en el cátodo. En el material condensado se encontraron tubos concéntricos y

helicoidales con tapas semiesféricas en sus extremos. La porción cilíndrica de cada tubo

estaba hecha de una capa de grafeno, como si ésta hubiera sido enrollada alrededor del

eje del tubo; mientras que cada tapa fue formada por un poliedro, tal como la mitad de

una bucky-esfera, o de manera más general a partir de la mitad de un fulereno. Los tubos

concéntricos y helicoidales tienen el atributo de estar distribuidos tanto en número como

en diámetro. El número de tubos concéntricos estuvo entre 20 y 50, mientras que el

intervalo de la distribución en diámetro se encontraba de unos pocos nanómetros hasta

algunos miles de nanómetros. El diámetro y el número de paredes en un tubo son

bastante importantes, ya que son dos de los tres parámetros clave que pueden variarse

para controlar sus propiedades mecánicas, electrónicas y magnéticas; el tercer parámetro

que se puede variar es el de su quiralidad [1.11].


Figura 1.12 Micro-fotos electrónicas de Nanotubos de Carbono. Se muestran las secciones transversales de varios tipos de NTsC. a), Nanotubo de pared única [1.12] b), Nanotubo de penta-pared, diámetro 6.7 nm. [1.10] c), MWCNT (nanotubo con veinte paredes) [1.13]. d), Tubo en rollo (nanocuerda) [1.14].

Antes de 1993 los nanotubos de Carbono eran del tipo de paredes múltiples; sin embargo,

en ese año Iijima e Ichihasi [1.15] fueron capaces de sintetizar nanotubos formados por

una sola capa de grafeno, y con diámetros de alrededor de un nanómetro, usando Fe

como catalizador durante el proceso de síntesis. Como es ampliamente sabido, los

nanotubos de Carbono se pueden clasificar tomando en consideración el número capas o

de paredes, las cuales pueden ser o no concéntricas. Los nanotubos que están formados

solamente por una capa concéntrica de grafeno son conocidos como nanotubos de

Carbono de pared única ó SWCNTs por sus siglas en ingles (Single Wall Carbon

Nanotubes), pero si tienen más de 10 capas entonces se les llama nanotubos de Carbono

de paredes múltiples ó MWCNTs (Multi Wall Carbon Nanotubes) [1.10]. Si las capas

concéntricas se encuentran en el intervalo 2-9, entonces son llamados por nombres

a) b) d)

c)


específicos tales como NTsC de doble, tri, tetra, etc. pared. Además otra clase de SWCNTs

los cuales no son concéntricos fueron también descubiertos por Tess et Al., in 1996 [1.11].

Estos SWCNTs estaban auto-organizados en rollos o manojos, por los que también son

conocidos como nanocuerdas. En la Figura 1.12, se muestra la sección transversal de

varios tipos de nanotubos.

1.4 Estructura de los NTsC

Como se ha mencionado en la sección previa, Iijima [1.10] había observado que la parte

cilíndrica de los nanotubos estaba formada por hexágonos arreglados a lo largo de una

trayectoria helicoidal y alrededor del eje del tubo. También explicó conceptualmente la

manera en cómo un nanotubo podría formarse al doblar al grafeno desde un plano. De

manera inversa, si un nanotubo es desdoblado hasta quedar sobre un plano, el arreglo

hexagonal y el eje del nanotubo formarán un ángulo. Dicho ángulo será suficiente para

explicar su geometría helicoidal así como su simetría de traslación, como se muestra en la

Figura 1.13. Antes de desenrollar el nanotubo, los hexágonos A y A´ estarán sobrepuestos;

pero después de desenrollarlo, como se puede apreciar en dicha figura, estarán en

diferentes hileras de hexágonos, las cuales estarán desplazadas una con respecto de la

otra por una cantidad de tres unidades hexagonales. Eso significa que después de una

rotación alrededor del eje, el paso de la hélice será de tres unidades.

Para estudiar las propiedades electrónicas de los nanotubos de Carbono, fue necesario

establecer primero su geometría. Hamada et al., [1.16] encontró que las propiedades de

conducción en los nanotubos de Carbono dependían de la estructura del nanotubo, tales

como su diámetro y el ángulo de la hélice. Usó el concepto propuesto por Iijima

describiendo la geometría del nanotubo extendiéndolo a través de una capa de grafeno en

un plano. Primero estableció el origen en el centro de un hexágono, y luego definió la

dirección de los ejes coordenados por medio de dos vectores unitarios a y b. Al primer


vector, a, lo orientó en la dirección perpendicular a una de las caras hexagonales y al

segundo vector, b, a un ángulo de 120o y girado en sentido contrario a las manecillas del

reloj con respecto del primero. Después de eso, fue capaz de representar cualquier punto

en la red plana hexagonal mediante las coordenadas n1 a lo largo de la dirección a y n2 a lo

largo de la dirección b. A las coordenadas (n1, n2) también se les conoce como índices; y

para cada punto en la red, sólo hay un par de ellos. Para formar el nanotubo a partir del

vector n1 a + n2 b, solo se debe enrollar el plano de grafeno, sobreponiendo el punto

definido por la punta de dicho vector con el origen. Como una observación la mayoría de

los autores utilizan diferentes letras para los índices y para los ejes. Se utiliza el índice n en

lugar de n1 y m en lugar de n2. Y para los vectores unitarios a1 en lugar de a, y a2 en lugar

de b.

Figura 1.13 Diagrama esquemático mostrando un arreglo helicoidal de un nanotubo de Carbono [1.10].

Algunos días después, Dresselhaus et al., [1.17] en un trabajo independiente llamaron al

vector que unía su punta con el origen, vector quiral. Se especificó que la longitud del

vector es igual a πd, donde d es el diámetro del nanotubo, siendo además perpendicular al

eje del mismo. En este trabajo también señalaron que con base al ángulo de la hélice, los

nanotubos se podrían clasificar en tres tipos: sillón, zig-zag y quiral. El nanotubo crecerá


en un tipo u otro dependiendo de la tapa de fulereno que contenga. Saito et al [1.18]

finalmente expresaron el vector quiral en una forma similar a la Ecuación 1.1, y el

diámetro a una que se parece a la Ecuación 1.5. White et al. [1.19] también estuvieron

preocupados con estudiar el mapeo conforme del nanotubo, desde una capa plana de

grafeno hasta su geometría cilíndrica.

La estructura de los nanotubos de Carbono de pared única está basada en la

representación hexagonal de una red de grafeno; ya que si se desenrollara, el nanotubo

formaría una estructura similar a la del grafeno. Para modelar las diferentes formas en las

cuales un SWCNT pude ser enrollado, se requieren conocer dos parámetros: el vector

quiral, Ch, y el ángulo quiral θ [1.20]. El vector quiral siempre es perpendicular al eje del

nanotubo [1.21], mientras que el ángulo quiral es aquel formado entre el vector quiral y el

eje conocido como zig-zag. El vector quiral transforma cualquier punto sobre el nanotubo,

que sea intersecado por un plano perpendicular a su eje, en puntos conectados sobre el

plano de grafeno. De tal manera que si el plano fuera enrollado alrededor del eje del

nanotubo, el punto inicial y el punto final del vector quiral estarían sobre el mismo punto.

Una red hexagonal que muestra los dos parámetros antes mencionados se representa en

la Figura 1.14.

Figura 1.14 Formación de un nanotubo a partir de una lámina de grafeno. Adaptado de [1.21].


Como se ha mencionado anteriormente, el vector quiral se puede representar como la

resultante de dos componentes del sistema hexagonal del grafeno. Por lo que se puede

definir mediante la relación:

𝑪𝑪ℎ = 𝑛𝑛𝒂𝒂𝟏𝟏 + 𝑚𝑚𝒂𝒂𝟐𝟐 1.1

Donde Ch es el vector quiral, n y m son números enteros llamados índices quirales, los

cuales representan la magnitud de las componentes del vector quiral; mientras que a1 y a2

son los vectores unitarios cuando se toma a la red hexagonal como base. Los vectores a1 y

a2 como se mostrará posteriormente, se pueden expresar a su vez tomando como base las

coordenadas cartesianas en los ejes x e y, así como la constante de red del grafito, a. La

constante de red, ha sido calculada por varios investigadores como a = 2.46 °A [1.21] ó

2.49 oA [1.24].

𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎√32𝑥𝑥 + 𝑎𝑎

2𝑦𝑦 1.2

𝑎𝑎2 =𝑎𝑎√3

2𝑥𝑥 −

𝑎𝑎2𝑦𝑦 1.3

El ángulo quiral, θ, está definido por:

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =2𝑛𝑛 + 𝑚𝑚

2√𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛𝑚𝑚 1.4

Finalmente, el diámetro D del nanotubo se puede expresar en también en función del

vector quiral como:

𝐷𝐷 =|𝐶𝐶ℎ |𝜋𝜋

=𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶3(𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛𝑚𝑚)

𝜋𝜋 1.5


Donde ac=c es la distancia Carbono-Carbono. No todas las distancias Carbono-Carbono son

las mismas, pues difieren un poco de acuerdo con el alótropo de Carbono que se esté

considerando. Para el grafito ac=c = 1.42 oA, mientras que para el fulereno C60 = 1.44 oA

[1.01].

Como se ha expresado en las ecuaciones anteriores, tanto el vector quiral Ch, como el

ángulo quiral θ, y el diámetro D son completamente descritos por los enteros n y m. De

esta manera cualquier SWCNT se puede definir completamente a través del par (n,m).

Para dibujar al vector quiral sobre un plano de grafeno, éste se separa en dos vectores, En

el primero de ellos su magnitud está determinada por el número n y se dibuja contando el

número n de hexágonos dirigidos a lo largo del eje de zig-zag, pues este eje tiene la misma

dirección que a1; mientras que el segundo vector está dirigido a lo largo de la dirección de

a2 y para llegar a su punta se cuenta un numero m de hexágonos. El punto final al que se

llegue representará la punta del vector quiral Ch. La Figura 1.14, muestra un SWCNT

definido por el par (4,2), en el cual n y m representan al vector na1 el cual está dibujado en

color rojo y al vector ma2 dibujado en azul. El vector quiral (dibujado en naranja) tiene su

punto inicial en el origen y su punto final, corresponde con el punto final del vector ma2.

La estructura de los nanotubos de Carbono se puede clasificar tomando en consideración

el ángulo quiral [1.22]. Si el ángulo quiral es igual a 30o los NTsC son conocidos como del

tipo sillón, esta situación ocurre cada vez que los índices m y n tienen el mismo valor. Se le

llama del tipo sillón porque si el nanotubo fuera cortado de manera perpendicular a su eje

longitudinal, los bordes formados por los átomos serían similares a los de un sillón.

Cuando el ángulo quiral es igual a 0 o, el NTC es llamado del tipo zig-zag. Ya que el ángulo

quiral es igual a cero, el vector quiral tiene la misma dirección y magnitud que el vector a1.

De esta manera, en este tipo de nanotubos solamente el índice n puede tomar un valor

mayor que cero, mientras que el índice m siempre será igual a cero. Se le llama zig-zag

porque si nuevamente el nanotubo fuera cortado como en el caso anterior, los bordes que

formarían los átomos seguirían un patrón de zig-zag. Finalmente si el ángulo entre el


vector quiral y la dirección de zig-zag tiene un valor comprendido en el intervalo

0 o < θ < 30o, el NTC se dice que tiene un arreglo quiral. Los índices n y m para los NTsC del

tipo quiral deben de cumplir además con la condición 0 < m < n. En la Figura 1.15, se

muestran a los nanotubos con arreglos tipo sillón, zig-zag y quiral, así como el tipo de

fulereno que tendrá como tapa. También se muestra la transformación desde su red

cilíndrica hasta su red plana sobre una capa de grafeno.

Figura 1.15 Nanotubos del tipo sillón, zig-zag y quiral, así como sus tapas correspondientes, Adaptado de [1.23].

1.5 Deducción de las Relaciones Geométricas en los NTsC

Los átomos de Carbono en un nanotubo están localizados en los vértices de una

estructura hexagonal. Si fuera posible cortar la malla hexagonal a lo largo del tubo y

desdoblarlo sobre un plano, entonces la estructura resultante sería similar a la del

grafeno.


Para facilitar la representación geométrica de un nanotubo, se usa un sistema coordenado

cuyo origen es establecido en el vértice de uno de los hexágonos y sus ejes coordenados

se dirigen a lo largo de los vectores a1 y a2, tal y como se muestra en la Figura 1.16a. Los

vectores a1 y a2 inician en el origen y terminan en los vértices de los dos hexágonos

adyacentes que se encuentran a la derecha y cuyas líneas forman ángulos similares a los

del origen. Para nuestro análisis se requiere conocer la constante de red para el grafito, a,

o la distancia entre los átomos de Carbono más próximos, acc, los cuales pueden ser

determinados por medios experimentales.

Figura 1.16 Estructura Hexagonal del Grafeno

1.5.1 Vectores a1 y a2 en Coordenadas Cartesianas

Considerando la Figura 1.16b, se tiene que la distancia entre los átomos de Carbono más

próximos, acc, se puede obtener mediante la expresión:

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛 60 =𝑎𝑎

2 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐=√32

1.6


𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑎𝑎√3

1.7

Así mismo, las componentes de a1 a lo largo de las direcciones “x” y “y” están dadas por

a1x y a1y. Donde a1x se puede deducir de:

𝑎𝑎1𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 (1 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐 60) 1.8

𝑎𝑎1𝑥𝑥 =𝑎𝑎√3

1 +12 1.9

𝑎𝑎1𝑥𝑥 =√3 𝑎𝑎

2 1.10

Mientras que para a1y:

𝑎𝑎1𝑦𝑦 = 𝑎𝑎2

1.11

Por lo tanto, los vectores a1 y a2 se pueden representar por:

𝒂𝒂𝟏𝟏 =√3 𝑎𝑎

2 𝒊𝒊 +

𝑎𝑎2

𝒋𝒋 1.12

𝒂𝒂𝟐𝟐 =√3 𝑎𝑎

2 𝒊𝒊 −

𝑎𝑎2

𝒋𝒋 1.13

La magnitud del vector |a1| está dada por:

|𝒂𝒂𝟏𝟏| = √3 𝑎𝑎

2

2

+ 𝑎𝑎

2

2

1.14


|𝒂𝒂𝟏𝟏| = 3 𝑎𝑎2 4

+ 𝑎𝑎2

4 1.15

|𝒂𝒂𝟏𝟏| = 𝑎𝑎

1.16

Y la magnitud del vector |a2| está dada mediante la expresión:

|𝒂𝒂𝟐𝟐| = √3 𝑎𝑎

2

2

+ − 𝑎𝑎

2

2

1.17

|𝒂𝒂𝟐𝟐| = 3 𝑎𝑎2 4

+ 𝑎𝑎2

4 1.18

|𝒂𝒂𝟐𝟐| = 𝑎𝑎

1.19

Como se ha demostrado |a1| = |a2| = a, a la cual se le llama constante de red.

1.5.2 Vector Quiral en Coordenadas Cartesianas

Como se mencionó en la Sección 1.4, la geometría de un nanotubo está completamente

definida por el vector quiral. Se dice que un objeto tiene quiralidad si no se puede

superponer sobre su imagen. El vector quiral se puede obtener por la suma de dos

vectores, como se muestra en la Figura 1.14. Si ahora los vectores a1 y a2, los cuales están

dados por las Ecuaciones 1.12 y 1.13, se reemplazan en la Ecuación 1.1, se obtendrá al

vector quiral.


𝐶𝐶ℎ = 𝑛𝑛 √3 ∙ 𝑎𝑎

2 𝐢𝐢 +

𝑎𝑎2𝐣𝐣 + 𝑚𝑚

√3 ∙ 𝑎𝑎2

𝐢𝐢 −𝑎𝑎2𝐣𝐣 1.20

𝐶𝐶ℎ = √3 𝑎𝑎 𝑛𝑛

2+√3 𝑎𝑎 𝑚𝑚

2 𝐢𝐢 + 𝑎𝑎 𝑛𝑛

2−𝑎𝑎 𝑚𝑚

2 𝐣𝐣

1.21

1.5.3 Ángulo Quiral

La construcción de los tres tipos de nanotubos, sillón, zig-zag y quiral se muestra en la

Figura 1.14. Para su construcción, se requiere tener una estructura hexagonal sobre un

plano, de tal manera que la perpendicular a una cara de los hexágonos tenga la misma

dirección que el eje cartesiano “y”. El nanotubo se construye usando como base los

vectores a1 y a2, así como los índices n y m, ya que son necesarios para obtener tanto la

magnitud como la dirección del vector quiral, Ch. Ya que el ángulo quiral está definido por

el ángulo que se forma entre el vector quiral y el vector base a1, se puede obtener

también a través del producto punto.

𝐶𝐶ℎ ∙ 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝐶𝐶ℎ𝑆𝑆𝑎𝑎1i 1.22

Efectuando el producto punto y usando los valores dados por las Ec. 1.12 y 1.21 se tiene:

𝑪𝑪𝒉𝒉 ∙ 𝒂𝒂𝟏𝟏 = √3 𝑎𝑎 𝑛𝑛


2 √3 𝑎𝑎

2 + 𝑎𝑎 𝑛𝑛


2 𝑎𝑎2 1.23

𝑪𝑪𝒉𝒉 ∙ 𝒂𝒂𝟏𝟏 =3 𝑎𝑎2 𝑛𝑛

4+

3 𝑎𝑎2 𝑚𝑚4

+𝑎𝑎2 𝑛𝑛

4−𝑎𝑎2 𝑚𝑚

4= 𝑎𝑎2 𝑛𝑛 +

𝑎𝑎2 𝑚𝑚2

1.24

𝑪𝑪𝒉𝒉 ∙ 𝒂𝒂𝟏𝟏 =𝑎𝑎2

2(2𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) 1.25


Otra manera con la cual se puede calcular el producto punto está dada por:

𝐶𝐶ℎ ∙ 𝒂𝒂𝟏𝟏 = |𝐶𝐶ℎ | |𝒂𝒂𝟏𝟏| 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 1.26

Despejando el coseno del ángulo de la ecuación anterior se tiene:

𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 =𝐶𝐶ℎ ∙ 𝒂𝒂𝟏𝟏

|𝐶𝐶ℎ | |𝒂𝒂𝟏𝟏| 1.27

De la Ecuación 1.21, la magnitud de Ch puede ser determinada por:

|𝐶𝐶ℎ | = √3 𝑎𝑎 𝑛𝑛


2 2

+ 𝑎𝑎 𝑛𝑛


2

2 1.28

|𝐶𝐶ℎ | = 3 𝑎𝑎2 𝑛𝑛2

4+

3 𝑎𝑎2 𝑛𝑛 𝑚𝑚2

+3 𝑎𝑎2 𝑚𝑚2

4+𝑎𝑎2 𝑛𝑛2

4−𝑎𝑎2 𝑛𝑛 𝑚𝑚

2+𝑎𝑎2 𝑚𝑚2

4 1.29

|𝐶𝐶ℎ | = 𝑎𝑎2 𝑛𝑛2 + 𝑎𝑎2 𝑛𝑛 𝑚𝑚 + 𝑎𝑎2 𝑚𝑚2 1.30

|𝐶𝐶ℎ | = 𝑎𝑎 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2

1.31

Sustituyendo las Ecs. 1.16, 1.25, y 1.31 en la Ec. 1.27 se tiene:

𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 =𝑎𝑎2

2 (2𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)

𝑎𝑎√ 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2 ∙ 𝑎𝑎

1.32

𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 =2𝑛𝑛 + 𝑚𝑚

2√ 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2

1.33


1.5.4 Diámetro del Nanotubo

El diámetro del nanotubo puede expresarse como función de los índices n y m, así como

de la distancia existente entre los átomos de Carbono. De la Figura 1.16 y despejando a

de la Ec. 1.7:

𝑎𝑎 = √3 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 1.34

Reemplazando la Ec. 1.34 en la Ec. 1.31 :

|𝐶𝐶ℎ | = 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 3 (𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2) 1.35

Ya que la magnitud del vector quiral tiene el mismo valor que el perímetro, entonces:

|𝐶𝐶ℎ | = 𝜋𝜋 𝐷𝐷 1.36

𝐷𝐷 =|𝐶𝐶ℎ |𝜋𝜋

1.37

Finalmente sustituyendo la Ec. 1.35 en la Ec. 1.37 tendremos que la expresión para el diámetro está dada por:

𝐷𝐷 =𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 3 (𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2)

𝜋𝜋 1.38

Donde n, m son los índices del nanotubo, acc es la distancia entre los átomos de Carbono y

D es el diámetro del nanotubo.


1.6 Espesor de los Nanotubos de Carbono

En el mundo cotidiano, un tubo queda geométricamente definido si conocemos su

diámetro, espesor y longitud. El término “espesor” para un tubo es un concepto

macroscópico ya que se asume que el material es continuo y tiene fronteras claramente

definidas. Sin embargo, los nanotubos de Carbono, NTsC, pertenecen al reino

nanométrico, donde el material es discreto por naturaleza y no tiene fronteras claramente

definidas en las cuales realizar las mediciones para determinar su espesor. Los NTsC de

paredes múltiples ó MWCNTs, contienen muchas capas concéntricas, por lo que

usualmente la separación que existe entre cada una de ellas se ha usado como el espesor

de dicha pared, definiendo de alguna manera su espesor. Sin embargo, la controversia

surge al establecer el espesor de un NTC de pared única ó SWCNT, ya que es un cilindro

cuyo espesor está conformado por una sola capa de átomos de Carbono. La pregunta que

surge ahora es, cómo definir entonces el espesor para un nanotubo? Para responder dicha

pregunta, varios criterios han surgido aunque el tema aun no está resuelto y continúa su

debate. El espesor es un parámetro importante que afecta el cálculo de las propiedades

mecánicas de los NTsC. Por ejemplo, se han determinado diferentes valores para el

módulo elástico cuando se usan diferentes espesores. Yakobson et al. [1.25] calculó un

valor para el módulo de Young de Y=5.5 TPa cuando el espesor h=0.066 nm, mientras que

Lu determinó uno de Y=0.97 TPa para un espesor de h=0.34 nm [1.26].

En la literatura, se han determinado ó usados varios valores para el espesor de los

SWCNTs y así realizar diferentes tipos de análisis; i.e., h=0.0617 nm [1.27], 0.066 nm

[1.25], 0.074 nm [1.28], 0.075 nm [1.29], 0.34 [1.10][1.26], 0.68 [1.30], 0.69 nm [1.31] por

citar algunos. De los resultados anteriores, podríamos agrupar el espesor de los SWCNTs

alrededor de tres valores, 0.066 nm, 0.34 nm and, 0.69 nm. De dichos valores, los más

populares han sido aquellos para h= 0.066 nm y h= 0.34 nm; los cuales han sido usados

por muchos autores como una convención.


1.6.1 Convenciones con respecto al Espesor

Aún cuando se han calculado varios valores para el espesor de los SWCNTs, dos criterios ó

convenciones para definir dicho espesor son los más populares. El primero de ellos está

basado en la extensión de los enlaces−π de Carbono en el grafeno, dando como resultado

un espesor de h=0.066 nm tal y como fue calculado por Yakobson et al., [1.25]. En la

Figura 1.17, se muestra la estructura básica para una capa de grafeno, en la cual se

observa que los átomos se enlazan formando una estructura hexagonal. Los enlaces−σ

son los responsables de enlazar a los núcleos de Carbono a lo largo del plano, mientras

que los enlaces−π actúan fuera del plano en la dirección perpendicular a éste, y son los

principales responsables de las interacciones que existen entre las capas. Como se aprecia

en la figura, la distancia existente entre las líneas punteadas corresponde a la extensión de

los enlaces−π, y de acuerdo con Yakobson et al., corresponde con el espesor de la pared

del SWCNT. Este criterio modela a los SWCNTs como membranas continuas y ha sido

aceptado ya que explica satisfactoriamente el comportamiento al pandeo que tienen los

SWCNTs.

Figura 1.17 Estructura básica para una capa de grafeno, la cual está enlazada hexagonalmente [1.32].

El segundo criterio está basado en la separación que existe entre dos capas de grafito.

Considerando la Figura 1.18, dicha separación está determinada por la mitad de la

distancia ahí mostrada, ya que existen dos capas de grafeno entre ellas. Iijima [1.10]

determinó a través de la Microscopía Electrónica de Transmisión de Alta Resolución, ó

HRTEM (High Resolution Transmission Electron Microscopy), que la separación entre dos


capas concéntricas en un NTC de pared doble era de 0.34 nm, y luego ese valor fue usado

por Robertson et al., [1.33] como el espesor para calcular el módulo de Young para

SWCNTs. Previamente Lu [1.34] había usado este valor para el espesor cuando estaba

estudiando cuestiones energéticas de fulerenos con capa única y múltiples y la evaluación

de las interacciones entre capas.

El criterio de h=0.34 nm ha sido aceptado debido a que tanto el grafito como los NTsC de

paredes múltiples están formados por más de una capa de grafeno, y la separación entre

dichas capas corresponde con ese valor. Por lo tanto el espesor de 0.34 nm ha sido

tomado como una elección natural. Además, si se hace la consideración que dicha

separación es la misma en cualquier MWCNTs entonces también permitirá que sus

propiedades mecánicas puedan compararse. Si también se adopta éste valor para el

espesor de un SWCNT entonces también podrán compararse las propiedades mecánicas

entre los nanotubos sin importar que sean de pared única o múltiple.

Figura 1.18 Representación tri-dimensional de la estructura del grafito, donde las capas de grafeno se únen mediante enlaces covalentes π. [1.05]

1.6.2 Situaciones en las que Fallan las Convenciones del Espesor

Es importante observar que si bien en muchos estudios se asume que la separación entre

las capas de los nanotubos corresponde con la del grafito, y por consiguiente se adopta un


espesor constante de 0.34 nm dicha separación no es constante para los MWCNTs. Kiang

et al., determinaron, mediante el análisis de imágenes tomadas por HRTEM, que entre

ellas existe una dependencia exponencial con respecto al diámetro interior del nanotubo

[1.35]. A medida que éste se incrementa, la separación entre sus capas se aproxima a la

del grafito es decir los 0.34 nm antes mencionados. Sin embargo, para diámetros

pequeños (dinterior < 10 nm), la separación entre dichas capas se incrementa, por ejemplo,

cuando el dinterior= 0.7 nm la separación entre sus capas es de h=0.41. Lo último ha sido

explicado como una consecuencia del hecho de que cuando el diámetro se reduce su

curvatura se incrementa, causando a su vez que los enlaces- π se superpongan cada vez

más, y como consecuencia se ejerzan fuerzas de repulsión mayores entre las capas y se

incremente de esta manera su separación.

La separación que existe entre los SWCNTs en nanocuerdas (y por consiguiente su

espesor), también ha sido estudiada por Tang et al., quienes determinaron que era igual a

3.12 oA [1.36]. Sin embargo, a diferencia de los MWCNTs descritos en el párrafo anterior,

los SWCNTs estudiados por Tang et al., en nanocuerdas no son circulares si no poligonales

formando una estructura hexagonal en la cual las áreas planas ofrecen una superficie

reducida para la interacción de los enlaces-π con respecto al área en los MWCNTs. En este

estudio la separación entre los SWCNTs se redujo aún más cuando la cuerda es sometida a

presión, i.e. P=1.5 GPa, la separación entre las capas de los SWCNTs es de 2.99 oA.

Vodenitcharova y Zhang [1.27] diseñaron un modelo para aclarar el espesor efectivo de la

pared de los SWCNTs. En su estudio analítico aislaron a un SWCNT de una nanocuerda

sometida a presión y el comportamiento que experimento su deformación la explicaron

usando la teoría del medio continuo para anillos. En este análisis una nanocuerda,

formada por un nanotubo central y rodeado por otros seis, fue sometida a una presión

externa. Las fuerzas ejercidas por la presión sobre los nanotubos exteriores les causaron

una deformación radial, cambiando la constante de red de la cuerda. Además, debido a las

interacciones de van der Waals, dichas fuerzas fueron transmitidas al nanotubo interno,

provocándole pequeñas deformaciones tanto radiales como tangenciales. Vodenitcharova


y Zhang consideraron que el nanotubo se comportaba como un anillo continuo y lineal

cuando es sometido a una presión externa. Para determinar los desplazamientos radiales

y tangenciales usaron el principio de la energía potencial estacionaria. Por lo cual se

tendrá que en condiciones de equilibrio estático la suma tanto de la energía de

deformación como del trabajo realizado por las cargas externas sobre el anillo será un

mínimo. Las ecuaciones resultantes y su parametrización llevan a dos ecuaciones, una de

las cuales es una función del radio del nanotubo sin deformarse dividido entre el espesor,

y la otra es función del radio sin deformarse entre el módulo de Young. Ya que el valor del

radio sin deformarse del nanotubo se puede determinar a partir de las deformaciones

tangencial y radial calculadas previamente en una investigación realizada por Tang et al.

[1.36], Vodenitcharova y Zhang fueron capaces de calcular el espesor y el módulo de

Young. Los valores calculados por ellos fueron h= 0.0617 nm y Y= 4.88 TPa. En esta

investigación se concluyó que el espesor efectivo de la pared para un nanotubo continuo

debe ser menor que el diámetro teórico del átomo de Carbono. Dado que la sección

transversal de un nanotubo discreto contiene un número finito de átomos, cualquier

fuerza externa que se le aplique se deberá distribuir sobre ellos. Sin embargo, si

consideramos que el nanotubo es continuo, entonces su espesor debe ser menor que el

diámetro del átomo, de otra manera el área resistente de un nanotubo continuo será

mucho mayor que el de uno discreto. De esta manera, la investigación de Vodenitcharova

y Zhang solamente apoyan a las teorías cuyos modelos predicen o hacen uso de un

nanotubo cuyo espesor es menor que el diámetro del átomo de Carbono.


1.7 Referencias

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2 Propiedades

Mecánicas

2 Propiedades Mecánicas 35 ________________________________________________________________________________

2 Propiedades Mecánicas

Las propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono, tales como el módulo de Young,

módulo de corte, la relación de Poisson y la resistencia última, han sido determinadas

haciendo uso ya sea tanto de métodos experimentales [2.01−2.03], como de cálculos

realizados mediante simulaciones y modelos continuos. Las técnicas de simulación

comprenden cálculos realizados mediante técnicas ab initio (primeros principios)

[2.04−2.06] y Mecánica Molecular, MM, [2.07−2.09]; mientras que los modelos continuos

son abordados desde puntos de vista analíticos o numéricos, asumiendo que los

nanotubos se pueden modelar abarcando una diversidad de geometrías como vigas,

membranas, barras circulares, tubos huecos, y estructuras [2.10−2.12].

En el enfoque ab initio las propiedades se derivan directamente a partir de principios

teóricos basados en la Mecánica Quántica, los cuales son resueltos mediante algoritmos

numéricos, por lo que no es necesario realizar demasiadas suposiciones. Sin embargo, la

capacidad de cómputo requerida es muy demandante, razón por la cual, las simulaciones

se restringen a nanotubos cuyo tamaño comprende sólo unos centenares de átomos,

interactuando durante un tiempo de simulación del orden de picosegundos. En los

métodos de simulación a través de la Mecánica Molecular, la estructura y la energía del

material se simula tomando en cuenta las interacciones que surgen entre los átomos, los

cuales están embebidos en un campo de fuerza, como una función de sus posiciones

atómicas. Por lo tanto, se debe suponer un campo de fuerza, para después poder medir,

calcular o tomar de la literatura los parámetros que sean necesarios para definirlo. Como

se observará después en este capítulo, las propiedades obtenidas por este método

dependerán del campo de fuerza asumido. Por ejemplo, se obtienen curvas diferentes

para la energía de deformación si se usa ya sea el potencial de Tersoff ó el de Brenner. La

ventaja de los métodos de simulación de MM con respecto de los cálculos realizados

mediante ab initio, es que se necesita una menor capacidad de cómputo, al mismo tiempo

que se pueden simular sistemas con miles de átomos. Finalmente, con la finalidad de

abordar el estudio de los NTsC desde una perspectiva de ingeniería, se han desarrollado


también modelos basados en la mecánica del medio continuo. El comportamiento de los

nanotubos modelado desde éste punto de vista, parece ajustarse bastante bien en

algunas situaciones, por ejemplo, en el caso de la energía de deformación predice que

ésta debe seguir una tendencia de 1/R2, donde R es el radio del nanotubo, lo cual es

corroborado por simulaciones realizadas por Mecánica Molecular. Para predecir las

propiedades mecánicas de los NTsC se han desarrollado una gran variedad de modelos

continuos, muchos de los cuales tienes sus propias características especificas [2.13−2.14].

Una gran cantidad de investigaciones dirigidas a caracterizar las propiedades mecánicas

de los NTsC se han realizado considerando sólo a su eje longitudinal y asumiendo que

tienen un comportamiento isotrópico, aun cuando realmente son materiales

anisotrópicos. Sin embargo, también se ha empezado a tomar en cuenta su sección

transversal o radial para el análisis [2.15], y se han modelado como materiales

transversalmente isotrópicos [2.16]. Por otra parte, como ya se mencionó en el primer

Capítulo, existe una discrepancia en los valores obtenidos por diferentes grupos respecto

de algunas de las propiedades mecánicas, algunas de las cuales no están bien definidas,

i.e. el módulo de Young, ya que hasta la fecha aún no hay un acuerdo respecto al espesor

efectivo que deben tener los SWCNTs.

Dado que los NTsC tienen una estructura similar a la del grafito, se esperaba que también

tuvieran propiedades mecánicas similares. Robertson et al. [2.07], mostraron que las

propiedades elásticas en la superficie de los SWCNTs se acercan a la del grafito cuando el

diámetro del tubo tiende al infinito, pero cuando el diámetro se hace más pequeño, las

propiedades mecánicas son función del diámetro [2.08]. Como se mostrará en las

siguientes secciones, el módulo de Young para los nanotubos publicado en la literatura

muestra una gran dispersión con respecto a la del grafito, donde se han encontrado

valores inferiores, del mismo orden y varias veces el valor de éste.


2.1 Energía de Deformación

Cuando se aplican fuerzas externas a un cuerpo deformable, cuyas fronteras pueden

desplazarse, causan su deformación. Ya que las fuerzas se desplazan una distancia

equivalente a la deformación sufrida por éste, entonces dichas fuerzas también efectúan

un trabajo sobre el cuerpo. El trabajo realizado a su vez se almacena dentro del cuerpo

como energía de deformación, U ó Est, la cual se puede recuperar cuando las fuerzas dejan

de actuar. Si ahora distribuimos la energía de deformación entre el volumen del cuerpo,

entonces obtendremos lo que se conoce como la densidad de la energía de deformación,

U [2.18].

Figura 2.01 a) Desplazamiento bajo un esfuerzo uni-axial. b) Trabajo realizado por el esfuerzo uni-axial [2.18]

En la Figura 2.01, se muestra al elemento diferencial de un cuerpo, cuyo volumen está

dado por dxdydz, el cual está sometido a un esfuerzo uni-axial 𝜎𝜎𝑥𝑥 , experimentando una

deformación a lo largo del mismo eje dada por du=(∂u/∂x)dx. Como resultado del

esfuerzo, el cuerpo se deforma almacenando energía en su interior. Para cuantificar el

diferencial de la energía de deformación de dicho elemento, primero se ha de encontrar la

fuerza dFx, así como el diferencial de la deformación du causada.

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑌𝑌𝜀𝜀𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2.01

𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑑𝑑) = 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 2.02


Donde 𝜎𝜎𝑥𝑥 es el esfuerzo normal en la dirección x, 𝜀𝜀𝑥𝑥 es la deformación unitaria en la

dirección axial, Y es el módulo de Young, y 𝑑𝑑 es el desplazamiento de un punto a lo largo

del eje x, y du la deformación del elemento diferencial en la dirección x.

Luego, ya que se tiene una expresión para la fuerza, se puede encontrar el trabajo

diferencial dW, integrando el producto la fuerza dFx, por el diferencial del desplazamiento.

En este caso el desplazamiento corresponde con la deformación du, que sufre el elemento

difencial:

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑑𝑑) = 𝑌𝑌𝜀𝜀𝑥𝑥𝑑𝑑𝜀𝜀𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝜀𝜀𝑥𝑥

0

𝑑𝑑𝑑𝑑

0𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑌𝑌𝜀𝜀𝑥𝑥𝑑𝑑𝜀𝜀𝑥𝑥

𝜀𝜀𝑥𝑥

0 2.03

Si el material es lineal elástico, entonces la pendiente de la curva Y, será una línea recta,

por lo que su pendiente será constante, así que el módulo de Young puede quedar fuera

del símbolo de integración.

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑌𝑌 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑑𝑑𝜀𝜀𝑥𝑥𝜀𝜀𝑥𝑥

0 2.04

𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑌𝑌 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜀𝜀𝑥𝑥2

2 2.05

Integrando la Ecuación 2.05, sobre todo el volumen, se tendrá el trabajo total que se

efectúa sobre el cuerpo.

𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑌𝑌𝜀𝜀𝑥𝑥2

2 2.06

Ya que el trabajo realizado sobre el cuerpo se almacena como energía de deformación, se

tendrá que U = W.

𝑈𝑈 =12𝑑𝑑 𝑌𝑌 𝜀𝜀𝑥𝑥2 2.07


Finalmente, la densidad de la energía de deformación puede ser obtenida dividiendo la

energía de deformación dada por la Ecuación 2.07, entre el volumen del cuerpo:

𝑼𝑼 =𝑈𝑈𝑑𝑑

=12𝑌𝑌 𝜀𝜀𝑥𝑥2 2.08

ó alternativamente:

𝑼𝑼 =𝑈𝑈𝑑𝑑

=12𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑥 2.09

De esta manera, las Ecuaciones 2.08 y 2.09 proporcionan una expresión para la densidad

de la energía de deformación. Si comparamos la Ecuación 2.09 con la Figura 2.01b, se

puede observar que la magnitud de la densidad de la energía de deformación es

equivalente al área bajo la curva del diagrama σ−ε.

Dado que la energía de deformación almacenada en un material es función de la posición,

es también un tipo de energía potencial. Si el cuerpo está sometido a esfuerzos multi-

axiales, una expresión general para dicha energía está dada por: [2.19]

𝑈𝑈 =12𝑑𝑑0𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 2.10

Donde U es la energía potencial total del cuerpo deformado, Vo es el volumen inicial, Cijkl

es el tensor de las constantes elásticas, y εij es el tensor de deformación.

Si la Ecuación 2.10 se divide entre el volumen, se tendrá una expresión general para la

densidad de la energía de deformación en función de la deformación unitaria. Si ahora se

le extrae la segunda derivada con respecto a la deformación unitaria, entonces será

posible encontrar las constantes elásticas a partir de la densidad de la energía de

deformación, pues dará lugar a la siguiente expresión:

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1𝑑𝑑0

𝜕𝜕2𝑈𝑈𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖

𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 =0, 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖=0

2.11


2.1.1 Energía de Deformación en NTsC

Las propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono han sido calculadas tanto por

métodos experimentales como a través de cálculos computacionales. Dependiendo del

tipo de técnica computacional que se use, ésta puede proporcionar los valores para la

energía total, energía de enlace, energía de deformación, u otras [2.07]. En el caso de las

simulaciones que emplean modelos de potenciales empíricos, una de las cantidades que

se han usado en la predicción de las propiedades mecánicas ha sido la energía de

deformación. Sin embargo, a este respecto se deberá ser muy cuidadoso, pues si bien

dicha energía se especifica como energía de deformación en las gráficas, sus unidades

implican algún tipo de densidad, pues usualmente se expresa como energía por cada

átomo, aunque en otros se hace uso de energía por unidad de área. Cuando esta energía

sea usada para el cálculo de las constantes elásticas es importante asegurarse que se

tenga energía por unidad de volumen, y de no ser así realizar las operaciones necesarias

para obtenerla. Lu estimó el modulo de Young para NTsC [2.09], los cuales fueron

sometidos a deformaciones axiales en sus simulaciones, calculando la energía de

deformación con respecto a la deformación unitaria axial, para posteriormente obtener

su segunda derivada y así determinar el módulo de Young.

Figura 2.02 Energía de deformación (eV por átomo de Carbono) vs deformación unitaria bajo cargas de tensión

en la dirección axial del nanotubo del tipo sillón (5,5), usando los potenciales empíricos EP1 (círculos huecos),

EP2 (diamantes huecos), y el método LDF (cuadrados rellenos).

Figura 2.03 Gráfico de la energía potencial U vs

desplazamiento, para un nanotubo (10,10). La línea punteada gruesa es la fuerza de restitución F=−∂U/∂x,

1.60×10-19 J = 1 eV


Como se puede apreciar en la Figura 2.02, al simular mediante MM el mismo nanotubo

del tipo sillón (5,5), se obtienen diferentes curvas para la densidad de la energía de

deformación, dependiendo del tipo de potencial que sea usado para el cálculo. La curva

con la leyenda EP1 corresponde a la energía de deformación obtenida usando el potencial

Tersoff, mientras que la etiquetada con EP2 fue obtenida con un potencial Brenner. Como

comparación los puntos etiquetados con LDF corresponden a simulaciones ab initio

usando Funciones de Densidad Local [2.07]. Como se mencionó al inicio del presente

capítulo, LDF es un método más confiable, ya que toda la información se obtiene a través

de primeros principios, haciéndose solo unas pocas suposiciones; sin embargo, dado que

también requiere de una gran capacidad de cómputo, las simulaciones se realizan

solamente para unos pocos casos con fines comparativos.

En la Figura 2.03, se ilustra la respuesta de la tapa de un nanotubo cuando es comprimida

por una fuerza axial [2.20]. Como lo muestran las curvas de la energía de deformación,

dicha respuesta se puede separar en dos partes una que satisface la ley de Hooke y otra

que no. Al derivar dos veces la ecuación de las curvas de la energía de deformación se

obtienen las constantes del resorte. La primera zona satisface la ley de Hooke, pues la

fuerza necesaria para deformar la tapa del nanotubo es proporcional al desplazamiento.

Sin embargo, después de una deformación crítica la fuerza necesaria para deformarlo será

constante e igual a 7.75 nN, por lo que la ley de Hooke ya no será satisfecha.

Existe una diferencia entre las gráficas mostradas en las Figuras 2.02 y 2.03. En la primera,

la ordenada se expresa como energía de deformación/átomo, y está en función de la

deformación unitaria del nanotubo, por lo que para obtener sus constantes elásticas es

aplicable la Ecuación 2.11, con sus respectivas modificaciones. Mientras que en la Figura

2.03, la ordenada se expresa como la energía de deformación total en función de la

deformación, es decir como si fuera un resorte. Ya que para un sistema conservativo la

fuerza se puede obtener a través del gradiente de la energía potencial, F=-∂U/∂x, y en

virtud de que la constante de un resorte es la pendiente de la fuerza entre la deformación,

k=∂F/∂x, se tendrá que k=-∂2U/∂x2. Al referirnos a la Figura 2.02 y la aplicación de la


Ecuación 2.11, con sus respectivas modificaciones se ha querido indicar que es necesario

multiplicar la energía de deformación/átomo de la grafica por el número total de átomos,

para obtener la energía de deformación total en el sistema, y posteriormente dividirla

entre el volumen de las paredes del nanotubo, obteniéndose así la ecuación de la

densidad de la energía de la deformación, la cual al ser derivada dos veces con respecto a

la deformación unitaria, dará como resultado el valor de la constante elástica en la

dirección axial en unidades de fuerza/unidades de longitud2.

Un aspecto que generalmente presenta un gran problema al realizar los cálculos de las

constantes elásticas, es el volumen que aparece en la Ecuación 2.11. Este volumen se

puede determinar al multiplicar el área de la capa de carbono que forma al nanotubo por

su espesor. Como el espesor no está bien definido, es necesario adoptar una de las dos

convenciones, h=0.066 nm ó h=0.34 nm. Como resultado, para la misma energía de

deformación se pueden obtener dos resultados diferentes para las constantes elásticas. Se

obtendrán valores más altos cuando se supongan valores más pequeños para el espesor,

ya que eso dará un menor volumen, y dado que en la Ecuación 2.11, el volumen está en el

denominador, resultará un valor más grande para las constantes elásticas.

Para evitar el dilema de elegir algún espesor determinado para los nanotubos y así

calcular sus constantes elásticas, Hernandez et al., [2.17], propusieron una nueva

definición de su rigidez, de tal manera que ésta fuera independiente de su espesor, pero

que pudiera relacionarse con el módulo de Young a través de la Ecuación 2.12.

𝑌𝑌 =𝑌𝑌𝑠𝑠ℎ

2.12

Sustituyendo la Ecuación 2.12 en la 2.10, y teniendo en cuenta que el volumen del

nanotubo se puede encontrar multiplicando el área de su superficie por su espesor,

V0 = S0 h, al despejar Ys, se obtiene:


𝑌𝑌𝑠𝑠 = 1𝑆𝑆0

𝜕𝜕2𝑈𝑈𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖

𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 =0, 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖=0

2.13

La Ecuación 2.13 define la rigidez propuesta, la cual es independiente espesor, ya que

ahora en lugar de depender del volumen depende de la superficie del nanotubo cuando se

encuentra en equilibrio.

2.1.2 Energía de Curvatura en NTsC

En el Capítulo uno se mencionó que los SWCNTs se pueden conceptualizar como si fueran

una capa de grafeno enrollada en forma de un nanotubo cilíndrico [2.21]. También que

cuando una de las características dimensionales de una capa de grafeno se reduce hasta

alcanzar dimensiones nanométricas, la gran cantidad de energía asociada a cada átomo es

especialmente relevante en sus bordes; y para evitar ese tipo de sitios altamente

energéticos, los sistemas prefieren la formación de geometrías en forma de membranas

cerradas, tales como las que presentan los fulerenos y los nanotubos [2.22−2.23].

Para enrollar a los nanotubos y así obtener su forma cilíndrica a partir de una capa plana

de grafeno, se requiere de energía. A esta energía se le conoce como energía de curvatura

Ec, la cual es un tipo de energía de deformación. Para los nanotubos, la energía de

curvatura se define como la diferencia que existe entre la energía total asociada a cada

átomo de Carbono en un nanotubo de carbono de pared única y la asociada a los átomos

en una capa de grafeno de dimensiones infinitas [2.17].

Robertson et al. [2.07], estudiaron en 1992 el aspecto energético en nanotubos con radio

inferior a 0.9 nm, así como el de los fulerenos C60, C180 y C240. Dicho estudio se llevó a cabo

usando simulaciones ab initio ó primeros principios en particular el de LDF, así como

métodos que hacen uso de potenciales empíricos (Potencial de Tersoff y potencial de

Brenner). Sus simulaciones aclararon algunos aspectos relevantes acerca de la formación


de los nanotubos y los fulerenos. Aun cuando los diferentes métodos usados mostraron

algunas desviaciones, la tendencia de la energía de curvatura como una función del radio

se mantuvo. También utilizaron los principios de la teoría de la mecánica del medio

continuo para explicar el comportamiento mostrado por la energía de curvatura en las

simulaciones para los nanotubos, encontrando una buena correspondencia. Otros

estudios realizados por diferentes investigadores también apoyan sus conclusiones,

excepto que algunos muestran que la energía de curvatura en los nanotubos también es

ligeramente dependiente de la quiralidad [2.05]. Con base en la gráfica que se muestra en

la Figura 2.04, Robertson et al., llegaron a las siguientes conclusiones, las cuales aquí se

han matizado con los resultados obtenidos por otros investigadores cuando es necesario:

• La energía de curvatura asociada a los nanotubos es menor que la asociada a los

fulerenos que tengan un radio similar.

• Los SWCNTs que tengan menor radio, requieren de más energía para su formación

que los nanotubos de mayor radio.

• La energía de curvatura tiende a cero cuando el radio de los nanotubos se vuelve

muy grande, lo cual significa que la energía por átomo en estos tubos es

comparable con la del grafito.

• En los nanotubos, la energía de curvatura varía en función de 1/R2, y es

independiente de la quiralidad [2.07].

• La energía de curvatura tiene una pequeña dependencia en la quiralidad [2.05].

• Ya que la energía de curvatura es ligeramente inferior en los nanotubos (n,n), éstos

son energéticamente más estables [2.05].

Sanchez-Portal et al., también efectuaron análisis con respecto de la energía de

curvatura en nanotubos, usando los métodos Ab initio basados en la Aproximación de

Densidad Local, LDA (pseudo potencial) de la Teoría del Funcional de la Densidad. Sus

resultados mostraron que la energía de curvatura para los nanotubos del tipo sillón

(n,n) era ligeramente inferior que para los otros dos tipos, mostrando de ésta manera


que la energía de curvatura muestra una pequeña dependencia en la quiralidad, como

se ilustra en la Figura 2.05.

Figura 2.04 Energía de deformación minimizada relativa a la del grafito (eV por átomo de Carbono). Los puntos

ajustados por líneas continuas y los cuadrados sin rellenar representan el comportamiento de los nanotubos, mientras que los diamantes y círculos rellenos el

comportamiento de los fulerenos. [2.07]

Figura 2.05 Energía de deformación versus radio del nanotubo. Los cuadrados rellenos representan el comportamiento de los nanotubes del tipo sillón

(armchair), mientras que los cuadrados y los diamantes sin rellenar a los nanotubos del tipo zig-zag y quirales.

[2.05].

2.1.3 Modelo Continuo para la Energía de Curvatura en SWCNTs

Robertson et. al., aplicaron el modelo de la energía de deformación desarrollado por

Tibbetts [2.24], el cual desarrolló usando la teoría del medio continuo para vigas para

explicar la formación de filamentos tubulares de carbono, y así obtener una expresión

para la energía de curvatura para los nanotubos. Se encontró que este modelo igualaba

perfectamente la tendencia 1/R2. Dicha tendencia apareció cuando los datos obtenidos de

las simulaciones moleculares usando un potencial empírico, fueron ajustados en una curva

ln (energía de deformación) vs ln (del radio), dando como resultado una línea con una

pendiente de −2, la cual fue consistente con el exponente al cual el radio R era elevado en


el modelo desarrollado usando la teoría de medio continuo. La derivación dada por

Tibbetts se muestra a continuación.

Si se considera que un filamento tubular es formado a partir del doblamiento de una barra

continua y plana, como la que se muestra en la Figura 2.06, entonces se requerirá la

aplicación de un momento flexionante para doblarla. De la mecánica del medio continuo

se sigue:

𝑀𝑀 =𝑌𝑌𝑌𝑌𝑅𝑅

2.14

𝑌𝑌 =𝐿𝐿ℎ3

12 2.15

Donde M es el momento flexionante necesario para doblar la barra, Y es el módulo de

Young, I es el momento de inercia, R es el radio de curvatura, L es la longitud de la placa, y

h es el espesor.

Figura 2.06 Vista de una viga, la cual es doblada hasta que forma el radio R cuando se le aplica el momento flexionante

M. OBSERVACIÓN: La letra “a” será cambiada por “h” en el presente análisis [2.24].

Si queremos encontrar la magnitud del diferencial de trabajo que es necesario para doblar

la viga cuyo ancho es dl en un ángulo dθ dicha expresión está dada por:

𝑑𝑑𝑑𝑑 =12𝑀𝑀 × 𝑑𝑑𝑑𝑑 2.16


Sustituyendo la Ecuación 2.15 en la 2.14, y su resultado en la Ecuación 2.16 tendremos:

𝑑𝑑𝑑𝑑 =1

24𝑌𝑌𝐿𝐿ℎ3

𝑅𝑅× 𝑑𝑑𝑑𝑑 2.17

Integrando el diferencial de trabajo de la Ecuación 2.17, hasta formar completamente al

cilindro, tendremos la energía necesaria para doblar todo el tubo, la cual está dada por:

𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑌𝑌𝐿𝐿ℎ3

24𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑

2𝜋𝜋

0 2.18

𝑑𝑑 =2𝜋𝜋24

𝑌𝑌𝐿𝐿ℎ3

𝑅𝑅 2.19

𝑑𝑑 =𝜋𝜋𝑌𝑌𝐿𝐿ℎ3

12𝑅𝑅 2.20

En este punto, Robertson et al., adaptaron la ecuación de la energía de curvatura de un

filamento tubular, para los nanotubos. Ya que la energía que se obtiene de las

simulaciones moleculares es energía por átomo, es necesario encontrar el número de

átomos sobre los cuales la energía total necesaria para doblar el nanotubo está

distribuida. Para ello será necesario primero definir al área que ocupa cada átomo de

Carbono, Ω.

Ω =𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝐴𝐴𝐴𝐴𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑁𝑁𝑑𝑑𝑁𝑁𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑑𝑑𝐴𝐴 á𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡𝑠𝑠 2.21

Ω =2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐿𝐿𝑁𝑁

2.22

Donde Ω es el área por cada átomo de Carbono, R es el radio del nanotubo, L es la

longitud del nanotubo y N es el número de átomos de Carbono en el nanotubo.

Despejando el número de átomos de la Ecuación 2.22 tendremos:

𝑁𝑁 =2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐿𝐿Ω

2.23


Ya que la energía total para doblar el nanotubo está dada por el trabajo de la Ecuación

2.20, y el número de átomos en el nanotubo por la Ecuación 2.23, ahora es posible

encontrar la energía de curvatura de cada átomo de Carbono, Ec, al dividir la Ecuación

2.20 entre la 2.23.

𝑑𝑑𝑁𝑁

= 𝐸𝐸𝑠𝑠 =𝜋𝜋𝑌𝑌𝐿𝐿ℎ3

12𝑅𝑅2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐿𝐿Ω

2.24

𝐸𝐸𝑠𝑠 =𝑌𝑌ℎ3

24 Ω𝑅𝑅2 2.25

𝐸𝐸𝑠𝑠 =A𝑅𝑅2 2.26

Cada una de las variables tiene el mismo significado explicado anteriormente. Robertson

et al., asumieron un espesor del nanotubo de h=3.35 oA, el cual corresponde a la distancia

que existe entre los planos del grafito, y un área por átomo de Carbono Ω= 2.6296 oA2.

Para simplificar aun más la Ecuación 2.25, se han agrupado las constantes para Y, h y 24

en una sola llamada A = Yh3Ω/24, como se muestra en la Ecuación 2.26. Tanto la Ecuación

2.25 como la 2.26 proporcionan una expresión para calcular la energía requerida para

doblar un nanotubo a partir de una capa plana de grafeno. Debemos de tener en

consideración que el trabajo realizado sobre la capa de grafeno para enrollarlo y formar

un nanotubo, queda almacenado como energía de deformación interna en los átomos de

Carbono. También se debe de tener en consideración que para que los resultados de las

Ecuaciones 2.25 y 2.26 se ajusten a los datos obtenidos en las simulaciones moleculares,

se debe emplear un módulo de Young igual a 0.045 TPa. Éste valor es cercano a la

constante elástica para el grafito a lo largo del eje-c, C= 0.036 TPa, pero es de un orden de

magnitud menor que el valor obtenido por Lu para la constante elástica C11 para los

SWCNTs de C11= 0.3975 TPa [2.09]. Si reemplazamos todos los valores conocidos en la

Ecuación 2.26, obtendremos:


𝐸𝐸𝑠𝑠 =1.167 [𝐴𝐴𝑑𝑑 °A2/atom]

𝑅𝑅2 2.26b

En esta última Ecuación, el radio deberá de expresarse en Angstroms. La Ecuación 2.26b o

alguna similar es muy útil si no se dispone de equipo para realizar simulaciones, pues la

energía de curvatura que se obtiene con esta ecuación es muy aproximada a la obtenida

mediante simulaciones moleculares.

La energía de deformación necesaria para formar la curvatura de los nanotubos, calculada

tanto por simulaciones ab initio como por simulaciones moleculares se puede ajustar

satisfactoriamente a una ecuación del tipo Ec = A/Rα. En la Tabla 2.01, se muestran los

ajustes obtenidos por varios investigadores tanto para A, como para el exponente α al que

hay que elevar al radio. Mientras que en la Figura 2.07, se muestran las curvas que

determinan la energía de curvatura para varios potenciales. La Serie 1 es para la curva

ajustada por Robertson et al., usando el potencial de Brenner, y la Serie 2 usando el

potencial de Tersoff. La Serie 3 para la curva ajustada por Sanchez-portal para los NTsC del

tipo (n,n), la Serie 4 para los NTsC del tipo (n,m), y la Serie 5 para los NTsC del tipo (n,0).

Finalmente la Serie 6 es para la curva ajustada por Xin et al., para NTsC con diferentes

quiralidades.

Tabla 2.01: Energía de Curvatura para los nanotubos de Carbono. En todos los métodos Ec depende del radio del nanotubo.

A eV °A2/atom

Exponente α en 1/Rα

Depende de la quiralidad

Método Ref.

1.167* 2 × Métodos de Potenciales Empíricos – Potencial de Brenner (s1)

Robertson et al. [2.07]

1.53* 2 × Métodos de Potenciales Empíricos – Potencial de Tersoff (s2)

Robertson et al. [2.07]

2.00 (n,n) 2.05±0.02 √ Cálculos Ab initio, pseudopotencial-DFT (s3) Sanchez-Portal [2.05] 2.15 (n,m) 2.05±0.02 √ Ab initio calculation, pseudopotencial-DFT (s4) Sanchez-Portal [2.05] 2.16 (n,0) 2.05±0.02 √ Ab initio calculation, pseudopotencial-DFT (s5) Sanchez-Portal [2.05]

1.44 2.03 × Electronic energy-band theory, Tight-binding (s6) Xin Z et al., [2.25] * No se proporciona este dato, por lo que ha sido calculado


Figura 2.07 Varias gráficas para la Energía de deformación vs Radio

Como se puede observar en la Tabla 2.01, todas las curvas de la Energía de deformación

para curvar al nanotubo se ajustaron a una ecuación del tipo Ec = A/Rα, en donde el

exponente α prácticamente es igual a 2 para todas ellas. Esta tendencia obtenida por

simulaciones tanto ab initio como de MM, es congruente con el exponente 2 del Radio de

la Ecuación 2.26, deducido de la teoría del medio continuo. Sin embargo, como se puede

apreciar también en la Figura 2.07, el valor de Ec para un nanotubo con radio

determinado, depende del potencial que se elija. La dependencia de Ec con el potencial se

ve reflejada en los diferentes valores de la constante A que tiene cada curva. Otro aspecto

que se puede observar en dicha figura es que las curvas muestran una mayor dispersión

de los valores de Ec para los nanotubos de menor diámetro. Por ejemplo, hay poca

dispersión cuando el radio es de 7 oA, pero la diferencia es significativa cuando el radio es

de 4 oA. Si se ha calculado previamente Ec, con alguna técnica de simulación, entonces la

Ecuación 2.25 se puede usar para determinar el módulo de Young, ya que h, Ω y R se

pueden conocer o asumir. Aquí queda claro que, ya que Ec depende del potencial usado,

entonces el valor obtenido para Y, también dependerá del potencial seleccionado.

Yakobson et al. [2.08] modelaron el comportamiento de los nanotubos sometidos a

diversas cargas de compresión, flexión y torsión, mediante simulaciones de dinámica


molecular. Dicho comportamiento fue explicado usando la teoría de láminas y membranas

de la mecánica del medio continuo. La energía de deformación en las membranas está

dada por una integral de superficie, la cual se expresa en función de dos parámetros

elásticos, así como de la variación de curvatura y la deformación unitaria que experimenta

la membrana a lo largo del plano. Los dos parámetros elásticos son la rigidez a la flexión D,

y la rigidez sobre el plano C. Por ahora solo será explicada la energía debida a la flexión del

nanotubo.

Para la parte del análisis del modelo continuo que expresa la energía como función de la

rigidez a la flexión de la membrana, usaron el concepto de la densidad de la energía de

deformación obtenido por Robertson et al., para curvar a los nanotubos; sin embargo, en

éste caso en lugar de usar la energía por átomo de carbono, se empleó la energía de

deformación por unidad de área.

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸í𝐴𝐴 𝑑𝑑𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐴𝐴𝑠𝑠𝑡𝑡𝐴𝐴𝑁𝑁𝐴𝐴𝑠𝑠𝑖𝑖ó𝐸𝐸𝑠𝑠𝑑𝑑𝐴𝐴𝑐𝑐𝐴𝐴𝑡𝑡𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝑑𝑑𝑁𝑁Ω

2.27

Despejando al trabajo total, W, para curvar al nanotubo de la Ecuación 2.24, y

sustituyéndolo en 2.27 se tiene que:

𝑑𝑑𝑁𝑁Ω

=𝐸𝐸𝑠𝑠Ω

2.28

Sustituyendo Ec de la Ecuación 2.25, en la Ecuación 2.28:

𝐸𝐸𝑠𝑠Ω

=𝑌𝑌ℎ3

24

1𝑅𝑅

2

2.29

Ya que 1/R es la curvatura κ del tubo, la Ecuación 2.29 se puede expresar también como:

𝐸𝐸𝑠𝑠Ω

=𝑌𝑌ℎ3

24κ2 2.30


Yakobson et al., asumieron que la segunda derivada con respecto de la curvatura, de la

energía por unidad de área para curvar el tubo es igual a la rigidez a la flexión, Db. Por lo

tanto, derivando la Ecuación 2.30:

𝜕𝜕𝜕𝜕κ

𝐸𝐸𝑠𝑠Ω =

2𝑌𝑌ℎ3

24κ =

𝑌𝑌ℎ3

12κ

𝜕𝜕2

𝜕𝜕κ2 𝐸𝐸𝑠𝑠Ω =

𝑌𝑌ℎ3

12 2.31

𝜕𝜕2

𝜕𝜕κ2 𝐸𝐸𝑠𝑠Ω = 𝐷𝐷𝑡𝑡 2.32

𝐷𝐷𝑡𝑡 =𝑌𝑌ℎ3

12 2.33

En donde la rigidez a la flexión, Db, debe expresarse en unidades de energía. Al considerar

los efectos de Poisson, la Ecuación 2.33 queda como:

𝐷𝐷𝑡𝑡 =𝑌𝑌ℎ3

12(1 − 𝜈𝜈2) 2.34

Además si ahora se reemplaza la Ecuación 2.33 en la 2.30, la energía por unidad de área

necesaria para curvar el nanotubo está dada por:

𝐸𝐸𝑠𝑠Ω

=12𝐷𝐷𝑡𝑡 κ2 2.35

Alternativamente, la energía por unidad de área se puede expresar como función del

diámetro, d, y la rigidez a la flexión Db.

𝐸𝐸𝑠𝑠Ω

=2 𝐷𝐷𝑡𝑡 𝑑𝑑2 2.36


2.2 Relaciones Esfuerzo−Deformación

Cuando un material es sometido a esfuerzos, experimenta deformaciones, las cuales

cuando son normalizadas por la longitud original se obtienen deformaciones unitarias. La

forma en la cual el material se va a deformar está regida tanto por el tipo de esfuerzos

aplicados como de las propiedades físicas del material. Se dice que un material es

isotrópico, si sus propiedades son las mismas en todas las direcciones cristalográficas

[2.26]. Pero, si las propiedades son diferentes entonces el material será anisotrópico.

En la Figura 2.08, se muestra el estado de esfuerzos de un elemento diferencial aislado. En

la Figura 2.08a, el primer subíndice del esfuerzo indica en que cara del cuerpo el esfuerzo

es aplicado, mientras que el segundo señala la dirección sobre la cual es esfuerzo está

actuando. Por ejemplo, σ13 indica que es esfuerzo es aplicado en la cara que es

perpendicular al eje 1, y orientado en la dirección del eje 3. En la Figura 2.08b, se muestra

que cuando los esfuerzos actúan sobre el cuerpo, causan deformaciones y deformaciones

unitarias. Las deformaciones unitarias también se indican mediante subíndices, los cuales

siguen las mismas reglas previamente indicadas.

Figura 2.08. a) Cubo unitario de un cuerpo sometido a esfuerzos tri-dimensionales; donde sólo se muestran las componentes en tres de las caras expuestas. b) Cubo unitario cuando es alargado en la dirección de Ox3. a)

b)


2.2.1 Ley de Hooke

Un modelo que explica en muchas situaciones de manera satisfactoria el comportamiento

entre el esfuerzo y la deformación es la ley de Hooke. Sin embargo, este modelo sólo es

válido si el material tiene un comportamiento lineal elástico, lo que significa que las

deformaciones resultantes serán proporcionales a los esfuerzos aplicados [2.26]. En la

notación tensorial lo anterior puede ser expresado como:

𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 2.37

Como se puede apreciar en la Ecuación 2.37, el tensor de esfuerzos, σij, está linealmente

relacionado al tensor de deformaciones unitarias, εkl, por medio de los coeficientes

elásticos Cijkl. Los coeficientes elásticos dependen directamente del material y deben ser

determinados ya sea mediante experimentos o simulaciones numéricas.

Los coeficientes elásticos, Cijkl, están modelados por un tensor de cuarto orden en un

espacio tridimensional (i, j, k, l toman los valores de 1 a 3), así que el número de

elementos que lo definirán será de 34=81, tal como se muestra en la siguiente ecuación

[2.27]:

→ kl

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝑠𝑠1111 𝑠𝑠1112 𝑠𝑠1113𝑠𝑠1211 𝑠𝑠1212 𝑠𝑠1213𝑠𝑠1311 𝑠𝑠1312 𝑠𝑠1313

𝑠𝑠1121 𝑠𝑠1122 𝑠𝑠1123𝑠𝑠1221 𝑠𝑠1222 𝑠𝑠1223𝑠𝑠1321 𝑠𝑠1322 𝑠𝑠1323







𝑠𝑠3131 𝑠𝑠3132 𝑠𝑠3133𝑠𝑠3231 𝑠𝑠3232 𝑠𝑠3233𝑠𝑠3331 𝑠𝑠3332 𝑠𝑠3333 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

2.38

ij ↓


Segunda Ley de Cauchy

En la Figura 2.08a, se muestra un elemento aislado sobre el que actúan tanto esfuerzos

normales como cortantes. Si se analiza cuidadosamente se observará que suma de

fuerzas, debidas a los esfuerzos normales en cada uno de los ejes, se neutralizan

mutuamente pues su magnitud es la misma pero actuando en sentido contrario. Además,

ya que actúan sobre el mismo eje, no hay un brazo de palanca entre ellas por lo que el

momento resultante es nulo. Sin embargo, en el caso de los esfuerzos cortantes, estos

actúan en caras paralelas. Si bien se mantiene el hecho de que la suma de sus fuerzas es

cero pues están orientadas en direcciones opuestas, el hecho de que no sean co-lineales y

exista un brazo de palanca entre ellas provoca un momento resultante. Por ejemplo

veamos que pasa alrededor del eje x2. Los esfuerzos cortantes, σ31, tratarán de hacer girar

al cubo alrededor de dicho eje en sentido contrario a las manecillas del reloj; pero los

cortantes, σ13, intentarán girarlo en el sentido de las manecillas del reloj. Si el elemento

diferencial se encuentra en equilibrio, para evitar que éste gire alrededor del eje x2, es

necesario que los esfuerzos cortantes antes mencionados tengan la misma magnitud, es

decir, σ13 = σ31.

De manera general, la segunda ley de Cauchy establece que para evitar la rotación de un

elemento sometido a esfuerzos cortantes, como el que se muestra en la Figura 2.08, se

requiere que el tensor de esfuerzos sea simétrico, σij = σji, para balancear los momentos

que se producen en dicho cuerpo. Como resultado se tendrá una matriz simétrica, tanto

de esfuerzos como de deformaciones, lo cual significa que σij = (σij )T = σji y εij = (εij )T = εji. Ya

que los esfuerzos están relacionados con las deformaciones a través del tensor de rigidez,

como lo muestra la Ecuación 2.37, entonces el tensor de rigidez necesariamente debe ser

también simétrico, por lo que cijkl = cjikl = cijlk.

Como se muestra en la Figura 2.08a, el estado de esfuerzos que actúa en un cubo unitario

contiene nueve componentes, y ya que es un tensor simétrico las componentes que no se

encuentran sobre la diagonal principal deben de cumplir lo explicado en el párrafo


anteior, i.e. σ13 = σ31 , σ12 = σ21 y σ23 = σ32. Por lo tanto los tensores de esfuerzos y

deformaciones se pueden representar como: [2.28]

𝜎𝜎11 𝜎𝜎12 𝜎𝜎13𝜎𝜎21 𝜎𝜎22 𝜎𝜎23𝜎𝜎31 𝜎𝜎32 𝜎𝜎33

= 𝜎𝜎11 𝜎𝜎12 𝜎𝜎13𝜎𝜎12 𝜎𝜎22 𝜎𝜎23𝜎𝜎13 𝜎𝜎23 𝜎𝜎33

2.39

𝜀𝜀11 𝜀𝜀12 𝜀𝜀13𝜀𝜀21 𝜀𝜀22 𝜀𝜀23𝜀𝜀31 𝜀𝜀32 𝜀𝜀33

= 𝜀𝜀11 𝜀𝜀12 𝜀𝜀13𝜀𝜀12 𝜀𝜀22 𝜀𝜀23𝜀𝜀13 𝜀𝜀23 𝜀𝜀33

2.40

Siguiendo la segunda ley de Cauchi, se resaltarán los elementos simétricos del tensor de

rigidez de la Ecuación 2.38, Cijkl = Cjikl = Cijlk. Donde el remarcado claro representa la

simetría debido a los esfuerzos y el obscuro a las deformaciones:


⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝑠𝑠1111 𝑠𝑠1112 𝑠𝑠1113𝑠𝑠1211 𝑠𝑠1212 𝑠𝑠1213𝑠𝑠1311 𝑠𝑠1312 𝑠𝑠1313









⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

2.41

Una ventaja de la simetría es que aquellos elementos de la matriz que sean simétricos, no

son independientes, y por lo tanto, todos los elementos que se encuentran resaltados en

la Ecuación 2.41, son redundantes pues son iguales a algún otro elemento que se

encuentra desmarcado. De esta manera, la matriz de rigidez se puede simplificar de una

que contiene 81 elementos a otra de 36 elementos independientes.

En la matriz que se muestra en la Ecuación 2.41, se han resaltado aquellos elementos que

de acuerdo con la ley de Cauchy pueden ser representados por otro elemento que se

encuentra desmarcado. Por ejemplo, en el primer renglón, el elemento c1121 es

equivalente al c1112, es decir cijkl = cijlk; por lo que el elemento c1121 se puede eliminar pues


no es independiente. Eliminando todos los elementos resaltados de la Ecuación 2.41, se

obtiene el tensor de rigidez reducido, el cual está dado por:


⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝑠𝑠1111 𝑠𝑠1112 𝑠𝑠1113𝑠𝑠1211 𝑠𝑠1212 𝑠𝑠1213𝑠𝑠1311 𝑠𝑠1312 𝑠𝑠1313




⎥⎥⎥⎥⎤

2.42

También sabemos que los coeficientes de rigidez se pueden obtener a partir de la segunda

derivada de la densidad de la energía de deformación con respecto a la deformación

unitaria:

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜕𝜕2𝑼𝑼

𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 =0,𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖=0

2.43

Es irrelevante en qué orden se deben realizar las derivadas de la energía de deformación

con respecto a la deformación unitaria. Ya que obtenemos el mismo resultado si primero

derivamos con respecto a 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 y luego con respecto a 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 , que si procedemos en el orden

inverso. Por lo tanto, los coeficientes cijkl tampoco dependen de la secuencia en la cual se

deriban [2.19]. De esta manera se tiene que cijkl = cklij (ij≠kl), (i.e c1211=c1112, c1312=c1213), lo

cual reduce aún más el número de coeficientes independientes de 36 a 21.






⎥⎥⎥⎥⎤

2.44


Convención de Voigt

Hasta ahora, en los elementos del tensor de rigidez se han usado índices tensoriales, la

convención de Voigt permite reemplazarlos por índices matriciales. Un índice tensorial al

desarrollarse va de 1 a 3, sin embargo, el índice matricial de Voigt va de 1 a 6. La

convención de Voigt reasigna los índices de acuerdo a la siguiente regla [2.29]:

Índices Tensoriales

11 22 33 23 y 32

13 y 31

12 y 21

Índices Matriciales

1 2 3 4 5 6

La secuencia en la cual la regla de Voigt asigna el número de índice matricial a partir del

índice tensorial se explica considerando un tensor de esfuerzos de 9 elementos. Se parte

del elemento tensorial cuyo índice es 11, el cual es cambiado por el elemento matricial

con índice 1. Luego baja sobre la diagonal principal hasta alcanzar al elemento 33 a quien

se le asigna el índice matricial 3. Posteriormente se sube verticalmente hasta alcanzar al

elemento tensorial con índice 13 a quién se le asigna el índice matricial 5, para finalmente

hacer un recorrido hacia la izquierda y alcanzar al elemento tensorial con índice 12 a quién

se le asigna el índice matricial 6.

Para efectuar el cambio de índices tensoriales a índices matriciales, los índices se deberán

de agrupar de dos en dos. En el caso de los índices para los tensores de esfuerzo y de

deformación unitaria, no hay mucho problema pues sólo tienen dos índices. Sin embargo,

para el caso del tensor de rigidez que tiene cuatro índices, éstos deberán agruparse como

sigue cijkl → cij kl. Después dependiendo del par de índices que se tenga, se hará uso de la

regla indicada arriba para reemplazar cada par por un solo índice matricial. Por ejemplo, si

el índice tensorial es 2123, → c2123, → c21 23. El par de índices tensoriales 21 de acuerdo a

la regla de Voigt deberá de cambiar al índice matricial 6, y el par de índices tensoriales 23

deberá de cambiar al índice 4. Por lo tanto, c2123 es cambiado a c64. En la Tabla 2.02, se


indican los cambios de índices tensoriales a índices matriciales para el tensor de esfuerzos,

el tensor de deformaciones unitarias, y el tensor elástico.

Tabla 2.02 Los índices tensoriales son reemplazados por índices matriciales siguiendo la convención de Voigt.

Esfuerzo

𝜎𝜎11 = 𝜎𝜎1 𝜎𝜎22 = 𝜎𝜎2 𝜎𝜎33 = 𝜎𝜎3

𝜎𝜎23 = 𝜎𝜎4 𝜎𝜎13 = 𝜎𝜎5 𝜎𝜎12 = 𝜎𝜎6

𝜎𝜎11 𝜎𝜎12 𝜎𝜎13𝜎𝜎12 𝜎𝜎22 𝜎𝜎23𝜎𝜎13 𝜎𝜎23 𝜎𝜎33

= 𝜎𝜎1 𝜎𝜎6 𝜎𝜎5𝜎𝜎6 𝜎𝜎2 𝜎𝜎4𝜎𝜎5 𝜎𝜎4 𝜎𝜎3

→

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜎𝜎1𝜎𝜎2𝜎𝜎3𝜏𝜏4𝜏𝜏5𝜏𝜏6⎦⎥⎥⎥⎥⎤

Deformación unitaria

𝜀𝜀11 = 𝜀𝜀1 𝜀𝜀22 = 𝜀𝜀2 𝜀𝜀33 = 𝜀𝜀3

𝜀𝜀23 = 𝜀𝜀4 𝜀𝜀13 = 𝜀𝜀5 𝜀𝜀12 = 𝜀𝜀6

𝜀𝜀11 𝜀𝜀12 𝜀𝜀13𝜀𝜀12 𝜀𝜀22 𝜀𝜀23𝜀𝜀13 𝜀𝜀23 𝜀𝜀33

= 𝜀𝜀1 𝜀𝜀6 𝜀𝜀5𝜀𝜀6 𝜀𝜀2 𝜀𝜀4𝜀𝜀5 𝜀𝜀4 𝜀𝜀3

→

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜀𝜀1𝜀𝜀2𝜀𝜀3𝜀𝜀4𝜀𝜀5𝜀𝜀6⎦⎥⎥⎥⎥⎤

OBSERVACIÓN: 𝜀𝜀4, 𝜀𝜀5, y 𝜀𝜀6, en realidad representan a la distorsión angular por lo que propiamente deberían usarse los símbolos 𝛾𝛾4, 𝛾𝛾5, y 𝛾𝛾6. Al escribir la matriz de rigidez, algunos autores prefieren hacerlo

usando la deformación cortante 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 = 12𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1

2∆𝑑𝑑𝑖𝑖∆𝑥𝑥𝑖𝑖

+ ∆𝑑𝑑𝑖𝑖∆𝑥𝑥𝑖𝑖. Ya que se usará el mismo símbolo en la

matriz deberá de verificarse cual de las dos se está usando para evitar confusiones. Por ejemplo, si se usa la deformación cortante en lugar de tener 𝜀𝜀4, se tendrá 2𝜀𝜀4 = 2𝜀𝜀23, pues 𝛾𝛾4 = 2𝜀𝜀4 = 2𝜀𝜀23; de manera similar 𝜀𝜀5 = 2𝜀𝜀13, y 𝜀𝜀6 = 2𝜀𝜀12

Tensor elástico

𝑠𝑠1111 = 𝑪𝑪𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑠𝑠1122 = 𝑠𝑠2211 = 𝑪𝑪𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑠𝑠1123 = 𝑠𝑠1132 = 𝑠𝑠2311 = 𝑠𝑠3211

= 𝑪𝑪𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑠𝑠1223 = 𝑠𝑠1232 = 𝑠𝑠2123 = 𝑠𝑠2132

= 𝑠𝑠2312 = 𝑠𝑠3212= 𝑠𝑠2321 = 𝑠𝑠3221= 𝑪𝑪𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝟏𝟏𝟔𝟔

Aplicando la convención de Voigt al tensor elástico dado por la Ecuación 2.44, tendremos:






⎥⎥⎥⎥⎤

→ 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 =




𝑠𝑠22 𝑠𝑠24 𝑠𝑠23𝑠𝑠42 𝑠𝑠44 𝑠𝑠43𝑠𝑠32 𝑠𝑠34 𝑠𝑠33⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

2.45


Si ahora se intercambian las columnas c2↔c4 de la Ecuación 2.45, así como c3↔c5. Luego intercambiando c4↔c6, y finalmente c3↔c4.

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 =





⎥⎥⎥⎥⎤

=





⎥⎥⎥⎥⎤

=





⎥⎥⎥⎥⎤

=





⎥⎥⎥⎥⎤

2.46

Realizando un procedimiento similar pero ahora intercambiando renglones, obtendremos:






⎥⎥⎥⎥⎤

𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1 𝐴𝐴 6 2.47

Además como ya lo habíamos realizado en la Ecuación 2.44 para los índices tensoriales;

debido a que no importa el orden en que se realice la diferenciación de los índices, c16=c61,

y en general cij=cji. Por lo tanto un material completamente anisotrópico necesita de 21

constantes elásticas para estar completamente definido, como lo muestra la Ecuación

2.48.






⎥⎥⎥⎥⎤

𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1 𝐴𝐴 6 2.48


Ahora la ley de Hooke definida en notación tensorial por la Ecuación 2.37, se puede

expresar en notación matricial, haciendo uso de la Tabla 2.02 y de la Ecuación 2.48.

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜎𝜎1𝜎𝜎2𝜎𝜎3𝜏𝜏4𝜏𝜏5𝜏𝜏6⎦⎥⎥⎥⎥⎤

=





⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜀𝜀1𝜀𝜀2𝜀𝜀3𝜀𝜀4𝜀𝜀5𝜀𝜀6⎦⎥⎥⎥⎥⎤

2.49

La ecuación anterior también se le conoce como ecuaciones constitutivas, y relacionan al

esfuerzo con su deformación unitaria a través de 21 constantes elásticas independientes

que especifican las propiedades del material. No se olvide que σ1=σx, σ2=σy, σ3=σz, τ4=τyz,

τ5=τxz, τ6=τxy, ε1=εx, ε2=εy, ε3=εz, ε4=γyz=2εyz, ε5=γxz=2εxz, ε6=γxy=2εxy. Estas relaciones

indican que cualquier esfuerzo se puede expresar como una combinación lineal de las

deformaciones unitarias y de las constantes elásticas, como se muestra en la Ecuación

2.50.

𝜎𝜎1 = 𝑠𝑠11𝜀𝜀1 + 𝑠𝑠12𝜀𝜀2 + 𝑠𝑠13𝜀𝜀3 + 𝑠𝑠14𝜀𝜀4 + 𝑠𝑠15𝛾𝛾5 + 𝑠𝑠16𝜀𝜀6

⋮

𝜏𝜏6 = 𝑠𝑠61𝜀𝜀1 + 𝑠𝑠62𝜀𝜀2 + 𝑠𝑠63𝜀𝜀3 + 𝑠𝑠64𝜀𝜀4 + 𝑠𝑠65𝜀𝜀5 + 𝑠𝑠66𝜀𝜀6 O

𝜏𝜏6 = 𝑠𝑠16𝜀𝜀1 + 𝑠𝑠26𝜀𝜀2 + 𝑠𝑠36𝜀𝜀3 + 𝑠𝑠46𝜀𝜀4 + 𝑠𝑠56𝜀𝜀5 + 𝑠𝑠66𝜀𝜀6

2.50

En la Ecuación 2.49, la ley de Hooke ha cambiado de una notación tensorial a una

notación matricial. Es importante recalcar que en la notación tensorial los índices van de

uno a tres, 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖, 𝑖𝑖,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1 𝐴𝐴 3, mientras que en la notación matricial van de

uno a seis, 𝜎𝜎𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜀𝜀𝑖𝑖 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1 𝐴𝐴 6.


2.2.2 Matriz de Rigidez para Nanotubos

La ley de Hooke relaciona a los esfuerzos con las deformaciones unitarias a través de la

matriz de rigidez. La relación más general es para un material anisotrópico, y está dada

por la Ecuación 2.49. Cada uno de los 21 elementos de la matriz de rigidez es una

constante elástica, también conocida como rigidez elástica o módulo. Cada una de estas

constantes necesita ser calculada o medida experimentalmente. Sin embargo, si el

material tiene algún tipo de simetría, el número de constantes elásticas que son

independientes se puede reducir aún más.

Se dice que un material es transversalmente isotrópico, si es simétrico respecto a una

rotación arbitraria alrededor de un eje dado, al cual se le llama eje de simetría [2.30]. Lo

anterior significa que existe un plano, el cual es perpendicular al eje de simetría, sobre el

cual las propiedades del material son idénticas sin importar el punto que se elija. Este tipo

de comportamiento se puede encontrar en una lámina delgada unidireccional en la cual

las fibras estén ordenadas en patrones cuadrados o hexagonales [2.31]. Los nanotubos de

Carbono son cilindros huecos que se extienden a lo largo de un eje, y están formados por

una delgada capa de átomos de Carbono, los cuales están ordenados en patrones

hexagonales. Así que las características elásticas de los NTsC se pueden modelar como un

material transversalmente isotrópico.

El número de constantes elásticas necesarias para definir a un material transversalmente

isotrópico se reducen a cinco. En la Ecuación 2.51, se muestran las relaciones constitutivas

para éste tipo de materiales [2.16]. En donde el eje de simetría está definido a lo largo del

eje X1 y el plano transversalmente isotrópico por los ejes x2x3, Figura 2.09c.

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜎𝜎11𝜎𝜎22𝜎𝜎33𝜎𝜎23𝜎𝜎13𝜎𝜎12⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

=


𝑠𝑠22 − 𝑠𝑠232𝑠𝑠66

2𝑠𝑠66⎦⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜀𝜀11𝜀𝜀22𝜀𝜀33𝜀𝜀23𝜀𝜀13𝜀𝜀12⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

2.51


De la ecuación anterior se obtendrá por ejemplo la relación:

𝜎𝜎11 = 𝑠𝑠11𝜀𝜀11 + 𝑠𝑠12𝜀𝜀22 + 𝑠𝑠13𝜀𝜀33 2.52

Por lo que, 𝑠𝑠11 es equivalente al módulo de Young en la dirección del eje X1, 𝑠𝑠12 = 𝑠𝑠13

corresponden a la relación de Poisson en el plano de isotropía, es decir determina la

relación entre la deformación unitaria en la dirección 2 ó 3 y la deformación unitaria en la

dirección axial que se induce cuando se aplica un esfuerzo en la dirección axial. De manera

similar 𝑠𝑠22 determina al módulo de Young en el plano de isotropía, 𝑠𝑠23 la relación de

poisson entre la deformación en el ejes 3 y la del eje 2 (deformación en la misma dirección

de la aplicación de la carga). 𝑠𝑠44 Especifica al módulo de corte cuando la capa de un

nanotubo rota con respecto a otra y 𝑠𝑠66 al módulo de corte cuando la capa del nanotubo

se desliza con respecto a otra.

Planos de simetría en un sólido

Celda unitaria hexagonal

Sistema de coordenadas en un

Nanotubo

Figura 2.09 Nanotubos de Carbono de pared única. a) Planos de simetría en una nanocuerda. b) Sección transversal de la celda unitaria de una nanocuerda. c) Sistema coordenado en un SWCNT [2.16]

Los SWCNTs en las nanocuerdas se agrupan alrededor de uno de estos nanotubos. Las

fuerzas de van der Waals (debidas a los nanotubos vecinos) actúan en el nanotubo

originalmente circular deformando su sección transversal, adquiriendo ésta una forma

hexagonal como se ilustra en la Figura 2.09b. Si amplificáramos la nanocuerda de la

Figura 2.09a, en su límite se observaría que se agrupan seis nanotubos alrededor de uno

de ellos, siendo el nanotubo central el menor de los arreglos hexagonales posibles, pues al

replicarlo en cada uno de sus bordes se pueden obtener arreglos cada vez mayores. Por lo

a) b) c)


tanto este nanotubo es identificado como la celda unitaria hexagonal, Figura 2.09b. En la

Figura 2.09c, se ha aislado el nanotubo central, sobre el cual se han colocado los ejes de

referencia. El eje X1 corresponde con el eje de simetría del nanotubo, mientras que el

plano transversalmente isotrópico está determinado por los ejes X2 y X3. Cuando los ejes

coordenados son orientados de ésta manera, las relaciones entre esfuerzos y

deformaciones está dada por la Ecuación 2.51.

Arriba, se obtuvieron las ecuaciones constitutivas cuando se considera que el plano

transversalmente isotrópico corresponde con la sección transversal del nanotubo. Sin

embargo, muchos autores han considerado que dicho plano es similar al del grafito.

Siguiendo el mismo sistema coordenado como el mostrado en la Figura 2.09c, el plano

transversalmente isotrópico para el grafito está definido por el plano X1X2, por lo que las

constantes elásticas que se encuentren sobre él tendrán el mismo valor [2.32], mientras

que su eje de simetría coincidirá con X3. Ya que los nanotubos son curvos, el plano de

isotropía corresponderá con la capa cilíndrica que lo forma. Las ecuaciones constitutivas

para los nanotubos que cumplen esta nueva suposición están relacionadas por [2.32]:

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜎𝜎11𝜎𝜎22𝜎𝜎33𝜎𝜎23𝜎𝜎13𝜎𝜎12⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

=


𝑠𝑠44𝑠𝑠44

(𝑠𝑠11 − 𝑠𝑠12)/2⎦⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜀𝜀11𝜀𝜀22𝜀𝜀33𝜀𝜀23𝜀𝜀13𝜀𝜀12⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

2.53

Donde c11 y c12 corresponden al modulo de Young y la relación de Poisson sobre la capa de

grafeno la cual a su vez es también el plano de isotropía, c33 y c13 determinan al modulo de

Young y la relación de Poisson en la dirección perpendicular al plano de isotropía; por lo

tanto será el modulo de Young entre las capas de grafeno y la relación de Poisson será la

razón de la deformación unitaria que se experimenta en la dirección de las capas de

grafeno con respecto a una deformación axial, y c44 es la constante elástica que describe al

módulo de corte de una capa de grafeno con respecto de la otra, ya sea cuando una capa

se gira con respecto a la otra, o bien cuando una se desliza con respecto de la otra.


2.2.3 Módulo de Young

Aun cuando los nanotubos son materiales que tienen un plano transversal de isotropía, no

siempre se han considerado de ésta manera, debido a la dificultad para obtener todas las

constantes elásticas. El primer estudio teórico relacionado con las constantes elásticas en

los NTsC fue efectuado por Robertson et al., en 1992 [2.07]. En la primera parte de sus

simulaciones se preocuparon, como ya lo hemos revisado en secciones previas, en la

energía de deformación necesaria para curvar a los nanotubos; sin embargo, la segunda

parte estuvo enfocada en el cálculo del módulo de Young. Para lo cual se efectuaron

simulaciones considerando a los nanotubos en situaciones de tensión y otras en

situaciones de compresión. En dichas simulaciones se calculó numéricamente la segunda

derivada de la energía de deformación, usando dos potenciales diferentes: el potencial

Tersoff, EP1, y el potencial Brenner, EP2. Reportaron que cuando se usó el potencial de

Brenner y el diámetro de los nanotubos era lo suficientemente grande, el módulo de

Young en la dirección axial era similar al del grafito (C11= 1.06 TPa) pues la segunda

derivada de la energía de deformación obtenida mediante simulaciones es similar a la

predicha por la mecánica del medio continuo cuando se utiliza el modulo de Young del

grafito en su cálculo. Sin embargo, cuando el potencial de Tersoff era usado, el valor de

módulo de Young, era demasiado grande, como se muestra en la Figura 2.10.

El valor de las constantes elásticas obtenidas en función de la segunda derivada de la

energía de deformación está dado por la Ecuación 2.11. Sin embargo, la energía de

deformación que se muestra en la Figura 2.10, es por cada átomo, Ua. Así que para poder

determinar el módulo de Young, tendremos que multiplicar a dicha energía por el número

total de átomos que se están simulando y dividirlos entre el volumen total del nanotubo.


𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖

∗ 𝑁𝑁

𝑑𝑑0 𝐴𝐴𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸𝑖𝑖𝐴𝐴á𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡 [𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡𝑠𝑠]

𝑐𝑐𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑𝑁𝑁𝐴𝐴𝐸𝐸

2.54

El número de átomos en el nanotubo está determinado por la Ecuación 2.23, mientras

que el volumen es equivalente al área superficial del nanotubo por su espesor:




∗ 2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐿𝐿Ω

2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐿𝐿 ℎ=


Ωℎ

2.55

Ya que Ω es la superficie en que se distribuye cada átomo, al ser multiplicada por el

espesor h del nanotubo se tendrá el volumen que ocupa cada átomo, Va.

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =1

𝑑𝑑𝐴𝐴 𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖

2.55b

Esta expresión es similar a la Ecuación 2.11, sin embargo, debe tenerse presente que en

éste caso la energía de deformación es expresada en unidades de energía/átomo, y el

volumen no es el del nanotubo, sino el volumen que ocupa cada átomo (volumen/átomo).

Ya que el módulo de Young en la dirección axial del grafito es C11= 1.06 TPa, y en la

Sección 2.1.3, se proporcionaron el espesor y el área/átomo en los nanotubos, h=3.35 oA,

y Ω= 2.6296 oA2/átomo; la segunda derivada de la energía de deformación/átomo con

respecto a la deformación unitaria, se puede calcular despejándola de la Ecuación 2.55:


= 2.6296𝑡𝑡𝑑𝑑2

𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡 (3.35 𝑑𝑑𝑡𝑡 ) 1.06 × 1012

𝑁𝑁𝑁𝑁2 2.56


= 9.34 × 1012 𝑡𝑡𝑑𝑑3 ∙ 𝑁𝑁

𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡 ∙ 𝑁𝑁2 10−10 𝑁𝑁

𝑑𝑑𝑡𝑡

3

= 9.34 × 10−18 𝐽𝐽𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡

2.57


= 9.34 × 10−18 𝐽𝐽𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡

1 𝐴𝐴𝑑𝑑

1.602 × 10−19 𝐽𝐽 2.58


= 58.30𝐴𝐴𝑑𝑑

𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑡𝑡 2.59


Este valor de la segunda derivada es congruente con el obtenido en las simulaciones para

el potencial de Brenner, como se puede apreciar en la Figura 2.10.

Figura 2.10 Segunda derivada de la energía por átomo de carbono con respecto de la deformación unitaria obtenida numéricamente. La deformación tuvo lugar en la dirección del eje del nanotubo, y

efectuada para los potenciales EP1 y EP2.

Además, los resultados obtenidos por Robertson et al. [2.07], también muestran que el

módulo de Young depende del radio del nanotubo, y esta dependencia disminuye a

medida que el radio se incrementa. En el límite, cuando el radio del NTC ha alcanzado un

valor lo suficientemente grande, su módulo de Young igualará al módulo de Young en el

plano del grafito. Otra observación que se puede apreciar, es que para un radio dado, las

constantes elásticas se dispersan. Los puntos sobre curvas con menor valor corresponden

a los nanotubos del tipo zig-zag, mientras que los más altos valores a los nanotubos del

tipo sillón. Eso sugiere que el modulo de Young depende de la quiralidad del nanotubo.

Cabe resaltar, que el espesor de la pared del nanotubo fue considerada de 0.335 nm.

Overney et al., calcularon en 1992 [2.33], la rigidez estructural de tres nanotubos al

simular su respuesta ante vibraciones. Ya que la molécula de carbono que formaba a los

nanotubos fue considerada como una viga empotrada en voladizo, el objetivo consistió en

determinar la constante de la viga con base en su energía vibratoria y la amplitud de sus

oscilaciones, enfocándose solamente en los modos de vibración de baja frecuencia. La

energía involucrada en la vibración del nanotubo, fue calculada mediante simulaciones

que hicieron uso del potencial empírico de Keating, pues ha dado resultados satisfactorios


cuando se modelan moléculas que tienen enlaces covalentes, como es el caso de los

nanotubos de carbono. La característica de este potencial es que describe tanto la energía

potencial debida deformaciones lineales que sufre el enlace, como la debida a

deformaciones angulares de dos enlaces vecinos, con respecto de la energía que la

molécula tiene en un estado relajado o sin deformación. Ya que cualquier potencial

incluye parámetros que deben ser establecidos, en éste caso fueron determinados

mediante cálculos ab initio usando la aproximación de densidad local (LDA), para calcular

la densidad vibracional de estados de los NTsC, y poder luego calcular sus modos de

vibración. Enfocaron su atención en aquellos modos de baja frecuencia, ya que eran

parecidos a los de una viga. Basados en dichos modos de vibración derivaron la

deformación de la viga de carbono, al considerar que cada viga de nanotubo tenia

empotrada solo uno de sus extremos mientras el otro permanecía libre. Mediante el

potencial de Keating, se determinó la diferencia en energía asociada a un nanotubo

originalmente recto y uno deformado por el modo de vibración, Figura 2.11. Finalmente,

derivando dos veces el cambio de energía (de la curva ∆Energía vs ∆z), se encontró la

constante elástica para la viga. En este trabajo no se calculó el módulo de Young, sino la

constante de la viga teniendo un valor de 15.1 N/m. Ya que usaron el modelo clásico de la

deformación de una viga, ∆ z=[ l3/(3YI) ]F, y del hecho que también sugirieron de manera

implícita el uso de un espesor de 3.335 nm para el espesor de la pared del nanotubo; el

valor calculado para el módulo de Young con dicha información es de Y= 1.37 TPa.

Figura 2.11. Cambio de la energía total ∆Etot como función de la deflexión ∆z, para bucky tubos de C100, C200 y C400. Al ajustar los datos para C200 me dio la ecuación ∆Etot = 0.473(∆z)2 - 0.010∆z. Por lo que la fuerza necesaria para flexionar el nanotubo es 𝑑𝑑 = 0.946∆𝑑𝑑 − 0.01 [eV/oA], de donde cB= 0.946 eV/oA2 = 15.1 N/m = 15.1×1010 N/oA. Por lo que de la

deflexión de una viga se tendrá 𝑌𝑌 = 𝑠𝑠𝐵𝐵𝑖𝑖3

3𝑌𝑌, donde

l=23.52 𝑑𝑑𝑡𝑡 , e 𝑌𝑌 = 477.35 𝑑𝑑4𝑡𝑡 .


Yakobson et al. [2.08] realizaron simulaciones de dinámica molecular para predecir el

comportamiento de nanotubos en situaciones de compresión, flexión y torsión.

Posteriormente dicho comportamiento fue explicado a través de la teoría de láminas y

membranas de la mecánica del medio continuo. En las láminas, la energía de deformación

está dada por una integral de superficie, la cual se expresa en función de dos parámetros

elásticos, así como de la variación de curvatura y la deformación unitaria que experimenta

la membrana a lo largo del plano. Los dos parámetros elásticos son la rigidez a la flexión D,

y la rigidez sobre el plano C. A diferencia de trabajos anteriores, en la investigación

desarrollada por Yakobson et al., no se supuso un espesor para la pared de los nanotubos,

sino que usó información del trabajo desarrollado por Robertson et al. [2.07], para

determinar tanto la energía que es necesaria para curvar al nanotubo, como la que se

almacena cuando éste es sometido a una deformación unitaria axial; y usar dicho valores

en los dos parámetros elásticos y así determinar simultáneamente tanto al espesor como

al módulo de Young.

La rigidez a la flexión, D, como lo expresan las Ecuaciones 2.32 y 2.28, es la segunda

derivada de la energía de deformación necesaria para curvar al nanotubo por unidad de

área con respecto a la curvatura del nanotubo. La constante elástica C, tal y como es

definida por la Ecuación 2.11 es energía de deformación por unidad de volumen. Como en

el análisis de láminas la energía se expresa como energía por unidad de superficie, es

necesario realizar adecuaciones a la constante C para que en lugar de que sea por unidad

de volumen sea por unidad de área.

Si ahora:

𝐶𝐶 =1𝑑𝑑

𝜕𝜕2𝑈𝑈𝜕𝜕𝜀𝜀2 2.60

Y si la Ecuación 2.11, se reescribe como:

𝑌𝑌 =𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀2 𝑁𝑁

𝑑𝑑𝑡𝑡 2.61


Donde Ua es la energía de deformación por cada átomo, N es el número de átomos y Vo es

el volumen que ocupa la pared del nanotubo cuando no está deformado.

Ya que N está definida por la Ecuación 2.23, y el volumen del nanotubo es igual al área

superficial por el espesor Vo= 2πRh L. Al tomar en consideración lo anterior y sustituirlo en

la Ecuación 2.61:

𝑌𝑌 =𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀2 2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐿𝐿Ω

2𝜋𝜋𝑅𝑅ℎ 𝐿𝐿=𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀2

Ω ℎ 2.62

Pasando al espesor de la Ecuación 2.62, al primer miembro se tendrá:

𝑌𝑌ℎ =𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀2

Ω 2.63

Como 𝑈𝑈𝐴𝐴 es energía de deformación en cada átomo, la cual está dividida por el área en el

que está distribuido cada átomo, lo anterior es equivalente a la energía de deformación

del nanotubo completo dividido entre su superficie. Por lo tanto la Ecuación 2.60 y 2.63

serán equivalentes, es decir:

𝐶𝐶 = 𝑌𝑌ℎ =1 Ω

𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀2 2.64

Yakobson et al. [2.08], determinaron a partir del trabajo de Robertson et al. [2.07], que

∂2Ua/∂ε2 = 59 eV/atom = 360 J/m2, (En el presente análisis, dicho valor ha sido

determinado como se muestra en las Ecuaciones 2.56-2.59). De la Ecuación 2.62, se

puede observar que quedarían dos incognitas Y y h. Así mismo también calcularon que

D = ∂2/∂κ2 (Ec/Ω)= 0.85 eV. Este último valor se obtiene de la Energía de deformación por

cada átomo, del trabajo de Robertson et al. [2.07], y de la Ecuación 2.35. Si ahora se

observa la Ecuación 2.34, la cual define a Db, se tendrá que también tiene las mismas dos

incógnitas Y y h, por lo que pueden usarse de manera simultánea para encontrar los


valores respectivos. El valor de la relación de Poisson que calcularon fue de ν=0.19.

Substituyendo el módulo de Young de la Ecuación 2.62, en la Ecuación 2.34:

𝐷𝐷 =

𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀2 Ω ℎ ∙ ℎ

3

12(1 − 𝜈𝜈2)

2.65

ℎ = 12𝐷𝐷Ω(1 − 𝜈𝜈2)

𝜕𝜕2𝑈𝑈𝐴𝐴𝜕𝜕𝜀𝜀2

2.66

Substituyendo valores, se tiene que el espesor de la pared del nanotubo es:

ℎ = 12(0.85 𝐴𝐴𝑑𝑑)(2.6296 °A2/atom)(1 − 0.192)

59 𝐴𝐴𝑑𝑑/𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁

ℎ = 0.66 °𝑑𝑑

2.67

Sustituyendo el valor del espesor h, en la Ecuación 2.62:

𝑌𝑌 =59 (𝐴𝐴𝑑𝑑/𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁) 1.602 × 10−19 𝐽𝐽

1 𝐴𝐴𝑑𝑑

2.6296 (°𝑑𝑑2/𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁)(1 × 10−10 𝑁𝑁/°𝑑𝑑)2(0.66 × 10−10 𝑁𝑁)

𝑌𝑌 = 5.45 × 1012 𝑁𝑁𝑁𝑁2 2.68

De esta manera, el módulo de Young para el nanotubo es de aproximadamente 5.5 TPa.

Este valor es varias veces mayor que el determinado por Robertson et al., y otros

investigadores, pues ellos encontraron que es similar al del grafito Y = 1.06 TPa.


El módulo de Young no solo ha sido calculado mediante simulaciones, sino también de

manera experimental. El primer experimento fue realizado en 1996 por Treacy et al.

[2.01], en nanotubos de pared múltiple, MWCNTs. Un manojo nanotubos fue atado al

soporte de un microscopio de transmisión electrónica, TEM, quedando cada nanotubo

empotrado en uno de sus extremos y libre en el otro, como lo muestra la Figura 2.12. Este

grupo de investigadores observó que a temperatura ambiente, los nanotubos más largos y

delgados no se podían enfocar en su extremo libre pero si en el lado del empotramiento.

Después de asegurarse que el problema no era ocasionado en el microscopio (sujeción

inadecuada de los NTsC a su soporte o debido a la corriente que utiliza para su

funcionamiento), y de observar que el extremo libre de los NTsC se ponía aun más borroso

cuando se incrementó la temperatura del experimento a 600 oK, concluyeron que lo

borroso era debido a que los nanotubos estaban vibrando y que dicha vibración era

inducida térmicamente.

Treacy et. al., consideraron a los nanotubos como vigas cilíndricas empotradas en

voladizo. Mediante la aplicación de la teoría de vibraciones en vigas, así como la mecánica

estadística de Boltzmann, determinaron el módulo de Young a través de la energía

inducida térmicamente en el sistema y de la medición de la amplitud de las vibraciones en

el extremo libre de la viga. La energía requerida para flexionar una viga cilíndrica,

empotrada en voladizo, y lograr su vibración es suministrada por la energía térmica del

medio ambiente en el cual el nanotubo está inmerso, dicha igualdad está dada por la

Ecuación 2.69.

𝑑𝑑𝐸𝐸 = 12𝑠𝑠𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸2 = 𝑖𝑖𝑘𝑘

2.69

Donde Wn es la energía de vibración, cn es la constante efectiva de la viga tratada como un

tipo de resorte, un es la amplitud de la vibración horizontal en la punta, n es el modo de

vibración, k es la constante de Boltzmann la cual tiene un valor de 1.38×10-23 J/oK y T es la

temperatura del sistema en oK.


Figura 2.12 Micrografías de fibras de nanotubos con uno de sus extremos libre, obtenidas por TEM a 300 K y 600 K. Las cuales muestran que los extremos de las mismas se ven borrosos debido a vibraciones térmicas.

Figura 2.13 Grafico del cuadrado del promedio de la amplitud de vibración contra la temperatura, para un nanotubo en voladizo de 5.1 µm de longitud, 16.6 nm de ancho. El nanotubo fue calentado desde la

temperatura ambiente hasta alcanzar los 800 oC con incrementos de 25 oC.


La constante efectiva del resorte para una viga empotrada y en voladizo está dada por:

𝑠𝑠𝐸𝐸 = π 𝛼𝛼𝐸𝐸4 𝑌𝑌(𝑅𝑅4 − 𝐴𝐴4)

16𝐿𝐿3 2.70

Donde los valores de αn se determinan a partir de las condiciones de frontera de la viga,

para el caso en que ésta está en voladizo la condición que se debe cumplir es que

𝐶𝐶𝑡𝑡𝑠𝑠𝛼𝛼 𝐶𝐶𝑡𝑡𝑠𝑠ℎ𝛼𝛼 + 1 = 0, cuya solución da un infinito numero de valores, los primeros de los

cuales son: αo= 1.875104, α1= 4.694091, α2= 7.8547574 y α3= 10.9955407, Y es el módulo

de Young, R y r son los radios exterior e interior del nanotubo respectivamente y L es su

longitud.

Después de que aislaron a los nanotubos en el microscopio, fueron incrementando

gradualmente la temperatura desde las condiciones ambientales hasta un poco más de los

1000 oK con incrementos de 25 oK. Mediante imágenes obtenidas por el TEM,

determinaron la amplitud en la punta de la viga. Estos datos fueron graficados como lo

muestra la Figura 2.13, pero para once nanotubos con diferentes longitudes y diámetros.

La energía necesaria para la vibración se puede determinar mediante la Ecuación 2.69,

pues se conoce la constante de Boltzmann y la temperatura. Ya que a través de las

imágenes también se ha determinado el cuadrado del promedio de la amplitud de

vibración, la única incógnita es la constante efectiva del resorte. Puesto que se conocen

todas las variables de la Ecuación 2.70, es posible determinar ahora el módulo de Young a

partir de dicha ecuación. Una vez que se conoce el módulo de Young, también se pueden

determinar tanto la frecuencia natural como sus armónicos, mediante la Ecuación:

𝜔𝜔𝐸𝐸 = 𝛼𝛼𝐸𝐸2

2𝐿𝐿2 𝑌𝑌(𝑅𝑅2 − 𝐴𝐴2)

𝜌𝜌= 2𝜋𝜋𝑠𝑠𝐸𝐸 2.71

Los valores obtenidos para el módulo de Young mediante éste método mostraron una

gran dispersión, siendo el menor valor de Y= 0.4 TPa, el máximo de 4.15 TPa y el promedio


de ⟨𝑌𝑌⟩ = 1.8 𝑘𝑘𝑇𝑇𝐴𝐴. En buena medida esta dispersión se debe a la incertidumbre al

determinar la amplitud de la vibración pues la imagen es borrosa, también a la dificultad

que se tiene para determinar de una manera precisa la longitud del nanotubo, así como

de sus diámetros. Como se observa en la Ecuación 2.70, el módulo de Young es

directamente proporcional al cubo de la longitud e inversamente proporcional a la cuarta

potencia del radio, por lo que es muy sensible aun a pequeñas incertidumbres de éstos.

Poncharal et al., [2.02] determinaron también el módulo de Young de MWCNTs por

medios vibratorios; sin embargo, en lugar de inducir la vibración térmicamente, la

excitaron eléctricamente. Para ello, el racimo de nanotubos fue unido a un alambre de

oro, el cual a su vez fue montado en un soporte eléctricamente aislado para que se le

pudiera aplicar una diferencia de potencial. El ensamble se insertó en un soporte del TEM,

de tal manera que el racimo de nanotubos estuviera separado de 5 a 20 µm del contra

electrodo, el cual se conectó a tierra. Al aplicarle un voltaje Vs al alambre, los NTsC que

sobresalían del racimo se cargaron eléctricamente y fueron atraídos hacia el contra-

electrodo. En el análisis realizado observaron que la fuerza ejercida en los nanotubos se

concentró principalmente en la punta, por lo que concluyeron que la carga también se

debía concentrar en ese lugar. Las deflexiones de los nanotubos medidas fueron

proporcionales a 𝑑𝑑𝑠𝑠2, por lo que al aplicar un voltaje dependiente del tiempo fue posible

excitarlos a la frecuencia de resonancia establecida para una viga en cantiliver dada por la

Ecuación 2.71, controlando su amplitud. Los valores que obtuvieron para el módulo de

Young, así como los obtenidos por otros investigadores se muestran en la Figura 2.14.

Poncharal et al., encontraron que el módulo de Young es muy grande para diámetros

menores de 10 nm pues su valor ronda 1 TPa, pero cae abruptamente cuando se

incrementa el diámetro cayendo hasta valores de 100 GPa. Consideraron que dicha

reducción estaba relacionada con la aparición de otro modo de flexión. Cuando una viga

es sometida a flexión, la parte externa de la curvatura se alarga uniformemente y la

interna se comprime uniformemente también. Sin embargo, en los MWCNTs que tienen


muchas capas se ha observado la aparición de arrugas ondulares en la zona sometida a

compresión, como lo muestra la Figura 2.15. La amplitud de estas ondulaciones es de casi

cero en las capas cercanas al eje neutro del nanotubo, y de 2 a 3 nm para las capas

externas (esta amplitud dependerá del grosor del nanotubo). Una característica de estas

ondulaciones es que no presentan discontinuidades o defectos. Si bien no se han

observado ondulaciones en los SWCNTs, cuando éstos son flexionados a ángulos grandes,

se pandean.

Figura 2.14 Propiedades elásticas de los nanotubos. A El módulo de Young Eb como función del diámetro. Los círculos rellenos son los obtenidos por Poncharal et al.; los diamantes por J.-P. Salvetat et al., Adv. Mat.,; los círculos sin rellenar por M. M. Treacy, et al., Nature 38, 678 (1996)..

Figura 2.15 Imagen obtenida por HRTEM de un nanotubo flexionado a un radio de curvatura≈400 nm. B y C Vistas

magnificadas de una porción de D. D Nanotubo que muestra características onduladas al ser comprimido.


2.2.4 Relación de Poisson

Cuando un cuerpo es sometido a una carga de tensión provocará en él deformaciones. De

esta manera se tendrá un aumento en su longitud en la dirección de la carga, y una

reducción de las dimensiones en su dirección transversal. Al cociente de la deformación

unitaria en la dirección transversal con respecto a la deformación unitaria en la dirección

longitudinal se le conoce como relación de Poisson, ν, y le precede un signo negativo para

que la relación sea positiva, pues las deformaciones involucradas tienen signo opuesto ya

que mientras una se extiende la otra se contrae.

En el caso de los nanotubos se ha encontrado que la relación de Poisson siempre es

positiva [2.05], y se puede expresar por la ecuación [2.17]:

𝜈𝜈 = −

𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑒𝑒𝑅𝑅𝐴𝐴𝑒𝑒𝜀𝜀

2.71

Donde ν es la relación de Poisson, ε la deformación unitaria axial, R es el radio que el

nanotubo tiene cuando experimenta la deformación unitaria ε, y Req es el radio del tubo

en el equilibrio.

Se ha encontrado que la relación de Poisson para los nanotubos depende

significativamente de la quiralidad [2.36], ya que ν= 0.12 a 0.16 para nanotubos del tipo

sillón (n,n), ν=0.19 para los zig-zag (10,0) y ν=0.18 para los quirales (8,4). Así mismo

encontraron que disminuye ligeramente con respecto del radio del nanotubo, como se

muestra en la Figura 2.16.


Figura 2.16 Relación de Poisson vs radio del nanotubo [2.05]

También se han calculado diferentes valores para la relación de poisson dependiendo de

los métodos usados, como se muestra en la Tabla 2.03.

Tabla 2.03 Relación de Poisson obtenida por diferentes métodos

Método ν Observaciones Ref.

Ab initio

0.14 sillón (n,n) [2.05], [2.36]

0.19 zig-zag (10,0) [2.05], [2.36]

0.18 quiral (8,4) [2.05], [2.36]

Potencial Tersoff-Brenner 0.19 [2.08]

Force constant 0.28 [2.09]

Cálculos Tight-binding 0.26 [2.17]


2.5 Referencias

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3 Funciones

de

Densidad

3 Funciones de Densidad 82 ________________________________________________________________________________

3 Funciones de Densidad

En la literatura se ha reportado que los nanotubos de Carbono al ser creados están

distribuidos con respecto de su diámetro [3.01]. También se ha reportado la distribución

de su resistencia a la tensión, i.e. Klein C. A. [3.02] reportó un ajuste a una distribución

Weibull, cuya resistencia característica 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 17.6 ± 2.5 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, y el parámetro de forma

𝑚𝑚 = 2.77 ± 0.34 ; sin embargo, no se ha realizado un estudio para determinar la función

de distribución de otras propiedades mecánicas, tales como el módulo de Young, el

módulo de Corte o la relación de Poisson.

Una de las primeras aplicaciones de los nanotubos de Carbono, ha sido la creación de

materiales compuestos mucho más ligeros y resistentes, ya sea que estén embebidos en

una matriz polimérica, cerámica o metálica [3.03]. Otras áreas en desarrollo están

relacionados con sus propiedades semiconductoras, lo cual los hace muy interesantes

para la construcción de nanosensores [3.04] [3.05] y nanoactuadores [3.06]. También ha

sido posible crear nanoestructuras tan simples con forma de “Y”, “T” y “X” al unir dos

nanotubos por irradiación [3.07] [3.08] como se muestra en las Figuras 3.1a-3.1c, o

conceptualizar estructuras más complejas como la mostrada en la Figura 3.1d [3.09].

Otras aplicaciones de los nanotubos pueden dirigirse a estructuras que permiten el

almacenamiento de hidrógeno Figura 3.1e [3.10], o de estructuras a base de nanotubos

acopladas a proteínas Figura 3.1f [3.11].

Entre más grande sea la estructura, más complicado será realizar simulaciones que

predigan su comportamiento a través de la mecánica cuántica o la mecánica molecular,

debido a la cantidad de recursos de computo que se requieren. Otra alternativa es utilizar

un diseño determinista basado únicamente en la mecánica estructural; sin embargo, al

aplicar un factor de seguridad para cada parámetro de diseño frecuentemente causa un

sobre diseño.

Otra alternativa que permite considerar la variabilidad en la geometría de las estructuras,

en las condiciones a las cuales operará el sistema, así como la dispersión en las


propiedades mecánicas, es a través del diseño probabilístico. El problema básico para el

análisis estructural probabilístico reside en formular expresiones que definan las funciones

de distribución probabilística para los esfuerzos aplicados a la estructura, fS, y la fdp de la

resistencia, fR, para la carga aplicada a dicha estructura [3.12]. Ya que posteriormente

tanto la fdp para la carga como la fdp para la resistencia pueden graficarse en el mismo

eje horizontal como se muestra en la Figura 3.02. La región en donde las dos

distribuciones se sobreponen determina la probabilidad de falla [3.12] [3.13].

La probabilidad de falla, si bien su cálculo no es objetivo del presente trabajo, se puede

obtener a través de simulaciones Monte Carlo y se explicará a continuación. En la

simulación de la probabilidad de falla usando el método Monte Carlo, lo primero que se

requiere realizar, es la generación de números aleatorios, pues éstos se hacen

corresponder con la probabilidad asociada a una variable aleatoria (i.e. la probabilidad de

que un determinado valor para el módulo de Young ocurra). Al aplicar el valor de dicha

probabilidad en la función de distribución acumulada se obtiene el valor de la variable

aleatoria (continuando con el ejemplo se obtendría el valor del módulo de Young). Luego

se realiza un proceso similar para la resistencia de los NTsC. Posteriormente el valor

obtenido para la variable aleatoria para el modulo de young se aplica a un modelo para los

esfuerzos de la estructura bajo estudio (donde también se aplican las cargas a las que se

someten) obteniéndose su valor. A continuación se compara el esfuerzo obtenido para la

resistencia con el esfuerzo obtenido para la carga. Si el primero es mayor entonces la

estructura no falla, por lo que, en una nueva celda se coloca un 0, de lo contrario falla y se

coloca un 1. Este mismo procedimiento se repite miles de veces y al final se divide el

número de veces que falló el sistema entre el número total de simulaciones. El resultado

es la probabilidad de que falle la estructura.

Ya que existen distribuciones para la resistencia de los nanotubos de carbono, en las

Secciones 3.6.2, y 3.6.3, nos enfocaremos en la obtención de las funciones de distribución

de probabilidad para el módulo de Young, el módulo de corte y la relación de Poisson;


pues son necesarios para determinar las distribuciones de los esfuerzos aplicados en una

estructura en particular.

Figura 3.01 Nanoestructuras a base de nanotubos. a). Unión de nanotubos en Y. b). Unión de nanotubos en T. c). Unión de nanotubos en X. d). Unión de nanotubos en doble Y.

e). Estructura diseñada para el almacenamiento de hidrógeno. f). Acoplamiento de nanotubos con proteínas.

Figura 3.02 Evaluación de la Probabilidad de Falla [3.12]

a) b)

c) d)

e) f)


3.1 Variable Aleatoria

Cuando se realizan mediciones de una propiedad en los materiales, no se obtiene

exactamente el mismo resultado en cada una de ellas. Para poder describir y entender

dicha variabilidad se utilizan los métodos estadísticos. Sí se realiza un muestreo para

determinar una propiedad, el valor de ésta se puede expresar por medio de una variable;

sin embargo, ya que no se puede saber de antemano que muestra será seleccionada, el

valor que tomará sólo se conocerá hasta que se haya realizado el experimento (medición).

Por lo tanto una variable de esta naturaleza es del tipo aleatorio pues depende de la

muestra que se seleccione y ésta depende del azar.

Una variable aleatoria, X, es una variable numérica cuyo resultado, x, es impredecible; sin

embargo, puede tomar un valor dentro de un conjunto de posibles resultados. Ya que el

valor de la variable aleatoria está determinada por el resultado del experimento, también

se le puede asignar una probabilidad a cada uno de los posibles valores [3.14][3.15]. Si la

variable puede tomar cualquier valor en un intervalo determinado es llamada variable

aleatoria continua; pero si sólo puede tomar valores discretos entonces se llama variable

aleatoria discreta.

3.2 Función de Distribución Acumulada

Una variable aleatoria se puede describir por medio de una función que proporcione tanto

los posibles valores que asumirá, como las probabilidades asociadas a éstos. En el caso de

de las variables aleatorias continuas, la función en lugar de especificar la probabilidad en

un punto específico proporciona la probabilidad en un intervalo.

Una Función de Distribución Acumulada, CDF (Cumulative Distribution Function), es una

función no decreciente, como la mostrada en la Figura 3.03, y definida por [3.15]:


𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) = Pr(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) 3.01

Donde 𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) es la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X, analizada

hasta el valor 𝑥𝑥. Y Pr(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) es un número que indica cuál es la probabilidad de que la

variable aleatoria X asuma un valor ≤ 𝑥𝑥.

Ya que la CDF es una probabilidad, sólo puede tomar valores entre 0 y 1. Por otra parte,

una variable aleatoria es una cantidad real, por lo que 𝐹𝐹𝑋𝑋(−∞) = 0 y 𝐹𝐹𝑋𝑋(∞) = 1.

Figura 3.03 Función de Distribución Acumulada [3.16]

3.3 Función de Densidad

La probabilidad de que la variable aleatoria se localice en un intervalo dado (a,b) está dada

por:

𝐺𝐺(𝐺𝐺 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝐺𝐺 3.02

F x ()X

1

0.5

0 µ x


Donde 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es conocida como la función de densidad de probabilidad, pdf (probability

density function) y tiene las siguientes propiedades:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, (−∞ < 𝑥𝑥 < ∞) 3.03

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1∞

−∞ 3.04

De la Ecuación 3.01, se tiene que la función de distribución acumulada define la

probabilidad de una variable aleatoria continua X en el intervalo (−∞,𝑥𝑥) por lo que

podemos establecer:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐺𝐺(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑥𝑥

−∞ 3.05

Por lo tanto, si se conoce la pdf de una variable aleatoria, es posible encontrar la

probabilidad asociada cuando 𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥, al efectuar la integración de la función en el

intervalo (−∞,𝑥𝑥).

Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es continua también se tiene que:

𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 3.06

O si se analiza la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en un intervalo

diferencial, como se muestra en la Figura 3.04, se tendrá:

𝑑𝑑𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 3.07


Lo anterior indica que la 𝑓𝑓(𝑥𝑥) de una variable aleatoria, se puede encontrar al realizar la

primera derivada la función de distribución acumulada

Figura 3.04 Función de densidad [3.17]

En la Figura 3.04, en el eje x se representa a la variable aleatoria de interés y en el vertical

la densidad de probabilidad. La probabilidad de la variable aleatoria de que se encuentre

entre dos valores a y b es el área bajo la curva acotada por dichos valores.

3.4 Resumen de algunas Funciones de Probabilidad

En esta sección se describirán brevemente algunas funciones de distribución, tanto de

probabilidad acumulada, como de funciones de densidad. Las funciones que se describen

corresponden a las que fueron seleccionadas, después de realizar el ajuste de los datos de

las propiedades mecánicas de los nanotubos, usando las pruebas de Chi-cuadrada, de

Anderson-Darling (A-D) y de Kolmogorov-Smirnov (K-S).


3.4.1 Función Logística

La distribución logística ha encontrado aplicaciones en muchas áreas del conocimiento,

como son en el campo de la tecnología, energía, biología, epidemiología y psicología.

[3.18] Esta distribución se parece a la distribución normal, pero sus colas son más pesadas.

Función de Distribución Acumulada

La función de distribución acumulada logística, está descrita por la expresión [3.19]:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) =1 + 𝑡𝑡𝐺𝐺𝑡𝑡ℎ 1

2 𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝛽𝛽

2

3.08

Donde 𝛼𝛼 es el parámetro de localización y es igual a la media, mientras que 𝛽𝛽 es el

parámetro de escala, con 𝛽𝛽 > 0. El dominio de la función está definido para el intervalo

−∞ < 𝑥𝑥 < +∞. Esta función está especificada por la función Logistic(𝛼𝛼,𝛽𝛽).

Función de Densidad

La función de densidad logística está definida por la Ecuación 3.09, y su forma simétrica se

muestra en la Figura 3.05.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ2 1

2 𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝛽𝛽

4𝛽𝛽

3.09

La media para ésta distribución está dada por la Ecuación 3.10, y su varianza por la

Ecuación 3.11.


𝜇𝜇 = 𝛼𝛼 3.10

𝜎𝜎2 =𝜋𝜋2𝛽𝛽2

3 3.11

Figura 3.05 Función de densidad logística cuando μ=0 [3.20]

3.4.2 Función Log-Logística

La función de distribución Log-logística, también conocida como distribución de Fisk, es

comúnmente usada cuando se analizan datos sobre la duración de la vida o los tiempos de

fallo, ya que el logaritmo de sus variables está logísticamente distribuido [3.21].



Una variable aleatoria tendrá una función de distribución acumulada del tipo Log-

Logística, si está expresada por la función [3.19]:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) =1

1 + 1𝑥𝑥 − 𝛾𝛾𝛽𝛽

𝛼𝛼 3.12

Donde 𝛾𝛾 es el parámetro de localización, 𝛽𝛽 es el parámetro de escala y 𝛼𝛼 el parámetro de

forma. Los parámetros para esta distribución se expresarse como Log-Logistic (𝛾𝛾, 𝛽𝛽, 𝛼𝛼) y

deberán de cumplir las siguientes condiciones:

𝛾𝛾 ≤ 𝑥𝑥 < ∞,

𝛽𝛽 > 0,

𝛼𝛼 > 0


Una variable aleatoria tendrá una función de densidad probabilística del tipo Log-logistic,

si está expresada por la función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝛼𝛼𝛽𝛽

𝑥𝑥 − 𝛾𝛾

𝛽𝛽 𝛼𝛼−1

1 + 𝑥𝑥 − 𝛾𝛾𝛽𝛽

𝛼𝛼

2 3.13

Donde los parámetros tienen el mismo significado y deben de cumplir las mismas

condiciones que las establecidas para la función de distribución acumulada. La función de


densidad puede tener diferentes formas por lo que puede estar sesgada o tiende a ser

simétrica dependiendo del parámetro de forma, como se muestra en la Figura 3.06.

Figura 3.06 Función de densidad Log-logistic mostrando diferentes formas

dependiendo del tercer parámetro, el de forma [3.22].

Las medidas de tendencia central están dadas por la Ecuación 3.14, para la media y por la

Ecuación 3.15, para la moda; mientras que la varianza por la Ecuación 3.16.

𝜇𝜇 = 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐(𝛽𝛽) + 𝛾𝛾 𝑝𝑝𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺 𝛼𝛼 > 1 3.14

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝐺𝐺 = 𝛾𝛾 + 𝛽𝛽 𝛼𝛼 − 1𝛼𝛼 + 1

1𝛼𝛼

𝑝𝑝𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺 𝛼𝛼 > 1

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝐺𝐺 = 𝛾𝛾 𝑝𝑝𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺 𝛼𝛼 ≤ 1

3.15

𝜎𝜎2 = 𝛽𝛽2𝛽𝛽[2 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐(2𝛽𝛽) − 𝛽𝛽𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝛽𝛽)] 𝑝𝑝𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺 𝛼𝛼 > 2 3.16

Donde 𝛽𝛽 = 𝜋𝜋𝛼𝛼


3.4.3 Función de Valores Extremos

La función de distribución de valores extremos del tipo I, también conocida como

distribución de Gumbel tiene dos formas. Una está basada en el extremo más pequeño

conocido como el caso mínimo y la otra en el extremo más grande, también llamado el

caso máximo [3.23]. Aquí solo abordaremos el caso máximo, donde la cola de la

distribución se alarga hacia la derecha.


La Función de distribución acumulada cuando los datos siguen una distribución de valor

extremo para el caso máximo está dada por la expresión [3.19]:


𝑠𝑠𝑠𝑠−(𝑥𝑥−𝛼𝛼)

𝛽𝛽 3.17

Donde 𝛼𝛼 es el parámetro de localización y corresponde con la moda de la distribución,

mientras que 𝛽𝛽 es el parámetro de escala y debe ser mayor que cero. El dominio de esta

función está definido en el intervalo −∞ < 𝑥𝑥 < +∞. Los parámetros de esta función son

expresados como Extvalue(𝛼𝛼,𝛽𝛽).


La función de densidad está definida por la Ecuación 3.18.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1𝛽𝛽⎩⎨

⎧ 1

𝑠𝑠(𝑥𝑥−𝛼𝛼)

𝛽𝛽 + 𝑠𝑠−(𝑥𝑥−𝛼𝛼)

𝛽𝛽 ⎭⎬

⎫ 3.18


La media para la función de densidad para la distribución de valores extremos está dada

por la Ecuación 3.19, la moda por la Ecuación 3.20; y su varianza por la Ecuación 3.21. La

forma de la distribución de valores extremos se ilustra en la Figura 3.07.

𝜇𝜇 ≈ 𝛼𝛼 + 0.577𝛽𝛽 3.19

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝐺𝐺 = 𝛼𝛼 3.20

𝜎𝜎2 =𝜋𝜋2𝛽𝛽2

6 3.21

Figura 3.07 Función de densidad de Valores Extremos (extremo máximo) [3.24].

3.4.4 Función Gauss Inversa

La función de distribución Gauss Inversa, también es conocida como la función de

distribución de Wald. Ésta función originalmente se uso en problemas relacionados con el

movimiento Browniano; sin embargo, posteriores aplicaciones incluyen situaciones para

modelar el tiempo de vida relacionado con reparaciones, pruebas de vida acelerada y

problemas de fiabilidad [3.25].



La función de distribución acumulada está dada por [3.19]:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = Φ𝜆𝜆𝑥𝑥𝑥𝑥𝜇𝜇− 1 + 𝑠𝑠

2𝜆𝜆𝜇𝜇 Φ−

𝜆𝜆𝑥𝑥𝑥𝑥𝜇𝜇

+ 1 3.22

Donde Φ(z) es la función de distribución acumulada de una distribución normal (0,1), 𝜇𝜇 es

la medida de tendencia central, correspondiendo con la media y 𝜆𝜆 es el parámetro de

forma. Tanto 𝜇𝜇 como 𝜆𝜆 deben ser mayor de cero, y el dominio de la función está definida

para x > 0. Los parámetros de esta función se expresan como InvGauss(𝜇𝜇, 𝜆𝜆)


La función de densidad está dada por:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆2𝜋𝜋𝑥𝑥3 𝑠𝑠

−𝜆𝜆(𝑥𝑥−𝜇𝜇 )2

2𝜇𝜇2𝑥𝑥 3.23

La media para la función de densidad para la distribución de valores extremos está dada

por la Ecuación 3.24, la moda por la Ecuación 3.25, y su varianza por la Ecuación 3.26. En

la Figura 3.08, se ilustran varias gráficas de la distribución de Gauss Inversa.

𝜇𝜇 = 𝜇𝜇 3.24

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝐺𝐺 = 𝜇𝜇 1 +9𝜇𝜇2

4𝜆𝜆2 −3𝜇𝜇2𝜆𝜆 3.25


𝜎𝜎2 =𝜇𝜇3

𝜆𝜆 3.26

Figura 3.08 Función de densidad Gauss Inversa [3.21]

3.5 Funciones de Densidad para los SWCNTs

3.5.1 Metodología

Los datos de las propiedades de nanotubos de carbono en la literatura se presentan de

tres maneras: i). El valor de la propiedad se proporciona de manera directa, ii). En forma

gráfica y, iii). Las propiedades se encuentran graficadas de manera indirecta. Por lo tanto,

para la obtención de los valores numéricos se llevo a cabo la siguiente metodología:

1. En el caso i). se busca en la literatura directamente los valores reportados para el

Módulo de Young, el Módulo de Corte y la Relación de Poisson.


2. En el caso ii). Para extraer la información a partir de gráficos, la imagen digitalizada

es procesada en una aplicación informática de manejo vectorial, en donde se

realiza el siguiente procedimiento:

a. Se escala la imagen en el eje x hasta obtener una relación 1:1

b. Se obtiene la escala correspondiente para el eje y. Se ha preferido no

escalar la imagen en esta dirección a una relación 1:1, por lo que diferirá de

una imagen de un artículo a otro.

c. Se dibujan círculos o cuadrados sobre los puntos del gráfico, de tal manera

que se sobrepongan.

i. Ya que se grafica el diámetro vs propiedad mecánica, donde sea

posible, se debe tomar en consideración el tipo de nanotubo

analizado (n,m). Mediante el uso de la Ecuación 1.5, se determina el

diámetro teórico para cada nanotubo verificando la coincidencia

con los puntos graficados

d. Se extraen las coordenadas de cada uno de los círculos dibujados, y se

tabulan los datos en Excel; tanto para el diámetro, como para la propiedad

graficada.

e. En la hoja de cálculo, se multiplica la columna de la propiedad por la escala

correspondiente.

3. En el caso iii). donde las propiedades están graficadas de manera indirecta, como

funciones de energía de deformación, será necesario determinar la propiedad

mecánica usando los conceptos explicados en el Capítulo 2.

4. Finalmente, los datos para cada una de las propiedades son analizados usando

@Risk para obtener las distribuciones de probabilidad, seleccionándose la más

adecuada.


3.5.2 Módulo de Young: Todos los Diámetros

De la literatura, fue posible obtener 97 datos para el módulo de Young para los nanotubos

de Carbono de pared única (SWCNTs) y espesor de 0.34 nm; los cuales se muestran en

detalle en el Apéndice A, y de forma gráfica en función del diámetro del nanotubo en la

Figura 3.09.

Figura 3.09 Módulo de Young Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs.

La totalidad de los datos fueron evaluados usando @Risk for Excel, Versión 4.5;

determinando las funciones de densidad de probabilidad mediante las pruebas Chi-

cuadrada, de de Anderson-Darling (A-D) y de Kolmogorov-Smirnov (K-S). Las primeras

cinco funciones de densidad que mejor se ajustaron por cada prueba están clasificadas en

la Tabla 3.01. Mientras que en la Tabla 3.02, se muestra el valor tanto de las pruebas de

ajuste, como de los parámetros de las diversas funciones de densidad.


Tabla 3.01 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo de Young: Todos los datos)

Orden Chi-cuadrada A-D K-S

1 Logistic LogLogistic LogLogistic 2 LogLogistic Logistic Logistic 3 InvGauss Gamma Gamma 4 Normal InvGauss InvGauss 5 Gamma Normal Normal

Tabla 3.02 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (módulo de Young: Todos los datos)

Ajuste Chi-Sq A-D K-S Parámetros

Logistic 61.20 5.579 0.1935 Logistic(0.951875, 0.052005) LogLogistic 61.20 5.379 0.1912 LogLogistic(-0.65426, 1.6057, 31.094) InvGauss 118.8 7.967 0.2373 InvGauss(2.5965, 1289.1624, RiskShift(-1.6384)) Normal 118.8 8.166 0.2376 Normal(0.95808, 0.11762) Gamma 135.6 7.912 0.2292 Gamma(267.06, 0.0071323, RiskShift(-0.9466667))

En todo el ejercicio se ha decidido elegir la menor cantidad de tipos de distribuciones que

describan el comportamiento de las propiedades mecánicas de los SWCNTs. Por lo tanto,

se considerarán sólo aquellas que aparezcan mejor posicionadas tanto en las diferentes

pruebas de ajuste (Chi-cuadrada, A-D, y K-S), como en la mayoría de los análisis

estadísticos realizados. De esta manera, las distribuciones elegidas no necesariamente se

encontrarán en la primera posición de las pruebas de ajuste.

La distribución seleccionada para el módulo de Young cuando todos los datos fueron

usados, fue la LogLogistic, con parámetros LogLogistic(-0.65426, 1.6057, 31.094), la cual

tiene una media de μ= 0.954 TPa y una desviación estándar de σ= 0.094. Al sustituir los

parámetros en las Ecuaciones 3.13 y 3.12, se obtienen las expresiones para la función de

densidad y la función de distribución acumulada. El resultado es dado por las Ecuaciones

3.27 y 3.28; mientras las gráficas que representan dichas distribuciones se ilustran en la

Figura 3.10 y Figura 3.11.


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 19.365 𝑥𝑥 + 0.65426

1.6057 30.094

1 + 𝑥𝑥 + 0.654261.6057

31.094

2 3.27


1 + 1𝑥𝑥 + 0.65426

1.6057

31.094 3.28

Figura 3.10 Función de densidad de probabilidad (Módulo de Young: Todos los diámetros)


Figura 3.11 Función de distribución acumulada (Módulo de Young: Todos los diámetros)

3.5.2.1 Módulo de Young: Diámetro < 1nm

En la Figura 3.09, se puede apreciar que hay muchos datos con menor valor para el

módulo de Young para diámetros inferiores a 1 nm. Razón por la cual se evaluará la

función de densidad para el módulo de Young de SWCNTs para dos intervalos con la

finalidad de observar si hay un mejor ajuste de los datos. El primero de dichos intervalos

será para nanotubos con diámetro menor a 1 nm y el segundo para aquellos mayores o

iguales a 1 nm.

Las primeras cinco funciones de densidad para el módulo de Young ajustadas mediante las

diferentes pruebas cuando el diámetro es inferior a 1nm se proporcionan en la Tabla 3.03;

y en la Tabla 3.04, se especifica el valor tanto de las pruebas de ajuste, como de los

parámetros de las diversas funciones de densidad.


Tabla 3.03 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Modulo de Young: d<1nm)

Orden Chi-Sq A-D K-S

1 LogLogistic LogLogistic LogLogistic 2 Logistic Logistic Logistic 3 Normal Pearson5 Pearson5 4 Gamma Lognorm Lognorm 5 InvGauss InvGauss InvGauss

Tabla 3.04 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Young: d<1nm)


LogLogistic 18.71 1.818 0.1356 LogLogistic(0.22618, 0.70835, 15.407) Logistic 21.18 1.880 0.1357 Logistic(0.935512, 0.046683) Normal 28.24 3.538 0.2167 Normal(0.94146, 0.10649) Gamma 39.18 3.087 0.1927 Gamma(21.577, 0.021881, RiskShift(0.469335))

InvGauss 39.18 3.052 0.1904 InvGauss(0.64772, 26.39001, RiskShift(0.29374)) Pearson5 40.24 2.998 0.1864 Pearson5(60.394, 45.937, RiskShift(0.16787)) Lognorm 40.24 3.024 0.1883 Lognorm(0.61293, 0.10131, RiskShift(0.32839))

Para los SWCNTs con diámetro menor a 1 nm, el mejor ajuste para el módulo de Young,

fue la distribución LogLogística, con parámetros LogLogistic(0.22618, 0.70835, 15.407). Al

sustituir estos parámetros en las Ecuaciones 3.13 y 3.12, se obtienen las expresiones

matemáticas para la función de densidad, Ecuación 3.29, y la función de distribución

acumulada, Ecuación 3.30. La media para ésta distribución es de μ=0.93946 y su

desviación estándar σ= 0.084679. La función de densidad se muestra en la Figura 3.12, y la

función de distribución acumulada en la Figura 3.13. Al compararse los valores de las

pruebas de ajuste en este intervalo con respecto a los obtenidos cuando todos los datos

son analizados, se puede observan que disminuyen notablemente; pues en la prueba Chi-

cuadrada disminuye de 61.20 a 18.71, en la Anderson-Darling de 5.379 a 1.818 y en la de

Kolmogorov-Smirnov de 0.1912 a 0.1356.


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 21.750 𝑥𝑥 − 0.22618

0.70835 14.407

1 + 𝑥𝑥 − 0.226180.70835

15.407

2 3.29


1 + 1𝑥𝑥 − 0.22618

0.70835

15.407 3.30

Figura 3.12 Función de Densidad Probabilística para el Módulo de Young (d<1nm)


Figura 3.13 Función de Distribución Acumulada para el Módulo de Young (d<1nm)

3.5.2.2 Módulo de Young: Diámetro ≥ 1nm

La clasificación de las primeras cinco funciones de densidad para el módulo de Young

cuando el diámetro es mayor o igual a 1nm, para las diversas pruebas de ajuste se

muestran en la Tabla 3.05; mientras que en la Tabla 3.06, se da información detallada

tanto del valor de las pruebas de ajuste como de los parámetros paras las diversas

distribuciones.

Tabla 3.05 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo de Young: d≥1nm)


1 ExtValue Logistic Logistic 2 Logistic Normal Normal 3 Exponential Weibull Weibull 4 Pareto ExtValue ExtValue 5 Weibull Triang Triang


Tabla 3.06 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Young: d≥1nm)

Ajuste Chi-Sq A-D K-S Parametros

ExtValue 100.8 6.716 0.3643 ExtValue(0.91085, 0.15663) Logistic 102.9 4.935 0.2892 Logistic(0.970554, 0.055627)

Exponential 106.7 13.89 0.5419 Expon(0.44952, RiskShift(0.51723)) Pareto 106.7 +Infinity 0.5470 Pareto(1.6456, 0.52700) Weibull 132.1 5.992 0.3172 Weibull(5.2280, 0.68099, RiskShift(0.34493)) Normal 135.6 5.624 0.3136 Normal(0.97652, 0.12750) Triang 134.9 7.798 0.4398 Triang(0.50809, 0.95382, 1.32607)

Cuando el diámetro de los SWCNTs es mayor o igual a 1 nm, el mejor ajuste para el

módulo de Young fue la distribución logística, con los parámetros

Logistic(0.970554,0.055627), la cual tiene una media μ= 0.970554 y una desviación

estándar de σ= 0.100896. Usando estos parámetros en las Ecuaciones 3.09 y 3.08, se

obtienes las ecuaciones para la función de densidad y la función de distribución

acumulada, las cuales están dadas por las Ecuaciones 3.31 y 3.32. La función de densidad

se ilustra en la Figura 3.14, mientras que la función de distribución acumulada en la Figura

3.15.


2 𝑥𝑥 − 0.970554

0.055627

0.2225

3.31


2 𝑥𝑥 − 0.970554

0.055627

2

3.32


Figura 3.14 Función de Densidad Probabilística (Módulo de Young: d≥1nm)

Figura 3.15 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Young: d≥1nm)


3.5.3 Módulo de Corte: Todos los Diámetros

Para obtener la función de densidad para el módulo de corte, se usaron 80 datos con un

espesor de pared del nanotubo de 0.34 nm. La totalidad de los mismos se muestran en

detalle en el Apéndice B, y de forma gráfica en función del diámetro del nanotubo en la

Figura 3.16.

Figura 3.16 Módulo de Corte Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs.

Todos éstos datos fueron evaluados usando @Risk, Versión 4.5. Al realizar el análisis

estadístico para todos los valores del Módulo de Corte, las primeras cinco funciones de

densidad que mejor se ajustaron en las diferentes pruebas se clasifican en la Tabla 3.07.

Mientras que los detalles tanto de las pruebas de ajuste como de los parámetros de las

distribuciones resultantes se detallan en la Tabla 3.08.

La distribución que se eligió para describir al Módulo de Corte cuando todos los datos

fueron usados fue la logística, la cual aparece clasificada en el primer sitio en la prueba de

Anderson-Darling. Esta distribución tiene los parámetros Logistic(0.397624, 0.019588),

con una media de μ= 0.3976 TPa y una desviación estándar de σ= 0.0355.


Tabla 3.07 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo de Corte: Todos los datos)


1 Weibull Logistic ExtValue 2 Triang Normal Normal 3 BetaGeneral BetaGeneral BetaGeneral 4 Logistic Weibull Weibull 5 Normal ExtValue Triang

Tabla 3.08 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Corte: Todos los diámetros)


Weibull 127.0 5.926 0.3130 Weibull(9.2593, 0.34025, RiskShift(0.074091)) Triang 127.8 14.63 0.3861 Triang(0.22153, 0.39555, 0.49643)

BetaGeneral 141.8 5.785 0.3069 BetaGeneral(18.563, 6.5589, 0.050057, 0.52027) Logistic 154.3 4.980 0.2846 Logistic(0.397624, 0.019588) Normal 175.5 5.499 0.2801 Normal(0.397680, 0.040403)

ExtValue 185.3 9.102 0.2619 ExtValue(0.375770, 0.054648)

Al sustituir los parámetros de la distribución logística en las Ecuaciones 3.09 y 3.08, se

obtienen las expresiones para la función de densidad y la función de distribución

acumulada, cuyo resultado es expresado en las Ecuaciones 3.33 y 3.34. Por otra parte,

dichas distribuciones se ilustran en las Figuras 3.17 y 3.18.


2 𝑥𝑥 − 0.397624

0.019588

0.078352

3.33


2 𝑥𝑥 − 0.397624

0.019588

2

3.34


Figura 3.17 Función de Densidad Probabilística (Módulo de Corte: Todos los diámetros)

Figura 3.18 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: Todos los diámetros)


3.5.3.1 Módulo de Corte: Diámetro < 1nm

Al igual que en el caso del módulo de Young, la función de densidad para el módulo de

Corte de SWCNTs será analizada para dos intervalos con la finalidad de observar el

comportamiento de esta propiedad en éstos dos rangos. El primero de dichos intervalos

será para nanotubos con diámetro menor a 1 nm y el segundo para aquellos mayores o

iguales a 1 nm.

Las primeras cinco funciones de densidad para el Módulo de Corte cuando el diámetro es

inferior a 1nm están clasificadas para las diversas pruebas de ajuste en la Tabla 3.09, y en

la Tabla 3.10, se proporciona información a detalle del valor de la prueba de ajuste así

como de los parámetros para las diferentes distribuciones.

Tabla 3.09 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo de Corte: d<1nm)


1 Logistic Logistic Logistic 2 Normal Normal Normal 3 Triang ExtValue Triang 4 ExtValue Expon ExtValue 5 Uniform Uniform Expon

Tabla 3.10 Valores de las pruebas de ajustes y

parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Corte: d<1nm)


Logistic 30.76 1.558 0.2164 Logistic(0.388166, 0.020501) Normal 47.90 2.363 0.2178 Normal(0.384041, 0.043139) Triang 49.05 +Infinity 0.2594 Triang(0.21559, 0.45180, 0.45180)

ExtValue 62.76 4.564 0.2657 ExtValue(0.360039, 0.057766) Uniform 98.19 11.93 0.4587 Uniform(0.21990, 0.45732) Expon 119.5 11.84 0.4442 Expon(0.15862, RiskShift(0.22165))


El mejor ajuste para el Módulo de Corte para los SWCNTs con diámetro menor a 1 nm,

fue la distribución logística, con los parámetros Logistic(0.388166, 0.020501). La media

para esta distribución es de μ= 0.3882 TPa y su desviación estándar de σ= 0.0372. Al

sustituir los parámetros de la distribución en las Ecuaciones 3.09 y 3.08 se obtienen las

expresiones para la función de densidad y la función de distribución acumulada, las cuales

están dadas por las Ecuaciones 3.35 y 3.36. Dichas distribuciones se ilustran en las Figuras

3.17 y 3.18. Al separar el análisis de los datos en dos secciones, el valor obtenido en las

pruebas de ajuste disminuye notoriamente, pues para la prueba Chi-cuadrada cae de

154.3 a 30.76, en la de Anderson-Darling de 4.980 a 1.558 y en la de Kolmogorov-Smirnov

de 0.2846 a 0.2164.


2 𝑥𝑥 − 0.388166

0.020501

0.082004

3.35


2 𝑥𝑥 − 0.388166

0.020501

2

3.36

Figura 3.19 Función de Densidad de Probabilidad (Módulo de Corte: d<1nm)


Figura 3.20 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: d<1nm)

3.5.3.2 Módulo de Corte: Diámetro ≥ 1nm

En este intervalo, las primeras cinco funciones de densidad para el Módulo de Corte que

mejor fueron clasificadas por las diferentes pruebas de ajuste, cuando el diámetro es

mayor o igual a 1nm se muestran en la Tabla 3.11. En la Tabla 3.12, se dan más detalles,

tanto de los valores de las pruebas de ajuste, como del valor de los parámetros para las

diversas distribuciones.

Tabla 3.11 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Módulo de Corte: d≥1nm)


1 InvGauss Pearson5 LogLogistic 2 LogLogistic InvGauss Pearson5 3 Pearson5 LogLogistic InvGauss 4 Pareto Expon Logistic 5 Triang Logistic BetaGeneral


Tabla 3.12 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Módulo de Corte: d≥1nm)


InvGauss 42.00 2.511 0.3009 InvGauss(0.027304, 0.012488, RiskShift(0.385451)) LogLogistic 46.21 2.514 0.2800 LogLogistic(0.386690, 0.011252, 1.3257) Pearson5 46.21 2.304 0.2827 Pearson5(1.2571, 0.012405, RiskShift(0.384785))

Pareto 55.05 +Infinity 0.4023 Pareto(16.081, 0.38684) Triang 56.74 +Infinity 0.5434 Triang(0.38684, 0.38684, 0.48943) Expon 56.74 4.833 0.3997 Expon(0.025919, RiskShift(0.386154))

Logistic 125.8 5.698 0.3638 Logistic(0.406881, 0.017490) BetaGeneral 78.63 +Infinity 0.3768 BetaGeneral(0.39736, 0.71005, 0.386836, 0.478459)

La distribución de probabilidad que fue seleccionada cuando el diámetro de los SWCNTs

es mayor o igual a 1 nm, para el módulo de Corte, fue la distribución Loglogística, la cual

ocupa la primera posición en la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Los parámetros de esta

distribución son LogLogistic(0.386690, 0.011252, 1.3257), con una media de μ= 0.4249

TPa; sin embargo, en este caso la desviación estándar no está definida pues 𝛼𝛼 no cumple

el requisito de 𝛼𝛼 > 2, impuesto en la Ecuación 3.16. Al sustituir los parámetros de la

distribución en las Ecuaciones 3.13 y 3.12, se obtienen las expresiones para la función de

densidad y la función de distribución acumulada, dadas por las Ecuaciones 3.37 y 3.38.

Estas distribuciones se ilustran en la Figura 3.21, para la función de densidad y en la Figura

3.22, para la función de distribución acumulada.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 117.819 𝑥𝑥 − 0.386690

0.011252 0.3257

1 + 𝑥𝑥 − 0.3866900.011252

1.3257

2 3.37


1 + 1𝑥𝑥 − 0.386690

0.011252

1.3257 3.38


Figura 3.21 Función de Densidad de Probabilidad (Módulo de Corte: d≥1nm)

Figura 3.22 Función de Distribución Acumulada (Módulo de Corte: d≥1nm)


3.5.4 Relación de Poisson

Para obtener las funciones de densidad para la Relación de Poisson de los nanotubos de

carbono de pared simple con espesor de pared de 0.34 nm, se usaron 77 datos. Esta

información se ha detallado en el Apéndice C, y es mostrada en forma gráfica en función

del diámetro del nanotubo en la Figura 3.23.

Figura 3.23 Relación de Poisson Vs. Diámetro del nanotubo para SWCNTs.

3.5.4.1 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los Diámetros

Al realizar el análisis estadístico, las primeras cinco funciones de densidad que mejor se

clasificaron en las diferentes pruebas de ajuste se muestra en la Tabla 3.13, mientras que

información más detallada sobre el valor de la prueba, así como de los parámetros de las

diversas distribuciones de probabilidad se detallan en la Tabla 3.14.


Tabla 3.13 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros)


1 Logistic Logistic Logistic 2 Triang Normal Normal 3 Normal Weibull Weibull 4 Weibull ExtValue ExtValue 5 BetaGeneral BetaGeneral Triang

Tabla 3.14 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros)


Logistic 14.30 0.9057 0.08966 Logistic(0.212143, 0.026294) Triang 14.82 1.470 0.1078 Triang(0.094045, 0.20760, 0.31870) Normal 16.12 0.9298 0.09501 Normal(0.212925, 0.045815) Weibull 20.27 1.001 0.1019 Weibull(3.6757, 0.16610, RiskShift(0.063164))

BetaGeneral 21.57 1.439 0.1439 BetaGeneral(2.2969, 1.6096, 0.089466, 0.30108) ExtValue 23.39 1.285 0.1035 ExtValue(0.190180, 0.044386)

El mejor ajuste para la Relación de Poisson, cuando se analizaron nanotubos de todas las

quiralidades y todos los diámetros, fue la distribución Logística, con los parámetros

Logistic(0.212143, 0.026294). Esta distribución tiene una media de μ= 0.212 y un

desviación estándar de σ= 0.048. Al sustituir los parámetros de la distribución en las

Ecuaciones 3.09 y 3.08, se obtienen las expresiones matemáticas para la función de

densidad y la función de distribución acumulada, cuyos resultados son dados en las

Ecuaciones 3.39 y 3.40. Además estas distribuciones se ilustran en las Figuras 3.24, y 3.25.


2 𝑥𝑥 − 0.212143

0.026294

0.105176

3.39



2 𝑥𝑥 − 0.212143

0.026294

2

3.40

Figura 3.24 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros)

Figura 3.25 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Todos los diámetros)


3.5.4.1.1 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Diámetro < 1nm

La clasificación de las primeras cinco funciones de densidad, ordenadas de acuerdo a las

diferentes pruebas de ajuste, para la Relación de Poisson, cuando el diámetro es inferior a

1 nm se proporcionan en la Tabla 3.15. Mientras que en la Tabla 3.16, se proporciona

información detallada de los valores de cada una de las pruebas, así como de los

parámetros de las diferentes distribuciones de probabilidad.

Tabla 3.15 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm)


1 ExtValue Weibull ExtValue 2 LogLogistic ExtValue LogLogistic 3 Triang LogLogistic InvGauss 4 Logistic Normal Weibull 5 Normal InvGauss Normal

Tabla 3.16 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm)


ExtValue 3.051 0.5119 0.08922 ExtValue(0.180471, 0.049672) LogLogistic 6.744 0.5455 0.1069 LogLogistic(-0.38751, 0.59264, 18.163)

Triang 7.154 1.695 0.1908 Triang(0.068305, 0.28500, 0.30269) Logistic 7.974 0.5973 0.1132 Logistic(0.206600, 0.032698) Normal 7.974 0.5542 0.1123 Normal(0.207404, 0.055058) Weibull 7.974 0.5052 0.1109 Weibull(2.7720, 0.15381, RiskShift(0.070763))

InvGauss 11.26 0.5585 0.1091 InvGauss(1.2456, 652.9730, RiskShift(-1.0382))

La distribución que se eligió para la relación de Poisson, para los nanotubos con diámetro

menor a 1 nm, fue la Log-logística con parámetros LogLogistic(-0.38751, 0.59264, 18.163).

La media para esta distribución es de μ= 0.208, con una desviación estándar de σ= 0.060.

Al sustituir los parámetros de la distribución en las Ecuaciones 3.13 y 3.12, se obtienen las


expresiones para la función de densidad y la función de distribución acumulada, dadas por

las Ecuaciones 3.26 y 3.27. Estas distribuciones se muestran en la Figura 3.26, para la

función de densidad y en la Figura 3.27, para la función de distribución acumulada.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 30.6476 𝑥𝑥 + 0.38751

0.59264 17.163

1 + 𝑥𝑥 + 0.387510.59264

18.163

2 3.41


1 + 1𝑥𝑥 + 0.38751

0.59264

18.163 3.42

Figura 3.26 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm)


Figura 3.27 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d<1 nm)

3.5.4.1.2 Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: Diámetro ≥ 1nm

La clasificación de las primeras cinco funciones de densidad, para la Relación de Poisson

de acuerdo a las diferentes pruebas de ajuste, cuando el diámetro es mayor o igual a 1nm

se muestran en la Tabla 3.17, proporcionándose información más detallada tanto de los

valores de las pruebas como de los parámetros para las diversas funciones de probabilidad

en la Tabla 3.18.

Tabla 3.17 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm)


1 ExtValue LogLogistic LogLogistic 2 Gamma ExtValue ExtValue 3 InvGauss Pearson5 Logistic 4 Lognorm Lognorm Pearson5 5 Pearson5 InvGauss Lognorm


Tabla 3.18 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm)


ExtValue 11.68 1.120 0.1374 ExtValue(0.203041, 0.028441) Gamma 13.37 1.311 0.1585 Gamma(11.814, 0.0096099, RiskShift(0.1050552))

InvGauss 13.37 1.280 0.1557 InvGauss(0.15752, 3.56357, RiskShift(0.061076)) Lognorm 13.37 1.266 0.1543 Lognorm(0.15281, 0.033176, RiskShift(0.065775)) Pearson5 13.37 1.250 0.1528 Pearson5(36.837, 7.0335, RiskShift(0.022326))

LogLogistic 15.89 1.034 0.1241 LogLogistic(0.10569, 0.10745, 6.1463) Logistic 18.42 1.642 0.1470 Logistic(0.214973, 0.018522)

Para los SWCNTs con diámetro mayor o igual a 1 nm, el mejor ajuste para la Relación de

Poisson, fue la distribución Log-logística, pues aparece como primera opción en dos

pruebas de ajuste. Los parámetros de esta distribución están dados por

LogLogistic(0.10569, 0.10745, 6.1463), con los que se obtiene una media de μ= 0.218 y

una desviación estándar de σ= 0.035. Utilizando los parámetros anteriores en las

Ecuaciones 3.13 y 3.12, se obtienen las expresiones para la función de densidad y la

función de distribución acumulada, tal y como se muestra en las Ecuaciones 3.43 y 3.44.

Las distribuciones correspondientes se ilustran en la Figura 3.28, para la función de

densidad y en la Figura 3.29, para la función de distribución acumulada.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 57.2015 𝑥𝑥 − 0.10569

0.10745 5.1463

1 + 𝑥𝑥 − 0.105690.10745

6.1463

2 3.43


1 + 1𝑥𝑥 − 0.10569

0.10745

6.1463 3.44


Figura 3.28 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm)

Figura 3.29 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Todas las Quiralidades: d≥1 nm)


3.5.4.2 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los Diámetros

Ya que el ángulo de la hélice influye en la Relación de Poisson, a diferencia de los casos

anteriores para el Módulo de Young y el de Corte, ahora también se considerará el caso de

separar los nanotubos no solo por su diámetro, sino también por su tipo, es decir si son

quirales o aquirales. Así que en esta sección se determinará la distribución de probabilidad

cuando todos los nanotubos aquirales son tomados en consideración y en las siguientes,

analizando primero los nanotubos aquirales cuyo diámetro es menor de un nanómetro y

posteriormente los nanotubos aquirales con diámetro mayor o igual a un nanómetro.

Al realizar las pruebas de ajuste, las primeras cinco funciones de densidad para la Relación

de Poisson cuando el diámetro es menor a 1nm están clasificadas en la Tabla 3.19. En la

Tabla 3.20, se muestra la información de las pruebas de ajuste con mayor detalle.

Tabla 3.19 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros)


1 Logistic Normal Normal 2 Triang Logistic Weibull 3 Normal Weibull Logistic 4 Weibull BetaGeneral Triang 5 BetaGeneral Triang ExtValue

Tabla 3.20 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros)


Logistic 7.885 0.4820 0.08796 Logistic(0.210550, 0.027653) Triang 8.923 0.7194 0.09723 Triang(0.090954, 0.20738, 0.31929) Normal 9.615 0.4720 0.08323 Normal(0.210827, 0.048053) Weibull 10.65 0.5123 0.08752 Weibull(3.7129, 0.17411, RiskShift(0.053828))

BetaGeneral 12.04 0.7039 0.1244 BetaGeneral(2.0024, 1.4687, 0.090275, 0.30070) ExtValue 13.77 0.8217 0.1056 ExtValue(0.186938, 0.046398)


La distribución seleccionada para la relación de poisson cuando son usados todos los

diámetros de nanotubos aquirales fue la distribución Logística, con los parámetros

Logistic(0.210550, 0.027653). Esta distribución tienen una media de μ= 0.211 y una

desviación estándar de σ= 0.050. Al sustituir los parámetros anteriores en las Ecuaciones

3.09 y 3.08, se obtienes las expresiones para la función de densidad y para la función de

distribución acumulada, las cuales están dadas por las Ecuaciones 3.45 y 3.46. Así mismo,

las distribuciones correspondientes se ilustran en la Figura 3.30, para la función de

densidad y en la Figura 3.31, para la función de distribución acumulada.


2 𝑥𝑥 − 0.210550

0.027653

0.110612

3.45


2 𝑥𝑥 − 0.210550

0.027653

2

3.46

Figura 3.30 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros)


Figura 3.31 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Todos los diámetros)

3.5.4.2.1 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Diámetro < 1nm

Al igual que en el caso del módulo de Young y de Corte, la función de densidad para la

Relación de Poisson de SWCNTs para el caso achiral será analizada también para dos

intervalos con la finalidad de observar el comportamiento de esta propiedad. El primero

de dichos intervalos será para nanotubos con diámetro menor a 1 nm y el segundo para

aquellos mayores o iguales a 1 nm.

La clasificación de las primeras cinco funciones de densidad para la Relación de Poisson se

proporcionan en la Tabla 3.21, mientras que en la Tabla 3.22, se enlista información más

detallada.


Tabla 3.21 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1nm)


1 Uniform Uniform Weibull 2 ExtValue Weibull Lognorm 3 Normal ExtValue InvGauss 4 InvGauss InvGauss Pearson5 5 Logistic Lognorm LogLogistic

Tabla 3.22 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1nm)


Uniform 1.130 0.2907 0.1112 Uniform(0.090477, 0.30724) ExtValue 1.565 0.3562 0.1149 ExtValue(0.172006, 0.051239) Normal 2.000 0.4139 0.1291 Normal(0.200576, 0.059506)

InvGauss 2.435 0.3826 0.1044 InvGauss(0.34063, 11.29380, RiskShift(-0.14005)) Logistic 2.435 0.4643 0.1218 Logistic(0.199060, 0.035428) Weibull 2.435 0.3517 0.1002 Weibull(2.1969, 0.13569, RiskShift(0.080504))

Lognorm 2.435 0.3924 0.1029 Lognorm(0.40106, 0.058861, RiskShift(-0.20046)) Pearson5 2.435 0.4003 0.1065 Pearson5(115.19, 71.253, RiskShift(-0.42341))

LogLogistic 2.435 0.3968 0.1087 LogLogistic(-0.057545, 0.25236, 7.1715)

Para los SWCNTs con diámetro menor a 1 nm, la distribución para la Relación de Poisson

seleccionada fue la de valores extremos, con parámetros ExtValue(0.172006, 0.051239).

La media de esta distribución es μ= 0.202 con una distribución estándar de σ= 0.066. Al

sustituir los parámetros en las Ecuaciones 3.18 y 3.17, se obtienen las expresiones para la

función de densidad y la función de distribución acumulada, dadas por las Ecuaciones 3.47

y 3.48, e ilustradas en las Figuras 3.32, y 3.33.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1

0.051239⎩⎨

⎧ 1

𝑠𝑠(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239 + 𝑠𝑠−(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239 ⎭⎬

⎫ 3.47



𝑠𝑠𝑠𝑠−(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239 3.48

Figura 3.32 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1 nm)

Figura 3.33 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d<1 nm)


3.5.4.2.2 Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: Diámetro ≥ 1nm

En la Tabla 3.23, se muestra la clasificación para las primeras cinco funciones de densidad

para la Relación de Poisson cuando el diámetro es mayor o igual a 1nm. Detalles

adicionales de los resultados de la prueba de ajuste, así como de los parámetros de las

diferentes distribuciones, se proporcionan en la Tabla 3.24.

Tabla 3.23 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d≥1 nm)


1 Gamma LogLogistic LogLogistic 2 InvGauss ExtValue ExtValue 3 LogLogistic Lognorm Logistic 4 Lognorm InvGauss Lognorm 5 ExtValue Gamma InvGauss

Tabla 3.24 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las

funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d≥1 nm)


Gamma 8.034 0.8841 0.1517 Gamma(12.593, 0.0098616, RiskShift(0.0947725)) InvGauss 8.034 0.8706 0.1498 InvGauss(0.17722, 4.53057, RiskShift(0.041741))

LogLogistic 8.034 0.7157 0.1180 LogLogistic(0.090070, 0.12381, 6.5668) Lognorm 8.034 0.8648 0.1489 Lognorm(0.17408, 0.035092, RiskShift(0.044882)) ExtValue 9.690 0.7826 0.1340 ExtValue(0.202385, 0.030380) Logistic 9.690 1.092 0.1412 Logistic(0.215690, 0.019680)

El mejor ajuste para la Relación de Poisson fue la distribución Loglogística, con los

parámetros LogLogistic(0.090070, 0.12381, 6.5668). Esta distribución tiene una media de

μ= 0.219, con una desviación estándar de σ= 0.037. Al sustituir los parámetros de la

distribución en las Ecuaciones 3.13 y 3.12, se obtienen las expresiones para la función de

densidad y para la función de distribución acumulada, dadas por las Ecuaciones 3.49 y


3.50. Así mismo, la forma de dichas distribuciones se ilustra en la Figura 3.34, para la

función de densidad y en la Figura 3.35, para la función de distribución acumulada.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 53.0393 𝑥𝑥 − 0.090070

0.12381 5.5668

1 + 𝑥𝑥 − 0.0900700.12381

6.5668

2 3.49


1 + 1𝑥𝑥 − 0.090070

0.12381

6.5668 3.50

Figura 3.34 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d≥1 nm)


Figura 3.35 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Nanotubos Aquirales: d≥1 nm)

3.5.4.3 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los diámetros

En esta sección se determinará la distribución de probabilidad cuando todos los

nanotubos chirales son tomados en consideración y en las siguientes, analizando primero

los nanotubos chirales cuyo diámetro es menor de un nanómetro y posteriormente

aquellos con un diámetro mayor o igual a un nanómetro.

Al realizar las pruebas de ajuste a todos datos de los nanotubos quirales para el análisis de

la relación de Poisson, las primeras cinco funciones de densidad que mejor fueron

clasificadas en las diferentes pruebas se proporcionan en la Tabla 3.25, proporcionándose

información adicional en la Tabla 3.26, tanto de los valores de las pruebas de ajuste, como

de los parámetros de las diferentes distribuciones.


Tabla 3.25 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los diámetros)


1 LogLogistic LogLogistic ExtValue 2 ExtValue ExtValue LogLogistic 3 Logistic InvGauss InvGauss 4 InvGauss Lognorm Lognorm 5 Lognorm Pearson5 Pearson5

Tabla 3.26 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las

funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Todos los diámetros)

Ajuste Chi-Sq A-D K-S Parametros

LogLogistic 2.000 0.4425 0.1227 LogLogistic(0.013744, 0.19932, 8.7173) ExtValue 2.800 0.4868 0.1054 ExtValue(0.197617, 0.036802) Logistic 4.800 0.6341 0.1356 Logistic(0.214832, 0.023343)

InvGauss 6.800 0.5359 0.1236 InvGauss(0.31777, 19.41711, RiskShift(-0.10048)) Lognorm 6.800 0.5370 0.1238 Lognorm(0.32136, 0.040651, RiskShift(-0.10407)) Pearson5 6.800 0.5380 0.1239 Pearson5(115.35, 49.488, RiskShift(-0.21549))

El mejor ajuste que se obtuvo para la Relación de Poisson fue la distribución LogLogística,

con los parámetros LogLogistic(0.013744, 0.19932, 8.7173), la cual tiene una media de

μ= 0.217, con una desviación estándar σ= 0.044. Estos parámetros en conjunto con las

Ecuaciones 3.13 y 3.12, proporcionan las expresiones matemáticas de la función de

densidad y de la función de distribución acumulada, cuyo resultado está dado por las

Ecuaciones 3.51 y 3.52. Adicionalmente estás distribuciones son ilustradas en las Figuras

3.36 y 3.37.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 43.7352 𝑥𝑥 − 0.013744

0.19932 7.7173

1 + 𝑥𝑥 − 0.0137440.19932

8.7173

2 3.51



1 + 1𝑥𝑥 − 0.013744

0.19932

8.7173 3.52

Figura 3.36 Función de Densidad Probabilística para la Relación de Poisson (Quirales: Todos los diámetros)

Figura 3.37 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Quirales: Todos los diámetros)


3.5.4.3.1 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Diámetro < 1nm

La clasificación de las primeras cinco funciones de densidad para la Relación de Poisson

cuando el diámetro es inferior a 1 nm se proporcionan en la Tabla 3.27, dándose más

detalles tanto de los valores de las pruebas de ajuste como de los parámetros de las

diferentes distribuciones de probabilidad, en la Tabla 3.28.

Tabla 3.27 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d< 1 nm)


1 ExtValue ExtValue ExtValue 2 InvGauss LogLogistic LogLogistic 3 Logistic InvGauss Weibull 4 LogLogistic Lognorm InvGauss 5 Lognorm Weibull Lognorm

Tabla 3.28 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d< 1 nm)


ExtValue 0.1250 0.3486 0.1420 ExtValue(0.194423, 0.041569) InvGauss 0.1250 0.4007 0.1667 InvGauss(0.34050, 17.92005, RiskShift(-0.12328)) Logistic 0.1250 0.4559 0.1741 Logistic(0.215438, 0.027673)

LogLogistic 0.1250 0.3567 0.1576 LogLogistic(-0.025647, 0.23871, 8.7164) Lognorm 0.1250 0.4066 0.1676 Lognorm(0.37046, 0.046863, RiskShift(-0.15323)) Weibull 0.1250 0.4070 0.1655 Weibull(2.3223, 0.11406, RiskShift(0.11621))

Para los SWCNTs con diámetro menor a 1 nm, la distribución elegida para la relación de

Poisson, fue la Loglogística con los parámetros LogLogistic(-0.025647, 0.23871, 8.7164).

Esta distribución tiene una media de μ= 0.218 con una desviación estándar σ= 0.052. La

expresión correspondiente para la función de densidad está dada por la Ecuación 3.53,

mientras que para la función de distribución acumulada por la Ecuación 3.54. Ambas

distribuciones se ilustran en las Figuras 3.38 y 3.39.


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 36.5146 𝑥𝑥 + 0.025647

0.23871 7.7164

1 + 𝑥𝑥 + 0.0256470.23871

8.7164

2 3.53


1 + 1𝑥𝑥 + 0.025647

0.23871

8.7164 3.54

Figura 3.38 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Quirales: d<1 nm)


Figura 3.39 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Quirales: d<1 nm)

3.5.4.3.2 Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: Diámetro ≥ 1 nm

En la Tabla 3.29, se muestra la clasificación de las primeras cinco funciones de densidad

para la relación de Poisson al ser evaluadas por las diferentes pruebas de ajuste.

Adicionalmente en la Tabla 3.30, se proporciona información más detallada con respecto

de los valores de las pruebas, así como los parámetros de las distribuciones de

probabilidad resultantes.

Tabla 3.29 Clasificación de los Ajustes de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d≥ 1 nm)


1 Expon Pearson5 Pearson5 2 InvGauss InvGauss InvGauss 3 Pareto Expon Pareto 4 Pearson5 ExtValue Expon 5 ExtValue Logistic ExtValue


Tabla 3.30 Valores de las pruebas de ajustes y parámetros de las funciones de densidad (Relación de Poisson: Nanotubos Quirales: d≥ 1 nm)


Expon 0.1111 0.3683 0.1756 Expon(0.024350, RiskShift(0.190358)) InvGauss 0.1111 0.2746 0.1474 InvGauss(0.027150, 0.014933, RiskShift(0.190264))

Pareto 0.1111 +Infinity 0.1666 Pareto(8.9422, 0.19306) Pearson5 0.1111 0.2508 0.1418 Pearson5(1.5196, 0.020830, RiskShift(0.188032)) ExtValue 1.000 0.7247 0.2292 ExtValue(0.205992, 0.016817) Logistic 1.000 0.9025 0.2395 Logistic(0.212346, 0.014536)

La distribución elegida en este intervalo para la Relación de Poisson, fue la distribución

Gauss inversa, con los parámetros InvGauss(0.027150, 0.014933, RiskShift(0.190264)).

Esta distribución tiene una media de μ= 0.217 y una desviación estándar de σ= 0.037. Al

sustituir los parámetros de la distribución en las Ecuaciones 3.23 y 3.22, se obtienen las

expresiones para la función de densidad y la función de distribución acumulada, cuyo

resultado se muestra en las Ecuaciones 3.55 y 3.56. La función de densidad se ilustra en la

Figura 3.40, y la función de distribución acumulada en la Figura 3.41.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.0024

(𝑥𝑥 − 0.190264)3 𝑠𝑠−10.1293(𝑥𝑥−0.217414 )2

(𝑥𝑥−0.190264 ) 3.55

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = Φ0.014933

𝑥𝑥 − 0.190264𝑥𝑥 − 0.190264

0.027150− 1

+ 𝑠𝑠1.1 Φ−0.014933

𝑥𝑥 − 0.190264𝑥𝑥 − 0.190264

0.027150+ 1

3.56


Figura 3.40 Función de Densidad de Probabilidad (Relación de Poisson: Quirales: d≥1 nm)

Figura 3.41 Función de Distribución Acumulada (Relación de Poisson: Quirales: d≥1 nm)


3.5.5 Resumen de Funciones de Probabilidad para las Propiedades Mecánicas de los SWCNTs

A continuación se presentan las funciones de probabilidad que han sido seleccionadas

para describir las propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono de pared única.

3.5.5.1 Fórma Paramétrica

Módulo de Young

Diámetros Función de Distribución Media μ (TPa) Moda (TPa) Desv. Std. σ (TPa)

Todos LogLogistic(-0.65426, 1.6057, 31.094) 0.954 0.948 0.094 d < 1 nm LogLogistic(0.22618, 0.70835, 15.407) 0.939 0.929 0.085

d ≥ 1 nm Logistic(0.970554,0.055627) 0.971 0.971 0.101

Módulo de Corte

Diámetros Función de Distribución Media μ (TPa) Moda (TPa) Desv. Std. σ (TPa)

Todos Logistic(0.397624, 0.019588) 0.398 0.398 0.036 d < 1 nm Logistic(0.388166, 0.020501) 0.388 0.388 0.037

d ≥ 1 nm LogLogistic(0.386690, 0.011252, 1.3257) 0.425 0.389 No Def.

Relación de Poisson

Diámetros Función de Distribución Media μ Moda Desv. Std. σ

Nanotubos de todas las Quiralidades Todos Logistic(0.212143, 0.026294) 0.212 0.212 0.048

d < 1 nm LogLogistic(-0.38751, 0.59264, 18.163) 0.208 0.202 0.060

d ≥ 1 nm LogLogistic(0.10569, 0.10745, 6.1463) 0.218 0.208 0.035

Nanotubos Aquirales Todos Logistic(0.210550, 0.027653) 0.211 0.211 0.050

d < 1 nm ExtValue(0.172006, 0.051239) 0.202 0.172 0.066

d ≥ 1 nm LogLogistic(0.090070, 0.12381, 6.5668) 0.219 0.208 0.037

Nanotubos Quirales Todos LogLogistic(0.013744, 0.19932, 8.7173) 0.217 0.208 0.044

d < 1 nm LogLogistic(-0.025647, 0.23871, 8.7164) 0.218 0.207 0.052

d ≥ 1 nm InvGauss(0.027150, 0.014933, Shift(0.190264)) 0.217 0.195 0.037 Tabla 3.31 Representación paramétrica de las funciones de probabilidad que describen las propiedades mecánicas de

los SWCNTs.


3.5.5.2 Funciones de densidad

Tabla 3.32 Funciones de densidad para el Módulo de Young de los SWCNTs

Módulo de Young

Diámetros Función de Densidad

Todos 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 19.365

𝑥𝑥 + 0.654261.6057

30.094

1 + 𝑥𝑥 + 0.654261.6057

31.094

2

d < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 21.750

𝑥𝑥 − 0.226180.70835

14.407

1 + 𝑥𝑥 − 0.226180.70835

15.407

2

d ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ2 1

2 𝑥𝑥 − 0.970554

0.055627

0.2225

Tabla 3.33 Funciones de densidad para el Módulo de Corte de los SWCNTs

Módulo de Corte


Todos 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ2 1

2 𝑥𝑥 − 0.397624

0.019588

0.078352

d < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ2 1

2 𝑥𝑥 − 0.388166

0.020501

0.082004

d ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 117.819

𝑥𝑥 − 0.3866900.011252

0.3257

1 + 𝑥𝑥 − 0.3866900.011252

1.3257

2


Tabla 3.34 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Todas las Quiralidades




2 𝑥𝑥 − 0.212143

0.026294

0.105176

d < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 30.6476

𝑥𝑥 + 0.387510.59264

17.163

1 + 𝑥𝑥 + 0.387510.59264

18.163

2

d ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 57.2015

𝑥𝑥 − 0.105690.10745

5.1463

1 + 𝑥𝑥 − 0.105690.10745

6.1463

2

Tabla 3.35 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Nanotubos Aquirales




2 𝑥𝑥 − 0.210550

0.027653

0.110612

d < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1

0.051239⎩⎨

⎧ 1

𝑠𝑠(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239 + 𝑠𝑠−(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239 ⎭⎬

⎫

d ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 53.0393

𝑥𝑥 − 0.0900700.12381

5.5668

1 + 𝑥𝑥 − 0.0900700.12381

6.5668

2


Tabla 3.36 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Nanotubos Quirales



Todos 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 43.7352

𝑥𝑥 − 0.0137440.19932

7.7173

1 + 𝑥𝑥 − 0.0137440.19932

8.7173

2

d < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 36.5146

𝑥𝑥 + 0.0256470.23871

7.7164

1 + 𝑥𝑥 + 0.0256470.23871

8.7164

2

d ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.0024

(𝑥𝑥 − 0.190264)3 𝑠𝑠−10.1293(𝑥𝑥−0.217414 )2

(𝑥𝑥−0.190264 )


3.5.5.3 Función de Distribución Acumulada

Tabla 3.37 Funciones de Distribución Acumulada para el Módulo de Young de los SWCNTs

Módulo de Young


Todos


1 + 1𝑥𝑥 + 0.65426

1.6057

31.094

d < 1 nm


1 + 1𝑥𝑥 − 0.22618

0.70835

15.407

d ≥ 1 nm 𝐹𝐹(𝑥𝑥) =1 + 𝑡𝑡𝐺𝐺𝑡𝑡ℎ 1

2 𝑥𝑥 − 0.970554

0.055627

2

Tabla 3.38 Funciones de Distribución Acumulada para el Módulo de Corte de los SWCNTs

Módulo de Corte


Todos 𝐹𝐹(𝑥𝑥) =1 + 𝑡𝑡𝐺𝐺𝑡𝑡ℎ 1

2 𝑥𝑥 − 0.397624

0.019588

2

d < 1 nm 𝐹𝐹(𝑥𝑥) =1 + 𝑡𝑡𝐺𝐺𝑡𝑡ℎ 1

2 𝑥𝑥 − 0.388166

0.020501

2

d ≥ 1 nm


1 + 1𝑥𝑥 − 0.386690

0.011252

1.3257


Tabla 3.39 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Todas las Quiralidades




2 𝑥𝑥 − 0.212143

0.026294

2

d < 1 nm


1 + 1𝑥𝑥 + 0.38751

0.59264

18.163

d ≥ 1 nm


1 + 1𝑥𝑥 − 0.10569

0.10745

6.1463

Tabla 3.40 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Nanotubos Aquirales




2 𝑥𝑥 − 0.210550

0.027653

2

d < 1 nm 𝐹𝐹(𝑥𝑥) =

1

𝑠𝑠𝑠𝑠−(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239

d ≥ 1 nm


1 + 1𝑥𝑥 − 0.090070

0.12381

6.5668


Tabla 3.41 Funciones de Densidad para la Relación de Poisson de los SWCNTs: Nanotubos Quirales



Todos


1 + 1𝑥𝑥 − 0.013744

0.19932

8.7173

d < 1 nm


1 + 1𝑥𝑥 + 0.025647

0.23871

8.7164

d ≥ 1 nm

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = Φ0.014933

𝑥𝑥 − 0.190264𝑥𝑥 − 0.190264

0.027150− 1

+ 𝑠𝑠1.1 Φ−0.014933

𝑥𝑥 − 0.190264𝑥𝑥 − 0.190264

0.027150+ 1


3.5.6 Análisis de los Resultados

El análisis estadístico de los datos obtenidos de la literatura, con respecto de las

propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono, fueron evaluados usando @Risk for

Excel, versión 4.5.

Los datos han sido ajustados a funciones de densidad a través de tres pruebas: Chi-

cuadrada, Anderson-Darling (A-D) y Kolmogorov-Smirnov (K-S). Se ha optado por elegir la

menor cantidad de distribuciones de probabilidad que describan al comportamiento de las

propiedades mecánicas de los NTsC; por lo que, después de procesar la información en

@Risk, se observó que unas pocas distribuciones aparecen recurrentemente en la mayoría

de los casos estudiados y en las mejores posiciones de clasificación (al menos en una de

las pruebas, aunque no siempre). Las distribuciones más comunes son la logistic y log-

logistic, por lo que serán a las que se les dará prioridad cuando exista alguna duda en la

elección de la distribución, y sólo de manera excepcional se recurrirá a la distribución de

valores extremos y a la de Gauss inversa.

Inicialmente, el análisis estadístico se efectuó sobre todos los datos del Módulo de Young,

observándose que la distribución LogLogistic fue clasificada en la primera posición en dos

de dichas pruebas, en la de Anderson-Darling y en la de Kolmogorov-Smirnov, y en la

segunda posición en la de Chi-cuadrada (aunque el valor de la Chi-cuadrada es igual al

obtenido para la distribución colocada en la primera posición), por lo que no hubo duda

en su elección. Sin embargo, los valores de las pruebas fueron elevados, por ejemplo en la

de Chi-cuadrada se obtuvo un valor de 61.20.

Ya que el módulo de Young tiende a ser menor en los nanotubos de Carbono con menor

diámetro, se decidió separar el análisis de estudio en dos intervalos. El primero de ellos

efectuándose en nanotubos con diámetros inferiores a 1 nm, y el segundo para aquellos

con diámetro mayor o igual a esa magnitud. Al efectuar el análisis para el módulo de

Young, en nanotubos con diámetro inferior a 1 nm, se obtuvo la mejor clasificación para el

ajuste de los datos para la distribución LogLogistic(0.22618, 070835, 15.405). El valor


obtenido para la prueba Chi-cuadrada fue de 18.71, por lo que se observa una

disminución significativa con respecto del valor de 61.20 obtenido para el caso en que es

evaluado el módulo de Young para todos los datos. De esta manera es una buena decisión

obtener las funciones de densidad para las propiedades mecánicas para varios intervalos.

Al evaluar el módulo de Young para nanotubos con diámetro ≥ 1 nm, se obtuvo que la

mejor distribución que se ajustó a los datos fue la Logística, con parámetros

Logistic(0.970554, 0.055627). Sin embargo, el valor de prueba Chi-cuadrada en lugar de

disminuir aumentó a 102.9. Posteriores análisis que no son reportados en el presente

trabajo, mostraron que si elegimos más intervalos de análisis, el valor obtenido para la

Chi-cuadrada disminuye. De esta manera, el módulo de Young se puede caracterizar

mediante dos funciones de densidad: Para nanotubos con diámetros < 1 nm por la

distribución LogLogistic(0.22618, 0.70835, 15.407), con una media de μ= 0.939 TPa y

desviación estándar de σ= 0.085. Y para nanotubos con diámetros ≥ 1 nm, por la

distribución Logistic(0.970554, 0.055627), con una media de μ= 0.971 TPa y desviación

estándar de σ= 0.101.

En el caso del módulo de Corte, cuando todos los datos fueron evaluados de manera

conjunta, la distribución que se eligió fue la logistic, pues aparece en la primera posición

en la prueba de Anderson-Darling. El valor que se obtuvo para la prueba Chi-cuadrada fue

de 154.3 (Aunque la mejor clasificada en esta prueba fue de 127). Al evaluar el módulo de

corte cuando el diámetro de los nanotubos < 1 nm, se obtuvo que la distribución Logistic

fue la mejor clasificada en las tres pruebas, con un valor de 30.76 para la prueba de Chi-

cuadrada. Cuando el diámetro de los nanotubos ≥ 1 nm, la distribución elegida fue la Log-

logistic pues fue clasificada en el primer lugar por la prueba de Kolmogorov-Smirnov. El

valor de la prueba Chi-cuadrada para esta distribución cayó a 46.21. De esta manera, a

diferencia del módulo de Young, el ajuste de las funciones de densidad para el módulo de

corte mejoró en ambos intervalos, por lo que es una buena elección encontrar dos

funciones de densidad en lugar de una. Las funciones que describen el comportamiento

del módulo de Corte son: Los nanotubos con diámetros < 1 nm son caracterizados por la


distribución Logistic(0.388166, 0.020501), con una media de μ= 0.3882 TPa y desviación

estándar de σ= 0.0372. Y para nanotubos con diámetros ≥ 1 nm, por la distribución

LogLogistic(0.386690, 0.011252, 1.3257), con una media de μ= 0.425 TPa, aunque la

desviación estándar no ésta definida.

Cuando todos los datos fueron evaluados para la relación de Poisson, se observó que los

valores de las diferentes pruebas fue menor que los obtenidos para el módulo de Young y

el módulo de Corte, pues fue de 14.30 para la distribución logistic. No obstante lo anterior

se realizó el análisis para los dos intervalos anteriores, observándose también un mejor

ajuste. Ya que la relación de Poisson también se ve afectada por la quiralidad, se decidió

clasificar a los nanotubos primero por quiralidad y luego diámetro. Esto mejoró

sustancialmente los valores de la prueba Chi-cuadrada. Por lo tanto, al hacer uso de las

funciones de densidad para la relación de Poisson, será necesario conocer la quiralidad del

nanotubo, así como el diámetro, o rango de diámetros. Las funciones que describen la

relación de poisson son las siguientes: Para nanotubos Aquirales y diámetros < 1nm la

función de densidad es del tipo de valores extremos con parámetros ExtValue(0.172006,

0.051239), con una media de μ= 0.202 y una desviación estándar de σ= 0.066. Para

nanotubos Aquirales y diámetros ≥ 1 nm, la función de densidad es LogLogistic(0.090070,

0.12381, 6.5668), con media de μ= 0.219, y desviación estándar σ= 0.037. Para los

nanotubos quirales y diámetros < 1 nm, LogLogistic(-0.025647, 0.23871, 8.7164), con una

media de μ= 0.218, y una desviación estándar de σ= 0.052. Finalmente, los nanotubos

quirales y diámetros ≥ 1 nm, pueden ser caracterizados por la distribución

InvGauss(0.027150, 0.014933, RiskShift(0.190264)), con una media de μ= 0.217 y una

desviación estándar de σ= 0.037.


3.6 Referencias

[3.01] Ren W, et al., “Morphology, diameter distribution and Raman scattering measurements of double-walled carbon nanotubes synthesized by catalytic decomposition of methane”, Chemical Physics Letters 359 (2002) 196-202

[3.02] Klein C. K., “Characteristic tensile strength and Weibull shape parameter of carbon nanotubes”, Journal of Applied Physics 101, 124909 (2007)

[3.03] Harris P. J. F, “Carbon nanotube composites”, International Materials Reviews 49 (2004) 31-43

[3.04] Peng S, et al., “Carbon Nanotube Chemical and Mechanical Sensors”, 3rd International Workshop on Structural Health Monitoring Conference Proceeding (2001)

[3.05] Tang X, et al., “Carbon Nanotube DNA Sensor and Sensing Mechanism”, Nano Letters 6 (8) 2006 1632-1636

[3.06] Kuznetsov S. S., Lozovik Y. E., and Popov A. M., “The Nanoactuator Based on a Carbon Nanotube”, Physics of the Solid State 49 (5) 2007 1004-1012

[3.07] Batista F. A. et al., “Comparative Study of BxNyCz Nanojunctions Fragments”, Material Research 14 (3) 2011 281-286

[3.08] Terrones M. et al., “Molecualar Junctions by Joining Single-Walled Carbon Nanotubes”, Physical Review Letters 89 (7) 075505, 2002

[3.09] http://www.uclouvain.be/en-354383.html [3.10] Dimitrakakis G. K. et al., “Pillared Graphene: A new 3-D Network Nanostructure for

Enhanced Hydrogen Storage”, Nano Letters 8 (10) 2008 3166-3170 [3.11] http://www.somewhereville.com/?p=43 [3.12] Haldar A, and Mahadevan S., “First-order and second order reliability methods”, from

Probabilistic Structural Mechanics Handbook. Theory and Industrial Applications, Edited by C. Ray Sundararajan, Chapman & Hall, 1995 29

[3.13] Dieter G. E., “Engineering Design: A Materials and Processing Approach”, McGraw-Hill International Editions, Second Edition 1991 243, 530

[3.14] Douglas C. Montgomery, George C. Runger, and Norma F. Hubele, Engineering Statistics, Second Edition, 2001, John Wiley and Sons, Inc., Pp. 47-55

[3.15] Sheldon M. Ross, Introduction to Probability Models, Sixth Edition, 1997, Academic Press, pp 21, 34

[3.16] Hsu H. P. “Theory and Problems of Probability, Random Variables, and Random Processes”, Schaum´s Outline Series, 1997 47

[3.17] Chow T. L., “Mathematical Methods for Physicists: A concise introduction”, Cambridge University Press, First Edition, 2000

[3.18] Al-Kadim K. A., “On the characterization of the Logistic Distribution”, European Journal of Scientific Research 54 (2) 2011, 258-262

[3.19] Guide to Using @RISK: Risk Analysis and Simulation Add-In for Microsoft Excel, Palisade Corporation, Version 5.7, 2010 - 532

[3.20] Balakrishnan N., Nevzorov V. B. “A Primer on Statistical Distributions”, Wiley-Interscience (2003), pp 202

[3.21] Kuş C. and Kaya M, “Estimation of parameters of the log logistic distribution based on progressive censoring using the EM Algorithm”, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics 35 (2) (2006), 203-211

[3.22] McLaughlin M. P. “A Compendium of Common Probability Distributions”, from Regress+

http://www.uclouvain.be/en-354383.html

http://www.somewhereville.com/?p=43


Ver. 2.3, 1993-2001 A38 [3.23] e-Handbook of Statistical Methods, NIST/SEMATECH, July 1, 2003 [3.24] Evans M., Hastings N., and Peacock B., “Statistical distributions”, Wiley Interscience,

Second Edition (1993) pp 66 [3.25] Henze N., Klar B., “Goodness-of-fit Test for the Inverse Gaussian Distribution based on

the Empirical Laplace Transform”, Annals of the Institute of Statistical Mathematics 54 (2) (2002) 425-444

1 Conclusiones

Conclusiones 151 ________________________________________________________________________________

Conclusiones

En este trabajo de tesis se reportaron las funciones de densidad que caracterizan a las

propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono de pared única. En particular las que

se refieren a: El módulo de Young, el módulo de Corte y la Relación de Poisson.

Para el módulo de Young y el módulo de Corte se reportaron las funciones de densidad

para dos intervalos de diámetros.

Se encontró que las funciones de densidad que describen el comportamiento del módulo

de Young para los nanotubos de Carbono de pared única son las siguientes:

D < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 21.750

𝑥𝑥 − 0.226180.70835

14.407

1 + 𝑥𝑥 − 0.226180.70835

15.407

2

D ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ2 12 𝑥𝑥 − 0.970554

0.055627

0.2225

Así mismo, se determinaron las funciones de densidad que caracterizan al módulo de

corte:

D < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ2 1

2 𝑥𝑥 − 0.388166

0.020501

0.082004

D ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 117.819 𝑥𝑥 − 0.386690

0.011252 0.3257

1 + 𝑥𝑥 − 0.3866900.011252

1.3257

2

Conclusiones 152 ________________________________________________________________________________

En el caso de la relación de Poisson, el mejor ajuste de las densidades de probabilidad se

logró cuando los nanotubos no solo fueron clasificados por su diámetro, sino también por

su quiralidad, por lo que en lugar de describirlos por solo dos distribuciones, serán

necesarias cuatro.

Nanotubos

Aquirales

D < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

10.051239

⎩⎨

⎧ 1

𝑠𝑠(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239 + 𝑠𝑠−(𝑥𝑥−0.172006 )

0.051239 ⎭⎬

⎫

D ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 53.0393

𝑥𝑥 − 0.0900700.12381

5.5668

1 + 𝑥𝑥 − 0.0900700.12381

6.5668

2

Nanotubos

Quirales

D < 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 36.5146

𝑥𝑥 + 0.0256470.23871

7.7164

1 + 𝑥𝑥 + 0.0256470.23871

8.7164

2

D ≥ 1 nm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.0024

(𝑥𝑥 − 0.190264)3 𝑠𝑠−10.1293(𝑥𝑥−0.217414 )2

(𝑥𝑥−0.190264 )

Con estas distribuciones será posible realizar simulaciones probabilísticas, para

determinar la probabilidad de falla de nanoestructuras fabricadas a base de nanotubos de

Carbono de pared única.

Apéndice

A

Apéndice A 154 ________________________________________________________________________________

Apéndice A: Módulo de Young SWCNTs

Tipo d (nm) h (nm) Y (Tpa) Referencia

(5,0) SWCNT 0.392 0.34 0.828 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (5,0) SWCNT 0.398 0.34 0.894 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2499 (3,3) SWCNT 0.405 0.34 0.953 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2500 (3,3) SWCNT 0.407 0.34 0.895 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,0) SWCNT 0.470 0.34 0.867 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,0) SWCNT 0.476 0.34 0.938 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2501 (6,1) SWCNT 0.514 0.34 0.886 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (4,4) SWCNT 0.542 0.34 0.985 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2502 (4,4) SWCNT 0.543 0.34 0.922 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,0) SWCNT 0.549 0.34 0.891 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,0) SWCNT 0.552 0.34 0.966 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2503 (4,4) SWCNT 0.559 0.34 0.823 Sanchez-Portal D (1999) Phys. Rev. B 59 (19)

12678 (6,2) SWCNT 0.565 0.34 0.907 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,1) SWCNT 0.592 0.34 0.902 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,3) SWCNT 0.622 0.34 0.922 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,0) SWCNT 0.627 0.34 0.906 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,0) SWCNT 0.630 0.34 0.984 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2504

SWCNT 0.662 0.34 1.370 Overney G (1993) Z. Phys. D 27, 93-96 (5,5) SWCNT 0.678 0.34 0.994 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2505 (5,5) SWCNT 0.679 0.34 0.934 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (5,5) SWCNT 0.680 0.34 0.968 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-

1652 (6,4) SWCNT 0.680 0.34 0.968 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-

1652 (6,4) SWCNT 0.683 0.34 0.932 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (5,5) SWCNT 0.693 0.34 0.766 Sanchez-Portal D (1999) Phys. Rev. B 59 (19)


1652 (9,0) SWCNT 0.705 0.34 0.916 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (9,0) SWCNT 0.706 0.34 0.996 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2506 (8,2) SWCNT 0.718 0.34 0.924 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,2) SWCNT 0.720 0.34 0.968 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-


1652 (7,4) SWCNT 0.756 0.34 0.935 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(10,0) SWCNT 0.780 0.34 0.968 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652

Apéndice A 155 ________________________________________________________________________________

Tipo d (nm) h (nm) Y (Tpa) Referencia

(10,0) SWCNT 0.784 0.34 0.923 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,0) SWCNT 0.786 0.34 1.005 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2507 (10,0) SWCNT 0.791 0.34 1.220 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80

(20) 4502-4505 (10,0) SWCNT 0.796 0.34 0.797 Sanchez-Portal D (1999) Phys. Rev. B 59 (19)

12678 (6,6) SWCNT 0.814 0.34 1.002 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2508 (6,6) SWCNT 0.814 0.34 0.941 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,6) SWCNT 0.820 0.34 1.220 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80

(20) 4502-4505 (10,1) SWCNT 0.826 0.34 0.928 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,6) SWCNT 0.828 0.34 0.732 Sanchez-Portal D (1999) Phys. Rev. B 59 (19)



(11,0) SWCNT 0.862 0.34 0.929 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,5) SWCNT 0.890 0.34 0.942 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(12,0) SWCNT 0.940 0.34 0.935 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,7) SWCNT 0.950 0.34 1.003 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2509 (7,7) SWCNT 0.950 0.34 0.945 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84


SWCNT 1.000 0.34 0.800 Ruoff (1995) Carbon 33 (7) 925-930 (13,0) SWCNT 1.019 0.34 0.937 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (13,0) SWCNT 1.019 0.34 1.019 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2510 (10,5) SWCNT 1.034 0.34 1.250 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80

(20) 4502-4505 (10,5) SWCNT 1.037 0.34 0.944 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,3) SWCNT 1.077 0.34 0.942 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,8) SWCNT 1.086 0.34 0.947 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(14,0) SWCNT 1.097 0.34 0.940 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,8) SWCNT 1.100 0.34 0.676 Sanchez-Portal D (1999) Phys. Rev. B 59 (19)

12678 (10,7) SWCNT 1.165 0.34 1.240 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80

(20) 4502-4505 (15,0) SWCNT 1.176 0.34 0.942 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (14,2) SWCNT 1.183 0.34 0.942 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,6) SWCNT 1.186 0.34 0.943 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (9,9) SWCNT 1.220 0.34 1.017 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2511 (9,9) SWCNT 1.222 0.34 0.950 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

Apéndice A 156 ________________________________________________________________________________

Tipo

d (nm)

h (nm)

Y (Tpa)

Referencia


(10,10) SWCNT 1.357 0.34 0.951 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,10) SWCNT 1.360 0.34 0.969 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-



12678 (18,0) SWCNT 1.411 0.34 0.953 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (16,4) SWCNT 1.437 0.34 0.949 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (14,7) SWCNT 1.451 0.34 0.950 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (15,6) SWCNT 1.468 0.34 0.950 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (19,0) SWCNT 1.489 0.34 0.953 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84


(12,12) SWCNT 1.628 0.34 1.024 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2513 (12,12) SWCNT 1.629 0.34 0.952 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (21,0) SWCNT 1.646 0.34 0.954 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (15,9) SWCNT 1.646 0.34 1.032 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2514 (22,0) SWCNT 1.724 0.34 0.954 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(13,13) SWCNT 1.765 0.34 0.953 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (23,0) SWCNT 1.802 0.34 0.954 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (24,0) SWCNT 1.881 0.34 0.954 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84


(15,15) SWCNT 2.034 0.34 1.250 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80 (20) 4502-4505

(15,15) SWCNT 2.035 0.34 1.028 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2515 (16,14) SWCNT 2.037 0.34 1.035 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2516 (20,0) SWCNT 1.571 0.34 1.260 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80

(20) 4502-4505 (50,50) SWCNT 6.780 0.34 0.969 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-



1652

Apéndice

B

Apéndice B 158 ________________________________________________________________________________

Apéndice B: Módulo de Corte SWCNTs

Tipo

d (nm) h (nm) G (Tpa) Referencia

(5,0) SWCNT 0.392 0.34 0.391 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (5,0) SWCNT 0.398 0.34 0.274 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2499 (3,3) SWCNT 0.405 0.34 0.225 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2500 (3,3) SWCNT 0.407 0.340 0.345 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,0) SWCNT 0.470 0.340 0.394 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,0) SWCNT 0.476 0.34 0.317 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2501 (6,1) SWCNT 0.514 0.340 0.390 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (4,4) SWCNT 0.542 0.34 0.307 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2502 (4,4) SWCNT 0.543 0.340 0.362 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,0) SWCNT 0.549 0.340 0.395 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,0) SWCNT 0.552 0.34 0.350 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2503 (6,2) SWCNT 0.565 0.340 0.382 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,1) SWCNT 0.592 0.340 0.393 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,3) SWCNT 0.622 0.340 0.378 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,0) SWCNT 0.627 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,0) SWCNT 0.630 0.34 0.376 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2504 (5,5) SWCNT 0.678 0.34 0.361 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2505 (5,5) SWCNT 0.679 0.340 0.374 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (5,5) SWCNT 0.680 0.34 0.434 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (6,4) SWCNT 0.680 0.34 0.434 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (6,4) SWCNT 0.683 0.340 0.377 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,3) SWCNT 0.700 0.34 0.441 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (9,0) SWCNT 0.705 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,2) SWCNT 0.718 0.340 0.390 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,2) SWCNT 0.720 0.34 0.447 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (9,1) SWCNT 0.740 0.34 0.450 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (7,4) SWCNT 0.756 0.340 0.382 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(10,0) SWCNT 0.780 0.34 0.452 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (10,0) SWCNT 0.784 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,0) SWCNT 0.786 0.34 0.411 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2507 (6,6) SWCNT 0.814 0.34 0.396 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2508 (6,6) SWCNT 0.814 0.340 0.380 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84


(11,0) SWCNT 0.862 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

Apéndice B 159 ________________________________________________________________________________

Tipo d (nm) h (nm) G (Tpa) Referencia

(8,5) SWCNT 0.890 0.340 0.385 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,0) SWCNT 0.940 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,7) SWCNT 0.950 0.34 0.418 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2509 (7,7) SWCNT 0.950 0.340 0.385 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(11,2) SWCNT 0.950 0.340 0.394 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,4) SWCNT 0.979 0.340 0.390 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (13,0) SWCNT 1.019 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (13,0) SWCNT 1.019 0.34 0.441 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2510 (10,5) SWCNT 1.037 0.340 0.389 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,3) SWCNT 1.077 0.340 0.393 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,8) SWCNT 1.086 0.340 0.387 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(14,0) SWCNT 1.097 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (15,0) SWCNT 1.176 0.340 0.395 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (14,2) SWCNT 1.183 0.340 0.395 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,6) SWCNT 1.186 0.340 0.395 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (9,9) SWCNT 1.220 0.34 0.447 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2511 (9,9) SWCNT 1.222 0.340 0.388 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84


(10,10) SWCNT 1.357 0.340 0.390 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,10) SWCNT 1.360 0.34 0.452 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (18,0) SWCNT 1.411 0.340 0.395 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (16,4) SWCNT 1.437 0.340 0.394 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (14,7) SWCNT 1.451 0.340 0.392 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (15,6) SWCNT 1.468 0.340 0.393 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (19,0) SWCNT 1.489 0.340 0.396 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84


(12,12) SWCNT 1.628 0.34 0.467 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2513 (12,12) SWCNT 1.629 0.340 0.391 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (21,0) SWCNT 1.646 0.340 0.395 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (15,9) SWCNT 1.646 0.34 0.471 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2514 (22,0) SWCNT 1.724 0.340 0.395 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84



Apéndice B 160 ________________________________________________________________________________

Tipo d (nm) h (nm) G (Tpa) Referencia

(15,15) SWCNT 2.035 0.34 0.476 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2515 (16,14) SWCNT 2.037 0.34 0.478 Li C, Int. J. Solids Struct. 40 (2003) 2487-2516 (50,50) SWCNT 6.780 0.34 0.457 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652

(100,100) SWCNT 13.560 0.34 0.458 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652 (200,200) SWCNT 27.120 0.34 0.458 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-1652

Apéndice

C

Apéndice C 162 ________________________________________________________________________________

Apéndice C: Relación de Poisson SWCNTs

Tipo d (nm) h (nm) ν Referencia

(3,3) SWCNT 0.407 0.340 0.298 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,0) SWCNT 0.470 0.340 0.100 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,1) SWCNT 0.514 0.340 0.137 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (4,4) SWCNT 0.543 0.340 0.273 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,0) SWCNT 0.549 0.340 0.127 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (4,4) SWCNT 0.559 0.34 0.124 Sanchez-Portal D (1999) Phys. Rev. B 59 (19)

12678 (6,2) SWCNT 0.565 0.340 0.186 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (7,1) SWCNT 0.592 0.340 0.150 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,3) SWCNT 0.622 0.340 0.222 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,0) SWCNT 0.627 0.340 0.145 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (5,5) SWCNT 0.679 0.340 0.249 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (5,5) SWCNT 0.680 0.34 0.285 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-




1652 (9,0) SWCNT 0.705 0.340 0.158 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,2) SWCNT 0.718 0.340 0.183 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,2) SWCNT 0.720 0.34 0.285 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-




(10,0) SWCNT 0.784 0.340 0.168 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,0) SWCNT 0.791 0.34 0.275 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80


12678 (6,6) SWCNT 0.814 0.340 0.237 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,6) SWCNT 0.820 0.34 0.247 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80

(20) 4502-4505 (10,1) SWCNT 0.826 0.340 0.175 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (6,6) SWCNT 0.828 0.34 0.140 Sanchez-Portal D (1999) Phys. Rev. B 59 (19)

12678

Apéndice C 163 ________________________________________________________________________________





(12,0) SWCNT 0.940 0.340 0.180 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 SWCNT 0.950 0.066 0.190 Yakobson B I (1996) Phys. Rev. Lett. 76 (14) 2511-


(11,2) SWCNT 0.950 0.340 0.189 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,4) SWCNT 0.979 0.340 0.208 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (13,0) SWCNT 1.019 0.340 0.185 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,5) SWCNT 1.034 0.34 0.265 Hernandez E (1998) Physical Review Letters 80

(20) 4502-4505 (10,5) SWCNT 1.037 0.340 0.215 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,3) SWCNT 1.077 0.340 0.198 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (8,8) SWCNT 1.086 0.340 0.225 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84



(20) 4502-4505 (15,0) SWCNT 1.176 0.340 0.193 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (14,2) SWCNT 1.183 0.340 0.195 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,6) SWCNT 1.186 0.340 0.193 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (9,9) SWCNT 1.222 0.340 0.222 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84


(10,10) SWCNT 1.357 0.340 0.220 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (10,10) SWCNT 1.360 0.34 0.283 Lu J P (1997) J. Phys. Chem Solids 58 (11) 1649-



12678 (18,0) SWCNT 1.411 0.340 0.199 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (16,4) SWCNT 1.437 0.340 0.204 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (14,7) SWCNT 1.451 0.340 0.212 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (15,6) SWCNT 1.468 0.340 0.209 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (19,0) SWCNT 1.489 0.340 0.201 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

(11,11) SWCNT 1.493 0.340 0.218 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84

Apéndice C 164 ________________________________________________________________________________


(20,0) SWCNT 1.567 0.340 0.202 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (12,12) SWCNT 1.629 0.340 0.217 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (21,0) SWCNT 1.646 0.340 0.205 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84 (22,0) SWCNT 1.724 0.340 0.206 Popov VN (2000) Physical Review B 61 (4) 3078-84








Publicaciones

Publicaciones 166 ________________________________________________________________________________

Publicaciones

La rugosidad cinética de interfaces ocurre en una amplia variedad de situaciones físicas

que va desde el crecimiento de cristales, invasión de fluidos en medios porosos,

movimiento de líneas de flujo en superconductores hasta propagación de frentes de fuego

en bosques y los fenómenos de fractura, ya que la textura interna de las aleaciones debido

a las estructuras dendríticas desarrolladas durante su solidificación es la principal

responsable para la mayoría de las propiedades mecánicas. También se ha utilizado la

teoría de la mecánica de fractura fractal para explicar el comportamiento de ruptura en

nanotubos, por ello, estudiamos experimentalmente las trayectorias postmorten de

grietas en placas de concreto.

Intrinsically anomalous roughness of admissible crack traces in concrete

Alexander S. Balankin, Orlando Susarrey, Rafael García Paredes, Leobardo Morales,Didier Samayoa, and José Alfredo López

Sección de Posgrado e Investigación, ESIME, Instituto Politécnico Nacional, México and Grupo “Mecánica Fractal,” México 07738Received 30 July 2005; published 1 December 2005

We study the roughness of postmortem cracks in concrete plates of different size. We find that the set ofadmissible crack paths exhibits an intrinsically anomalous roughness; nevertheless, any individual crack tracein concrete is essentially self-affine. We also find that both the local and the global amplitudes of crack tracesare distributed according to a log-logistic distribution characterized by the same scaling exponent, whereas themean-square width distribution is best fitted by the Pearson distribution, while the log-normal distribution alsoprovides quite good adjustments and cannot be clearly rejected.

DOI: 10.1103/PhysRevE.72.065101 PACS numbers: 62.20.Mk, 68.35.p, 68.35.Ct

One of the most challenging puzzles in statistical physicsand materials science is the fracture phenomena 1,2. Frac-ture processes are characterized by the high extent of spa-tiotemporal nonuniformity which results in the complex mor-phology of fracture surfaces and crack shapes 2,3. Sincethe work of Mandelbrot et al. 4, many works have beendedicated to the characterization of the scaling properties offracture patterns 5–13. Furthermore, it was shown thatcrack roughness essentially affects the fracture mechanics2,5,12,14,15.

Numerous experiments have shown that cracks exhibitself-affine scale invariance within a considerable range oflength scales 5–8 up to five decades 6. Namely, the tra-jectory of a crack, zx, is invariant under an anisotropicscale transformation in the sense that the rescaled trace−zx has the same statistical properties as zx, where0 is the scale factor and is the local roughness expo-nent 16. This implies that the local crack width, wl= zx− zl2LR

1/2, scales with the apparent crack length,, as

w l for l0 l x, 1

where ¯l denotes the average over x in window of sizex= l, ¯R denotes the average over different realizations,l0 is a microscopic cutoff, and x is the horizontal correlationlength, defined as wlxx

. Furthermore, the structurefactor of self-affine trace also exhibits scaling behavior, i.e.,Sk= ZkZ−kKk−, where =2+1. Here Zk is theFourier transform of zx and ¯K denotes the average overthe interval k 2 /x ,2 / l0. It should be noted that fortruly self-affine fractals, l0=0 and x=L, where L is the sys-tem size, and so, WL=wl=LL 16. Other importantcharacteristics of crack roughness are the statistical distribu-tions of local width 17 and amplitudes Zml ,L=max0xlLzx−min0xlLzx 18. It has been ar-gued that the shape of distribution of the mean-square widthcan be used to distinguish between different universalityclasses of kinetic roughening 17,19,20. Additionally, crackroughness can be characterized by the moments of q-orderheight-height correlation function ql= zx+ l−zxqL

1/q

lq 16. For self-affine cracks q= for all q. However, in

some cases the crack roughness is characterized by a non-trivial spectrum of scaling exponents q= fq, such that 2

= 21.Self-affine roughness is commonly associated with the ki-

netic roughening obeying the Family–Vicsek dynamic scal-ing ansatz

WL,t = L ft1/z/L , 2

where the scaling function fy behaves as f y with =,when y1 and fy is a constant for y1. Accordingly, atthe early times, tLz, the horizontal correlation length andglobal width of growing interface increase with time as x t1/z and W t /z, respectively, where z is the dynamic expo-nent and = /z is the so-called growth exponent 16. Theroughness exponent = and the dynamic exponent z char-acterize the universality class of the model under study 16.

However, in many cases the interface roughening displaysan anomalous scaling behavior, characterized by differentroughness exponents in the local and global scales; namely 10–13,22. Accordingly, the local fluctuations of thegrowing interface behave as

wl x,t Lz lt −/z and wt Lz,lx L −lx;

3

nevertheless the global width, WL , t, exhibits the Family–Vicsek scaling 2. Moreover, in the case of so-called super-roughening, the structure factor also satisfies the Family–Vicsek ansatz with scaling exponent =2 +1, nevertheless,generally,

S L − sk−2 s+1, 4

where s is the spectral exponent 22. Specifically, the in-trinsically anomalous kinetic roughening is characterized by s= 22,23. It is pertinent to note that in this case thesaturated interface exhibits self-affine invariance, so its“anomalous nature” can be detected only through the studyof roughening dynamics 3 or by using test specimens ofdifferent sizes 24.

Unfortunately, in most experimental works devoted to thescaling analysis of fractures, only the local roughness ofcracks was measured using the “postmortem” fractures intest specimens of standard dimensions 4–7. So the experi-

PHYSICAL REVIEW E 72, 065101R 2005

RAPID COMMUNICATIONS

1539-3755/2005/726/0651014/$23.00 ©2005 The American Physical Society065101-1

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.72.065101

mental data reported in these works do not permit to distin-guish between the self-affine and the intrinsically anomalousnature of crack roughening. More recently, the intrinsicallyanomalous roughening of cracks in quasibrittle materials wasobserved in experiments with woods, some kinds of paper,and mortar 10–13. Intrinsically anomalous roughening wasalso observed in some numerical simulations of crack growth25. It was found that the global crack roughness exponentis material dependent 11–13. With respect to the localroughness, in a number of works the local roughness expo-nent was conjectured to be universal, i.e., independent of thematerial, mechanism of fracture, and of the fracture mode5. Namely, it is suggested that one-dimensional 1D cracksare characterized by 0.6, whereas two-dimensional 2Dcracks are characterized by 0.8 5,6. The universality of, however, is still controversial see Refs. 7–9,26, and ref-erences therein. There are strong experimental evidence andtheoretical reasons that, at least in materials with long-rangecorrelations in microstructure, the value of is determinedby the scaling properties of the material structure 8,27.Moreover, the authors of 9 have detected a dependence of on the mechanism of fracture. The dependence of on thecrack orientation in anisotropic materials was observed in26. In this respect, the authors of 28 noted that dependson the strength of disorder in fractured media and the uni-versal exponent emerges as disorder is increased 28.

In this work we studied the statistical properties of thepostmortem cracks in fractured concrete slabs covering pe-destrian paths in our university. The pavement was installedabout three years ago. A sampling analysis of concrete hasshown that the aggregate/cement ratio by weight is withinthe range of 2÷4; the grain size of gravel and sands variesfrom 2 to 16 mm, the density of concrete is 2300±500kg/m3, and the compressive strength is 45±15 MPa.

Concrete is a quasibrittle material, and the nature of itsfracture behavior continues to be the subject of intensiveresearch 13,29,30. A common feature of fracture in con-crete is the presence of damage or process zone, whichgrows near the crack tip. The size of fracture process zoneits width and length depends on both the concrete structureand the stress field, and commonly it is much larger than thetypical grain size 31. It was found that crack trajectories inconcrete possess a self-affine invariance over a wide range oflength scales 29,30. Furthermore, recently it was found thatthe front of slowly growing crack in notched mortar beamsubjected to four points bending displays intrinsicallyanomalous dynamic scaling 13.

To detect an anomalous roughness, in this work we ana-lyzed the statistical properties of rupture lines in slabs ofdifferent sizes LL see Fig. 1 from different pedestrianpaths. Specifically, we studied the slabs with linear sizes L=10, 25, 50, 100, 200, and 300 cm. The ratio of thickness dto width L for all slabs is in the range of 0.02d /L0.1.Furthermore, we note that in all cases the size of damagezone is larger than d. So, we assumed that the cracks may betreated as 1D traces. At least NL=50 specimens of each sizewere analyzed. We are not able to define specific fracturemodes and loads associated with each crack. The postmor-tem analysis shows that cracks mainly propagate at the grain-matrix interface. The photoimage of each crack trace was

digitized with the resolution of 1 mm/pixel see Fig. 1a.Figures 2 and 3 show the scaling behavior of the crack

width, amplitude, and structure factor for specimens of dif-ferent size, from which follows that the ensemble of post-mortem cracks in concrete exhibit an intrinsically anomalousroughness characterized by

q = = S = 0.75 ± 0.02 = 1.35 ± 0.02 5

for 1q5; e.g., multiscaling was not detected. The micro-scopic cutoff of observed scaling is of the order of the typicalgrain size, l01 cm and xL see Figs. 2 and 3.

It should be pointed out that the values of local roughnessexponents obtained for 320 crack traces are normally distrib-uted with the standard deviation of 0.03; nevertheless, thelarge variations in loads and environmental conditions asso-ciated with studied cracks 32. Furthermore, we note thatthe values of both roughness exponents coincide with thoseobtained for crack fronts in three-dimensional 3D mortarbeams 13, nevertheless the differences in the materialstructure and the fracture mode. At first glance, this resultmay be interpreted as support for the hypothesis of scalinguniversality, e.g., =0.8±0.05 for 2D cracks 5,13, althoughthe coincidence may be accidental 33. With respect to thispoint, we note that experimental value =0.75±0.02 agreeswith the result of simulations of the two-dimensional fusemodel 34, as well as with the predictions of the correlatedpercolation theory for 1D cracks 35; whereas in three di-mensions the fuse 36, as well as the beam lattice 37 mod-els and the correlated percolation theory 35, predict 0.6.

The scale-free nature of the crack roughness implies thatcrack growth is essentially probabilistic in nature 15. Thismeans that in the test specimen, under given conditions, ex-

FIG. 1. a Photographs of cracks in the concrete slabs of dif-ferent size L=2 1, 1 2, 0.5 3, and 0.25 m 4; and b digitizedgraph of crack trace in the plate of size L=3 m.

BALANKIN et al. PHYSICAL REVIEW E 72, 065101R 2005


065101-2

ists a set of admissible crack paths characterized by the samelocal roughness exponent see 15,38. The statistical prop-erties of this set can be determined from the analysis of cracktraces in macroscopically identical specimens 15,18. Theensemble of postmortem crack traces can be characterized bystatistical distributions of the mean-square width WL 17and the global amplitudes ZML=Zml=L 18.

Accordingly, we found that the distribution of the mean-square crack width is best fitted 39 by the Pearson distri-bution see Fig. 4a,

fwL2 =

exp− k/ykk + 1wL

2 y

kk+2

, where y =wL

2

wL2

6

and ¯ is the function. However, the log-normal distri-bution also provides quite good adjustments p value=0.3946 and cannot be clearly rejected in terms of 2 andKolmogorov-Smirnov statistics. Notice that both distribu-tions have a tail heavier than exponential, but lighter thanpower-law distributions, as expected for self-affine traces17,19.

At the same time, the local and the global amplitudes of

cracks are more likely 39 to follow a log-logistic distribu-tion see Figs. 4b and 4c,

fy = mym−1/Z*1 + ym2, where y = Z − z*/Z*; 7

Z is Zml or ZML and Z*=medianZ−z*, z*

=minZ, and m is the distribution tail exponent, which inthe case of self-affine cracks depends on 15,18. Forintrinsically anomalous cracks in concrete we find that bothnormalized amplitudes zl=Zm /L −l and zg=ZM /L

exhibit a log-logistic distribution p value 0.6838 40 char-acterized by the same tail exponent m=4±0.1 see Fig. 4dand Ref. 41.

Intrinsically anomalous crack roughness implies that the

FIG. 3. Data collapse for a crack width, w=wl ,L /L0.6, andb power spectrum, sk=Sk ,L /L0.6, for crack traces in concreteplates of different size. Straight line slopes =0.75 1 and −=−2 s−1=−2.5 2.

FIG. 4. a–c Conditional probability distributions of a themean-square crack width and b the global and c the local am-plitudes of crack traces. Bins—experimental data, lines—data fit-ting by a Pearson distribution with k=0.76 p value=0.4846 andc–d log-logistic distribution p value=0.6838 with c m=4.053,=z* /Z*=0.0139 and d m=3.963, =0.0048. d Log-log plot of=Fy / 1−Fy vs y, where Fy is the cumulative distributionof the normalized global, y=ZML /L full circles, and local,y=Zml ,L / lL − circles, crack width straight line correspondsto the log-logistic distribution with m=4.

FIG. 2. a Log-log plots of the global 1 and the local 2–6crack width vs lcm in concrete plates of size L=10 2, 25 3, 504, 100 5, and 300 cm 6; solid line slope =1.35, dotted linesslope =0.75. b Log-log plots of Ll= Zml ,LLN vs lcmin plates of size L=300 cm 1 and L= ZMLN vs specimensize 2; solid line slope =1.35, dotted line slope =0.76.

INTRINSICALLY ANOMALOUS ROUGHNESS OF… PHYSICAL REVIEW E 72, 065101R 2005


065101-3

statistical properties of the set of admissible crack paths inconcrete are dependent on the system size; nevertheless, anyindividual crack possesses a self-affine invariance. Thismeans that a crack has information about the specimen sizebefore it fails. Surprisingly, the local and the global ampli-tudes of cracks exhibit the same fat-tailed statistical distribu-tion. These observations provide a unique insight into the

physics of fracture and the nature of intrinsically anomalousroughening.

The authors would like to thank J. M. López, M. A. Ro-dríguez, and R. Cuerno for useful discussions. This work hasbeen supported by CONACyT of the Mexican Governmentunder Project No. 44722.

1 M. Adda-Bedia, Phys. Rev. Lett. 93, 185502 2004; E.Bouchbinder, D. Kessler, and I. Procaccia, Phys. Rev. E 70,046107 2004; S. Bohn et al., ibid. 71, 046214 2005; V. I.Marconi and E. A. Jagla, ibid. 71, 036110 2005.

2 A. S. Balankin, Eng. Fract. Mech. 57, 135 1997; Z. P. Bazantand A. Yavari, ibid. 72, 1 2005, and references therein.

3 G. P. Cherepanov et al., Eng. Fract. Mech. 51, 997 1995; E.Bouchaud, J. Phys.: Condens. Matter 9, 4319 1997; F. Bo-rodich, Int. J. Fract. 95, 239 1999; A. Carpinteri and A.Spagnoli, Int. J. Fatigue, 26, 125 2004, and referencestherein.

4 B. B. Mandelbrot et al., Nature London 308, 721 1984.5 E. Bouchaud, G. Lapasset, and J. Planés, Europhys. Lett. 13,

73 1990; K. J. Maloy et al., Phys. Rev. Lett. 68, 213 1992;J. Schmittbuhl and K. J. Maloy, ibid. 78, 3888 1997; A.Delaplace et al., Phys. Rev. E 60, 1337 1999.

6 P. Daguier et al., Phys. Rev. E 60, 1337 1999.7 J. Kertsz et al., Fractals 1, 67 1993; A. S. Balankin and O.

Susarrey, Int. J. Fract. 81, R27 1996; A. S. Balankin et al.,ibid. 87, L37 1997; 90, L57 1998; 106, L21 2000; Phys.Lett. A 297, 376 2002; Phys. Rev. E 64, 066131 2001.

8 A. S. Balankin et al., Phys. Rev. Lett. 90, 096101 2003.9 S. Morel et al., Phys. Rev. Lett. 93, 065504 2004.

10 J. M. López and J. Shmittbuhl, Phys. Rev. E 57, 6405 1998.11 S. Morel et al., Phys. Rev. E 58, 6999 1998; A. S. Balankin

et al., Philos. Mag. Lett. 80, 165 2000.12 S. Morel et al., Phys. Rev. Lett. 85, 1678 2000.13 G. Mourot et al., Phys. Rev. E 71, 016136 2005.14 A. B. Mosolov, Europhys. Lett. 24, 673 1993; F. M. Borod-

ich, J. Mech. Phys. Solids 45, 239 1997; G. Palasantzas, J.Appl. Phys. 83, 5212 1998; A. Yavari et al., Int. J. Fract.101, 365 2000; J. Weiss, ibid. 109, 365 2001.

15 A. S. Balankin, Int. J. Fract. 79, R63 1996; Philos. Mag.Lett. 74, 415 1996; A. S. Balankin et al., Proc. R. Soc.London, Ser. A 455, 2565 1999; I. Campos and A. S. Bal-ankin, Theor. Appl. Fract. Mech. 44, 187 2005.

16 A.-L. Barabási and H. E. Stanley, Fractal Concepts in SurfaceGrowth Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

17 Z. Rácz and M. Plischeke, Phys. Rev. E 50, 3530 1994; M.Plischeke and Z. Rácz, ibid. 50, 3589 1994; T. Antal and Z.Rácz, ibid. 54, 2256 1996; E. Marinari et al., ibid. 65,026136 2002.

18 A. S. Balankin and O. Susarrey, Philos. Mag. Lett. 79, 6291999.

19 G. Tripathy and W. van Saarloos, Phys. Rev. Lett. 85, 35562000; T. Antal et al., ibid. 87, 240601 2001; S. Ray-chaudhuri et al., ibid. 87, 136101 2001.

20 A. Rosso et al., Phys. Rev. E 68, 036128 2003; S. Moulinet

et al., ibid. 69, 035103 2004.21 J. Schmittbuhl et al., J. Geophys. Res. 100, 5953 1995; E.

Bouchbinder et al., e-print cond-mat/0508183.22 J. J. Ramasco et al., Phys. Rev. Lett. 84, 2199 2000.23 Intrinsically anomalous multifractal roughness is characterized

by q and S=2 see M.-P. Kuittu et al., Phys. Rev. E 59,2677 1999; J. Asikainen et al., ibid. 65, 052104 2002.

24 We note that both graphs presented in Fig. 4 of Ref. 10 areessentially self-affine and so, if we do not know the models towhich they correspond, we cannot determine which of them isrelated to intrinsically anomalous kinetic roughening process.

25 S. Zapperi et al., e-print cond-mat/0407568.26 I. L. Menezes-Sobrinho et al., Phys. Rev. E 71, 066121

2005.27 Notice that papers studied in 8 are essentially three dimen-

sional and so cracks are 2D surfaces and not 1D trails, as it isexpected in a 2D medium.

28 B. Skjetne et al., e-print cond-mat/0505633.29 V. E. Saouma et al., Eng. Fract. Mech. 35, 47 1990; A. M.

Hammad and M. A. Issa, Adv. Cem. Based Mater. 1, 1691994; P. S. Anderson. and A. S. Ndumu, Fractals 7, 1511999; B. Chiaia et al., Cem. Concr. Res. 28, 103 1998; M.A. Issa et al., Eng. Fract. Mech. 70, 125 2003.

30 P. S. Addison et al., in Proceedings of the 13th ASCE Engi-neering Mechanics Division Conference, Baltimore, MD, 1999unpublished.

31 B. L. Karihaloo, Fracture Mechanics and Structural ConcreteLongman, London, 1995.

32 The authors of 30 also reported =0.75±0.04 for 1d cracktraces in concrete.

33 Notice that the scaling ranges observed in this work and inRef. 13 are different.

34 A. Hansen et al., Phys. Rev. Lett. 66, 2476 1991.35 J. O. H. Bakke et al., Phys. Scr., T T106, 65 2005.36 G. G. Batrouni and A. Hansen, Phys. Rev. Lett. 80, 325

1998.37 Since beams have rotational degrees of freedom, they are es-

sential to model cohesive granular materials G. A. D’Addettaet al., Granular Matter 4, 77 2002.

38 A. Chudnovsky et al., Eng. Fract. Mech. 58, 437 1997.39 The best fit according to the chi-squared and Kolmogorov-

Smirnov statistics was found with the help of @RISK 4.5.2 soft-ware http://www.palisade.com.

40 The distribution can be also fitted by log-normal distribution,but with lower p value 0.3946.

41 Distributions of crack amplitudes in different papers are char-acterized by different tail exponents in the range 2.9m4.5 18.

BALANKIN et al. PHYSICAL REVIEW E 72, 065101R 2005


065101-4

p r e s e n t a m. en c. leobardo morales...

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