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4.2.2.3.5.- Construcción de Vectores dados Dos Puntos
El proceso es básicamente el mismo que se sigue para la construcción
de segmentos entre dos puntos, con la diferencia de que en este caso los
puntos inicial y final del vector deben colocarse estrictamente es ese orden.
Supóngase que se quiere construir el vector con extremo inicial (-1,1) y
extremo final (2,0); los pasos para la construcción son:
Hacer clic sobre la opción “Vector entre dos puntos” y seguidamente
ubicarse sobre la zona gráfica.
Hacer clic sobre la coordenada (-1,1) y seguidamente otro clic en la
coordenada (2,0), automáticamente se mostrará el vector deseado como se
muestra en la figura 46.
Figura 46: Ejemplo de Vector dados Dos Puntos
4.2.2.3.6.- Construcción de Vectores Equipolentes
Dado cierto vector se puede construir de manera muy sencilla su
equipolente anclado en cualquier punto, por ejemplo si se quisiera construir
un vector equipolente al vector dado y anclado en el punto (-1,-2),
se tendría que proceder de la siguiente forma:
Construir el punto (-1,-2).
Hacer clic sobre la opción “Vector dados su punto de aplicación y su
equipolente” y seguidamente ubicarse sobre la zona gráfica.
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Hacer clic, primero en el punto (-1,2) que servirá como punto inicial del
nuevo vector y luego hacer clic sobre el vector dado .
Figura 47: Ejemplo de Vector Equipolente
4.2.2.4.- Construcción de Rectas
En este ítem se pueden usar los modos para obtener rectas paralelas,
perpendiculares, mediatrices, bisectrices, tangentes, entre otras variedades
de rectas o características de las mismas.
4.2.2.4.1.- Construcción de Rectas Perpendiculares
Dada una recta, se puede construir otra recta perpendicular a esta en
cualquiera de sus puntos, dicho punto debe ser especificado con su
coordenada; por ejemplo, si se desea construir la recta que pasa por el punto
(2,1) y que es perpendicular a le recta , se tienen que realizar estos
pasos:
Ubicar el puntero sobre la zona gráfica y construir el punto (2,1) así
como la recta , tal como se muestra en la figura 48.
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Figura 48: Recta y Punto para la Construcción de una Recta Perpendicular
Seleccionar el modo “Recta Perpendicular”, haciendo clic sobre la
flechita del cuarto icono para desplegar el menú correspondiente como se
muestra en la figura 49.
Figura 49: Selección del Modo para Construcción De Rectas,
Perpendiculares
Volver a la zona gráfica, hacer clic sobre el punto (2,1) y seguidamente
sobre la recta , así queda finalizada la construcción (Ver figura 50:
ejemplo de construcción de rectas perpendiculares).
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Figura 50: Ejemplo de Construcción de Rectas Perpendiculares
4.2.2.4.2.- Construcción de Rectas Paralelas
Análogamente a la construcción de rectas perpendiculares, se
construyen las rectas paralelas; tomando el ejemplo anterior, se puede
construir en este caso la recta que pasa por el punto (2,1) paralela a la recta
de la siguiente manera:
Ubicar el puntero sobre la zona gráfica y construir el punto (2,1) así
como la recta .
Seleccionar el modo “Recta Paralela”, haciendo clic sobre la flechita
del cuarto icono para desplegar el menú correspondiente.
Volver a la zona gráfica, hacer clic sobre el punto (2,1) y seguidamente
sobre la sobre la recta , así queda finalizada la construcción (Ver figura 51: ejemplo de construcción de rectas paralelas).
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Figura 51: Ejemplo de Construcción de Rectas Paralelas
4.2.2.4.3. Construcción de Mediatrices
Dados dos puntos o un segmento, se puede construir una mediatriz
realizando los siguientes pasos:
Seleccionar el modo “Mediatriz”, haciendo clic sobre la flechita del
cuarto icono para desplegar el menú correspondiente, tal como se muestra
en la figura 52.
Figura 52: Selección del Modo para Construcción de Mediatriz
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Ubicar el puntero sobre la zona gráfica, si se quiere hallar la mediatriz
entre dos puntos se debe hacer clic sobre cada uno de los puntos; si se
tratase de un segmento (ver figura 53: recta mediatriz del segmento “a”),
basta con hacer clic sobre el mismo.
Figura 53: Recta Mediatriz del Segmento “a”
4.2.2.4.4.- Construcción de Bisectrices
Se puede construir la bisectriz de dos rectas o bien entre tres puntos
del plano, realizando los siguientes pasos:
Seleccionar el modo “Bisectriz”, haciendo clic sobre la flechita del
cuarto icono para desplegar el menú correspondiente (procedimiento similar
al de seleccionar el modo “mediatriz”).
Ubicar el puntero sobre la zona gráfica. Si se quiere hallar la bisectriz
entre tres puntos se debe hacer clic sobre cada uno de ellos pero en cierto
orden, pues al punto por donde se desea construir la bisectriz se debe hacer
clic en medio de los otros dos (de segundo); ver figura 54, donde se
muestra la bisectriz al punto B entre A y C.
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Figura 54: Recta Bisectriz al Punto “B”
Si se tratase de un par de rectas, basta con hacer clic sobre cada una
de ellas.
4.2.2.4.5.- Construcción de Rectas Tangentes
Para construir rectas tangentes se debe disponer de un punto y una
figura (circunferencia, cónica o función) por los cuales pasará dicha recta y
se debe proceder de la siguiente forma:
Seleccionar el modo “Tangentes”, haciendo clic sobre la flechita del
cuarto icono para desplegar el menú correspondiente.
Situarse sobre la zona gráfica; suponiendo que la figura y un punto
están dados, se debe hacer clic sobre el punto (ver figura 55 donde se
muestra la selección de un punto externo a la grafica).
Figura 55: Selección de un Punto Externo a una Grafica para Trazar
las Rectas Tangentes
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Luego se hace clic sobre la figura y automáticamente se mostrará la o
las rectas tangentes entre el punto y la figura (tal como se muestra en la
figura 56: ejemplo de rectas que pasan por un punto y son tangentes a una
circunferencia).
Figura 56: Ejemplo de Rectas que Pasan por un Punto y son
Tangentes a una Circunferencia
4.2.2.5.- Construcción de Polígonos
Se puede construir un polígono cualquiera utilizando el quinto icono, el
cual se puede desplegar (haciendo clic sobre su flechita) para explorar
cualquiera de los dos modos que allí aparecen.
4.2.2.5.1.- Polígono
Es el primer modo, y se utiliza para construir polígonos tanto regulares
como irregulares, realizando los siguientes pasos:
Hacer clic sobre el modo “Polígono” (como se muestra en la figura 57)
y luego ubicar el mouse sobre la zona gráfica.
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Figura 57: Selección del Modo para Construcción de Polígonos
Hacer clic sobre cada uno de los vértices del polígono, finalizando en
el mismo punto de inicio para cerrar la figura; en la figura 58 se muestra un
ejemplo de un polígono irregular creado con este comando.
Figura 58: Polígono Irregular creado con el Modo “Polígono”
4.2.2.5.2.- Polígono Regular
El segundo modo se restringe a la construcción de polígonos
regulares únicamente; para ello se debe seguir el siguiente procedimiento:
Hacer clic sobre el modo “Polígono regular” (como se muestra en la
figura 59) y luego ubicar el mouse sobre la zona gráfica.
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Figura 59: Selección del Modo para Construcción de Polígonos Regulares
Hacer clic sobre dos puntos, los cuales servirán de referencia para la
distancia entre dos vértices sucesivos del polígono, tal como se muestra en
la figura 60.
Figura 60: Selección de Puntos de Referencia para el Polígono.
Automáticamente aparecerá una ventana donde se debe especificar el
número de vértices del polígono y seguidamente hacer clic en “Aplica” (ver
figura 61: ventana emergente para indicar el número de lados de un
polígono).
Figura 61: Ventana Emergente para Indicar el Número de Lados de un Polígono Regular
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Inmediatamente se mostrará el polígono terminado; en la figura 62 se
muestra un ejemplo de un polígono creado con el modo “polígono regular”.
Figura 62: Ejemplo de Polígono Creado con el Modo “Polígono Regular”
4.2.2.6.- Circunferencias, Arcos y Cónicas
El sexto icono de la barra de herramientas está relacionado con nueve
modos u opciones que facilitan la construcción de circunferencias,
semicircunferencias, arcos, sectores circulares y los diferentes tipos de
cónicas (ver figura 63: item para construcción de circunferencias,
semicircunferencias, arcos, sectores circulares y cónicas); al igual que en los
modos anteriores aparece al lado izquierdo de cada uno de ellos una imagen
que sirve de mucha ayuda para aclarar dudas si llegase a haber confusión
en la definición de alguna de las figuras mencionadas.
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Figura 63: Ítem para Construcción de Circunferencias, Semicircunferencias, Arcos, Sectores Circulares y Cónicas.
Esta serie de modos son relativamente fácil de trabajar ya que cada
uno de ellos muestra los pasos específicos para su construcción.
Para construir una circunferencia dados su centro y un punto por donde
pasa, se hace clic en el primer modo (Circunferencia por centro y punto que cruza), luego se ubica el mouse en la zona gráfica y se hace clic en la
coordenada del centro y en la coordenada del punto de la circunferencia
respectivamente.
Así mismo, si fuese necesario construir una circunferencia dados su
centro y su radio, se hace clic sobre el segundo modo (Circunferencia dados su centro y radio), de igual manera se debe ubicar el mouse en la
coordenada del centro de la circunferencia y hacer clic, automáticamente se
mostrará una ventana donde se debe colocar el valor del radio y
seguidamente hacer clic en “Aplica”; así queda finalizada la construcción.
También se puede construir la circunferencia si se tienen tres puntos de
la misma, para ello se hace clic en el tercer modo, “Circunferencia dados
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tres de sus puntos” y se hace clic sobre las coordenadas de dichos puntos.
De forma análoga se trabaja el sexto modo “Arco de circunferencia que pasa por tres puntos”, en este caso dos de esos puntos son extremos del
arco.
Para construir una semicircunferencia, se hace clic sobre el cuarto
modo denominado “Circunferencia dados puntos extremos” y luego en la
zona gráfica se hace clic sobre la coordenada de dichos puntos.
Se puede construir un arco de circunferencia a través del quinto modo
“Arco de circunferencia dados centro y dos puntos extremos” haciendo
clic en la coordenada del centro y seguidamente en la coordenada del
extremo inicial y en la coordenada del otro punto hacia el cual va a tender el
arco, este último punto no necesariamente debe estar en el arco. De igual
manera se utiliza el modo “Sector circular dados centro y dos puntos extremos”.
Haciendo clic sobre el modo “Sector circular que pasa por tres puntos” y clic en la coordenada de tres puntos distintos se produce un
sector circular que pasa por dichos puntos.
El último modo de este icono denominado “Cónica dados cinco de sus
puntos” es utilizado para definir cualquier tipo de cónica haciendo clic sobre
cinco puntos diferentes en la zona gráfica; está claro que siempre que no
fueran colineales cuatro de estos cinco puntos, la sección cónica queda
efectivamente definida.
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4.2.2.7.- Números y Ángulos
Los ítems de este menú dan la opción de determinar ángulos entre
rectas y puntos, así como también exponer pendientes, áreas y distancias
(ver figura 64: ítem para construcción números y ángulos).
Figura 64: Ítem para Construcción Números y Ángulos
4.2.2.7.1.- Ángulo
Es el primer modo que aparece en el menú desplegable, y con éste se
puede crear:
El ángulo entre tres puntos cuyo vértice es el segundo de los puntos
trazados.
El ángulo entre dos segmentos dados; se hace clic en los dos
segmentos para obtener el ángulo formado por ambos.
El ángulo entre dos rectas plenamente establecidas; se procede en
forma similar al caso anterior, haciendo clic en las dos rectas para obtener el
ángulo.
El ángulo entre dos vectores.
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Todos los ángulos de un polígono; si el polígono fue creado
seleccionando sus vértices con un clic en sentido antihorario, la herramienta
Angulo establece los interiores y en caso contrario expone los ángulos
externos.
4.2.2.7.2.- Ángulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B se debe anotar la amplitud del ángulo en el
campo de texto de la ventana emergente (ver figura 65: ventana emergente
para anotar la amplitud del ángulo). Esta herramienta produce un punto C y
un ángulo correspondiente a ABC.
Figura 65: Ventana Emergente para Anotar la Amplitud del Ángulo
4.2.2.7.3.- Distancia
Este ítem se puede utilizar para medir la distancia entre dos puntos, dos
rectas o un punto y una recta y la expone como texto dinámico en la Zona
Gráfica; también opera con la longitud de un segmento, la de una
circunferencia o la del perímetro de un polígono. Basta con seleccionar el
icono y hacer clic sobre los objetos a medir.
4.2.2.7.4.- Área
Con este modo se puede establecer el área de un polígono, círculo o
elipse como número, el cual se expone como texto dinámico en la Zona
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Gráfica. Para obtener el área de un objeto, basta con tener activa la opción
área y hacer clic dentro del objeto ubicado en la zona Gráfica; en la figura 66
se muestra un ejemplo del cálculo de área de un polígono irregular.
Figura 66: Ejemplo de Cálculo de Área de un Polígono Irregular
usando el Modo Área
4.2.2.7.5.- Pendiente
Con ésta herramienta se puede medir la pendiente de una recta y la
expone dinámicamente, ilustrada en un triángulo rectángulo adecuado, en la
Zona Gráfica.
4.2.2.8.- Transformaciones Geométricas
Las siguientes transformaciones geométricas operan sobre puntos,
rectas, secciones cónicas, polígonos e imágenes; en la figura 67 se
muestran los diferentes modos que conforman el ítem para transformaciones
geométricas.
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Figura 67: Ítem para Transformaciones Geométricas
4.2.2.8.1.- Refleja Objeto en Recta
Para usar este modo, lo primero que debe hacerse es seleccionar el
objeto a ser reflejado; luego, basta un clic sobre la recta (semirrecta o
segmento) para que quede establecido el eje de simetría a través del que se
operará la reflexión (ver figura 68: reflexión de circunferencia a través del
segmento “a”).
Figura 68: Reflexión de Circunferencia a través del Segmento “a”
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4.2.2.8.2.- Refleja Objeto por Punto
Para reflejar un objeto a través de un punto se realiza un procedimiento
similar al anterior, debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado; después,
basta un clic sobre el punto a través del cual se operará la reflexión. En la
figura 69 se muestra como ejemplo la reflexión de una elipse a través de un
punto.
Figura 69: Reflexión de una Elipse a través de un Punto “D”
4.2.2.8.3.- Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia,
seleccionando el punto a invertir y luego la circunferencia en cuestión (ver
figura 70 donde se muestra un ejemplo de la reflexión de un punto a través
de una circunferencia).
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Figura 70: Reflexión de un Punto “B” a través de una Circunferencia
4.2.2.8.4.- Rota Objeto en torno a un Punto, el Ángulo Indicado
Para rotar un objeto cualquiera en torno a un punto, indicando el ángulo
de rotación, se procede de la siguiente forma:
El primer procedimiento es seleccionar el objeto a ser rotado
Luego basta con hacer un clic sobre el punto que obrará como
centro de rotación
Finalmente aparece una ventana emergente donde puede
especificarse la amplitud del ángulo de rotación.
En la figura 71 se muestra el ejemplo de cómo un triangulo rota un
ángulo de 45° en torno a un punto dado.
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Figura 71: Triángulo Rotado en Torno al Punto “D”
4.2.2.8.5.- Traslada Objeto por un Vector
Se debe seleccionar el objeto a ser trasladado, después con un clic
sobre un vector, bastará para que se produzca la translación (ver figura 72,
donde se muestra la traslación de un polígono a través de un vector “u”).
Figura 72: Polígono Trasladado a través de un Vector “u”
4.2.2.9.- Números Imágenes, Textos y Otros
Éste ítem de la barra de herramienta posee una serie de modos (ver
figura 73, muestra los ítems para trabajar con números imágenes, textos y
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otros) que ayudan a trabajar con números, imágenes, inserción de textos y
relaciones.
Figura 73: Ítem para Números Imágenes, Textos y Otros
4.2.2.9.1. Deslizador
En GeoGebra un deslizador no es sino la representación gráfica de un
número o ángulo libre. Puede crearse desde cualquier número o ángulo libre,
sencillamente exponiendo tal objeto, éste aparece en forma de “dial” en la
Zona Gráfica.
Al dar clic sobre cualquier lugar libre de la Zona Gráfica, se crea un
"dial” o deslizador para ajustar el valor de un número o un ángulo, la ventana
que se despliega permite especificar el “Nombre”, “Intervalo” mínimo (mín.) y
máximo (máx.) que es el que especifica los limites en los que se moverá el
dial; y finalmente el “Incremento” del número o ángulo, así como su
alineación (Horizontal o Vertical) y “Ancho” (longitud expresada en pixels).
Cabe destacar que cuando se trabaja con ángulos, el intervalo esta solo
entre [0°, 360°]. La posición de un deslizador puede ser absoluta en la Zona
Gráfica o relativa al sistema de coordenadas.
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Al hacer clic con el botón derecho sobre el “dial”, se expone una
ventana que permite modificarlo, tal como se muestra en la figura 74, donde
se puede observar la ventana emergente para modificar un dial; si se
selecciona la casilla de propiedades, allí se podrán cambiar sus valores,
estilo y color.
Figura 74: Ventana Emergente para Modificar un Dial
Animación Manual
Para modificar manualmente, de forma continua un número o ángulo,
basta seleccionar la herramienta “elige y mueve” y dar clic sobre el
número o ángulo y pulsar o la tecla + o la tecla - o simplemente mantener
pulsado el “dial” y deslizar el ratón. Se produce así, un efecto de animación al
mantener permanentemente, una de estas teclas, pulsada.
El incremento del deslizador es ajustable desde la pestaña “Deslizador”
de la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto.
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Animación Automática
GeoGebra permite animar uno o varios números y/o ángulos
simultáneamente, si se exponen como deslizadores en la Zona Gráfica, basta
con un clic derecho o Ctrl-clic sobre un número o ángulo y seleccionar del
emergente Menú Contextual, “Animación Automática” para animarlos y
viceversa, destildar este ítem para detener tal animación. Después de animar
un número o ángulo, aparece un botón en la esquina inferior izquierda de la
Zona Gráfica que al hacer clic sobre el icono permite, establecer una pausa
(pausa ) o continuar la animación (reproduce )
En la Caja de Diálogo de Propiedades en la pestaña “Deslizador” se
puede cambiar el comportamiento de la animación:
Se puede controlar la “Velocidad” de la Animación. (Una velocidad de
1 significa que la animación lleva cerca de10 segundos para ejecutarse una
vez a lo largo de todo el intervalo del deslizador)
Se puede modificar el régimen de ciclado de la animación y sus
repeticiones: <=> Oscilante: el ciclo de la animación alterna entre
“Decremento” e “Incremento”. => Incremento: el valor del deslizador está
siempre aumentando (después de llegar al máximo, el deslizador salta y
regresa al valor mínimo y así continúa la animación). <= Decremento: el valor
del deslizador está siempre disminuyendo (después de llegar al mínimo, el
deslizador salta y regresa al valor máximo y así continúa la animación)
Mientras la animación automática está activa, GeoGebra permanece
completamente funcional. Esto permite hacer cambios en la construcción
mientras se corre la animación.
Ejemplo: (ver en el CD anexo la planilla dinámica de la circunferencia
inscrita y las exinscritas a un triángulo)
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4.2.2.9.2.- Oculta Expone Objetos al (des)tildar Casillero
Al dar clic sobre la Zona Gráfica se crea una casilla “tildar” para exponer
y ocultar uno o más objetos. En la ventana emergente, se puede especificar
qué objetos quedarían afectados por el estado de tal casilla. Estos objetos
pueden seleccionarse desde la lista que ofrece la ventana de dialogo o
directamente con el ratón en cualquier vista.
4.2.2.9.3. Inserta Texto
Con éste modo se pueden crear fórmulas de LaTeX y/o textos estáticos
o dinámicos en la Zona Gráfica. En primer lugar, es necesario especificar el
texto de una de las siguientes formas:
Con un clic sobre la Zona Gráfica para crear un nuevo texto en esa
posición, allí se abre una ventana emergente en la que se anota el texto que
se desea insertar, tal y como se muestra en la figura 75.
Figura 75: Ventana Emergente para Anotar Texto a Insertar
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Con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicación se vincula y asocia a dicho punto.
Puede especificarse la posición absoluta de un texto en pantalla para
que no resulte relativa al sistema de coordenadas, esto se hace tildando la
casilla de “Posición absoluta en pantalla” de la pestaña “Básico” de la Caja
de Diálogo de Propiedades, (tal como se aprecia en la figura 76: caja de
dialogo de propiedades de un texto previamente insertado).
Figura 76: Caja de Propiedades de un Texto Previamente Insertado
Existen varios tipos de textos que pueden aparecer o no en la zona
gráfica (la tabla 1 muestra la ejemplificación de los tipos de textos):
Texto Estático: no depende de ningún objeto matemático y no suele
afectarlo ningún cambio de la construcción.
Texto Dinámico: es el que contiene valores de objetos y se modifica y
adapta automáticamente frente a sus cambios.
Texto Mixto: es una combinación de texto estático y dinámico. Para
crear un texto mixto, debe anotarse el sector estático usando el teclado y
agregarse la sección dinámica con un clic sobre el objeto cuyo valor se
desea exponer.
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GeoGebra automáticamente incorpora y añade la sintaxis necesaria para
crear los textos mixtos: comillas en torno a la parte estática del texto y el
signo más (+) para conectar las diferentes partes del texto.
Tabla 1: Ejemplificación de los Tipos de Textos
Entrada Descripción
Este es un texto
estático texto estático
A texto dinámico (si el punto A
existe)
"Punto A = " + A texto mixto en dos partes,
usando el valor del punto A
"a = " + a + "cm" texto mixto en tres partes,
usando el valor del número a
Fórmulas LaTeX: En GeoGebra también se pueden escribir fórmulas.
Para hacerlo, hay que tildar la casilla correspondiente, “Fórmula LaTe”, que
aparece en la ventana de diálogo de la herramienta Inserta Texto y anotar la
fórmula según la sintaxis del LaTeX.
Para crear un texto que contenga una formula LaTeX así como texto
estático, se ingresa la parte estática del texto y luego se añade la fórmula
LaTeX entre un juego de símbolos de pesos ($).
Se pueden seleccionar los símbolos más usuales en la sintaxis de las
formulas más habituales, desde el menú desplegable que aparece a la
derecha de la casilla de LaTeX (ver figura 77: menú desplegable que
muestra las formulas más usadas en latex). Esto intercala los códigos de
LaTeX correspondientes en el campo de texto y deja ubicado el cursor entre
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un juego de llaves { }, Si se quiere crear un texto dinámico con la formula,
basta un clic sobre un objeto para que GeoGebra inserte su nombre así
como la sintaxis para el texto mixto. Algunos comandos importantes de
LaTeX aparecen en la tabla 2.
Figura 77: Menú Desplegable que Muestra las formulas más Usadas en Latex
Tabla 2: Comandos Importantes en Latex
LaTeX Entrada Resultado LaTeX Entrada Result
ado a \cdot b
x^{2}
\frac{a}{b}
a_{1}
\sqrt{x}
\sin\alpha + \cos\beta
\sqrt[n]{x}
\int_{a}^{b} x dx \vec{v}
\overline{AB}
\sum_{i=1}^{n} i^2
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4.2.2.9.4.- Inserta Imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Zona Gráfica,
para ello:
En primer lugar, se debe especificar el lugar donde ubicarla, de una de
las siguientes maneras:
Con un clic en la Zona Gráfica se fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o con un clic sobre un punto para establecerlo como su esquina
inferior izquierda.
Luego, en la caja de diálogo que se abre, se puede seleccionar una
imagen de los archivos de formato gráfico que aparecen listados,
almacenados en los directorios o carpetas que se examinan a tal efecto.
Pueden usarse las teclas de atajo Alt-clic para pegar una imagen
directamente desde el portapapeles del sistema en la Zona Gráfica.
Propiedades de las Imágenes a) Posición: La posición de una imagen puede ser absoluta en
pantalla o relativa al sistema de coordenadas; esto puede establecerse en la
casilla correspondiente de la pestaña ‘Básico’ de la Caja de Diálogo de
Propiedades de la imagen.
‘Esquina 1’: posición de la esquina izquierda inferior de la
imagen.
‘Esquina 2’: posición inferior derecha de la imagen
Sólo puede fijarse esta esquina cuando ya se estableció la previa,
porque de este modo se controla el ancho de la imagen.
b) Imagen de Fondo: Puede establecerse una imagen de fondo
tildando la casilla correspondiente a ‘Imagen de Fondo’ de la pestaña ‘Básico’
de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen (ver Caja de Diálogo de
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Propiedades de la imagen). Una imagen de fondo, yace tras los ejes de
coordenadas y ya no vuelve a resultar accesible a la selección vía ratón o
mouse. Para modificar la condición de "telón de fondo" de una imagen, se
debe abrir la Caja de Diálogo de Propiedades seleccionado el ítem
“Propiedades” del Menú Edita y quitar el tilde de la casilla correspondiente a
“Imagen de Fondo” de la pestaña “Básico”.
c) Transparencia: Una imagen puede pasar a ser transparente
para que puedan verse tanto los objetos como los ejes que queden tras ella.
Para fijar esta condición de transparencia de una imagen, se especifica para
el ‘Sombreado’ un valor entre 0% y 100% (ver Caja de Diálogo de
Propiedades de la imagen).
4.2.2.9.5.- Relación entre Dos Objetos
Con este modo se pueden seleccionar dos objetos para obtener
información sobre la relación que pudiera vincularlos, desplegada en una
ventana emergente; en la figura 78 se muestra un ejemplo de la relación
entre dos polígonos.
Figura 78: Relación entre Dos Polígonos
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4.2.2.10.- Herramientas Generales
Las herramientas que a continuación se describen están presentes en
otros menús y comandos, pero el usuario es el que decide cuál de ellas es
más cómoda usar; es por ello que a continuación se exponen todos los
modos del último menú desplegable de la barra de herramientas (ver figura 79: ítem de las herramientas generales).
Figura 79: Ítem de las Herramientas Generales
4.2.2.10.1- Desplaza Área Gráfica
Con esta herramienta, se puede arrastrar y soltar la Zona Gráfica para
cambiar la zona visible de esa área; también se puede desplazar la zona
gráfica estando cualquier herramienta activa, pulsando la tecla Shift y
arrastrándola con el ratón; con este mismo “truco” y las mismas condiciones
también pueden escalarse uno u otro eje.
4.2.2.10.2. Zoom de Acercamiento
Con un clic sobre cualquier punto de la Zona Gráfica, esta herramienta
produce un "zoom" de acercamiento.
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4.2.2.10.3. Zoom de Alejamiento
Haciendo un clic sobre cualquier punto de la Zona Gráfica, esta
herramienta produce un "zoom" de alejamiento respecto de la construcción.
4.2.2.10.4. Expone / Oculta Rótulo
Al hacer clic sobre un objeto, su rótulo se expone u oculta
alternativamente.
4.2.2.10.5. Expone / Oculta Objeto
Tras activar esta herramienta, basta seleccionar el objeto que se desee
exponer u ocultar y al pasar a otra herramienta, se aplicarán los cambios en
su estado de visibilidad. Cuando se activa esta herramienta, todos los objetos
que debieran estar ocultos aparecen resaltados en pantalla; de este modo,
fácilmente se vuelven a exponer los objetos ocultos si así se quiere.
4.2.2.10.6. Copia Estilo Visual
Esta herramienta permite copiar las propiedades visuales (como color,
dimensión, estilo lineal, etc.), desde un objeto a los de destino. En primer
lugar, debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades desean copiarse.
Luego, se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar
dichas propiedades.
4.2.2.10.7. Borra Objeto
Cuando está activa esta herramienta, basta con un clic sobre cada uno
de los objetos que se desee borrar (quedan eliminados, consecuentemente,
todos los que derivan y dependen del que fue borrado).
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4.3.- Ingreso Directo de Comandos a través del Campo de Entrada.
Esta opción permite crear, modificar y animar objetos de forma directa
desde el campo de entrada. Antes de definir y describir la diversidad de
comandos que posee GeoGebra y la forma de ingresarlos, es necesario
hacer una serie de aclaraciones que se deben tener presentes a la hora de
usar el programa:
Se debe presionar la tecla Enter tras ingresar la definición de un
objeto en el campo de entrada.
Debe estar activa la opción desplaza para poder seleccionar
objetos en cualquier ventana.
De no asignarle el nombre a un objeto, GeoGebra le otorga a cada
uno de los recién creados el que le sucede al previo en orden alfabético
Para establecer un índice en el nombre de un objeto, se emplea el
guión bajo. Por ejemplo A1 se anota como A_1 y SAB como s_{AB}.
En la ventana algebraica se exponen objetos libres los cuales
pueden ser modificados de las siguientes formas: ingresando su nombre y el
nuevo valor en el campo de entrada o cambiando el valor seleccionando la
opción Redefine del Menú Contextual (como se muestra en la figura 80)
ésta aparece haciendo clic con el botón derecho sobre el objeto o
simplemente dando doble clic, de este modo se abre la caja de diálogo de
Renombra.
Figura 80: Caja de Dialogo de un Objeto de la Ventana de Algebra
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Al ir anotando el nombre de un comando en la campo de entrada,
GeoGebra intenta completarlo para facilitar la tarea (tal como se muestra en
la figura 81: ejemplo de autocompletación de un comando en el campo de
entrada); esto implica que después de ingresadas las dos primeras letras se
completará con el nombre del primer comando del listado alfabético que las
tenga como primeras dos iniciales. Colocando el cursor entre los corchetes
y pulsando la tecla Enter, queda aceptado el comando sugerido y basta con
seguir ingresando las letras sucesivas del nombre para que el programa
adapte la sugerencia al siguiente comando que se adecúe a lo que se va
anotando.
Figura 81: Ejemplo de Autocompletación de un Comando en el
Campo de Entrada
Para ingresar números, coordenadas o ecuaciones se pueden
emplear expresiones aritméticas con paréntesis.
Teniendo en cuenta las indicaciones antes mencionadas, se puede
definir la variedad de comandos del GeoGebra para trabajar con números,
ángulos, rectas, secciones cónicas y funciones pudiéndose con ellos crear o
definir objetos.
4.3.1. - Funciones Pre–Definidas y Operaciones
Para ingresar números, coordenadas o ecuaciones se pueden emplear
las siguientes funciones pre-definidas y operaciones, éstas deben ingresarse
usando paréntesis y sin dejar espacio alguno entre el nombre de la función y
el paréntesis. Como se puede observar en la tabla 3, en general, los
nombres de las entradas son las iníciales en inglés de la operación
correspondiente.
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Tabla 3: Funciones Pre–Definidas y Operaciones.
Operación Forma de Entrada Suma Y Resta + o – según sea el caso Producto o Producto Escalar * o barra espaciadora División / Exponenciación ^ o se presiona Alt y el
numero que se desea usar Factorial ! Función Gamma gamma( ) Coordenada-X x( ) Coordenada-Y y( ) Valor Absoluto abs( ) Signo sgn( ) Raíz Cuadrada sqrt( ) Raíz Cúbica cbrt( ) Número Aleatorio Entre 0 Y 1 random( ) Función Exponencial exp( ) o ^x
Logaritmo (Natural, De E) ln( ) o log( ) Logaritmo De2 ld( ) Logaritmo De10 lg( ) Coseno cos( ) Seno sin( ) Tangente tan( ) Arco Coseno acos( ) Arco Seno asin( ) Arco Tangente atan( ) Coseno Hiperbólico cosh( ) Seno Hiperbólico sinh( ) Tangente Hiperbólica tanh( ) Coseno hiperbólico acosh( ) Seno hiperbólico asinh( ) Tangente hiperbólica atanh( ) Mayor Entero Menor O Igual Que floor( ) Menor Entero Mayor O Igual Que ceil( ) Redondeo round( )
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4.3.2.- Números y Ángulos
Si se anota un número (por ejemplo, 3), GeoGebra le asigna como
nombre una letra minúscula. Si se prefiere asignarle un nombre determinado,
es necesario anotarlo seguido del signo igual que antecederá al valor
numérico (por ejemplo, para crear un decimal p se anota en el campo de
entrada p = 15.45).Los números y grados utilizan el símbolo “.” como punto
decimal. También puede emplearse la constante (o simplemente se anota
pi) y la de Euler e (para ingresarlos se presiona simultáneamente Alt P o Alt E según sea el caso).
Cabe destacar que GeoGebra realiza todos los cálculos internos en
radianes. El símbolo ° (para ingresarlo se presiona simultáneamente las
teclas Alt O) no es sino una constante para convertir /180 de grados a
radianes; mas sin embargo, un ángulo puede ingresarse en grados o
radianes.Otros comandos relacionados con números y ángulos son:
Ángulo[número n]: convierte un número en un ángulo (resultando
entre 0 y 2 ).
RazónSimple[Punto A, Punto B, Punto C]: da por resultado la razón
simple entre tres puntos alineados, por ejemplo llámese A al punto de
origen, B es el punto final y C es el punto alineado, donde C = A + * AB.
División [número a, número b]: para obtener el número cociente
entero resultante de la división de un número a por un número b (Con a y b
perteneciente a los reales).
Resto[número a, número b]: para conocer el resto correspondiente
cuando un número a se divide por un número b (función modulo o resto),
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Longitud[list L]: se obtiene la longitud de la lista L (número de
elementos de la lista).
Para calcular los mínimos o máximos entre dos números a y b dados se
escribe Mín[número a, número b] y Máx[número a, número b]
respectivamente.
4.3.3.- Puntos y Vectores
Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenadas cartesianas o
polares; las letras mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores. Por
ejemplo el punto P=(a, b) o el vector p=(a, b) (Solo se pueden ingresar
valores reales, en el caso de que se ingresen variables éstas deben estar
previamente definidas). Existe una serie de comandos exclusivos
relacionados con puntos y vectores tales como:
Distancia[Punto A, Punto B]: determina la distancia entre dos puntos
cualesquiera A y B.
Punto[vector v]: muestra un punto en el vector v.
Punto[punto P, vector v]: suma un punto P más un vector v.
PuntoMedio[punto A, punto B]: expone el punto medio de dos puntos
cualesquiera A y B.
RazónDupla[punto A, punto B, punto C, punto D]: establece la razón
cruzada de cuatro puntos colineales, llámense: A, B, C y D, donde = RazónDeSegmentos[B, C, D] / RazónDeSegmentos[A, C, D]
Longitud[punto A]: establece la longitud del vector posición de un
punto A.
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Longitud[vector v]: determina la longitud de un vector v.
Vector[punto A, punto B]: expone el Vector desde un punto cualquiera
A un punto B.
Vector[punto A]: indica la posición vectorial de un punto cualquiera A.
Versor[vector v]: expone el vector de longitud unitaria, con la misma
dirección y orientación de un vector dado v.
PerpendicularVector[vector v]: traza el vector perpendicular de un
vector v. (El vector de coordenadas (a, b) tiene uno perpendicular de
coordenadas (- b, a).)
PerpendicularVersor[vector v]: traza el versor perpendicular de un
vector v
VectorCurvatura[punto A, curva c]: grafica el vector de una curva c en un punto A.
Bisectriz[punto A, punto B, punto C]: determina la Bisectriz angular
del ángulo definido por unos puntos A, B y C. El punto B en este caso es el
vértice de este ángulo.
Ángulo[punto A]: permite visualizar el ángulo entre eje-x y el vector
posición de un punto A.
Ángulo[punto A, punto B, punto C]: expone el ángulo entre los
segmentos BA y BC (entre 0 y 360°). El punto B en este caso es el vértice.
Ángulo[punto A, punto B, ángulo alpha]: muestra el ángulo de
amplitud trazado desde un punto B con vértice en un punto A. El punto
Rota[B, A, ] también se crea.
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Ángulo[vector v1, vector v2]: determina el ángulo entre dos vectores
cualesquiera v1 y v2 (entre 0 y 360°).
Ángulo[vector v]: expone el ángulo entre eje-x y un vector v.
Translada[punto A, vector v]: traslada un punto A por un vector v.
Translada[vector v, Punto P]: traslada un vector v a través de un
punto P.
LugarGeométrico[punto Q, punto P]: muestra el lugar geométrico de
un punto Q que depende del punto P. El punto P debe ser un punto sobre un
objeto (recta, segmento, circunferencia).
Rota[punto A, ángulo ]: rota un punto A por ángulo en torno al
origen de coordenadas.
Rota[punto A, ángulo , punto B]: Rota un punto A por ángulo en
torno al punto B.
Rota[vector v, ángulo ]: Rota un vector v por ángulo .
Refleja[punto A, punto B]: Refleja un punto A por punto un B.
Refleja[punto A, recta h]: Refleja un punto A por una recta h.
Dilata[punto A, número f, punto S]: Dilata un punto A desde un punto
S usando el factor f.
Se puede crear un punto que dependa de otro ya existente; de la
siguiente manera: sea A un punto previamente establecido, si se quiere que
un nuevo punto C tenga la misma abscisa de A se escribe C= (x(A), a) si se
quiere que dependa de la ordenada de A se ingresa: C= (a, y(A)).
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4.3.4.- Rectas
Para definir una recta, primero se anota el nombre de la ésta seguido
de dos puntos, ingresando luego la ecuación lineal en x y y o en forma
paramétrica. En ambos casos, se pueden emplear variables previamente
definidas (números, puntos, vectores) por ejemplo: se puede definir la recta
g ingresando la ecuación lineal con perteneciente a los
reales; o la ecuación paramétrica , con
pertenecientes a los reales; definiendo previamente el parámetro t. También
se puede obtener una recta especificando, en primer lugar los parámetros m
y b antes de ingresar la ecuación
Existen una serie de comandos relacionados con rectas, tales son:
Recta[punto A, punto B]: para determinar una recta que pasa por los
puntos A y B.
Recta[punto A, recta g]: para obtener una recta que pasa por un punto
A y es paralela a una recta g previamente definida.
Recta[punto A, vector v]: para trazar una recta que pasa por un punto
A y tiene la dirección de un vector v.
Punto[recta g]: para obtener el punto en una recta g previamente
definida.
Dirección[recta g]: para hallar el vector directriz de una recta g ya
definida (Una recta cuya ecuación es tiene vector directriz
)
Versor[recta g]: muestra el vector directriz de de una recta g.
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PerpendicularVector[recta g]: da a conocer el Vector perpendicular de
una recta g (Una recta con ecuación tiene vector
perpendicular ).
PerpendicularVersor[recta g]: muestra el versor perpendicular a una
recta g.
Distancia[Recta g, Recta h] y Distancia[Punto, Recta]: calcula la
distancia entre dos rectas g y h, o en entre un punto y una recta
respectivamente.
BisectrizAngular[recta g, recta h]: expone las bisectrices angulares
de los ángulos formados por unas rectas g y h.
Ángulo[recta g, recta h]: determina el ángulo (comprendido entre 0 y
360°) entre dos vectores directrices de dos rectas g y h.
Intersecta[recta g, recta h]: expone el punto de intersección entre las
rectas g y h.
Translada[recta g, vector v]: traslada una recta g a través de un
vector v.
Rota[recta g, ángulo ]: rota una recta g por un ángulo en torno al
origen de coordenadas.
Rota[recta g, ángulo , punto B]: rota una recta g por ángulo en
torno a un punto B.
Refleja[recta g, punto B]: Refleja una recta g por un punto B.
Refleja[recta g, recta h]: Refleja una recta g por recta h.
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Dilata[recta h, número f, punto S]: Dilata una recta h desde un punto
S usando un factor f.
4.3.5.- Semirrectas
Para obtener una semirrecta que se inicia en el punto A y pasa por el
punto B se escribe: Semirrecta[punto A, punto B].
Si lo que se desea es una semirrecta que se inicia en un punto A y tiene
la dirección de un vector v se ingresa el siguiente comando:
Semirrecta[punto A, vector v].
4.3.6.- Segmentos
Para trazar un segmento entre dos puntos A y B se ingresa el comando
Segmento[punto A, punto B] y para conocer la mediatriz de un segmento
se escribe: Mediatriz[segmento s] y para obtener la mediatriz del segmento
que tiene como extremos un punto A y un punto B se ingresa: Mediatriz[punto A, punto B]:
Por otro lado si lo que se quiere es trazar un segmento con una
Longitud a y un punto inicial A (El punto final del segmento también se crea)
se escribe: Segmento[punto A, número a]. Además si se desea hallar el
punto medio de un segmento s se escribe: PuntoMedio[segmento s]
Si se quiere establecer la Razón de Segmentos de tres puntos
colineales A, B y C, donde C = A + * AB se ingresa el comando
RazóndeSegmentos[punto A, punto B, punto C]
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4.3.7.- Polígonos
Para crear un polígono definido por los puntos A,B,C,D…. dados se
debe ingresar el comando: Polígono[punto A, punto B, punto C,...].
Si lo que se quiere es dibujar un Polígono regular con n vértices se
escribe el comando: Polígono[punto A, punto B, número n]. Para conocer
un Punto en un polígono poly (nombre que le asigna automáticamente
GeoGebra a los polígonos) se ingresa el comando: Punto[polígono poly].
Para calcular el área de un polígono definido por unos puntos dados A, B, C,... se escribe: Area[A, B, C, ...] y para calcular los ángulos internos de
un polígono dado se ingresa el comando: Ángulo[nombre del polígono]. Si
se desea conocer el perímetro de un polígono poly dado, se ingresa el
comando Perímetro[poly] .
Si se desea determinar el Centroide de un polígono poly ya definido, se
escribe el comando: Centroide[polígono poly]. Si lo que se quiere es
trasladar un polígono por un vector v se ingresa lo siguiente:
Translada[polígono poly, vector v] (Se crean también nuevos vértices y
segmentos). Para rotar un polígono poly por un ángulo en torno al origen
de coordenadas o por un ángulo en torno al punto B se ingresan,
respectivamente y según sea el caso, los siguientes comandos:
Rota[polígono poly, ángulo ] y Rota[polígono poly, ángulo , punto B].
Para reflejar un polígono por un punto B o por una recta h se escriben los
siguientes comandos: Refleja[polígono poly, punto B] o Refleja[polígono
poly, recta h]. Para dilatar un polígono desde punto S usando un factor f se
escribe: Dilata[polígono poly, número f, punto S]. En los casos de trasladar, rotar, reflejar y dilatar; se crean también
nuevos vértices y segmentos en los nuevos polígonos.
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4.3.8.- Secciones Cónicas
Para obtener una sección cónica se ingresa como una ecuación
cuadrática en x y y. Se pueden emplear variables previamente definidas
(números, puntos, vectores). Si se desea asignarle un nombre a la cónica,
éste debe ser anotado encabezando la entrada seguido obligatoriamente de
los dos puntos. Para calcular el área de una cónica (circunferencia o elipse)
se escribe Area[nombre de la cónica ].
4.3.8.1.- Circunferencias
Existen varios comandos que se pueden ingresar en el campo de
entrada, para dibujar circunferencias; entre ellos están:
Circunferencia[punto M, número r]: grafica una circunferencia con
centro en un punto M y con un radio r. Circunferencia[punto M, segmento s]: traza la circunferencia con
centro un punto M y radio de la longitud de s.
Circunferencia[punto M, punto A]: describe la circunferencia con
centro en un punto M y que pasa por un punto A. Circunferencia[punto A, punto B, punto C]: grafica la circunferencia
que pasa por tres puntos A, B y C ya definidos y no colineales.
CírculoOsculante[punto A, función de x ]: dibuja la circunferencia
osculante de una función de x en un punto A.
CírculoOsculante[punto A, curva c]: ilustra la circunferencia
osculante de una curva c en un punto A.
Radio[C]: determina el radio de una circunferencia c dada.
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4.3.8.2.- Elipses:
Los comandos relacionados con elipses son:
Elipse[punto F, punto G, número a]: se obtiene una Elipse con puntos
focales F y G y eje principal de longitud a. Condición: 2a > Distancia[F, G].
Elipse[punto F, punto G, segmento s]: grafica una Elipse con puntos
focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la de un segmento s
(a = Longitud[s]).
Para determinar el área de una cónica c (circunferencia o elipse) se usa
el comando: Area[cónica c].
Para establecer el perímetro de una cónica c (elipse o circunferencia)
dada, se escribe: PeriCónica[cónica c].
Arco[cónica c, punto A, punto B]: determina el arco de sección
cónica entre dos puntos A y B en una sección cónica c (circunferencia o
elipse).
4.3.8.3.- Hipérbola
Para graficar hipérbolas se pueden ingresar los siguientes comandos en
el campo de entrada.
Hipérbola[punto F, punto G, número a]: traza una Hipérbola con
puntos focales F y G y eje principal de longitud a Condición: 0 < 2a <
Distancia[F, G].
Hipérbola[punto F, punto G, segmento s]: grafica una Hipérbola con
puntos focales F y G, siendo la longitud del eje principal igual a la de un
segmento s (a = Longitud[s]).
Dada una hipérbola cualquiera, se pueden obtener sus asíntotas
ingresando el comando: Asíntota[hipérbola h]. Ejemplo: sea H: 9x^2 - 30y^2 = 19 para obtener las asíntotas se escribe: asíntota[H] como muestra
el ejemplo en la figura 82, GeoGebra se encarga de buscarlas y rotularlas.
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Figura 82: Ejemplo de las Asíntotas de una Hipérbola
4.3.8.4.- Parábola.
Para graficar una Parábola con un punto focal F y una directriz g se
ingresa el comando Parábola[punto F, recta g].
Dada una parábola P cualquiera se puede determinar su directriz a
través del comando Directriz[parábola p]. Para conocer el Parámetro de
una parábola P (distancia entre directriz y foco) se escribe el comando:
Parámetro[parábola p].
Además de los comandos antes mencionados, se puede obtener una
cónica cualquiera dados 5 puntos (a lo sumo dos de los puntos dados son
colineales) a través del comando: Cónica[punto A, punto B, punto C,
punto D, punto E].
Para determinar la excentricidad de una Cónica c dada, se escribe el
comando: Excentricidad[cónica c].
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Para obtener los focos (todos) de una cónica c dada, se introduce el
comando: Foco[cónica c].
Si se quieren conocer los vértices de una cónica c se introduce el
comando: Vértice[cónica c]Para conocer los ejes (principal y secundario) de
una sección cónica se anota el comando: Ejes[cónica c].
Si se desea determinar por separado el eje principal y secundario de
una sección cónica c dada; además de determinar sus respectivas
longitudes; se ingresan los siguientes comandos: PrimerEje[cónica c];
LongitudPrimerEje[cónica c]. y/o SegundoEje[cónica c],
LongitudSegundoEje[cónica c].
También hay otros comandos relacionados con secciones cónicas,
estos son:
Punto[cónica c]: para trazar un Punto en una sección cónica c
(circunferencia, elipse, hipérbola).
Centro[cónica c]: para obtener el Centro de una sección cónica c
(circunferencia, elipse, hipérbola).
Tangente[punto A, cónica c]: dibuja todas las rectas tangentes que
pasan por un punto A y son tangentes a una sección cónica c.
Tangente[recta g, cónica c]: grafica todas las rectas tangentes a una
sección cónica c que son paralelas a una recta g.
Diámetro[recta g , cónica c]: indica el Diámetro paralelo a una recta g
relativo a una sección cónica c.
Diámetro[vector v, cónica c]: señala el Diámetro con un vector
directriz v relativo a una sección cónica c.
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Intersecta[recta g, cónica c]: expone todos los puntos de intersección
de una recta g y una cónica c definidas (máximo 2).
Intersecta[recta g, cónica c, número n]: determina el punto número n
de intersección de una recta g y una sección cónica c.
Intersecta[cónica c1, cónica c2]: muestra todos los puntos de
intersección de secciones cónicas c1 y c2 definidas previamente (máximo 4).
Intersecta[cónica c1, cónica c2, número n]: presenta el punto número
n de intersección de secciones cónicas c1 y c2.
Polar[punto A, cónica c]: representa gráficamente la recta polar de un
punto A relativo a una sección cónica c ya definidos.
Ángulo[cónica c]: revela el ángulo de revolución del eje principal de
una sección cónica c.
Arco[cónica c, número t1, número t2]: fija el arco de la sección cónica
entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre una sección cónica c para los
siguientes formatos paramétricos:
Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la
circunferencia.
Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del
primer eje y del segundo respectivamente
Sector[cónica c, punto A, punto B]: establece el sector de una
sección cónica entre dos puntos A y B sobre una cónica c (circunferencia o
elipse).
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Sector[cónica c, número t1, número t2]: sector de una sección cónica
entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica c para los
siguientes formatos paramétricos:
Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la
circunferencia
Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del primer
eje y del segundo, respectivamente.
Translada[cónica c, vector v]: traslada una cónica c a través de un
vector v.
Rota[cónica c, ángulo ]: rota una sección cónica c por ángulo en
torno al origen de coordenadas.
Rota[cónica c, ángulo , punto B]: rota una sección cónica c por
ángulo en torno a un punto B.
Refleja[cónica c, punto B]: refleja una sección cónica c por un punto B
Refleja[cónica c, recta h]: refleja una sección cónica c por medio de
una recta h.
Dilata[cónica c, número f, punto S]: dilata una sección cónica c desde
un punto S usando un factor f .
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4.3.9.- Funciones
En GeoGebra las funciones se deben expresar como dependientes de
x, y se ingresan usando el siguiente comando: f(x)= función en x (el nombre
de la función puede ser cualquier letra o símbolo). Por ejemplo: g(x)=sin(x-
1/x^2+3) (ver figura 83: ejemplo de una función previamente rotulada en el
campo de entrada).
Figura 83: Ejemplo de una Función Rotulada en el Campo de Entrada
También puede ingresarse el valor de una función sin haberla rotulado
antes, GeoGebra automáticamente le asigna un nombre a la función. Por
ejemplo; se ingresa en el campo de entrada la función ln(1/x+1)+ (en la
figura 84 se muestra el ejemplo de esta grafica sin rotular).
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Figura 84: Ejemplo de una Función sin Rotularla en el Campo de
Entrada
Se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos,
vectores) y otras funciones; GeoGebra permite además el ingreso de
funciones definidas en un intervalo para ello se escribe el comando:
Función[función de x, número a, número b]. Función, es igual a f en el
intervalo [a, b] y no definida fuera de éste; con a y b perteneciente a los
números reales y a b.
Ejemplo: función[sin(x), ] (ver figura 85: ejemplo de función
definida en un intervalo)
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Figura 85: Ejemplo de Función Definida en un Intervalo También se pueden ingresar funciones condicionales (por partes) y
para ello se usa el comando Booleano si; insertando el comando del
siguiente modo: nombre de la función = si[x función de x, función de
x]. Esto ofrece una función para los x < a y otra función para x a, siendo a
cualquier numero perteneciente a los reales.
Ejemplo: f(x)= si[x , x^2,ln(x)]. Ofrece una función igual a:
x^2 para x < 1 y
ln(x) para x 1.
Esta función se puede visualizar en la figura 86.
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Figura 86: Ejemplo de una Función Por Partes
4.3.9.1.- Polinomios
Dentro de la gama de funciones están los polinomios, y para estos
existe una serie de comandos para trabajar con el GeoGebra; estos son:
Polinomio[Función f]: establece el polinomio desarrollado de una
función f.
Polinomio[Lista de n puntos]: crea el polinomio de interpolación de
grado n-1 a través de los puntos dados.
PolinomioTaylor[Función, Número a, Número n]: crea el desarrollo
de las serie de potencias de orden n para una función en torno a un punto
x = a.
Para hallar intersecciones entre polinomios o polinomios y rectas se
ingresan los siguientes comandos.
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Intersecta[polinomio f1, polinomio f2]: indica todos los punto de
intersecciones de los polinomios f1 y f2.
Intersecta[polinomio f1, polinomio f2, número n]: expone el punto
número n de intersección entre los polinomios f1 y f2
Intersecta[polinomio f, recta g]: reproduce todos los puntos de
intersección entre un polinomio f y una recta g.
Intersecta[polinomio f, recta g, número n]: describe el punto número
n de intersección de un polinomio f y una recta g.
4.3.9.2. Derivadas:
Se pueden obtener con GeoGebra derivadas de funciones ingresando
los comandos: derivada[función en x] o dederivada[función de x, n] para
cualquier n perteneciente a los naturales; este comando se usa para calcular
la derivada de orden n de una función en x. Se puede usar el símbolo: ’, ’’, ’’’… para la determinar la primera, segunda, tercera…. derivada de una
función en x previamente definida.
Ejemplo: sea f(x)=tan(x) (azul); para calcular la primera derivada se
escribe solamente f’(x) (morado). (Quedando las funciones tal y como se
muestra en la figura 87).
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Figura 87: Ejemplo de una Función Derivada
4.3.9.3.- Integrales
Se pueden calcular integrales de funciones; para ello se debe ingresar
el comando Integral[función f], esto para la integral Indefinida de una
función f; para calcular la integral definida de una función desde un número
a a un número b se escribe: Integral[función de x, a, b], para cualquier a, b
perteneciente a los reales (este comando además traza el área entre el
gráfico de la función y el eje x). Para obtener la integral definida de la
diferencia de dos funciones cualesquiera f(x) - g(x) en el intervalo [a, b] y la
grafica del área entre los entre dichas funciones, se ingresa el comando:
Integral[Función f, Función g, Número a, Número b].
Por ejemplo, si se quiere conocer el área entre dos curvas; sea
f=función[sin(x+7)],y g= función[exp(x-2)]. Determinar el aérea bajo la
curva de entre las funciones f y g en el intervalo [– , ].
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Para determinar el área se ingresa el comando Integral[f, g, - , ].
Quedando en la gráfica tal y como se ve en la figura 88:
Figura 88: Ejemplo del Área entre Dos Funciones
Otros comandos relacionados con funciones son:
Curvatura[Punto, Función]: traza la curvatura de una función en un
punto.
Para conocer la longitud del gráfico de una función f en un intervalo
[x1, x2] se escribe: Longitud[Función f, Número x1, Número x2 ]. Si lo que
se quiere es saber la longitud del gráfico de una función entre dos puntos A y
B se ingresa el comando Longitud[Función, Punto A, Punto B]. (Si los
puntos dados no pertenecieran al gráficos de la función, se tomarán sus
correspondientes coordenadas x para determina el intervalo).
SumaInferior[función f, número a, número b, número n] o
SumaSuperior[función f, número a, número b, número n]: indica la suma
inferior de una función f en un intervalo [a, b] o la Suma superior de la
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función f en el intervalo [a, b] con n rectángulos. Estos comandos también
trazan los rectángulos de la suma inferior.
Iteración[función f, número x0, número n]: Itera una función f, n
veces usando un valor inicial dado x0.
Punto[función f]: traza un punto en una función f.
Intersecta[función f, función g, punto A]: determina el punto de
intersección de funciones f y g con punto inicial A (por método de Newton).
Intersecta[función f, recta g, punto A]: establece el punto de
intersección de función f y recta g con punto inicial A (a través del método de
Newton).
Raíz[polinomio f]: expone como puntos, todas las raíces de un
polinomio f.
Raíz[función f, número a]: indica la raíz de una función f con valor
inicial a (método de Newton).
Raíz[función f, número a, número b]: permite visualizar la raíz de una
función f en un intervalo [a, b].
Extremo[polinomio f]: determina como puntos, todo extremos local de
un polinomio f .
PuntoInflexión[polinomio f]: expone todo punto de inflexión de un
polinomio f.
Tangente[número a, función f]: muestra las tangente a una función
f(x) en x = a.
Tangente[punto A, función f]: presenta las tangentes a una función
f(x) en x = x(A).
VectorCurvatura[punto A, función f]: traza el vector curvatura de una
función f en el punto A.
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Translada[función c, vector v]: traslada una función f a través de un
vector v.
4.3.10.- Curvas Paramétricas
Las curvas paramétricas pueden usarse como funciones en
expresiones aritméticas, y los comandos relacionados con estas son:
Curva[expresión e1, expresión e2, parámetro t, número a, número
b]: determina la curva paramétrica cartesiana dados la expresión en x e1 y la
expresión en y e2 (usando el parámetro t) en el intervalo establecido [a, b].
Derivada[curva c]: expone la derivada de una curva c.
Usando el ratón puede ubicarse un punto en una curva apelando al
modo “Nuevo Punto” como los parámetros a y b son dinámicos, pueden
emplearse variables deslizantes allí.
Para conocer la longitud de la curva c entre números a y b se ingresa el
comando Longitud[curva c, número a, número b] y para obtener la
Longitud de la curva c entre dos puntos A y B en la curva se escribe:
Longitud[curva c, punto A, punto B].
Para determinar la curvatura de la curva c en punto A se escribe el
comando: Curvatura[punto A, curva c]. Para graficar el Vector de una
curva c en un punto A se ingresa: VectorCurvatura[punto A, curva c].
Tangente[punto A, curva c] se obtiene la tangente a la curva c en el
punto A.
4.3.11.- Arco y Sector
4.3.11.1.- Semicircunferencia
Semicircunferencia[punto A, punto B]: muestra la semicircunferencia
por encima del segmento formado por los puntos A y B.
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4.3.11.2.- Arco Circular
ArcoCircular[punto M, punto A, punto B]: expone el arco circular con
punto medio M entre los puntos A y B. Cabe destacar que el punto B no
debe necesariamente, estar sobre el arco.
ArcoCircumcircular[punto A, punto B, punto C]: determina el arco
circular que cruza los tres puntos A, B y C.
SectorCircular [punto M, punto A, punto B]: grafica el sector circular
con punto medio M entre dos puntos A y B, el punto B no debe
necesariamente pertenecer al arco.
SectorCircumcircular [punto A, punto B, punto C]: expone el sector
circular que pasa por los tres puntos A, B y C.
4.3.12.- Secuencia
Existe una serie de comandos propios relacionados con listas de
objetos que poseen una relación. Los comandos son:
Secuencia[expresión e, variable i, número a, número b]: expone la
lista de objetos creados usando la expresión e y el índice i de un rango que
va desde el número a al número b.
Secuencia[expresión e, variable i, número a, número b, número s]: Lista de objetos creados usando la expresión e y el índice i de un rango que
va desde el número a al número b dado un paso de medida s.
Para los comandos descritos, como los parámetros a y b son
dinámicos, se pueden emplear en este caso variables de deslizamiento
Elemento[lista L, número n]: determina el enésimo elemento n de una
lista L.
Longitud[lista L]: muestra la longitud de una lista L.
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Mín[lista L]: expone el mínimo elemento de una lista L y Máx[lista L]:
expone el máximo elemento de una lista L
4.4.- Características Especiales del GeoGebra 3.00
4.4.1.- Visibilidad Condicional
Además de decidir sencillamente, si se exponen u ocultan ciertos
objetos, se puede también establecer el régimen de visibilidad en función de
ciertas condiciones de las que dependerá la exposición.
4.4.1.1.- Expone u Oculta Condicionalmente Objetos
Puede emplearse la herramienta Ocultar / Exponer Objetos para crear
una casilla que controle la visibilidad de uno o más objetos existentes en
pantalla. Alternativamente, también puede crearse una Variable Booleana
(como b = cierto) usando el Campo de Entrada y haciéndola visible como
casillero en la Zona Gráfica al cambiar su estado de visibilidad (por ejemplo,
usando la herramienta Expone / Oculta Objeto o el Menú Contextual). Para
usar la variable Booleana como una condición para la visibilidad de ciertos
objetos, puede ser necesario seguir las etapas descritas a continuación: en la
Caja de Diálogo de Propiedades, puede anotarse una condición que
establezca la visibilidad de un objeto en la pestaña “Avanzado”. (Se pueden
seleccionar los operadores lógicos (como., , , , ) del menú desplegable
para crear la formulación de las condiciones).
Ejemplo:
Si a es un deslizador, entonces se puede plantear la condición a < 2;
esto significa que el correspondiente objeto sólo va a exponerse en la Zona
Gráfica si el valor del deslizador es menor que 2.
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Si b es una variable Booleana, puede usarse como una condición. El
objeto correspondiente va a exponerse cuando el valor de b sea verdadero y
ocultarse, cuando sea falso.
Si g y h son dos rectas y se quisiera que se expusiera un texto cuando
fuesen paralelas, podría usarse g h como cláusula condicional para el
texto.
4.4.2.- Colores y Estilos
En GeoGebra, se puede cambiar el color de los objetos desde la
pestaña “Color” de la Caja de Diálogo de Propiedades. También se puede
animar los deslizadores con diferentes velocidades para ver cómo el color del
un objeto que dependa de éstos cambie automáticamente. Además se puede
cambiar el estilo (grosor de la línea que lo forma) desde la pestaña “estilo”
4.4.3.- Rótulos
Cada objeto tiene un único nombre que puede usarse para rotularlo en
la Vista Gráfica; además, un objeto también puede distinguirse por su valor o,
simultáneamente, por su nombre y valor. Se puede cambiar la exposición de
este rótulo fijando en la Caja de Diálogo de Propiedades, en la pestaña
‘Básico’, dentro de la selección correspondiente a la opción ‘Nombre’, ‘Valor’,
o ‘Nombre y Valor’ en el menú desplegable cercano a la casilla ‘Expone
Rótulo’.
Se pueden mostrar u ocultar los rótulos de los objetos en la Vista
Gráfica de diferentes maneras:
Seleccionar la herramienta “Expone / Oculta Rótulo” y con un clic
sobre el objeto cuyo rótulo se desea establecer su visibilidad.
Abrir el Menú Contextual para el objeto en cuestión y seleccionar
“Expone Rótulo”.
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Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto deseado y tildar o
destildar la casilla ‘Expone Rótulo’ de la pestaña ‘Básico’ (ver figura 89: caja
de propiedades de un objeto).
Figura 89: Caja de Dialogo de Propiedades de un Objeto
4.4.4.- Redefine
La herramienta que permite la redefinición de objetos es sumamente
versátil para una modificación de lo construido. Cabe destacar que de este
modo también es posible cambiar el orden de las etapas o pasos de
construcción en el Protocolo de Construcción.
Resulta muy útil introducir cambios tras la construcción de cualquier
objeto. Esto puede realizarse de las formas siguientes:
Seleccionando la herramienta “Elige y Mueve” y sobre cualquier
objeto de la Zona Algebraica y hacer doble clic.
Para los objetos libres, al hacerle un doble clic al objeto
se abre un campo de edición que permite cambiar directamente su
representación algebraica tal como se muestra en la figura 90;
modificación que se aplica al pulsar la tecla Enter.
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140
Figura 90: Redefinición de un Objeto Libre
Para los objetos dependientes al hacer un doble clic
sobre éstos se abre la caja de diálogo de Redefine para obrar en
tal sentido tal como se expone en la figura 91.
Figura 91: Redefinición de un Objeto Dependiente
Seleccionando la herramienta “Elige y Mueve” sobre cualquier objeto
de la Zona Gráfica hacer doble clic para abrir la caja de diálogo de Redefine
y obrar en tal sentido.
Cambiar cualquier objeto anotando su nombre y la nueva definición
en el Campo de Entrada.
Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar la definición de un
objeto en la pestaña “Básico”.
Los objetos fijos no pueden ser redefinidos. Para redefinir un objeto fijo,
se precisa liberarlo usando la Caja de Diálogo de Propiedades
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Ejemplos:
La conversión de una recta L que pasa por dos puntos A y B en un
segmento. Basta abrir la caja de diálogo de Redefine para L y anotar el
comando Segmento[A, B] en el campo de texto emergente.
4.4.5.- Rastro y Lugar Geométrico
4.4.5.1. Rastro
Puede hacerse que los objetos geométricos dejen un trazo como huella
a medida que se los desplazan por la Zona Gráfica, para ello se apela al
Menú Contextual para activar o desactivarlo “Activa Rastro”. Cuando se
modifica la construcción o se desplaza directamente, el objeto con rastro
activado, aparece su recorrido “trazado”. Se puede desactivar el rastro de un
objeto, destildando “Activa Rastro” en el Menú Contextual. Con “Actualiza
Vistas” del “menú Visualiza”, se elimina todo trazo.
A continuación se puede observar en la figura 92 el trazo (punteado
azul) que deja el punto B del vector u a medida que se mueve el dial a del
cual depende.
Figura 92: Trazo Dibujado por un Objeto
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4.4.5.2.- Lugar Geométrico
Se puede crear automáticamente el lugar geométrico de un punto
después de emplear la herramienta Lugar Geométrico con el ratón, o
anotando tal comando en el Campo de Entrada. El punto cuyo lugar
geométrico se desea crear depende del movimiento de otros puntos, cuyo
desplazamiento está restringido a recorridos a lo largo de un objeto (sea una
recta, segmento, circunferencia).
Ejemplo: crear un segmento a entre los puntos A = (1, -2) y B = (7, -2), ubicar un punto C en el segmento, restringido a desplazarse a lo largo del
segmento a creado entre A y B. Crear un punto P que depende del punto C
(por ejemplo, P = (x(C), x(C)^2)).
Usar la herramienta o el comando Lugar Geométrico para crear el lugar
geométrico del punto P que depende de C a través de:
Herramienta Lugar Geométrico y Clic sobre el punto P en primer
lugar y luego en el punto C.
Anotar LugarGeométrico [P, C] en el Campo de Entrada
El lugar geométrico creado en este ejemplo es el gráfico de una
parábola en el intervalo [1, + ) (ver figura 93).
Figura 93: Lugar Geométrico de una Parábola
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143
CAPITULO V
PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ELABORACIÓN DE GRÁFICAS DE ALGUNAS ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS
Se puede alcanzar un mejor dominio del programa GeoGebra 3.00
realizando actividades que ameritan la utilización conjunta de varios de sus
modos y comandos, tal es el caso de la construcción de la gráfica del seno,
el coseno, la tangente y la cicloide, algunas de las cuales se realizarán a
continuación de una forma organizada y teniendo en cuenta las posibles
complicaciones que un estudiante inexperto en el programa pueda tener
durante dicha construcción. Seguido de cada párrafo se agregará una figura
mostrando geométricamente lo que éste indica a manera de facilitar su
comprensión. Cabe destacar que los métodos que se utilizaron solo se
presentan como una alternativa para la elaboración de las siguientes
gráficas, se invita al lector a encontrar y/o utilizar procedimientos alternativos
que le permitan obtener los mismos resultados.
5.1.- Construcción de la Gráfica de la Función Seno a Partir del
Círculo Trigonométrico.
Para elaborar la gráfica del seno se debe comenzar con la
construcción del círculo unitario con centro en el origen del sistema de
coordenadas, para ello se utiliza preferiblemente el modo “circunferencia dados su centro y radio” de la barra de herramientas; en la figura 94 se
muestra el circulo unitario utilizado para la construcción.
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144
Figura 94: Circulo Unitario con Centro en el Origen de Coordenadas
A continuación se construye una recta paralela al eje x (en nuestro
caso se utilizará la recta y=2) sobre la cual se coloca un punto B que debe
desplazarse a lo largo de la misma, tal como se puede observar en la figura 95; dicho punto debe construirse en cualquier parte de la recta excepto en la
coordenada (0,2), de violar esta condición el punto no podría desplazarse
sobre la recta (el lector puede comprobarlo fácilmente), una vez construido
debe desplazarse hasta la coordenada (0,2). Este punto servirá en su
momento de “control principal” ya que a partir de él, se moverán
automáticamente los demás objetos de la grafica.
Figura 95: Recta Paralela al Eje de las X y selección de un Punto
sobre la Recta
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145
Es necesario construir un punto, llamémoslo D que gire alrededor de la
circunferencia, para ello primero se debe construir un punto C con
coordenada (1,0) que formará un segmento de recta con el punto A, dicho
segmento servirá de referencia para medir el ángulo formado entre éste y
cada uno de los segmentos que se formaran entre el punto A y el punto D
conforme este ultimo gira, como se quiere, alrededor de la circunferencia.
La construcción del punto C no debería presentar inconveniente
alguno, es un poco más “complejo” encontrar la forma de hacer que el punto
D se mueva alrededor de la circunferencia con solo desplazar el punto B. Es
importante observar y analizar qué es lo que en sí se desea realizar, en este
caso se quiere que: el punto D gire alrededor del punto A, pero también se
quiere que este punto D dependa del movimiento del punto B (Control
principal), por lo tanto la coordenada x de D debe tener la misma coordenada
x de B; llevando esto al lenguaje del programa se debe escribir en el campo
de entrada lo siguiente: D=Rota[C, x(B), A] (lo que significa que el punto D
rota a partir del punto C, con coordenada x de B en torno a C) y luego
presionar la tecla enter. Se puede desplazar el punto B para ver los efectos
que se producen (en la figura 96: desplazamiento de un punto “D” sobre la
circunferencia a partir del movimiento de un punto “B” situado sobre la recta).
Figura 96: Desplazamiento de un Punto “D” sobre la Circunferencia a
partir del Movimiento del Punto “B”
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146
Aunque no es obligatorio se pueden elaborar los segmentos antes
mencionados utilizando el modo “segmento entre dos puntos” y luego
haciendo clic en los puntos C y A, y de igual manera para los puntos D y A. También si se desea ver el ángulo que forman estos dos segmentos entre sí,
se puede utilizar la opción “ángulo” ubicada en la barra de herramientas y
luego hacer clic en los puntos C, A y D respectivamente. Este ángulo
cambiará conforme se desplaza el punto B; la figura 97 esquematiza la
amplitud del ángulo formado entre los segmentos CA y AD.
Figura 97: Amplitud del Ángulo Formado entre Los Segmentos CA y AD.
Hasta el momento no se ha conseguido trazar la gráfica deseada, tal
vez de entrada no sea tan obvio encontrar la forma de construir un punto
que se desplace esbozando la gráfica del seno. Posiblemente, después de
intentar hacerlo una y otra vez, sería interesante concluir que lo que se
necesita al respecto es un punto E que tome la coordenada x de B y la
coordenada y de D; esto puede escribirse en el campo de entrada de la
siguiente forma: E= (x(B),y(D)). Es importante ver el trazo que deja este
punto E a medida que se mueve, y para ello se debe activar esta opción
haciendo clic con el botón derecho del ratón y luego en la opción “activar
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147
trazo”. Desplazando el punto B se puede observar que la gráfica queda
finalmente construida y los valores que se producen para cada ángulo son
totalmente acertados. Si se desea una construcción más explícita, se pueden
agregar segmentos entre los puntos B y E, así como también entre los
puntos D y E, además de establecer una distancia de entre cada punto
del eje de las abscisas; esto se hace abriendo la caja de propiedades de la
vista gráfica. También se pueden modificar tanto el color, el estilo y la
decoración de cada una de las líneas de los segmentos haciendo clic sobre
cada uno de ellos con el botón derecho del ratón y luego haciendo clic en
propiedades, para finalmente obtener la grafica de la función seno, tal como
se muestra en la figura 98 (adjunto al presente trabajo está un CD que
contiene la hoja dinámica de ésta función).
Figura 98: Grafica de la Función Seno Construida a partir del
Circulo Trigonométrico
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148
5.2.- Construcción de la Gráfica de la Función Coseno a Partir del
Círculo Trigonométrico.
La grafica de la función coseno tiene características muy similares a la
del seno; la construcción con el GeoGebra de la función coseno es análoga a
la construcción de la función seno, es por ello que se deja como ejercicio
para el lector elaborarla (en el CD anexo se puede visualizar la hoja dinámica
de la función coseno).
5.3.- Construcción de la Gráfica de la Función Tangente a Partir del Círculo Trigonométrico.
Asumiendo que el lector ya tiene un buen dominio en lo que se refiere
al manejo de la barra de herramientas y los comandos básicos de GeoGebra
3.00, se llevará a cabo la elaboración de la gráfica de la función tangente de
una manera más directa, sin mencionar detalladamente los pasos para las
construcciones básicas.
Se comenzará con la elaboración del punto O = (0,0) y seguidamente
se debe construir el círculo unitario, llamémoslo c, con centro en el origen
(ver figura 99: circulo unitario con centro en el origen).
Figura 99: Circulo Unitario con Centro en el Origen
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A continuación se coloca un punto, llamémoslo A, en la coordenada
(1,0), que coincide con una intersección entre el circulo c y el eje x.
Seguidamente se construye la recta a, que pasa por el punto A y es paralela
al eje y (en la figura 100 se muestra la recta al paralela al eje y y
perpendicular al círculo unitario); ésta se obtiene directamente colocando en
el campo de entrada su ecuación x=1.
Figura 100: Recta Paralela al Eje y y Perpendicular al Círculo Unitario
Al igual que en las construcciones anteriores, se debe disponer de un
punto que sirva de control para generar el trazo de la gráfica, primero se
construirá el punto B en cualquier parte del eje y, preferiblemente en un
lugar donde no interfiera con el circulo, en éste caso se colocará en la
coordenada (0,-3). Luego se construye una recta m, paralela al eje x y que
pasa por el punto B, la cual se obtiene colocando en el campo de entrada lo
siguiente: m=Recta[B, Eje_x]. Luego se coloca un punto, Llamémoslo D,
sobre la recta m; este será el “control principal” (ver figura 101, donde se
muestra la recta paralela al eje x y la selección del punto control “D”).
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Figura 101: Recta Paralela al Eje x sobre la cual está el Punto Control D
Una vez colocado el “control principal”, se sigue con la construcción de
un número que tomará el valor de la coordenada x de D; éste se obtiene
escribiendo en el campo de entrada el comando: =x(D). Posteriormente se
construye un punto P que debe rotar a partir de A, a medida que cambia el
valor de en torno al punto O; para ello se ingresa P= Rota[A, , O] en el
campo de entradas. (Deslice el punto D y vea lo que sucede con el punto P).
Figura 102: Desplazamiento de un Punto “P” sobre la
Circunferencia a partir del Movimiento del Punto Control “D”
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Seguidamente se elabora una recta, llamémosla b, que pasa por los
puntos P y O. Luego se construye un punto C que resultará de la
intersección entre las rectas b y m. (Deslice el punto D y vea lo que sucede
con la recta b y el punto C).
Finalmente se construye el punto T que describirá la gráfica de la
función tangente, nótese que este punto debe tomar la coordenada x del
punto D y la coordenada y del punto C, es decir que en el campo de entradas
se debe colocar: T=(x(D), y(C)).
Se puede agregar y/o cambiar objetos para hacer más explícita la
construcción, como por ejemplo:
Colocar una distancia de al eje x en la ventana de propiedades de
la zona grafica.
Construir un segmento entre los puntos A y O e igual para los puntos
P y O, (Sería interesante colocar el ángulo que forman estos
segmentos entre sí); también se pueden construir otros segmentos
que permitan una visualización más clara de la gráfica.
Ocultar objetos que no intervienen directamente en la ilustración de la
gráfica con la finalidad de que no se vea sobrecargada de objetos.
Activar el trazo del punto T.
En la figura 103 se muestra finalmente la gráfica de la función
Tangente construida a partir del círculo trigonométrico
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Figura 103: Gráfica de la Función Tangente Construida a partir del
Círculo Trigonométrico
5.4.- Construcción de la Grafica de la Cicloide.
Para comenzar con la construcción de la cicloide, es importante
recordar y tener clara su definición. La cicloide es el lugar geométrico
descrito por cualquier punto fijo de una circunferencia que rueda, sin
resbalar, sobre una recta fija.
En la construcción de la gráfica del seno se utilizó un punto como
control principal para generar automáticamente el movimiento de los objetos
que conformaron dicha construcción. En este caso también es importante
disponer de un control que cumpla esta misma función, para ello se utilizará
un “deslizador de números” que puede ubicarse en cualquier lugar de la zona
gráfica procurando desde luego que no dificulte la visión de la construcción.
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Para esto se utilizará el modo “Deslizador” de la barra de herramientas, con
un intervalo mín. de -5 y máx. de 10 y con un incremento de 0.001. A este
deslizador le llamaremos (ver figura 104: dial deslizador de números).
Figura 104: Dial Deslizador de Números
A continuación se construirá un punto A que se debe deslizar
horizontalmente en la zona gráfica conforme se desplaza el deslizador. La
coordenada x de dicho punto, debe entonces necesariamente depender del
numero y su coordenada y debe ser constante. En este caso particular,
por ejemplo, se debe escribir en el campo de entrada lo siguiente: A= (2 , 2)
y luego se presiona la tecla Enter, inmediatamente aparecerá el punto en la
zona gráfica, tal como se muestra en la figura 105.
Figura 105: Ejemplo de un Punto “A” que Depende del Dial
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En seguida se procederá a construir una circunferencia llamada c, con
centro en A y de radio 2 (ver figura 106: circunferencia con centro en A);
para ello se debe ingresar en el campo de entrada el siguiente comando:
c=circunferencia [A, 2]. (Luego de hacerlo vea lo que sucede si se cambia
el número del deslizador).
Figura 106: Circunferencia con Centro en A
Se puede ver que la circunferencia gira sobre el eje x a medida que
se modifica el número del deslizador, ahora se construirá un punto B en la
circunferencia c; en el campo de entrada se anotará: B=punto[c].
Finalmente se desea que un punto, en este caso C, rote a partir del
punto B en torno al punto A, tomando el mismo número del deslizador pero
en sentido opuesto, así pues se escribirá en el campo de entrada el
comando: C= Rota[B, - , A]. Seguidamente se le activará el trazo a dicho
punto C para ver la huella que deja al desplazarse. A medida que se mueve
el número del dial deslizador se observará que la cicloide queda construida.
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(Puede agregarse el segmento entre los puntos A y C para hacer más
llamativa la construcción, así como también se puede cambiar los estilos,
colores y decoraciones de cada uno de los objetos); en la figura 107 se
muestra finalmente la grafica de la cicloide (al igual que los ejercicios
anteriores, la planilla dinámica de la gráfica de la cicloide se pude observar
en el CD anexo al presente trabajo).
Figura 107: Grafica de la Cicloide
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156
CAPITULO VI
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1.- Conclusiones
El estudio del presente trabajo se planteó con el fin de demostrar que
el estudiante promedio y el egresado de la carrera de Educación mención
Física y Matemática del Núcleo Universitario Rafael Rangel de la Universidad
de los Andes (NURR-ULA), pueden obtener la habilidad necesaria para
dominar en un corto periodo de tiempo y por sí solos el software educativo
GeoGebra 3.00 (o por extensión, cualquier otro programa educativo de su
agrado), el cual puede ser empleado como TIC para la enseñanza de la
geometría. Para ello se realizó un estudio completo del software,
comenzando con una exploración exhaustiva de cada uno de sus
componentes, siguiendo con la elaboración de un manual y finalizando con
la construcción gráfica de algunas estructuras matemáticas; sirviendo todo
esto como instrumento para la recolección de datos, que luego de ser
analizados permitieron establecer las siguientes conclusiones:
Siendo esta una experiencia innovadora para la muestra en cuestión,
la habilidad lograda en el manejo del GeoGebra, se puede decir que fue
satisfactoria en todos los aspectos, el desconocimiento se convirtió en un
reto para el posible empleo de este recurso como medio para la enseñanza
de la geometría por parte de los futuros profesores, pudiendo dejar de lado
las prácticas rutinarias y despertando así el interés para incursionar en la
innovación pedagógica que constituye una fuerte alternativa para el diseño
de estrategias didácticas más efectivas. Demostrando con esto, además, que
no existe justificación alguna por parte de los profesores de matemática ni de
otra área, para dejar que en las escuelas y liceos del estado los Centros
Bolivarianos de Informática y Telemática (CBIT) estén prácticamente
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inutilizados y destinados a la desidia; aunque también los organismos
gubernamentales encargados de dichos centros tienen parte de culpa en
este abandono ya que no evalúan el funcionamiento y uso de los CBIT.
Una vez perfeccionado el instrumento, se puede afirmar que: la
investigación realizada con el uso del GeoGebra se convierte en un aporte
importante en el uso de las tecnologías, demostrando que realmente se
puede autoaprender a manipular de una manera correcta dicho software, lo
que plantea en cierto modo un proceso innovador en la enseñanza–
aprendizaje de las matemáticas específicamente de la geometría, con la
utilización de una metodología novedosa.
Cabe destacar que la aparición de estos nuevos ambientes y recursos
para el aprendizaje no van a sustituir las estrategias didácticas del aula,
como tampoco a los espacios de formación presencial, sino que estas
nuevas tecnologías se perfilan como un complemento tanto para el mejor
cumplimiento de los objetivos pedagógicos, particularmente de interactividad
y actualización, como para una profunda exploración de los distintos campos
investigativos y de las múltiples disciplinas que conforman la creciente y
cambiante sociedad de la información.
El NURR debe, definitivamente, ir a la par de los avances tecnológicos
e introducir a la población estudiantil en ellos, ya que esta casa de estudio
definitivamente no se prepara a sus estudiantes ni se los educa en el ámbito
de las nuevas tecnologías, produciendo como consecuencia que los
egresados a la hora de desempeñarse como profesionales no están a la
vanguardia con los nuevos cambios que se presentan en su mundo laboral y
en su quehacer diario.
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6.2.- Recomendaciones
En base al estudio realizado, se considera importante sugerir a
egresados y estudiantes de la carrera de Educación mención Física y
Matemática, a la comunidad universitaria en general y demás instituciones y
entes gubernamentales de educación superior las siguientes
recomendaciones:
Los profesores en su quehacer diario deben buscar métodos y
alternativas para que sus clases sean captadas y entendidas, por tanto se
hace una invitación formal para que conozcan, estudien y usen el software
GeoGebra 3.00 (o cualquier software análogo), e incorporen esta
herramienta como recurso de enseñanza–aprendizaje en los programas de
matemática y de esta forma “desempolven” las computadoras de los CBIT y
les den el uso que éstas ameritan.
El gobierno nacional específicamente el Ministerio del Poder Popular
para la Educación debería crear planes y proyectos que instruyan e
incentiven a los profesores a usar las TIC, así como también evaluar el uso
que en la actualidad se les está dando a los CBIT, y sean ellos los primeros
en facilitar, implementar e implantar el uso de programas educativos para
que los profesores los utilicen en sus áreas curriculares. Dentro de esta
variedad de programas se aconseja incluir en los currículos educativos al
programa GeoGebra; ya que se presenta como software libre en plataformas
múltiples (incluyendo el sistema operativo Linux) que puede ser usado en
cualquier ordenador, además es fácil su aprendizaje y utilización, como
quedó demostrado en la presente investigación.
Es importante resaltar que el avance tecnológico en nuestros días en
todos los niveles de la sociedad y específicamente en el campo educativo es
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impresionante, es por ello que la enseñanza de la matemática necesita
acoplarse a esta nueva era, lo que de un modo u otro obliga a reexaminar la
forma de instruir en dicha área. Las nuevas generaciones que vivirán y
trabajarán utilizando computadoras como herramientas habituales necesitan
aprender matemáticas con estrategias diferentes a las que aprendieron sus
antepasados, estas deberían estar actualizadas y acopladas a la
modernidad; es por ello que se hace un llamado a los docentes en general
para que se actualicen y vayan a la par con los cambios que la nueva
sociedad presenta y amerita.
Resulta evidente que el NURR carece de una política académica que
revierta la situación de la actitud rutinaria y tradicional que en general han
venido tomando los estudiantes y egresados de la carrera de Educación
Mención Física y Matemática; hecho preocupante si se tiene en cuenta que
ellos asumen con responsabilidad su condición de exitosos profesionales,
dejando según éstos “muy en alto el nombre del Núcleo Universitario “Rafael
Rangel” y de la Universidad de los Andes en general” pero se observa en la
mayoría de egresados que son la imagen de los “docentes tradicionales” que
apenas usan un pizarrón para impartir o explicar sus conocimientos. Por lo
tanto se recomienda diseñar e implementar estrategias académicas que
permitan solventar los aspectos exógenos antes mencionados; es bien
sabido que cambiar el pensum de una carrera e incluso insertar algunas
materias en él es un trabajo tedioso y largo, por tanto no son estas las
exigencias primeras; una solución más rápida seria que se introdujera en
alguna materia de la mención, como por ejemplo en Taller de Matemáticas,
(vista en los últimos semestres de la carrera) temas relacionados con las TIC,
sus usos y aplicaciones, de esta forma los futuros profesores posiblemente
estarían mejor y más capacitados a la hora de impartir sus clase y
enfrentarse con las nuevas tecnología.
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Están conformados por: el sobre anexo contenedor del Mapa de
la Distribución Espacial de los CBIT en el estado Trujillo, y el CD anexo
que contiene El Manual GeoGebra 3.00, las Planillas Dinámicas y los instaladores del Programa
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