p ´ 5 - uba

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

C A

Mı Eı M S C 2005

P 5

1. Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (3, 1,−2) y satisface la condicion dada

a) paralelo al planoxy

b) perpendicular al ejey

2. Hallar la ecuacion de la esfera que satisface las condiciones dadas

a) centro en (0, 2,−1) y radio 3

b) centro en (2, 4,−4) y pasa por el origen

c) el segmento de recta que une (0, 4, 2) y (6, 0, 2) es un diametro.

3. Demostrar que la ecuacion dada es la ecuacion de una esfera y hallar su centro y radio

a) x2+ y2+ z2+ 4x − 8y − 2z + 5 = 0

b) 3x2+ 3y2

+ 3z2 − 12x − 6z + 3 = 0

4. Los puntosP = (a, b, c) y Q = (2, 3, 5) son simetricos en el sentido que se indica. Hallar lascoordenadas deP.

a) respecto del planoxy

b) respecto del ejey

c) respecto del origen

5. a) ¿Representa una esfera la ecuacion

x2+ y2+ z2 − 4x + 4y + 6z + 20= 0?

En caso afirmativo, hallar su centro y su radio. En caso negativo, explicar por que no loes.

b) Imponer condiciones sobreA , B , C y D para que la ecuacion

x2+ y2+ z2+ Ax + By + Cz + D = 0

represente una esfera.

c) Los puntos (5,−1, 3) , (4, 2, 1) y (2, 1, 0) son los puntos medios de los lados de untrianguloPQR. Hallar los verticesP , Q y R de ese triangulo.

2 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005

6. SeaR un punto del segmentoPQ.

a) Hallar las coordenadas deR suponiendo que

d(P,R) = td(P,Q) donde 06 t 6 1

b) Determinar el valor det para queR sea el punto medio dePQ.

7. Seana = i − j + 2k , b = 2i − j + 2k , c = 3i − 3j + 6k y d = −2i + 2j − 4k.

a) ¿que vectores son paralelos?

b) ¿que vectores tienen el mismo sentido?

c) ¿que vectores tienen sentidos opuestos?

8. Hallar el vector unitario en la direccion y el sentido delvectora

a) a = (3,−4)

b) a = i − 2j + k

9. Hallar todos los vectoresv = ai + bj que poseen las propiedades indicadas

a) forma un angulo de 30o con el ejex en sentido contrario al de las agujas del reloj y tiene

norma 2

b) forma un angulo de−5π6 radianes con la parte positiva del ejex y tiene norma 5.

10. SeanP y Q dos puntos del espacio y seaR el punto de−−→PQ cuya distancia aP es el doble de

su distancia aQ. Seanp =−−→OP , q =

−−→OQ y r =

−−→OR. Demostrar quer = 1

3p + 23q.

11. Dados

a = 2i + j , b = 3i − j + 2k , c = 4i + 3k

calcular

a) los tres productos escalares:a · b , a · c , b · c

b) los cosenos de los angulos formados por esos vectores

c) la componente dea en la direccion deb y en la direccion dec

d) la proyeccion dea en la direccion deb y en la direccion dec.

12. a) Seaa , 0. Demostrar quea·b = a·c no implica necesariamente queb = c sino solamentequeb y c tienen la misma proyeccion sobrea. Dibujar una figura que ilustre este hecho

parab y c distintos de0.

b) Demostrar que siu · b = u · c para todo vector unitariou, entoncesb = c.

13. a) Demostrar que

4(a · b) = ‖a + b‖2 − ‖a − b‖2

FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 3

b) Usar a) para comprobar que

a ⊥ b ⇐⇒ ‖a + b‖ = ‖a − b‖

c) Demostrar que sia y b son vectores no nulos tales que

(a + b) ⊥ (a − b) y ‖a + b‖ = ‖a − b‖

entonces el paralelogramo asociado aa y b es un cuadrado.

14. ¿En que condiciones se verifica que|a · b| = ‖a‖ ‖b‖?

15. Sear = f (θ) la ecuacion polar de una curva del plano y sean

ur = cosθi + senθj uθ = − senθi + cosθj

a) Demostrar queur y uθ son vectores unitarios perpendiculares

b) SeaP = (r, θ) un punto de la curva. Demostrar queur tiene la misma direccion y sentido

que el vector−−→OP y que la direccion deuθ forma un angulo de 90o con ur, medido en

sentido contrario a las agujas del reloj.

16. Hallar un vectorn que sea perpendicular al plano generado por los puntosP, Q y R y hallarel area de trianguloPQR

a) P = (0, 1, 0) , Q = (−1, 1, 2) , R = (2, 1,−1)

b) P = (1, 2, 3) , Q = (−1, 3, 2) , R = (3,−1, 2)

17. Hallar el volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores

a) i + j , 2i − k , 3j + k

b) i − 3j + k , 2j − k , i + j − 2k

18. ¿Cuales de los puntosP = (1, 2, 0) , Q = (−5, 1, 5) , R = (−4, 2, 5) estan en la recta

ℓ : r(t) = i + 2j + t(6i + j − 5k)?

19. Hallar una parametrizacion vectorial de la recta que satisface las condiciones dadas

a) pasa porP = (3, 1, 0) y es paralela a la rectar(t) = i − j + tk

b) pasa por el origen y porQ = (x0, y0, z0)

c) pasa porP = (x0, y0, z0) y por Q = (x1, y1, z1)

20. a) Hallar una parametrizacion vectorial del segmento de recta que empieza en (2, 7,−1) ytermina en (4, 2, 3)

b) Determinar los valores det para los cuales las ecuaciones

x(t) = 7− 5t , y(t) = −3+ 2t , z(t) = 4− t

parametrizan el segmento de recta que empieza en (12,−5, 5) y termina en (−3, 1, 2)


c) Determinar un vector unitariou y los valores det para los cuales la ecuacion

r(t) = 6i − 5j + k + tu

es una parametrizacion del segmento de recta que empieza enP = (0,−2, 7) y termina en

Q = (−4, 0, 11).

21. Hallar los vectores normales unitarios de los siguientes planos

a) 2x − 3y + 7z − 3 = 0

b) 2x − y + 5z − 10= 0

22. Determinar si los vectores dados son coplanares

a) 4j − k , 3i + j + 2k , 0

b) i , i − 2j , 3j + k

23. Dibujar la grafica de los planos siguientes

a) x + 2y + 3z − 6 = 0

b) 5x + 4y + 10z = 20

24. Hallar la proyeccion deu = −i + j + k sobrev = 2i + j − 3k

25. Graficar los siguientes puntos (r, θ) dados en coordenadas polares y hallar sus coordenadas

cartesianas.

(2, 0) , (2, π) , (4, π4) , (3, 3π2 ) , (3,−π) , (5,−π2)

26. Hallar la representacion en coordenadas polares de lossiguientes puntos dados en coorde-

nadas cartesianas

(2,−2) , (−1, 1) , (0, 3) , (0,−4) , (2,−1) , (3, 4)

27. Esbozar la grafica de la ecuacion polar y hallar la ecuacion rectangular correspondiente

a) r = 4

b) θ = π6

c) r = cosθ

d) r = 3 senθ

28. Esbozar la grafica de las siguientes curvas dadas en coordenadas polares

a) r = cos(2θ)

b) r = 3+ 2 senθ

c) r = 14θ


d) r = 2 cos(θ − π4)

e) r = cosθ + senθ

29. Hallar la ecuacion polar que corresponde a la ecuacioncartesiana dada

a) y2 − x2= 4

b) x2+ y2= 9

c) x2+ y2= x

d) y = 3

e) x = 2

30. a) Los siguientes puntos vienen dados en coordenadas cilındricas; expresar cada uno encoordenadas rectangulares y esfericas

(1, 45o, 1) , (2, π2,−4) , (0, 45o, 10) , (3, π6, 4) , (1, π6, 0) , (2, 3π4 ,−2)

b) Transformar los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares a coordenadas

cilındricas y esfericas

(2, 1,−2) , (0, 3, 4) , (√

2, 1, 1) , (−2√

3,−2, 3)

31. Describir el significado geometrico de las siguientes aplicaciones en coordenadas cilındricas

a) (r, θ, z) −→ (r, θ,−z)

b) (r, θ, z) −→ (r, θ + π,−z)

c) (r, θ, z) −→ (r, θ − π4, z)

32. Describir el significado geometrico de las siguientes aplicaciones en coordenadas esfericas

a) (r, θ, φ) −→ (r, θ + π, φ)

b) (r, θ, φ) −→ (r, θ, π − φ)

c) (r, θ, z) −→ (2r, θ + π2, φ)


33. a) Describir las superficies dadas en coordenadas cilındricas

r = constante , θ = constante , z = constante

b) Describir las superficies dadas en coordenadas esfericas

r = constante , θ = constante , φ = constante

34. a) Graficar la curvas dadas en coordenadas esfericas

(i) r = 2 , θ = π4(ii) r = 2 ,φ = π3

(iii) θ = π3 , φ = π4

b) Graficar las curvas dadas en coordenadas cilındricas

(i) r = 2 , θ = π2(ii) r = 2 , z = 3

(iii) θ = π4 , z = 1

35. El volumen del tetraedro con aristas concurrentesa , b , c viene dado por

V =16

a · (b × c)

a) Expresar el volumen como un determinante

b) CalcularV cuando:a = i + j + k , b = i − j + k , c = i + j

36. Hallar las ecuaciones parametricas de las siguientes curvas indicando el rango del parametro

a) x2+ y2= r2

b) 4x2+

y2

9= 1

c) x2 − y2= 1

d) x2 − 3y2=

13

e)

x − 2y + z = 1

x + z = 0

f) el grafico de la funcionf : [0, π] −→ R , f (t) = esent

g) el grafico de la funciong : R −→ R , g(x) = x2+ 1

h) los lados del cuadrado de vertices (−1,−1) , (1,−1) , (1, 1) y (−1, 1).


37. Hallar las ecuaciones parametricas de las siguientes superficies deR3 indicando el rango decada parametro

a) x2+ y2= 1

b) x2+ y2+ z2= 9

c) 2x − y + z = 3

d) x2 − 2y + 2x + 1 = 0

e) x2+ y2+ 6x − 2y = 0

f) 2x2+ 2y2

+ 4x − 6y − z = 0

g) x2+ y2= z2

h) x2 − y2= 1


A: D R

Base de un espacio vectorial

Si V es un espacio vectorial real de dimensionn, se dice que el conjuntoB = {v1, . . . , vn} ⊂ V

es unabasedeV si

⋄ todov ∈ V se puede escribir en la forma:

v = a1v1 + · · · + anvn

la n−upla (a1, . . . , an) ∈ Rn representa lascoordenadas del vectorv en la baseB.

⋄ si (a1, . . . , an) y (b1, . . . , bn) son las coordenadas de un mismo vectorv en la baseB,entoncesai = bi para todoi = 1, . . . , n.

Base canonica deRn

{(1, 0, . . . , 0) , (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , (0, . . . , 0, 1)}

En el caso deR3, denotaremos

i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1)

Norma de un vector

Dadov ∈ Rn, con coordenadas (v1, . . . , vn) en la base canonica, llamamosnorma de valnumero

‖v‖ =√

v21 + · · · + v2

n

Propiedades

⊲ ‖u + v‖ 6 ‖u‖ + ‖v‖

⊲ ‖a.u‖ = |a| ‖u‖ (a ∈ R)

⊲ ‖u‖ − ‖v‖ 6 | ‖u‖ − ‖v‖ | 6 ‖u − v‖

Producto escalar

Dadosu = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) enR3, se define elproducto escalar entreu y v comoel numero

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3


Propiedades

⊲ u · v = ‖u‖ ‖v‖ cosα (α = angulo entreu y v)

⊲ |u · v| 6 ‖u‖ ‖v‖ Desigualdad de Schwarz

⊲ u · v = 0 si y solo si u y v son ortogonales

⊲ u · u = ‖u‖2

Proyeccion ortogonal

Seab un vector no nulo. Laproyeccion ortogonal del vectora sobreb es el vector

proyba =a · b‖b‖2

b

el numero a·b‖b‖2 se llamacomponente dea en la direccion deb.

b

a

a

b

proy

Rectas y planos en el espacio

SeanP = (x0, y0, z0) , Q = (x1, y1, z1) puntos deR3. La rectaL que pasa porP y Q se puedeexpresar en la forma

L : (x, y, z) = P + t(Q − P) (t ∈ R)

El vectorv = Q − P = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) da la direccion de la recta.

SeanP = (x0, y0, z0) , Q = (x1, y1, z1) y R = (x2, y2, z2) tres puntos deR3 no colineales. Elplanoπ que pasa porP , Q y R puede expresarse en la forma

π : (x, y, z) = P + s(Q − P) + t(R − P) (s, t ∈ R)

Si u , 0 es un vector ortogonal a los vectoresQ − P y R − P, el planoπ puede representarse

tambien mediante la ecuacion

π : u · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0

Segmento que une dos puntos del espacio

Dados los puntosP = (x0, y0, z0) y Q = (x1, y1, z1), el segmento con origenP y extremoQ

es el conjunto

[P,Q] = {(1− t)P + tQ / 0 6 t 6 1}


El punto medio de este segmento es

M =12

P +12

Q

Producto vectorial

Dadosa = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3), el producto vectorialentre ellos es el vector

a × b =∣

∣

∣

a2 a3b2 b3

∣

∣

∣ i −∣

∣

∣

a1 a3b1 b3

∣

∣

∣ j +∣

∣

∣

a1 a2b1 b2

∣

∣

∣ k

Este vector puede representarse en la forma

a × b = det

i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

donde “det” indica un determinanteformal dado quei , j , k no son numeros.Propiedades

⊲ a × b = −b × a

⊲ a × b = 0 si y solo si a y b son paralelos

⊲ a × b ⊥ a , a × b ⊥ b

⊲ ‖a × b‖ = ‖a‖ ‖b‖ senα (α = angulo entrea y b)

⊲ ‖a × b‖ = area del paralelogramo de ladosa y b.

Producto mixto

Dados los vectoresa = (a1, a2, a3) , b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3), elproducto mixtoentre

estos vectores es el numero

(abc) = (a × b) · c =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Propiedades

⊲ (abc) = (cab) = (bca)

⊲ Si a , b y c no son coplanares, entonces

|(abc)| = volumen del paralelogramo determinado pora, b, c

⊲ (abc) = 0 ⇐⇒ a, b, c son coplanares

⊲ a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c


Conicas

1. D : x2 − y2= 0

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–3 –2 –1 1 2 3x

2. D : x2= 1

–2

–1

1

2

y

–2 –1 1 2x

3. R : x2= 0

–2

–1

1

2

y

–2 –1 1 2x

4. C : x2+ y2= 1

–1

–0.5

0.5

1

y

–1 –0.5 0.5 1x

5. H : x2 − y2= 1

–2

–1

0

1

2y

–3 –2 –1 1 2 3x


6. P : x2 − y = 0

0

1

2

3

4

y

–2 –1 1 2x

Cuadricas

1. E : x2+ y2+ z2= 1

–1–0.5

00.5

1

x

–1–0.5

00.5

1

y

–1

–0.5

0

0.5

1

z

2. H : x2+ y2 − z2

= 1

–3–2

–10

12

3

x

–3–2

–10

12

3

y

–2

0

2

z

3. C : x2+ y2 − z2

= 0

–3–2

–10

12

3

x

–3–2

–10

12

3

y

–2

0

2

z

4. H : x2 − y2 − z2= 1

–3–2

–10

12

3

x

–3–2

–10

12

3

y

–2

0

2

z


5. C ı : x2+ y2= 1

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

–2

–1

0

1

2

z

6. C : x2 − y2= 1

–3–2

–10

12

3

x

–3–2

–10

12

3

y

–2

0

2

z

7. D : x2 − y2= 0

–20

2x

–3 –2 –1 0 1 2 3y

–3–2–10123

z

8. D : x2= 1

–3–2

–10

12

3

x

–3–2

–10

12

3

y

–2

0

2

z

9. P : x2= 0

–10

1x

–3–2

–10

12

3

y

–3–2–10123

z


10. P ı : x2+ y2 − 2z = 0

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

–2

–1

0

1

2

z

11. P : x2 − y2 − 2z = 0

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

–2

–1

0

1

2

z

12. C : x2 − 2z = 0

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

–2

–1

0

1

2

z

Coordenadas polares

Lascoordenadas polares(r, θ) de un punto (x, y) , (0, 0) estan definidas por

x = r cosθ , y = r senθ

donde

r > 0 y 06 θ < 2π

θx

y (x,y)r


Coordenadas cilındricas

Lascoordenadas cilındricas(r, θ, φ) de un punto (x, y, z) , (0, 0, 0) estan definidas por

x = r cosθ , y = r senθ , z = z

donde

r > 0 , 0 6 θ < 2π , z ∈ R

(x,y,z)

r

θ

z

Coordenadas esfericas

Lascoordenadas esfericasde (x, y, z) son (r, θ, φ) y se definen por

x = r cosθ senφ , y = r senθ senφ , z = r cosφ

donde

r > 0 , 0 6 θ < 2π , 0 6 φ 6 π

(x,y,z)

r

θ

φ

p ´ 5 - uba

Documents