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Contenido

Introducción............................................................................................................................4

Teoría del Consumidor .........................................................................................................6 Restricción Presupuestaria ........................................................................................................ 7

Efectos de un incremento en el Ingreso ................................................................................10 Efectos de un incremento en el Precio de X..........................................................................10 Efectos de un incremento en el Precio de Y..........................................................................11 Efecto de un incremento proporcional igual en M, Px y Py ....................................................12

Función de Utilidad ...................................................................................................................12 Utilidad Marginal .......................................................................................................................14 Curva de Indiferencia................................................................................................................15 Tasa Marginal de Sustitución ....................................................................................................19 El óptimo del Consumidor .........................................................................................................21 Demanda del Consumidor ........................................................................................................25 Cambios en la Demanda...........................................................................................................28 Curva Ingreso Consumo ...........................................................................................................31 Curva Precio Consumo.............................................................................................................35 Efecto Sustitución – Efecto Ingreso...........................................................................................38 Demanda del Mercado..............................................................................................................48 Elasticidad ................................................................................................................................49 Elasticidad Precio y Toma de decisiones en materia de fijación de Precios ...............................51 Relación entre la Elasticidad Precio de la Demanda y la Curva de Precio Consumo..................54 Problemas Sobre Teoría del Consumidor..................................................................................57

Producción y Costos ..........................................................................................................64 La función de Producción..........................................................................................................65 Producto Marginal.....................................................................................................................66 Isocuantas ................................................................................................................................67 Tasa Marginal de Sustitución Técnica.......................................................................................71 Función Costos de Corto Plazo.................................................................................................73 Isocostos ..................................................................................................................................77

Efectos de un incremento en el Costo o Presupuesto ...........................................................80 Costos en el Largo Plazo ..........................................................................................................80 Toma de Decisiones relacionadas al Tamaño de Planta Óptimo ...............................................88 Relaciones entre las Curvas de Costos de Corto Plazo y las de Largo Plazo ............................90 Sendero de Expansión de la Firma ...........................................................................................92 Desplazamiento de la Curva de Costos de Largo Plazo ante cambios en los precios de los insumos....................................................................................................................................97 Rendimientos a Escala ...........................................................................................................100 Elasticidad producto y Elasticidad Escala................................................................................105 Problemas Sobre Producción y Costos ...................................................................................107

Competencia Perfecta........................................................................................................115 Concepto y Características .....................................................................................................116 Función de Oferta de la Firma.................................................................................................126 Impuestos en Competencia Perfecta.......................................................................................128 La Oferta de Mercado .............................................................................................................136 Tamaño de la Industria en el Largo Plazo ...............................................................................136 Problemas Sobre Competencia Perfecta.................................................................................140

Monopolio ...........................................................................................................................142 Concepto y Características .....................................................................................................143 Condiciones de Optimalidad para Maximizar Beneficios..........................................................145

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Maximización de Beneficios y Elasticidad Precio de la Demanda ............................................147 Ineficiencia del Monopolio .......................................................................................................150 Impuestos...............................................................................................................................152 Discriminación de precios .......................................................................................................152

Discriminación de Precios de Primer Grado ........................................................................152 Eficiencia del Monopolio con discriminación perfecta de precios .........................................153 Discriminación Tercer Grado ..............................................................................................155

Monopolio con Plantas Múltiples .............................................................................................157 Problemas Sobre Monopolio ...................................................................................................160

Apéndice Matemático ........................................................................................................163 Apéndice 1: Optimización Multivariante...................................................................................164 Apéndice 2: Interpretación Económica de los Multiplicadores de Lagrange .............................171 Apéndice 3: El Teorema de La Envolvente y sus Aplicaciones en Economía...........................177 Apéndice 4: Sobre Impuestos y Subsidios en Modelo De Oferta y Demanda...........................187

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Introducción

Es muy frecuente encontrar en la bibliografía relacionada con Microeconomía dos grandes

segmentos: Libros de carácter introductorio destinado a un público que desea adentrarse por

primera vez en el mundo de los fenómenos microeconómicos y por otro lado, Libros de carácter

avanzado cuya finalidad es pulir con máximo rigor matemático los conceptos esénciale de esta

disciplina.

El presente texto es sin embargo de carácter intermedio y es recomendado para aquellos

interesados que poseen conocimientos mínimos de Microeconomía y desean avanzar

gradualmente hacia textos y conocimientos mas avanzados. Por esta razón se recomienda el

mismo como un complemento para los cursos introductorios de Microeconomía y como un material

básico y de lectura introductoria en los cursos más avanzados de Grado y postgrado en

Microeconomía. Para ello el objetivo principal de esta guía, ha sido lograr una profunda e íntima

conexión entre los contenidos algebraicos, conceptuales y geométricos.

Es bien sabido, que los lenguajes algebraicos son sumamente precisos pero poco intuitivos e

interpretativos a nivel conceptual. Por otro lado, los lenguajes gráficos y conceptuales son

altamente intuitivos y explicativos a la hora de abordar un problema en cuestión pero carecen de

precisión y exactitud transformándose así en inútiles ante problemas más complejos.

Adicionalmente el estilo gráfico-conceptual permite dar respuestas de una manera muy rápida a

través de las asociaciones e intuiciones automáticas que el individuo desarrolla, en comparación al

tiempo que demanda resolver un problema de manera precisa bajo la luz de un enfoque puramente

analítico.

Es por eso que en este Libro pretendemos complementar todos estos enfoques haciendo que las

gráficas y las intuiciones conceptuales adquieran un carácter sumamente preciso mediante el

aporte de precisión que ofrecen las técnicas algebraicas. A su vez pretendemos que las técnicas

analíticas pierdan su frialdad y su automaticismo mediante la calidez y practicidad que aportan las

intuiciones gráficas y conceptuales. Se pretende así que el alumno cada vez que visualice una

gráfica sea capaz de condimentarla con absoluta precisión algebraica, y cada vez que se enfrente

a una fórmula, a una ecuación o una técnica analítica sea capaz de entender hasta el mas

minucioso detalle interpretativo detrás de cada una de ellas, que sepa entender porque opera como

opera, que sepa darle color y sentido a cada operación algebraica que realice. Una vez que el

alumno logra complementar todos éstos enfoques está completamente preparado para analizar e

interpretar los hechos de la realidad, ya que de esta manera ha logrado romper las barreras

existentes entre sus intuiciones, entre sus visualizaciones geométricas y entre las leyes de la lógica

matemática. Solo mediante ésta conexión el alumno esta completamente seguro que es capaz de

entender y utilizar los conceptos adquiridos en estos cursos.

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Con ese primer fin, luego de presentar bajo este nuevo triple enfoque cada uno de los conceptos e

ilustrarlos con claros ejemplos, se presentará al final de cada capítulo una serie de problemas y

ejercicios. Cada ejercicio, cada problema en este libro se solicita que se lo resuelva por todos los

métodos descriptos anteriormente. Cuando el lector lo hace, se asombra al vislumbrar que estos

tres enfoques (Conceptual, Geométrico y Algebraico) dicen exactamente lo mismo. Aprende a

valorar las repercusiones que tienen un paso algebraico, una técnica matemática, sobre la realidad

conceptual o geométrica que está analizando.

Como segundo objetivo, se pretende borrar las barreras existentes entre Teoría y Aplicaciones.

Justamente este triple enfoque permite desvanecer esos muros ya que el alumno observa una

íntima y estrecha conexión entre cada concepto teórico, entre cada definición, entre cada nueva

teoría y las aplicaciones en ejercicios de carácter algebraico.

De ésta manera el alumno que trabaje con la metodología de este Libro, no deberá nunca más

estudiar las Materias de Microeconomía en dos partes: Parte Teórica y Parte Práctica. De una

manera asombrada el alumno reflexiona que tras haber realizado los problemas de ésta guía con la

metodología aquí expuesta, no requiere estudiar de manera adicional casi ningún otro concepto

aprendidos en las clases teóricas ya que sin darse cuenta mediante la resolución de cada ejercicio

a aprendido en detalle la Teoría en su completitud gracias al Triple enfoque de ésta guía y a la

selección de tópicos que intentan encontrar un ejercicio algebraico a casi todo tema visto en las

clases de Teoría.

Esta libro al tener un fuerte hincapié en técnicas algebraicas (Calculo Diferencial e Integral,

Optimización, etc.) es de carácter avanzado para los cursos introductorios y de nivel intermedio

para los cursos superiores. No se recomienda su uso en Cursos de Nivel Introductorios a menos

que el Docente tenga la suficiente habilidad pedagógica para transmitir el uso de tales técnicas de

una manera cálida y amigable, haciendo que éstos tópicos resulten agradables, cargados de

motivación y entusiasmo para los alumnos no muy familiarizados con éstas técnicas, o para

aquellos que si bien las conocen (pues las han adquiridos en cursos anteriores) no están

acostumbrados a aplicarlas fuera de conductas automaticistas y mecánicas, y darle el valor y la

utilidad que se merecen.

� �

�

�

�������

�����

���������

�

�

� !�

Es bien sabido desde que uno posee sus primeros conocimientos de microeconomía que la

Demanda y la Oferta constituyen los dos elementos fundamentales sobre los que se construye la

teoría de los precios y, de alguna manera, son las dos palabras claves en las cuales se puede

resumir la totalidad de los conocimientos relacionados con la Microeconomía.

Por esta razón, en este primer capítulo, nos detendremos a analizar con mayor profundidad el

primero de estos dos grandes elementos: La Demanda.

Para ello, primero debemos tener en cuenta que detrás de la Demanda el agente que se encuentra

tomando decisiones y dando lugar a ella, es el Consumidor. Así, para iniciar un estudio más

detallado de la Demanda nos concentraremos en un minucioso análisis de la toma de decisiones

que constantemente realiza el Consumidor a la hora de adquirir diversos bienes.

Con este objetivo, dividiremos el estudio de la demanda en dos secciones: Primero analizaremos

todo lo que el consumidor puede potencialmente llegar a comprar dado su nivel de ingresos en un

periodo de tiempo y los precios vigentes de los productos que potencialmente pudiere adquirir. En

otras palabras, analizaremos detalladamente la Restricción Presupuestaria del Consumidor.

Después de analizado lo que el consumidor puede comprar nos dirigiremos hacia el estudio de lo

que este agente desea adquirir lo que nos llevará a analizar sus preferencias sobre distintos bienes

a consumir. A continuación, una vez estudiado lo que puede comprar con lo que desearía adquirir,

analizaremos con minuciosidad la manera en que el Consumidor toma sus decisiones finales de

consumo generando así las funciones de Demanda.

Restricción Presupuestaria La restricción presupuestaria de un consumidor representativo, o del consumidor bajo estudio,

describe de alguna manera lo que éste agente “puede consumir” una vez que se han determinado

el conjunto de Precios de cada uno de los bienes de potencial consumo y la cantidad de dinero,

Ingreso, Renta o “Presupuesto” del que este agente dispone para gastar en la adquisición de los

mismos.

Supongamos que un consumidor representativo solo consume dos bienes “X” e “Y” y sus

respectivos precios son Px y Py y que posee además un Ingreso Monetario igual a M. Entonces su

restricción presupuestaría viene dada por la siguiente ecuación:

� �� � �� �+ =

La expresión anterior muestra que el Gasto en el Bien X, es decir las cantidades consumidas de X

multiplicadas por su precio, mas el Gasto en Y (la cantidades consumidas en Y multiplicada por el

suyo) no debe exceder el Ingreso Total con que el consumidor cuenta para hacer frente a los

gastos en el periodo.

� "�

Alternativamente podemos obtener la ecuación explícita de la Recta Presupuestaria con solo

despejar el valor de Y en términos de X, como sigue:

� ��� �

�� ��= −

Esta última ecuación nos permite representar en términos geométricos la Restricción

Presupuestaria de la siguiente manera:

Y

X

Donde la ordenada al origen, M/Py, se interpreta como la cantidad máxima que se puede comprar

de Y si no se consume nada de X y la abcisa al origen, M/Px, representa lo máximo que se puede

adquirir del bien X medidos en unidades físicas ambos casos.

De esta manera todos los puntos que se encuentran por debajo de la Línea Roja son representan

combinaciones de X e Y que no agotan el Ingreso Total del Consumidor (M) es decir, si el

consumidor adquiere alguna de esas cestas no estaría gastando todo su dinero. Por otro lado, las

cestas que se encuentras por encima de la restricción Presupuestaría representan cestas de

consumo que no pueden ser compradas con el nivel de Ingreso M, es decir son cestas

inasequibles para el consumidor dado su nivel de ingreso M.

Un punto importante a destacar es la interpretación económica de la pendiente de la recta anterior.

Si uno recuerda la pendiente de la recta es:

# #� � � �

�� � ��� �

�� � ��

∆= = − = =∆

��� ���

��− �

�

���

�

���

� $�

Es decir cuantas unidades de Y se deben dejar de consumir si se desea incrementar en una unidad

el consumo de X, que no es otra cosa mas que el Costo de Oportunidad de X en términos del

Bien Y (COx/y). Ahora bien, ese CO puede interpretase de una manera mas profunda como la

Valoración Objetiva del Mercado del Bien X en términos del Bien Y (VOMx/y), en el sentido de

que la expresión de la pendiente ��

��− �indica cuanto vale en el mercado una unidad de X medida

en unidades de Y en vez de medirlo en unidades monetarias. Esto significa que cualquier individuo

puede adquirir en el mercado una unidad de X entregando dicha cantidad de unidades de Y, y

dado que cualquier persona puede llevar a cabo dicho intercambio se dice que ese valoración del

mercado es una Valoración Objetiva pues es independiente de la valoración subjetiva propia que

cada agente pueda tener.

Veamos un ejemplo para aclarar más todos éstos términos

Supongamos que se dispone de un ingreso de 100 pesos y que se consumen solo dos bienes X a

un precio de $3 y el bien Y a un precio de $2. Bajo estos parámetros la restricción presupuestaria

en términos algebraicos y geométricos luce así:

�

��%

�� �= −

Y

X

Por la tanto bajo esos parámetros la ordenada al origen indica en términos conceptuales que se

puede adquirir un máximo de 50 unidades del bien Y mientras que la abcisa origen dice que el

máximo posible de consumir de X es de 33,3 unidades. Por otro lado la pendiente de la recta

presupuestaria indica que el mercado valora al bien X en 1.5 unidades del Bien Y, es decir si uno

quiere adquirir una unidad adicional de X debe entregar a cambio 1.5 unidades de Y en el Mercado

para poder obtenerlo. 1.5 es la tasa a la que el mercado intercambia un bien por otro.

��� ��

�− �

�% �

��&���

� '%�

Veamos a continuación algunos análisis de Estática Comparativa ante la modificación de algunos

de los parámetros del Modelo.

Efectos de un incremento en el Ingreso Repasando las estructuras analíticas de las expresiones de abcisas y ordenadas al origen se

verifican que ambas aumentan ante un incremento de M por lo que geométricamente la Restricción

Presupuestaria se traslada paralelamente hacia la derecha. Obsérvese además que al no haberse

modificado los precios la pendiente no se ha cambiado. Conceptualmente el desplazamiento

paralelo indica que ahora se pueden consumir una mayor cantidad de ambos bienes que antes no

era posible y en el mercado las relaciones de intercambio no se han modificado, La Valoración

Objetiva del Mercado se mantiene constante en este caso.

Y

X

Efectos de un incremento en el Precio de X Repasando las estructuras analíticas de las expresiones de abscisas y ordenadas al origen se

verifican que la ordenada al origen permanece sin cambios mientras que la abcisa se reduce ante

un incremento de Px por lo que geométricamente la Restricción Presupuestaria rota hacia adentro

en el sentido de las agujas del reloj. Obsérvese además que al haberse modificado el Precio de X

la pendiente ha aumentado en valor absoluto. Conceptualmente la rotación de la Recta indica que

ahora se pueden consumir una menor cantidad de bienes que antes pero la cantidad máxima

posible de adquirir de Y no se ha modificado pues su precio no cambió. Por otro lado al

encarecerse el bien X ahora para adquirir una unidad adicional del mismo se deben entregar una

cantidad mayor de Y pues a Valoración Objetiva del Mercado aumentó.

��� ���

��− �

�

���

�

���

� ''�

Y

X

Efectos de un incremento en el Precio de Y Repasando las estructuras analíticas de las expresiones de abscisas y ordenadas al origen se

verifican que la abcisa al origen permanece sin cambios mientras que la ordenada se reduce ante

un incremento de Px por lo que geométricamente la Restricción Presupuestaria rota hacia adentro

en el sentido contrario de las agujas del reloj. Obsérvese además que al haberse modificado el

Precio de Y la pendiente ha disminuido en valor absoluto. Conceptualmente la rotación de la Recta

indica que ahora se pueden consumir una menor cantidad de bienes que antes pero la cantidad

máxima posible de adquirir de X no se ha modificado pues su precio no cambió. Por otro lado al

encarecerse el bien Y ahora para adquirir una unidad adicional de X se deben entregar una

cantidad menor de Y pues a Valoración Objetiva del Mercado ha disminuido.

Y

X

��� ���

��− �

�

���

�

���

��� ���

��− �

�

���

�

���

� '��

Efecto de un incremento proporcional igual en M, Px y Py Su pongamos que se produjese un incremento simultáneo en un cierto porcentaje igual en precios

e Ingreso, es decir aumentan el precio de X, el de Y junto al Ingreso todos en un mismo porcentaje.

El efecto sobre la restricción presupuestaria es nulo pues al haber aumentado todos los parámetros

en la misma proporción ninguno de los elementos de la Recta se modifican, por lo que la gráfica

queda inalterada.

Algebraicamente puede verse así:

Si se produce un incremento proporcional en todos los parámetros de t % la nueva recta

presupuestaria quedará así:

(' ) (' )

(' ) (' )

� � �� �� �

�� � �� �

� ��� �

�� ��

+ += −+ +

= −

Lo cual verifica que no se ha alterado.

Y

X

Función de Utilidad A los efectos ahora, de adentrarnos en el estudio de las preferencias del Consumidor bajo análisis,

es sumamente útil definir un objeto matemático que nos permita tratar desde una óptica analítica

las preferencias subjetivas de este agente sobre un conjunto de bienes de potencial consumo.

Dicho objeto matemático es lo que denominaremos Función de Utilidad.

La función de Utilidad algebraicamente es una función de dos variables que indica para cada

cantidad consumida de dos bienes X e Y, un número, un índice de satisfacción, de placer o

bienestar, en el sentido que si este número que devuelve dicha función es más grande que otro el

consumidor disfruta de una satisfacción mayor. De esta manera la Función de Utilidad describe lo

��� ���

��− �

�

���

�

���

� '��

que el consumidor “desea o prefiere” consumir dado que ahora puede comparar diversas cestas

de consumos.

Algebraicamente se lo representa así:

( & )� � � �=

Donde U(x,y) representa a una función genérica de dos variables.

Supongamos por ejemplo que un consumidor representativo posee preferencias que pueden ser

representadas por la siguiente función de Utilidad:

�(& ) �� � � � �=

Las mismas pueden representarse gráficamente por la siguiente figura que muestra en una gráfica

en 3D la función de Utilidad:

Obsérvese que el dominio de la función de utilidad lo constituye el plano (x,y), es decir el espacio

de bienes, y sobre ese dominio a cada punto se le asocia un punto sobre el eje vertical cuya altura

representa el nivel de utilidad. De esta manera si tuviésemos que comparar dos cestas de bienes,

para analizar cual reporta mas utilidad al individuo solo deberíamos identificar en el dominio dichas

cestas y ver cual de ellas tiene asociado un punto sobre el eje vertical a mayor altura. Analicemos

lo anterior con un ejemplo.

Supongamos además que posee dos cestas de Consumo:

��

� '��

���('&!)�

���(�&�)

Donde el primer componente de cada par ordenado indica las cantidades a consumir del bien X y

la segunda componente las cantidades de Y. ¿Cuál de estas cestas le reportará mayor satisfacción

al consumidor? Para responder dicha pregunta procedamos a evaluar la U en cada cesta, como

sigue:

('&!) ��

(�&�) %

�

�

==

Esto indica que la cesta de Consumo B le reporta al consumidor mayor satisfacción que la cesta A

por lo cual preferirá B antes que A.

Utilidad Marginal Otro concepto tal vez igual o incluso más importante que la Función de Utilidad es el concepto de

Utilidad Marginal. Esta último indica en que nivel mejora la satisfacción o utilidad del consumidor

como consecuencia de incrementar en una unidad el consumo de un bien y mantener constante el

consumo del otro. Existen pues, dos Utilidades Marginales, una Utilidad Marginal del Bien X, que

es cuando aumentamos en un unidad el Consumo de X y el de Y permanece sin cambios, y la Otra

es la Utilidad Marginal de Y, cuando el bien que se incrementa en una unidad es Y

permaneciendo X constante.

Algebraicamente la Utilidad Marginal del bien X por ejemplo, no es otra cosa más que la derivada

parcial de U con respecto a X, así:

( & )( & )�

� � ���� � �

�

∂=∂

Y de manera similar para la Utilidad Marginal de Y es la derivada parcial de U con respecto a Y,

( & )( & )�

� � ���� � �

�

∂=∂

Obsérvese como ambas Utilidades Marginales son funciones de dos variables, implicando ello que

su valor depende de la cesta actual de bienes que el agente está consumiendo.

Si continuamos con el ejemplo anterior podríamos entonces computar las funciones de Utilidades

marginal de X como sigue:

� '��

( & )( & ) '%�

� � ���� � � ��

�

∂= =∂

A su vez podríamos computar el valor de la UMgx en la cesta de consumo A, así:

('&!) !%���� =

Ese valor de 70 indica que si el agente esta consumiendo 1 unidad de X y 7 unidades del bien Y,

entonces si quisiera aumentar su consumo de X en una unidad, su satisfacción total, es decir su

Utilidad, se incrementaría en 70 unidades.

Algo similar podría calcularse para el caso de la UMgy.

Curva de Indiferencia Uno de los elementos más importantes de la Teoría del Consumidor lo constituyen un instrumento

de análisis denominado Curvas de Indiferencias. Las mismas indican conceptualmente un conjunto

de cestas (X,Y) tales que reportan al individuo el mismo grado de satisfacción, en otras palabras el

consumidor se muestra indiferente entre consumir cualquiera de ellas pues todas le otorgan el

mismo nivel de utilidad placer. En términos algebraicos y geométricos las Curvas de Indiferencias

no son otra cosa mas que las Curvas de Nivel de una Función de dos Variables, es decir el

conjunto de puntos (x,y) tales que conceden a la función el mismo valor, la misma altura en la

gráfica.

Para derivar geométricamente una curva de indiferencias lo que debemos hacer es cortar la gráfica

de U con un plano horizontal ubicado a una altura constante tal como se muestra en color azul en

la gráfica de la izquierda ubicada mas abajo. Luego la sección de la gráfica en 3D que es

intersectada por el plano azul debe proyectarse contra el plano del piso donde emerge la gráfica de

U, es decir el plano del dominio (x,y). Si identificamos cada uno de esos puntos y los

representamos en una gráfica de dos dimensiones podemos trazar una curva como la que se

muestra a la derecha del gráfico a continuación. Dicha curva es la Curva de Indiferencia asociada a

un nivel de Utilidad de 1000 unidades de satisfacción, pues cada uno de esos puntos tiene la

propiedad que al ser evaluados en la función de Utilidad otorgan a U un valor constante e igual a

1000.

� ' �

De manera similar podemos hallar las curvas de indiferencias asociadas a distintos niveles de

utilidad constante. Como se muestra en la gráfica de mas abajo, si procedemos a cortar la grafica

de U con sucesivos planos ubicados a distintas alturas podremos trazar distintas curvas de

indiferencia cada una asociada a distintos niveles de utilidad. Se puede observar también que a

medida que cortamos la gráfica con planos a una altura cada vez mayor, y por lo tanto a un nivel

de utilidad o de satisfacción mayor, las curvas de indiferencia asociadas a niveles de utilidad

mayores se encuentran representadas a la derecha cada vez mas alejada del origen. Esto implica

que un consumidor es indiferente entre consumir cualquier canasta de bienes que se encuentre

sobre una misma Curva de Indiferencias pero las canastas ubicadas en curvas de indiferencias

mas alejadas del origen reportan mas utilidad que las mas cercanas, y por lo tanto son preferidas

estas últimas a las primeras

� '!�

Restaría entonces determinar la expresión algebraica que permite representar a las curvas de

indiferencias. Continuando con el ejemplo anterior si deseamos computar la expresión algebraica

de la Curva de Indiferencia asociada a un nivel de Utilidad de 1000 unidades de satisfacción

debemos igualar la expresión de la función de utilidad al nivel de Utilidad deseado, 1000 en este

caso:

�'%%% �� �= �

Así, todos los pares (x,y) que cumplan con dicha condición garantizan un reporte de utilidad de

1000 unidades a este consumidor.

Luego de ahí podemos despejar y con lo que resulta:

�

�%%�

�=

Que es la expresión analítica de la función que describe la curva de la indiferencia asociada a un

nivel de Utilidad de 1000 unidades para las preferencias de este consumidor hipotético.

De manera más general podemos encontrar el conjunto de todas las Curvas de indiferencias

asociadas a un nivel de Utilidad paramétrico U, como sigue:

�

�

�

�

� � �

��

�

=

=�

� '"�

Luego ésa es la expresión para generar todas las Curvas de Indiferencias posibles, solo se debe

asignar a U el valor de utilidad deseado y la fórmula anterior automáticamente entregará la función

algebraica que describe exactamente la Curva de Indiferencia asociada al nivel de Utilidad

deseado dado una función de Utilidad. El conjunto de todas las Curvas de Indiferencias se

denomina Mapa de Indiferencia y la expresión algebraica que la describe es la anterior.

Obsérvese además como valores cada vez mas grades de U hacen que las gráficas de las Curvas

de Indiferencias se encuentren cada vez mas alejadas del origen como en el siguiente gráfico:

�

Otra situación importante de analizar sería la manera de hallar la curva de indiferencia que pasa

por una determinada canasta de bienes. Así por ejemplo, podríamos estar interesado en conocer

todas las canastas de consumo que reportan al individuo un nivel de Utilidad idéntico al que

proporciona la Canasta de Consumo A = (1,7) como vimos en el ejemplo anterior.

Como recordaremos, la canasta A proveía al individuo de un nivel de utilidad igual a 35 unidades,

por lo que el problema se transforma en hallar el conjunto de canastas de bienes (X,Y) que

reportan al individuo un nivel de Utilidad igual a 35.

En efecto si reemplazamos en la fórmula del Mapa de Indiferencias U = 35 resulta:

�

�

�

!

��

�

��

=

=�

Alternativamente, efectuando todos los cálculos anteriores, es decir encontrando las canasta que

reportan un nivel de Utilidad idéntico al de la Canasta A, resulta:

� '$�

�

�

�

�

('&!) �

�� �

��

�

!

� � �

� �

��

��

==

=

=

Luego todas las canastas en donde la cantidad del bien Y se relacione como lo indica la expresión

anterior con X, cumplirán con la condición de reportar un nivel de Utilidad idéntico al de la canasta

A.

Tasa Marginal de Sustitución Íntimamente vinculado al concepto de Curva de Indiferencia surge el de Tasa Marginal de

Sustitución (TMS). Este no es otra cosa más que la pendiente de la Curva de Indeferencia

asociado a un nivel dado de Utilidad. En Términos conceptuales, dicha pendiente y por ende la

TMS, se puede interpretar como la cantidad de unidades del bien Y que se debe dejar de consumir

para incrementar en una unidad el consumo de X y seguir disfrutando del mismo nivel de

satisfacción anterior.

En términos algebraicos la TMgS no es otra cosa más que la derivada de la Curva de Indiferencia

con respecto a X y evaluada en la cesta de consumo en cuestión.

Alternativamente la TMS en un punto puede computarse como se explica a continuación. Si

calculamos la diferencial total de la función, es decir el incremento en la Utilidad del Consumidor

como consecuencia de modificar el consumo de x y de y, resulta:

� ��� �� ��

� �

∂ ∂= +∂ ∂

Pero como en una Curva de Indiferencias los cambios en X y en Y son tales que el consumidor no

modifica su nivel de Utilidad, el Diferencial Total de la Utilidad debe ser cero:

%� ��� ��

� �

∂ ∂= +∂ ∂

Reagrupando términos resulta:

� �%�

(& )(& )

(& )(& )

�� �

�� ���� � ����� ���� � �� �

�

∂∂= − = −∂∂

Es decir, si queremos computar la TMS en un punto dado, lo que debemos hacer es computar

previamente las Utilidades Marginales de X y de Y, valuarlas en la canasta en la cual deseamos

calcular la TMS y cambiarle el signo.

Veamos un ejemplo, continuando con la función de Utilidad del Ejemplo anterior, supongamos que

deseamos calcular la TMS en la cesta de consumo (1,200), aplicando las fórmulas resulta:

�

(& ) '% �(& )

(& ) �

�*�%%('&�%%) �%%

'

���� � � �� ���� � �

���� � � � �

���

= − = − = − =

= − = −

Esto indica que si el consumidor actualmente está consumiendo la cesta (1,200) y desea

incrementar en una unidad adicional el consumo del bien X deberá dejar de consumir 400 unidades

de Y para seguir disfrutando del mismo bienestar que gozaba cuando consumía la cesta inicial

(1,200)1.

�������������������������������������������������'� �������������+��&�������������,�-����������������������.������������&�����������������/����������������������+������������������������������������������������������������������������������������ ���������������!""���������������#�������������������������������#�����������������������������������$���������������0��/�����1������2�%%3��������������������2����3��������������������������&�(�������/�����4����������������������������5)������������������������1�������������������6���/�����5���������.����7����0�

� �'�

Obsérvese como la TMS es una especie de COx/y subjetivo y propio de cada consumidor que

depende de las preferencias (función de Utilidad) y la cesta actual que el individuo esté

consumiendo. En otras palabras, la TMS es lo que denominamos la Valoración Subjetiva del

Consumidor en el sentido de que para ese consumidor, dadas sus preferencias (de ahí lo

subjetivo) y su nivel actual de consumo valora una unidad de X en 400 unidades de Y y a esa tasa

está dispuesto a intercambiar un bien por otro, pues es ese el valor que para el consumidor el bien

X tiene.

El óptimo del Consumidor Conociendo profundamente lo que el consumidor “desea o prefiere consumir” representado en la

función de Utilidad y lo que efectivamente “puede consumir” en la restricción presupuestaria,

estamos ahora en condiciones de estudiar cuanto consumirá este agente representativo. El

individuo optará aquellas cantidades de X e Y cuyo gasto total no supere el monto M, indicado por

su restricción de presupuesto, y que hagan máximo el valor de su Utilidad. Algebraicamente, cada

vez que el consumidor se enfrenta a decisiones de consumo entre cantidades a comprar de X e Y,

lo que está haciendo inconcientemente es la resolución del siguiente problema de optimización

restringida:

( & )��8 ( & )

�

� �� � � �

�� �� � ��� �

=

+ =

Es decir buscará las cantidades de X e Y que hacen máximo el Valor de U sujeto a la condición de

que dichas cantidades estén dentro de su restricción presupuestaria.

En términos geométricos, el consumidor debe elegir aquellas cestas que posadas sobre la línea de

presupuesto confieran el valor mas alto de utilidad. Si sobre el plano (X,Y) donde se encuentra

graficada la restricción de presupuesto elevamos un plano vertical en color azul que está apoyado

justo sobre la restricción presupuestaria, y sobre ese mismo plano elevamos la grafica de la función

de utilidad, de modo tal que en cada punto del plano (x,y) del dominio se pueda visualizar el nivel

de utilidad asociado, resulta la siguiente gráfica:

� ���

De esta manera, el problema de consumidor consiste en elegir aquellos punto que posados sobre

la restricción de presupuestos, es decir el plano azul, den a la función de utilidad el valor mas alto.

Desde un perspectiva en dos dimensiones el problema puede interpretarse como en hallar el punto

de la restricción presupuestaria por el que pasa la Curva de indiferencias mas alejada posible del

origen, pues como lo recordarán, mientras mas alejadas estén mayor es el nivel de utilidad

asociado. Así:

Para resolver dicho problema de optimización restringida utilizaremos la técnica de sustitución.

Para ello despejaremos Y de la restricción presupuestaria y lo sustituiremos en la expresión de

U(X,Y), con lo cual luego se puede proceder a maximizar como una función de una variable común.

En efecto, operando como se dijo se tiene:

��

��

��

���

���� !�

��

��

� ���

� �� � �� �

� ��� �

�� ��

+ =

= −

Sustituyendo en U, resulta:

( & )� ��

� � � ��� ��

= −

Con lo cual hemos convertido un problema de optimización restringida en un problema de

optimización sin restricciones.

( )��8 ( & )

�

� ��� � � �

�� ��= −

Derivando con respecto a X y utilizando la regla de la cadena para derivar funciones compuestas

se obtiene:

( & )% (& )

( & )

� �� �� � � �� ���� �� ��� � �

� �� �� � � �� ��

∂ = − = � = � =∂

Esta última expresión puede indica que el consumidor está maximizando su satisfacción cuando

las cantidades consumidas son tales que la valoración subjetiva del individuo coincide con la

valoración objetiva del mercado. En otras palabras, si la valoración del individuo del bien x en

términos del bien y es menor que la del mercado, para el individuo el bien X costará mas caro en el

mercado de lo que para el vale en relación a la satisfacción que éste le genera y decidirá reducir su

consumo de X. Al revés, si la valoración sujetiva del individuo es mayor que la del mercado, para

este consumidor el bien X estará mas barato en el mercado de lo que para el cuesta por lo que

tenderá a incrementar su consumo. Sólo cuando ambas valoraciones coincidan el agente no tendrá

incentivos a reducir ni a aumentar el consumo de X y por la tanto se encontrará en su valor óptimo,

pues no existe ningún ajuste en su consumo que le reporte una satisfacción mayor.

Alternativamente, dicha condición de optimalidad puede reescribirse así:

( & ) ( & )�� � � �� � �

�� ��=

Lo cual indica que un consumidor está maximizando su utilidad cuando las utilidades marginales

del último peso gastado en cada uno de los bienes se equiparan. Si esta condición no se cumple,

� ���

es posible redistribuir el monto total de su presupuesto M (reasignando mayor gasto al consumo de

uno y menor a la del otro bien) de modo tal que su satisfacción sea mayor.

Desde el punto de vista geométrico, si interpretamos las condiciones de optimalidad que debe

cumplir la cesta óptima vemos que la TMS es la pendiente de la Curva de indiferencia y Px/Py es la

pendiente de la recta de presupuesto, por lo que en el óptimo son iguales. En otras palabras, una

cesta es óptima cuando la curva de indiferencia que pasa por tal punto es tangente a la restricción

presupuestaría, tal y como mostramos en el siguiente gráfico:

Sintetizando, las condiciones que debe verificar una cesta de consumo (X,Y) para maximizar la

satisfacción del consumidor bajo estudio se pueden expresar así:

( & )

( & )

�� � � ��

�� � � ��

�� � ��� �

� =��� + =�

A manera de reflexión podemos decir, en función de lo analizado precedentemente, que cada vez

que un consumidor racional adquiere una determinada cantidad de bienes, dichas cantidades

cumplen con tales condiciones, pues un consumidor racional siempre debe adquirir lo que le da

mas placer dentro de sus posibilidades. Nótese además que el consumidor de manera inconciente

hizo todos esos cálculos psicológicos en su mente, sólo que no se dio cuenta.

Veamos todo lo anterior con un ejemplo. Continuando con la función de Utilidad anterior y

suponiendo que los precios son de 2 y 3 para X e Y respectivamente y el Ingreso es de 100, se

tiene el siguiente problema:

��

��

��

���

���� !�

��

��

� ���

�

( & )��8 �

� � � '%%

� �� � �

�� � �

=

+ =

Despejando y de la restricción y sustituyendo en la función de utilidad resulta:

�

( & )

'%% ���8 � ( )

� �� �� � �= −

Derivando con respecto a x, igualando a cero y despejando x resulta:

�

*

'%% �9� ( ):

'%%� � %�

� � �

���

−= � =

Sustituyendo el valor óptimo de consumo de x en la restricción presupuestaria y despejando

resulta:

* '%%

$� =

De esta manera la cesta de consumo * *'%% '%%&

� $� �� �= =� �

es la cesta de consumo que

maximiza la utilidad del consumidor dado su Ingreso y los precios de X y de Y.

Demanda del Consumidor Así para encontrar las cantidades que maximizan la satisfacción del consumidor se debe resolver

el problema de optimización visto anteriormente en donde los precios de los bienes, Px y Py son

datos numéricos específicos al igual que M, es un valor numérico que indica el Ingreso del

Consumidor y U tendrá un especificación funcional particular.

Ahora podríamos resolver nuevamente este problema y ver que sucede por ejemplo con las

cantidades que maximizan la satisfacción del consumidor a medida que el precio de X aumenta

sucesivamente y armar una tabla en donde se indique el Precio de X en una columna y en la otra

columna el valor de X que maximiza la satisfacción del agente a cada nivel de precios.

En el caso del ejemplo anterior si se resuelve el problema anterior para precios de X iguales a

1, 2, 3, 4, 5 manteniendo el precio de Y fijo en 3 y el Ingreso constante en 100, es decir se

resuelven 5 problemas de optimización similares al anterior se arribarían a los siguientes

resultados:

� � �

Px X*

1 66,7

2 33,3

3 22,2

4 16,7

5 13,3

En donde en la tabla anterior se muestran las diversas cantidades del bien X que maximizan la

utilidad del Consumidor a medida que se van modificando el precio del bien X y permaneciendo el

precio del bien Y constante al igual que su Ingreso. Si representamos gráficamente cada uno de

esos puntos colocando el precio en las ordenadas y las cantidades óptimas en las abscisas resulta:

Así, al graficar esa tabla nos encontramos con que hemos derivado la Función de Demanda. Ésta

no es otra cosa más que las cantidades que el consumidor desea adquirir del bien X a cada nivel

de precios de X permaneciendo constantes los precios de otros bienes y su nivel de Ingresos.

Nótese como ahora la demanda de X la pudimos derivar en base a las preferencias dadas por la

Función de Utilidad y su restricción presupuestaria y entendemos ahora porque el consumidor

“demanda” (en el sentido que desea adquirir) esa cantidad y no otra pues es ésa la cantidad de X

que maximizan su satisfacción. En otras palabras, a diferencia de Economía I en donde

simplemente partíamos de una función de demanda dada sin explicar de donde provenía ni porque

era así, ahora la podemos derivarla de la conducta maximizadora de satisfacción por parte del

consumidor y entender mas intrínsicamente de donde proviene la misma. Entendemos ahora más

profundamente el significado de “Cambio en la cantidad demandada” es decir el desplazamiento

� �!�

a lo largo o sobre la curva de demanda del agente como la respuesta óptima del consumidor ante

un cambio de precios. El consumidor se desplaza a lo largo de la curva de demanda en dicha

dirección y en esa magnitud pues hacerlo de ese modo es lo que maximiza su bienestar.

Ahora bien, continuando con el ejemplo de recién, podemos dar un paso mas, y preguntarnos

como podríamos representar geométricamente la función de demanda sin construir una tabla de

puntos y graficarlos pues, una gráfica de puntos es una manera muy imprecisa de graficar una

función. Una forma de hacerlo es obtener la expresión analítica exacta de dicha función de

demanda que representamos recién de la siguiente forma.

En el problema de optimización que resolvimos recién, en vez de trabajar con un valor numérico

para el precio de X, simplemente trabajaremos ahora con un valor paramétrico genérico igual a Px.

Efectuando los cálculos resulta: �

( & )��8 �

� � '%%

� �

�

� � �

�� � � �

=

+ =

Despejando y de la restricción y sustituyendo en la función de utilidad resulta:

�

( & )

'%%��8 � ( )

� �� �

��� � �= −

Derivando con respecto a x, igualando a cero y despejando x resulta:

�

*

'%%9� ( ):

�%%� � %�

��� � �

��� ��

−= � =

Para obtener el valor óptimo de Y sustituimos el óptimo de X en la restricción presupuestaria, con

lo que resulta:

* '%%

��

��=

Así, la expresión * �%%

��

��= �es la función exacta que representamos en la gráfica anterior por lo

tanto ahora tenemos una fórmula precisa para determinar cuanto demandará el consumidor a cada

nivel de precios. Observe el lector también, como evaluando en la expresión anterior cada uno de

los precios de la tabla obtenemos las cantidades óptimas de la segunda columna. Así, además de

haber obtenido la expresión exacta de la función de demanda, contamos con una fórmula que nos

indica el óptimo del consumidor para cada nivel de precios sin necesidad de resolver el problema

� �"�

de optimización de párrafos mas arriba cada vez que necesitamos saber cual es la cesta de

consumo que maximiza el placer del consumidor.

Cambios en la Demanda Si uno se pregunta que sucedería con la demanda del bien X si se produjese un aumento del

Ingreso, uno en Economía I respondía diciendo que la demanda se desplazaba a la derecha o la

izquierda dependiendo de si el bien era normal o superior, pero no entendía porque esto era así y

además no sabía exactamente en que magnitud específica ocurría dicho desplazamiento.

Ahora, al contar con la conducta maximizadota de utilidad sujeto a una restricción presupuestaria

podemos entender en detalle lo que ocurre con la demanda del Bien X. Para ello simplemente

debemos resolver sucesivos problemas de optimización para un conjunto de precios de X y

construir una tabla como se explicó anteriormente pero con la diferencia que ahora modificaremos

uno de esos parámetros que se mantuvieron constantes, en este caso el Ingreso del Consumidor.

Continuando con el ejemplo anterior, si se resuelve el problema de maximización de Utilidad sujeto

a la restricción de presupuesto que resolvimos anteriormente para precios de X iguales a 1, 2, 3, 4,

5 manteniendo el precio de Y fijo en 3 pero modificando ahora el ingreso a 200 se arribarían a los

siguientes resultados:

Px X*

1 133,3

2 66,6

3 44,4

4 33,3

5 26,6

En donde en la tabla anterior se muestran las diversas cantidades del bien X que maximizan la

utilidad del Consumidor a medida que se van modificando el precio del bien X y permaneciendo el

precio del bien Y constante pero con un ingreso ahora igual a 200. Si representamos gráficamente

cada uno de esos puntos colocando el precio en las ordenadas y las cantidades óptimas en las

abscisas (en color azul) y la comparamos con la gráfica anterior (roja) resulta:

� �$�

De esta manera observamos que al modificar el Ingreso, el consumidor desea consumir más

unidades de X a cada nivel de precio en comparación a la situación anterior. En términos

geométricos vemos que la gráfica se ha desplazado hacia la derecha indicando que ahora el

consumidor desea consumir más.

Ahora uno se podría preguntar como se modificaría la demanda si el ingreso fuese de 300, 500 o

de 50. Para responder esa pregunta, podríamos resolver todo como lo hicimos anteriormente o

mejor aún, podríamos evitarnos resolver todos esos problemas de optimización resolviendo sólo

uno de manera genérica como recién:

Efectuando los cálculos resulta:

�

( & )��8 �

� � �%%

� �

�

� � �

�� � � �

=

+ =

Despejando y de la restricción y sustituyendo en la función de utilidad resulta:

�

( & )

�%%��8 � ( )

� �� �

��� � �= −

Derivando con respecto a x, igualando a cero y despejando x resulta:

�

*

�%%9� ( ):

�%%� � %�

��� � �

��� ��

−= � =

� �%�

Y sustituyendo luego en la restricción presupuestaria resulta:

* �%%

��

��=

Así, la expresión * �%%

��

��= �es la función exacta que representamos en la gráfica anterior en

color azul por lo tanto ahora tenemos una fórmula precisa para determinar cuanto demandará el

consumidor a cada nivel de precios cuando tiene un ingreso de 200.

Por último podríamos resolver el problema mas general en donde en vez de trabaja con un nivel de

ingreso numérico, lo hacemos con un nivel de ingreso paramétrico igual a M. Así, el problema

resulta:

�

( & )��8 �

� �

� �

�

� � �

�� � � � �

=

+ =

Despejando y de la restricción y sustituyendo en la función de utilidad resulta:

�

( & )��8 � ( )

� �� �

� ��� � �= −

Derivando con respecto a x, igualando a cero y despejando x resulta:

�

*

9� ( ):�� � %�

� ��� � �

��

�� ��

−= � =

Y sustituyendo lo anterior en la restricción de presupuesta queda:

*

�

��

��=

Ésta última es la expresión general de la demanda que depende tanto del precio del bien X como

del ingreso e indica la manera precisa y exacta en que la demanda se desplaza ante cualquier

modificación en el ingreso.

� �'�

Así, al modificar dicho parámetro, las cantidades de X que maximizan la Utilidad a cada nivel de

precios se modifican desplazando la curva de demanda en relación al caso anterior. De esta

manera las características intrínsecas propias del consumidor referentes a sus preferencias por los

bienes, las cuales se hayan plasmadas en su función de Utilidad, proveen toda la información

necesaria para entender como el consumidor modifica sus decisiones óptimas de consumo ante

una modificación del Ingreso.

Algo similar podemos realizar con modificaciones en el precio del otro bien y observar como el

agente responde modificando sus decisiones de consumo y llegar a arribar una expresión de

función de demanda que dependa tanto del precio de X como del Ingreso como del precio del bien

Y2.

De esta manera, teniendo información sobre las preferencias del agente, estamos en concisiones

de entender como el consumidor modificará sus decisiones de consumo ante cambios en algunos

de los parámetros. Así, entendiendo como el consumidor lleva a cabo su proceso de elección de

sus cestas de consumo, estamos en condiciones de efectuar predicciones mas precisas a la

manera en que le consumidor responde ante cambios en los parámetro de su entorno.

Curva Ingreso Consumo Un importante instrumento de análisis frecuentemente utilizado en Teoría del Consumidor, a los

fines de explorar la manera en que el consumidor modifica sus canastas de consumo, es la

denominada Curva de Ingreso Consumo.

La misma indica las distintas combinaciones de bienes X e Y que el consumidor desea adquirir, en

el sentido que maximizan su Utilidad, a medida que el ingreso varía sucesivamente y el precio de

los bienes se mantiene constante. En términos geométricos la gráfica sería la siguiente:

�

���������������������������������������������������;�����������������6��������������������,���1�����������������������������������������������.����/��1�������������������-�����&��������,��������<�����.�������������������������������������5��������1����������.��������������-��������������1�������,������5���4������,��������������������&�������������������������������������������������0� �������������������������������������������.���������������������������������.������������������������������������������-�����0�

� ���

Así, se muestran las sucesivas restricciones presupuestarias para distintos niveles de ingreso y sus

respectivas curvas de indiferencias. Para cada restricción presupuestaria asociada a un nivel de

ingreso le corresponde una única cesta de consumo que se obtienen de las condiciones de

tangencia entre Restricción Presupuestaria y Curva de Indiferencia. De esa manera se puede

visualizar un conjunto de cestas de consumo óptimas asociadas a diversos niveles de ingreso. Si

se unen cada uno de los puntos de tangencia se puede encontrar geométricamente la Curva de

Ingreso – Consumo, que no es otra cosa mas que el lugar geométrico o conjunto de puntos que

muestran las diversas cestas de consumo que el consumidor adquirirá a medida que su ingreso

varía sucesivamente mientras los precios de los bienes X e Y permanecen constantes.

En términos funcionales, la Curva de Precio Consumo (CPC) es una función que relaciona Y con X

para un conjunto dado de parámetros Px y Py, así en términos generales:

( & & )� � � �� ��=

Para hallar algebraicamente la Curva de Ingreso Consumo, debemos proceder como sigue:

1.- obtener las funciones de Demanda de los bienes X e Y como funciones de Px, Py y M

2.- Despejar de la demanda del bien X, el valor del Ingreso, M, en función de X, Px y Py.

3.- Sustituir en la función de demanda de Y la aparición de M por la expresión encontrada en el

punto anterior.

Para clarificar mejor esta metodología, ilustremos con un ejemplo. Supongamos que las

preferencias de un individuo están representadas por la siguiente función de Utilidad:

�( & )� � � � �=

� ���

Para hallar las funciones de demanda procedemos resolviendo el siguiente problema de

optimización restringida:

�

( & )��8

�

� �

� �

� � �

�� � � � � �

=

+ =

Cuya solución nos arroja:

�( & & )

�

( & & )�

�� �� �� �

��

�� �� �� �

��

� =���� =��

Despejando M de la función de demanda del bien X resulta:

�

�

�

�

��

��

��� �

=

=

Sustituyendo en la función de demanda de Y queda:

�

�

�*�

�

��

��

��� �

��

��� �

��

=

=

=

Luego, esta última expresión indica las relación entre los valores óptimos de consumo de los

bienes X e Y a medida que varía sucesivamente el ingreso. Si suponemos además que los precios

de los bienes X e Y son 5 y 10 respectivamente, la Curva de Ingreso Consumo adopta la siguiente

expresión:

�

'

�

��� �

��

� �

=

=

Cuya representación geométrica será:

� ���

Así dadas las particularidades de las preferencias de este consumidor descriptas en su función de

Utilidad, a medida que aumenta sucesivamente el ingreso siempre desea consumir los bienes X e

Y en una proporción constante 4 unidades de X por cada una unidad de Y. Esto no siempre se

verifica, ya que dependiendo de las funciones de utilidad, las curvas de Ingreso Consumo podrían

ser curvas que no conserven un relación constante de proporcionalidad en el consumo si no que

las proporciones de consumo varían acorde el nivel de ingreso.

Otra cuestión a destacar es que la curva de Ingreso Consumo se traza manteniendo constantes los

valores de los precios de los bienes. Si estos varían se producirían traslados de la curva, por

ejemplo si los precios fuesen de 25 y 10 para X e Y respectivamente la Curva de Ingreso Consumo

sería:

�

��� �

��

� �

=

=

Con lo cual aumentaría su pendiente indicando que ahora si los precios son 20 y 10 a medida que

el ingreso aumenta sucesivamente las proporciones en que se consumirán X e Y serán de una

unidades de X por una unidad de Y. La siguiente gráfica muestra el desplazamiento de la Curva de

Ingreso Consumo.

� ���

Recordar entonces que los precios de X e Y actúan como parámetros que desplazan a la Curva de

Ingreso Consumo (CIC) en la dirección y sentido que lo indique la expresión analítica general que

para la función de utilidad del ejemplo es:

�

��� �

��=

Con lo que aumentos en el nivel de precios de X traslada la CIC hacia arriba mientras que

aumentos en el precio de y la trasladan rotando hacia abajo.

Recordar que cada función de Utilidad genera una forma funcional distinta para la CIC por lo que si

cambiamos la función de Utilidad cambiará totalmente la forma funcional de la CIC pudiendo ser

incluso líneas curvas en vez de rectas como en el ejemplo tratado.

Curva Precio Consumo Otro instrumento útil para el análisis de Teoría del Consumidor es el de Curva de Precio Consumo.

La misma es el lugar geométrico o conjunto de puntos X e Y que indican las diversas cestas

óptimas de consumo que el individuo desea adquirir a medida que varia sucesivamente el precio

de uno de los bienes, en este caso el del bien X, permaneciendo el precio de los demás bienes

constantes al igual que el ingreso.

En términos funcionales, la Curva de Precio Consumo (CPC) es una función que relaciona Y con X

para un conjunto dado de parámetros Py y M, así en términos generales:

( & & )� � � �� �=

� � �

Geométricamente será una gráfica como la siguiente:

Donde en color verde se representa la curva que une los sucesivos puntos de tangencia de las

Curvas de Indiferencia (color rojo) con las rectas presupuestarias generadas ante sucesivas

variaciones del precio del bien X. Dicha curva en color azul es la CPC. Obsérvese como al estar

constante el precio de Y y el Ingreso, la recta presupuestaria rota manteniendo fija su ordenada al

origen al variar Px.

Para hallar algebraicamente la Curva de Precio Consumo, debemos proceder como sigue:

1.- obtener las funciones de Demanda de los bienes X e Y como funciones de Px, Py y M

2.- Despejar de la demanda del bien X, su propio precio

3.- Sustituir en la función de demanda de Y la aparición de Px por la expresión encontrada en el

punto anterior.

Para clarificar mejor esta metodología, ilustremos con un ejemplo. Supongamos que las

preferencias de un individuo están representadas por la siguiente función de Utilidad:

( & ) ��()� � � � �= +

Para hallar las funciones de demanda procedemos resolviendo el siguiente problema de

optimización restringida:

��

��

�!��������������������"����

�"�

���

�!��

!�

��

��

�#��

� �!�

( & )��8 ��()

�

� �

� �

� � �

�� � � �� �

= +

+ =

Cuya solución nos arroja:

( & & )

( & & )

� ��� �� �� �

��

��� �� �� �

��

−� =���� =��

Despejando Px de la función de demanda del bien X resulta:

'

� ���

��

���

�

−=

=+

Sustituyendo en la función de demanda de Y queda:

( ')

���

��

��

�� �

=

=+

Luego, esta última expresión indica las relación entre los valores óptimos de consumo de los

bienes X e Y a medida que varía sucesivamente el precio del bien X. Si suponemos además que el

precio del bien Y es de 10 y el Ingreso 100, la Curva de Precio Consumo adopta la siguiente

expresión:

( ')

'%

( ')

��

�� �

��

=+

=+

Recordar que tanto el precio de Y como el nivel de Ingreso M, actúan como parámetros que

desplazan a la Curva de Precio Consumo (CPC) en la dirección y sentido que lo indique la

expresión analítica general que para la función de utilidad del ejemplo es:

� �"�

( ')

��

�� �=

+�

Con lo que aumentos en el nivel de precios de Y traslada la CPC hacia abajo mientras que

aumentos en el ingreso M la trasladan hacia abajo para el caso de la función de Utilidad del

Ejemplo tratado.

Recordar que cada función de Utilidad genera una forma funcional distinta para la CPC por lo que

si cambiamos la función de Utilidad cambiará totalmente la forma funcional de la CPC

Efecto Sustitución – Efecto Ingreso Supongamos un consumidor que posee unas preferencias dadas por:

�( & )� � � � �=

Como según vimos en secciones anteriores al tratar con este ejemplo las funciones de demanda

de X e Y venían dadas por:

�( & & )

�

( & & )�

�� �� �� �

��

�� �� �� �

��

� =���� =��

Si nos concentramos en la demanda de X y suponemos que inicialmente los precios de X e Y son

de 5 y 10 respectivamente, mientras que el ingreso del Consumidor es de 100. la cantidad

demandada de X sería:

�( & & )

�

�*'%%(�&'%&'%%)

�*�

�%%(�&'%&'%%)

'�

(�&'%&'%%) '�&�

�� �� �� �

��

�

�

�

=

=

=

=�

Es decir el si el precio de X es de 5, el consumidor adquirirá 15.33 unidades del bien X, pues esa

es la cantidad que maximiza su utilidad.

� �$�

Supongamos ahora que el precio de X se reduce en 2 unidades quedando ahora en un valor de 3.

La cantidad demanda ahora, manteniendo todo lo demás constante será:

�( & & )

�

�*'%%(�&'%&'%%)

�*�

�%%(�&'%&'%%)

$

(�&'%&'%%) ��&�

�� �� �� �

��

�

�

�

=

=

=

=�

En otra palabras, si el precio de X se reduce de 5 a 3, este consumidor deseará adquirir 6.88

unidades mas del bien X aproximadamente. Ante este fenómeno uno se pregunta:

1.- ¿Qué parte de ese aumento en el consumo de X se deberá a que el bien X es ahora

relativamente mas barato que el bien Y?

2.- ¿Qué parte del aumento se debe al hecho de que al reducirse el precio del bien X ahora puede

adquirir una cantidad mayor de bienes dado que su ingreso permaneció constante.

Responder al primer interrogante motiva la creación del siguiente concepto: “Efecto Sustitución”.

El Efecto Sustitución indica la parte de la variación en la cantidad demanda de un bien (al

modificarse su precio) que se debe exclusivamente al hecho de que ahora un bien es mas barato

que el otro y por lo tanto se ha sustituido consumo de uno por el de otro. En otras palabras el

efecto sustitución mide el cambio experimentado en el consumo a consecuencia que ahora se

consume mas de un bien (el relativamente mas barato) y menos del otro (el relativamente mas

caro), es decir lo que se deja de consumir de un bien se consume del otro.

La respuesta a la segunda pregunta genera otro nuevo concepto en Microeconomía: El Efecto

Ingreso. El efecto Ingreso mide la parte de la variación en el consumo de un bien, generado por

una modificación en su precio, que se debe exclusivamente a que su ingreso real ha variado. El

ingreso real de una persona indica cuantas unidades de un bien puede adquirir con su ingreso

monetario, así por ejemplo, si tanto el ingreso monetario M como el precio de los bienes aumentan

ambos en una misma proporción, el ingreso real no aumenta pues si bien aumento su ingreso

monetario también aumento el precio de los bienes. En otras palabras el ingreso real mide los

ingresos de los consumidores pero en términos de unidades monetarias si no en términos de

cuantas unidades de bienes puede adquirir.

De esta manera, si el precio del bien baja como en el ejemplo tratado, ahora este consumidor

experimentará un incremento de su ingreso real, pues al ser mas barato uno de los bienes ahora

� �%�

puede adquirir más bienes que antes, y en parte esto está explicando la variación total

experimentada en el consumo.

Así, el efecto ingreso indicará que parte de la variación total del consumo (en este caso aumento

del consumo de X) se debe exclusivamente al hecho de que su ingreso real se ha modificado al

cambiar el precio de uno de los bienes (en este caso al bajar el precio de X aumenta el ingreso real

del consumidor).

Entonces para descomponer la variación total en cantidad demandada necesitamos de alguna

manera poder aislar ambos efectos mediante la definición de algún indicador de bienestar como

medida del ingreso real.

Uno de los elementos necesarios para computar la descomposición de efectos es contar con una

idea de cuanto hubiese consumido este individuo con los nuevos precios vigentes si de alguna

manera pudiese dejarse su ingreso real constante o su bienestar. Si logramos encontrar las

cantidades demandas aislando el efecto ingreso, lo que obtendremos será el efecto sustitución

puro.

Una forma de lograr esto tratando de averiguar cuanto consumiría a los nuevos precios si su renta

monetaria de alguna manera se ajustase para que en la nueva cesta de consumo óptima su

bienestar sea exactamente igual al que tenía a los precios viejos.

Trasladando esto a una gráfica se tendría lo siguiente:

Donde a los precios iniciales (Px = 5, Py = 10, M = 100) la cesta de consumo óptima es A = (x0, y0)

como consecuencia de la tangencia entre la recta presupuestaria inicial y la curva de indiferencia

$�

��

��

��

��

8%��������������8������8'�

<%��

<'���

<�� !�

��

�% ��

� �'�

U0. Por otro lado, a los nuevos precios y con el ingreso monetario de 100, (Px=3, Py=10, M=100),

el consumo óptimo es la cesta B = (x1, y1), siendo ahora el resultado de la tangencia entre la nueva

recta presupuestaria (la cual rotó hacia la derecha pivotando sobre la ordenada al origen ante la

caída en Px) y la curva de indiferencia U1.

De esta manera el cambio total en el consumo como consecuencia de la caída del precio de X de 5

hacia 3 es:

' %� � �∆ = −

Para averiguar ahora cuando hubiese comprado el consumidor del bien X al nuevo nivel de precios

pero utilizando un nivel de Ingreso tal que en el óptimo resultante su nivel de satisfacción o utilidad

sea exactamente igual al que gozaba antes del cambio de precio. Utilizar un nivel de renta con

éstas características, que ante un cambio de precios el nuevo óptimo no modifica su bienestar

anterior, tiene la ventaja que de alguna manera elimina el efecto ingreso incluido en el cambio total

al implícitamente haber asociado el efecto ingreso a mejoras en el bienestar. Si una reducción del

precio incrementa el ingreso real y por ende su bienestar (recuerde el lector que ante una

reducción de precios el consumidor pasó a ubicarse en un nuevo óptimo posicionado sobre una

curva de indiferencia mas alta, U1, mejorando así su bienestar), para aislar esa mayor renta una

forma de hacerlo es considerar una nueva renta tal que en el nuevo óptimo su bienestar no mejore

lo que en términos geométricos implica que la nueva recta presupuestaría a los nuevos precios

debe ser tangente a la curva de inferencia original U0. De esta manera el óptimo que resulte con

esta nueva renta a los nuevos precios será en el gráfico exactamente igual a X2. donde la

tangencia se da sobre la misma curva de Indiferencia original. Al haber permanecido constante su

nivel de bienestar su renta real también lo hizo por lo que el desplazamiento de X0 a X2 se ha

debido exclusivamente al cambio de precios, es decir a una sustitución entre el bien X y el bien Y.

En consecuencia podemos afirma que el Efecto Sustitución (ES) será:

� %%� � �= −

Y el efecto ingreso el resto del cambio total no debido al efecto sustitución, así Efecto Ingreso (EI):

' �%& � �= −

En otras palabras el cambio total en el consumo de X se puede descomponer así:

' �� %

' %

( ) ( )

� %� %&

� � �� �

� � �

∆ = +∆ = + −−∆ = −

� ���

Así el cambio X2-X0 se debe exclusivamente al hecho de que el individuo sustituyó consumo entre

X e Y por ser X ahora mas barato en términos relativos que Y y el cambio X1-X2 se debe al hecho

de que el agente dispone ahora en términos reales de mayor ingreso.

Continuando con el desarrollo del ejemplo de párrafos mas arriba, nos encontramos con que

tenemos los siguientes valores:

%

'

(�&'%&'%%) '�&�

(�&'%&'%%) ��&�

� �

� �

= =

= =

�

�

Para computar el valor intermedio X2, necesitamos encontrar un punto sobre la nueva recta

presupuestaria que resulta tangente a la vieja curva de indiferencia U0. Previamente debemos

entonces encontrar el nivel de bienestar del consumidor cuando consumía inicialmente la cesta (X0,

Y0), evaluando en la función de utilidad los valores de X0, Y0 . Encontrando antes el valor de Y0 que

es el valor consumido de Y cuando los precios son Px=5, Py=10 y M = 100, se tiene, utilizando la

función de demanda encontrada párrafos más arriba, lo siguiente:

( & & )�

'%%(�&'%&'%%)

�*'%

(�&'%&'%%) �&�

�� �� �� �

��

�

�

=

=

=�

�

�

Teniendo ahora los valores de (X0, Y0) procedemos a computar el nivel de utilidad del cual gozaba

el consumidor antes del cambio de precio como sigue:

�

% %

( & )

( '�0�& �0�) !"�&�"

� � � � �

� � �

=

= = =� �

A continuación encontramos la ecuación de la curva de Indiferencia que pasa por U0, así:

�

�

�

�$�&�$

!"�&�!

� � �

��

��

==

=

� ���

Luego, la expresión anterior describe de manera algebraica la ecuación de la curva de Indiferencia

a un nivel de bienestar exactamente igual al que el consumidor gozaba previo al cambio de precio.

Para encontrar finalmente el valor de X2, debemos encontrar el punto sobre la curva de

indiferencia que es tangente a la restricción presupuestaria a los nuevos precios Px=3 y Py =10.

Sabiendo que la pendiente de la nueva restricción presupuestaria es:

�

'%

��

��=

Y que la pendiente de la curva de indiferencia U1 es:

�

�

�

!"�0�"

�*!"�0�"

'� �&'

��

��

�� �

��

�� �

=

=

=

Nos resta solo encontrar el valor de X tal que la pendiente de U1 sea exactamente igual a 3/10. En

términos algebraicos debemos resolver la siguiente ecuación:

�

'

�

�

��������������=��������/���������������>�����������

� '� �&'

'%

'� �&' *'%

�

'!&��

�

�

�

=

=

=

�

Entonces teniendo ahora los valores de X0, X1 y X2 los respectivos valores de los ES y EI serán:

� %

'!&�� '�&��

�&%'

%� � �

%�

%�

= −= −=

' �

��&� '!&��

�0"!

%& � �

%&

%&

= −= −=

� ���

De esta manera la Variación Total de 6,88 se descompone de la siguiente manera:

�&%' �&"!

&""

� %� %&

�

�

∆ = ++∆ =

∆ =

Resumiendo, para computar el ES y el EI se deben seguir los siguientes pasos:

1.- A partir de la función de Utilidad, obtener las demandas de X e y como funciones genéricas de

Px, Py y M

2.- Encontrar X0, Y0, X1 utilizando las respectivas demandas encontradas en el apartado anterior

evaluando en los respectivos precios y la renta dada como datos.

3.- Con los valores de X0 y Y1 encontrar el nivel de Utilidad, U1, que el consumidor goza a los

precios iniciales.

4.- Con el valor de utilidad U1, encontrar la expresión de la curva de Indiferencia asociada a un

nivel de utilidad U1

5.- Computar la derivada de la Curva de Indiferencia anterior

6.- Igualar la derivada anterior al nuevo relativo de precios (pendiente de la nueva restricción

presupuestaria) y resolver la ecuación. Ese resultado será el valor de X2

7.- Computar el ES y el EI siguiendo las siguientes fórmulas:

' �%& � �= −

� %%� � �= −

Ejemplo sobre ES y EI ante un aumento de precios:

Continuando con la misma función de utilidad del caso anterior:

�( & )� � � � �=

Pero suponiendo que ahora el precio de X sube de 5 a 7 y los demás valores permanecen

constantes: M=100 y Py=10, para computar el ES y EI, primero trazaremos una gráfica aproximada

para contextualizar geométricamente el problema como sigue:

� ���

En primer lugar observe como ahora la recta presupuestaria pivota sobre la ordenada al origen

pero de derecha a izquierda ante el aumento del precio, con lo que las canastas óptimas se

posicionan en A y B antes y después del aumento de Px respectivamente.

Para computar los valores de X0, X1 y Y0 recordemos las funciones de demanda asociadas a esta

función de utilidad:

�( & & )

�

( & & )�

�� �� �� �

��

�� �� �� �

��

� =���� =��

Evaluando en los respectivos precios se tiene:

�

%

'

(�&'%&'%%) '�&�

(!&'%&'%%) $&��

� �

� �

= == =

�

Para computar el valor intermedio X2, necesitamos encontrar un punto sobre la nueva recta

presupuestaria que resulta tangente a la vieja curva de indiferencia U0. Previamente debemos

entonces encontrar el nivel de bienestar del consumidor cuando consumía inicialmente la cesta (X0,

Y0), evaluando en la función de utilidad los valores de X0, Y0 . Encontrando antes el valor de Y0 que

��

��

$�

��

��

8'���������8�����������8%�

<���

<'��

<%�

��

!�

�� �%

� � �

es el valor consumido de Y cuando los precios son Px=5, Py=10 y M = 100, se tiene, utilizando la

función de demanda encontrada párrafos más arriba, lo siguiente:

( & & )�

'%%(�&'%&'%%)

�*'%

(�&'%&'%%) �&�

�� �� �� �

��

�

�

=

=

=�

�

�

Teniendo ahora los valores de (X0, Y0) procedemos a computar el nivel de utilidad del cual gozaba

el consumidor antes del cambio de precio como sigue:

�

% %

( & )

( '�0�& �0�) !"�&�"

� � � � �

� � �

=

= = =� �

A continuación encontramos la ecuación de la curva de Indiferencia que pasa por U0, así:

�

�

�

�$�&�$

!"�&�!

� � �

��

��

==

=

Luego, la expresión anterior describe de manera algebraica la ecuación de la curva de Indiferencia

a un nivel de bienestar exactamente igual al que el consumidor gozaba previo al cambio de precio.

Para encontrar finalmente el valor de X2, debemos encontrar el punto sobre la curva de

indiferencia que es tangente a la restricción presupuestaria a los nuevos precios Px=7 y Py =10.

Sabiendo que la pendiente de la nueva restricción presupuestaria es:

!

'%

��

��=

Y que la pendiente de la curva de indiferencia U1 es:

� �!�

�

�

�

!"�0�"

�*!"�0�"

'� �&'

��

��

�� �

��

�� �

=

=

=

Nos resta solo encontrar el valor de X tal que la pendiente de U1 sea exactamente igual a 7/10. En

términos algebraicos debemos resolver la siguiente ecuación:

�

'

�

�

��������������=��������/���������������>�����������

! '� �&'

'%

'� �&' *'%

!

'�&%"

�

�

�

=

=

=

�

Entonces teniendo ahora los valores de X0, X1 y X2 los respectivos valores de los ES y EI serán:

� %

'�&%" '�&��

�&��

%� � �

%�

%�

= −= −= −

' �

$&�� '�&%"

�&�

%& � �

%&

%&

= −= −= −

Observar como el ES es negativo ya que al aumentar el precio del bien, la cantidad demanda de X

disminuye. El Efecto Sustitución siempre sigue la ley de la demanda: Si el precio del bien baja el

ES es positivo y si el precio sube el ES es negativo como vimos en cada uno de los dos ejemplos

anteriores.

Por otro lado el Efecto Ingreso es en este caso negativo pues un aumento del precio redujo la renta

real del consumidor y al ser este bien normal, su demanda se reduce también. En el ejemplo de la

sección anterior el EI era positivo pues una reducción del precio aumenta su renta real y al ser un

bien normal su demanda aumentó.

De esta manera la Variación Total de 6,88 se descompone de la siguiente manera:

� �"�

�&�� �&�

�&"'

� %� %&

�

�

∆ = +− −∆ =

∆ = −

Comentarios adicionales sobre Efecto Sustitución e Ingreso

El efecto sustitución siempre sigue la ley de la demanda, si el precio aumenta la demanda

disminuye y si el precio disminuye la demanda del bien aumenta.

Sin embargo el efecto ingreso podría ser ambiguo dependiendo de si el bien es normal o superior.

Así si el bien es normal un aumento de precio reduce su ingreso real y por el efecto ingreso

reducirá también su consumo reforzando al efecto sustitución. Si el bien es inferior, un aumento de

precios reduce su ingreso real y por efecto ingreso su demanda aumentará mientras que por efecto

sustitución su demanda se reducirá. Así, si el bien es inferior, efecto sustitución e ingreso mueven

el consumo del bien en direcciones opuestas, pudiendo en un caso extremo el efecto ingreso

dominar al efecto sustitución y revirtiendo la pendiente de la demanda. Si el bien es inferior y su

efecto ingreso dominase al efecto sustitución, el efecto final ante un aumento de precios podría ser

de un aumento en la cantidad demandada contrariando así la ley de la demanda al tener ahora la

demanda un pendiente positiva.

El caso anteriormente mencionado es algo muy excepcional y aquellos bienes que cumplieran con

esas condiciones se denominan Bienes Giffen, bienes cuyas demandas tienen pendiente positiva.

Demanda del Mercado Anteriormente hemos trabajado con la función de demanda de un individuo, de un consumidor

representativo. Si suponemos ahora que el mercado de un producto X en una determinada región

está constituída por N individuos, la demanda del mercado simplemente se obtendrá multiplicando

las cantidades demandadas a cada nivel de precios por la cantidad de consumidores idénticos al

consumidor representativo que analizamos recién.

Así, si X(Px,Py,M) es la forma funcional general de la demanda de un individuo representativo y en

el mercado existen N individuos la demanda del mercado será:

* ( & & )' � �� �� �

Si no existieren consumidores representativos en el sentido que las preferencias de la población

son muy dispares, debería obtenerse la demanda de cada individuo en base a sus preferencias y

sumarlas una por una, así:

Demanda de Mercado de X = ( & & )'

��� �� �� ��

Continuando con el ejemplo anterior, si existen en el mercado 700 indiviudos la demanda del

mercado será:

� �$�

�!%%

�

��

��=

En general, cuando existan N individuos la demanda de mercado en general dependerá de Px, Py,

M y N así:

�( & & & )

�

�� �� �� � ' '

��=

Elasticidad Si bien el lector con conocimientos introductorios en microeconomía entiende el concepto de

elasticidad, en esta sección avanzaremos en ciertas generalizaciones de la misma.

Específicamente, trabajaremos aquí con fórmulas que permitan obtener la elasticidad punto para

cualquier tipo de funciones de demanda y no solamente funciones de demanda sencillas como las

de especificación lineal vistas usualmente en cursos introductorios.

En su versión más general, una función de demanda depende, según lo visto antes, de tres

parámetros: M, Px y Py, así por ejemplo:

( & & )�� � �� �� �=

La elasticidad precio de la demanda del Bien X en un punto se obtiene por medio de:

( & & )( & & )

( & & )�

� � �# � �

� � �

� � � � �� � �

� � � � �ε

∂=

∂

Donde ( & & )� �� � � � representa la función general de demanda del bien X como una función de

( & & )� �� � � . Observe que la elasticidad precio es también una función de ( & & )� �� � � al igual que

la función de demanda.

Ilustremos lo anterior por medio de un ejemplo: Supongamos un consumidor representativo cuyas

preferencias pueden representarse por medio de una determinada función de utilidad que luego de

optimizarla resulta la siguiente función de demanda:

�

�

�( & & ) "%%

'�

� ��� �� �� �

�� ��

� �= −�

�

� �%�

Para obtener ahora la función Elasticidad precio de la demanda de Mercado, simplemente

aplicamos sobre ella la fórmula de la misma, así:

�

�

�

�

�

�

( & & )( & & )

( & & )

�9"%%( ):

'��

"%%( )'�

'� '%

'� �

� � ��� � �

� � �

�

� � � � �� � �

� � � � �

� ��

���� ��

� ���

�� ��

��� ��

��� ��

ε∂

=∂

∂ −=

∂ −

−= −−

De esta manera hemos obtenido la fórmula que permite encontrar la elasticidad precio en cualquier

punto de la curva (Px,Py,M) de la función de demanda derivada en base a las preferencias

descriptas por la función de utilidad de este nuevo ejemplo.

Podemos ahora calcular la elasticidad precio de la demanda del bien X cuando el precio de Y es de

3, el ingreso de 100 y actualmente el producto X se está vendiendo a 2. Sustituyendo en la fórmula

de recién queda:

�

�

�

�

'� '%( & & )

'� �

'�*�*'%% '%*�(�&�&'%%)

'�*�*'%% �*�

(�&�&'%%) %0$"�

��

��

��

��� ���� �� �

��� ��ε

ε

ε

−= −−−= −−

= −

Con lo cual si el precio de y es de $3, los ingresos de los consumidores son de $100, y

actualmente se está cobrando un precio de $2, si se incrementa el precio de X en un 1% las

cantidades demandas del bien se reducirán en solo un 0.983% aproximadamente, con la cual la

demanda en ese punto es inelástica.

Por otro lado la elasticidad Ingreso y las elasticidad Cruzada de la Demanda se calculan como

( & & )( & & )

( & & )

� �

� � �

� �

� � � � �� � �

� � � � �ε

∂=

∂

( & & )( & & )

( & & )

� � �

�� � �

� � �

� � � � �� � �

� � � � �ε

∂=

∂

respectivamente.

� �'�

Si continuamos con el ejemplo anterior, y aplicando dichas fórmulas a la función de demanda que

derivamos anteriormente, resulta:

�

�

�

�

�

( & & )( & & )

( & & )

�9"%%( ):

'��

"%%( )'�

'�

'� �

� �

� � �

� �

� � � � �� � �

� � � � �

� ��

��� ��

� ���

�� ��

� ��

� �� ��

ε∂

=∂

∂ −=

∂ −

=−

Que es la expresión que permite calcular la elasticidad ingreso a partir de una función de demanda

�

�

�

�

�

�

( & & )( & & )

( & & )

�9"%%( ):

'��

"%%( )'�

'%

'� �

� � �

�� � �

� � �

� � � � �� � �

� � � � �

� ��

���� ��

� ����

�� ��

��

� �� ��

ε∂

=∂

∂ −=

∂ −

=−

Si continuamos con el ejemplo anterior en donde el Px=2, Py=3 y M=100, las respectivas

elasticidades ingreso y cruzada son de:

(�&�&'%%) '&%' ���

(�&�&'%%) %&�� !"

�

��

εε

== −

Lo cual indica que el bien en ese punto es un bien normal, pues su elasticidad ingreso es positiva y

por otro lado es el bien Y es un bien complementario en ese punto de la demanda pues su

elasticidad cruzada es negativa.

Elasticidad Precio y Toma de decisiones en materia de fijación de Precios Una de las aplicaciones y usos más importante del concepto de elasticidad precio de la demanda

es la relación que existe entre ella y el Gasto Total del Consumidor o Ingresos Totales del.

Entender esta relación será crucial a la hora de tomar decisiones en cuanto a fijación de precios

que se comercializa en su empresa con el fin de maximizar los beneficios. Para analizar este

� ���

tópico, comenzaremos definiendo el concepto de gasto del consumidor, o lo que es lo mismo el

Ingreso Total (IT) percibido por los vendedores/productores que comercializan el producto que

adquieren los consumidores, así:

( ) ( )&� � � ( �=

Lo que significa que el gasto es el producto del precio pagado por la cantidad consumida. Nótese

que ambas variables, precio y cantidad, aparecen en la función de demanda. Noten además que

estas variables no varían en forma independiente sino que varían en sentido opuesto: si aumenta

el precio la cantidad demanda disminuye y si baja el precio la cantidad demandada aumenta.

Ante este movimiento opuesto del precio y la cantidad, es decir cuando uno sube el otro baja, no

queda clara en que dirección (aumento o disminución) se mueve el Gasto Total del Consumidor.

Sin embargo el concepto de elasticidad precio de la demanda es aquí sumamente útil pues de

alguna manera nos dice cual de las dos variables ha aumentado o disminuido en mayor proporción.

Por ejemplo si el precio aumenta y por ende la cantidad baja (acorde a la ley de la demanda) y si

además sabemos que la elasticidad es en valor absoluto mayor que uno (elástica) esto nos dice

que la disminución de la cantidad es proporcionalmente mayor que el aumento del precio, en

consecuencia el gasto total compuesto por P*Q deberá necesariamente disminuir pues la

reducción de las cantidades (el denominado “Efecto Q”) domina al aumento del precio (“Efecto P”,

el cual tiende a aumentar al Gasto).

Análisis similares pueden efectuar para casos de baja en el precio. En esta situación, la baja del

precio tiende a bajar el Gasto del Consumidor, pero la baja del precio genera un aumento en las

cantidades demandadas, lo cual tiende a aumentar el Gasto Total. Para saber cual de los dos

efectos predomina, hay que apelar al concepto de elasticidad. Si esta resultare ser inelástica, el

aumento en las cantidades es proporcionalmente menor que la caída en el precio por lo que el

Gasto Total tenderá a disminuir. Lo contrario ocurre si la demanda es elástica, dominará el efecto

cantidad y aumentará el Gasto Total.

Como conclusión podemos establecer que siempre que la elasticidad precio de la demanda sea

menor que uno en valor absoluto (o lo que es lo mismo: siempre que sea menor a -1) los

productores del bien deberán aumentar el precio con el fin de maximizar sus ingresos. Visto desde

otro modo si las elasticidad precio de un bien es mayor que uno en valor absoluto los empresarios

no estarían maximizando beneficios y sería útil que lo incrementasen.

Lo dicho anteriormente en un lenguaje conceptual puede formalizarse utilizando un lenguaje

algebraico y mucho mas preciso para verificar que nuestro razonamiento conceptual e intutitivo es

correcto..

Primero a la hora de decidir si es necesario modificar los precios, debemos preguntarnos que

sucedería con el Ingreso Total si se incrementase en una cantidad infinitesimal el precio del

� ���

producto, es decir debemos computar la derivada del Ingreso con respecto al Precio del Producto

como sigue:

( )( )

�&� � �(( � �

�� ��= +

Si multiplicamos el segundo termino del segundo miembro por ( )

( )

( �

( �y reordenando términos se

tiene que:

( )( ) ( )

( )

�&� � �( �( � ( �

�� �� ( �= +

Sacando factor común Q y recordando la definición de elasticidad precio, resulta:

( )( )9' ( ):��

�&� �( � �

��ε= +

Por último si los empresarios desean maximizar sus ingresos deberán igualar a cero ( )�&� �

��

Por lo tanto para hallar el valor del precio que hace cero la derivada del Ingreso con respecto al

precio del producto, se debe elegir un precio tal que su elasticidad sea igual a -1, es decir

elasticidad unitaria3. De esa manera, para cuando se fija un precio tal que la elasticidad precio del

bien es uno, se están maximizando los ingresos de la firma.

Otra cuestión que se deriva de lás fórmulas anteriores es que si la elasticidad es menor que uno en

valor absoluto, es decir está entre 0 y -1, un incremento de los precios aumenta los ingresos pues

( )�&� �

��será mayor que cero4 ya que 9' ( ):�� �ε+ será positivo. Esto implica que la función es

creciente en precios, ya que su derivada con respecto a P es positiva, y por lo tanto si aumentamos

P los Ingresos aumentarán. Desde otro punto de vista, si la elasticidad es menor que uno en valor

absoluto y aplicamos una reducción de precios los ingresos disminuirán dada que IT es creciente

en precios.

Lo contrario en el caso que la elasticidad sea mayor que 1 en valor absoluto.

Continuando con el ejemplo anterior, en donde habíamos obtenido una elasticidad precio de la

demanda igual a -0,98 aproximadamente, no encontramos que los productores pueden aumentar el

precio del producto X y sus ingresos aumentarán

��������������������������������������������������� �����������<��1���������������������������������������������������.����������,����������0������?�������������������������&��������@�����������8�����/����,����������������������������������0���=��������1����������.����/����������������������������&�����������������.����/��1���������������������������������,�����������������

� ���

Relación entre la Elasticidad Precio de la Demanda y la Curva de Precio Consumo Recordando el concepto de Curva de Precio – Consumo (CPC), la cual indicaba las diversas

elecciones óptimas de dos bienes X e Y a medida que variaba sucesivamente Px y todo lo demás (

M y Py) permanecía constante, podemos vincular la pendiente de dicha curva con la elasticidad

precio de la demanda de la misma.

Supongamos que la CPC luce acorde a la siguiente gráfica:

la cual muestra pendiente negativa. Demostraremos ahora que una CPC con esas

características implica que la elasticidad precio de la demanda del bien X es mayor que uno

en valor absoluto, es decir es elástica. Para ello seguiremos el siguiente razonamiento:

Dado que ha medida que nos movemos hacia la derecha sobre la CPC el precio del bien X cae

sucesivamente y el resto de las variables M y Py permanecen constante, podemos deducir que el

Gasto Total en el Bien Y se reduce a medida que nos desplazamos hacia la derecha sobre la CPC.

Esto es así, ya que al mantenerse constante el precio de Y y las cantidades óptimas consumidas

de Y disminuyen de izquierda a derecha por tener la CPC pendiente negativa, el gasto total que el

consumidor realiza en Y, (GTy), disminuye. Ahora bien, al disminuir el GTy y permanecer constante

su ingreso, el Gasto Total que el individuo realiza en la compra de X debe aumentar. Finalmente, al

aumentar el Gasto del Bien X ante una reducción de precios, el Bien X debe tener una elasticidad

mayor que uno en valor absoluto para que una reducción de precios incremente las cantidades

demandadas mas que proporcionalmente a la reducción del precio y aumentar así su gasto en ese

bien.

Supongamos ahora que la CPC muestra una pendiente positiva acorde a la siguiente gráfica:

��

��

����

� ���

Ante una CPC de estas características, demostraremos ahora que una CPC con pendiente

positiva implica que la elasticidad precio de la demanda del bien X es menor que uno en

valor absoluto, es decir es inelástica. Para ello seguiremos el siguiente razonamiento:

Dado que ha medida que nos movemos hacia la derecha sobre la CPC el precio del bien X cae

sucesivamente y el resto de las variables M y Py permanecen constante, podemos deducir que el

Gasto Total en el Bien Y aumenta a medida que nos desplazamos hacia la derecha sobre la CPC.

Esto es así, ya que al mantenerse constante el precio de Y y las cantidades óptimas consumidas

de Y aumentan de izquierda a derecha por tener la CPC pendiente positiva, el gasto total que el

consumidor realiza en Y, (GTy), aumenta. Ahora bien, al aumentar el GTy y permanecer constante

su ingreso, el Gasto Total que el individuo realiza en la compra de X debe disminuir. Finalmente, al

disminuir el Gasto del Bien X ante una reducción de precios, el Bien X debe tener una elasticidad

menor que uno en valor absoluto para que una reducción de precios incremente las cantidades

demandadas menos que proporcionalmente a la reducción del precio y disminuir así su gasto en

ese bien.

Por último, supongamos que la CPC luce con una pendiente constante, como en la siguiente figura:

��

��

��

��

����

����

� � �

Demostraremos ahora que una CPC constante implica que la elasticidad precio de la demanda

del bien X es igual a uno en valor absoluto, es decir es unitaria. Para ello seguiremos el

siguiente razonamiento:

Dado que ha medida que nos movemos hacia la derecha sobre la CPC el precio del bien X cae

sucesivamente y el resto de las variables M y Py permanecen constante, podemos deducir que el

Gasto Total en el Bien Y permanece sin cambios a medida que nos desplazamos hacia la derecha

sobre la CPC. Esto es así, ya que al mantenerse constante el precio de Y y las cantidades óptimas

consumidas de Y no se modifican por ser la CPC constante, el gasto total que el consumidor

realiza en Y, (GTy), debe ser constante también a medida que baja el precio de X. Ahora bien, al

no modificarse el GTy y permanecer constante su ingreso, el Gasto Total que el individuo realiza

en la compra de X debe permanecer también constante. Finalmente, al ser constante el Gasto del

Bien X ante una reducción de precios, el Bien X debe tener una elasticidad igual a uno en valor

absoluto para que una reducción de precios incremente las cantidades demandadas en la misma

proporción que la reducción del precio y dejar sin cambios al gasto en ese bien.

� �!�

Problemas Sobre Teoría del Consumidor

0.- Preliminares Matemáticos

1.- Repase los siguientes conceptos y significados matemáticos sin descuidar sus interpretaciones

geométricas.

i. Funciones: Concepto

ii. Funciones bivariadas: Algebra, Geometría, interpretación

iii. Curvas de Nivel: Concepto matemático, interpretación geométrica

iv. Derivadas, Derivadas Parciales

v. Optimización en una variable: Condición de Primer y Segundo Orden. Aspectos

Geométricos

vi. Optimización dos variables: Condiciones de Primer y segundo Orden. Aspectos

Geométricos

vii. Optimización con Restricciones de Igualdad: Multiplicadores de Lagrange, Condiciones

de Primer y Segundo Orden. Geometría de la Optimización

1.- Sobre Restricciones Presupuestarias

i. Defina conceptualmente que se entiende por Restricción Presupuestaria. Compare esa

definición con la de Conjunto Presupuestario. En ambas definiciones asuma el desafío de

usar conceptos, que sin ser imprecisos, permitan a alguien que no estudie Economía

entender con claridad lo que le está diciendo.

ii. Defina ahora Restricción Presupuestaria y Conjunto Presupuestario de manera algebraica.

Utilice solo simbología Matemática. Suponga para ello un nivel de Ingreso constante igual

a M, y precios de dos bienes X y Y también constantes iguales a Px y Py respectivamente

iii. Defina ahora los conceptos anteriores de manera Geométrica. Trace una gráfica

aproximada.

iv. En base a la gráfica de la Recta Presupuestaria anterior calcule su ordenada y su abcisa al

origen de manera algebraica. Defina en términos conceptuales-económicos (use sólo

palabras del lenguaje cotidiano) ordenada al origen y abcisa al origen explicando porqué

esa definición coincide con el resultado algebraico anterior. Observe como los tres

lenguajes (algebraico, geométrico y conceptual) dicen exactamente lo mismo pero desde

distintos enfoques.

� �"�

v. Halle la pendiente de la Recta Presupuestaria algebraicamente. Interprete dicha pendiente

en base al concepto de “Costo de Oportunidad” primero y en base al concepto de

“Valoración Objetiva del Mercado” de un bien en términos del otro después. Reflexione

nuevamente sobre la coincidencia de ambos lenguajes.

vi. Suponga un aumento en el nivel de Ingreso de éste consumidor manteniendo todos los

demás parámetros constantes. Analice los efectos geométricos, algebraicos y

conceptuales como consecuencia de tal cambio en: Abcisa al origen, Ordenada al Origen y

Pendiente. Contemple en cada caso la coincidencia del triple lenguaje (conceptual,

algebraico y geométrico)

vii. Suponga ahora un aumento en el precio del Bien X, Px, permaneciendo todo lo demás

constante. Analice todos los efectos de tal cambio igual que en el caso anterior.

viii. Ídem que en el apartado anterior pero con el Bien Y. (Advertencia: no subestime el hecho

de que éste ejercicio es igual que el anterior y caiga en la tentación de darlo por sabido,

puede hallarse con sorpresas, especialmente en lo que se refiere a las interpretaciones

conceptuales)

ix. Ídem que en los tres apartados anteriores pero suponiendo caídas en el ingreso primero,

caída en el precio de X después y finalmente caída en el precio de Y. (Vale la misma

Advertencia del Apartado anterior)

x. Analice los efectos sobre la Recta presupuestaria (Pendiente, Ordenada y Abcisa al origen)

de un aumento proporcional e igual en el precio de ambos bienes permaneciendo el

nivel de Ingreso Constante.

xi. Examine las consecuencias sobre la Recta Presupuestaria de un aumento proporcional e

igual en todos los parámetros: M, Px, y Py.

xii. Realice todos los apartados anteriores pero suponiendo los siguientes datos: M=$100;

Px=$5; Py=$2. Cuando analice subas o bajas en los precios o niveles de ingreso suponga

aumentos de o reducciones de $1.

2.- Sobre Preferencias del Consumidor

i. Defina conceptualmente la noción de “Función de Utilidad” y explique para qué sirve. De

ejemplos Algebraicos de las mismas y represente gráficamente las mismas en 3D. (No se

preocupe si las gráficas se les complican, basta con un pequeño esbozo aproximado)

ii. Suponga que las preferencias de un consumidor pueden ser representadas por la siguiente

función de Utilidad:

(& )� � � ��=

determine cual de las siguientes dos cestas de consumo le reporta mayor satisfacción al

� �$�

individuo.

A: (1,7)

B: (2,3)

iii. Ídem que el anterior pero para las siguientes funciones de Utilidad:

� �

� �

� �

) (& )

) (& ) �%

) (& ) & %

) (& ) & & %

) (& ) ��() ��()

) (& ) ���() ���()

) (& ) ��()

) (& ) '%% � �

) (& ) ( ') ( �)

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � )� � )

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

* � � � � �

� � � � � �

α β

α β

α βα β

=== >= >= += += += + += − + −

Los casos c) y d) omítalos por el momento.

iv. Defina “Utilidad Marginal” de un bien de manera conceptual y calcule la UMgx y la UMgy.

en base a la función de Utilidad del apartado ii). Recuerde que al igual que la función de

Utilidad, las Utilidades Marginales son funciones de las dos variables: x e y

v. Ídem que el anterior pero para todas las funciones

vi. Siguiendo con las preferencias del apartado ii), Halle analíticamente la ecuación de las

curvas de Indiferencias que pasan por las cestas A y B respectivamente. Defina “Curva De

Indiferencia” de manera conceptual y trace una gráfica aproximada

vii. Ídem que el anterior pero para la totalidad de las funciones del apartado iii)

viii. Defina Tasa Marginal de Sustitución de manera conceptual en términos de Unidades de

sacrificio y en términos de Valoración Subjetiva y propia del individuo de un bien en

términos del otro.

ix. Calcule analíticamente la Tasa Marginal de Sustitución (TMS) como la pendiente

(derivada) de las curvas de indeferencias que halló en el apartado vi) evaluadas en las

cestas A y B respectivamente. Interprete conceptualmente

x. Ídem que el anterior pero obtenga la TMS en los puntos A y B como cociente cambiado de

signo de las Utilidades Marginales. Para ello calcule las respectivas derivadas parciales,

forme el cociente, cambie el sigo y evalúe en los pares ordenados A: (1,7) y B: (2,3).

Interprete conceptualmente y compruebe que obtuvo el mismo resultado que en el ejercicio

anterior.

xi. Suponga ahora la cesta C: (4,5). Calcule la TMS por el Método de la pendiente de la Curva

de Indiferencia (CI). Para ello, calcule la Utilidad alcanzada en ese punto, iguale la

expresión de la función de Utilidad del ejercicio al nivel de utilidad en C (en éste caso es

� %�

xy=20) despeje para obtener la CI en términos analíticos, derive con respecto a x y evalúe

en el punto x=4. Calcule además por el Método del Cociente de Utilidades Marginales.

Verifique.

xii. Para las funciones de utilidad del apartado iii), excepto apartados c) y d) calcule la TMS en

la Cesta A por ambos métodos.

3.- Sobre Óptimo del Consumidor y Funciones de Demanda

i. Suponga un consumidor cuyas preferencias están descriptas por la función de utilidad U(x,

y) = xy, que los precios de los bienes X e Y están fijos en $2 y $5 respectivamente y que

posee ingresos fijos de $100. En base a dicha información determine la cesta de consumo

dentro de su restricción presupuestaría que maximiza su Utilidad. Para ello plantee el

problema de Optimización restringida pertinente, forme la función Lagrangeana y resuelva.

Esboce dos gráficas, una en 3D y otra en los ejes x,y que describan el problema anterior.

Explique el significado de los valores hallados cómo óptimos de este consumidor.

ii. Indique si las cestas (10, 16), (30, 8) y (50, 20) constituyen un optimo justificando

geométrica, analítica y conceptualmente en base a los datos del apartado anterior.

iii. Suponga que los precios del bien X se modifican de la siguiente manera permaneciendo

todo lo demás constante:

'

�

�

�

�

) A'

) A�

) A�

) A�

) A�

�

�

�

�

�

� �

� �

� �

� �

� �

=

=

=

=

=

Para cada valor del nuevo precio de x halle la nueva cesta de consumo que maximiza la

utilidad de éste consumidor es decir resulta 5 problemas de optimización restringida como

los del ejercicio anterior.. En base a esos resultados construya una tabla con dos

columnas: una con el precio del bien x y otra con el nivel de consumo óptimo del bien x.

Interprete los resultados hallados. Confeccione dos gráficas: en una muestre en el plano

x,y como los sucesivos cambios del bien x afectan la pendiente y la abcisa al origen de la

Recta Presupuestaria (RP) y los nuevos puntos de tangencia entre la RP y las CI, y en otra

grafique en el plano x,Px la tabla colocando el precio de x en las ordenadas y las

cantidades óptimas en las abscisas. ¿Qué nombre recibe ésta tabla y la última gráfica?

Interprete

iv. Ídem ejercicio anterior solo que para un nivel de Ingresos de $200. Calcule los nuevos

óptimos, y realice ambas graficas. Compare la segunda gráfica de este ejercicio con la

� '�

segunda grafica del apartado anterior e interprete a ella como un cambio en la demanda de

x como consecuencia del aumento del ingreso. Haga lo mismo pero ahora para un ingreso

de $50.

v. Ídem que el apartado anterior pero modificando el precio del bien y a 7 unidades. Observe

como en este caso particular de función de utilidad los bienes x e y resultan ser

independientes pues los precios del otro bien no afectan la demanda (para otras funciones

ésto no se verifica, pruebe por ejemplo con la función del apartado 2-ii-g).

vi. Gracias al ejercicio anterior uno comienza a entender el significado y el origen de las

funciones de demanda y comienza a entender porqué las funciones de demanda dependen

del precio del propio bien, del ingreso y del precio de otros bienes. Sin embargo para llegar

a la misma hay que construir una tabla mediante la resolución de innumerables problemas

de optimización lo cual es largo y tedioso. Con este fin, se procede a eliminar ésta

dificultad. Para ello resuelva el problema del apartado 2-i) pero trabajando con parámetros

sin especificar es decir trabaje con Px, Py y M de manera genérica y algebraica. Forme el

Lagrangeano y resuelva algebraicamente. Observe que los nuevos óptimos que Ud. hallo

pueden interpretarse como funciones que dependen de los parámetros Px, Py y M. Éstas

funciones son las mismas funciones de demanda que hallo Ud. anteriormente. Para

verificar la veracidad reproduzca las tablas anteriores evaluando en las funciones de

demanda genéricas de este apartado los datos consignados en los apartados anteriores.

vii. En base a las funciones de demanda del apartado anterior, observe como ahora es posible

graficar la función de manera continua y no solo unos 5 puntos como cuando graficaba en

la tabla. Observe también como puede obtener la expresión analítica exacta de cada una

de las curvas de demanda cuando se modifica el nivel de ingreso. Medite sobre el ahorro

de cálculos al trabajar de una manera genérica y la ganancia de precisión.

viii. Halle las funciones de demanda de los bienes x e y que dependen de Px, Py y M para cada

una de las funciones de Utilidad del apartado 2-ii) excepto los sub-apartados h e i.

Interprete y grafique cuando sea posible.

ix. Defina “Curva de Ingreso Consumo” (CIC) en términos conceptuales y calcúlela

analíticamente en base a las funciones de demanda del Apartado vi) (Ayuda: despeje M de

la función de demanda del bien x y substitúyala en la función de demanda del bien y de

modo de arribar a una expresión que dependa solo de x (y=g(x)) Dado que la CIC se

define manteniendo constantes los precios de los bienes x e y fije a los mismo en $2 y $5

respectivamente.

x. ¿Que sucede con la CIC si cambian los precios de los bienes x e y?

xi. Defina “Curva de Engel” (CE). Observe que la expresión analítica de la misma es la

misma función de demanda manteniendo fijo los precios de los bienes x e y. Su

representación gráfica es la demanda dibujada en el plano x,M.

xii. ¿Qué sucede con la CE si se modifican los precios?

� ��

xiii. Obtenga la pendiente de la misma y explique que significa. Clasifique al bien en base a ello

en Normal, Inferior o Neutro.

xiv. Resuelva los tres apartados anteriores para las funciones de demanda del apartado 2-iii)

excepto puntos h e i.

xv. Defina “Curva Precio Consumo” o “Curva Oferta Precio” de manera conceptual. Trace

una gráfica aproximada de la misma en base a los datos del ejercicio y suponiendo un

Ingreso constante e igual a $100 y el precio del bien e igual a $5. Observe que la gráfica de

esta curva ya la realizó de manera aproximada en el primer gráfico del apartado iii).

Obtenga la expresión analítica de la misma (Ayuda: despeje Px de la ecuación de la

demanda del bien x y sustitúyala en la ecuación de la demanda del bien y. Si dado los

datos particulares de la función de Utilidad se arriban a una función de demanda del bien y

que no depende del precio de x (bienes independientes) no es posible llevar a cabo la

sustitución luego la Curva de Precio Consumo es una línea horizontal constante)

xvi. ¿Que sucede con la CPC si cambian los precios del bien y o si se modifica el nivel de

Ingreso?

xvii. Resuelva los dos apartados anteriores para las funciones de demanda del apartado 2-iii)

excepto puntos h e i.

xviii. En base a las funciones de demanda del apartado vi) calcule las elasticidades punto del

ingreso, del precio del propio bien y la elasticidad cruzada. Clasifique al bien en cuestión

de acuerdo a cada una de esas elasticidades.

xix. Relacione la pendiente de la CPC con la variación del gasto en el bien x y el tipo de

elasticidad precio del bien x (elástica, inelástica o unitaria)

xx. En base a los datos del apartado i) calcule el efecto sustitución e ingreso de manera

analítica de un aumento en el precio del bien x en $1. Grafique e interprete

conceptualmente.

xxi. Ídem pero suponiendo una caída en el precio en $1 del bien x.

xxii. Ídem que apartados anteriores pero para cambios en el precio del bien y

xxiii. Ídem que en los tres apartados anteriores pero para las funciones de demanda del

apartado 2-iii) con especial atención al sub-apartado g.

xxiv. Analice los efectos en la Recta Presupuestaria de un impuesto de $1 en el precio del bien

x. Suponga un Ingreso de $100, y precios de x e y iguales a $2 y $5 respectivamente.

xxv. Analice los efectos en las demandas del consumidor (x e y) con preferencias iguales que

en el apartado i)

xxvi. Idem pero para un consumidor cuyas preferencias se describen por la función de utilidad

del apartado 2-iii-g).

� ��

4.- Demanda de Mercado

i. Suponga una Economía constituida por 100 agentes de los cuales 30 de ellos poseen

preferencias descriptas por la Función de Utilidad U(X,Y)=XY y Rentas de 200 pesos cada

una, 50 preferencias dadas por U(X,Y)=X3Y2 e Ingresos de 500 pesos cada uno y el resto

preferencias dadas por U(X,Y)=ln(X) +5Y con Ingresos de 1000 pesos. Con esa

información calcule

a. Demanda de Mercado del Bien X

b. Demanda de Mercado del Bien Y

c. Elasticidades Precio y Cruzada de ambas Demandas de Mercado

ii. Suponga una función de Demanda de Mercado del Bien X dada por QX=5-P2. A su vez

suponga que el precio de equilibrio actual es de 1. Calcule el Excedente del Consumidor.

Grafique e Interprete económicamente.

iii. Suponga ahora que el precio se modifica a 0.5. Calcule la variación del Excedente del

Consumidor indicando geométricamente su significado e interpretándolo económicamente.

� ��

�������

#��� �&��

�'��

�����

�

�

� ��

La función de Producción A los efectos ahora, de adentrarnos en el estudio de los Procesos Productivos, es sumamente útil

definir un objeto matemático que nos permita tratar desde una óptica analítica las diversas

interrelaciones entre insumos y producto final que se llevan a cabo en el proceso productivo. Dicho

objeto matemático es lo que denominaremos Función de Producción.

La función de Producción es un objeto matemático representado por medio de una función de dos

variables que indica para cada nivel de utilización de dos insumos productivos, L y K, un número

que representa la cantidad total de producto que se puede obtener.

Algebraicamente se lo representa así:

( & )( ( + ,=

Donde Q(L,K) representa a una especificación funcional genérica de dos variables.

Supongamos por ejemplo que el proceso productivo de una empresa puede ser representado por

la siguiente función de Producción:

�( & ) �( + , + ,=

Donde Q es el nivel de producción que se obtendría, L la cantidad de insumo utilizado del factor

Trabajo y K la cantidad del insumo Capital empleado en el proceso.

La expresión anterior puede representarse gráficamente por la siguiente figura que muestra en una

gráfica en 3 dimensiones la función de Producción ejemplificada anteriormente:

� �

Nótese que el dominio de la Función de Producción lo constituye el plano (L,K) en su cuadrante

positivo, es decir el espacio de insumos productivos, y sobre ese dominio y a cada punto del mismo

se le asigna un punto sobre el eje vertical Q, cuya altura representa el nivel de Producción que se

obtendría de emplear la cantidad de insumos representado en ese punto del dominio. De esta

manera si tuviésemos que comparar dos pares de insumos, para analizar cual de ellos permite

alcanzar un nivel de producción mayor solo deberíamos identificar en el dominio dichos pares de

insumos y ver cual de ellos tiene asociado un punto sobre el eje vertical a mayor altura. Analicemos

lo anterior con un ejemplo.

Supongamos además que se quieren comparar dos planes de producción5:

���('&!)�

���(�&�)

Donde el primer componente de cada par ordenado indica las cantidades a utilizar del insumo

trabajo L y la segunda componente las cantidades de K, el insumo Capital. ¿Cuál de éstos planes

de producción permitirá obtener una producción mayor de Q? Para responder dicha pregunta

procedamos a evaluar los planes de producción en la función de Producción Q, como sigue:

('&!) ��

(�&�) %

(

(

==

Esto indica que el plan B permite alcanzar una producción mayor que el plan de producción A.

Producto Marginal Un elemento muy importante íntimamente ligado al concepto de función de Producción es el de

Producto Marginal. Este último indica en cuanto aumenta el nivel de producto Q como

consecuencia de incrementar en una unidad el uso de uno de los insumos y mantener constante la

utilización del otro.

Algebraicamente el Producto Marginal del insumo L por ejemplo, no es otra cosa más que la

derivada parcial de Q con respecto a L, así:

( & )( & )+

( + ,��� + ,

+

∂=∂

����������������������������������������������������������������������/������������,�����/�������������(B&C)�1�������������,������������������������������������������

� !�

Y de manera similar para el Producto Marginal de K

( & )( & ),

( + ,��� + ,

,

∂=∂

Obsérvese como ambos Productos Marginales son funciones de dos variables, implicando ello que

su valor depende de la utilización de insumos (L, K) que la empresa está llevando a cabo.

Si continuamos con el ejemplo anterior podríamos entonces computar las funciones de Producto

Marginal de L como sigue:

( & )( & ) '%+

( + ,��� + , ,+

+

∂= =∂

A su vez podríamos computar el valor del PMgk en el plan de producción A, asi:

('&!) !%+��� =

Ese valor de 70 indica que si la empresa esta utilizando 1 unidad de L y 7 unidades del bien K,

entonces si quisiera aumentar la utilización del insumo L en una unidad, su producción total, Q, se

incrementaría en 70 unidades.

Algo similar podría calcularse para el caso de la PMgk.

Isocuantas Uno de los elementos más importantes en el análisis de la Teoría de La producción y los Costos es

el objeto geométrico-algebraico denominado Isocuanta. La misma se puede definir como aquel

conjunto de combinaciones de insumos (L,K) cuya utilización permite alcanzar un nivel de

producción constante, en otras palabras todas esas combinaciones de L y K tienen la propiedad

que producen exactamente el mismo nivel de producción. En términos algebraicos y geométricos

las Isocuantas no son otra cosa mas que las Curvas de Nivel de una Función de dos Variables, es

decir el conjunto de puntos (L,K) tales que evaluados en la función arrojan un valor constante,

alcanzando así la misma altura en la representación gráfica.

Para derivar geométricamente una Isocuanta lo que debemos hacer es cortar la gráfica de Q con

un plano horizontal ubicado a una altura constante tal como se muestra en color azul en la gráfica

de la izquierda ubicada mas abajo. Luego la sección de la gráfica en 3D que es intersectada por el

plano azul debe proyectarse contra el plano del piso donde emerge la gráfica de Q, es decir el

� "�

plano del dominio (L,K). Si identificamos cada uno de esos puntos y los representamos en una

gráfica de dos dimensiones podemos trazar una curva como la que se muestra a la derecha del

gráfico a continuación. Dicha curva es la Isocuanta asociada a un nivel de Producción de 1000

unidades de producto, pues cada uno de esos puntos tiene la propiedad que al ser evaluados en la

función de Producción otorgan a Q un valor constante e igual a 1000.

De manera similar podemos hallar las Isocuantas asociadas a distintos niveles de producción

constante. Como se muestra en la gráfica de mas abajo, si procedemos a cortar la grafica de Q con

sucesivos planos ubicados a distintas alturas podremos trazar distintas Isocuantas cada una

asociada a distintos niveles de Producción. Se puede observar también que a medida que

cortamos la gráfica con planos a una altura cada vez mayor, y por lo tanto a un nivel de producción

mayor, las Isocuantas asociadas a niveles de producción mayores se encuentran cada vez mas

alejada del origen tal como lo muestra la gráfica de abajo a la derecha. Esto implica que cualquier

combinación de insumos que se encuentre sobre una misma Isocuanta permiten producir la misma

cantidad de Producto Q, pero las combinaciones de (L,K) ubicadas en Isocuantas mas alejadas del

origen alcanzan niveles de producción mayores.

,�

+�

+�

,�

(�

� $�

Restaría entonces determinar la expresión algebraica que permite representar a las Isocuantas.

Continuando con el ejemplo anterior si deseamos computar la expresión algebraica de la Isocuanta

asociada a un nivel de Producción de 1000 unidades de Q debemos igualar la expresión de la

función de Producción al nivel de Q deseado, 1000 en este caso:

�'%%% �+ ,= �

Así, todos los pares (L,K) que cumplan con dicha condición garantizan un nivel de producción de

1000 unidades a esta empresa.

Luego de ahí podemos despejar K con lo que resulta:

�

�%%,

+=

Que es la expresión analítica de la función que describe la Isocuanta asociada a un nivel de

Producción de 1000 unidades dada la función de Producción que representa el proceso productivo

de esta empresa hipotética.

De manera más general, podemos encontrar el conjunto de todas las Isocuantas asociadas a un

nivel de producción paramétrico Q, como sigue:

(�

+�

,�

,�

+�

� !%�

�

�

�

�

+ ,(

(,

+

=

=�

Luego ésa es la expresión para generar todas las Isocuantas posibles, para la cual solo se debe

asignar a Q el valor de producción deseado y la fórmula anterior automáticamente entregará la

función algebraica que describe exactamente la Isocaunta asociada al nivel de Producción

deseado dado una función de Producción. El conjunto de todas las Isocuantas se denomina Mapa

de Isocuantas y la expresión algebraica que la describe es la anterior.

Obsérvese además como valores cada vez mas grades de Q hacen que la gráfica de las Curvas de

Indiferencias se encuentren cada vez mas alejadas del origen como en el siguiente gráfico:

�

Otra situación importante de analizar sería la manera de hallar la Isocuanta que pasa por una

determinada combinación de insumos (L,K). Así por ejemplo, podríamos estar interesados en

conocer todas las combinaciones de L y K que permiten producir un nivel de Q idéntico al que

produce el plan de producción A = (1,7) como vimos en el ejemplo anterior.

Como recordaremos, e plan de producción A permitía producir un nivel de Q igual a 35 unidades,

por lo que el problema se transforma en hallar el conjunto de pares (L,K) que permiten producir 35

unidades de Q.

En efecto, si reemplazamos en la fórmula del Mapa de Isocuantas Q = 35 resulta:

�

�

�

!

(,

+

,+

=

=�

� !'�

Alternativamente, efectuando todos los cálculos anteriores, es decir encontrando los pares (L,K)

que permiten producir un nivel de producción idéntico al del plan de producción A, resulta:

�

�

�

�

('&!) �

�� �

��

�

!

( + ,

+ ,

,+

++

==

=

=

Luego todas las combinaciones de insumos la cantidad de Capital K se relacione como lo indica la

expresión anterior con L, cumplirán con la condición producir un nivel de producto idéntico al del

plan de producción A.

Tasa Marginal de Sustitución Técnica Intrínsecamente vinculado al concepto de Isocuanta se encuentra el de Tasa Marginal de

Sustitución Técnica (TMST). Este instrumento de análisis económico puede definirse desde una

perspectiva geométrica como la pendiente de la Isocuanta asociado a un nivel dado de producción.

Conceptualmente, dicha pendiente y por ende la TMST, adquiere el significado de cuantas

unidades del insumo K podrían dejar de utilizarse en el proceso productivo para incrementar en

una unidad el uso del Insumo de L y seguir produciendo el mismo nivel de producto que antes.

En términos algebraicos, la TMST no es otra cosa más que la derivada de la Isocuanta con

respecto al insumo L y evaluada en el nivel de utilización de L vigente en ese punto.

Alternativamente, la TMS en un punto puede computarse como se explica a continuación. Si

calculamos la diferencial total de la función, es decir el incremento en la Producción como

consecuencia de modificar la utilización de los insumos L y K, resulta:

( (�( �+ �,

+ ,

∂ ∂= +∂ ∂

Pero como en una Isocuantas los cambios en L y en K son tales que el nivel de producto no varía,

el Diferencial Total de la función de Producción debe ser cero:

%( (�+ �,

+ ,

∂ ∂= +∂ ∂

Reagrupando términos resulta:

� !��

( & )( & )

( & )( & )

(+ ,

�, ���+ + ,+(�+ ���, + ,+ ,

,

∂∂= − = −∂∂

Es decir, si queremos computar la TMST en un punto dado, lo que debemos hacer es computar

previamente los Productos Marginales de L y de K, valuarlos en el plan de producción en la cual

deseamos calcular la TMST y cambiarle el signo.

Veamos un ejemplo, continuando con la función de Producción del Ejemplo anterior, supongamos

que deseamos calcular la TMST en el plan de producción (1,200), aplicando las fórmulas resulta:

�

( & ) '% �( & )

( & ) �

�*�%%('&�%%) �%%

'

���+ + , +, ,���� + ,

���, + , + +

����

= − = − = − =

= − = −

Esto indica que si la empresa actualmente está produciendo en el plan de producción (1,200) y

desea incrementar en una unidad adicional6 la utilización del insumo L deberá dejar de utilizar 400

unidades de K para obtener el mismo nivel de producción que obtenía antes con el uso de (L=1,

K=200). ������������������������������������������������� � �������������+��&�������������,�-����������������������.������������&�����������������/����������������������+����������������������������������������-���.�������������+������������������������������� �����������-���!""�������������,�#�����������������������������+�#�����������#�������������������0��/�����1������2�%%3��������������������2����3��������������������������&�(�������/�����C����������������������������B)������������������������1�������������������6���/�����B���������.����7����0��

+�

,�

� !��

Obsérvese como la TMST es una especie de COL/K subjetivo y propio de cada empresa, el cual

depende del proceso productivo descrito por la Función de Producción y el nivel de utilización

actual de insumos (L,K). En otras palabras, la TMST es lo que denominamos la Valoración

Subjetiva de la Empresa del Insumo L en términos del Insumo K en el sentido de que para esa

empresa, dadas las características de su proceso productivo (de ahí lo subjetivo) y su nivel actual

de utilización, valora una unidad de L en 400 unidades de K y a esa “tasa” está dispuesto a

intercambiar un insumo por otro, pues es ese el valor que para la empresa el insumo L tiene.

Función Costos de Corto Plazo Una de las funciones más íntimamente ligadas a las funciones de Producción son las funciones de

Costos. Cuando hablamos de Costos suele ser útil distinguir entre el corto y el largo plazo. El Corto

Plazo puede definirse como aquel periodo de tiempo durante el cual al menos uno de los insumos

productivos no puede modificarse en su nivel de utilización, es decir durante ese periodo al menos

uno de los insumos permanece “fijo”. Por el contrario, el Largo Plazo se define como aquel periodo

de tiempo lo suficientemente grande como para que pueden modificarse sin ningún tipo de

restricciones los niveles de utilización de todos y cada uno de los insumos o factores que participan

en proceso productivo. Así, convencionalmente suele suponerse que el insumo Capital, K, tarda

mas tiempo en poder modificarse ya que por lo general dicho insumo va asociado a la idea de

tamaño de la planta de producción. Por lo tanto es razonable suponer que modificar el tamaño de

la planta insume mucho mas tiempo que en modificar el nivel de contratación del insumo trabajo.

Bajo estas aclaraciones, en el corto plazo vamos a suponer que el stock de Capital permanecerá

fijo mientras que solo puede modificarse el insumo Trabajo, L.

Un problema común en materia de costos suele ser tratar de deducir, de derivar la función de

Costos de una empresa a partir de la función de Producción que describe el proceso productivo de

la misma. Para ello definamos primero de manera precisa Función de Costos.

Una Función de Costos Totales es una expresión funcional que indica para cada nivel de

producción deseado Q, el Costo Total de producir dicha cantidad.

A modo de ejemplo, supongamos que una empresa posee una función de producción dada por:

( & ) �( + , +,=

Que opera en el Corto Plazo con un stock fijo de Capital de 50 unidades y en donde además los

precios de los factores productivos L y K son de 10 y 20 respectivamente.

Para ello construyamos la función de Producción de Corto Plazo, en la que al estar fijo el stock de

capital en 50 la misma dependerá sólo del insumo L. Así, sustituyendo K por 50 en la expresión

anterior resulta:

� !��

() '�%( + +=

Por otro lado sabemos que los Costos de la Empresa están dados por los respectivos gastos que

se realizan en utilizar L y K por lo que la expresión general de los Costos será:

�� /+ �,= +

Donde w es el precio unitario del insumo L y r el precio unitario de cada unidad de K. Sustituyendo

con los datos del ejemplo resulta:

'% '%%%�� += +

Sin embargo, una función de Costos debe indicar para cada nivel de Producción su costo total, es

decir debe depender de Q y no de L como en la expresión anterior.

Para arribar entonces a la función de Costos se debe reemplazar L en la expresión anterior por la

cantidad de Trabajo necesario para producir un nivel de producción general e igual a Q. Así:

�

� �%

'�%

'�%

( +,

( +

( +

(+

===

=

Esta última expresión es lo que podemos denominar función de producción inversa en el sentido

que dicha función indica para cada nivel de producción deseado Q la cantidad de insumo L que

permite obtenerlo7.

De esta manera, sabiendo entonces cuantas unidades de L necesitamos para producir cada nivel

de producto deseado, para conocer su costo simplemente debemos multiplicar dicha expresión por

el precio de L y sumarle los gastos que se realizaron en contratar el stock de capital, así:

�������������������������������������������������!��������������.�����/������������D����/�������������/�����������7����������������������������������������B����������������������������������1�������������,�����0�E���@��������,������D����/�������������/����������

� !��

( )

'% �%*�%

'% '%%%

'% '%%%'�%

( ) '%%'�

�� ( /+ �,

+

+

(

(�� (

= += += +

= +

= +

Luego dicha expresión funcional indica para cada nivel de producción el Costo Total de producirla.

Es por lo tanto la Función de Costos de Corto Plazo que buscábamos. Obsérvese también como

la función de Costos permite distinguir Costos Fijos de Costos Variables.

Los Costos Fijos son aquellos costos asociados a la adquisición de insumos que permanecen fijo

bajo el periodo de análisis, en este caso las 50 unidades de K que cada una cuestan $20, o lo que

es lo mismo los términos que no dependen de Q en la expresión anterior (es decir los costos que

no varían con el nivel de producción). Así en la expresión anterior los Costos Fijos ascienden a

50*20 = 1000, es decir el término independiente de la función.

Los Costos Variables son los asociados a los insumos que pueden variar libremente su utilización

a medida que varía el nivel de producción, que en el caso de nuestro ejemplo es el término Q/15.

Uno podría ahora preguntarse como se modificaría la función anterior si el tamaño de la planta

aumenta a K = 70 primero

Efectuando todos los cálculos al igual que recién resulta:

'�%%�'

(�� = +

Con lo cual observamos que como resultado del aumento del tamaño de Planta los Costos Fijos

aumentaron pero los Variables se redujeron. En términos geométricos, la ordenada al origen

aumento y la pendiente disminuyó. Representando ambas gráficas en un mismo dibujo para

compararlas, en rojo la primera y azul la segunda, resulta:

� ! �

De la misma se desprende que dependiendo de cuanto se desee producir resultará mas barato

hacerlo con una u otra planta. Así para valores mayores a 25000 es mas barato producir con una

planta mayor y para valores de Q menores a 2000, por ejemplo conviene hacerlo con la planta más

pequeña.

En general, para hallar la Función de Costos De Corto Plazo para un tamaño genérico de planta

igual a K, se debe proceder como lo muestran los cómputos siguientes

�

�

( +,

(+

,

=

=

Ésta última es la expresión genérica de la función inversa de producción para un tamaño de Planta

K. Sustituyendo lo anterior en la suma de costos resulta:

( )

'% �%�

�� ( /+ �,

(,

,

= +

= +

Que es la expresión de Función de Costos para un tamaño de planta genérico igual a K. Se

observa que el costo fijo es 20*K y el costo variable 3.33 Q /K, que confirman nuestras

conclusiones anteriores de que aumentar la planta aumenta los Costos Fijos y Reduce los

variables.

� !!�

Representando gráficamente funciones de Costos para plantas de tamaño 50, 70, 90, 110 y 130,

resulta:

Lo cual muestra al igual que antes que, dependiendo de la cantidad de Q a producir, resulta más

barato hacerlo con uno u otro tamaño de planta. Veremos mas detalles de este tema mas adelante

cuando abordemos los tópicos relacionados con Costos de Corto y Largo Plazo.

Isocostos Antes de entrar en el tema de los Costos de Largo Plazo, merece la pena destinar algunos párrafos

a un elemento muy útil al analizar dichos tópicos: Las Curvas de Isocostos.

Las Isocostos puede definirse como el conjunto de Insumo L y K cuya utilización y contratación por

parte de la empresa, implican para ella un Costo Constante. Para ello suponiendo que la empresa

utiliza sólo dos insumos, L y K, en su proceso productivo y que el costo unitario de contratación de

cada uno de ellos es w y r respectivamente, la Isocostos asociada a un gasto de C pesos, viene

dada por la siguiente ecuación:

/+ �, �+ =

Dicha ecuación determina que el Gasto en el insumo L, es decir las cantidades contratadas de L

multiplicadas por su precio mas el Gasto en K (la cantidades contratadas de K multiplicada por el

suyo) no pueden superar el Presupuesto o Costo C de la empresa.

� !"�

Alternativamente podemos obtener la ecuación explícita de la Recta de la Isocosto con solo

despejar el valor de K en términos de L, como sigue:

� /, �

� �= −

Esta última ecuación nos permite representar en términos geométricos la Isocostos de la siguiente

manera:

K

L

Donde la ordenada al origen, C/r, se interpreta como la cantidad máxima que se puede contratar de

K si no se utiliza nada de L y se desea gastar solo C pesos. Por otro lado la abcisa al origen, C/w,

representa lo máximo que se puede adquirir del insumo L dado el presupuesto de la empresa de C

pesos.

De esta manera todos los puntos que se encuentran por debajo de la Línea Roja son representan

combinaciones de L e K cuya contratación tiene un costo inferior a C. Por otro lado, las

combinaciones (L,K) que se encuentran por encima de la Isocosto representan adquisiciones de

insumos que superan el Presupuesto C de la empresa.

Un punto importante a destacar es la interpretación económica de la pendiente de la recta anterior.

Si uno recuerda la pendiente de la recta es:

# #+ , + ,

�, , /� �

�+ + �

∆= = − = =∆

��� �/

�− �

�

��

�

/�

� !$�

Es decir cuantas unidades de K se deben dejar de contratar si se desea incrementar en una unidad

la utilización de L, que no es otra cosa mas que el Costo de Oportunidad de L en términos del

Bien K (COL/K). Ahora bien, ese CO puede interpretase de una manera mas profunda como la

Valoración Objetiva del Mercado del Insumo L en términos del insumo K (VOMx/y), en el

sentido de que la expresión de la pendiente /

�− �indica cuanto vale en el mercado una unidad de L

medida en unidades de K en vez de medirlo en unidades monetarias. Esto significa que cualquier

empresa puede adquirir en el mercado una unidad de L entregando dicha cantidad de unidades de

K, y dado que cualquier empresa puede llevar a cabo dicho intercambio se dice que ese valoración

del mercado es una Valoración Objetiva pues es independiente de la valoración subjetiva propia

que cada empresa pueda tener.

Veamos un ejemplo para aclarar más todos éstos términos

Supongamos que se dispone de un presupuesto de 100 pesos y que se utilizan solo dos insumos,

L a un precio de $3 y K a un precio de $2. Bajo estos parámetros la Isocostos en términos

algebraicos y geométricos luce así:

�

��%

�, += − �

K

L

Por la tanto bajo esos parámetros la ordenada al origen indica en términos conceptuales que se

puede adquirir un máximo de 50 unidades de Y mientras que la abcisa origen dice que el máximo

posible de contratación de L es de 33,3 unidades. Por otro lado la pendiente de la recta

presupuestaria indica que el mercado valora al insumo X en 1.5 unidades del insumo K, es decir si

uno quiere adquirir una unidad adicional de L debe entregar a cambio 1.5 unidades de K en el

Mercado para poder obtenerlo. 1.5 es la tasa a la que el mercado intercambia un insumo por otro.

��� ��

�− �

�% �

��&���

� "%�

Veamos a continuación algunos análisis de Estática Comparativa ante la modificación de algunos

de los parámetros del Modelo.

Efectos de un incremento en el Costo o Presupuesto Repasando las estructuras analíticas de las expresiones de abscisas y ordenadas al origen se

verifican que ambas aumentan ante un incremento de C por lo que geométricamente la Isocostos

se traslada paralelamente hacia la derecha. Obsérvese además que al no haberse modificado los

precios la pendiente no se ha cambiado. Conceptualmente el desplazamiento paralelo indica que

ahora se pueden contratar una mayor cantidad de ambos INsumos que antes no era posible y en

el mercado las relaciones de intercambio no se han modificado, La Valoración Objetiva del

Mercado se mantiene constante en este caso.

Y

X

Alternativamente, una reducción de Costos implicaría que la Isocosto se traslada más hacia el

origen, lo cual indica que cuando la Isocosto esté lo mas cerca posible del origen menor será el

costo asociado a esa combinación de insumos (L,K). Esto cobrará vital importancia al analizar el

próximo tópico referido a Costos de Largo Plazo.

Costos en el Largo Plazo En el corto plazo, dado que uno de los insumos (K) permanece fijo, la única manera de aumentar la

producción era incrementando la utilización de L. Dicho de otra manera, si se deseaba producir un

determinada cantidad de Q existía una única cantidad de L que permitía hacerlo, o lo que es lo

mismo existe sólo una manera de producir Q. En consecuencia, resultaba relativamente sencillo

encontrar la función de Costos de Corto Plaza, pues solo era necesario averiguar la cantidad de L

��� �/

�− �

�

��

�

/�

� "'�

necesario para producir el nivel Q, multiplicar por w (el precio unitario de L) y sumar los Costos

Fijos que venia dado por la cantidad fija de K utilizada en el Corto Plazo multiplicada por su precio

unitario, r.

En el Largo Plazo la metodología es muy distinta desde el punto de vista algebraico pero bastante

similar cuando lo analizamos conceptualmente. Esto se debe a que en Largo Plazo, al ser todos los

insumos variables, existen infinitas maneras de producir Q unidades de producto final. Todas esas

infinitas maneras, como el lector recordará, vienen descriptas por todas las combinaciones (L,K)

que se encuentran sobre la Isocuanta asociada al nivel deseado de producto Q.

A raíz de esto, dadas las infinitas maneras de producir Q unidades de producto, debemos escoger

entre todas ellas, la que permita hacerlo al menor costo posible. Esto último nos conduce a resolver

un problema de de minimización. Una vez que encontramos las cantidades de insumos (L, K) que

permiten producir Q unidades al menor costo posible simplemente multiplicamos cada una de esas

cantidades óptimas por sus respectivos precios y las sumamos. Lo que hemos obtenido entonces

es el menor Costo de Producir Q unidades, es decir la Función de Costos de Largo Plazo.

Veamos con un ejemplo la manera de hallar la función de Costos de Largo Plazo dada la función

de producción del ejemplo anterior:

( & ) �( + , +,=

y su poniendo además que los precios de los insumos son de 10 y 20 para L y K respectivamente,

igual que antes.

Para comenzar, empecemos hallando la cantidad de insumos que permite minimizar el costo de

producir 1000 unidades de Q. Para ello se deberá resolver el siguiente problema de minimización

restringido, como sigue:

( & )��� '% �%

0 � � '%%%

+ ,�� + ,

�� +,

= +

=

Este planteo indica que deben hallarse aquellos valores de L y K que cumpliendo con la restricción

de producir 1000 unidades (Isocuanta asociada a un nivel de Q=1000) minimicen el costo total de

producción.

Geométricamente, el problema de minimización debe interpretarse como sigue: dado que por cada

punto de la Isocuanta (en color azul de la gráfica de más abajo) pasa una única Isocosto (en color

rojo), y como las isocostos ubicadas mas cerca del origen poseen un costo menor, la combinación

de insumo (L,K) que minimice los Costos Totales de producir 1000 unidades será aquella por la

que pase la Isocosto mas cercana al origen. La siguiente gráfica ilustra lo dicho anteriormente:

� "��

�

De esta manera, el problema de la empresa consiste en elegir aquellos punto que posados sobre la

Isocuanta, es decir la curva azul, arrojen el mínimo costo de producir 1000 unidades.

Para resolver entonces el siguiente problema de optimización restringida planteado anteriormente:

( & )��� '% �%

0 � � '%%%

+ ,�� + ,

�� +,

= +

=

despejaremos K de la restricción dada por la isocuanta y lo sustituiremos en la expresión de la

suma de los costos con lo cual luego se puede proceder a minimizar como una función de una

variable común. En efecto, operando como se dijo se tiene:

� '%%%

'%%%

�

+,

,+

=

=

Sustituyendo en CT, resulta:

( & )

'%%%��� '% �%( )

�+ ,�� +

+= +

Con lo cual hemos convertido el problema de optimización restringida en uno de optimización libro

en una sola variable

Derivando con respecto a L, igualando a cero y despejando L resulta:

(�

)�� � � �

Minimización de Costos para producir Q = 1000

� "��

*

�

'%%%9'% �%( ):

� %

�%%%%'% % ��0"'$"

�

� ++

�+

++

+=

− = � =

Sustituyendo el valor óptimo de utilización de L en la restricción dada por la isocuanta y despejando

resulta:

*

*

'%%%

�

'%%%

�*��0"'$"

'�0$%$$

,+

,

,

=

=

=

De esta manera el plan de producción ( )* *��0"'$"& '�0$%$$+ ,= = es la combinación de

insumos que permite producir 1000 unidades de Q al menor costo.

A continuación, y con la intención de hallar condiciones generales de optimalidad que valgan para

todo tipo de funciones de producción y todo tipo de precios de los insumos, vamos a resolver el

siguiente problema de minimización de Costos en su versión más general.

( & )���

0 � ( & )

+ ,�� /+ �,

�� ( + , (

= +

=

Donde w y r son los precios de los insumos L y K respectivamente, Q(L,K) la función de producción

en su versión general, y ( el nivel de producción deseado.

Para resolver este problema de optimización restringida general como lo hicimos anteriormente al

despejar K de la restricción dada por la isocuanta nos encontraremos que K será una función de L,

y esa función la escribimos así:

( & )

()(

( + , (

, , +

==

� "��

Donde ()(

, + �no es otra cosa más que una expresión general para expresar la función Isocuanta

asociada a un nivel de Producción ( 0�Teniendo esto en mente y sustituyendo en CT, resulta:

( )��� ()

(+�� /+ � , += +

Con lo cual hemos convertido un problema de optimización restringida en un problema de

optimización sin restricciones.

Derivando con respecto a L y recordando que la derivada de la Isocuanta con respecto a L (es

decir su pendiente) es la TMST, se obtiene:

()

( & ) ( & )%

( & ) ( & )

(

+ +

, ,

� , +��/ �

�++

/ � ����

�� /��� + , ��� + ,/ �

+ ��� + , � ��� + ,

∂ = +∂

= +∂ = − = � =∂

Esta última expresión indica que la empresa está minimizando los costos de Producción de Q

unidades cuando las cantidades utilizadas de L y K son tales que la valoración subjetiva de la

empresa con la valoración objetiva del mercado de L en términos de K son iguales. En otras

palabras, si la valoración de la empresa del insumo L en términos del insumo K es menor que la del

mercado, para la empresa el insumo L costará mas caro en el mercado de lo que para ella vale y

decidirá reducir su utilización. Al revés, si la valoración sujetiva de la empresa es mayor que la del

mercado, para esta empresa el bien L estará mas barato en el mercado de lo que para ella cuesta

por lo que tenderá a incrementar su utilización. Sólo cuando ambas valoraciones coincidan la

empresa no tendrá incentivos en reducir ni a aumentar la utilización de L y por la tanto se

encontrará en su valor óptimo, pues no existe ningún ajuste en su proceso productivo que le

permita obtener una costo menor de producción.

Alternativamente, dicha condición de optimalidad puede reescribirse así:

( & ) ( & )+ ,��� + , ��� + ,

/ �=

Lo cual indica que una empresa está minimizando sus costos cuando las productividades

marginales del último peso gastado en cada uno de los insumos se igualan. Si esta condición no se

� "��

cumple, es posible reasignar el gasto del presupuesto total (utilizando mas de uno y menos del

otro) de modo tal que sus costos sean menores.

Desde el punto de vista geométrico, si interpretamos las condiciones de optimalidad que debe

cumplir la cesta óptima vemos que la TMST es la pendiente de la Isocuanta y w/r es la pendiente

de la Isocosto, por lo que en el óptimo son iguales. En otras palabras, un plan de producción es

óptimo para la empresa cuando la recta de isocostos que pasa por tal punto es tangente a la

Isocuanta que pasa por el, tal y como mostramos en el siguiente gráfico:

Resumiendo, las condiciones que debe cumplir un plan de producción (L*,K*) para minimizar los

costos de producir ( �unidades son las siguientes:

* *( & )

(*& *)

(*& *)

+

,

/��� + ,

��� + , �

( + , (

� =��� =�

A modo de reflexión, cada vez que uno observa a una empresa maximizadota de beneficios

utilizando una determinada cantidad de insumos para su proceso productivo, las cantidades de

dichos insumos que adquiere cumplen con dichas condiciones, pues la empresa en su espíritu de

maximización de beneficios siempre está minimizando costos.

(�

)�� � � �

Minimización de Costos para producir Q = 1000

� " �

Derivación de la Función de Costos de Largo Plazo

De acuerdo a lo visto en el ejemplo anterior, para producir 1000 unidades de Q, el plan de

producción ( )* *��0"'$"& '�0$%$$+ ,= = es la combinación de insumos que permite producirlo

al menor costo. La pregunta ahora es: ¿cuánto es el costo mínimo de producir 1000 unidades?

Para responderla simplemente debemos multiplicar dichas cantidades por sus respectivos precios

y sumarlos o lo que es lo mismo, evaluar en la función CT las cantidades anteriores:

'%*��0"'$" �%*'�0$%$$

( '%%%) �' 0�$!

�� /+ �,

�� (

= += +

= =

De esta manera hemos hallado el costo total mínimo de producir 1000 unidades, pero ¿a cuánto

ascendería el costo total de producir 2000 unidades, ó 3000, 4000, etc?

Una forma de responderlo sería realizar nuevamente todos los cómputos8, hallar los L y K óptimos

que minimizan los costos para producir 2000 unidades por ejemplo y multiplicarlos por sus precios

y sumarlos. Si efectuamos todo esto para cada nivel de producción, se puede confeccionar la

siguiente tabla:

Q CT

1000 516,39

2000 730,29

3000 894,42

4000 1032,79

5000 1154,.70

Sin embargo, si bien efectuando todos los cálculos logramos responder la pregunta resulta muy

tedioso rehacer todo de nuevo cada vez que cambia el nivel de producción. Para evitar este

problema podemos resolver un único problema de minimización general trabajando con un valor

paramétrico de Q en vez de una cantidad numérica, como sigue:

( & )��� '% �%

0 � �

+ ,�� + ,

�� +, (

= +

=

�������������������������������������������������"�B����������1�����������+���������������+�����������-�������������������������/�����������

� "!�

Para resolver este problema de optimización restringida despejaremos K de la restricción dada por

la isocuanta y lo sustituiremos en la expresión de la suma de los costos con lo cual luego se puede

proceder a minimizar como una función de una variable común. En efecto, operando como se dijo

se tiene:

�

�

+, (

(,

+

=

=

Sustituyendo en CT, resulta:

( & )��� '% �%( )

�+ ,

(�� +

+= +

Derivando con respecto a L, igualando a cero y despejando L resulta:

*

�

9'% �%( ):� %

�% �'% %

� �

(� +

+

�+

( (+

+

+=

− = � =

Donde la expresión anterior indica cuanto debe utilizarse de L para producir cualquier nivel

deseado de Q. Sustituyendo el valor óptimo de utilización de L en la restricción dada por la

isocuanta y despejando resulta:

' '' � �

*

'

�

*

�

� $*� �*

� �

'

(,

+

(( ( ( ( ( ( ( (,

( ( ( ((

, (

−

=

= = = = = = ==

=

� ""�

De esta manera el plan de producción * *�&

�

(+ ( ,� �

= =� � �

es la combinación de insumos

que permite producir Q unidades al menor costo. Sustituyendo los valores óptimos en la función de

costos

� ''% �%

�

� '( ) ('% �% )

�

( ) ' &��

�� /+ �,

( (

�� ( (

�� ( (

= +

= +

= +

=

Donde esta última expresión a la que arribamos es la Función de costos de Largo Plazo de la

empresa, pues indica para cada nivel de producción deseado el Costo mínimo al que puede

producirse. Así si queremos hallar el costo mínimo de producir 2000, 3000, etc unidades de Q

simplemente se debe reemplazar en la fórmula anterior.

Graficando la Función anterior resulta:

Toma de Decisiones relacionadas al Tamaño de Planta Óptimo

Los instrumentos de análisis abordados en las secciones anteriores nos permiten responder dos

grandes interrogantes en relación a los tamaños de planta y producción.

� "$�

Considérese por ejemplo el problema de, dado un determinado nivel de producción que se desea

obtener para atender una demanda estimada futura, determinar el tamaño de planta (es decir la

cantidad del insumo K) a instalar de modo tal que permita producir dicho nivel de producción al

menor costo posible.

Poniendo el problema en términos mas concretos, continuemos trabajando con la función de

Producción anterior, Q(L,K) = 3LK y que los precios de los insumos son 10 y 20 para L y K

respectivamente. Adicionalmente supongamos que diversos estudios de demanda indican que en

el futuro debemos afrontar una demanda de 1000 unidades de producto.

Para dar solución a este interrogante debemos apelar al uso de la fórmula del Stock de Capital en

función del nivel de producción que obtuvimos en la sección anterior:

*

(, =

Si recordamos, dicha fórmula9 indicaba para cada nivel de producción deseado, la cantidad de

capital que debíamos utilizar para producirlo al menor costo posible. Sustituyendo por los datos

resulta que para un nivel de 1000 unidades el stock óptimo de K es:

*

*

'%%

'�&$%$$

,

,

=

=

Por lo tanto ese es el tamaño que se debe fijar para el nivel de producción de 1000 unidades.

Considérese ahora el problema inverso de, dado un stock de Capital fijo en el Corto Plazo (es decir

un tamaño de planta determinado), determinar cual cuál es el nivel de producción para el cual

dicho tamaño de planta fijo resulta óptimo. Óptimo en el sentido que permite obtener es nivel de

producción al menor costo posible en comparación con lo que costaría producir esa cantidad

utilizando cualquier otro tamaño de planta posible.

Poniendo el problema en términos mas concretos, continuemos trabajando con la función de

Producción anterior, Q(L,K) = 3LK y que los precios de los insumos son 10 y 20 para L y K

respectivamente. Adicionalmente supongamos que en el Corto Plazo nuestro stock de capital es de

50 unidades. ¿Cuál será el nivel de producción Q para el cuál un tamaño de plata igual a 50 resulte

óptimo?

�������������������������������������������������$�F��������������1��������./�����������������������������.����/�������������/�������6�����������-�����&����������(01+,�0�;�����.����/�������������/���������.���&������,���,���������./����������C*��������������������1������@�6�������������/�������������������������������/���������,������������6���/�0���

� $%�

Para dar solución a este nuevo interrogante debemos apelar al uso de la fórmula del Stock de

Capital en función del nivel de producción que obtuvimos en la sección anterior:

* '

, (=

Despejando Q resulta:��

*

�

'

, (

( ,

=

=

Esta última, nos dice para cada nivel de capital (tamaño de planta), el nivel de producción para la

cual dicho stock resulta óptimo. Sustituyendo por los datos, se tiene:

� *�%

'�%%

(

(

==

Por lo tanto si tenemos una plata con un tamaño igual a 50 unidades de Capital, debemos producir

1500 unidades de Q, pues 1500 unidades es el nivel de producción para el cual nuestra planta

tiene la propiedad de ser capaz de producirlo al menor costo posible. Es decir, si tenemos infinitas

plantas de todos los tamaños posibles, todas produciendo 1500 unidades, el costo de producir

esas unidades en nuestra planta es el menor de todos.

De lo visto anteriormente, uno fácilmente puede deducir que “Para cada Nivel de Producción existe

un y solo un Tamaño de Planta Óptimo”. Y al revés: “Para cada Tamaño de Planta Fijo en el Corto

Plazo existe un nivel de Producción para el cual dicho tamaño de Plata resulta Óptimo”

Relaciones entre las Curvas de Costos de Corto Plazo y las de Largo Plazo De todo lo analizado anteriormente estamos en condiciones de establecer diversas propiedades

que deben cumplir las Funciones de Costos de Corto y Largo Plazo. Para ello imaginemos que

disponemos de todas las curvas de Costos de Corto Plaza, cada una asociada a un stock de

capital fijo diferente, y la Curva de Costos de Largo Plazo, la cual es siempre única. Las

propiedades que deben verificar este conjuntos de curvas, son los siguientes:

1.- El Costo de Largo Plazo siempre se encontrarán por debajo de los Costos de Corto Plazo.

Esto es así, pues en el Largo Plazo todos los insumos son variables y por lo tanto podemos ajustar

tanto L como K a la hora de minimizar los costos. En el Corto Plazo, sin embargo, el capital no

puede variar por lo que solo podemos ajusta el nivel L a la hora minimizar Costos. Así, al tener en

� $'�

el largo plazo mas variables para modificar y alcanzar la minimización de costos, en el corto plazo

nunca pueden obtenerse costos menores que en el Largo.

2.- Cada curva de Corto Plazo tiene un único punto de tangencia con la Largo Plazo, por lo que en

definitiva puede decirse que cada uno de los puntos de ésta última está constituida por un único

punto de cada una de las de Corto.

3.- El punto que comparten cada Costo de Corto con el Costo de Largo, se da justamente en aquel

nivel de Q para el cual el stock de capital fijo asociado a cada función de Corto resulta óptimo.

Estas tres propiedades se resumen geométricamente diciendo que la Curva de Costos de Largo

Plazo es la Envolvente Geométrica de las de Corto Plazo.

En efecto si graficamos un conjunto de curvas de Corto, generadas por la ecuación general que

vimos10:

( ) '% �%�

(�� ( ,

,= +

Para diversos tamaños de planta (en color azul) y la curva de Costos de Largo (en rojo):

( ) ' &���� ( (=

se obtiene:

�������������������������������������������������'%�=��������1��������8�����/��������,����������������G�����������&�����������������������������6���������������������H�.�-������������������1������.����/�������������/������(2+3,4�01+,0�

� $��

Lo cual muestra que la Curva de Largo (color rojo) envuelve por debajo a cada una de las de Corto,

cumpliendo así con las tres propiedades.

Obsérvese como el punto de tangencia entre una de Corto y la de Largo viene dado por:

� ( ,= �

Pues es ese el nivel de Q para el cual cada tamaño de planta (K) resulta óptimo.

Sendero de Expansión de la Firma

Un importante instrumento de análisis frecuentemente utilizado en Teoría de Costos, a los fines de

explorar la manera en que la firma modifica sus las combinaciones optimas de insumos, es el

denominado Sendero de Expansión de la firma.

La misma indica las distintas combinaciones de insumos L y K que la firma desea contratar, en el

sentido que minimizan sus Costo Totales de Producción, a medida que el nivel de Producto Q,

varía sucesivamente y el precio de los factores, w y r, se mantiene constante. En términos

geométricos la gráfica sería la siguiente:

�

� $��

Así, se muestran las sucesivas curvas Isocuantas para distintos niveles de Producto Q y sus

respectivas rectas de isocostos. Para cada Isocuanta asociada a diferentes niveles de producto Q

le corresponde una única combinación de insumos minimizadora de costos que se obtienen de las

condiciones de tangencia entre la isocostos y las isocuantas. Si se unen cada uno de los puntos de

tangencia se puede encontrar geométricamente el Sendero de Expansión, que no es otra cosa

mas que el lugar geométrico o conjunto de puntos que muestran las diversas combinaciones de

insumos que la empresa contratará a medida que se incrementan los niveles de producción

sucesivamente mientras los precios de los factores L y K permanecen constantes.

En términos funcionales, el Sendero de Expansión (SE) es una función que relaciona K con L para

un conjunto dado de parámetros w y r, así en términos generales:

( & & ), � + / �=

Para hallar algebraicamente el Sendero de Expansión, debemos proceder como sigue:

1.- Obtener las cantidades de insumos L y K que minimizan el costo de producir un determinado

nivel genérico de producción Q, como funciones de w, r y Q

2.- Despejar de la cantidad de insumo óptimo L, el nivel de producción, Q, en función de L, w y r.

3.- Sustituir en la cantidad de insumo óptimo K la aparición de Q por la expresión encontrada en el

punto anterior.

Para clarificar mejor esta metodología, ilustremos con un ejemplo. Supongamos que la función de

producción de la firma es la siguiente:

( & ) �( + , +,=

%��

(�

)�

� $��

Y que los precios de los factores L y K son de 10 y 20 respectivamente como en los ejemplos de

secciones anteriores.

Para hallar las cantidades de insumos minimizadoras de costos procedemos resolviendo el

siguiente problema de optimización restringida:

( & )��� '% �%

0 � �

+ ,�� + ,

�� +, (

= +

=

Cuya solución nos arroja acorde a lo desarrollado párrafos mas arriba:

*

*

�&

�

+ (

(,

�=�

��� =��

Despejando Q de la función de insumo óptimo L óptimo resulta:

*

* �

�&

�

�

�

+ (

( +

=

=

Sustituyendo en la función de insumo óptimo K queda:

*

* �

*

*

*

'

' �

�

' �

�

' � �

� �

'

�

, (

, +

, +

, +

, +

=

=

=

=

=

� $��

Luego, esta última expresión indica la relación entre los valores óptimos de contratación de los

insumos L y K a medida que varía sucesivamente el nivel deseado de Producción.

Cuya representación geométrica será:

Así dada la tecnología que emplea la firma para transformar insumos en producto descripta por su

función de Producción, a medida que aumenta sucesivamente el nivel de output deseado siempre

desea contratar los insumos L y K en una proporción constante de 2 unidades de L por una unidad

de K. Esto no siempre se verifica, ya que dependiendo de las funciones de producción, los

Senderos de Expansión podrían ser curvas que no conserven un relación constante de

proporcionalidad en la adquisición de insumos si no que tales proporciones varíen acorde se

aumenta el nivel de producción Q.

Otra cuestión a destacar es que el Sendero de Expansión se traza manteniendo constantes los

valores de w y r. Si estos variasen se producirían desplazamientos en él, por ejemplo si los precios

fuesen de 10 y 10 para L y K respectivamente el SE sería reefectuando todos los cálculos hechos

anteriormente11:

�������������������������������������������������''����������,��������@�����������������,�����������,�������������,����������/������������������1���������6������������������������������������,����+��������'%�<����+����������������-�����?����B�/�����������.�����������������������������8�����/�����C�/�����0�

%��

)�

(�

� $ �

'%

'%

/, +

�

, +

, +

=

=

=

Con lo cual aumentaría su pendiente indicando que ahora si los precios son 10 y 10 a medida que

el nivel deseado de producto Q aumenta sucesivamente las proporciones en que se utilizarán los

insumos L y K serán de un unidad de L por una unidad de K. La siguiente gráfica muestra el

desplazamiento del Sendero de Expansión.

Recordar entonces que los precios de L e K actúan como parámetros que desplazan al Sendero de

Expansión en la dirección y sentido que lo indique la expresión analítica general que para la

función de producción del ejemplo trabajado es12:

/, +

�=

Con lo que aumentos en el nivel de precios del insumo L, es decir w, produce un traslado del SE

hacia arriba mientras que aumentos en el precio de K lo trasladan rotando hacia abajo.

�������������������������������������������������'�����������,�����������8�����/�������,�����������������,��������������6���/����������������6����������+�����������������7������.�-�������������������������������&�������������+�,�������+��7������I�<��0�E����������������������6��������/����������B�<�C�1������������������@��������.����/�����I&���<�?0�������6��,�����������������������/���������������6���/��������������/�����B�<�C���������������������8����/�������������������������;���������� 8�����/�0�

� $!�

Recordar que cada función de Producción genera una forma funcional distinta para el Sendero de

Expansión por lo que si cambiamos la función de Producción cambiará totalmente la forma

funcional del SE pudiendo ser incluso líneas curvas en vez de rectas como en el ejemplo tratado.

Desplazamiento de la Curva de Costos de Largo Plazo ante cambios en los precios de los insumos Un importante interrogante en materia de Costos es conocer la manera en que se modifica la

estructura de Costos de la Firma ante un cambio en los precios de los insumos, w y r, que la

empresa utiliza. Para arribar a una respuesta, procederemos a recalcular la función de Costos de la

Firma pero suponiendo ahora en vez de precios numéricos fijos en los insumos, que los precios

son parámetros genéricos w y r, pudiendo los mismos asumir cualquier valor. Los resultados que

obtengamos quedarán entonces de los precios en genéricos w y r, por lo que podremos analizar lo

que sucede si se modifican los mismos.

Utilizando como ejemplo la misma función de Producción que en los ejemplos anteriores y

Operando, se tiene:

( & )���

0 � �

+ ,�� /+ �,

�� +, (

= +

=

Para resolver este problema de optimización restringida despejaremos K de la restricción dada por

la isocuanta y lo sustituiremos en la expresión de la suma de los costos con lo cual luego se puede

proceder a minimizar como una función de una variable común. En efecto, operando como se dijo

se tiene:

�

�

+, (

(,

+

=

=

Sustituyendo en CT, resulta:

( & )��� ( )

�+ ,

(�� /+ �

+= +

Derivando con respecto a L, igualando a cero y despejando L resulta:

� $"�

*

�

9 ( ):� %

%��

(� /+ �

+

�+

�( (�/ +

/+

+=

− = � =

Donde la expresión anterior indica cuanto debe utilizarse de L para producir cualquier nivel

deseado de Q. Sustituyendo el valor óptimo de utilización de L en la restricción dada por la

isocuanta y despejando resulta:

' ' ' '

' � � � �*

' ' ' '

� � � �

*

�

$ � �� ��* �

� �

�

(,

+

(/( ( /( ( ( ( ( ( /,

(� (� (� (� �( � / �

/ / / /

(/,

�

−

−

=

= = = = = = ==

=

De esta manera el plan de producción * *&� �

(� (/+ ,

/ �

� �= =� �

�es la combinación de insumos

que permite producir Q unidades al menor costo. Sustituyendo los valores óptimos en la función de

costos

� �

� �

( )� �

( )� �

( ) ��

�� /+ �,

(� (// �

/ �

/ (� � (/�� (

/ �

/(� �(/�� (

/(��� (

= +

= +

= +

= +

=

De esta manera el plan de producción * *&� �

(� (/+ ,

/ �

� �= =� �

�es la combinación de insumos

que permite producir Q unidades al menor costo. Sustituyendo los valores óptimos en la función de

costos

� $$�

� �

� �

( )� �

( )� �

( ) ��

�� /+ �,

(� (// �

/ �

/ (� � (/�� (

/ �

/(� �(/�� (

/(��� (

= +

= +

= +

= +

=

Donde esta última expresión a la que arribamos es la Función de Costos de Largo Plazo de la

empresa en función de w y r Q, por lo tanto ahora podemos ver lo que sucede cuando los precios

se modifican.

Si evaluamos la función de Costos general en los precios de los ejemplos anteriores, es decir w=10

y r =20, se arriba a la Función de Costos de secciones anteriores.

( ) ��

'%* *�%( ) �

�

�%%( ) �

�

�%%( ) �*

�

( ) ' &��

/(��� (

(�� (

(�� (

�� ( (

�� ( (

=

=

=

=

=

Si queremos ver por ejemplo que sucede si el precio del factor L aumenta de 10 a 20,

reemplazando en la expresión General de la Función de Costos de Largo Plazo se tiene:

� '%%�

( ) ��

�%* *�%( ) �

�

'( ) �*�%

�

( ) ��0%$

/(��� (

(�� (

�� ( (

�� ( (

=

=

=

=

Graficando en color rojo a la nueva Función de Costos y en azul a la vieja, se tiene:

Como se aprecia, un aumento en el precio del insumo L, desplazó hacia arriba a la función de

Costos, por lo que producir ahora cada unidad de producto Q cuesta mas que antes.

Algo similar ocurriría si el precio del otro factor aumenta. Queda a cargo del lector analizar los

efectos algebraicos y geométricos de aumentos o disminuciones de alguno de los precios de los

insumos.

Rendimientos a Escala Cuando nos preguntamos acerca de si incrementamos simultáneamente la utilización de ambos

factores productivos en un mismo porcentaje ñeque porcentaje se incrementa la producción total,

nos estamos refiriendo a los rendimientos a escala de la firma.

� '%'�

De esta manera, si ante un incremento proporcional e igual en ambos factores la producción se

incrementa menos que proporcionalmente se dice que la firma posee Rendimientos a Escala

Decrecientes. Esto implica en términos de Costos Totales que si incrementamos la producción en

un cierto porcentaje, los Costos Totales de producción se incrementarán mas que

proporcionalmente. En términos geométricos esto implica que la Curva de Costos Totales debe ser

Convexa al Origen, como lo muestra la siguiente gráfica:

���������� �

Alternativamente, la Función de Costos Medios será creciente, como lo muestra la gráfica anterior

de la derecha

Por otro lado, si ante un incremento proporcional e igual en ambos factores la producción se

incrementa mas que proporcionalmente se dice que la firma posee Rendimientos a Escala

Crecientes. Esto implica en términos de Costos Totales que si incrementamos la producción en un

cierto porcentaje, los Costos Totales de producción se incrementarán menos que

proporcionalmente. En términos geométricos esto implica que la Curva de Costos Totales debe ser

Cóncava al Origen, como lo muestra la siguiente gráfica:

Cme

� '%��

�

Alternativamente, la Función de Costos Medios será decreciente, como lo muestra la gráfica

anterior de la derecha

�

A su vez, si ante un incremento proporcional e igual en ambos factores la producción se

incrementa en la misma proporción se dice que la firma posee Rendimientos Constantes a

Escala. Esto implica en términos de Costos Totales que si incrementamos la producción en un

cierto porcentaje, los Costos Totales de producción se incrementarán en la misma proporción. En

términos geométricos esto implica que la Curva de Costos Totales debe ser lineal partiendo desde

el origen, como lo muestra la siguiente gráfica:

�

�

Alternativamente, la Función de Costos Medios será constante, como lo muestra la gráfica anterior

de la derecha

�

Por último la función de producción podría mostrar rendimientos a Escala variables por tramo. Por

ejemplo en la gráfica de mas abajo mostramos un caso, tal vez el mas usual en la realidad, donde

Cme

Cme

� '%��

para pequeños niveles de producción los rendimientos son crecientes, después a medida que

aumenta Q los rendimientos son constantes y finalmente decrecientes. En términos geométricos

esto significa que la función de Costos Totales será Cóncava al principio y luego Convexa. A su

vez, la Función de Costos Medios tendrá forma de “U”. �

�

�

En términos algebraicos para averiguar si una función de producción presenta rendimientos a

escala se procede de la siguiente manera. Supongamos que poseemos una función de Producción

dada por:

� �( & ) �( + , + ,=

Si multiplicamos ambos factores productivos en una proporción 'λ > y lo evaluamos en la función

de producción se tiene que:

� �

� � � �

� � �

( & ) �( )( )

( & ) �

( & ) �

( + , + ,

( + , + ,

( + , + ,

λ λ λλλ λ λ λλ λ λ

===

Si la función reproducción tuviese rendimientos constantes a escala al incrementar todos los

factores en una proporción 'λ > como resultado se debería obtener un nivel de producto

multiplicado por 'λ >

Si se obtuviese como resultado de evaluar en la función de producción los factores productivos

multiplicados por 'λ > , un nivel de producción mayor que λ , significa que la producción creció

Cme

� '%��

más que proporcionalmente experimentando así rendimientos crecientes a escala. Si se obtuviese

un resultado menor que uno, la misma tendrá rendimientos decrecientes a escala.

Ahora bien, volviendo al ejemplo se obtuvo como resultado:

� � �( & ) �( + , + ,λ λ λ=

Como λ es mayor que 1 se verifica lo siguiente:

�λ λ>

Por lo tanto

� � � � �( & ) � � ( & )( + , + , + , ( + ,λ λ λ λ λ= > =

Entonces la función presenta rendimientos crecientes a escala, pues al incrementar los factores

productivos en una misma proporción se obtuvo un nivel de producto que creció mas que

proporcionalmente.

Pongamos otro ejemplo para ilustrar la situación, Supongamos que tenemos ahora esta función de

producción:

%0 %0'( & ) �( + , + ,=

Si multiplicamos ambos factores productivos en una proporción 'λ > y lo evaluamos en la función

de producción se tiene que:

%0 %0'

%0 %0 %0' %0'

%0! %0 %0' %0 %0'

( & ) �( ) ( )

( & ) �

( & ) � � ( & )

( + , + ,

( + , + ,

( + , + , + , ( + ,

λ λ λλλ λ λ λλ λ λ λ λ

=== < =

Ya que:

%0!λ λ<

Por lo tanto la función tiene rendimientos decrecientes a escala, pues al incrementar el uso de

todos sus factores en una proporción λ se obtuvo un nivel de producto que se incremento menos

que proporcionalmente a λ

� '%��

Elasticidad producto y Elasticidad Escala La elasticidad producto de un insumo se define como el incremento porcentual que experimenta el

producto total de la firma como consecuencia de incrementar en un 1% la utilización de dicho

insumo.

En términos algebraicos las respectivas fórmulas que describen la elasticidad producto de los

insumos L y K son respectivamente:

( & )

( & )

(

+

( + , +

+ ( + ,ε ∂=

∂

( & )

( & )

(

,

( + , ,

, ( + ,ε ∂=

∂

Veamos un ejemplo para ilustrar estos conceptos. Supongamos que tenemos la siguiente función

de producción:

� �( & ) �( + , + ,=

La elasticidad producto del insumo L , que denotaremos con (

+ε será:

� �

� �

( & )

( & )

'��

�

(

+

(

+

(

+

( + , +

+ ( + ,

++ ,

+ ,

ε

ε

ε

∂=∂

=

=

Esto significa que si incrementamos en 1% la utilización del insumo L la producción total Q se

incrementará en un 3%

Por otro lado la elasticidad producto del insumo K, que denotaremos con (

,ε será:

�

� �

( & )

( & )

�

�

(

,

(

,

(

,

( + , ,

, ( + ,

++ ,

+ ,

ε

ε

ε

∂=∂

=

=

� '% �

Esto significa que si incrementamos en 1% la utilización del insumo K la producción total Q se

incrementará en un 2%

Otro concepto útil en análisis de Producción y Costos, es el de Elasticidad Escala.

La Elasticidad Escala indica en cuanto se incrementa la producción total Q ante un incremento

simultáneo de un 1% en cada uno de los factores productivos L y K.

Para computar la elasticidad escala, denotada por λε en términos algebraicos, se debe emplear la

siguiente fórmula:

( (

+ ,

λε ε ε= +

En otras palabras, la elasticidad escala es siempre igual a la suma de las elasticidades producto de

cada uno de los insumos.

Aplicado a la función del ejemplo anterior se tiene:

. � �

�

( (

+ ,

λ

λ

λ

ε ε εεε

= +

= +=

�

Lo que significa que si incrementamos en un 1% la utilización de L y en un 1% simultáneo la de k,

entonces el producto Q se incrementa en un 5%.

� '%!�

Problemas Sobre Producción y Costos

1.- Sobre Producción en el Corto Plazo

i. En base a la siguiente función de producción:

� �() '�"0� �0!� %0%%%�'' %&%%%%%%��"( + + + += − + + −

Defina función de producción. Grafique la misma. Determine el valor de L en donde el

Producto Total es máximo. Halle el punto de inflexión

ii. En una gráfica paralela hacia abajo grafique producto medio y marginal. Previamente

defínalos algebraica y conceptualmente. Sea cuidadoso en determinarlos máximos de tales

funciones. Relacione tales gráficas con las definiciones geométricas de las mismas (rayos

y pendientes)

iii. Marque las etapas I, II y III de producción y relaciónelas conceptualmente con la ley de los

rendimientos marginales decrecientes.

2.- Sobre Isocuantas e Isocostos13

i. Defina conceptualmente la noción de “Función de Producción de Largo Plazo” y

explique para qué sirve y distíngala de una función de Utilidad. De ejemplos Algebraicos de

las mismas y represente gráficamente las mismas en 3D. (No se preocupe si las gráficas

se les complican, basta con un pequeño esbozo aproximado)

ii. Suponga que la función de producción de una empresa es la siguiente:

( & )( + , +,=

determine cual es el nivel de producto que se puede obtener con los siguientes planes de

producción (un plan de producción es una combinación de insumos):

A: (1,7)

B: (2,3)

�������������������������������������������������'��B������������������������������7���������/�����������������������������������������.�����������������������������&��������1����������������������������������.����������������������&�����7��������/�������������������������������/���������������������������0�

� '%"�

iii. Ídem que el anterior pero para las siguientes funciones de Producción:

� �

� �

� �

) ( & )

) ( & ) �%

) ( & ) & %

) ( & ) & & %

) ( & ) ��() ��( )

) ( & ) ���() ���( )

) ( & ) ��( )

) ( & ) '%% � �

) ( & ) ( ') ( �)

� ( + , + ,

� ( + , + ,

� ( + , + ,

� ( + , )+ , )

� ( + , + ,

� ( + , + ,

� ( + , + ,

* ( + , + ,

� ( + , + ,

α β

α β

α βα β

=== >= >= += += +

= + += − + −

Omita por el momento apartados c) y d). Defina “Producto Marginal” de un insumo de

manera conceptual y calcule la PMgL y la UMgK. en base a la función de Producción del

apartado ii). Recuerde que al igual que la función de Producción, las Productividades

Marginales son funciones de las dos variables: L y K

iv. Ídem que el anterior pero para todas las funciones.

v. Siguiendo con la función de producción del apartado ii), Halle analíticamente la ecuación

de las Isocuantas que pasan por los planes de producción A y B respectivamente. Defina

“Isocuantas” de manera conceptual y trace una gráfica aproximada.

vi. Ídem que el anterior pero para la totalidad de las funciones del apartado iii)

vii. Defina Tasa Marginal de Sustitución Técnica de manera conceptual en términos de

Unidades de sacrificio y en términos de Valoración Subjetiva del Proceso Productivo de

un bien en términos del otro.

viii. Calcule analíticamente la Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) como la pendiente

(derivada) de las Isocuantas que halló en el apartado vi) evaluadas en las cestas A y B

respectivamente. Interprete conceptualmente

ix. Ídem que el anterior pero obtenga la TMS en los puntos A y B como cociente cambiado de

signo de las Utilidades Marginales. Para ello calcule las respectivas derivadas parciales,

forme el cociente, cambie el sigo y evalúe en los pares ordenados A: (1,7) y B: (2,3).

Interprete conceptualmente y compruebe que obtuvo el mismo resultado que en el ejercicio

anterior.

x. Suponga ahora la cesta C: (4,5). Calcule la TMST por el Método de la pendiente de la

Isocuanta (CI). Para ello, calcule el nivel de Producción alcanzado en ese punto, iguale la

expresión de la función de Producción del ejercicio al nivel de producción en C (en éste

caso es KL=20) despeje para obtener la Isocuanta en términos analíticos, derive con

respecto a L y evalúe en el punto L=4. Calcule además por el Método del Cociente de

Productividades Marginales. Verifique.

� '%$�

xi. Ídem para las funciones de Producción del apartado iii) calcule la TMST en el plan de

consumo A por ambos métodos.

xii. Defina Isocosto de manera conceptual y analítica. Grafique. Efectué análisis de ordena al

origen, abcisa al origen y pendiente como resultado de modificaciones en los precios de los

factores y en el Costo Total. Grafique e interprete

xiii.

3.- Sobre Costos en Largo Plazo

i. Suponga una empresa cuya función de producción de largo plazo está descripta por

Q(L,K)=L2K, que los precios de los insumos productivos L y K están fijos en $2 y $5

respectivamente y que desea producir a la manera mas barata posible 100 unidades de

Producto Q. En base a dicha información determine la combinación de insumos

productivos que minimiza el costo de producir la cantidad deseada de producto. Para ello

plantee el problema de Optimización restringida pertinente, forme la función Lagrangeana y

resuelva. Esboce dos gráficas, una en 3D y otra en los ejes L,K que describan el problema

anterior. Explique el significado de los valores hallados cómo óptimos de este consumidor.

ii. Indique si los planes de producción (L,K) = (10, 16), (30, 8) y (50, 20) Minimizan el costo de

producir las 100 Unidades anteriores justificando geométrica, analítica y conceptualmente

en base a los datos del apartado anterior.

iii. Ídem que el apartado i) pero para los siguientes niveles de producción:

a) Q=30

b) Q=70

c) Q=100

d) Q=150

e) Q=300

Confeccione una Tabla de dos columnas colocando en la primer columna el Nivel deseado

de Producción y en la segunda la cantidad de insumo L que permite producirla a Costo

Mínimo. Haga lo mismo pero para el insumo K. Grafique ambas Tablas. Llámele a tales

Gráficas: Demandas Condicionadas de Factores

Calcule el Costo Mínimo de producir cada nivel de Producto multiplicando los valores

óptimos de L y K asociados a cada nivel de Q deseado y sumándolos. Confeccione una

Tabla y Grafique. Denomine a esa Gráfica: Función de Costos de Largo Plazo.

iv. Obtenga las expresiones analíticas de las gráficas que confeccionó en el apartado anterior.

Observe que para esto Usted debe resolver el problema de minimización de Costos pero

trabajando con el parámetro Q= Q0. De ésta manera arribará a soluciones algebraicas en

donde los valores de L y K que minimizan el Costo Total dependen del parámetro Q0 .

Luego esas expresiones óptimas L(Q0) y K(Q0) que Usted halló son las Funciones de

� ''%�

Demandas Condicionadas de Factores. Defina conceptualmente las mismas y verifique

que de tales funciones se pueden obtener los resultados del apartado anterior.

Para obtener la expresión analítica de la Función de Costo de Largo Plazo multiplique las

funciones de demandas condicionadas de factores por sus precios y sume. Defina

conceptualmente Función de Costos de Largo Plazo.

v. Ídem que en ambos apartados anteriores pero suponiendo un aumento en el precio del

insumo L de $1. Lo mismo pero para una caída de $1. Es decir obtenga las expresiones

analíticas y las gráficas de las Demandas Condicionadas de Factores y la Función de

Costos de Largo Plazo.

vi. Ídem que en apartados iii) y iv) pero para aumento en $1 en el precio del insumo K

vii. Observe que puede ahorrar mucho trabajo y tiempo si resuelve el problema de

minimización de costos original pero trabajando algebraicamente con los parámetros w,r y

Q. Es decir resuelva:

&

�

���

0 �

+ ,�� /+ �,

�� + , (

= +

=

Las expresiones de las cantidades óptimas de L y K dependerán ahora de w,r y Q lo

mismo que la Función de Costos. Con éstas nuevas expresiones algebraicas usted puede

analizar los cambios en las funciones de demandas condicionadas y en la función de

costos cuando se producen variaciones en cualquiera de los parámetros w,r y Q sin

necesidad de resolver nuevamente el problema original. Efectuelo.

viii. Obtenga el Costo Medio y Marginal de Largo Plazo. Grafíquelos y defínalos

conceptualmente.

ix. Lo mismo que en los apartados vii) y viii) pero para todas las funciones de producción del

apartado 5 iii) excepto la última.

4.- Sobre Costos en el Corto Plazo y sus relaciones con el LP

i. Continuando con la función de Producción Q=L2K suponga que el stock de Capital

permanece fijo en un valor de 10 unidades. En base a ello y manteniendo los valores de

los precios de los insumos productivos w y r en $2 y $5 respectivamente, halle la cantidad

de L que minimiza el costo de producir 100 unidades. En otras palabras resuelva el

� '''�

siguiente problema de minimización restringida14:

�

��� � �%

0 � '% '%%

+�� +

�� +

= +

=

Halle tal óptimo. Calcule el Costo Total Mínimo de producir en el Corto Plazo 100 unidades

a los precios dados de los factores.

ii. Ídem que el anterior pero para los siguientes niveles de producción:

a) Q=30

b) Q=70

c) Q=100

d) Q=150

e) Q=300

Confeccione una Tabla de dos columnas colocando en la primer columna el Nivel deseado

de Producción y en la segunda la cantidad de insumo L que permite producirla a Costo

Mínimo. Grafique. Llámele a tal Gráfica: Demanda Condicionada de Factor Trabajo

Calcule el Costo Mínimo de producir cada nivel de Producto multiplicando el valor óptimo

de L asociado a cada nivel de Q y el nivel fijo de K de 10 unidades por su precio y

sumándolos (en otras palabras, evalúe el óptimo en la función objetivo. Confeccione una

Tabla y Grafique. Denomine a esa Gráfica: Función de Costos de Corto Plazo para un

nivel fijo de Capital de 10 unidades.

iii. Obtenga las expresiones analíticas de las gráficas que confeccionó en el apartado anterior.

Observe que para esto Usted debe resolver el problema de minimización de Costos pero

trabajando con el parámetro Q= Q0. De ésta manera arribará a soluciones algebraicas en

donde los valores de L que minimizan el Costo Total dependen del parámetro Q0 . Luego

esas expresiones óptimas L(Q0) que Usted halló es la Función de Demanda

Condicionada de Factor de Corto Plazo. Defina conceptualmente las mismas y verifique

que de tales funciones se pueden obtener los resultados del apartado anterior.

Para obtener la expresión analítica de la Función de Costo de Corto Plazo evalúe la

función de demanda condicionada en la función Objetivo. Defina conceptualmente

Función de Costos de Corto Plazo.

iv. Ídem que en el apartado anterior pero para los siguientes niveles de stocks de Capital:

a) K=20

b) K=30

c) K=50

�������������������������������������������������'��F7�+�������������1������J7��������J������������������B�+���+���/���.���������������������������������������������������������K�������������,�������������/�0� ��7����������8��������������,������������/��<��������������/���������1���������������+�������������������������,����0����������������������������������-����������,������������������/��<������������������/�����0�

� ''��

d) K=100

e) K=150

Para cada uno de ellos halle la Función de Demanda Condicionada de Factor de

Corto Plazo planteando y resolviendo previamente el problema de optimización

asociado a cada uno de ellos. Obtenga para cada nivel de stock de Capital la

respectiva Función de Costos de Corto Plazo. Grafíquelas simultáneamente en una

misma gráfica.

v. Observe que puede ahorrar mucho trabajo y tiempo si resuelve el problema de

minimización de costos original pero trabajando algebraicamente con los parámetros Q y

K. Es decir resuelva:

&

�

��� � �

0 �

+ ,�� + ,

�� + , (

= +

=

Las expresiones de las cantidades óptimas de L dependerán ahora de Q y K lo mismo que

la Función de Costos.. Efectuelo.

vi. Grafique las Curvas de Costo de CP y la Curva de Costo de LP de apartados anteriores (6-

iv) y verifique que ésta última es la envolvente geométrica de las anteriores. Explique por

qué se da esa coincidencia geométrica.

vii. Obtenga el Costo Medio y Marginal de Corto Plazo. Grafíquelos y defínalos

conceptualmente. Efectuelos para cada nivel de Capital y verifique geométricamente que

los Costos Medios de Largo Plazo (apartado 6-viii) son las envolventes de los Medios y

Marginales de Corto Plazo. Explique por qué se da esa coincidencia geométrica.

viii. Al igual que casos anteriores Ud puede resolver problemas de corto plazo más generales

para dar respuesta a preguntas del tipo: ¿Qué sucede si se modifican los precios de los

insumos productivos w y r?

Para ello resuelva el siguiente problema general:

&

�

���

0 �

+ ,�� /+ �,

�� + , (

= +

=

Con lo cual las nuevas Demandas condicionadas dependerán de Q, K, w y r. Igualmente

las Funciones de Costos Totales, Medios y Marginales de Corto Plazo guardarán dicha

dependencia con tales parámetros. Efectúelo

ix. Efectué el mismo análisis entre Costos de Corto y Largo Plazo para todas (excepto la

última) de las funciones de Producción del Apartado 5-iii) mostrando que la última es la

envolvente geométrica de las primeras. Es decir Obtenga los Costos Totales, Medios, y

� ''��

Marginales de Corto Plazo para la totalidad (excepto la última) de las funciones de

producción del apartado 5 iii) para distintos niveles de K, grafíquelas y compárelas con las

Curvas de Largo Plazo respectivas (6-ix).

5.- Sobre Rendimientos a Escalas, Senderos de Expansión y Elasticidades Producto

i. Defina Conceptualmente Sendero de Expansión. Obténgalo analíticamente para la

totalidad (excepto la última) de las funciones de producción del apartado 5 iii). Grafíquelo

ii. Calcule el grado de Homogeneidad para la totalidad (excepto la última) de las funciones de

producción del apartado 5 iii). Defina Rendimientos a Escalas y en base al grado de

Homogeneidad clasifique las mismas en relación al Tipo de Rendimientos a Escala que

presenta.

iii. Defina rendimientos a escala y relaciónelos con la concavidad, convexidad de la Función

de Costos de Largo Plazo. Relaciónelos también con Los Costos Medios y Marginales de

Largo Plazo.

iv. Defina Elasticidad Producto y Elasticidad Escala conceptual y analíticamente. Calcúlelas

para la totalidad (excepto la última) de las funciones de producción del apartado 5 iii) e

interprete. Relacione ambos conceptos de elasticidad.

v. Relacione Producto Medio, Marginal, Costo Medio y Marginal para la totalidad (excepto la

última) de las funciones de producción del apartado 5 iii) con etapas de la producción (I, II y

III)

9.- Casos especiales de Funciones de Producción

ii. Obtenga las funciones de Demandas condicionadas de los Factores, Funciones de Costos

Totales, Medios y Marginales de las siguientes Funciones de Producción:

a) Q = aL+bK

b) Q = aL2+bK2

c) Q = Min (L, K)

d) Q = Min (aL, bK)

e) Q = [A – (L–5)2 – (K–10)2 ]1/2

� ''��

� ''��

��

���*���� ���

�#��+� ���

�

�

� '' �

Concepto y Características Un mercado se dice que opera bajo Competencia Perfecta cuando se cumplen todas y cada una

de las siguientes condiciones:

1.- Existe una innumerable cantidad de oferentes (empresas) y demandantes (consumidores) de tal

manera que la cantidad máxima potencial que cada uno de ellos pudiere comercializar constituye

una proporción ínfima y despreciable del total de cantidades intercambiadas en el mercado. Esto

garantiza que ninguno de ellos tinga el suficiente tamaño y poder como para influir en el precio del

mercado entero.

2.- Inexistencia de barreras a la entrada y salida de firmas, por lo que en cualquier momento

cualquiera de las empresas que actualmente esta produciendo puede retirarse del mercado

dejando de producir o bien cualquier otra empresa que actualmente no comercializa en este

mercado puede comenzar a hacerlo sin ningún tipo de restricciones para ello.

3.- El bien que producen cada una de las empresas es idénticamente homogéneo.

4.- Existe información perfecta y completa, en el sentido que no existe ningún tipo de incertidumbre

y todos los agentes pueden, en el largo plazo, utilizar la misma tecnología que el resto de las

empresas y producir así al mismo nivel de costos que las demás, asegurandose así que en el largo

plazo no existen diferencias de tecnología que puedan permitir a una empresa adueñarse o

incrementar considerablemente su participación en el mercado.

Así, una empresa que se desenvuelve en un mercado que cumple con todas las características de

un mercado perfectamente competitivo observará que, al existir una innumerable cantidad de

firmas, no puede influir en el precio del producto estando por lo tanto obligada a tomar a éste último

como un dato. Bajo estas condiciones, el problema al que debe enfrentarse la firma bajo análisis,

es determinar el nivel de producción que maximiza sus beneficios, dada su estructura de Costos y

el precio fijado para el producto que comercializa. En términos matemáticos el problema de la firma

perfectamente competitiva es:

��8 ( ) ( )(5� ( �( �� ( �6= − −

Donde P es el precio del producto que vende la empresa, Q la cantidad de producto, CVT(Q) es la

función de Costos Variables Totales de producir la cantidad Q y CF son los costos fijos

De esta manera sus Beneficios Totales se componen de la diferencia entre sus Ingresos (P*Q) y

sus Costos (CVT+CF), con lo cual el problema puede leerse en términos conceptuales como el de

hallar la cantidad de Q que maximiza sus beneficios dado el precio del producto y su estructura de

costos.

� ''!�

Para resolver este problema de optimización en una sola variable, debemos utilizar las reglas del

cálculo diferencial para encontrar máximos en funciones de un variable. Éstas consisten en derivar

los Beneficios Totales con respecto a Q e igualar a cero, como sigue:

( )%

�5� ��� (�

�( �(= − =

Teniendo en mente que la derivada del Costo Total con respecto Q es el Costo Marginal, resulta:

( ) % ( )�5�

� ���( � ���(�(

= − = � =

Esto último indica que una empresa perfectamente competitiva para maximizar sus beneficios debe

elegir un nivel de producción tal que el Costo Marginal de Producir la última unidad de Q sea

exactamente igual al Precio del Producto. Para interpretar conceptualmente dicho resultado

supongamos que estamos vendiendo una cierta cantidad de producto Q1 tal que su CMg es menor

que el precio, en este caso si producimos y vendemos una unidad adicional incrementará nuestros

costos en Cmg(Q1) mientras que nuestros ingresos por venderla aumentaría en P. Ahora bien,

como P> CMg(Q1), nuestros beneficios totales se incrementan por vender dicha unidad, con lo cual

conviene hacerlo.

Supongamos ahora que estamos vendiendo una cierta cantidad de producto Q2 tal que su CMg es

mayor que el precio, en este caso si producimos y vendemos una unidad adicional incrementará

nuestros costos en Cmg(Q1) mientras que nuestros ingresos por venderla aumentaría en P. Ahora

bien, como P < CMg(Q1), nuestros beneficios totales disminuirán por vender dicha unidad, con lo

cual conviene no hacerlo. De esta manera, solo cuando P= CMg(Q*), en una cierta cantidad Q*,

producir una unidad adicional no incrementará los beneficios y se estará en presencia de un

óptimo.

En términos geométricos podemos describir el problema de maximización de beneficios que

enfrenta la firma competitiva e interpretar las condiciones de primer que derivamos anteriormente.

Para ello representaremos en una gráfica en color rojo las funciones de Ingreso Total (IT) como

una función que depende del nivel de producto Q y las de Costo Total (CT) en color azul.

Observemos que IT es una recta cuando la graficamos con respecto a Q que pasa por el origen

con una pendiente igual a P e indica para cada nivel de producción los ingresos que la empresa

obtendría de su venta es decir IT(Q) = P * Q. Por otro lado, su pendiente P, indica en cuanto se

incrementan los ingresos de la empresa por la venta de una unidad adicional de Q, en otras

palabras la pendiente de IT no es otra cosa mas que el Ingreso Marginal (IMg).

Si graficamos ambas funciones en un mismo dibujo, el problema de la firma competitiva consiste

en encontrar el valor de Q para el cuál la diferencia entre sus Ingresos (curva roja) y sus Costos

� ''"�

Totales (curva azul) resulte la máxima. Para ello graficaremos, debajo del dibujo anterior, la función

de Beneficios Totales, que en términos geométricos no es otra cosa más que la diferencia vertical

entre la curva roja y la azul. Así:

IT, CT

� �

De la inspección visual de las gráficas anteriores se deduce que el valor de Q que maximiza las

distancias verticales entre la curva roja y la azul debe cumplir con el hecho de que para ese nivel

de producción la pendiente de la curva de CT, s decir el CMg, sea exactamente igual a la

pendiente del IT, es decir P. De esta manera comprobamos que geométricamente se arriban a las

mismas condiciones de optimalidad derivadas anteriormente de manera algebraica.

Llamando a la cantidad que cumple con dicha condición Q*, se tiene que para hallar dicha cantidad

se debe resolver la siguiente ecuación:

IT

� ''$�

( *)� ���(= �

Sin embargo, como bien es sabido, una derivada primera nula no garantiza la presencia de un

máximo pues, como vimos en la gráfica anterior existían dos valores de Q que cumplían con la

condición de primer orden y sin embargo uno de ellos indicaba la presencia de un mínimo y no de

un máximo. Para resolver este problema, se deben utilizar las condiciones provistas por la derivada

segunda:

�

�( *) % ( *) %

� 5� � ��� � ���( (

�( �( �(= − < � > �

�

Donde la ultima desigualdad surge de multiplicar ambos miembros por -1.

Esta última condición establece que aquel nivel de producción que tiene un costo marginal

exactamente igual al precio debe cumplir además con que dicho punto se encuentre sobre el tramo

creciente de la función de costos marginales.

En términos geométricos, la condición de segundo orden implica que la Función de Costo Marginal

debe hallarse en su tramo creciente o lo que es lo mismo la Función de Beneficios Totales debe

ser localmente cóncava en el punto donde se verifica la condición de primer orden.

Sin embargo el problema de la firma no finaliza ahí pues, como se desprende de la propiedad (2),

una empresa siempre tiene la posibilidad de retirarse del mercado produciendo cero unidades. Si

dicha firma opta por no producir y retirarse del mercado, sus CVT serán cero y sus costos totales

serán sólo los Costos Fijos (CF), en consecuencia, sus beneficios arribarán a –CF o lo que es lo

mismo, incurrirá en una pérdida igual a CF.

Esto último tiene severas consecuencias pues, el nivel de producto Q* que cumple con las

condiciones de primer y segundo orden, podría incluso arrojar Beneficios Totales, luego de ser

maximizados menores a –CF o lo que es lo mismo podría incurrir en pérdidas mayores a CF.

Ilustremos esto con unas gráficas:

� '�%�

Como se observa en las gráficas anteriores los puntos que cumplen con la condición de primer y

segundo orden no siempre constituyen el máximo absoluto de la función en un determinado

dominio. Por ejemplo en la primer gráfica el punto que cumple con la condición de primer y

segundo orden permite obtener un nivel de beneficios menor al que si se produjesen cero

unidades, es decir se obtendrían beneficios menores a –CF. Para determinar algebraicamente la

condición adicional que debe cumplir el nivel de producción Q* (que cumple con las condiciones de

primer y segundo orden) para garantizar que dicha producción efectivamente maximice los

beneficios operamos como sigue:

� '�'�

( *)

* ( *)

* ( *)

( *)

5� ( �6

�( �� ( �6 �6

�( �� (

� ��� (

> −− − > −

>>

Es decir se debe verificar adicionalmente que el precio del producto sea mayor que el Costo

Variable Medio (CVMe) de producir Q*. Adicionalmente, si deseamos saber cual será el precio

mínimo al que la empresa estará dispuesta a vender una cantidad positiva de producto Q*,

sustituyendo en la condición anterior resulta

( *)

( *)

* ( *)

( *)

( *)

5� ( �6

�( �� ( �6 �6

�( �� (

� ��� (

� ��� (

= −− − = −

===

Pero como en el nivel de producción que cumple las condiciones de primer y segundo orden, Q*,

se verifica que P=CMg, resulta que:

( *) ( *)� ��� ( ���(= = �

Por otro lado sabiendo que el CVMe y CMg son iguales solo cuando el primero alcanza el punto

mínimo (min CVMe), entonces el precio mínimo a la que la empresa estará dispuesta a ofrecer una

cantidad positiva de producto será aquel en donde éste sea igual al valor del Costo Variable Medio

Mínimo de Producción (min CVMe). El valor de ese precio mínimo al cual la empresa esta

dispuesta a ofrecer una cantidad positiva en el mercado, se denomina “Punto de Cierre” pues si el

precio resultare menor a aquel a la empresa le conviene cerrar su planta.

Resumiendo, para determinar la cantidad de producto que maximiza los beneficios de la firma

perfectamente competitiva exponemos el siguiente esquema sintético:

*& ���

%& ���

* � ( *) � ( *) %

.#����

( �� � ���(

�� � ���

��������� ( ����� �� �����$�� ���( � � $������� ����7�8�� (

�(

>�= � <�

= >

Esto nos indica que primero debemos hallar el nivel de producción Q* que iguala los costos

marginales al precio vigente en el mercado, segundo verificar que el Costo Marginal en el nivel de

� '���

producción anterior se posicione sobre su tramo creciente y por último corroborar que el precio sea

mayor al costo variable medio de producir Q*.

Ejemplo:

Suponga una empresa que opera en un mercado perfectamente competitivo con una función de

Costos de Corto Plazo dada por:

��( ) ! �" '%%

�

(�� ( ( (= − + +

En donde se conoce además que el precio del producto que vende es de $9 por unidad. Para

determinar cuanto le conviene producir, resolvemos el siguiente problema de maximización:

����8 ( ) $ ! �" '%%

�(

(5� ( ( ( (= − + − −

Aplicando las condiciones de primer orden para encontrar extremos relativos resulta:

'�

�

�&"�"( )$ '� �" %

'%&'

(� 5� (( ( (

(� (

=�= − + − = � = � =�

Para determinar ahora cual de esos dos puntos que anulan la derivada primera, confieren a la

función de Beneficios Totales un máximo relativo, aplicamos las condiciones de segundo orden

como sigue:

�

�

'

�

( )LL( ) � '�

LL( ) 0���

LL( ) 0���

� 5� (5� ( (

� (

5� (

5� (

= = − +

== −

�

Con lo cual un nivel de producción igual a Q2= 10,16 garantiza la presencia de un máximo local en

la función de Beneficios de la firma. Sin embargo, para garantizar que dicha cantidad es

efectivamente un máximo absoluto y no simplemente un máximo local, procederemos a evaluar la

función de beneficios en Q2= 10,16, lo que resulta:

( '%&' ) '��&�% '%% %.#����5� ( �6 (= = − < − = − � =

� '���

Es decir que el valor de Q=10,16 era un máximo local y no un máximo absoluto de la función de

Beneficios Totales de la firma, ya que producir Q2 genera beneficios menores que no producir

nada. Podemos resumir todo lo analizado anteriormente en la siguiente gráfica de la función de

beneficios para un nivel de precio de $9, así:

La cual muestra que el nivel de beneficios que se obtendrían si se produjesen 10,16 unidades de

producto, es menor que si se produce cero. De esta manera, si el nivel de precios es $9, a la firma

le conviene cerrar su planta y dejar de producir, pues haciendo esto incurriría en pérdidas de sólo

100 mientras que si produce obtendría pérdidas de 123,50.

Supongamos ahora que el precio del producto es de $25. Efectuando todos los cómputos

nuevamente tenemos:

����8 ( ) �� ! �" '%%

�(

(5� ( ( ( (= − + − −

Aplicando las condiciones de primer orden para encontrar extremos relativos resulta:

'�

�

'&$%'( )�� '� �" %

'�&'%

(� 5� (( ( (

(� (

=�= − + − = � = � =�

� '���

Para determinar ahora cual de esos dos puntos que anulan la derivada primera, confieren a la

función de Beneficios Totales un máximo relativo, aplicamos las condiciones de segundo orden

como sigue:

�

�

'

�

( )LL( ) � '�

LL( ) '%&'$"

LL( ) '%&'$"

� 5� (5� ( (

� (

5� (

5� (

= = − +

== −

�

Con lo cual un nivel de producción igual a Q2= 12,10 garantiza la presencia de un máximo local en

la función de Beneficios de la firma. Sin embargo, para garantizar que dicha cantidad es

efectivamente un máximo absoluto y no simplemente un máximo local, procederemos a evaluar la

función de beneficios en Q2= 12,10, lo que resulta:

( '%&' ) � &'% '%% '�&'%.#����5� ( �6 (= = > − = − � =

Es decir que el valor de Q=12,10 era no solo un máximo local sino también un máximo absoluto de

la función de Beneficios Totales de la firma, ya que producir Q2 genera beneficios mayores que no

producir nada. Podemos resumir todo lo analizado anteriormente en la siguiente gráfica de la

función de beneficios para un nivel de precio de $25, así:

La cual muestra que el nivel de beneficios que se obtendrían si se produjesen 10,16 unidades de

producto, es menor que si se produce cero. De esta manera, si el nivel de precios es $9, a la firma

� '���

le conviene cerrar su planta y dejar de producir, pues haciendo esto incurriría en pérdidas de sólo

100 mientras que si produce obtendría pérdidas de 123,50.

Ahora bien, uno podría preguntarse cual será el precio mínimo a partir del cual la empresa estará

dispuesta a ofrecer una cantidad de producto positiva. En términos geométricos, para cada nivel de

precios tenemos un gráfica distinta de Beneficios Totales, por lo tanto sólo a partir de un

determinado nivel de precios el máximo relativo de la función será también un máximo absoluto.

Representando geométricamente varias curvas de Beneficios Totales para diversos valores del

precio del producto se obtiene:

De donde se desprende que a medida que el precio aumenta, las curvas de Beneficios Totales se

desplazan hacia arriba de modo tal que a partir de un determinado momento el precio es tal que el

máximo relativo de la función (el nivel de producción que cumple con las condiciones de primer y

segundo orden) alcanza un valor igual a menos los costo fijos, que en este caso es igual a -100.

Algebraicamente para hallar dicho punto debemos computar el mínimo del CVMe, como sigue:

�( )( ) ! �"

�

( ) �! % '%&��

�

�� ( (��� ( (

(

� ��� (( (

� (

= = − +

= − = � =

� '� �

Lo que indica que el valor mínimo del CVMe se alcanza para un nivel de producción de 10,25. Para

obtener el valor al cual asciende el CVMe minimizado, procedemos a evaluar el valor de Q=10.25

en la función de CVMe, así:

�

! �"( )�

('%&��) ''&��

((��� (

���

= − +

=

De esta manera, siempre que el precio sea inferior a 11,25 a la empresa le convendrá cerrar su

planta y dejar de producir.

Función de Oferta de la Firma La función de Oferta de una empresa se define como aquella función que indica para cada nivel de

precios la cantidad de producto que la empresa está dispuesta a vender, en el sentido que esa

cantidad dado el nivel de precios maximiza sus Beneficios Totales.

Así, para obtener la función de oferta deberíamos operar de la manera que lo hicimos antes solo

que para cada valor posible de precios y construir un tabla. Por ejemplo si lo hacemos para los

precios P= 3, 6, 9, 12, 15 y 20 las cantidades que maximizan15 los beneficios serían las siguientes:

�������������������������������������������������'��?�����8���6�������,���.���������.������,������&����������1�����������������������������������������<���+�����������<�1�������������������.���������������/�����2������3���������������(�M����NJ�)�

� '�!�

Oferta de la Firma

P Q

3 0

6 0

9 0

12 10,60

15 11

20 11,58

Luego de construir la tabla anterior podemos graficarla para obtener la Función de Oferta.

Sin embargo existe una manera alternativa de obtener la expresión analítica exacta de la curva

anterior operando como lo hicimos anteriormente pero en vez de utilizar un valor numérico para el

precio podemos trabajar con un valor paramétrico igual a P. Operando de esta manera resulta:

����8 ( ) ! �" '%%

�(

(5� ( �( ( (= − + − −

Aplicando las condiciones de primer orden para encontrar extremos relativos resulta:

�( )'� �" %

� 5� (� ( (

� (= − + − =

Reagrupando términos de igual grado en Q, se tiene:

� '�"�

�( )'� �" %

� 5� (( ( �

� (= − + − + = �

La cual es una ecuación cuadrática de la forma AQ2+BQ+C=0, donde A=-1, B=14 y C= -48+P.

Aplicando luego la fórmula para hallar las raíces de ecuaciones de segundo grado obtenemos:

'�

�

! '( )'� �" %

! '

( �� 5� (( ( � (

� ( ( �

� −= +�= − + − + = � = �= + +��

Analizando las condiciones de segundo orden resultan:

�

�

'

�

( )LL( ) � '�

LL( ) � '

LL( ) � '

� 5� (5� ( (

� (

5� ( �

5� ( �

= = − +

= +

= − +

Con lo cual Q2 es el máximo relativo de la Función de Beneficios ya que al ser P un valor siempre

positivo la derivada segunda es negativa en ese punto. Para garantizar que sea también un

maximo absoluto de BT se debe verificar que P > 11.25, el cual es el CVMe Mínimo. Resumiendo

la Función de Oferta es la siguiente:

! ' & ''& ��

%& ''&��.#����

# �� �(

�� �

� + >�= �<��

Que es la expresión analítica exacta que describe de manera precisa la gráfica de la función Oferta

trazada anteriormente16.

Impuestos en Competencia Perfecta Para analizar los efectos de los impuestos en competencia perfecta sobre la función de Oferta,

distingamos primero entre impuestos fijos por unidad vendida e impuestos en porcentaje sobre el

valor de venta.

Impuesto Fijo por Unidad: �������������������������������������������������' � ��������������+�.�������6���������������������������.����/�����O.��������������D����/�������������O.����&��������������������������������� ���������������������+��.�����������-��������������������1������������������������@���6������

� '�$�

En esta sección trataremos de demostrar que el nivel de producción que maximiza los beneficios

de una empresa perfectamente competitiva, cuando a la misma se le aplica un impuesto fijo por

unidad, es menor a que cuando dicha empresa no esta alcanzada por el tributo. Para ello

llamaremos Q* al nivel de producción que maximiza los beneficios cuando la firma no está gravada

y &6( al que maximiza los beneficios cuando se la grava con un impuesto fijo por unidad producida.

En este caso el problema de optimización17 que debe resolver la empresa competitiva alcanzada

por el tributo es el siguiente:

��8 ( ) ( )&6

(5� ( �( �� ( �(= − −

Donde t es el impuesto por unidad de producto producido/vendido que recae sobre la empresa

Aplicando las condiciones de primer y segundo orden, resulta:

( ) % ( )&6 &6�5�� ���( � ���( � �

�(= − − = � = −

�

�( ) % ( ) %&6 &6� 5� � ��� � ���( (

�( �( �(= − < � >

La condición de primer orden dice que para maximizar beneficios una empresa perfectamente

competitiva gravada con un impuesto de suma fija por unidad de producción, debe elegir aquel Q

tal que su Costo Marginal es igual al precio unitario del producto menos el impuesto.

Por otro lado la condición de segundo orden asegura que el Costo Marginal debe ser una función

creciente en el entorno del nivel de producción óptimo.

Habiendo entonces deducido las condiciones de primer y segundo orden para una firma con

impuestos podemos ahora comparar las mismas con las condiciones de optimalidad de un

empresa no gravada. Para el caso de las condiciones de primer orden resultan:

Sin impuestos: *( )���( �=

Con impuestos: ( )&6���( � �= −

�������������������������������������������������'!� ������������/���,���������������������������.���������������������������������.����������������.���������8������/����������0��

� '�%�

Dado que por las condiciones de segundo orden, independientemente de la forma y especificación

funcional que adopte la función de Costos, la misma debe verificar que su Costo Marginal es una

función creciente de Q. Por lo tanto al ser creciente CMg y al ser P-t un valor mas pequeño que P,

necesariamente &6( es menor que Q*.

( )( )*&

( *)

&6

&6���( ����� �����.� ��������� �� (���( � �

( ( �� 8��� � ����( �

� = − �� <� � − <= ��

Veamos lo anterior con una gráfica

Donde se ha representado a una función de Costos Marginales genérica que cumple con la

condición de ser creciente, acorde a la condición de segundo orden, y que gracias a esa propiedad

se puede demostrar que la introducción de un impuesto reduce las cantidades que la empresa

perfectamente competitiva desee ofrecer. Esta demostración vale para cualquier función de Costos

que posea la empresa, cualquiera sea su especificación funcional, por lo tanto lo demostrado

anteriormente es un resultado General.

De esta manera, hemos demostrado que dicha empresa ofrecerá una cantidad menor de producto

para cualquier nivel de precios en presencia de impuesto en comparación a cuando no hay

impuestos. Esto último indica que la gráfica de la función de Oferta se desplazará hacia la

izquierda, indicando con ello que a los mismos niveles de precios anteriores se ofrecerá ahora una

cantidad menor, pues es ahora una cantidad menor la que maximiza sus beneficios. La pregunta

?�D� ?*�

��

�9���

� '�'�

que ahora queda es si dicho desplazamiento a la izquierda es un desplazamiento exactamente

paralelo, si es una rotación, o una combinación de ambas.

Para responder ello nos valdremos de dos cosas:

1) de las condiciones de primer orden de donde surgen las cantidades que maximizan los

Beneficios y por ende lo que ofrecerá la empresa, es decir de donde surge la “Oferta de la

Firma”

2) del hecho que en realidad en economía lo que uno grafica no es exactamente la función de

Oferta si no la Función Inversa de Oferta donde el precio es una función de Q.

Así, para saber la descripción exacta del desplazamiento debemos comparar las funciones

inversas de Oferta con y sin impuestos que no son otra cosa más que las condiciones de primer

orden:

( ) 9�����������:

( ) 9�����������:

� ���( �

� ���(

= +=

Otra cuestión a demostrar que los Beneficios de la firma se reducen como consecuencia de la

aplicación de impuesto, es decir ( ) ( *)&6 &65� ( 5� 5< . Para demostrar esto último

compararemos las funciones de Beneficios con y sin impuestos, BTIF y BT respectivamente:

( ) ( )

( ) ( )

&6

&6

5� ( �( �� (5� 5� �(

5� ( �( �� ( �(

= − � = −�

= − − �

En el caso sin impuestos la producción que maximiza los BT es Q*, en consecuencia la función BT

evaluada en cualquier otro nivel de producción, en particular Q=QIF, arrojará un valor menor:

( ) ( *)&65� ( 5� 5<

Pero como BTIF = BT –tQ, BTIF es menor que BT para cualquier nivel de producción, en particular

es menor para Q=QIF, por lo que:

( ) ( ) ( *) ( ) ( *)&6 &6 &6 &6 &65� ( 5� ( 5� 5 5� ( 5� 5< < � <

Con lo cual, la aplicación de un impuesto en Competencia Perfecta no solo reduce el nivel de

producción óptimo, sino que también disminuye los Beneficios de la Firma

De esta manera, tenemos las funciones inversas genéricas de oferta con y sin impuestos. Dado

que t es un impuesto, siempre es positivo, por lo tanto la gráfica de la función inversa de Oferta se

encontrará por encima, desplazándose exactamente t unidades verticales hacia arriba, lo que

� '���

demuestra que el desplazamiento es un desplazamiento paralelo en el caso de impuestos fijos por

unidad de producción.

El siguiente gráfico resume lo anterior, en rojo la Oferta con impuestos y en azul sin gravámenes:

Impuesto ad Valorem:

En el caso de un impuesto ad valorem, la base sobre la que recae el impuesto es el valor del bien

que se vende, es decir sobre el precio que el productor cobra. De esta manera, si se gravan las

ventas con un impuesto de esta naturaleza con una alícuota18 t, el precio neto de impuestos que

recibe la empresa por cada unidad vendida es:

(' )� �� � �− = −

Así, el problema de optimización que debe resolver la empresa competitiva alcanzada por este tipo

de tributo es el siguiente:

��8 ( ) (' ) ( )(5� ( � � ( �� (= − −

Donde t es la alícuota aplicada al precio del bien que recae sobre la empresa

�������������������������������������������������'"�B������������������8������������������������&����������-�����&������������������%P������������������������������������>%0�0�

� '���

Llamando nuevamente Q* al nivel de producción que maximiza los beneficios cuando la firma no

está gravada y )( al que maximiza los beneficios cuando se la grava con un impuesto ad

valorem, las condiciones de primer y segundo orden, resultan:

(' ) ( ) % ( ) (' )) )�5�� � ���( � ���( � �

�(= − − − = � = −

�

�( ) % ( ) %) )� 5� � ��� � ���( (

�( �( �(= − < � >

La condición de primer orden dice que para maximizar beneficios una empresa perfectamente

competitiva gravada con un impuesto ad valorem, debe elegir aquel Q tal que su Costo Marginal es

igual al precio unitario del producto neto del impuesto.

Por otro lado la condición de segundo orden asegura que el Costo Marginal debe ser una función

creciente en el entorno del nivel de producción óptimo.

Comparando las condiciones de optimalidad con el caso en que la empresa no está grabada, se

tiene:

Sin impuestos: *( )���( �=

Con impuestos: ( ) (' )&6���( � �= −

Dado que por las condiciones de segundo orden, independientemente de la forma y especificación

funcional que adopte la función de Costos, la misma debe verificar que su Costo Marginal es una

función creciente de Q. Por lo tanto al ser creciente CMg y al ser P(1-t) un valor mas pequeño que

P, necesariamente &6( es menor que Q*.

( )( ) (' )*&

(' ) % '( *)

)

)���( ����� �����.� ��������� �� (���( � �

( ( �� 8��� � � #�� ��� ����( �

� = − �� <� � − < < <= ��

Veamos lo anterior con una gráfica

� '���

Donde se ha representado a una función de Costos Marginales genérica que cumple con la

condición de ser creciente, acorde a la condición de segundo orden, y que gracias a esa propiedad

se puede demostrar que la introducción de un impuesto reduce las cantidades que la empresa

perfectamente competitiva desee ofrecer. Esta demostración vale para cualquier función de Costos

que posea la empresa, cualquiera sea su especificación funcional, por lo tanto lo demostrado

anteriormente es un resultado General.

De esta manera, hemos demostrado que dicha empresa ofrecerá una cantidad menor de producto

para cualquier nivel de precios en presencia de impuesto en comparación a cuando no hay

impuestos. Esto último indica que la gráfica de la función de Oferta se desplazará hacia la

izquierda, indicando con ello que a los mismos niveles de precios anteriores se ofrecerá ahora una

cantidad menor, pues es ahora una cantidad menor la que maximiza sus beneficios. La pregunta

que ahora queda es si dicho desplazamiento a la izquierda es un desplazamiento exactamente

paralelo, si es una rotación, o una combinación de ambas.

Para responder ello nos valdremos de dos cosas:

3) de las condiciones de primer orden de donde surgen las cantidades que maximizan los

Beneficios y por ende lo que ofrecerá la empresa, es decir de donde surge la “Oferta de la

Firma”

4) del hecho que en realidad en economía lo que uno grafica no es exactamente la función de

Oferta si no la Función Inversa de Oferta donde el precio es una función de Q.

Así, para saber la descripción exacta del desplazamiento debemos comparar las funciones

inversas de Oferta con y sin impuestos que no son otra cosa más que las condiciones de primer

orden re-expresadas despejando P:

?�N� ?*�

��

�2:9��4�

� '���

'( ) 9�����������:

'

( ) 9�����������:

� ���(�

� ���(

=−

=

De esta manera, tenemos las funciones inversas genéricas de oferta con y sin impuestos. Dado

que t es una alícuota, siempre es mayor que cero y menor que uno19, por lo tanto 1/(1-t) es un

número mayor que 1 que multiplica al CMg. Al multiplicar al CMg por una cantidad mayor que uno,

cuando el mismo vaya creciendo la nueva oferta se irá despegando cada vez mas de la Oferta sin

impuestos de una manera no paralela hacia arriba. Por ejemplo si la alícuota es de 0.5 y el precio

es de 10, la nueva oferta se ubicar en un valor de 20 (10 unidades por encima de la Oferta sin

impuestos), mientras que si el precio aumenta a 30 la nueva oferta se ubica en 60, es decir 30

unidades por encima de la oferta sin impuestos. Como se ve, a medida que el precio aumenta, la

diferencia vertical entre una y otra es cada vez mayor. Esto último, justifica algebraicamente el

porqué en el caso de un impuesto ad valorem, la Función de Oferta de la Firma se desplaza hacia

la izquierda de una manera no paralela, con una rotación en el sentido contrario a las agujas del

reloj.

El siguiente gráfico resume lo anterior, en rojo la Oferta con impuestos y en azul sin gravámenes:

�������������������������������������������������'$�4��1����������������������������������.����������0�

� '� �

La Oferta de Mercado Anteriormente hemos trabajado con la función de oferta de una empresa, de una firma

representativa. Si suponemos ahora que el mercado de un producto X en una determinada región

está constituido por N empresas, la oferta del mercado simplemente se obtendrá multiplicando las

cantidades ofrecidas a cada nivel de precios por la cantidad de firmas existentes en la industria.

Así, si X(Px) es la forma funcional general de la Oferta de una empresa representativa y en el

mercado existen N firmas, la Oferta del mercado será:

* ( )' � ��

Si no existieren empresas representativas en el sentido que las funciones de producción de la

industria son muy dispares, debería obtenerse la oferta de cada firma en base a sus costos y

sumarlas una por una, así:

Oferta de Mercado de X = ( )'

��� ���

Continuando con el ejemplo de secciones anteriores, si existen en el mercado 100 firmas idénticas

a la anterior la oferta del mercado será:

!%% ' & ''&��( )

%& ''&��

# �� �� �

�� �

� + >�= �<��

Tamaño de la Industria en el Largo Plazo

Dado que unas de las características de la Competencia Perfecta es la libre entrada y salida de

firmas y además en el Largo Plazo todas las empresas tienen acceso a la misma tecnología, lo que

implica costos idénticos, el precio actual de equilibrio entre Oferta y Demanda de Mercado

generará incentivos al ingreso o retiro de nuevas firmas.

Sabemos que una empresa produce en el nivel de Q que verifica20 CMg(Q*) = P

Pero si

( *) ( *) ( *) %���( � ��� ( 5� ( &������� ���$��������= > � > �

��������������������������������������������������%� �����B��+�����6�&������������������.���������������������/�����&�����8������������D�-��&��������1������������/�����������������D�����������B��+�����6������F>%�

� '�!�

Así, si el precio es mayor que el CTMe existen beneficios positivos para cada una de las firmas lo

cual incentivará a que ingresen nuevas empresas. Si ingresan nuevas firmas, la oferta de la

Industria aumenta desplazándose a la derecha reduciendo así el precio de equilibrio de mercado,

como lo muestra la siguiente gráfica:

De esta manera si el precio se reduce, los beneficios de cada una de las empresas disminuirá.

Este proceso de libre entrada continuará siempre que el precio de equilibrio de mercado se

encuentre por encima del Costo Total Medio de Largo Plazo (CMeLP) y solo cuando el precio sea

exactamente igual al CMeLP se detendrá el ingreso de nuevas firmas a la industria y se dirá que

ésta se haya en su equilibrio de Largo Plazo.

Por otro lado si:

( *) ( *) ( *) %���( � ��� ( 5� ( �� ������� ��#�����= < � < �

Lo contrario sucede si el precio es menor que el CMeLP motorizando la salida de firmas, con la

consecuente reducción de la Oferta y el posterior aumento del precio de equilibrio como lo

muestra la gráfica a continuación:

� '�"�

:

De esta manera, el precio seguirá aumentando con el retiro de más y más firmas hasta que el

precio sea igual al CMeLP.

De lo anterior deducimos que la condición de Equilibrio de la Industria en el Largo Plazo es BT=0,

pero ello implica que:

( *) % ( *) ( *)5� ( � ��� ( ���(= � = =

Es decir el nivel de producción que cumple con igualar el Costo Marginal con el Costo Medio, es

aquel nivel de producción que minimiza los Costo Medios de Largo Plazo, y el valor mínimo de éste

último debe coincidir con el precio de equilibrio entre Oferta y Demanda de Mercado.

Así, para obtener la cantidad de firmas que soporta la industria en el Largo Plazo en Equilibrio, el

precio que rija en el mercado deberá ser tal que este iguale al mínimo del Costo Medio de Largo

Plazo. Para ello primero debemos obtener el nivel de Q que minimiza los Costos Medios de Largo

Plazo (ese será la cantidad que producirá cada firma), y calcular luego el costo medio mínimo (ese

será el Precio que regirá en el Largo Plazo) evaluando en la función de CMeLP la cantidad anterior.

Para determinar el numero de firmas, deberemos evaluar en la función de demanda el precio de

largo plazo y esa cantidad divídala en lo que producirá cada empresa. Eso dará el número de

firmas que admite la industria.

Veamos con un ejemplo:

Supongamos que la función de demanda de la industria viene representada por la siguiente función

� '�$�

Q = 72000 – 2*Px

Y que la función de Costos de Largo Plazo de una empresa representativa de la firma:

�( ) ! ( "%) �%� ( ( ( (= − +

Primero, obtenemos el valor de Q para el cual los CTMe resultan mínimos, así:

���� !( "%) �%

'�( "%) % "%

(����+� (

� ����+�( (

�(

= − +

= − = � =

Luego el CTMeLP será:

( "%) �%����+� ( = =

Con lo que el Precio de Equilibrio de Largo Plazo de la Industría será de 40 pues a ese precio cda

una de las firmas obtendrá beneficios económicos iguales a cero con lo que dejan de ingresar y

retirarse nuevas firmas.

Evaluando en la función de Demanda P = 40, obtenemos D(P=40) = 71920, es decir el mercado

demandará esa cantidad de unidades al precio de 40. Dado que cada empresa solo producirá 80

unidades (que es el valor para el cual el CTMeLP se minimiza) la cantidad de firmas que admite la

Industria en Equilibrio de Largo Plazo es 71920/80 = 899 firmas. Si el número de empresas es

mayor, aumentará la Oferta, se reducirá el precio y se retiraran hasta que el precio suba lo

suficiente como para eliminar las pérdidas. Si la cantidad de empresas es menor a 899, la oferta se

reduce, aumenta el precio de equilibrio del Mercado, cada empresa obtiene beneficios positivos lo

que atrae a nuevas firmas a ingresar el mercado. El proceso de ingreso de nuevas empresas

concluye cuando el precio de equilibrio haya disminuido lo suficiente como para eliminar los

beneficios positivos que se obtienen en este Mercado.

� '�%�

Problemas Sobre Competencia Perfecta

i. Derive las Condiciones de Optimalidad que deben verificarse en una Empresa para que la

misma Maximice Beneficios. Para ello utilice las Condiciones de Primer y Segundo

Orden del siguiente Problema de Optimización:

��8 ( )(5� �( � ( �6= − −

donde P es un parámetro que representa el precio de venta del producto, Q es una

variable que indica la cantidad producida y vendida, CV(Q) es una función genérica de

Costos Totales Variables y CF es una constante que representa a los Costos Fijos Totales

de Producción.

Interprete las Condiciones de Primer y Segundo Orden en términos Económicos.

ii. Dado que una empresa en el Corto Plazo siempre tiene la posibilidad de retirarse del

mercado produciendo Q = 0 si sus Beneficios son Menores a – CF [BT*< – CF] (o

alternativamente si los Ingresos por Venta no cubren los Costos Variables de Producción),

complete las condiciones de optimalidad que halló e interpreto en el apartado anterior21

considerando este nuevo hecho. Para ello debe comparar los Beneficios Óptimos de la

Firma con –CF y determinar el mayor [es decir BT(Q=Q*) vs. BT(Q=0)= -CF]. Encuentre

que condiciones debe verificar un punto que cumpla con las condiciones de 1er y 2do

Orden y genere Beneficios iguales a – CF [es decir BT(Q=Q*) = – CF] deduciendo sobre la

base de ello el Punto de Cierre de la Empresa. Trace una gráfica aproximada.

iii. Suponga una empresa que opera en un mercado perfectamente competitivo con una

función de Costos de Corto Plazo dada por:

�

�( ) ! �" '%%�

(�� ( ( (= − + +

Se pide:

a. Halle las cantidades óptimas a producir por dicha empresa si el precio del producto Q es

de $7 por unidad.

b. Ídem que el anterior pero para un precio igual a $ 15.

c. Derive la función de Oferta de la Empresa en el Corto Plazo. Para ello suponga un precio

igual a P. No olvide la Condición de Cierre. Trace una gráfica aproximada.

iv. Analice los Efectos sobre el Nivel de Producción y Beneficios de la Firma en un mercado

perfectamente competitivo como consecuencia de la aplicación de los siguientes tipos de

impuestos: ��������������������������������������������������'�B������������������������<�;�+�����O�����1��������6/���������������������������������/�����������������J8�����<�J�������B���������������Q��,����0� ������.�������������J7����&�1��������������������������������������C�@�R�F��H��&����������������������������/�����1�������������������������������������������������������������D����&�1������J7��������������O�����6���/������������6����������������0�

� '�'�

a. Impuestos a las Ganancias con una alícuota igual a t [0>t>1]

b. Impuestos a las Cantidades Producidas de t pesos por unidad

c. Impuestos a los Ingresos Totales (Ingresos Brutos) con una alícuota t [0>t>1]

En todos los casos trabaje con una Función Genérica de Costos CT(Q). No considere

problemas concernientes a los Puntos de Cierre. Utilice la información que proveen las

Condiciones de Primer y Segundo Orden par derivar los efectos solicitados en

comparación a una situación sin impuestos.

v. En los ejercicios anteriores trace una gráfica que demuestre como se modifica la curva de

Oferta como consecuencia de la aplicación de los distintos tipos de gravámenes en

comparación a una situación sin impuestos.

vi. Basándose en la siguiente Función de Costos:

�( ) '%% ( �%) �%%� ( ( ( (= − +

Halle las nuevas curvas de Oferta como consecuencia de la aplicación de los distintos tipos

de impuestos señalado en el apartado iv. Trabaje con alícuotas iguales a 0.35.

Para un precio de $400 analice los efectos sobre los Beneficios de la firma.

Trace una gráfica aproximada.

vii. Suponga que una empresa representativa de la Industria de Largo Plazo está

caracterizada por la siguiente Función de Costos de Largo Plazo:

�( ) ! ( "%) �%� ( ( ( (= − +

mientras que la Demanda de la Industria es Igual a D(Q)= 100 – P.

Halle el número de firmas de la Industria. Explique detalladamente cómo lo obtuvo y el

fundamento económico de tales cálculos. Trace una Gráfica aproximada.

viii. Continuando con los datos del ejercicio anterior indique si un precio: P=50 es un precio de

equilibrio de Largo Plazo. Explique porqué. Indique además si ese precio genera incentivos

al ingreso de nuevas firmas o a la salida de firmas existentes. ¿Y si el precio fuese de 35?

� '���

�

�

�

����*�����

�

�

� '���

Concepto y Características La estructura de mercado que se encuentra en el tramo opuesto al analizado en el capítulo

anterior, es el de Monopolio. Este último se define simplemente como aquel mercado en donde

existe sólo una única empresa que comercializa el bien en cuestión.

Existen diversas razones por las que puede surgir un monopolio, entre ellas podemos mencionar a

las siguientes:

1.- Que la empresa sea la única propietaria de los insumos que se utilizan para producir el bien

2.- Que el tamaño del mercado, y la estructura de Costos de las firmas, sea tal que solo existe

lugar para una sola empresa en el mercado, pues de existir mas incurrirían todas en pérdidas

3.- Que el monopolio halla sido concedido por el Gobierno con exclusividad a la firma

4.- Que como consecuencia de políticas de fomento a la innovación, el gobierno conceda

exclusividad de explotación de las invenciones y nuevos productos que desarrollen las empresas

por un lapso determinado de tiempo.

Bajo estas características una firma monopólica observará que, al ser la única empresa en el

mercado deberá enfrentar la totalidad de la demanda mercado. Esto implica que si quiere aumentar

la cantidad a producir y vender deberá bajar el precio al que se vendan todas las unidades, y

viceversa, si desea vender una cantidad menor podrá incrementar el precio que se cobra a cada

una de las unidades vendidas. Por este motivo resulta útil analizar en detalle los Ingresos Totales

del Monopolista desde un punto de vista analítico

( ) ( )&� ( ( � (=

Donde la ecuación anterior indica que los Ingresos Totales del Monopolista es el producto de la

cantidad de producto vendida Q, y del precio P(Q) al que puede vender dicha cantidad. Notar como

el precio de venta depende de cuanto desee vender. Así, si el monopolista desea vender una

cantidad mayor deberá fijar un precio de venta menor.

La expresión P(Q) es lo que podemos denominar “Función Inversa de Demanda” de Mercado en

el sentido de que ésta indica para cada nivel de producto el precio al cual los consumidores estarán

dispuestos a adquirir dicha cantidad. En otras palabras, para cada Q esta función indica el precio

unitario que recibe el productor por la venta de Q unidades. A partir de la ley de la demanda

podemos garantizar que la función P(Q) tiene pendiente negativa o lo que es lo mismo su derivada

con respecto a Q es menor que cero.

Con este análisis estamos ahora en condiciones de estudiar detenidamente el concepto de Ingreso

Marginal. Conceptualmente este se define como el incremento que experimentan los Ingresos

Totales del empresario como consecuencia de producir y vender una unidad adicional de producto.

� '���

Si uno vende una unidad adicional experimentará dos efectos: por un lado notará que al vender

una unidad más sus ingresos totales crecen por recibir por esa unidad adicional que se vendió un

precio igual a P(Q), y por otro lado se encontrará que para poder vender esa unidad adicional debe

bajar el precio a todas y cada una de las unidades que vende por lo que en este caso el ingreso se

reduce. El primero de estos efectos es el que denominamos Efecto Cantidad, el cual es positivo, y

el segundo Efecto Precio que es negativo.

el primer término P(Q), el cual está indicando que por un lado vender una unidad adicional genera

un incremento

En términos analíticos, el Ingreso Marginal (IMg) no es otra cosa más que la derivada del Ingreso

Total con respecto al nivel de producción (Q), así:

( )( ) ( ) L( )

�&� (&��( � ( � ( (

(= = +

Donde la derivada22 indica que el Ingreso Marginal está influido por dos elementos fundamentales:

El efecto Precio y el Efecto Cantidad.

El primer término de esa derivada, P(Q), está indicando que los ingresos totales crecen pues se

está vendiendo una unidad más a un precio P(Q) y es ese el monto por el cual los ingresos Totales

se incrementan por vender una mas. En otras palabras, P(Q) es el Efecto Cantidad descrito

anteriormente.

El segundo término, P’(Q) Q es un término negativo pues P’(Q), que es la derivada de la función

inversa de demanda23 con respecto a Q, es negativo. El valor de P’(Q) está indicando en cuanto

debe reducirse el precio de venta de manera tal de poder vender una unidad adicional de Q, por lo

tanto al multiplicar dicha reducción de precio por las cantidades vendidas, P’(Q)Q, obtenemos la

reducción en los ingresos totales por vender una unidad adicional, es decir el Efecto Precio

En términos geométricos podemos representar a la demanda total que enfrenta el monopolista

junto a la función de Ingreso Marginal. Haciendo uso de la expresión analítica anterior para el

ingreso Marginal, se tiene:

( ) ( ) L( ) ( ) ( )&��( � ( � ( ( &��( � (= + � <

Ya que el segundo término, el efecto cantidad, es negativo.

Podemos concluir entonces que la gráfica del IMg se encontrará siempre por debajo de la gráfica

de la Demanda P(Q), así:

����������������������������������������������������������������+��������������/��������������������.������������?���������������������+���������������<��������������0�

� '���

En donde en color rojo está representada la función de demanda de mercado P(Q) y en azul la

función de Ingreso Marginal.

Condiciones de Optimalidad para Maximizar Beneficios En base al análisis anterior, el problema con el que se enfrenta la firma monopólica es determinar

el nivel de producción que maximiza sus beneficios, dada su estructura de Costos y teniendo en

cuenta las efectos en los ingresos totales analizados anteriormente. Así, el monopolista ahora

deberá balancear los efectos precio, efectos cantidad y el efecto costo a los fines de hacer máximo

sus Beneficios. En términos algebraicos el problema de la firma monopolista es:

��8 ( ) ( ) ( )(5� ( � ( ( �� (= −

Donde P(Q) es la función de demanda inversa de demanda que indica a que precio se debe vender

la cantidad Q deseada de producto, CT(Q) es la función de Costos Totales de producir la cantidad

Q.

De esta manera sus Beneficios Totales se componen de la diferencia entre sus Ingresos Totales

[IT=P(Q)*Q] y sus Costos Totales (CVT+CF), con lo cual el problema puede leerse en términos

conceptuales como el de hallar la cantidad de Q que maximiza sus beneficios dada la demanda de

mercado que enfrenta y su estructura de costos.

Por simplicidad matemática y sin pérdida de generalidad, reformularemos el problema anterior,

expresándolo en los siguientes términos:

� '� �

��8 ( ) ( ) ( )(5� ( &� ( �� (= −

Para resolver este problema de maximización en una sola variable, debemos derivar la función de

Beneficios Totales con respecto a Q e igualar a cero, como sigue:

( ) ( )%

�5� � &� ( ��� (

�( �( �(= − =

Teniendo presente que la derivada del Costo Total con respecto Q es el Costo Marginal, y la

derivada del Ingreso Total con respecto a Q es el ingreso Marginal, resulta:

( ) ( ) % ( ) ( )�5�

&��( ���( &��( ���(�(

= − = � =

Con lo cual una empresa monopolística para maximizar sus beneficios debe elegir un nivel de

producción tal que el Costo Marginal de Producir la última unidad de Q sea exactamente igual al

Ingreso Marginal que esta última genera. Si el IMg resultare ser mayor que el CMg a la empresa le

convendrá producir una unidad adicional pues los ingresos se incrementarían más de lo que sus

Costos aumentan como consecuencia de producir esa unidad adicional. Y al revés, si el IMg

resultare ser menor que el CMg a la empresa le convendrá producir una unidad menos pues los

ingresos se reducirían menos de lo que sus Costos lo haría si produjeren una unidad menos. De

esta manera, solo cuando IMg sea exactamente igual al CMg la firma se encontrará maximizando

Beneficios.

Llamando a la cantidad que cumple con dicha condición Q*, se tiene que para hallar dicha cantidad

se debe resolver la siguiente ecuación:

( *) ( *)&��( ���(= �

Sin embargo, como bien es sabido, una función que presente en un punto una derivada primera

igual a cero no garantiza la presencia de un máximo en dicho punto. Para ello, debemos utilizar las

condiciones provistas por la derivada segunda:

( *) %�5� � &�� � ��� � &�� � ���

(�( �( �( �( �(

= − < � < �

� '�!�

Esta última condición establece que aquel nivel de producción que tiene un costo marginal

exactamente igual al ingreso marginal debe cumplir además con que dicho punto se encuentra

sobre el tramo en el que la pendiente del Ingreso Marginal sea menor que la del Costo Marginal.

Representando geométricamente las condiciones de optimalidad del monopolio en la siguiente

gráfica se tiene:

En color verde la función inversa de demanda, en azul el Ingreso Marginal y en rojo el Costo

Marginal. Las condiciones de primer orden indican que existen dos puntos, Q1 y Q2, en donde

Costo Marginal iguala a Ingreso Marginal, sin embargo en sólo uno de ellos se verifica que la

pendiente del Costo Marginal en el punto de intersección (representada por la pendiente de la recta

tangente al CMg en ese punto, en color gris) es mayor24 que la del Ingreso Marginal lo cual solo se

da en Q2.

Maximización de Beneficios y Elasticidad Precio de la Demanda Recordando la condición de Primer Orden para maximizar beneficios, sustituyendo el IMg por su

igual y multiplicando y dividiendo el segundo miembro por ( *)� ( :

�����������������������������������������������������1�����,���������������������������+��.����������������,���2��<������������3�<�������.������������������2��<������������/�3�<��1�����,��������������/��������+���������������������������������������������������������,������&��������/��1����������������������������������������������+����������0� �����������?'�������������1���������������/�����������������+��������J+�������������������<���1���������������/�������J+0�;�����,��+�&�����������������������������+�������(�����������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������)&������������������J+����������+������1�����������J+�����������������������������������&�<�������������������������/�����;�+�����O����0�

�

?'� ?��

� '�"�

( *) ( *)

( *) (*) L( *)

( *)( *) 9 ( *) L( *) *:

( *)

( *) *( *) ( *)9 L( *) :

( *) ( *)

'( *) ( *)9' :

( *)�

���( &��(

���( � ( � ( (

� (���( � ( � ( (

� (

� ( (���( � ( � (

� ( � (

���( � ((ε

== +

= +

= +

= +

Esta última expresión surge de recordar que la elasticidad precio de la demanda se obtiene por:

' '( *) L( )

( ) ( *)

�

�

�( � ( (( � (

�(�� ( � ( � �

��

εε

= � = =

Y recordando también que la derivada de la función inversa es el recíproco de la función directa.

Así, se puede verificar que un monopolista siempre se ubicara en el tramo elástico de la función de

demanda de mercado pues, si se encontrara en el tramo inelástico, el ingreso marginal será

negativo. Esto es así ya que al ser negativa la elasticidad y menor que uno en valor absoluto, su

recíproco 1/e se torna menor que -1 haciendo que el corchete [1+ 1/e] sea negativo.

Esto último tiene una importante interpretación conceptual que es la siguiente: Si el monopolista se

ubicase en el tramo inelástico de la función de demanda le conviene aumentar el precio del

producto aunque venda una cantidad menor del mismo ya que el efecto precio dominará al efecto

cantidad (la demanda se reduce menos que proporcionalmente al aumento del precio) aumentando

así sus Ingresos Totales. Además, al vender una cantidad menor sus costos también se reducen.

Por lo tanto al vender una cantidad menor aumentan los ingresos y se reducen los costos

mejorando notablemente sus Beneficios. En consecuencia, cada vez que esté en un tramo

inelástico le conviene reducir su nivel de producción por lo que no estaría maximizando beneficios.

Ejemplo

Supongamos que una empresa monopolística enfrenta las siguientes funciones de demanda y de

costos:

�

��"%

( ) '% ( '�) $%%

�(

�� ( ( ( (

= −

= − +

� '�$�

Para hallar los niveles el nivel de producción que maximiza los beneficios primero debemos

obtener la función inversa de demanda, despejando P en términos de Q de la función de Demanda,

como sigue:

�� �%%% "%"%

�( � (= − � = −

De esta manera la función de demanda que indicaba para cada nivel de precios fijado cuanto se

puede vender, la función inversa indica para cada nivel deseado de producción Q que precio debe

fijarse para que dicha cantidad pueda ser vendida.

En base a ello construimos la función de beneficios y el problema a resolver por parte del

monopolista:

���8 ( ) (�%%% "% ) '% ( '�) $%%(5� ( ( ( ( ( (= − − − −

Derivando con respecto a cero, agrupando términos y resolviendo resulta:

'�

�

�&�%��% ��% ''�% % *

''0�

(�5�( ( (

(�(

=�= − + − = � = � =�

Utilizando las condiciones de segundo orden resulta:

�

�

' '

� �

LL( ) % ��%

LL( �&�%�)

LL( ''0� )

� 5�5� ( (

�(

5� ( ( ���;����

5� ( ( ���7����

= = − +

= �

= �

Podemos graficar la situación anterior como sigue:

� '�%�

Ineficiencia del Monopolio En esta sección demostraremos que las Cantidades que se producen en una industria monopólica

son menores que las que se producirían en una de Competencia Perfecta.

Para ello nos valdremos de las condiciones de primer y segundo orden para maximización de

beneficios para el monopolio y para competencia perfecta. Llamando QCP y QM a las cantidades

que cumplen con las condiciones de optimalidad para Competencia Perfecta y para Monopolio

respectivamente, resulta que las mismas verifican:

( )

( )%

��

��

� ���(

� ���(

�(

=

>�����������������������������������

( ) ( )

( ) ( )

� �

� �

&��( ���(

� &�� � ���( (

�( �(

=

<�

Para demostrar que QM es menor que QCP evaluaremos en el Ingreso Marginal y Costo Marginal

del Monopolio la cantidad de Q=QCM, resultando lo siguiente:

( ) ( )�� ��&��( ���( �

En principio no sabemos si las dos expresiones anteriores evaluadas en QCM son mayores,

menores o iguales entre sí, pero dado que QCM evaluado en CMg es exactamente igual a P (por

ser QCP la cantidad que maximiza beneficios en Competencia Perfecta), y al ser siempre el IMg

menor que el precio (como demostramos secciones anteriores) se tiene que:

�

?'� ?��

� '�'�

����������� ( ) ( )�� ��&��( ���( �< = �

Con lo cual ahora podemos establecer no solo que no son iguales entre si, y por ende QCP no

resulta ser un óptimo para el monopolista, si no que el Ingreso Marginal es estrictamente menor

que el Costo Marginal cuando son evaluados en QCP.

Para hacer que ambas expresiones sean iguales, deberemos aumentar o disminuir la cantidad

producida. A simple vista podríamos afirmar que no es posible saber si para igualar IMg con CMg

se necesita aumentar o disminuir el nivel de producción. Sin embargo, utilizando las condiciones de

segundo orden del monopolio que establecen que el ingreso marginal tiene menor pendiente que el

Costo Marginal, se puede hacer el siguiente razonamiento.

Al tener el Ingreso Marginal menor pendiente que el Costo Marginal, significa que si aumentamos

las cantidades producidas el Costo Marginal crece a un ritmo mayor que el IMg. Y al revés, si

reducimos las cantidades el Ingreso Marginal se reducirá menos de lo que lo hará el Costo

Marginal.

Por lo tanto, si incrementamos las cantidades óptimas la diferencia entre CMg e IMG se ampliaría

mas y mas a medida que mas aumentamos Q, mientras que si disminuimos Q las diferencias entre

IMg y CMg comenzarán a reducirse hasta que eventualmente desaparezcan. Esto último prueba

que el nivel de producción QM que maximiza beneficios en el Monopolio es menor que el nivel de

producción de Competencia Perfecta, así:

( ) ( )� � � ��&��( ���( ( (= � <

A su vez al producir una cantidad menor que en Competencia Perfecta, el precio será mayor que

en esta última, por la ley de la demanda.

Un punto importante también a demostrar es que en el Monopolio el precio que se fija es mayor al

Costo Marginal de producirlo. Para demostrar esto último utilizamos la condición de primer orden

del monopolio y el hecho de que el IMG siempre está por debajo del Precio, así:

( ) ( ) ( )� � �� &��( ���( � ���(> = � >

Por lo que si el precio es mayor que el IMg y éste es igual al Cmg, entonces el Precio que se fija en

el Monopolio es mayor al Costo Marginal.

Esta última conclusión es lo que se denomina Ineficiencia del Monopolio por el hecho de que si

bien los consumidores estarían dispuestos a pagar por una unidad adicional de producción un

precio superior al Costo Marginal de producirla, dicha unidad adicional no se produce.

� '���

Impuestos De manera similar al caso de competencia perfecta mediante el uso de las condiciones de primer y

segundo orden se puede demostrar que la introducción de un impuesto de suma fija por unidad

producida o un impuesto ad-valorem reduce la cantidad óptima que maximiza los beneficios.

Queda a cargo del lector el ensayo de dicha demostración.

Discriminación de precios El fenómeno de discriminación de precios surge cuando el monopolista tiene la posibilidad de

cobrar precios diferentes a cada uno de sus clientes o por cada una de sus unidades vendidas.

Para que esto sea posible debe verificarse que los mercados o los consumidores a lo que se les

cobra precios distintos constituyan mercados separados de modo tal que no puedan venderse el

producto entre ellos comprando en el mercado en el que monopolista fija un precio mas barato y

vendiéndolo en el que se fijo uno mas caro

Discriminación de Precios de Primer Grado En este caso se representa una situación extrema ideal en donde el monopolista puede cobrarle un

precio distinto a cada uno de los consumidores por cada unidad de producto que venda. De esta

manera el monopolista puede discriminar precios de manera perfecta cobrando por cada

infinitésimo de producción un precio distinto, y cobrando a cada consumidor el precio máximo que

éste estaría dispuesto a pagar por cada unidad que vende.

En términos algebraicos, llamando P(t) a la función inversa de Demanda y CT(Q) a los Costos

Totales del monopolista, el problema que debe enfrentar es el siguiente:

%

��8 () ( )

(

(5� � � �� �� (= −�

Aplicando las condiciones de primer orden para hallar máximos de funciones se tiene:

( *) ( *) % ( *) ( *)�5�

� ( ���( � ( ���(�(

= − = � =

Esto indica que un monopolista discriminador de precios de primer grado, seleccionará aquel nivel

de producción tal que el Costo Marginal de producir la última unidad sea exactamente igual al

precio que puede obtener por ella.

� '���

Las condiciones de segundo orden establecen lo siguiente

�

�( *) % L( *) L( *)

� 5�( � ( ��� (

�(< � <

Donde las condiciones de segundo orden establecen que la demanda evaluada en la cantidad

óptima debe tener una pendiente menor que el Costo Marginal.

De esta manera, el monopolista producirá un nivel de producción Q* que satisface las condiciones

de primer y segundo orden y cobrará un rango de precios a los distintos consumidores que irá

entre los precios asociados a un nivel de producción Q = 0 y Q= Q* por medio de la función de

demanda.

Eficiencia del Monopolio con discriminación perfecta de precios Dado que el monopolista discriminador de precios de primer grado produce en un nivel de

producción tal que el precio es exactamente igual al costo marginal de producirlo, esta estructura

de mercado es eficiente. Esto es así pues si se quisiera producir una unidad adicional los

consumidores estarían dispuestos a pagar un precio inferior al costo marginal de producirla.

Es eficiencia surge por el hecho de que el monopolista puede cobrar precios distintos por cada una

de las unidades vendidas a sus diferentes clientes.

Ejemplo

Supongamos que un monopolista puede discriminar precios de manera perfecta enfrentando la

siguiente función de demanda y costos:

�

��"%

( ) '% ( '�) $%%

�(

�� ( ( ( (

= −

= − +

De esta manera el problema a resolver por este monopolista será:

�

%

��8 (�%%% "% ) '% ( '�) $%%

(

(5� � �� ( ( (= − − − −�

Aplicando las condiciones de primer orden para hallar máximos de funciones se tiene:

� '���

'�

�

�0 %�'�%%% "% '% ( '�) �% ( '�) $%% %

'�0!�''

(�5�( ( ( ( ( (

(�(

=�= − − − − − − = � = � =�

Utilizando las condiciones de segundo orden vemos que solo Q2 las verifica:

�

�

�

'�

�

��

"% % %%

( ) � �

( ) � �

� 5�(

�(

� 5�(

�(

� 5�( �7����

�(

= − − +

=

= − �

Podemos graficar la situación anterior como sigue:

Luego el rango de precios entre 2000 y 821.6 serán los precios que cobre a cada uno de los

consumidores pro cada una de las unidades vendidas.

Para obtener los Beneficios totales que obtiene el monopolista evaluamos en la función de

beneficios, siendo cuidadosos con el cómputo de la integral definida, así:

�

?'� ?��

� '���

�

%

� �

%

�

( ) (�%%% "% ) '% ( '�) $%%

( ) (�%%% �% ) '% ( '�) $%%

( ) ''%% �% �% ( '�)

('�&!�'') ! %�&��

(

(

�

5� ( � �� ( ( (

5� ( � � ( ( (

5� ( ( ( ( (

5�

=

= − − − −

= − − − −

= − − −=

�

Discriminación Tercer Grado Este tipo de discriminación se lleva a cabo cuando el monopolista tiene la posibilidad de vender su

producto en dos mercados que se encuentran separados entre si, en el sentido que los

consumidores de uno u otro mercado no pueden interactuar entre sí practicando algún tipo de

comercio entre ellos. Así el problema consiste en determinar que nivel de producción vender en

cada uno de los mercados y que precio cobrar en cada uno de ellos de modo tal que los beneficios

sean máximos para esta firma.

En términos algebraicos llamaremos Q1 y Q2 a los niveles de producción vendidos en los mercados

1 y 2 respectivamente y P1(Q1) y P2(Q2) a las respectivas funciones inversas de demanda. De esta

manera el problema analítico que enfrenta este monopolista es el siguiente:

' �' ' ' � � � ' �

&��8 ( ) ( ) ( )( (5� � ( ( � ( ( �� ( (= + − +

Aplicando las condiciones de primer orden para hallar máximos de funciones se tiene:

' ' ' �

' ' ' ' �

' �� �' �� �

�

' ' � � ' �

( ) ( ) %( ) ( )

( )( )( ) %( )

( ) ( ) ( )

�5�&�� ( ���( (

�( &�� ( ���( (

�5� & ���( (�� (���( (&�� (

�(

&�� ( &�� ( ���( (

� = − + =� = +��� �� � = +�� = − + =

��

� = = +

Esto indica que un monopolista discriminador de precios de segundo grado, seleccionará aquellos

niveles de producción tales que sus ingresos marginales sean iguales entre si y a su vez iguales al

Costo Marginal de producirlos. La igualdad entre los ingresos marginales asegura que la cantidad

total a venderse sea asignada de manera óptima entre los mercados. Esto es así ya que si el

ingreso marginal del mercado 1 por ejemplo fuese mayor que el del mercado 2 convendría dejar de

vender una unidad en el 2 y vender una más en el 1, pues esto incrementa los ingresos totales de

� '� �

la firma. Por otro lado la igualdad simultánea con los Costos Marginales de producir la cantidad

total Q1+ Q2 asegura que la producción total es óptima, pues si los ingresos marginales fuesen

mayores, convendría producir un unidad mas en cada mercado. En resumen la igualdad de IMg

con CMg asegura que la producción total es óptima mientras que la igualdad entre los IMg’s

garantiza que la manera en que se está distribuyendo las ventas de la producción total entre los

mercados 1 y 2 es óptima.

Otro elemento a considerar es la relación entre la elasticidad y los precios finales que se fijan en

cada uno de los mercados que se vende el producto. Reexpresando los Ingresos Marginales en

términos de las elasticidades y los precios resulta como hicimos en secciones anteriores resulta:

' ' � �

' ' � �

' �

' ' �

� �

'

( ) ( )

' '( )9' : ( )9' :

'9' :

( )

'( )9' :

# #

#

#

&�� ( &�� (

� ( � (

� (

� (

ε ε

ε

ε

=

+ = +

+=

+

Esto último dice que los precios que se cobran en cada uno de los mercados son mayores a

medida que la demanda es menos elástica.

Ejemplo

Supongamos un monopolista que puede vender su producto en dos mercados separados:

' '

� �

'%%% �

'�%% '%

� (

� (

= −= −

Y que posee la siguiente función de Costos

�( ) �% �%�� ( (= +

El problema que debe resolver será:

' �

�

' ' � �&

��8 ('%%% � ) ('�%% '% ) �% �%( (5� ( ( ( ( (= − + − − −

Aplicando las condiciones de primer orden y resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

� '�!�

'

'

' �

�

�

'% $�% %

$� & �

�% ''�% %

5�(

(( (

5�(

(

∂ = − + + = �∂ �� = =�∂ �= − + =

�∂ �

Los precios que fijará en cada mercado serán:

P1 = 540

P2 = 640

A su vez las respectivas elasticidades serán:

E1= - 1.1739

E2= - 1.1428

Como se observa, en el mercado mas elástico se cobra un precio menor a los efectos de

maximizar los beneficios totales

Los Beneficios Totales se obtienen evaluando en la función de Beneficios las cantidades óptimas,

asi:

' �( *& *) !� �%5� ( ( =

Monopolio con Plantas Múltiples En el caso de un monopolio que cuenta con varias plantas de producción con estructuras

diferentes de costos en cada una de ellas, el problema consiste en decidir que cantidad de Q

producir en cada una de las plantas de la firma, de manera tal que los beneficios sean máximos al

monopolista.

En términos algebraicos llamaremos Q1 y Q2 a los niveles de producción que se llevan a cabo en

las plantas 1 y 2 respectivamente. P( .) a la función inversa de demanda y CT1(Q1) y CT2(Q2) a las

respectivas funciones de Costos Totales de las plantas 1 y 2. De esta manera el problema analítico

que enfrenta este monopolista es el siguiente:

' �' � ' � ' ' � �

&��8 ( )( ) ( ) ( )( (5� � ( ( ( ( �� ( �� (= + + − −

� '�"�

' � ' '

' � ' ''

' � ��' � ��

�

' � ' ' � �

( ) ( ) %( ) ( )

( )( )( ) %( )

( ) ( ) ( )

�5�&��( ( ��� (

�( &�� ( ��� ((

�5� & ( ��� (�� (( ��� (&�� (

�(

&��( ( ��� ( ��� (

� = + − =� + =��� �� � + =�� = + − =

��

� + = =

Esto indica que un monopolista con dos plantas, seleccionará aquellos niveles de producción tales

que sus costos marginales sean iguales entre si y a su vez iguales al Ingreso Marginal de su venta

total. La igualdad entre los costos marginales asegura que la cantidad total a producirse sea

asignada de manera óptima entre las plantas. Esto es así ya que si el costo marginal de la planta 1

por ejemplo fuese mayor que el de la planta 2 convendría dejar de producir una unidad en el 1 y

producir una más en el 2, pues esto reduciría sus costos totales de la firma. Por otro lado la

igualdad simultánea con los Ingresos Marginales de vender la cantidad total Q1+ Q2 asegura que

la producción total es óptima, pues si los ingresos marginales fuesen mayores, convendría producir

un unidad más en cada planta. En resumen la igualdad de IMg con CMg asegura que la producción

total es óptima mientras que la igualdad entre los CMg’s garantiza que la manera en que se está

distribuyendo la producción total entre las plantas 1 y 2 es óptima.

Ejemplo

Supongamos un monopolista que puede producir Q en dos plantas distintas, a diferentes niveles de

costos: �

' '

�

� '

!%

�% $

� (

� (

= +

= +

Y que posee la siguiente función inversa de Demanda

( ) '%%% �� ( (= −

El problema que debe resolver será:

' �

� �

' � ' � ' '&

��8 9'%%% �( ):( ) !% �% $( (5� ( ( ( ( ( (= − + + − − − −

Aplicando las condiciones de primer orden y resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

� '�$�

' �

'

' �

' �

�

' � '%% %

* ��&�!'� & * ��&!'��

� �� '%%% %

5�( (

(( (

5�( (

(

∂ = − − + = �∂ �� = =�∂ �= − − + =

�∂ �

Los Beneficios Totales se obtienen evaluando en la función de Beneficios las cantidades óptimas,

asi:

' �( *& *) �����&" 5� ( ( =

� ' %�

Problemas Sobre Monopolio

i. Derive las Condiciones de Optimalidad que deben verificarse en una Empresa que actúa

de manera Monopólica en una Industria para que la misma Maximice Beneficios. Para ello

utilice las Condiciones de Primer y Segundo Orden del siguiente Problema de

Optimización:

'��8 ( ) ( )(5� � ( ( �� (−= −

donde P-1(Q) es la Función Inversa de Demanda, Q es una variable que indica la

cantidad producida y vendida, CT(Q) es una función genérica de Costos Totales de

Producción.

Interprete las Condiciones de Primer y Segundo Orden en términos Económicos.

ii. Defina conceptual y analíticamente Función Inversa de Demanda en base a funciones

genéricas como en el apartado i). Explique que tipo de información provee la misma al

Monopolista.

iii. Defina Ingreso Total del monopolio en base a funciones genéricas como en el aparatado

i). Defina y calcule el Ingreso Marginal descomponiéndolo en Efecto Precio y Efecto

Cantidad derivando la expresión anterior con la regla de la derivada del producto.

iv. Demuestre que el Ingreso Marginal de un Monopolio es siempre menor que la Función

Inversa de Demanda [es decir IMg < P]. (Ayuda: use la regla de la cadena, despeje y

analice los signos de los términos.) Grafique

v. Demuestre utilizando las Condiciones de Primer y Segundo Orden que las cantidades

vendidas en un Monopolio son siempre menores que las vendidas en Competencia

Perfecta. De igual manera demuestre que el precio en industrias Monopólicas es mayor

que en Industrias Competitivas.

vi. Teniendo en cuenta las conclusiones de los apartados iv) y v) reflexione sobre la

Ineficiencia del Monopolio y la Eficiencia de la Competencia Perfecta definiendo

previamente dicho concepto. Grafique.

vii. Explique porqué un Monopolista jamás maximizaría Beneficios en un tramo inelástico de la

Función de Demanda.

viii. Suponga que la Demanda de un producto Q en una Industria Monopólica y la respectiva

Función de Costos de la empresa son las siguientes:

�

( ) '%% �

( ) ( '%) �

( � �

� ( ( ( (

= −= − +

En base a esos datos obtenga:

a. Cantidades óptimas a producir por el monopolio

b. Precio que fija la empresa.

� ' '�

c. Elasticidad de la demanda en el precio fijado por el monopolio.

d. Ingresos Totales, Costos Totales y Beneficios Totales del Monopolista

e. Utilizando sólo los datos de la Función de demanda calcule: Función de Ingresos

Totales e Ingreso Marginal (discriminando entre Efectos Precios y Efectos Cantidad).

Grafique. Compruebe que el Ingreso Marginal se encuentra por debajo de la Función

Inversa de Demanda.

ix. Analice los Efectos sobre el Nivel de Producción y Beneficios de la Firma en un mercado

Monopólico como consecuencia de la aplicación de los siguientes tipos de impuestos:

a. Impuestos a las Ganancias con una alícuota igual a t [0>t>1]

b. Impuestos a las Cantidades Producidas de t pesos por unidad

c. Impuestos a los Ingresos Totales (Ingresos Brutos) con una alícuota t [0>t>1]

En todos los casos trabaje con una Función Genérica de Costos CT(Q) y una función

inversa de demanda genérica P-1(Q). Utilice la información que proveen las

Condiciones de Primer y Segundo Orden par derivar los efectos solicitados en

comparación a una situación sin impuestos. Si para algunos casos no puede hallar una

conducta que se cumpla para funciones genéricas (como puede suceder en los

apartados referentes a Beneficios) trabaje con funciones concretas como lo establece

el apartado siguiente.

x. Basándose en la siguiente Función de Costos y Demanda:

�( ) '%% ( �%) �%%

( ) !% �

� ( ( ( (

( � �

= − += −

a. Halle las cantidades optimas a producir como consecuencia de la aplicación de los

distintos tipos de impuestos señalado en el apartado ix. Trabaje con alícuotas iguales a

0.35. Compare dichas cantidades con una situación sin impuestos. Obtenga

conclusiones.

b. Efectúe la misma comparación sobre los Beneficios antes y después de Impuestos.

c. Trace una gráfica aproximada.

xi. Suponga que un Monopolista con función genérica de costos C(Q) tiene la posibilidad de

vender su producto en dos mercados totalmente separados, es decir puede llevar a cabo

una Discriminación de Precios de Segundo Grado con funciones de demandas

genéricas D1(Q1) y D(Q2). Deduzca las condiciones de Optimalidad que deben cumplir las

cantidades a vender en cada uno de los respectivos mercados por medio de una conducta

optimizadora. (Ayuda: Plantee el problema de optimización en dos variables, calcule las

condiciones de Primer Orden siendo cuidadoso con la derivación de funciones

compuestas, despeje y deduzca). Interprete dichas condiciones en términos económicos.

xii. Suponga que un monopolista con la siguiente función de Costos:

�( ) '%( �) '�� ( ( (= − +

� ' ��

que puede vender su producto en dos mercados distintos:

'

�

( ) '%% �

( ) !% �

( � �

( � �

= −= −

a. Determine las condiciones teóricas que deben verificarse en la realidad para que éste

productor pueda cobrar precios distintos en ambos mercados.

b. Determine las cantidades óptimas a vender en cada mercado.

c. Calcule los precios que se cobrarán en cada mercado.

d. Compute la elasticidad precio de la demanda en cada uno de los precios cobrados en

los mercados. Compare las elasticidades y las cantidades vendidas. Extraiga

conclusiones.

xiii. Suponga que un Monopolista puede llevar a cabo una Discriminación Perfecta de Primer

Grado en un mercado con función de Demanda genérica D(Q). Deduzca las condiciones

de Optimalidad que debe cumplir la Cantidad Optima a producir. Para ello plantee

cuidadosamente la Función de Beneficios en esta situación, derive atentamente bajo el

signo integral, despeje y extraiga conclusiones. Trace una gráfica aproximada e interprete

en términos económicos reinterpretando las nuevas definiciones analíticas de Ingreso

Marginal para éste monopolista.

xiv.Compare las cantidades óptimas a producir bajo competencia perfecta y bajo Monopolio

con Discriminación de Precios de Primer Grado. Halle similitudes y diferencias en

Cantidades y precios producidos y cobrados a los consumidores. Reflexione sobre la

Eficiencia del Monopolio con Discriminación Perfecta de Precios recordando previamente

la definición de tal concepto.

xv.Para un monopolista discriminador prefecto de precios con la siguiente función de

demanda y de Costos:

�

( ) �%% !

( ) '%% �%

( � �

� ( ( (

= −= −

Calcule:

a. Nivel óptimo de producción

b. Rango de Precios que cobrara a cada individuo

c. Ingresos Totales, Costos Totales y Beneficios Totales

d. Compare precios cobrados, cantidades producidas y Beneficios Obtenidos con una

situación Monopólica sin discriminación de precios.

� ' ��

�

�*,�� ���

�����-�� ��

�

���

� ' ��

Apéndice 1: Optimización Multivariante

�

Optimización Libre

Caso 2 variables:

En este problema el objetivo consiste en determinar los valores de x1 y x2 que hacen máximo o

mínimo el valor de una función objetivo f. Formalmente el problema puede escribirse de la siguiente

manera:

' �

' �&

( & )� ���� � � � �=

Donde la condición de primer orden (condición necesaria) viene dada por el siguiente sistema de

ecuaciones25:

'

�

' �

' �

( & ) %

( & ) %

�

�

� � �

� � �

=

=* *' �( & )� ��

Geométricamente la condición de primer orden establece que hay que buscar los valores de las

variables, es decir el punto del dominio para el cual el plano tangente a la gráfica de f es horizontal.

Dicho sistema por lo general es no lineal y puede tener varias soluciones, es decir pueden existir

varios puntos para los cuales el plano tangente a la gráfica de f es horizontal. Dichos puntos son

denominados puntos críticos o candidatos a óptimos de f. ya que los puntos donde f presenta plano

tangente horizontal pueden ser máximos, mínimos o puntos de inflexión (puntos de silla) como se

aprecian en las siguientes gráficas:

�������������������������������������������������

���E����� ' � ' � ' �' �

%

( & &000& ) ( & &000 &000& ) ( & &000 &000& )( & &000& ) ����

� � � � �� �

*�

� � � � � � � � * � � � � � �� � � �

� *→

∂ + −= =

∂�

� ' ��

Mínimo en (x,y)=(0,0) Máximo en (x,y)=(0,0)

Punto de silla en (x,y)=(0,0)

Para dicha distinción la condición de segundo orden (condición suficiente) hace referencia a la

matriz hessiana (matriz de derivadas segundas) evaluada en cada punto crítico:

' ' ' �

� ' � �

* * * *' � ' �* *

' � * * * *' � ' �

( & ) ( & )( & )

( & ) ( & )

� � � �

�

� � � �

� � � � � �� �

� � � � � �

� �� =� �

.

Dicha matriz provee toda la información necesaria de f en las inmediaciones de cada punto por

medio de una aproximación de Taylor de segundo orden en el sentido de que avisa si el entorno

del punto es cóncavo o convexo. Algebraicamente, para discernir si cada punto crítico es

efectivamente un punto que optimiza a f se hace referencia la concepto de menores principales de

orden n asociado a una matriz cuadrada de orden m (m >= n). Un menor principal de orden n

� ' �

asociado a una matriz de orden m es el determinante que surge de considerar una submatriz de

orden n conformada por las primeras n filas y las primeras n columnas. Con esta definición la

condición de segundo orden se puede enunciar en términos de los menores principales de la matriz

hessiana evaluada en cada punto crítico. En efecto:

Mínimo '

�

%

%

>

>

.

. Máximo

'

�

%

%

<

>

.

.

Es decir para que efectivamente un punto crítico (que satisface la condición de primer orden) sea

un máximo local de f es suficiente que los menores principales26 asociados a la matriz hessiana

evaluada en el punto crítico en cuestión alternen en signo empezando por signo negativo. Para el

caso de un mínimo se requiere que todos sean positivos.

Caso n variables:

En esta situación el problema se presenta como:

' �

' �& &000&

( & &000& )�

�� � ���� � � � � �=

donde ahora la condición de primer orden viene dada por es siguiente sistema de n ecuaciones:

'

�

' �

' �

' �

( & &000& ) %

( & &000& ) %

( & &000& ) %�

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

=

=

=�

* * *' �( & &000& )�� � ��

Donde al igual que en el caso anterior el sistema es no lineal y puede presentar múltiples

soluciones. Cada una de ellas será un punto crítico y para decidir si dichos puntos son o no valores

óptimos se recurre a analizar el signo de los menores principales de la matriz hessiana evaluada

en cada punto crítico:

�������������������������������������������������� �E����� �. �������������������������������������������������6�. �

� ' !�

' ' '

'

* * * * * *' � ' �

* * *' �

* * * * * *' � ' �

( & &000& ) ( & &000& )

( & &000& )

( & &000& ) ( & &000& )

�

� � �

� � � � � �

� �

� � � � � �

� � � � � � � �

� � �

� � � � � � � �

� ��

= � � � �

.

�

� � �

�

En esta situación, para el caso de mínimo, es suficiente que todos los menores principales sean

positivos mientras que para el caso de máximo, se requiere que alternen en signo comenzando por

signo negativo. Algebraicamente se tiene:

Mínimo

'

�

%

%

%�

>

>

>

.

.

.

� Máximo

'

�

%

%

(') %��

<

>

− >

.

.

.

�

Optimización Restricciones de Igualdad

Caso 2 variables y una restricción:

Este tipo de problema consiste en hallar los valores de x1 y x2 que perteneciendo a una curva del

dominio ( g(x1, x2 ) = m ) confieran a f un valor máximo o mínimo. Formalmente este problema

puede escribirse de la siguiente manera:

' �

' �&

' �

( & )

� ( & )

� ���� � � � �

�� � � � �

=

=

Geométricamente el problema puede visualizarse en la siguiente gráfica:

� ' "�

En dicha grafica se presenta una restricción del tipo lineal (g(x,y) es una relación lineal) sobre el

dominio (plano x,y). Para entender el problema se procedió a cortar la gráfica de f con un plano

vertical (en color rojo) que emerge sobre la curva de restricción (en este caso una recta). De la

intersección de dicho plano con la superficie generada por f surge una curva que es la que hay que

maximizar. Esa curva, que nace de la intersección de f con el plano de restricción, constituye los

valores de f para los puntos que cumplen con la condición g(x,y)=m. En consecuencia, el problema

consiste en hallar las coordenadas (x,y) que posadas sobre dicha curva confieran a f un valor

máximo (o mínimo).

Para su resolución se hace uso de la función Lagrangeana (L) y de los multiplicadores de Lagrange

(�) como sigue:

' �

' � ' �&

( & ) 9 ( & ):� ���� + � � � � � � �λ= + −

La condición de primer orden ahora se escribe en términos de la función Lagrangeana y arroja el

siguiente sistema de ecuaciones:

'

�

' �

' �

' �

( & & ) %

( & & ) %

( & & ) %

�

�

+ � �

+ � �

+ � �λ

λλλ

=

=

=

* * *' �( & & )� � λ�

Al igual que en los otros casos las ecuaciones pueden resultar ser no lineales y con soluciones

múltiples. Cada una de dichas soluciones constituye un punto crítico que luego deberá verificar las

condiciones de segundo orden. En este caso se recurre a una matriz hessiana de la función

� ' $�

Lagrangeana orlada con ceros y evaluada en cada punto crítico. Luego sobre estas matrices se

toman los menores principales:

' �

' ' ' ' �

� � ' � �

* * * * * *' � ' �

* * * * * * * * * * * *' � ' � ' � ' �

* * * * * * * * *' � ' � ' �

% ( & & ) ( & & )

( & & ) ( & & ) ( & & ) ( & & )

( & & ) ( & & ) ( & & )

� �

+ � � � � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � + � � + � �

� � � + � � + � �

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

� �� � =� � �

.

Mínimo: � %<. Máximo: � %>.

Como se aprecia los menores principales se toman a partir del orden tres por lo que en definitiva

solo hay que atender al signo del determinante de la matriz hessiana orlada evaluada en cada

punto crítico.

Caso n variables y m restricciones (m < n)

Similarmente al caso planteado con anterioridad, el problema consiste en hallar un punto n

dimensional (es decir los valores de x1,x2,…,xn) tales que satisfaciendo un conjunto de restricciones

(siempre menor al número de incógnitas) confieran a f un valor máximo o mínimo. Formalmente el

problema se traduce a:

' �

' �& &000&

' ' � '

� ' � �

' �

( & &000& )

� ( & &000& )

( & &000& )

( & &000& )

�

�� � �

�

�

� � �

��� � � � � �

�� � � � � �

� � � � �

� � � � �

=

==

=�

Nuevamente se plantea la función Lagrangeana que ahora se generaliza de la siguiente manera:

' �

' � ' ' ' ' � � � � ' � ' �& &000&

( & &000& ) 9 ( & &000& ): 9 ( & &000& ): 9 ( & &000& ):�

� � � � � � �� � ���� + � � � � � � � � � � � � � � � � � � �λ λ λ= + − + − + + −�

Mientras que la condición de primer orden arroja el siguiente sistema de n + m ecuaciones

� '!%�

'

�

'

�

' � '

' � '

' � '

' � '

' � '

' � '

( & &000& & &000 ) %

( & &000& & & 000 ) %

( & &000& & & 000 ) %

( & &000& & & 000 ) %

( & &000& & & 000 ) %

( & &000& & & 000 ) %

�

�

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

+ � � �

+ � � �

+ � � �

+ � � �

+ � � �

+ � � �

λ

λ

λ

λ λλ λ

λ λλ λλ λ

λ λ

=

=

=

=

=

=

�

�

* * * * * *' � ' �( & &000& & & & 000& )� �� � � λ λ λ�

Las soluciones para dicho sistema constituyen los puntos críticos candidatos a extremos relativos

(máximos o mínimos) de la función sujeta a las restricciones. A continuación, se debe recurrir a la

matriz hessiana orlada que para el caso de m restricciones adopta la siguiente forma en términos

matriciales:

* * * * *8 ' � '* * * * *

' � ' * * * * * * * * * *' � ' ' � '

( & &000& & & 000 )( & &000& & &000 )

( & &000& & &000 ) ( & &000& & &000 )

� � � � ���

+ � � �� � ��� + � � � ��

� � �� � �

� � � � � �

λ λλ λ

λ λ λ λ

� �� =� �

�

�

� �.

� .

donde:

0m x m es una matriz cuadrada de ceros de orden m x m

'

'

' * * * * * ' * * * * *' � ' ' � '

* * * * *' � '

* * * * * * * * * *' � ' ' � '

( & &000& & &000 ) ( & &000& & &000 )

( & &000& & &000 )

( & &000& & &000 ) ( & &000& & &000 )

�

�

� � � � � �

� � ���

� �� � � � � �

� � � � � � � �

� � �

� � � � � � � �

λ λ λ λλ λ

λ λ λ λ

� ��

=� � � �

��

�

� � �

�

* * * * *' � '( & &000& & & 000 )�

� � � � �� � � λ λ�� es la transpuesta de la matriz anterior

Una vez obtenida la matriz hessiana orlada se debe atender al signo de los menores principales a

partir del orden 2 m +1. Para el caso de mínimo se requieren que todos tengan el signo de (-1)m y

para máximo se requiere que los menores alternen en signo comenzando por el signo de (-1)m+1.

� '!'�

Apéndice 2: Interpretación Económica de los Multiplicadores de Lagrange

1.- Tratamiento Matemático del Problema

Considérese el Siguiente Problema

&(& )

� ( & )

� ����� � � �

�� �� � �

=

=

con lo que la función Lagrangeana será:

& &(& ) 9(& ) :

� ���� �� � �� � �

λλ= − −

de las condiciones de primer Orden se obtiene:

(& & ) (& ) %

(& & ) (& ) %

(& ) %

� � �

� � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� �� �λ

λλ

� = − =� = − =�� = − =�

de la solución del sistema anterior se obtienen27:

*

*

*

()

()

()

� � �

� � �

�λ λ

=

=

=

Sustituyendo las solucione óptimas en la Función Lagrangeana se arriba a la funcion de valor:

��������������������������������������������������!�����7������1����������F�������������.����/�������������������������������������������������������.����/������������������������������������������������S�,����&�<��1���7����������������������������������������������6�@��������<�����������������������������������8�+������������/����.�����������;�+�����O�������������������0�

� '!��

*

& &() 9()& (): ()T9()& (): U

� ���� � �� � � � � �� � � � �

λλ= = − −

Derivando * con respecto a � :

*()9()& ()& :L() 9()& ()& :L() L()9()& ()& :

()T 9()& ()& :L()& 9()& ()& :L() 9()& ()& :U

� �

� � �

�� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �

�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

λ

λ

= + − +

+ +

Teniendo reagrupando términos convenientemente se tiene:

*()T 9()& (): () 9()& ():U L()

T 9()& (): () 9()& ():U L()

L()T9()& (): U ()

� �

� �

�� � � � � � � � � � � � �

�

� � � � � � � � � � � � �

� �� � � � � �

λ

λλ λ

= − +

− −

− − +

Teniendo en cuenta por medio de la Condición de Primer Orden que28:

9()& (): () 9()& (): %

9()& (): () 9()& (): %

9()& (): %

� �

� �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

�� � � � �

λλ

� − ≡� − ≡�� − ≡�

se deduce que:

*()()

��

�λ=

Por otro lado si se observa que en el óptimo la restricción �(�,�) es igual a �, la función de

Lagrange evaluada en el óptimo es igual a la función � maximizada. Por lo tanto:

��������������������������������������������������"�O,�7������������������������������8����������������������������������8����������1���������@�.�����������������������������������������+������-����������������������������������0�

� '!��

**9()& ():

() 9()& ():�

� � � � �� � � � � �

�λ = =

Con lo que el valor del multiplicador de Lagrange puede interpretarse como el la sensibilidad que

experimenta la función objetivo evaluada en el optimo (llamada función de valor o función indirecta)

ante un relajamiento de la restricción. Alternativamente, esto puede entenderse como la

“valoración” que hace f en términos del cambio que experimenta su valor óptimo ante una

sensibilización del parámetro de restricción. Esto último hace que comúnmente se le llame al valor

de �, “precio sombra”.

2- Aplicaciones Económicas

Maximización de la Utilidad del Consumidor:

Un problema clásico dentro de la teoría del Consumidor es hallar las cestas óptimas de consumo

que maximizan su utilidad dado los precios de los bienes y una renta monetaria fija. Es decir

&(& )

�

� �

� �

���� � � �

�� � � � �

=

+ =

De la solución del mismo se obtendrán las siguientes funciones de demandas del consumidor para

cada uno de los bienes mas el valor optimo del multiplicador de lagrange:

*

*

*

( & & )

( & & )

( & & )

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �λ λ

=

=

=

Es decir se obtendrían las cantidades optimas a consumir por el individuo para cada nivel de

precios y renta monetaria. Éstas son conocidas en la literatura económica como las funciones de

demanda.

En cuanto al Multiplicador de Lagrange de acuerdo a lo presentado se puede interpretar como:

� '!��

**9( & 0 )& ( & 0 ):

( & 0 ) ( & 0 )� � � �

� � � �

� � � � � � � � � � � �

λ = =

es decir el valor marginal de la Renta para el consumidor pues dicho valor indica en cuanto varía el

bienestar del consumidor como consecuencia de un incremento marginal (infinitesimal) de su renta

monetaria.

b.- Minimización de Costos

Otro problema común en la teoría económica consiste en seleccionar la combinación óptima de

Insumos que permite producir un nivel determinado de Output dados los precios de los insumos:

&���

� ( & )

��� � ��

�� � � �

= +

=

de la solución del Problema planteado se arriba a las siguientes expresiones:

*

*

*

( )& &

( & & )

( & & )

� � �

� � � � �

� � �λ λ

=

=

=

Que en son las denominadas “demandas condicionadas” de factores productivos (Capital y

Trabajo), en el sentido que indican las cantidad optimas a contratar de insumos condicionadas a

producir un determinado nivel de Output a cada niel de precios de los factores. Obsérvese además

que la función de valor recibe en este problema un nombre especial:

* *

&��� 9 ( & & )& ( & & ): ( & & ) �

�� �� � � � � � � � �� � � �= =

se trata nada mas que de la Función de Costos de la empresa en el sentido de que indica el costo

� '!��

mínimo de producir un determinado nivel de Output dado los precios de los factores.

En cuanto a la interpretación Económica del multiplicador de Lagrange este no es otra cosa mas

que el Costo Marginal de la empresa es decir el incremento en los costos totales como

consecuencia de un aumento infinitesimal del nivel de producción deseado.

**9 ( & & )& ( & & ):

( & & ) ( & & )�

�� � � � � � � �� � � � � � �

�λ ∂= =

∂

c.- Elección Intertemporal del Consumo

Considérese el problema de elección Intertemporal del consumo de un individuo que recibe una

renta en dos periodos Y1 y Y2 y debe distribuir óptimamente su consumo entre ambos periodos

dada su función de preferencias intertemporales y una tasa de interés r que le permite pedir y

tomar prestados fondos entre ambos periodos. Matemáticamente el problema se traduce en:

' �' �

&

� �' '

( & )

�' '

� ����� � � �

� ��� � �

� �

=

+ = ++ +

Si llamamos al termino del valor actual de la renta w significando así el valor total de su riqueza el

problema se puede plantear así:

' �' �

&

�'

( & )

�'

� ����� � � �

��� � �

�

=

+ =+

con lo que se obtendrían los siguientes óptimos:

� '! �

*' '

*� �

*

( )&

( )&

( )&

� � � �

� � � �

� �λ λ

=

=

=

Siendo estas las demandas intertemporales de consumo del individuo como función de su riqueza

y de la tasa de interés. En cuanto al multiplicador de Lagrange ese se puede interpretar como

sigue:

**' �9 ( )& ( ):& &

( ) ( )& &�

� � � � �� �� � �� �

�λ ∂= =

∂

es decir el valor del incremento marginal de la riqueza del individuo medido en términos de la

satisfacción que a éste le reporta vía su función de preferencias intertemporales.

� '!!�

Apéndice 3: El Teorema de La Envolvente y sus Aplicaciones en Economía

� 1.- Teorema de la Envolvente: Caso Optimización Libre

��8 (& )�� � � �=

De las condiciones de primer orden se tiene que:

(& ) %�� � � =

Vía el teorema de la función implícita y bajo el supuesto de que fxx sea distinto de cero se tiene

que:

* ()� � �=

Sustituyendo esta expresión en la función objetivo para obtener así la función indirecta o función de

valor queda:

*() ��8 (& ) 9()& :�

� � � � � � � � �= =

Si uno observa la función de valor puede deducir que un cambio en los parámetros afecta a V por

dos canales. Un canal directo, descripto por la funcionalidad de f con respecto a a y un canal

indirecto, ya que a también repercute sobre la elección optima y esta vía la dependencia de f con

respecto a x.

Derivando luego con respecto al parámetro a a obtiene:

()9()& :L() 9()& :� �

� �� � � � � � � � � �

�= +

Si se recuerda la condición de primer orden la expresión se simplifica a:

()9()& :�

� �� � � �

�=

� '!"�

Ese resultado establece que ante una variación en el parámetro la función de valor solo se ve

afectada por el efecto directo sobre f. El efecto indirecto desaparece pues si bien un cambio en a

afecta a x, x tiene prohibido afectar a f a raíz de que fx es cero en virtud de la optimalidad de x. Al

romperse el canal de los efectos indirectos solo el efecto directo sobrevive.

Este teorema tiene una magnifica interpretación geométrica. Si se graficase la función de valor

V(a)colocando a sobre las abcisas y en el mismo plano se graficasen varias funciones objetivos

f(x,a) (una para cada valor de x29) se podría observar que la función de valor se encuentra por

definición siempre por encima de las demás funciones excepto en el caso en que los valores de a y

x son tales que x es el optimo que maximiza f para el valor de a considerado en las abcisas. En ese

único caso la función de valor, V(a), y la función objetivo, f[x(a),a], se tocan en ese punto siendo en

consecuencia tangentes. Al ser tangentes tienen la misma pendiente y esa pendiente es

precisamente fa[x,a] para la gráfica de f[x(a),a] ya que el valor de x está fijado para esa grafica en

particular. Entonces es justamente el hecho de que cada curva de la función objetivo (no

maximizada) sea tangente a la función de Valor en un único punto, y todos los demás valores se

encuentren por debajo, lo que hace que se verifique el teorema demostrado anteriormente. Ahora

bien, geométricamente, la función de valor es pues la envolvente superior de cada una de las

funciones objetivos, estando constituida por un único punto de cada una de ellas (en donde se

verifica que x es el optimo para el valor correspondiente de a), y es esa propiedad de envolvente lo

que demuestra el teorema y lo que da pues su nombre.

1.2.- Aplicaciones en Economía:

La Envolvente de Costos Medios De Corto Plazo:

Un tópico clásico en microeconomía es hallar el tamaño de planta óptimo que permite producir un

determinado nivel de producción a un costo unitario mínimo. Cuando se permite variar el tamaño

de la planta de producción, simbolizada por la variable capital (k), se supone que se está en un

horizonte de planeación de Largo Plazo. Para ello el problema se expresa en éstos términos30:

��������������������������������������������������$��������������������������������,������<������������������������������.�-�0���%� �����,��������B��+�����6����������+��������

&

���

� (& )

��

�� �� ��

�� � �� �

= +

=�

������,��+�����������������/�������������-�����������7����������(�<�<�<�������������������.����/���,-��������������1��������1���������.�����������������7����������?�<�H����������8�������1��0�

� '!$�

��� (& )�

� � �� �=

Minimizando dicha función con respecto a k se tendrá:

(& ) % * ( )�� � � � � �= � =

Esta última expresión selecciona para cada nivel deseado de producción el tamaño de planta

óptimo en el sentido que minimiza su costo unitario de producción. Evaluando la función objetivo en

el óptimo, resulta la conocida función de Costos Medios de Largo Plazo de la empresa:

( ) ��� (& ) 9 *( )& :�

� � � � �� � � �� � �= =

En el corto plazo en cambio al no poderse modificar el tamaño de la planta la función de costos

medios depende únicamente del nivel de producción deseado Q. de esta forma al estar dado el

stock de capital la función de costos medios de Corto Plazo se expresa así:

( & ) ( & )� �� � �� �=

Si se grafican ahora distintas funciones de costos medios para distintos niveles de capital, y

conjuntamente la función de costos medios de largo plazo se tendrá que ésta última es la

envolvente inferior de cada una de las curvas de corto plazo.

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� '"%�

Como resultado de esta envolvente y de las tangencias en un único punto, se comprueba que en el

Largo plazo solo los efectos directos (CTQ) afectan la variación del costo medio de Largo Plazo31.

.

2.- Teorema de la Envolvente: Caso Optimización Restringida

Considérese ahora el siguiente Problema

&��8 (& & )

� ( & & ) %

� �� �� � �

�� �� � �

=

=

con lo que la función Lagrangeana será:

��������������������������������������������������'�O,�7�����������������K�������������1�������+����������������� ( ) %

�� � � = �����������������+������

���J�B�����������������������J�����J�����������������6��(J���������������������?&�������������.�-���������������������)0� ������������������������������+�������������������������1����������������������������������������6�0� ��������������.��������,����������S���,�N��������'$�%&��������������/����������,�������������6������������������+���7�������������������������������6����������1�����������+��������������-�����������������������������7����0��

���/01(!2�

���/01(�2�

�/02�

���/01("2�

0�

���)/02�

� '"'�

& &��8 (& & ) (& & )� �

�� � � �� � �λ

λ= −

de las condiciones de primer Orden se obtiene:

(& & ) (& & ) %

(& & ) ( & & ) %

( & & ) %

� � �

� � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

�� � �λ

λλ

� = − =� = − =�� = − =�

de la solución del sistema anterior se obtienen32:

*

*

*

()

()

()

� � �

� � �

�λ λ

=

=

=

Sustituyendo las solucione óptimas en la Función Lagrangeana se arriba a la función de valor:

*

& &��8 () 9()& ()& : ()9()& ()& :� �

� �� � � � � � �� � � � �λ

λ= = −

Derivando � con respecto a �:

*()9()& ()& :L() 9()& ()& :L() 9()& ()& :

L()9()& ()& : ()T 9()& ()& :L()& 9()& ()& :L()

9()& ()& :U

� � �

� �

�

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�

� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � �

λ λ

= + + −

− + +

+

Teniendo reagrupando términos convenientemente se tiene:

��������������������������������������������������������7������1����������F�������������.����/�������������������������������������������������������.����/������������������������������������������������S�,����&�<��1���7����������������������������������������������6�@��������<�����������������������������������8�+������������/����.�����������;�+�����O�������������������0�

� '"��

*()T 9()& ()& : () 9()& ()& :U L()

T 9()& ()& : () 9()& ()& :U L() 9()& ()& :

L()9()& ()& : 9()& ()& : () 9()& ()& :

� �

� � �

� �

�� � � � � � � � � � � � � � �

�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

λ

λλ λ

= − +

− + −

− + −

Teniendo en cuenta por medio de la Condición de Primer Orden que33:

9()& (): () 9()& (): %

9()& (): () 9()& (): %

9()& (): %

� �

� �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

�� � � � �

λλ

� − ≡� − ≡�� − ≡�

se deduce que:

*()9()& ()& : () 9()& ()& :� �

�� � � � � � � � � � � � �

�λ= −

Por otro lado si se observa que en el óptimo la restricción �(�,�) es igual a 0, la función de

Lagrange evaluada en el óptimo es igual a la función � maximizada. Por lo tanto:

**9()& ()& :9()& (): 9()& ()& : () 9()& ()& :� � �

� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

�λ= = −

Con lo que, a similitud del caso anterior, los efectos directos determinan el impacto en la función

objetivo mientras que los indirectos desaparecen.

3.- Importancia y Uso en Economía

Es muy frecuente en Economía intentar recuperar las elecciones óptimas de los agentes en base a

datos referentes de su función indirecta (Función de Valor). Ejemplos de tales situaciones son las

siguientes:

����������������������������������������������������O,�7������������������������������8����������������������������������8����������1���������@�.�����������������������������������������+������-����������������������������������0�

� '"��

Ejemplo a.- Sea ( & & )�� � � � la función de Beneficios Indirecta de una empresa que

vende su producto a un precio P y compra insumos productivos Capital (K) y Trabajo (L) a precios r

y w respectivamente, recupere las funciones de oferta de Bien y las demandas de Insumos K y L

maximizadoras de beneficios.

Antes que nada téngase presente que la función de beneficios indirecta surge del siguiente

problema de optimización:

&��8 (& )� ��� ���� �� ��= − −

Siendo f(l,k) la función de producción de la empresa.

Dicha función indirecta es función de (w,r,P) una vez que esta ha sido maximizada por lo que si se

deriva con respecto a los parámetros considerados se obtienen los siguientes resultados acorde al

Teorema de la Envolvente:

( & & )9*( & & )& *( & & ):

( & & )*( & & )

( & & )*( & & )

�� � � ��� � � � � � � �

�

�� � � �� � � �

�

�� � � �� � � �

�

∂ =∂

∂ = −∂

∂ = −∂

De lo anterior se desprende que las funciones demanda de insumos maximizadotas de beneficios

de la empresa y su respectiva función de oferta de bien son las siguientes:

( & & )*( & & )

( & & )*( & & )

( & & )9*( & & )& *( & & ):

�� � � �� � � �

�

�� � � �� � � �

�

�� � � ��� � � � � � � �

�

∂= −∂

∂= −∂

∂=∂

Los resultados de este ejemplo son conocidos en la Teoría Microeconómica como “Lema de

Hotelling”

� '"��

Ejemplo b.- Sea ( & & )�� � � � la función de Costos Indirecta de una empresa que

compra insumos productivos Capital (K) y Trabajo (L) en mercados perfectamente competitivos a

precios r y w respectivamente. Recupere las funciones de demandas condicionadas de Insumos K

y L.

Antes que nada téngase presente que la función de Costos de Largo Plazo (función Indirecta de

Costos) surge del siguiente problema de optimización restringida:

&���

� (& )

���� �� ��

�� ��� �

= +

=

Siendo f(l,k) la función de producción de la empresa.

Dicha función indirecta es función de (w,r,Q) una vez que esta ha sido minimizada por lo que si se

deriva con respecto a los parámetros considerados se obtienen los siguientes resultados acorde al

Teorema de la Envolvente:

( & & )*( & & )

( & & )*( & & )

�� � � �� � � �

�

�� � � �� � � �

�

∂ =∂

∂ =∂

De lo anterior se desprende que las funciones demanda condicionadas de insumos de la empresa

son las siguientes:

( & & )*( & & )

( & & )*( & & )

�� � � �� � � �

�

�� � � �� � � �

�

∂=∂

∂=∂

Los resultados de este ejemplo son conocidos en la Teoría Microeconómica como “Lema de

Shephard”

Ejemplo c.- Sea la función de Utilidad Indirecta de un individuo que consume dos bienes

X e Y en mercados perfectamente competitivos a precios Px y Py respectivamente poseyendo una

renta monetaria M. Recupere las funciones de demandas de dicho individuo.

� '"��

Antes que nada téngase presente que la función de Utilidad Indirecta surge del siguiente problema

de optimización restringida:

&��8 (& )

� %

� �

� �

� � � �

�� � � � �

=

+ − =

Dicha función indirecta es función de (px,py,M) una vez que esta ha sido maximizada por lo que si

se deriva con respecto a los parámetros considerados se obtienen los siguientes resultados acorde

al Teorema de la Envolvente:

*( & & )( & & ) *( & & )

*( & & )( & & ) *( & & )

� �� � � �

�

� �� � � �

�

� � � � � � � �

�

� � � � � � � �

�

λ

λ

∂= −

∂∂

= −∂

Obsérvese que se necesita recurrir a algún artilugio para lograr depurar los resultados de esas

derivadas a los fines de desenmascarar de la función indirecta las verdaderas funciones de

demanda del individuo. Procediendo como se detalla a continuación se obtiene lo siguiente vía la

aplicación una vez más del Teorema de la Envolvente:

*( & & )

*( & & )*( & & )

*( & & )

*( & & )*( & & )

� �

�� �

� �

� �

�� �

� �

� � �

�� � �

� � �

� � �

�� � �

� � �

∂∂ = −∂∂

∂∂

= −∂∂

De lo anterior se desprende que las funciones de demanda del individuo son las siguientes:

� '" �

*( & & )

*( & & )*( & & )

*( & & )

*( & & )*( & & )

� �

�� �

� �

� �

�� �

� �

� � �

�� � �

� � �

� � �

�� � �

� � �

∂∂= − ∂∂

∂∂

= − ∂∂

Los resultados de este ejemplo son conocidos en la Teoría Microeconómica como “Lema de Roy”

� '"!�

Apéndice 4: Sobre Impuestos y Subsidios en Modelo De Oferta y Demanda

Situación sin Impuestos

Supongamos que las ecuaciones que describen el comportamiento de la Oferta y Demanda de un

bien x vienen dadas por las siguientes expresiones

�%% $

�%% �

��

��

( ��

( ��

= − += −

Si ahora intentamos graficar las ecuaciones anteriores no encontraremos con el hecho de que en

Economía se grafican el precio contra las cantidades. Esto traerá aparejado varias consecuencias

que en principio pueden llegar a confundir el lector. Por tal motivo, a continuación mostraremos

cada uno de los efectos algebraicos y geométricos que tiene este hecho de intercambiar los ejes a

la hora de graficar.

En el caso de la Oferta se tendrá que:

1.- La ordenada al origen de -200 en la ecuación de la Oferta será en realidad la abcisa al origen

de la representación gráfica,

2.- La abcisa al origen de 200/9 de la ecuación será en realidad la ordenada al origen de la gráfica

3.- La pendiente de 9 en la ecuación arrojará una pendiente en la gráfica de 1/9.

Todo esto es así, porque en realidad cuando graficamos lo que hacemos es representar la función

inversa de Oferta, la cual es:

�%% '

$ $���� (= +

Así, la representación de la Función de Oferta quedará como sigue en color rojo:

� '""�

Notar como el simple hecho de intercambiar los ejes de graficación hace que la pendiente del

gráfico, es decir la pendiente geométrica de la oferta sea en realidad 1/9. Esto es así, ya que como

la variables independiente en el gráfica (el eje de las abcisas) es Q, un incremento unitario de la

Cantidad Ofrecida requiere de un incremento del precio de 1/9, que es la pendiente de la gráfica.

Algo similar sucede con la Función de Demanda, donde las ordenadas y las abcisas al origen son

intercambiadas y la pendiente de la gráfica resulta ser la recíproca de la pendiente de la ecuación

de Demanda. Efectuando los cómputos la función que efectivamente se está graficando a la hora

de representar a la demanda será:

''%%

����� (= −

Cuya gráfica mostramos en color verde en la representación anterior junto con la Oferta en color

rojo.

Computando ahora el precio y cantidad de equilibrio del mercado, resulta:

�%

��%

%

%

�

(

==

�8�

?8�

R�%%�

��&��

'%%�

�%%�

� '"$�

Introducción de Impuestos

En la situación anterior sin impuesto el precio que pagaba el consumidor era exactamente igual al

precio que recibía como pago neto y efectivo el productor, por lo que tanto la oferta como la

demanda dependían del único precio vigente para ambos agentes.

Sin embargo cuando introducimos impuestos el consumidor ahora pagará un precio para obtener el

bien, pero el productor o vendedor no recibirá exactamente esa suma, si no que deberá quitarle el

monto correspondiente al impuesto para entregarle al gobierno que lo recauda.

Desde otro punto de vista, el productor fija un precio neto efectivo que desea recibir por la venta del

bien y a ese valor le suma el impuesto que debe pagar, por lo que el consumidor paga un precio

mayor al que recibe el productor.

Esta divergencia entre precio del productor y precio del consumidor hace que las ecuaciones

anteriores de Oferta y Demanda requieran de ciertos ajustes a los efectos que reflejen

algebraicamente los efectos del impuesto de una manera correcta.

Para ello tomaremos como convención de expresar el precio del productor en términos del precio

que efectivamente paga el consumidor para adquirir el bien.

Impuesto de suma Fija por unidad

En el caso de un impuesto de suma fija, el productor agrega al precio que desea recibir, �� & el

impuesto de cantidad constante, llamémosle t pesos por unidad vendida, de modo que el precio

que termina pagando el consumidor, PX, es:

� �

� �

� � �

� � �

= += −

Así acorde a la última expresión el precio que recibirá el productor será lo que paga el consumidor

menos el impuesto.

Estamos pues en condiciones de efectuar los ajuste a la función de oferta para reflejar el efecto del

impuesto. Para ello recordemos la expresión de la función de Oferta y Demanda como sigue:

�%% $

�%% �

�� �

�� �

( �

( �

= − += −

Las ecuaciones anteriores indican las cantidad que los agentes están dispuestos a

ofrecer/demandar a cada nivel de precio, pero para los precios que efectivamente reciben/pagan

cada uno de ellos. Por esto, al expresar todo en términos del precio del consumidor, la Demanda

� '$%�

queda intacta, sin ningún tipo de cambios. La Oferta en cambio requiere sustituir la expresión del

precio por una expresión en función de lo que paga el consumidor, así:

�%% $

�%% $( )

�%% $ $

(�%% $ ) $

�� �

�� �

�� �

�� �

( �

( � �

( � �

( � �

= − += − + −= − + −= − − +

De esta manera obtenemos la función de oferta en términos del precio que paga el consumidor.

Como se observa, la pendiente (tanto la algebraica, como la pendiente que luego se representará

geométricamente) no se modifica. El único efecto es que la introducción o el aumento de un

impuesto vigente, reduce la ordenada al origen de la ecuación (abcisa al origen de la gráfica), con

lo cual la gráfica quedará como:

Donde la ordenada al origen de la ecuación (abcisa al origen de la gráfica) es:

�%% $�− −

Mientras que la abscisa,

�%%$

�+

La pendiente de la ecuación, y por ende la pendiente de la gráfica (que es la recíproca de la

anterior), quedan inalteradas en 9 y 1/9 respectivamente.

�8�

?8�

R�%%�

��&��

'%%�

�%%�R�%%�R���

��&��V���#�$�

� '$'�

Obsérvese, como el desplazamiento paralelo hacia la izquierda va en línea con la explicación

conceptual de que el productor ahora deseará producir una cantidad menor a cada nivel de

precios, en relación a la situación sin impuestos.

Para obtener el precio y la cantidad de equilibrio igualamos la nueva oferta con la demanda, con lo

que resulta:

�%% $ $ �%% �

!%% $

'�

$�%

'�

� �

�

� � �

��

�� �

− − + = −+=

= +

Esta expresión indica que si aplicamos un impuesto de t unidades por unidad vendida el precio de

equilibrio aumenta en relación a la situación sin impuesto, que el lector recordará eran igual a 50.

Esto va en línea con lo que uno anticipa e intuye geométricamente, pues introducir un impuesto

desplaza la Oferta paralelamente a la izquierda con lo que el nuevo precio de equilibrio de mayor.

Así, ambos lenguajes algebraicos y geométricos coinciden.

En cuanto a las cantidades de equilibrio, resulta evaluando en la demanda el precio de equilibrio:

�%% �

$�%% �(�% )

'�

����%

'�

% �

%

%

( �

( �

( �

= −

= − +

= −

Lo cual establece que la introducción de un impuesto reduce las cantidades transadas en el

mercado, resultado que una vez mas va en línea con lo anticipado por la intuición geométrica

Introducción de un Impuesto Ad-Valorem

En el caso de un impuesto ad valorem el productor ahora debe cargar al precio que él desea recibir

una proporción constante t de su valor. Así, por ejemplo si el impuesto es de t=0.2, el productor

debe cobrarle al comprador un 20% mas de lo que el vendedor efectivamente recibirá.

Algebraicamente, el precio que termina pagando el consumidor es el siguiente:

� '$��

(' )

� � �

� �

� � ��

� � �

= += +

Alternativamente, si queremos expresar todo en términos del precio del consumidor, el precio que

recibe el vendedor en función de lo que comprador termina pagando por adquirir el bien es el

siguiente:

(' )

� � �

��

� � ��

��

�

= +

=+

Es decir, el productor recibe una cantidad menor que lo que paga el consumidor.

Estamos pues en condiciones de efectuar los ajuste a la función de oferta para reflejar el efecto del

impuesto. Para ello recordemos la expresión de la función de Oferta y Demanda como sigue:

�%% $

�%% �

�� �

�� �

( �

( �

= − += −

Las ecuaciones anteriores indican las cantidad que los agentes están dispuestos a

ofrecer/demandar a cada nivel de precio, pero para los precios que efectivamente reciben/pagan

cada uno de ellos. Por esto, al expresar todo en términos del precio del consumidor, la Demanda

queda intacta, sin ningún tipo de cambios. La Oferta en cambio requiere sustituir la expresión del

precio que recibe el productor por una expresión en función de lo que paga el consumidor, así:

�%% $

�%% $'

$�%%

'

�� �

���

�� �

( �

�(

�

( ��

= − +

= − ++

= − ++

De esta manera obtenemos la función de oferta en términos del precio que paga el consumidor.

Como se observa, la ordenada al origen de la ecuación (abcisa al origen de la gráfica) permanece

inalterada. Sin embargo el punto crucial aquí, es el efecto sobre la pendiente.

� '$��

Si uno observa con atención, la pendiente algebraica de la función se ha reducido, pues pasó de 9

a 9/(1+t), siendo t un valor positivo por ser la proporción del valor del bien que se cobra como

impuesto. Aquí uno podría tentarse y decir que la gráfica se vuelve mas aplanada pues la

pendiente ha disminuido, pero en realidad debemos tener presente que la pendiente de la gráfica

es la recíproca de la pendiente de la ecuación. Así, la pendiente de la gráfica ahora es (1+t) / 9 la

cual es mayor que la pendiente anterior que era simplemente 1/9.

Estas dos conclusiones no llevan a trazar una gráfica más inclinada que la anterior sin impuestos,

con lo que geométricamente luce así:

Donde la ordenada al origen de la ecuación (abcisa al origen de la gráfica) es:

�%%−

Mientras que la abscisa de la ecuación (ordenada de la gráfica),

�%%(' )

$

�+

Obsérvese, como el desplazamiento no paralelo (rotación en este caso en el sentido contrario a las

agujas del reloj) hacia la izquierda va en línea con la explicación conceptual de que el productor

ahora deseará producir una cantidad menor a cada nivel de precios, en relación a la situación sin

impuestos

�8�

?8�

R�%%�

��&��

'%%�

�%%�

�%%�('�V��)�#��$�

� '$��

Para obtener el precio y la cantidad de equilibrio igualamos la nueva oferta con la demanda, con lo

que resulta:

$�%% �%% �

(' )

!%%

$�

(' )

� �

�

� ��

�

�

− + = −+

=+

+

Esta expresión indica que si aplicamos un impuesto ad valorem de t % sobre el valor del bien el

precio de equilibrio aumenta en relación a la situación sin impuesto que correspondería al caso en

que t sea igual a cero. Esto va en línea con lo que uno anticipa e intuye geométricamente, pues

introducir un impuesto desplaza la Oferta a la izquierda con lo que el nuevo precio de equilibrio de

mayor. Así, ambos lenguajes algebraicos y geométricos coinciden.

En cuanto a las cantidades de equilibrio, resulta evaluando en la demanda el precio de equilibrio:

�%% �

!%%�%% �( )

$�

(' )

��%%��%

$�

(' )

% �

%

%

( �

(

�

(

�

= −

= −+

+

= −+

+

Lo cual establece que la introducción de un impuesto reduce las cantidades transadas en el

mercado, resultado que una vez mas va en línea con lo anticipado por la intuición geométrica

En resumen

Al introducir impuestos la demanda no se modifica ni algebraica ni geométricamente, mientras que

en la expresión de la Oferta se debe sustituir el valor del precio por:

&

&'

�

� �

� � �� ������#��������� �� �

� ��� ������#������� $������

�

−��= � −� +�

� '$��

Impuestos de suma fija desplazan la oferta de manera paralela a la izquierda mientras que

impuestos advalorem rotan la gráfica de la oferta en el sentido contrario a las agujas del reloj