otras estrategias de control automatico

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE NUEVO LEN FACULTAD DE INGENIERA MECANICA Y ELCTRICA

INGENIERA DE CONTROL 1 M.C. JOS MANUEL ROCHA NUEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

Grficos de flujo de seal El diagrama de bloques es til para la representacin grfica de sistemas de control dinmico y se utiliza extensamente en el anlisis y diseo de sistemas de control. Otro procedimiento alternativo para representar grficamente la dinmica del sistema d control, es el mtodo de los grficos de flujo de seal, atribuido a S.J. Mason. Un grfico de flujo de seal es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultneas. Al aplicar el mtodo de grficos de flujo de seal al anlisis de sistemas de control, primero hay que transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en s. Un grfico de flujo de seal consiste en una red en la cual los nodos estn conectado por ramas con direccin y sentido. Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama conectada entre dos nodos, acta como un multiplicador de seal. Ntese que la seal fluye solamente en un sentido. El sentido del flujo de seal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicacin aparece a lo largo de la rama. El grfico de flujo de seal despliega el flujo de seales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las seales. Como se indic anteriormente, un grfico de flujo de seal contiene esencialmente la misma informacin que un diagrama de bloques. Frmula de ganancia de Mason, se utiliza para obtener las relaciones entre las variables del sistema sin necesidad de efectuar la reduccin del grfico. Definiciones. Nodo. Un nodo es un punto que representa una variable o seal. Transmitancia. Es la ganancia entre dos nodos. Tales ganancias pueden expresarse en trminos de la funcin de transferencia entre dos nodos. Rama. Una rama es un segmento de lnea con direccin y sentido, que une dos nodos. La ganancia de una rama es una transmitancia. Nodo de entrada o fuente. Nodo de entrada o fuente es un nodo que slo tiene ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente. Nodo de salida o sumidero. Un nodo de salida o sumidero es un nodo que slo tiene ramas de entrada. Esto corresponde a una variable dependiente. Nodo mixto. Nodo mixto es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen.



Camino o trayecto. Camino o trayecto es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas. Si no se cruza ningn nodo ms de una vez, el camino o trayecto es abierto. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del cual parti, y no cruza ningn otro ms de una vez, es un camino o trayecto cerrado. Lazo. Un lazo es un camino o trayecto cerrado. Ganancia de lazo. La ganancia de lazo es el producto de las ganancias de ramas de un lazo. Lazos disjuntos. Son disjuntos los lazos que no tienen ningn nodo comn. Trayecto o camino directo. Trayecto directo es el camino o trayecto de un nodo de entrada (fuente) a un nodo de salida (sumidero), sin cruzar ningn nodo ms de una vez. Ganancia de trayecto directo. La ganancia de trayecto directo es el producto de las ganancias de rama de un camino o trayecto directo. Un nodo suma las seales de todas las ramas de entrada y transmite esa suma a todas las ramas de salida.



Frmula de ganancia de Mason para grficos de flujo de seaL En muchos casos prcticos se desea determinar la relacin entre una variable de entrada y una variable de salida en el grfico de flujo de seal. La ganancia entre un nodo de entrada y un nodo de salida es la ganancia total, entre esos dos nodos. La frmula de ganancia de Mason, que es aplicable a la ganancia total, est dada por

= k kkPP1

donde

kP = ganancia de la k-sima trayectoria directa = determinante del grfico

= 1-(suma de todos los lazos de ganancias individuales) + (suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) - (suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos) +

= "++ ffed

edcb

cba

a LLLLLL,,,

1

k = cofactor del determinante de la k-sima trayectoria directa del grfico con los lazos que tocan la k-sima trayectoria directa eliminados, el cofactor k se obtiene a partir de , quitando los lazos que tocan la trayectoria kP .

Ejemplo 1 Obtener la funcin de transferencia ( ) ( )sRsC del siguiente diagrama de bloques, utilizando la formula de Mason.



El grfico de flujo de seal de este diagrama de bloques es

En este sistema hay una sola trayectoria directa entre la entrada R(s) y la salida C(s). La ganancia de trayectoria directa es

3211 GGGP = Existen tres lazos, cuyas ganancias son

3213

2322

1211

GGGLHGGL

HGGL

==

=

Para ser lazos disjuntos estos lazos no deben de tener ni ramas ni nodos en comn, por lo que no existen lazos disjuntos. El determinante es ( ) 321232121321 11 GGGHGGHGGLLL ++=++= El nmero de cofactores del determinante es el nmero de trayectorias directas entre la entrada y la salida, como en este sistema solo hay una trayectoria directa, solo existe un cofactor del determinante. Se obtiene el cofactor del determinante a lo largo del trayecto directo que conecta el nodo de entrada con el nodo de salida, retirando los lazos que tocan este trayecto. Como el trayecto 1P toca los tres lazos, se obtiene

11 = Por tanto, la ganancia total entre la entrada R(s) y la salida C(s) o funcin de transferencia de lazo cerrado, est dada por ( )

( ) 32123212132111

1 GGGHGGHGGGGGP

sRsC

++==



Ejemplo 2 Hallar la funcin de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s) del siguiente sistema, utilizando la frmula de Mason.

En este sistema hay tres trayectorias directas entre la entrada R(s) y la salida C(s). Las ganancias de las trayectorias directas son

Hay cuatro lazos individuales. Las ganancias de esos lazos son

El lazo 1L no toca al lazo 2L , (lazos disjuntos). Por tanto, el determinante est dado por

El cofactor 1 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 1P Por tanto, quitando 214321 ,,,, LLyLLLL



En forma similar, el cofactor 2 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 2P , lazos 214321 ,,,, LLyLLLL

El cofactor 3 obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 2P . Lazos

21432 ,,, LLyLLL

La funcin de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s) es



Ejemplo 3 Hallar la funcin de transferencia de lazo cerrado ( ) ( )sEsE i0 del siguiente sistema, utilizando la frmula de Mason. Considerar las dems seales como salidas.

Hay tres lazos individuales. Las ganancias de esos lazos son

323

432

211

GGLGGLGGL

===

El lazo 1L no toca al lazo 2L , (lazos disjuntos). Por tanto, el determinante est dado por ( )

4321324321

21321

11

GGGGGGGGGGLLLLL

++++=+++=

Considerando 0E = Seal de salida, iE = Seal de entrada En este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada iE y la salida 0E . La ganancia de la trayectoria directa es

43211 GGGGP = El cofactor 1 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 1P . Los tres lazos tocan la trayectoria 1P

11 = La funcin de transferencia de lazo cerrado sera ( )

( ) 43213243214321110

1 GGGGGGGGGGGGGGP

sEsE

i ++++=

=



Considerando 2I = Seal de salida, iE = Seal de entrada En este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada iE y la salida 2I . La ganancia de la trayectoria directa es

3211 GGGP = El cofactor 1 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 1P . Los tres lazos tocan la trayectoria 1P


( ) 4321324321321112

1 GGGGGGGGGGGGGP

sEsI

i ++++=

= Considerando 2rE = Seal de salida, iE = Seal de entrada En este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada iE y la salida 2rE . La ganancia de la trayectoria directa es

211 GGP = El cofactor 1 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 1P . Los tres lazos tocan la trayectoria 1P


( ) 432132432121112

1 GGGGGGGGGGGGP

sEsE

i

r

++++==

Considerando 1cE = Seal de salida, iE = Seal de entrada En este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada iE y la salida 1cE . La ganancia de la trayectoria directa es

211 GGP = El cofactor 1 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 1P . El lazo 2L no toca la trayectoria 1P , los lazos 1L y 3L si tocan la trayectoria 1P .

21 1 L= La funcin de transferencia de lazo cerrado sera



( )( )

( )4321324321

4321111

11

GGGGGGGGGGGGGGP

sEsE

i

c

+++++=

= Considerando 1I = Seal de salida, iE = Seal de entrada En este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada iE y la salida 1I . La ganancia de la trayectoria directa es

11 GP = El cofactor 1 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 1P . El lazo 2L y 3L no toca la trayectoria 1P , el lazo 1L si toca la trayectoria 1P .

321 1 LL = La funcin de transferencia de lazo cerrado sera ( )

( )( )

4321324321

32431111

11

GGGGGGGGGGGGGGGP

sEsI

i ++++++=

= Considerando 1rE = Seal de salida, iE = Seal de entrada En este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada iE y la salida 1rE . La ganancia de la trayectoria directa es

11 =P El cofactor 1 se obtiene de eliminando los lazos que tocan la trayectoria 1P . El lazo 2L y 3L no toca la trayectoria 1P , el lazo 1L si toca la trayectoria 1P .

321 1 LL = La funcin de transferencia de lazo cerrado sera ( )

( )( )

4321324321

3243111

11

GGGGGGGGGGGGGGP

sEsE

i

r

++++++=

=



Ejemplo 4 Hallar la funcin de transferencia de lazo cerrado ( ) ( )sRsC del siguiente sistema, utilizando la frmula de Mason.

Problemas

C(s) R(s) G2 G1

-G3 -G5

G4

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