Integrales definidas. Teoremas

ORLANDO RODRIGUEZ

Esquema

Área bajo una curva

Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).

Sumas de Riemann

Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn

Las sumas superiores (suma de los rectángulos superiores) se expresan asíS(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn

Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )

Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]

Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]

Como la función es contínua en cada

intervalo existen un mínimo y un máximo

(Tª de Weiersstra)

Cálculo de áreas

• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.

• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante aproximaciones

Área (Trapecio rectilíneo) =

= f(a) + f(b)

. (b – a)

Área (Trapecio curvilíneo)

f(a) + f(b)

. (b – a) Error que se comete al

tomar una por otra

Integral definida

Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva) en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la partición Pn.

s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn

S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn

Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]

Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]

Si la función f es continua al considerar las particiones con mayor número de intervalos de manera que la longitud de estos tienda a decrecer, las sumas de Riemann se acercan a un número que se llama integral definida de la función f en

[a, b] y se escribe a

b f(x) dx .

Integral definida y área bajo una curva I

f(x) 0 x [a, b] f(x)

A(R) = a

b

f(x) dx

f(x)

R

f(x) 0 x [a, b]

A(R) = a

b

– f(x) dx =

– a

b

f(x) dx =

= |a

b

f(x) dx |

A(R) = a

c

f(x) dx – c

d

f(x) dx + d

e

f(x) dx – e

b

f(x) dx

Integral definida y área bajo una curva II

Si f(x) toma valores positivos y negativos en el intervalo [a, b], se calculan cada una por separado y se suman los resultados teniendo en cuenta los signos.

Propiedades de la integral definida

2. ( ) 0.

a

a

f x dx

3. ( ) siendo un número real.

b

a

kdx k b a k

4. ( ) ( ) ( ) ( ) .

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

5. ( ) ( ) siendo un número real.

b b

a a

kf x dx k f x dx k

1. ( ) ( ) .

a b

b a

f x dx f x dx

Propiedades de la integral definida

8. Si ( ) ( ) para todo [ , ],

( ) ( ) .

b b

a a

f x g x x a b

f x dx g x dx

9. Si ( ) para todo [ , ],

( ) ( ) ( ).

b

a

n f x m x a b

n b a f x dx m b a

.)()( .10b

a

b

adxxfdxxf

7. Si ( ) 0 para todo [ , ], ( ) 0.

b

a

f x x a b f x dx

6. ( ) ( ) ( ) para cualquier [ , ].

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b

Función área o función integral

Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral

F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:

x

a

xFdttf )()(

Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el áreadel recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).

Por tanto R1 = R2

Teorema del valor medio: interpretación geométrica

Enunciado: Si f es continua existe c [a,b] en el que

b

a

)c(f)·ab(dx)x(f

Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los

valores entre m y M. Por tanto existe un c [a, b] tal que:

1

b – a

ab f(x) dx = f(c)

Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función integral

Enunciado:

Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c [a, b] en el que ab f(x) dx = (b – a) f(c).

m (b – a) a

b

f(x) dx M (b – a)

m 1

b – a

ab f(x)

dx M

a b

m

M

1

b – a

a

b

f(x) dx

c¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.

Teorema del valor medio para integrales

Demostración: área pequeña < A.curva < área grande

x x+h

Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica

Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).

Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite

cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)

( ) ( )( ) ( )

F x h F xf x f x h

h

Sea ( , ) y 0.x a b h

( )f x

( )f x h( ) ( )F x h F x

( ) ( ) ( )h f x F x h F x ( )h f x h

X

Y

área pequeña < A.curva < área grande

Teorema fundamental del cálculo

Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el

intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la

primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).

h

dt)t(fdt)t(flim

h

dt)t(fdt)t(flim

h

)x(F)hx(Flim)x('F

hx

a

a

x

0h

hx

a

x

a

0h0h

Dem.:

)x(f)c(flimh

h)c(flim

h

)xhx)·(c(flim medio valor del teoremaelpor y

h

dt)t(flim

0h0h

0h

hx

x

0h

a c b

Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)

Regla de Barrow

Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)

en [a, b], entonces a

b f(x) dx = G(b) – G(a).

• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)

se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.

• Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).

• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).

Que también se puede poner así: b

adxxf )( = G(b) – G(a) = F(x)

ba

Demostración:

Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)b

adxxf )(

El método de «cambio de variable» para integrales definidas

Sea g una función derivable en el intervalo [a, b] y f una función continua en el recorrido de g. Se tiene entonces:

ab f(g(x))g'(x) dx =

g(a)g(b) f(u) du

Esto significa que si F es una primitiva de f.

ab f(g(x))g'(x) dx = F(g(b)) – F(g(a))

Cambio u = 5 + x2 = g(x) du = 2xdx

g(–5) = 30; g(8) = 69

–1

2u 30

69

1

2

30

69

du

u2 dx = =

–1

138 +

1

60 =

13

1380Ejemplo:–5

8 x

(5 + x2)2 dx=

Área del recinto limitada por una función

Área (R) = a

c

f(x) dx - c

d

f(x) dx + d

e

f(x) dx - e

b

f(x) dx

–

+

–

+

X

Y f(x)

c d ea

b

R

Área del recinto limitado por dos funciones

Área (R) = a

c

[g(x) – f(x)] dx + c

b

[f(x) – g(x)] dx

Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo

Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y = x.

Área (R) =

0

3

2

26 9x x x xx d

3 2

4

2

6 9x x dxx x

2

0

234

424

xxx

4

2

234

424

xxx

R

0 2 4

y = x3 – 6x2 + 9x y = x

24 4 8u