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1TodaGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor naci el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo. Su padre fu Georg Waldemar Cantor (natural de Copenhague), quien no slo era un comerciante afortunado, sino tambin un hombre de vasta cultura, en San Petersburgo. Su madre fue Marie Bohm, quien proceda de una familia muy inclinada hacia las Artes y las Ciencias. Sus parientes fueron unos renombrados virtuosos ejecutantes del violn.Cantor se confesaba "bastante inclinado a lo artstico" lamentndose a veces que su padre no le permitiera ser violinista. Su padre era protestante, igual que Cantor, y su madre catlica. Cantor era de buena estatura y su aspecto produca impresin. Posea una vasta cultura, especialmente en Filosofa. Tanto en las conversaciones como en su correspondencia manifestaba sus ideas en forma original y vehemente, que le llevaban a arrebatos colricos. Aparte de su formidable imaginacin creadora era particularmente caracterstico de l la seguridad que tena en sus ideas que l intua y que sostena frente a toda oposicin. Desde un principio fue consciente de la gran trascendencia de la Teora de Conjuntos por l creada. Pero su gran convencimiento de la veracidad e importancia de sus ideas no lo volvieron arrogante ni vanidoso.

2Peldao 1En San Petersburgo Cantor asisti a la escuela elemental. En el ao 1856 la familia se traslad a Frankfurt am Main.Cantor tuvo el precoz deseo de estudiar Matemticas. Pero su padre le orient para que siguiera una carrera ms provechosa, la de ingeniero.

Entre 1860 y 1862 asisti a la Escuela Profesional Superior de Darmstadt, curs all la Seccin General y super el examen de Bachillerato que le daba acceso a los estudios de Ciencias Fsicas y Naturales. Sus calificaciones eran buenas, y en Matemticas obtuvo una calificacin excelente. Por este motivo Cantor manifest de nuevo su deseo de estudiar Matemticas. Tras largas vacilaciones su padre le autoriz a matricularse en Zurich como estudiante en 1862.

Peldao 2Cantor se fue en 1863 a la Universidad de Berln, pues ella tena fama en los estudios de Matemticas. En ese tiempo Karl Weierstrass, famoso como profesor e investigador, atra a muchos estudiantes con talento a la Universidad de Berln. Sus lecciones daban al Anlisis una firme y precisa fundamentacin, de modo que muchos de sus discpulos se proclamaban con orgullo miembros de la "Escuela de Berln" y desarrollaron las ideas de su maestro. El propio Cantor muestra la influencia de Weierstrass con sus primeros trabajos sobre series y nmeros reales, aunque tambin estudi con Kummer y Kronecker. Su tesis, De aequationibus secundi gradus indeterminatis , trat de un problema de Teora de Nmeros y fue presentada en el Departamento de Kummer.

Ya durante sus estudios en Berln Cantor haba aprendido a valorar la fecundidad del intercambio de ideas cientficas. All fue miembro de la Sociedad Matemtica (y de 1864 a 1865 presidente).

En aquellos tiempos todava exista la costumbre de que un candidato al doctorado defendiese su tesis frente a algunos de sus compaeros estudiantes. De especial mencin es la tercera tesis de Cantor para la obtencin de su grado de Doctor en 1867: In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi. Su conclusin, "en las Matemticas, el arte de plantear los problemas es ms importante que su resolucin", iba a ser decisiva para toda su posterior investigacin. Y de hecho sus posteriores logros no siempre consistieron en resolver problemas. Su principal contribucin a las Matemticas fue su modo de plantear cuestiones abiertas en vastas reas del conocimiento. Estos problemas fueron resueltos por l y en parte por sus discpulos.

Peldao 3En el ao 1868 super el examen oficial para profesor de Enseanza Media y, como candidato de prueba, imparti clases en el ltimo curso de un Instituto de Berln. Sin embargo, desde un principio estaba decidido a seguir la carrera universitaria, aunque esto implicase sacrificios econmicos. No obstante, gracias a la herencia de su padre, estas dificultades se suavizaron y pudo elegir este camino sin vacilar. En 1869 fue aceptado para ser profesor en la Universidad de Halle, donde fue pronto profesor y en 1869 obtuvo el grado de Full Professor con el apoyo de H.A. Schwarz. All sigui su trabajo hasta su muerte.

Peldao 4Debido a sus resultados en la investigacin y a sus xitos docentes pronto le fueron conferidos los primeros honores. As fue elegido miembro de la Sociedad para el estudio de la Naturaleza de Halle, y en 1873 miembro correspondiente de la Sociedad de las Ciencias de Gotinga. Finalmente, como hemos dicho, fue ascendido, en un intervalo de tiempo relativamente breve a Full Professor de la Universidad de Halle. Uno de sus colegas cientficos, E. Heine, sugiri a Cantor en los comienzos de su actividad en Halle que se dedicase a la teora de series trigonomtricas. Muy pronto obtuvo algunos resultados fundamentales en este rea. Adems, sus investigaciones le llevaron al estudio de las propiedades de ciertos conjuntos de puntos. Con la generalizacin de los teoremas obtenidos consigui los primeros resultados de la Teora de Conjuntos. Estos resultados y los problemas que de ellos surgieron se convirtieron desde entonces en el campo principal de las investigaciones de Cantor.

Su matrimonio en 1874 con Vally Gutmann naci de un gran afecto, y la personalidad alegre e inclinada a lo artstico de "Frau Vally", amiga de su hermana, dio un aire ms alegre al melanclico carcter del gran estudioso. Tuvieron cinco o seis hijos y la herencia del padre hizo posible a Cantor el construir una casa familiar, En aquellos das el profesor de Halle estaba tan mal pagado que sin otro ingreso hubiesen pasado estrecheces. Cantor esperaba conseguir una plaza de profesor en Berln de ms prestigio y mejor pagada, pero en Berln estaba el casi omnipotente Kronecker que le bloque el camino. El estaba en desacuerdo con las opiniones de Cantor sobre nmeros transfinitos y frustaba todos los intentos de Cantor para mejorar su situacin acadmica volviendo a la capital

Con intenssimo trabajo logr plantear y resolver muchas cuestiones que superaron concepciones que eran consideradas en Matemticas como definitivas. Su primer trabajo sobre Teora de Conjuntos se public en 1874. La acogida de sus descubrimientos en el ambiente matemtico fue muy diversa, solamente muy pocos advirtieron la importancia de los resultados obtenidos. As, su trabajo Una contribucin a la teora de las variedades slo pudo ser publicado en 1878 mediante la intervencin de Weierstrass. Otro trabajo no le fue publicado, colocndosele la acotacin llega con cien aos de anticipacin. Pero finalmente Cantor encontr en Mathematische Annalen una revista que aceptaba y publicaba sus trabajos de manera sucesiva. El eco as alcanzado continuaba siendo escaso. Esto se deba a que para muchos las ideas de Cantor eran absolutamente nuevas e inslitas. Adems, su teora haba encontrado adversarios.

Su maestro, Weierstrass, en seguida advirti la fecundidad de las ideas de su discpulo y ya en 1874 utiliz algunas de las consideraciones de Cantor en la demostracin de teoremas sobre funciones reales. Sin embargo, ms tarde, su actitud hacia Cantor empez a cambiar, aun cuando al final se pronunciase ardientemente en favor de la Teora de Conjuntos de Cantor.

Peldao 5Cantor no vivi encerrado en su estrecha parcela de ciencia, as tuvo muchos amigos ntimos como H.A. Schwarz alrededor de 1880, especialmente por la ndole de sus trabajos y aficiones. Durante estos aos de Berln naci esa especial amistad entre l y Schwarz, que fue su tutor durante dos aos. Los dos reverenciaban a Weierstrass y los dos intentaban que Kronecker tuviese una buena opinin de los alumnos de Weierstrass, pues Kronecker los criticaba continuamente en sus conclusiones.

A finales de la dcada 1880-90 las ideas matemticas de Cantor comenzaron a imponerse en el mundo cientfico. El sueco G. Mittag-Leffler, amigo desde haca tiempo de Cantor, aplic teoremas de la Teora de conjuntos a la demostracin de teoremas de la Teora de Funciones, poniendo as de manifiesto la utilidad de los conceptos de Cantor. Pero todava hizo ms. En la revista Acta Mathematica, que editaba, public trabajos originales de Cantor y traducciones al francs de anteriores trabajos de Cantor. Sin embargo, tampoco l poda seguir todos los razonamientos de ste. A travs de estas publicaciones muchos matemticos extranjeros fijaron su atencin en los trabajos de Cantor. Especialmente, fueron los primeros los matemticos franceses e ingleses quienes cada vez ms reconocieron la importancia de la Teora de Conjuntos, la difundieron y la aplicaron a los diversos campos. Ya durante sus estudios en Berln Cantor haba aprendido a valorar la fecundidad del intercambio de ideas cientficas. All fue miembro de la Sociedad Matemtica (y de 1864 a 1865 presidente). As, pues, cunto no debi de lamentar la falta de tales coloquios cientficos en Halle, donde slo haba unos pocos colegas de su especialidad. Con los que estaban prximos a sus ideas slo poda comunicarse por carta. Por este motivo resulta natural que Cantor fuese partidario de intensificar la colaboracin entre los matemticos mediante la creacin de una organizacin apropiada. Desde haca tiempo exista entre los matemticos alemanes el deseo de asociarse, pero los primeros intentos no haban dado ningn resultado.

Cantor continu con su proyecto con la tenacidad que le caracterizaba. Durante 1880-90 abog infatigablemente por escrito y verbalmente en favor de la realizacin de sus propsitos. En gran medida hay que agradecerle que, en el Congreso de los cientficos de la naturaleza y mdicos alemanes celebrado en Bremen en 1890, se fundase la Asociacin de Matemticos Alemanes. El objetivo de esta Sociedad era fomentar y desarrollar la Matemtica, elevar la posicin del matemtico en el seno de la vida intelectual de Alemania y ofrecer a los matemticos la oportunidad de conocerse e intensificar sus ideas, experiencias y predilecciones. Cantor fue elegido Presidente de esta Sociedad, pero al cabo de cierto tiempo se vio obligado a dimitir a causa de su enfermedad.

Peldao 6Adems de esto Cantor tambin intent formar una sociedad de matemticos internacional. Aunque esto no se consigui, hay que contar a Cantor entre los iniciadores de los Congresos Internacionales de Matemticos, el primero de los cuales tuvo lugar en Zurich en 1897. En este congreso A. Hurwitz pronunci una conferencia en la que expuso cmo la Teora de Conjuntos poda conducir a un nuevo desarrollo de la Teora de Funciones. En los congresos posteriores la Teora de Conjuntos ocup tambin un lugar preferente. De este modo dichos congresos contribuyeron a que se reconociese y se considerase ms la gran importancia de la Teora de Conjuntos para muchas ramas de las Matemticas. Sociedades cientficas inglesas, rusas e italianas eligieron a Cantor miembro honorario. Tambin fue nombrado Doctor Honoris Causa por las Universidades de Cristiana (Noruega, 1902) y St. Andrews (Escocia, 1911). Alentado por tales acontecimientos. Cantor volvi a publicar trabajos de Matemticas, si bien stos trataban principalmente de la exposicin y defensa de los resultados obtenidos anteriormente. De este modo fueron apareciendo entre 1895 y 1897 sus Contribuciones a la Teora de Conjuntos que de manera sistemtica presentaban los resultados de su teora general. Al proseguir sus investigaciones se encontr en la construccin de conjuntos con ciertas antinomias. Y aunque logr reconocerlas y tambin describirlas, no pudo en cambio evitarlas. Tal vez sea sta una de las razones por lo que a partir de 1897 ya no publicase ningn trabajo, aunque se ocupaba de diversas cuestiones de matemticas y pensaba en ambiciosas publicaciones. Indudablemente otra causa resida en sus enfermedades nerviosas que siempre volvan a declararse y que paralizaban su actividad investigadora y tambin le impedan de manera creciente cumplir con sus deberes docentes. Ya en 1902 present una solicitud de jubilacin, que fue desestimada. Pero durante los aos siguientes tuvo a menudo que suspender sus clases por enfermedad, por lo que en 1913 qued definitivamente dispensado de tales obligaciones. Con motivo de su 70 aniversario se haba organizado en 1915 una magna celebracin internacional, pero se frustr debido a la I Guerra Mundial. Pese a todo, muchos matemticos alemanes se reunieron ese da en Halle para honrar a Cantor. Manifestacin de este respeto fue la donacin de un busto de Cantor en mrmol, que hoy da se encuentra en el edificio principal de la Universidad de Halle. De este modo Cantor, al final de su vida, supo que su obra haba sido considerada y reconocida tambin en Alemania. En lo sucesivo su salud fue empeorando cada vez ms. As Cantor falleci el 6 de enero de 1918 en la Clnica Psiquitrica de la Universidad de Halle y fue inhumado en dicha ciudad.

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TrabajosDurante la elaboracin de su teora, Cantor se encontr con el llamado problema del continuo, cuya solucin crey vislumbrar pero cuya demostracin no pudo conseguir pese a sus enormes esfuerzos. Afectado por la acumulacin de dificultades personales y profesionales, agotado por la intensa y sutil investigacin de tantos aos, en 1884 Cantor sufri un profundo quebranto psquico. Las causas ltimas de esta enfermedad pudieran ser debidas a la propensin intelectual de Cantor, aunque seguramente los factores externos contribuyeron a que se declarase la enfermedad. Una vez restablecido se propuso ante todo abandonar totalmente la investigacin matemtica y dedicarse a cuestiones filosficas. As se ocup, con el ardor que l pona en todo, de estudios literarios sobre la personalidad de W. Shakespeare. Pero con crecientes interrupciones depresivas continu tanto sus cursos de Matemticas como sus investigaciones. En realidad, su enfermedad ya nunca le abandonara, siempre apareca intermitentemente.

11856Cantor asisti a la escuela elemental en San Petersburgo. Posteriormente, Su familia se traslad a Frankfurt Su padre le orient para que siguiera una carrera ms provechosa, la de Ingeniero, pero l tuvo el precoz deseo de estudiar Matemticas.

21860-1862Entre los aos 1860 a 1862 asisti a la Escuela Profesional Superior de Darmstadt, curs all la Seccin General y super el examen de Bachillerato que le daba acceso a los estudios de Ciencias Fsicas y Naturales. Sus calificaciones eran buenas, y en Matemticas obtuvo una calificacin excelente. Por este motivo Cantor manifest de nuevo su deseo de estudiar Matemticas. Tras largas vacilaciones su padre autoriz para que se matriculase en Zurich como estudiante en 1862.

31863,

1864-1865 En 1863, Cantor fue a estudiar a la Universidad de Berln, pues sta tena fama en los estudios de Matemticas. All recibi la influencia de Karl Weierstrass (famoso como profesor e investigador que atra a muchos estudiantes con talento a la Universidad). Sus primeros trabajos sobre series y nmeros reales expresan esta influencia, aunque tambin estudi con Kummer y Kronecker. Su tesis, De aequationibus secundi gradus indeterminatis , trat de un problema de Teora de Nmeros y fue presentada en el Departamento de Kummer.

Durante este periodo de tiempo fue Presidente de la Sociedad Matemtica de Berln, propiciando el intercambio de ideas cientficas.

41867

1868

1869En el ao 1867 obtuvo el grado de Doctor sustentando su tesis : In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi, frente a algunos de sus compaeros estudiantes. Su conclusin, "en las Matemticas, el arte de plantear los problemas es ms importante que su resolucin", fue decisiva para toda su posterior investigacin.

En el ao 1868 super el examen oficial para desempearse como profesor de Enseanza Media y, como candidato de prueba, imparti clases en el ltimo curso de un Instituto de Berln.

En el ao 1869 fue aceptado como Profesor en la Universidad de Halle. All continu su trabajo docente hasta su muerte.

51873Debido a los resultados en la investigacin y a sus xitos docentes pronto le fueron conferidos los primeros honores. As fue elegido miembro de la Sociedad para el estudio de la Naturaleza de Halle, y en el ao 1873 miembro correspondiente de la Sociedad de las Ciencias de Gotinga. Finalmente, fue ascendido en el cargo de la Universidad de Halle, alcanzando el grado de Full Professor, en un intervalo de tiempo relativamente breve.

61874Contrajo matrimonio en 1874 con Vally Gutmann (amiga de su hermana). Tuvieron cinco o seis hijos y la herencia del padre hizo posible a Cantor el construir una casa familiar, En aquellos das el profesor de Halle estaba tan mal pagado que sin otro ingreso hubiesen pasado estrecheces. Cantor esperaba conseguir una plaza de profesor en Berln de ms prestigio y mejor pagada, pero en Berln estaba el casi omnipotente Kronecker que le bloque el camino. El estaba en desacuerdo con las opiniones de Cantor sobre nmeros transfinitos y frustaba todos los intentos de Cantor para mejorar su situacin acadmica volviendo a la capitalSu primer trabajo sobre Teora de Conjuntos se public en 1874. La acogida de sus descubrimientos en el ambiente matemtico fue muy diversa, solamente muy pocos advirtieron la importancia de los resultados obtenidos. As, su trabajo Una contribucin a la teora de las variedades slo pudo ser publicado en 1878 mediante la intervencin de Weierstrass. Otro trabajo no le fue publicado, colocndosele la acotacin llega con cien aos de anticipacin. Pero finalmente Cantor encontr en Mathematische Annalen una revista que aceptaba y publicaba sus trabajos de manera sucesiva. El eco as alcanzado continuaba siendo escaso. Esto se deba a que para muchos las ideas de Cantor eran absolutamente nuevas e inslitas. Adems, su teora haba encontrado adversarios.

Su maestro, Weierstrass, advirti la fecundidad de las ideas de Cantor y en 1874 utiliz algunas de las consideraciones de Cantor en la demostracin de teoremas sobre funciones reales.

71880-1890Cantor no vivi encerrado en su estrecha parcela de ciencia, as tuvo muchos amigos ntimos como H.A. Schwarz alrededor de 1880, especialmente por la ndole de sus trabajos y aficiones. Durante estos aos de Berln naci esa especial amistad entre l y Schwarz, que fue su tutor durante dos aos. Los dos reverenciaban a Weierstrass y los dos intentaban que Kronecker tuviese una buena opinin de los alumnos de Weierstrass, pues Kronecker los criticaba continuamente en sus conclusiones.

A finales de la dcada 1880-90 las ideas matemticas de Cantor comenzaron a imponerse en el mundo cientfico. El sueco G. Mittag-Leffler, amigo desde haca tiempo de Cantor, aplic teoremas de la Teora de conjuntos a la demostracin de teoremas de la Teora de Funciones, poniendo as de manifiesto la utilidad de los conceptos de Cantor. La revista Acta Mathematica, que editaba G. Mittag-Leffler, public trabajos originales de Cantor y traducciones al francs de anteriores trabajos de Cantor. A travs de estas publicaciones muchos matemticos extranjeros fijaron su atencin en los trabajos de Cantor. Especialmente, fueron los primeros los matemticos franceses e ingleses quienes cada vez ms reconocieron la importancia de la Teora de Conjuntos, la difundieron y la aplicaron a los diversos campos. El Congreso de los cientficos de la naturaleza y mdicos alemanes celebrado en Bremen en 1890 fund la Asociacin de Matemticos Alemanes, a fin de fomentar y desarrollar la Matemtica, elevar la posicin del matemtico en el seno de la vida intelectual de Alemania y ofrecer a los matemticos la oportunidad de conocerse e intensificar sus ideas, experiencias y predilecciones. Cantor fue elegido Presidente de esta Sociedad, pero al cabo de cierto tiempo se vio obligado a dimitir a causa de su enfermedad.

81897Cantor fue uno de los iniciadores de los Congresos Internacionales de Matemticos, el primero de los cuales tuvo lugar en Zurich en 1897. En este congreso A. Hurwitz pronunci una conferencia en la que expuso cmo la Teora de Conjuntos poda conducir a un nuevo desarrollo de la Teora de Funciones. En los congresos posteriores la Teora de Conjuntos ocup tambin un lugar preferente. De este modo dichos congresos contribuyeron a que se reconociese y se considerase ms la gran importancia de la Teora de Conjuntos para muchas ramas de las Matemticas. Sociedades cientficas inglesas, rusas e italianas eligieron a Cantor miembro honorario. De este modo fueron apareciendo entre sus Contribuciones a la Teora de Conjuntos que de manera sistemtica presentaban los resultados de su teora general. A partir de 1897 Cantor no publica ningn trabajo, debido a sus enfermedades nerviosas que siempre volvan a declararse y que paralizaban su actividad investigadora y tambin le impedan de manera creciente cumplir con sus deberes docentes..

91902Ya en 1902 present una solicitud de jubilacin, que fue desestimada. Pero durante los aos siguientes tuvo a menudo que suspender sus clases por enfermedad, por lo que en 1913 qued definitivamente dispensado de tales obligacionesEn ese ao, fue nombrado Doctor Honoris Causa por la Universidad de Cristiana de Noruega.

101911En 1911 fue nombrado Doctor Honoris Causa por la Universidades de St. Andrews de Escocia. Alentado por tales acontecimientos, Cantor volvi a publicar trabajos de Matemticas.

111915Con motivo de su 70 aniversario se haba organizado en 1915 una magna celebracin internacional, pero se frustr debido a la I Guerra Mundial. Pese a todo, muchos matemticos alemanes se reunieron ese da en Halle para honrar a Cantor. Manifestacin de este respeto fue la donacin de un busto de Cantor en mrmol, que hoy da se encuentra en el edificio principal de la Universidad de Halle. De este modo Cantor, al final de su vida, supo que su obra haba sido considerada y reconocida tambin en Alemania. En lo sucesivo su salud fue empeorando cada vez ms.

121918Cantor falleci el 6 de enero de 1918 en la Clnica Psiquitrica de la Universidad de Halle y fue inhumado en dicha ciudad.