orden y caos
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ORDEN Y CAOS. REFERENCIAS. “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert http://hypertextbook.com/chaos/ “Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002), 273-339. ¿QUE ES EL CAOS?. 1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
REFERENCIAS
• “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert http://hypertextbook.com/chaos/
• “Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002), 273-339
¿QUE ES EL CAOS?1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos.
- Modelo de Lorenz. (dimensión 3)- Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales.- La ecuación logística de May (dimensión 1)
2. Recapitulando. ¿Que es el caos?
- Propiedades de un sistema caótico.- Regularidades en un sistema caótico.
3. Un poco de historia. - Las matemáticas de Poincaré y Smale. - Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke...
4. Teoría del Caos, ¿revolución científica?.
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Problema real (física, biología, meteorología...)
Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Frío
Atmósfera
Calor
Lámina rectangular
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
x´(t)= 10(y-x)
y´(t)=28x-y-xz
z´(t)=xy-8x/3
Modelo matemáticoEcuaciones diferenciales
(no lineales).
Frío
Atmósfera
Calor
Lámina rectangular
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
(x0, y0, z0)Condición Inicial
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2, z2)...
ITERACION
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
segundo temperatura
1 -14.052872
2 2.757209
3 -7.552990
4 6.621076
5 -8.084304
6 -9.952578
7 -5.981163
8 -13.023813
9 0.041168
10 9.314363
11 4.558919
12 7.375924
13 -14.856846
14 -0.246566
segundo temperatura
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -9.952000
7 -6.120309
8 -12.646284
9 -0.724073
10 11.848833
11 -1.204758
12 6.826824
13 13.773982
14 1.474239
(x0, y0, z0)Condición Inicial
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2, z2)...
ITERACION
Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
(x0, y0)Condición Inicial
Regla
(x1, y1)
Regla
(x2, y2)...
ITERACION
Problema real (biología, mecánica celeste...)
Modelo Matemático (Iteración)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
(x0, y0)
Regla
(x1, y1)
Regla
(x2, y2)...
(1/3y, 1+x-7y/5)
(x,y)
Otros ejemplos.
Atractor de Ikeda (Optica)
a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)]
z=(x,y)
a,b,k,p parámetros
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z2+c
z
c=-0,2-0,7i
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
(z3+c)/(dz)
z
c=0,001
d=0,95-0,31225i
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
(z5+c)/z3
z
c=0,001
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Brocoli IFS
F
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Helecho de Barnsley
Función 1 Función 2 Función 3 Función 4
a 0 0,2 -0,15 0,75
b 0 -0,26 0,28 0,04
c 0 0,23 0,26 -0,04
d 0,16 0,22 0,24 0,85
e 0 0 0 0
f 0 1,6 0,44 1,6
Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
Problema real (física, química,biología...)
Modelo Matemático (Iteración)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
x0
Condición Inicial
Regla
x1
Regla
x2
...
ITERACION
Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
An = número de animales en el año n
An+1= c An c=tasa de crecimiento
An+1= c An (M-An)
M= población máxima admitida
se normaliza y...
xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística
x c x (1-x) ITERACION
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n
cn-cn-1
cn+1-cn4,669201...
¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones!
Recapitulando...
Propiedades de un sistema caótico
- La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción.
- Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración
- El atractor es un fractal.
- Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.
Recapitulando...Regularidades (orden) de un sistema caótico
- Autosemejanza en atractores. Dimensión.
- La solución al modelo acaba convergiendo al atractor.
- Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov...
- Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)
Un poco de historia
Henri Poincaré1854-1912
- Estudió el problema de los tres cuerpos.
- Noción de bifurcación.
- Métodos de geometría y topología.
- Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos.
Un poco de historia
Henri Poincaré1854-1912
“Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes
diferencias al final… la predicción resulta imposible”.
Un poco de historia
Stephen Smale1940-
Medalla Fields, 1966
- En los años 60, “introduce los métodos, herramientas, objetivos y
visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos”.
Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las
matemáticas!
- Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con
dinámica muy compleja.
Un poco de historia
Atractor de E. Lorenz
(metereólogo)
- 1963. Modelo atmosférico y atractor.
- 1967. Can the flap of a butterfly’s wings in Brazil stir up a tornado inTexas?
- Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y “ver” soluciones.
- Modelos de fenómenos impredecibles.
- Modelos simples de fenómenos complejos.
Un poco de historia
Los años 70: Creciente uso de los ordenadores.
- 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”.
- Introduce concepto de “atractor extraño”.
- Presenta las ecuaciones de Navier-Stokes en forma 1-dimensional:
v´(t)=fr(v), r>0
- Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica
Un poco de historia
- 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística.
- 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”. Primer uso de la palabra “caos”.
- 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales.
- 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines”
- 1978. La constante de M. Feigenbaum.
Teoría del Caos, ¿revolución científica?
2 - Sustitución de modelos
1 - Novedad y profundidad de los conceptos
4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?
3 - El papel de los ordenadores