METODOS NUMERICOS

OPTIMIZACION RESTRINGIDA

EJERCICIO 1:

Suponga que una planta procesadora de gas recibe cada semana una cantidad fija de materia prima. Esta última se procesa para dar dos tipos de gas: calidad regular y prémium.Estas clases de gas son de gran demanda (es decir, se tiene garantizada su venta) y dan diferentes utilidades a la compañía. Sin embargo, su producción involucra restricciones de tiempo y de almacenamiento. Por ejemplo, no se pueden producir las dos clases a la vez, y las instalaciones están disponibles solamente 80 horas por semana. Además, existe un límite de almacenamiento para cada uno de los productos. Todos estos factores se enlistan abajo (observe que una tonelada métrica, o ton, es igual a 1 000 kg):

PRODUCTORECURSO REGULAR PREMIUM DISPONIBILIDAD DEL RECURSOMATERIA PRIMA 7 m^3/tn 11m^3/tn 77m^3/semanaTIEMPO DE PRODUCCION 10h/tn 8h/tn 80hr/semanaALMACENAMIENTO 9tn 6tn APROVECHAMIENTO 150/tn 175/tn

Desarrolle una formulación de programación lineal para maximizar las utilidades de esta operación.

Solución.

El ingeniero que opera esta planta debe decidir la cantidad a producir de cada tipo de gas para maximizar las utilidades. Si las cantidades producidas cada semana de gas regular y Premium se designan como x1 y x2, respectivamente, la ganancia total se calcula mediante:

Ganancia total = 150x1 + 175x2

O se escribe como una función objetivo en programación lineal:

Maximizar Z = 150x1 + l75x2

Las restricciones se desarrollan en una forma similar. Por ejemplo, el total de gas crudo (materia prima) utilizado se calcula como:

Total de gas utilizado = 7x1 + 11x2

Este total no puede exceder el abastecimiento disponible de 77 m3/semana, así que la restricción se representa como

7x1 + 11x2 < 77

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METODOS NUMERICOS

Las restricciones restantes se desarrollan en una forma similar: la formulación completa resultante de PL está dada por:

Maximizar Z = 150x1 + 175x2 (maximizar la ganancia)

Sujeta a7x1+11X2 ≤77 (restricciones de material)10x1+8X2 ≤80 (restricción de tiempo)

x1 ≤9 (restricción de almacenaje de gas “regular”)x2 ≤6 (restricción de almacenaje de gas “prémium”)

x1,x2 ≥0 (restricciones positivas)

Observe que el conjunto de ecuaciones anterior constituye la formulación completa dePL. Las explicaciones en los paréntesis de la derecha se han incluido para aclarar el significado de cada expresión.

SOLUCION MEDIANTE SOLVER

REGULAR PREMIUM DISPONIBILIDAD

4.888888873

3.888888908

MATERIA PRIMA 7 11 77.0000001

77

TIEMPO DE PRODUCCION

10 8 80 80

APROVECHAMIENT

O150 175

MAXIMA UTILIDAD 733.333331 680.555559 1413.88889

Los valores de x1 y x2 son, de manera aproximada, iguales a 4.9 y 3.9, respectivamente. Así, la solución gráfica indica que si se producen estas cantidades de gas regular y prémium, se alcanzará una máxima utilidad de aproximadamente 1413.89.

Además de determinar los valores óptimos, el procedimiento gráfico ofrece una mejor comprensión del problema. Esto se aprecia al sustituir de nuevo las soluciones en las ecuaciones restrictivas:

7(4.9) + 11(3.9) ≋ 7710(4.9) + 8(3.9) ≋ 804.9 < 93.9 < 6

DUAL:Zmin = 77y1+80y2

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METODOS NUMERICOS

7y1+10y2 ≥150 (restricciones de material)11y1+8y2 ≥175 (restricción de tiempo)

y1 ≥9 (restricción de almacenaje de gas “regular”)

y2 ≥6 (restricción de almacenaje de gas “prémium”)

y1,y2 ≥0 (restricciones positivas)

Solución mediante el programa sol ver:

y1 y2 DISPONIBILIDAD

10.18518514

7.870370404

MATERIA PRIMA 7 10 150 150TIEMPO DE

PRODUCCION11 8 175 175

APROVECHAMIENT

O77 80

MAXIMA UTILIDAD 784.2592556

629.6296323 1413.88889

Resultados de Y1=10.18 y Y2=7.87

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METODOS NUMERICOS

EJERCICO 2

Minimizar:

zmin=4x1+10x2sujeto a:

2x1+6x2≤105x1+3x2≥8x1, x2,≥0

Para poder solucionar el problema, expresamos en su forma estándar:

.-2x1-6x2≥-105x1+3x2≥8

Solucionando mediante el programa sol ver tenemos:

x1 x2 xi1.6 0

A -2 -6 -3.2 -10B 5 3 8 8Z 4 10

Z TOTAL 6.4 0 6.4

Por lo tanto los valores de X1=1.6 y X2=0

DUAL:

zmax=-10y1+8y2sujeto a:

.-2y1+5y2≥4.-6y1+3y≥10

y1, y2,≥0Mediante sol ver tenemos:

Y1 Y20 0.8

A -2 5 4 4B -6 3 2.4 10Z -10 8

Z TOTAL 0 6.4 6.4

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METODOS NUMERICOS

Por lo tanto los valores de Y1=0 y Y2=0.8

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