Instituto Universitario Politécnico: “Santiago Mariño”Extensión Maracay

Optimización de Sistemas y Funciones.

Realizado por:

-Víctor Rangel

Introducción

En diseño, construcción, mantenimiento o programación, los ingenieros tienen que tomar decisiones. El objetivo de todos es tomar las decisiones para minimizar el esfuerzo o maximizar el beneficio.El esfuerzo o el beneficio se puede expresar normalmente como una función de ciertas variables de diseño, por lo tanto, la optimización es el proceso de encontrar las condiciones que dan el máximo o el valor mínimo de una función. Los principales desarrollos en el campo de los métodos numéricos para la optimización sin restricciones se han hecho en el Reino Unido. Estos incluyen el desarrollo del método Simplex (Dantzig,1947), el principio de Optimizar (Bellman, 1957), las condiciones necesarias y suficientes de Optimización (Kuhn y Tucker, 1951).

Conceptos

Según Marta B. Ferrero y Omar J. A. Chiotti, se puede definir como optimización, al proceso de seleccionar a partir de un conjunto de alternativas posibles, aquella que mejor satisfaga el o los objetivos propuestos.

Desde el punto de vista de sistemas.

La optimización del sistema es el término de la ciencia de sistema (sistematología). Requiere la reducción de los procesos en ejecución en la computadora, el cambio del modo de trabajo, la eliminación de interrupciones innecesarias para un rendimiento más eficiente de la computadora, la optimización de la ubicación de los archivos para una lectura y escritura más rápidas de los datos. Aumentará la estabilidad y la velocidad de las computadoras, sin dañar el hardware.

Es obvio que si un punto x corresponde al valor mínimo de una función f (x), elMismo punto corresponde al valor máximo de la función -f (x). Así, la optimizaciónPuede ser tomado como minimización.No hay un solo método disponible para resolver todos los problemas de optimización de manera eficiente. Por lo tanto, se han desarrollado una serie de métodos para resolver diferentes tipos de problemas. Los métodos óptimos de búsqueda también se conocen como técnicas de programación matemática que son una rama de la investigación de operaciones. La investigación operativa está compuestaDe las siguientes áreas.

Métodos de programación matemática. Estos son útiles para

encontrar el mínimo de una función de varias variables bajo un conjunto prescrito

de restricciones.

Técnicas de proceso estocástico. Éstos se utilizan para analizar problemas que se

describen por un conjunto de variables aleatorias de distribución conocida.

Métodos de estadística. Estos se utilizan en el análisis de datos experimentales y en la

Construcción de modelos empíricos.

Formulación de un problema

La optimización en su sentido más amplio se puede aplicar para resolver cualquier problema de ingeniería

• Diseño de aeronaves con un peso mínimo.• Trayectorias óptimas (tiempo mínimo) para misiones espaciales.• Diseño del peso mínimo de estructuras para terremotos.• Diseño óptimo de redes eléctricas.• Planificación óptima de la producción, asignación de recursos, planificación.• Ruta más corta.• Diseño de redes óptimas de oleoductos.• tiempo mínimo de procesamiento en los sistemas de producción.Una optimización, o un problema de

programación matemática puede ser declarado como sigue.Encontrar

x = (x1, x2, ...., xn)Que minimiza f(x)Sujeto a las restricciones gj (x) ≤ 0para j = 1,...,m, y lj (x) = 0Para j = 1,…,p

La variable x se denomina vector de diseño, f(x) es la función objetivo, gj(x) son la las restricciones de desigualdad y lj(x)

son las restricciones de igualdad. El número de variables n y el número de restricciones p + m no tiene que estar

relacionado. Si p + m = 0 el problema es llamado un problema de optimización sin

restricciones.

región factible

región no factible

Limitaciones de Diseño

En la práctica, las variables de diseño no pueden seleccionarse arbitrariamente, sino satisfacen ciertos requisitos, estas restricciones se denominan restricciones de diseño. Las limitaciones de diseño pueden representan una limitación en el rendimiento o comportamiento del sistema o limitaciones físicas.Considérese, por ejemplo, un problema de optimización con limitaciones de desigualdad solamente, es decir gj (x) ≤ 0. El conjunto de valores de x que satisfacen las ecuaciones gj (x) = 0 forma una hipersuperficie en el espacio de diseño, que se denomina superficie de restricción. En general, si n es el número de las variables de diseño, la superficie de restricción es una superficie n - 1 dimensional, La restricción de la superficie divide el espacio de diseño en dos regiones: una en la que gj (x) <0 y una en la que Gj (x)> 0. Los puntos x en la superficie de restricción satisfacen la restricción críticamente, mientras que los puntos x tales que gj (x)> 0, para algunos j, son inviables, es decir, son inaceptables.

Vector de Diseño.Cualquier sistema es descrito por un conjunto de cantidades, algunas de las cuales son vistas como variables durante el proceso de diseño, y algunos de los cuales son parámetros preasignados o se imponen por el medio ambiente. Todas las cantidades que se pueden tratar como variables se denominan variables de decisión, y se recogen en el vector de diseño x.

Función Objetivo El procedimiento de

diseño clásico tiene por objeto encontrar un diseño aceptable, es decir, un diseño que satisface las

restricciones. En general hay varios diseños aceptables, y el propósito de

la optimización es seleccionar el mejor diseño posible. Por lo tanto, un

criterio tiene que ser seleccionado para comparar diferentes diseños, este criterio, cuando se expresa en función de las variables de diseño, se conoce como función objetivo.

Planteamiento de Función Objetivo.

Dada una función objetivo f (x), el foco de todos los puntos x tal que f (x) = c forma una hipersuperficie para cada valor de c hay una hipersuperficie diferente. El conjunto de todas estas superficies se denominan superficies de función objetivo.Una vez que las superficies de función objetivo se dibujan, junto con las superficies de restricción, el problema de optimización puede ser fácilmente resuelto, al menos en el caso de una decisión de espacio de dos dimensiones, como se muestra en la Figura anterior. Si el número de variables de decisión excede de dos o tres, este enfoque gráfico no es viable y el problema tiene que ser resuelto como una solución matemática .

Existencia de limitaciones. Un problema de optimización puede ser clasificado como un o una sin restricciones, dependiendo de la presencia o no de restricciones.

Naturaleza de las ecuaciones. Los problemas de optimización pueden clasificarse como lineales, cuadráticos, Polinomio, no lineal dependiendo de la naturaleza de las funciones objetivas y de la restricciones. Esta clasificación es importante, porque los métodos computacionales son normalmente seleccionados sobre la base de dicha

clasificación, es decir, la naturaleza de la funciones dicta el tipo de procedimiento de solución.

Valores admisibles de las variables de diseño. Dependiendo de los valores permitidos para las variables de diseño, los problemas de optimización pueden

clasificarse como entero o real valorados y deterministas o estocásticos.

Clasificación de los problemas de optimización

GRACIAS POR SU ATENCIÓN.