optimización de procesos químicos. 2007-2008diquima-etsii lección 3: conceptos básicos
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Optimización de procesos químicos. 2007-2008 DIQUIMA-ETSII
Lección 3:Conceptos básicos
Optimización de procesos químicos. 2007-2008 DIQUIMA-ETSII
OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA
Es el único procedimiento (frente a optimización gráfica y analíticaque permite abordar problemas complejos.
Problema: dificultad en encontrar el óptimo global en algunos casos.
Normalmente sólo conocemos el valor de un punto (xk y f(xk)) y alguna información local adicional (derivadas,…)
1. Determinar un buen siguiente punto que mejore la función objetivo
2. Comprobar si se puede seguir mejorando. Si se puede volver al punto 1.
3. Parar en un mínimo local.
Procedimiento básico de optimización numérica¿Cómo
continuo?
Optimización de procesos químicos. 2007-2008 DIQUIMA-ETSIIx1
x 2
Optimización numérica empleando información local
A partir del punto inicial, cómo decidimos:
• La dirección del cambio• La distancia en esa dirección• Si es posible mejorar más
OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA
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La ecuación básica:
x1
x 2
knkn
kk
kn
k
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
......2
1
2
1
1
2
1
1
OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA
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NUMERICAL OPTIMIZATION
Determina el tamaño del cambio
>0
vectorescalar
knkn
kk
kn
k
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
......2
1
2
1
1
2
1
1
Determina la dirección del cambio
x >0
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NUMERICAL OPTIMIZATION
• ¿Cómo determinamos and x?
• ¿Cómo sabemos cuando parar?
• Una dirección posible
• Que mejore la función objetivo
• Debe permanecer en la región factible
• No es demasiado grande, hace que la función objetivo pueda disminuir
knkn
kk
kn
k
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
......2
1
2
1
1
2
1
1
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Una región es convexa si todos los puntos de una línea que conecta dos puntos de la región están en dicha.
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
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Convexidad y la función objetivo. Una función de x (vectorial) es convexa si cumple:
Donde 0 1.
f(x)
x
¿Es convexa esta función?
)x(f)()x(f]x)(x[f 2121 11
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
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La minimización de una función convexa sobre una región convexa tiene la siguiente propiedad:
¡Un mínimo local es también un mínimo global!
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
Programaciónconvexa
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-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
0
1
2-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
X1
F(X1,X2) = X12 + X22
X2
F(X
1, X
2)
¿Es convexa la función objetivo de la figura?
x1
x2
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
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We want to minimize the function for each of the problems below. Determine the minimum. Then, generalize the result - what are the conditions for a local minimum, global minimum?
PROBLEM FEATURES
Help us understand optimization
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f(x) es H(x) es xTH(x)x Valores propios
Strictly convex
positive definite
>0 >0
Convex positive semi definite
>=0 >=0
Strictly concave
negative definite
<0 <0
Concave negative semi definite
<=0 <=0
Determinación de la convexidad de una función
H(x) es el Hessiano (segunda derivada de la matriz)
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f(x)=2x12-3x1x2+2x2
2
f(x)=x12+x1x2+2x2+4
f(x)=2x1-3x2+6
-x12+x2>=1
x1-x2>=-2
Las siguientes restricciones: ¿forman una región convexa?
¿Son convexas las siguientes funciones?
g1(x)=-x12+x2-1>=0
g2(x)=x1-x2+2>=0
0 0
0 0
2 1
1 0
4 -3
-3 4
l1=1,l2=7
l1=1+2,l2=1-2
l1=0,l2=0
convexa
convexa y
cóncava
??
-2 0
0 00 0
0 0
convexa
convexa y
cóncava
CONVEXA